5.1 Razvoj kontinualnih periodičnih signala u Furijeov red

Transcript

1 Glava 5 FURIJEOV RED Priliom analize i obrade signala veoma je pogodno predstaviti složeni signal ao linearnu ombinaciju prostijih signala. Osim što ovava predstava daje bolji uvid u prirodu signala, slijedeći princip linearnosti, obradu složenog signala možemo pojednostaviti putem obrade jednostavnih signala. Ideja razlaganja signala na prostoperiodične omponente esponencijalnog (osinusnog, sinusnog) oblia potiče s raja 8. vijea, ada je francusi matematičar, fizičar i istoričar Furije (Jean Baptiste Joseph Fourier, ), priliom proučavanja oscilacija u fizici, tvrdio da se periodične ontinualne funcije mogu razložiti na prostoperiodične omponente. On je svoja istraživanja poušao da publiuje 87. godine, ali tadašnja matematiča javnost ih nije prihvatila. Rezultate istraživanja je Furije objavio 8. godine u svojoj njizi o prostiranju toplote (héorie analytique de la chaleur), ali je njegova teorija priznata te naon formalnih doaza oje je proveo matematičar Dirihle (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ) 89. godine. Naon toga, Furijeova teorija je našla veoma širou primjenu u mnogim oblastima naue: teoriji brojeva, ombinatorici, numeričoj analizi, statistici, teoriji vjerovatnoće, riptografiji, optici, austici, oeanografiji, a posebno u analizi i obradi signala.

2 GLAVA 5 5. Razvoj ontinualnih periodičnih signala u Furijeov red Pretpostavimo da možemo izvršiti deompoziciju periodičnog ontinualnog signala xt () na jednostavne omplesne esponencijalne signale jω t Ce, C : jω t π x () t Ce, Ω,. (5.) Pri tome je osnovni period signala, a varijabla Ω ima prirodu učestanosti. Ovaav zapis signala nazivamo razvojem signala u Furijeov red (Fourier Series j t FS). Signali Ce Ω se nazivaju harmonijse omponente signala ili harmonici, a razvoj signala u Furijeov red harmonijsa analiza. Osnovni ili prvi harmonici su j t omponente C e ± Ω ± Furijeovog reda, do je C jednosmjerna omponenta i predstavlja srednju vrijednost signala. Da bi jednaost (5.) bila zadovoljena, neophodno je odrediti omplesne oeficijente C, oje nazivamo spetralni oeficijenti ili oeficijenti Furijeovog reda. jlω t Naon množenja jednaosti (5.) sa e, l i integracije na jednom periodu dobijamo: Budući da je za t+ t+ jlωt jlωt jωt () t t t+ j ( l) Ωt C e dt. t xte dt e Ce dt l (5. ) a za l + ( ) Ω j ( l) Ωt e e dt, (5.3) t j l t t ( l) j Ω t + t t+ t+ j ( l) Ωt t+ e dt dt t t, (5.4) t t 8

3 Furijeov red desna strana jednaosti (5.) jednaa je nuli za svao, osim za l, pa dobijamo: odale slijedi: t+ t+ jlωt j ( l) Ωt x () t e dt C e dt C l, (5.5) t t t+ jωt C x() t e dt, t. (5.6) Pošto je vrijednost integrala (5.6) jednaa na svaom periodu, radi lašeg pisanja usvojićemo sljedeću notaciju pri računanju oeficijenata Furijeovog reda: Sljedeće dvije jednaosti: jωt C x() t e dt,. (5.7) jω t π x () t Ce, Ω, (5.8) jωt C x() t e dt,, (5.9) predstavljaju Furijeov transformacioni par za ontinualne periodične signale. Prva jednaost transformacionog para, oja predstavlja periodičan ontinualan signal ao sumu elementarnih omplesnih esponencijalnih funcija, je formula za sintezu signala, do je druga jednaost, oja nam govori o vrijednostima oeficijenata Furijeovog reda ojima se množe elementarne omplesne esponencijalne funcije priliom sinteze signala, formula za analizu signala. Sup od besonačno mnogo spetralnih oeficijenata jarg C { C C e }, oje nose informaciju o elementarnim funcijama j t oblia Ce Ω na oje se razlaže ontinualan periodični signal xt (), naziva se spetar signala. Spetar periodičnih signala je linijsi (disretan) jer je definisan samo u disretnim, evidistantnim, tačama Ω Ω frevencijse ose. 9

4 GLAVAA 5 (a) (b) Slia 5. Prim mjerr (a) amplitudnog i (b) faznogg spetra periodičnogg signala. Modul oeficijenataa FurijF jeovog redaa C naz zivamo amplitudni spetar signala, a argument oe eficijenataa Furijeovogg redaa θ argcc nazivamo fazni spetar signala. Način grafiče predstave spetra periodičnih ontinualnih signala priazan jee na Slici 5.. Amplitudni spetar nosi informacijuu o modulima, a faznf ni spetarr o fazama (pomau u vremenu) pojedinačnihh elementarnihh omplesnih esponencijalnih funcija čijim sumiranjemm see dobija posmatrani signal. KonK ncept sintezee signala preo linearne ombinacije trigonometrijsih funcija priazan je na Slici 5.. Posmatrajući izraz za analizu signalaa (5.9),, jasnoo je daa postoje signali oji se razliujuu u onačnom brojuu izolovanih singularitetaa (preidnihh tačaa), a imaju jednae oeficijente Furijeovog reda, jer na vrijednost integrala

5 Furijeov red jωt C x() t e dt, ne utiče onačan broj vrijednosti u izolovanim tačama. Zbog ontinualnosti omplesne esponencijalne funcije e jω + jω t jω t jω t e e e, pa dobijamo: je ( ) ( ) j ( ) t j t + Ω Ω + j Ω + t + t vrijedi da xt xt Ce Ce Ce xt. (5.) Reonstrucijom signala na osnovu oeficijenata Furijeovog reda u tačama disontinuiteta t reonstruiše se srednja vrijednost: xt + ( ) xt ( ) + xt ( ). (5.) Dale, originalni i reonstruisani signal se mogu razliovati u onačnom broju disretnih tačaa. Da bi razvoj signala u Furijeov red bio moguć, potrebno je da integral i suma, u jednaostima za analizu i sintezu signala, onvergiraju. Dovoljne uslove za egzistenciju razvoja signala u Furijeov red formulisao je njemači matematičar Dirihle, te se zato i nazivaju Dirihleovi uslovi. Prema tim uslovima, za egzistenciju Furijeovog reda neophodno je da signal:. bude apsolutno integrabilan na bilo om otvorenom intervalu t+ trajanja jedne periode, tj. da je xtdt () <; t. ima onačan broj minimuma i masimuma na bilo om otvorenom intervalu trajanja jedne periode t < t < t + ; 3. ima onačan broj disontinuiteta (preida prvog reda) na bilo om otvorenom intervalu trajanja jedne periode t < t < t +.

6 GLAVAA 5 Komponente: (a) jednosmjernaa (b) sin ( Ω t ) (c) cos( Ω t ) (d) sin ( Ω Ω t ) (e) cos( Ω Ω t) ( (f) sin 3Ω t ) (g) cos( 3Ω Ω t) Slia 5. Priazz signala prep o linearne ombinacijee prostoperiodičnih funcija: (a) jednosmjerna omponenta i (b-g) prostoperiodične omponente (nastava na sljedećoj stranici);

7 Furijeov red (h) (i) (j) () (l) (m)( (n) Slia 5. (nastava): (h) a; (i) a+b; (j) a+b+c; () a+b+c+d; (l) a+ b+ +c+ d+ +e; (m)) a+ +b+ +c+ +d+ +e+ +f i (n) a+b+c+d+e+f+g. 3

8 GLAVAA 5 Slia 5.3 Sinusoida promjenljivee učestanosti saa besonačno mnogoo minim imumaa i masimumaa unutar jednog perioda. Uslov apsolutnee integrabilnosti garantuje da onačni: su svi članovi Furijeovog reda C x ( t) e Ω t dtt jω x t)e ( ) jωt dtt x () t dt <. (5.) U prasi se vrlo rijetoo javljajuu signali oji ispunjavaju uslov apsolutne integrabilnosti, a nee ispunjavajuu jedann ilii oba preo ostala Dirihleova uslova. Primjer signala oji je apsolutno integrabilan, ali ne zadovoljava drugi Dirihleov uslov jerr ima besonačnoo mnom ogo minimumaa i masimumaa unutar jednog perioda, je x( ( t ) sin π, < t t ; x ( t ) x( (t + n ), n, priazan na Slici 5.3. Primjer signala oji je apsolutno integrabilan, ali nee zadovoljava treći Dirihleov uslov, priazann jee na Slicii Posmatrajući taj signal vidimo da je svaii period sign nalaa podijeljen na besonačno mnom ogo intervala, taoo daa jee prvi interval jedna polovini perioda signala, a svai naredni dva puta raći od o prethodnog. U svas om od o tih besonačnoo mno ogoo intervala vrijednostt signala je onstantna i dva d puta manm nja u odnosuu na vrijev ednost u prethodnomm intervalu. Prema tome, unutar jednog perioda signal ima besonačno mnogo disontinuiteta. 4

9 Furijeov red Slia 5.4 Signal sa besonačno disontinuiteta unutar jednog periop oda. 5.5 Furijeov red realnih signala Svi prethodno izvedeni izrazii vrijede ao zaa realne, tao i za z omplesne signale. Ipa,, u prasi see najčešće radii sa realnim signalima, pa ćemoo stogaa u analizi oja slijes edi u ovo om poglavljuu uvesti tavu pretpostavu. Ao je signal realan, za oeficijente Furijeovog reda: C x () t dt, j e Ω t d (5.3) vrijedi da je: C x t () dt, j e Ω t d, (5.4) C x t ( ) j Ω ) e t d dt,. (5.5) Iz jednaosti (5.4)) i (5.5) jasno slijedi da je: 5

10 GLAVA 5 Budući da je: C C. (5.6) C C, (5.7) argc argc, (5.8) zaljučujemo da je amplitudni spetar realnih signala parna, a fazni spetar neparna funcija: C C, (5.9) argc argc. (5.) Uvedimo oznau θ argc. Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spetra, realni dijelovi oeficijenata Furijeovog reda realnih signala: Re { } C C cosθ (5.) su parni, do su imaginarni dijelovi oeficijenata Furijeovog reda realnih signala neparni: Im { } C C sinθ. (5.) Na sličan način parnost i neparnost signala u vremensom domenu utiče na oeficijente Furijeovog reda realnih signala. Poazaćemo sada da su oeficijenti Furijeovog reda parnih realnih signala realni, do su oeficijenti Furijeovog reda neparnih realnih signala čisto imaginarni. Svai signal može da se razloži na njegov parni { x () t} i neparni { xt ()} dio: Znajući da je: () () { } { ()} xt xt + xt. (5.3) ( ) ( ) { } { ()} x t x t x t, (5.4) parni i neparni dijelovi signala se mogu odrediti na osnovu sljedećih izraza: 6

11 Furijeov red () + ( ) xt x t { xt ()}, (5.5) () ( ) xt x t { xt () }. (5.6) Posmatrajmo sada oeficijente Furijeovog reda parnog i neparnog dijela signala: C { x() t } + { x() t } cos( Ωt) jsin ( Ω t) dt C + jc. (5.7) r i Koeficijenti Furijeovog reda parnog dijela signala: { xt ()} cos( Ω tdt ) j { xt ()} sin ( Ω tdt ) { xt ()} cos( Ωtdt ) { } ( ) (5.8) su realni, jer je integral neparne funcije xt () sin Ωt na jednom periodu jedna nuli, do su oeficijenti Furijeovog reda neparnog dijela signala čisto imaginarni: { xt ()} cos( Ω tdt ) j { xt ()} sin ( Ω tdt ) j { x() t } sin ( Ωt) dt, { } ( ) (5.9) zbog toga što je integral neparne funcije xt () cos Ωt na jednom periodu jedna nuli. Stoga vrijedi da je: 7

12 GLAVA 5 Cr { x() t } cos( Ωt) dt, (5.3) Ci j { xt ()} sin( Ωtdt ), (5.3) što znači da parni dio signala generiše realni dio Furijeovog reda, do neparni dio signala generiše imaginarni dio Furijeovog reda. 5.3 rigonometrijsi obli Furijeovog reda Realne ontinualne periodične signale možemo, osim preo omplesnog, predstaviti i preo trigonometrijsog oblia Furijeovog reda. Uz oznau j C C e θ, oristeći parnost amplitudnog (5.9) i neparnost faznog spetra (5.), dobijamo: () jωt jωt jωt xt Ce Ce + C+ Ce jωt jωt C + C e + C e j ( Ω t+ θ ) j ( Ω t+ θ ) C + C e + e ( θ ) C + C cos Ω t+. Konačan trigonometrijsi obli Furijeovog reda je: (5.3) () + ( cos Ω + sin Ω ) xt a a t b t, (5.33) gdje su oeficijenti u razvoju signala dati sa: 8

13 Furijeov red a a b C, C cos θ, C sin θ. (5.34) 5.4 Parsevalova teorema za ontinualne periodične signale Za proizvoljan omplesan signal, trenutnu snagu definišemo sa px () t x() t x () t x() t. Srednja snaga periodičnog signala je jednaa integralu trenutne snage na jednom periodu: Px px() t dt. Periodični signali imaju besonačnu energiju, ali onačnu srednju snagu: Px x() t dt. (5.35) Pri razvoju signala u Furijeov red spetralni oeficijenti nose potpunu informaciju o signalu, jer je na osnovu njih moguće tačno reonstruisati signal, osim eventualno u onačno mnogo izolovanih tačaa. Znajući to, za očeivati je da srednju snagu signala možemo izračunati na osnovu njegovih spetralnih oeficijenata. Polazeći od izraza za sintezu signala: jωt xt () Ce (5.36) i njegovog onjugovano omplesnog oblia: slijedi: jωt x () t C e (5.37) 9

14 GLAVA 5 jωt Px x() t dt x() t x () t dt x() t C e dt jω t C x() t e dt C C. C Konačno imamo: (5.38) Px x() t dt C. (5.39) Poslednja jednaost, oja se naziva Parsevalova teorema za periodične ontinualne signale, govori o održanju snage pri prelasu iz vremensog u transformacioni (frevencijsi) domen, tao da srednju snagu signala možemo, osim u vremensom domenu, računati sumirajući vadrate oeficijenata amplitudnog spetra. Na osnovu Parsevalove teoreme, srednja snaga složenoperiodičnog signala je jednaa sumi snaga pojedinačnih harmonia. jm t Posmatrajmo prostoperiodični esponencijalni signal xt () Ce Ω m. Jednostavnim poređenjem sa (5.) zaljučujemo da svi oeficijenti C Furijeovog reda, osim za m, moraju biti jednai nuli. U spetru signala se pojavljuje samo jedna omponenta na učestanosti mω. Srednja snaga signala je jednaa snazi te harmonijse omponente, P C m. Za realni prostoperiodični signal: ( Ω + θ ) ( Ω + θ ) jm t m jm t xt () m e + e Cm cos( mω t+ θm) Cm jmωt jmωt ( Ce m + Ce m ), (5.4) u spetru signala se pojavljuju dvije omponente na učestanostima ± mω, C, gdje smo oristili oznau j m vrijednosti m signala je jednaa: C C e θ. Srednja snaga ovog m P Cm + Cm Cm. (5.4) m

15 Furijeov red Sliaa 5.55 Primjer spetraa snage signala. DistD tribucija snage poo spetralnim omponentama zavisi i odd vremensog oblia signala. Sup frevencijsih omponenti { C } }, se u literaturi naziva spetralnaa gustina snage, gustinaa spetra snags ge ili rato spetar snagee signala. Za realne signale vrijedi C C, što značii da jee spetarr snage parna funcija. Primjerr gustine spetra snas age signala dat je na Slicii Prim mjerr 5. : OdrO rediti i nacrtati spetar signalaa x ( t ) cos( πt). Rješe enje: : PoreP eđenjem sa opštimm obliom cos( c (ππ F t, odredimo period signala: ) π F ππ F 5Hz 5Hz ms. Koe eficijenti FurF rijeovog redaa suu dati sa: (5.4)

16 GLAVA 5 te je: jωt C x() t e dt, Z, (5.43) ms jπt C 5Hz cos( π t) e dt ms ms ms ( π ) ( π ) ( π ) 5Hz cos t cos t jsin t dt. (5.44) Imaginarni dio podintegralne funcije je neparna funcija vremena, te je integral tog dijela na jednom periodu jedna nuli. Zbog toga je: ms ms ( π ) ( π ) C 5Hz cos t cos t dt. (5.45) Ao se posmatra grafiči priaz proizvoda dvije osinusoide učestanosti Ω i Ω, (na Slici 5.6 je ilustracija za 4 ), lao je uočiti da je površina ispod tog proizvoda na jednom periodu jednaa nuli, te je prethodni integral jedna nuli za svao, osim za ± : ( πt) ms ms + cos C± 5Hz cos ( π t) dt 5Hz dt ms ms 5Hz ms, jer je i integral osinusoide učestanosti Ω na jednom periodu jedna nuli. Dale, C (5.46), ±. (5.47), ± Amplitudni spetar datog prostoperiodičnog signala sa Slie 5.7(a) priazan je na Slici 5.7(b). Signal je paran i realan, pa su njegovi oeficijenti Furijeovog reda realni, a amplitudni spetar paran. Fazni spetar je jedna nuli.

17 Furijeov red (a) (b) (c) Slia 5.6 Proizvodd harmonijsih omponenti: (a) prostoperiodični signal učestanosti Ω ; (b) prostoperiodični signal učestanostii 4ΩΩ i (c)) proizvod cos Ω t) cos(4ω t ). ( c 3

18 GLAVAA 5 (a) (b) Slia 5.7 (a) Prostoperiodični signal i (b) njegn gov amplitudni spetar. Do ovog rješenja smo mogli doćii jednostavnije, dired etnim poređenjem j π 5 t j e + e signala x ( t ) cos( πt) π 5t saa izrazomm za sintezu signala pomoćuu Furijeovogg reda x ( t ) Ce j e Ω t. ao zaljučujemo da je osnovna rad učestanost Ω ππ 5 s, te da suu svi oeficijenti Furijeovog reda jednai nuli, osim za ±, adaa imajuu vrijednostt. 4

19 Furijeov red Prim mjerr 5.: OdrO rediti i nacrtati spetar signalaa x ( t ) cosω Ω t + cos Ω t + cos5ω Ω t. Rješe enje: : ππ OvajO j složenoperiodični signal je periodičann sa osnovnimm periodom Ω, a spetralnee omponentee signala suu definisane za disretne učestanosti Ω ΩΩ. Svii oeficijentii Furijeovogg reda su jednai nulii osim za ±, ±, ± 5, adaa imaju vrijednost,5. Amplitudni spetarr datog složenoperiodičnog signala dat je na Slici Fazni spetar je jedna nuli. (a) (b) Sliaa 5. 8 (a) Složenoperiodični signal i (b)) spetar togg signala. 5

20 GLAVAA 5 Primjer 5.3: Odrediti i nacrn rtati oe ficijente impulsaa priazane na Slici Furijeovog reda povore pra avougaonih Slia 5.9 Povoraa pravougaonihh impulsa. Rješenje: Koeficijenti Furijeovog reda: C x t ( ) ) e jωt t dt Ae dt j e Ω t d (5.48) za imaju oblio : jω t A e C j Ω A e Za dobijamo srednju vrijednost signala: : j Ω AA sin Ω A A sinc Ω sinc π. Ω e j Ω jω e A j e j Ω j Ω Ω (5.49) C x t)e ( ) jω t dt A Adt. (5.5) 6

21 Furijeov red Slia 5.5 Koeficijenti Furijeovog reda povore pravougaonih impulsa sa Slie 5.9. Budu ući da jee signal paran, njegovi oeficijenti Furijeovog reda su realni i mož žemo ih jednostavno priazatii grafiči, ao na Slici 5.. Pod uslovom daa je racionalan broj, nule u spetruu signalaa se pojavljujuu na n disretnim učestanostima: Ω Ω n nπ Ω nπ, (5.5) inačee spetarr nemaa nule,, a aoo bii see nacrtalaa anvelopa oeficijenata Furijeovog n π redaa naa ontinualnoj osi Ω, nule te anvelopee bi bile za Ω. 7

22 GLAVAA 5 Primjer 5.4: Pronaći srednjuu snaguu signala sa Slie 5. sadržanu u dijelu do prve nulee u njegovom spetru. Periodd signala jee, a širina impulsa 4. Amplituda impulsa je A. Slia 5. Povora pravougaonihh impulsa. Rješenje: Odnos polovine širinee impulsa i periodaa signala je: Osnovna učestanost signala je:.. (5.5) π Ω 8ππ. 4 Koeficijenti Furi ijeovog redaa zaa su: (5.53) C A sinc Ω Ω A sinc c π ππ sinc, 5 5 (5.54) do je: C AA 5. (5.55) 8

23 Furijeov red Slia 5. Koeficijenti Furijeovog reda signalaa sa Slie 5.. Prva a nula u spetruu signala nastupa za: π π π ΩΩ 5. Na Slici 5.. priazani suu oeficijenti Furijeovogg reda datogg signala. UuU upna srednjaa snagaa signala je j jednaa: (5.56) Srednjaa snagaa sadržana u harmonicima do prve nule u spetru signala je: P 5 C + P ( C + 5 5,8. + C x ( t) dt + C sinc 3 π + s 5 sincc + C 4 ) x ( t) π 5 dt 4 + sinc 3π + sinc 5 PrimP mjetimo da je približno 9% od uupne srednje snage signala sadržanoo u prvihh pet oeficijenata Furijeovogg reda. AoA o bismo zanemarili sve ostale omponente i reonstruisali signal samo na n osnovu prvih pet oeficijenata Furi jeovog reda, dobili bismoo približann obli signala. Ovaa činjenica se oristi priliomm ompresije signala, gdje se, umjesto ompletnog signala u 4 4 d dt,. 4 4π 5 (5.57) (5.58) 9

24 GLAVA 5 vremensom ili transformacionom domenu, memoriše i prenosi samo dio oeficijenata iz transformacionog domena oji nose najviše informacija o signalu. 5.5 Generalisani Furijeov red Razvoj signala u Furijeov red predstavlja samo jedan od mogućih oblia predstavljanja signala preo elementarnih funcija, pri čemu su te elementarne jω t funcije oblia ϕ (), t e. Osim preo omplesnih esponencijalnih funcija različitih učestanosti, poazaćemo da je razvoj signala moguć i preo drugih supova ortogonalnih funcija. Posmatrajmo sup funcija: { ϕ () t,, ϕ () t, ϕ() t, ϕ() t, ϕ () t, }. (5.59) Ao su funcije iz datog supa, oje mogu biti i omplesne, definisane na intervalu t t t i tave da na tom intervalu postoji integral umnoša ϕi() t ϕ j() t bilo oje dvije funcije iz tog supa, ažemo da je dati sup funcija ortogonalan na intervalu t t t ao vrijedi:, i j ϕi() t ϕj() t dt. (5.6) const, i j t t Ao uz to vrijedi da je const, tao da je:, i j ϕi() t ϕj() t dt, (5.6), i j t t ažemo da je sup funcija ortonormalan na intervalu t t t. Na primjer, prebrojiv sup omplesnih esponencijalnih funcija: jωt {,, jω t,, jω t, jω t e e e e, }, (5.6) 3

25 Furijeov red na oje se vrši razvoj signala preo Furijeovog reda, je ortogonalan na intervalu π t i svaom drugom intervalu veličine osnovnog perioda. Ω Za sup funcija ažemo da je ompletan ao ne egzistira niti jedna funcija ψ () t van tog supa za oju vrijedi da je ortogonalna na sve funcije iz datog supa: t t Na primjer, sup funcija: () t () t dt () t ψ ϕ i, ϕ ψ i. (5.63), ( i ) < t< i, i,... N, N ϕi () t N N, (5.64), za druge vrijednosti t je ortogonalan na intervalu t ψ () t, ali nije ompletan jer egzistira funcija:, t N, t, (5.65) N N, t N oja je ortogonalna na datom intervalu na sve funcije iz datog supa. Razmotrimo sada mogućnost razvoja signala preo funcija iz prebrojivog supa ortogonalnih funcija: { ϕ () t,, ϕ () t, ϕ() t, ϕ() t, ϕ () t, }. (5.66) Pretpostavimo da signal možemo predstaviti težinsom sumom ovih funcija: () ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () xt + c t + + c t + c t + c t + + c t + (5.67) Da bi to bilo moguće, potrebno je pronaći način za određivanje oeficijenata c, u navedenoj težinsoj sumi. S tim ciljem, pomnožimo 3

26 GLAVA 5 prethodnu jednaost sa funcijom ϕ () t i pronađimo integral na intervalu t t t, na om su funcije iz navedenog supa ortogonalne: t t () ϕ () xt tdt t t t ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () ϕ () + c t t dt+ c t t dt+ c t t dt+ + + t t t (5.68) Zbog ortogonalnosti funcija, svi integrali s desne strane jednaosti (5.68), t osim ϕ() t ϕ() t t dt, su jednai nuli, pa se vrijednosti oeficijenata u razvoju (5.67) mogu odrediti na sljedeći način: c t t () ϕ () xt t,. (5.69) t ϕ t dt () t ϕ () tdt Razvoj signala preo ortogonalnih funcija (5.67) nazivamo generalisani Furijeov red, a oeficijente tog razvoja (5.69) oeficijentima generalisanog Furijeovog reda. Specijalan slučaj ovog razvoja predstavlja razvoj preo jω t omplesnih esponencijalnih funcija ϕ (), t e, oje su π ortogonalne na intervalu t Ω oeficijentima Furijeovog reda:. Koeficijenti c su tada jednai jer je: jωt c C x() t e dt,, (5.7) jωt jωt ϕ () t ϕ() t dt e e dt dt, (5.7) a razvoj signala preo ortogonalnih funcija (5.67) postaje razvoj signala u Furijeov red: 3

27 Furijeov red jω t (), xt Ce. (5.7) Svaa elementarna funcija u Furijeovom redu je periodična sa osnovnim periodom, pa prema tome i signal oji se razvija u Furijeov red ao zbir ovih elementarnih funcija mora biti periodičan sa istim osnovnim periodom. 5.6 Preinuti razvoj signala u Furijeov red Ao se posmatra preinuti razvoj signala u Furijeov red, uzimajući onačan broj članova Furijeovog reda u izrazu za sintezu signala (5.8): N j t x N () t Ce Ω, (5.73) N umjesto originalnog signala xt, () dobićemo aprosimaciju signala. Na Slici 5.3 priazana je reonstrucija povore pravougaonih impulsa na osnovu neolio prvih članova Furijeovog reda sa Slie 5.. Na sličan način se definiše i preinuti razvoj signala u generalisani Furijeov red: N () ϕ () x t c t. (5.74) N N Povećavajući broj članova Furijeovog reda, reonstruisani signal postaje sve sličniji originalnom signalu, ali u reonstruisanom signalu uvije ostaju arateristične oscilacije i premašenja čije se amplitude ne smanjuju, već se samo povećava njihova učestanost. Ova pojava nazvana je Gibsov fenomen i o njoj će biti više riječi u Glavi 6. Iao se razlia vrijednosti originalnog i reonstruisanog signala ne smanjuje u svaom trenutu vremena zbog pojave Gibsovog fenomena, poazaćemo da se sa povećanjem broja članova Furijeovog rada smanjuje srednjevadratna greša definisana sa: N () () N. (5.75) J xt x t dt 33

28 GLAVAA 5 (a) (b) (c) (d) Slia 5.3 Aprosimacijaa povore pravougaonihh impulsaa preinutimm razvojem u Furijeov red: (a) N ; (b)) N 3 ; (c) N 5 i (d) N 5. 34

29 Furijeov red Kada se broj članova razvoja u Furijeov red neograničeno povećava, srednjevadratna greša teži a nuli. Jednao vrijedi za razvoj preo bilo og supa ortogonalnih funcija. Doaz: Posmatrajmo aprosimaciju signala datu onačnom težinsom sumom ortogonalnih funcija: N () ϕ () x t a t. (5.76) N N Definišimo mjeru pogreše oju činimo pri ovavoj aprosimaciji signala ao srednjevadratno odstupanje aprosimacije (5.76) od originalnog signala na intervalu ortogonalnosti funcija: t J x() t xn () t dt t t t t N xt () aiϕi() t dt t t t i N t N N xt () aiϕi() t xt () aiϕi() t dt. t t i N i N t (5.77) Minimalna greša se dobija za tave vrijednosti oeficijenata a u razvoju J signala pri ojima je. Pri traženju izvoda isoristićemo činjenicu da je a izvod onjugovano omplesne funcije jedna onjugovano omplesnom izvodu te funcije. Pored toga, priliom određivanja izvoda sume ostaje samo izvod onog člana oji sadrži oeficijent po om se računa izvod. Na taj način za izvod srednjevadratne greše dobijamo: t N N J x() t aiϕi() t x() t aiϕi() t dt a t t a t i N i N t N t N ϕ () t x() t aϕ () t dt+ x() t aϕ () t ϕ () t dt. t (5.78) i i i i t t i N i N t 35

30 GLAVA 5 Integrali u prethodnom izrazu su međusobno onjugovano omplesni, te je dovoljno jedan od njih izjednačiti s nulom ao bi izvod srednjevadratne greše bio jedna nuli. Na taj način dolazimo do uslova pri om se dobija najmanja srednjevadratna greša: t t x() t ϕ () t dt a ϕ () t ϕ () t dt. (5.79) t t Ovaj uslov se, naon operacije onjugovanja, može napisati u evivalentnom obliu: t t x () t ϕ () t dt a ϕ () t ϕ () t dt. (5.8) t t Dale, najmanja srednjevadratna greša pri aprosimaciji signala se dobija ao su oeficijenti u težinsoj sumi jednai oeficijentima generalisanog Furijeovog reda: a t t () ϕ () xt tdt t c t. (5.8) ϕ t dt () t ϕ () U slučaju ovao odabranih oeficijenata pri aprosimaciji signala dobija se minimalna vrijednost srednjevadratne greše, odnosno, greša oja se dobija pri aprosimaciji signala preinutim generalisanim Furijeovim redom: t N t J x t x t dt c t x t dt () () ϕ () () N t t t t t N t N t N t + t t N t t t N t () ϕ () ϕ () ϕ () c x t t dt c c t t dt. (5.8) Pri tome je orišćena osobina ortogonalnosti funcija. Ovaj izraz se može pojednostaviti uvrštavanjem uslova pri ome nastupa minimum: 36

31 Furijeov red t N t J x t dt c c t t dt () ϕ () ϕ () N t t t t t N t što se svodi na: N t N t ϕ ϕ ϕ N t N t () () () c c t t dt + c t dt, t t t t (5.83) t t N J N x() t dt c ϕ () t dt t t. (5.84) t N t Budući da su elementi sume uvije pozitivni, greša aprosimacije signala preo ortogonalnih funcija J N se smanjuje pri povećanju broja članova reda. Kada broj članova neograničeno raste, tj. ada N, srednjevadratna greša aprosimacije teži a nuli i tada vrijedi: t t N t t () ϕ (). (5.85) J x t dt c t dt t jωt Za ϕ () t e integral ϕ () t dt je na osnovnom periodu jedna, te t je poslednji izraz, zapravo, Parsevalova teorema ze periodične ontinualne signale: Px x() t dt C. (5.86) Ovo razmatranje je u sladu sa ranijim primjerima roz oje smo vidjeli da je najveći dio snage signala sadržan u prvih neolio harmonia Furijeovog reda i da se snaga signala, oja se računa preo Parsevalove teoreme, povećava i približava snazi originalnog signala dodavanjem članova iz spetra snage na višim učestanostima. Napomenimo još jednom da ovaj vid onvergencije u normi pri aprosimaciji signala, oji nam govori o tome da se srednja snaga aprosimiranog signala povećava pri povećanju broja članova reda i približava srednjoj snazi originalnog signala, ne znači da aprosimirani signal u svaom 37

32 GLAVA 5 trenutu vremena teži originalnom signalu, te ovu vrstu onvergencije ne treba miješati sa tačastom onvergencijom: N lim N N c ϕ () t f () t. (5.87) Preinuti razvoj signala na ortogonalne funcije ima veliu pratičnu primjenu u ompresiji signala i postao je dio JPEG, MP3 i MPEG standarda za ompresiju slie, audio i video signala. 38