ZADACI IZ SUPERSIMETRIJA. 1. Pokazati da je ϵ αβ invarijantan tenzor pri Lorencovim transformacijama.

Transcript

1 ZADACI IZ SUPERSIMETRIJA. Pokazati da je ϵ αβ invarijantan tenzor pri Lorencovim transformacijama. 2. Pokazati da je ψσ µ χ Lorencov vektor. Razmotriti dva slučaja. U prvom uzeti da su ψ i χ Grasmanove funkcije a u drugom da su to operatori polja. ) 3. Pokazati da se ψ α transformiše po 2, 0, a ψ ) α po 0, 2 ireducibilnim reprezentacijama Lorencove grupe. 4. Pokazati a) φσ µ χ = χ σ µ φ b) φσ µ χ) = χσ µ φ c) φσ µ σ ν χ = χσ ν σ µ φ d) χσ µν ψ) = ψ σ µν χ e) φ σ µν χ) = χσ µν φ. 5. Pokazati σ µν ) α α = Pokazati σ µν ) β α ϵ βγ = σ µν ) β γ ϵ βα. 7. Pokazati: a) θ α θ β = 2 ϵαβ θθ b) θ α θ β = 2 ϵ αβθθ c) θ α θ β = 2 ϵ α β θ θ d) θ α θ β = 2 ϵ α β θ θ. 8. Proveriti da je σ µν samodualni a σ µν antisamodualni tenzor, tj. 9. Dokazati Fierz-ovi identiteti) a) θσ µ θ)θσ ν θ) = 2 ηµν θθ) θ θ) ϵ µνρσ σ ρσ = 2iσ µν, ϵ µνρσ σ ρσ = 2i σ µν.

2 b) θ λ)χσ µ θ) = 2 θ θ)χσ µ λ) c) θσ ν ψ)θσ µ λ) = 2 θθ) ψ σ ν σ µ λ) 0. Izraziti Ψγ µ γ 5 Φ preko Vejlovih spinora ako su Ψ i Φ Dirakovi spinori. Uraditi isto ako se radi o Majorana spinorima.. Napisati i proveriti važenje super-jakobijevog identiteta za sledeća tri operatora B, F, F Neka je X µν tenzor drugog reda. Prelaskom na spinorske indekse dobijamo X µν X αβ α βσ µ α α σν β β. Pokazati da su ireducibilne komponente dobijenog tenzora gde je X αβ α β = ϵ αβ X α β) + ϵ α βx αβ) + ϵ αβ ϵ α β) X + X αβ) α β) X = 4 ϵ αβ α β αβϵ α βx X αβ) = 2 ϵ α β) X αβ) α β X α β) = 2 ϵαβ) X αβ α β). 0.) Primenom gornjih formula naći ireducibilne spinorske komponente tenzora g µν i tenzora jačine polja F µν 3. Pokazati da komutator dve supersimetrične transformacije daje translaciju gde parametar ϵ µ treba odrediti. Zakoni transformacija su [δ ξ, δ η ]ψ α = iϵ µ µ ψ α, δa = 2ξψ, δψ α = 2F ξ α i 2 m Aσ m α α ξ α, δ ξ F = i 2 m ψσ m ξ. 0.2) 4. Pokazati da je varijacija slobodnog Wess-Zumino Lagranžijana pri supersimetričnim transformacijama totalna divergencija. 2

3 5. Naći zakon transformacije člana 2φF ψψ pri supersimetričnim transformacijama. 6. Izračunati komutator supernaboja Q α sa vektorom Pauli-Lubanskog W µ = 2 ϵ µνρσm νρ P σ. 7. Pokazati da kod bezmasenog supersimetričnog multipleta generatori Q, Q 2, Q, Q 2 menjaju helicitet za 2, 2, 2, 2 respektivno. 8. Ako je maksimalna vrednost heliciteta bezmasenog N = 8 multipleta λ max = 2 odrediti koja sve stanja sadrži ovaj multiplet. 9. Generatore unutrašnje simetrije obeležili smo sa B l. Pokazati da iz [B l, Q A α ] = b l ) A B QB α sledi [B l, Q Ȧ α ] = bl ) A B Q Ḃ α, gde su bl matrice. Polazeći od super-jakobijevog identiteta za operatore B r, B l, Q C α ) pokazati da matrice b l zadovoljavaju Lijevu algebru [b r, b l ] = if rlm b m. Takodje, polazeći od super-jakobijevog identiteta za Q A α, Q Ḃ α, Bl ) sledi da su ove matrice hermitske. 20. U ovom zadatku analiziraćemo proširenu supersimetriju. Pokazaćemo da centralno naelektrisanje komutira sa svim generatorima superalgebre, tako da čine abelovu invarijantnu podalgebru. a) Polazeći od super-jakobijevog identiteta za operatore B l, Q A α, Q B β ) pokazati da važi [B l, Z AB ] = b l ) B CZ AC + b l ) A CZ AB. Pošto je Z AB = λ ABl B l onda iz prethodnog rezultata lako sledi [Z CD, Z AB ] = λ CDl b l ) B CZ AC + b l ) A CZ AB ). b) Polazeći od super-jakobijevog identiteta za operatore Q A α, Q B β, Q Ċ α ) pokazati da je [ Q Ċ α, ZAB ] = 0. c) Iz rezultata dobijenog u delu b) zaključiti da je λ ABr b r ) C D = 0 što znači da je [Z CD, Z AB ] = Lagranžijan bezmasenog Wess-Zumino modela je L = µ A µ A + 2 i ) ψ σ µ µ ψ + ψ σ µ µ ψ + F F. Pokazati da je Neterina struja za supersimetrične transformacije j µ α = 2σ ν σ µ ψ) α ν A j µ α = 2 ψ σ µ σ ν ) α ν A. 0.3) 3

4 Odrediti supersimetrične generatore Q α, Q α i pokazati da je {Q α, Q α } = 2σ µ α α P µ. 0.4) 22. Naći a µ µ + ξ α Q α + ξ α Q α )x ν kao i [δ η, δ ξ ]x ν. 23. Pod dejstvom simetrije polja ϕ n transformišu se prema ϕ n = U θ ϕ n U θ = e iθa Q a ϕ n e iθa Q a = e iθa T a) nj ϕ j, 0.5) gde su Q a operatori simetrije, a T a su matrice koje zadovoljavaju istu Lijevu algebru kao i naboji: [Q a, Q b ] = if abc Q c, [T a, T b ] = if abc T c. 0.6) Iz zakona transformacije je jasno da je infinitezimalna transformacija polja data sa δ θ ϕ n = [iθ a Q a, ϕ n ] = iθ a T a njϕ j. 0.7) a) Pokazati da infinitezimalno važi U θ U ϵ = + iθ a Q a + iϵ a Q a θ a Q a )ϵ b Q b ) 0.8) b) Primenimo dve sukcesivne transformacije, prvo sa parametrom θ a zatim sa ϵ. Pokazati da je gde je c) Pokazati da važi Uϵ U θ ϕ n U θ U ϵ ϕ n + δ θ ϕ n + δ ϵ ϕ n + δ ϵ δ θ ϕ n, 0.9) δ ϵ δ θ ϕ n = [ iϵ a Q a, [ iθ b Q b, ϕ n ]]. 0.0) δ ϵ δ θ ϕ n = iθ a T nj iϵ b T b jmϕ m ). 0.) d) Pokazati da je [δ ϵ, δ θ ]ϕ n = δ i[ϵ,θ] ϕ n. 0.2) 24. Ako je element supergrupe do na Lorencove transformacije) Gx, θ, θ) = e ixµ P µ +θq+ θ Q) naći proizvod Gx, θ, θ)ga, ξ, ξ). Ovo množenje koji reprezentuje desno dejstvo grupe na superprostoru, indukuje transformaciju superkoordinata. Naći ovu transformaciju i pokazati da važi δz M = a µ µ + ξ α D α + ξ α D α )z M. 4

5 25. Superkovarijantni izvodi su dati sa Naći {D α, D β}. 26. Kiralno superpolje je D α = α iσ µ α β θ β µ D α = α + iθ β σ µ β α µ. Φy, θ) = Ay) + 2θψy) + θθf y), gde je y µ = x µ iθσ µ θ. Izraziti ga preko koordinata x, θ, θ ekspanzijom gornjeg izraza. 27. Polazeći od zakona transformacije kiralnog superpolja δφ = ξq + ξ Q)Φ, gde su diferencijalni operatori Q i Q dati sa Q α = α + iσ µ α β θ β µ, Q α = α iθ β σ µ β α µ izvesti zakone transformacije komponenti kiralnog multipleta. 28. Pokazati D α y µ = 0 i D α ȳ µ = Pokazati D2 D 2 Φ = 6 Φ. 30. Kinetički supermultiplet T Φ definisan je sa T Φ = 4 D 2 Φ. To je očigledno kiralno superpolje. Naći njegove komponete A, Ψ, F). 3. Pokazati D α W α = D α W α. 32. Izračunati e V u WZ gaugu. 33. Pokazati da je veličina W α = 4 D 2 D α V gauge invarijantna. 34. Pokazati da postoji supergauge transformacija vektorskog potencijala koja očuvava Wess-Zumino gauge. 5

6 35. Za superpotencijal W = mϕ 2 ϕ 3 + y 2 ϕ ϕ 2 3 izračunati potencijal V. Pokazati da SUSY vakum je ϕ = v, ϕ 2 = 0, ϕ 3 = 0. Razviti oko vakuuma i naci masenu matricu M ϕ. 36. Na času je pokazan zakon transformacije vektorskog polja u Ves-Zumino gauge pri transformacijama koje očuvavaju WZ gauge δv W Z = iλ Λ ) + i 2 [V W Z, Λ + Λ ]. 0.3) Polazeći od ovog izraza na času je nadjeno δv a µ; nadjite δλ i δd. 37. Proveriti Dθ 2 θ 2 ) 2 = 4e iθ θ 2 )σ µ θ µ D θ 2 θ 2 ) 2 = 4e iθ σ µ θ θ 2 ) µ D 2 D 2 θ θ 2 ) 2 θ θ 2 ) 2 = 6e iθ σ ν θ +θ 2 σ ν θ 2 2θ σ ν θ 2 ) ν D 2 D θ 2 θ 2 ) 2 θ θ 2 ) 2 = 6e iθ σ ν θ +θ 2 σ ν θ 2 2θ σ ν θ 2 ) ν 0.4). 38. Matrica M data je sa m M = D 4 2 P ξp 2 + P T )) ) P 2 ξp + P T )) δ 8) z z ). m 4 D2 Proveriti da je njena inverzna matrica data sa M = ξ m D 2 +m 2 4 P +P T P 2 +m 2 P 2 +P T ξ P +m 2 m D2 +m 2 4 ) 0.5) δ 8) z z ). 0.6) 39. Pokazati d 8 z D 3 α S) 6 D α D α + 4 Dα α D ) D α S = d 8 z SP 2 +P T )S. 0.7) 40. Na predavanjima je izračunati sledeći superpropagatori m D 2 0 T Sz )Sz 2 ) 0 = i + m 2 δ 8) z z 2 ) 4 0 T Sz ) Sz m D2 2 ) 0 = i + m 2 δ 8) z z 2 ) 4 0 T Sz ) Sz 2 ) 0 = i P 2 + P T ξ 0 T Sz )Sz 2 ) 0 = i P + P T ξ 6 P ) + m 2 δ 8) z z 2 ) P ) 2 + m 2 δ 8) z z 2 ).

7 Primenom Φ = 4 D 2 S, Φ = 4 D2 S 0.8) pokazati sledeće propagatore 0 T Φz )Φz 2 ) 0 = im 4 D 2 + m 2 δ8) z z 2 ) D 2 0 T Φz ) Φz 2 ) 0 = im 4 + m 2 δ8) z z 2 ) 0 T Φz ) Φz 2 ) 0 = i D 2D2 6 + m 2 δ8) z z 2 ). 4. Polazeći od izraza sa superpropagatore odrediti 0 Ax )A x 2 ) 0, 0 ψ α x ) ψ βx 2 ) 0, 0 Ax )F x 2 ) Pokazti da je Ω Φz) Ω = 0 u WZ modelu, tj. da tadepole dijagram isčezava. 7