Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku

Transcript

1 Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Karakteristične krive i površi u Hiperboličkoj geometriji Master rad Student: Vuk Vujović Mentor: dr Milan Zlatanović Niš, septembar 2013.

2 Sadržaj 1 Motivacija 4 2 Hilbertov sistem aksioma Pet grupa aksioma Aksioma Lobačevskog Karakteristične krive u Hiperboličkoj geometriji Pramen pravih Sečica jednakog nagiba. Odgovarajuće tačke Trajektorija pramena pravih Ekvidistanta Oricikl Krive koje dopuštaju transformacije podudarnosti na samu sebe 46 4 Karakteristične površi u Hiperboličkoj geometriji Snop pravih Pramenovi ravni u prostoru Lobačevskog Površ nivoa snopa pravih Površ nivoa eliptičkog snopa - sfera Površ nivoa hiperboličkog snopa - hipersfera Površ nivoa paraboličkog snopa - orisfera Površi koje dopuštaju slobodno kretanje u sebi Unutrašnja geometrija fundamentalnih površi Unutrašnja geometrija ekvidistantne površi Unutrašnja geometrija orisfere Unutrašnja geometrija sfere Neke primene Interesantne formule u ravni Lobačevskog Zaključak 101 1

3 Uvod Rad može da posluži kao bogata dopuna za pripremanje, kako usmenog tako i pismenog dela ispita, iz predmeta Neeuklidske geometrije. Sastoji se iz uvoda i sedam poglavlja. Svako poglavlje, podeljeno je na izvestan broj odeljaka. Na kraju nekih od odeljaka nalaze se zadaci (primeri), sa detaljnim objašnjenjem i postupkom za njihovu izradu. Priča o paralelnosti i hiperparalelnosti prožeta je odlomcima iz knjige Euklidov prozor Leonarda Mlodinova. Naveden je, kroz interesantnu interpretaciju Proklov 1 pokušaj, doduše neuspešan, dokaza Petog Euklidovog 2 postulata. Takodje, vratićemo se u doba osamnaestog i devetnaestog veka, doba otkrića Hiperboličkog prostora, i kroz primere uvideti kakav je to prostor zapravo, kao i po čemu se razlikuje od Euklidovog prostora. Na kraju ove glave, dolazimo do otkrića Eliptičkog prostora - prostora površine Zemljine kugle o čemu će biti više reči u petoj glavi. U drugoj glavi navodimo grupe aksioma u geometriji - Hilbertov 3 sistem aksioma. Nakon uvodjenja aksiome paralelnosti u zavisnosti od toga da li je uvedena Plejferova 4 aksioma paralelnosti ili aksioma Lobačevskog 5, Apsolutna geometrija se razvija u dva smera tako da se dobijaju dve potpuno različite geometrije : Euklidska i geometrija Lobačevskog. U trećoj glavi bavimo se Hiperboličkom ravni. Definisaćemo sečicu jednakog nagiba, i uvešćemo pojam odgovarajućih tačaka kao i trajektoriju pramena pravih, a sve u cilju da bi u poglavljima koja slede mogli da definišemo karakteristične krive u ravni Lobačevskog. U okviru ove glave detaljno ćemo obraditi dve krive u ravni Lobačevskog: ekvidistantu i oricikl. Navešćemo neke osobine ovih specijalnih tipova trajektorija pramena pravih. Pokazaćemo da pored prave i kružnice, u ravni Lobačevskog, ekvidistanta i oricikl su krive koje dopuštaju transformaciju podudarnosti na samu sebe, tj. one se mogu transformacijom podudarnosti preslikati na samu sebe. Četvrta glava odnosi se na karakteristične površi u geometriji Lobačevskog. Priču o površima krećemo uvodjenjem pojma snopa pravih, ukazavši na tipove snopova pravih. Pomenućemo površi nivoa snopa pravih, njihove 1 Prokle(grčki: Πρoκλoς),5.v.p.n.e., antički mislilac 2 Euklid (grčki: Eυκλϵιδϵς ), rod en oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz Aleksandrije, antički matematičar 3 David Hilbert ( ), nemački matematičar 4 John Playfair ( ), škotski matematičar 5 Nikolaj Ivanovič Lobačevski ( ), ruski matematičar 2

4 elemente i značajne tačke. Izvršićemo klasifikaciju fundamentalnih površi (zvaćemo ih još C-površima), govorićemo o dijametralnim presecima C-površi sa ravnima, i pritom dobijati odgovarajuće C-krive. Detaljno ćemo ispititati osobine svake od fundamentalnih površi. Nećemo se baviti detaljnim ispitivanjem sfere i njenih svojstava, već ćemo akcenat dati na hipersferu i orisferu. Govorićemo o elementima, značajnim tačkama, dijametralnim presecima ovih površi, i dobijanju odgovarajućih C-krivih, i ukazaćemo da su C-površi u stvari obrtne površi koje se dobijaju rotacijom C-krivih oko odgovarajuće ose. Pokazaćemo da C-površi dopuštaju slobodno kretanje po sebi, a kao posledicu toga imaćemo da su sve orisfere medju sobom podudarne. Šesta glava bavi se unutrašnjom geometrijom fundamentalnih površi. U uvodnom delu ove glave govorićemo uopšteno o unutrašnjoj geometriji kroz motivacione primere za njeno uvodjenje. Zatim izlažemo detaljno ispitivanje unutrašnje geometrije svake od fundamentalnih površi. Pokazaćemo da je unutrašnja geometrija hipersfere Hiperbolička geometrija, dok je unutrašnja geometrija sfere Sferno-eliptička. Svakako jedan od najznačajnijih rezultata u ovoj glavi, ali i u radu inače, jeste dokaz da je unutrašnja geometrija orisfere Euklidska geometrija. Na kraju, u sedmoj glavi ukazujemo na neke primene rezultata. Za rezultate iz ove glave najzaslužniji je podatak do kojeg smo došli u petoj glavi, a to je da je unutrašnja geometrija orisfere Euklidska. To nam omogućava da za trouglove na orisferi važe poznate trigonometrijske relacije za trougao posmatran u Euklidskoj ravni, kao i da definišemo trigonometrijske funkcije za uglove prostora Lobačevskog. Neki od rezultata do kojih dolazimo u ovoj glavi jesu obrazac za obim kružnice, površinu kruga i površinu kružnog isečka u ravni Lobačevskog, dužinu luka oricikla, površinu luka oricikla... 3

5 1 Motivacija Pre dvadeset četiri stoleća jedan Grk stajao je na obali mora i posmatrao brodove kako nestaju u daljini. Aristotel mora da je proveo mnogo vremena na tom mestu, u tišini gledajući brojna plovila, pre nego što mu je konačno sinula neobična pomisao. Brodovima se najpre gubio trup, pa jarboli i jedra. Zapitao se kako je to moguće. Na ravnoj Zemlji brodovi bi trebalo ravnomerno da se smanjuju, sve dok na kraju od njih ne ostane samo tačkica. Okolnost, da najpre nestaje trup, pa tek onda jarboli i jedra, shvatio je Aristotel u trenutku blistavog prosvetljenja, da predstavlja dokaz da je Zemlja okrugla. Do uvidjanja oblika naše planete, u velikim razmerama Aristotel je došao tako što je pogledao kroz prozor geometrije - ovako počinje povest o geometriji Leonard Mlodinov u svome delu Euklidov prozor. Prvi poznati pokušaj da se dokaže postulat o paralelama preuzeo je Ptolomej u drugom veku. On je pretpostavio alterantivni oblik postulata, a onda je iz njega izveo izvorni oblik. Medjutim to je bio samo prividan dokaz, jer se ispostavilo da se neke od najbanalnijih pretpostavki, tako očigledne da čak nisu ni formulisane, u stvari prerušen postulat o paralelama. Dve stotine godina nakon Ptolomeja Prokle Dijadoh upustio se u dokazivanje Petog Euklidovog postulata. Prokle je obrazovanje stekao u Aleksandriji u petom veku, da bi potom prešao u Atinu, gde je došao na čelo Platonove akademije. Dugo je analizirao Euklidovo delo. Imao je pristup knjigama koje su odavno izgubljene, kao što su Eudemova Istorija geometrije (Eudem je bio Euklidov savremenik). Prokle je napisao komenatar prve knjige Elemenata, koji predstavlja izvor glavnine našeg znanja o geometriji antičkih Grka. Da bi razumeli Proklov argument, primenićemo najpre alternativni oblik postulata o paralelama, tj. njegov ekvivalent Plejferovu aksiomu paralelnosti koja glasi: Ako su date prava i tačka izvan nje, postoji jedna i samo jedna prava koja prolazi kroz datu tačku, a koja je paralelna sa datom pravom. Ilustrujmo Proklov argument na sledećem primeru: Zamislimo, na primer, Petu aveniju u Njujorku, a zatim još jednu aveniju, uporedno s Petom, koju ćemo nazvati Šesta avenija. Pod pojmom uporedna 4

6 podrazumevamo, saglasno Euklidu, da se ove dve avenije ne seku. Pretpostavimo, dakle, da Peta avenija ne preseca Šestu. Visoko povrh prodavaca kafe i viršli na Šestoj aveniji uzdiže se dično znanje u kome svoje prostorije ima ugledni izdavač Fri pres. Bez ikakve namere da mu se umanji vrednost, Fri pres će u ovom primeru igrati ulogu spoljne tačke. Shodno matematičkoj tradiciji, imajmo na umu, da je ovo što smo upravo izložili ujedno i sve što možemo da pretpostavimo o ovim ulicama. Iako za potrebe konkretne ilustracije imamo u vidu da dve odredjene avenije kao matematičari ne smemo da koristimo nikakva druga svojstva ovih ulica u dokazu koji izvodimo osim ovih koja smo eksplicitno naveli. Izložimo sada Plejferovu aksiomu u obliku prilagodjenom našem kontekstu: Ako su dati Peta avenije i izdavač Fri pres na Šestoj aveniji, ne može biti drugih ulica u kojima bi takodje bio Fri pres, a koje bi poput Šeste avenije, bile uporedne s Petom avenijom. Ovaj iskaz ne odgovara baš sasvim Plejferovom aksiomu, zato što smo poput Prokla, pretpostavili da postoji bar jedna prava, ili ulica (Šesta avenija), koja je uporedna s datom pravom, odnosno ulicom (Peta avenija). To se naime tek mora dokazati, ali je Prokle protumačio da jedna Euklidova teorema to jemči. Prihvatićemo ovo za sada i videćemo da li na osnovu ovog argumenta možemo da dokažemo aksiomu u obliku u kome je prethodno izložen. Da bismo postulat dokazali, odnosno da bismo ga pretvorili u teoremu moramo da pokažemo da svaki put koji prolazi pored Fri presa, osim Šeste avenije, seče s Petom avenijom. Ovo izgleda očigledno na osnovu našeg svakodnevnog iskustva - zato se ovakve ulice i nazivaju poprečnima. Sve što je ovde neophodno da učinimo jeste da dokažemo pretpostavku bez pomoći postulata o paralelama. Počećemo tako što ćemo zamisliti treću ulicu, čija su jedina svojstva da ide pravo i da prolazi pored Fri presa. Neka bi se ta ulica zvala Brodvej. Saglasno svom metodu dokazivanja, Prokle bi krenuo od Fri Presa i išao Brodvejem na jug. Zamislite neku ulicu koja vodi od mesta gde se Prokle 5

7 zatekao do Šeste avenije. Nazovimo tu ulicu Nikolajeva ulica. Situaciju imate prikazanu na narednom crtežu. Slika Nikolajeva ulica, Brodvej i Šesta avenija obrazuju pravougli trougao. Kako Prokle nastavlja da se kreće Brodvejem, pravougli trougao nastao na ovaj način postaje sve veći. U krajnjoj liniji, strane trougla, uključujući i Nikolajevu ulicu, mogu da se povećaju koliko vam drago, te tako Nikolajeva ulica konačno postaje duža od razmaka izmedju Pete i Šeste avenije. Prema tome, rekao bi Prokle, Brodvej mora da preseče Petu aveniju, a upravo to je i trebalo dokazati. 6

8 Ovaj argument je jednostavan, ali pogrešan. Pre svega, pojam sve veći na izvestan način je zloupotrebljen. Nikolajeva ulica, naime, može da postaje sve veća a da pri tom ostane manja od jednog bloka, slično nizu brojeva 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6... koji postaju sve veći, ali nikada ne nadmašuju jedinicu. Ovaj nedostatak može se otkloniti. No ključni nedostatak jeste to što je Prokle, poput Ptolomeja, upotrebio jednu neosnovanu pretpostavku. Primenio je jedno svojstvo uporednih puteva koje intuitivno izgleda tačno, ali koje nije dokazao. Koja je to pretpostavka? Proklova greška odnosila se na razdaljinu izmedju Pete i Šeste avenije. Podsetimo se kako je to mesto glasilo: Ako slučajno znate [...] da ih razdvaja tolika i tolika razdaljina [...] zaboravite slobodno na sve to. Iako Prokle ne kaže tačno kolika je to razdaljina, on podrazumeva da je ona nepromenljiva. To nam kaže naše iskustvo s uporednim pravim, odnosno s Petom i Šestom avenijom, ali se ne može matematički dokazati bez primene postulata o paralelama: ne razlikuje se od samog postulata. Isti propust promakao je i velikom bagdadskom učenjaku Tabitu ibn Kuri u devetom veku. Detaljnije o tome videti u [3] i [5]. Više od dve hiljade godina nijedan pokušaj da se Peti postulat izvede iz drugih Euklidovih postulata nije doveo do željenih rezultata. Zamenom postulata o paralelama, tokom osamnaestog i devetnaestog veka, pretpostavkom da svaka prava ima ne samo jednu već mnoštvo uporednih pravih koje prolaze kroz neku datu tačku izvan nje, Gaus 6, Boljaj 7 i Lobačevski otkrili su novi prostor - Hiperbolički prostor. Jedna od posledica ove okolnosti jeste da je zbir uglova u trouglu manji od 180 stepeni, i to za broj koji je Gaus nazvao ugaoni defekt. Na drugu posledicu nabasao je Volis: ne postoje slični trouglovi. Ako pak slični trouglovi ne postoje, onda bi prestale da važe mnoge pretpostavke iz našeg svakodnevnog života. Pogledajte odelo u nekom modnom katalogu i pretpostavite da će vam odgovarati ono što će vam stići poštom pošto ga naručite, svejedno što će vam možda biti i desetinama puta veće. Letite avionom uvereni da će oblik krila koji deluje prikladno kod modela iste letelice što ga imate kod kuće biti podjednako delotvoran i kod velikog vazduhoplova. U neeuklidovskom prostoru ništa od ovog ne bi bilo na snazi. Odelo, avion, dodatne sobe - sve bi to bilo izobličeno. Ovakav bizaran prostor postoji, ali pitamo se da li stvarni prostor može imati ta svojstva. Zar ih ne bismo uočili da ih ima? Možda i ne bismo. 6 Johan Karl Fridrih Gaus ( ), nemački matematičar 7 Bolyai Jànos ( ), mad arski matematičar 7

9 Odstupanje od 10 procenata od vašeg uobičajenog osmeha verovatno ne bi promaklo vašoj majci, ali ne i razlika od 0, procenata. Neeuklidovski prostori gotovo su euklidovski za male figure - a mi živimo u srazmerno malom uglu kosmosa. A evo i razloga zbog čega je to tako: naveli smo dve posledice, Gausovu i Volisovu, do kojih se došlo zamenom postulata o paralelama pretpostavkom da svaka prava ima ne samo jednu već mnoštvo uporednih pravih koje prolaze kroz neku datu tačku izvan nje. Ove dve okolnosti stoje u vezi, budući da se ugaoni defekt menja u zavisnosti od veličine trougla - manji trouglovi više su gotovo euklidski. U Hiperboličkom prostoru, euklidovskom obliku može se približavati, ali se on ne može dosegnuti, kao ni brzina svetlosti, odnosno ono što ste zamislili kao svoju idealnu težinu. Majušnom promenom jednog jednostavnog aksioma, preinačenjem postulata o paralelama, izazvan je talas koji se širio kroz korpus Euklidovih teorema, menjajući sve ono što se odnosi na oblik prostora. Kao da je Gaus uklonio staklo s Euklidovog prozora i zamenio ga sočivom koje izobličuje. Dve decenije po otkriću Hiperboličkog prostora otkriven je još jedan tip neeuklidovskog prostora - Eliptički prostor. Eliptički prostor jeste prostor koji dobijate ako pretpostavite jedno drugo narušavanje postulata o paralelama: da uopšte nemate paralelnih linija (odnosno da sve linije u ravni mora da se seku). U ovom radu biće dat akcenat na neeuklidovskom Hiperboličkom prostoru, i posmatranju karakterističnih krivih i površi u njemu. 8

10 2 Hilbertov sistem aksioma 2.1 Pet grupa aksioma Nastavljajući rad svojih prethodnika, tek je nemački matematičar Hilbert zasnovao geometriju na potpunom, neprotivrečnom i nezavisnom sistemu aksioma u svom delu Osnove geometrije iz godine. Za razliku od Euklida, Hilbert ne pokušava da opiše osnovne geometrijske pojmove: tačke, prave, ravni, već ih posredno odred uje preko aksioma. Hilbertova aksiomatika se odnosi na geometrijske objekte koji mogu imati raznovrsna značenja, te je ona formalnog karaktera. Hilbert u Osnovama geometrije uvodi dvadeset aksioma razvrstanih u pet grupa. Danas se koristi sledeći modifikovan Hilbertov sistem: 1. AKSIOME INCIDENCIJE (9 aksioma) 1.1. Svaka prava sadrži najmanje dve tačke A i B Postoji najmanje jedna prava koja sadrži dve tačke A i B Postoji najviše jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke A, B i C Postoji najmanje jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B i C Postoji najviše jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B i C Ako dve razne tačke A i B neke prave p pripadaju nekoj ravni π, tada sve tačke prave p pripadaju ravni π Ako dve ravni α i β imaju jednu zajedničku tačku A, onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku B Postoje četiri nekomplanarne tačke A, B, C i D. 9

11 2. AKSIOME PORETKA (4 aksioma) 2.1. Ako su A, B i C tri kolinearne tačke takve da je B(A, B, C), gde je B relacija izmed u, tada su tačke A, B i C med usobno različite Ako su A i B proizvoljne tačke, postoji najmanje jedna tačka C takva da je B izmed u A i C tj. B(A, B, C) Ako su A, B i C tri tačke jedne prave, najviše jedna se nalazi izmed u ostale dve Ako su A, B i C tri kolinearne tačke ravni π i prava l pripada ravni π, ne sadrži tačku A i seče pravu BC u tački P takvoj da je B(B, P, C), tada prava l seče pravu AC u tački Q koja je izmed u tačaka A i C ili pravu AB u tački R koja je izmed u tačaka A i B. 3. AKSIOME PODUDARNOSTI (5 aksioma) 3.1. Ako su A i B dve tačke prave a i ako je A tačka te iste ili neke druge prave a, onda se uvek na pravoj a sa date strane tačke A može naći tačka B, takva da je duž AB podudarna duži A B, što se označava (A, A) = (B, B) Ako su duži A B i A B podudarne jednoj istoj duži AB, onda je i (A, B ) = (A, B ) Neka su AB i BC dve duži prave a, koje nemaju zajedničkih tačaka i neka su, dalje, A B i B C dve duži te iste ili neke druge prave a, koje takod e nemaju zajedničkih tačaka. Ako je tada AB = A B i BC = B C, onda je i AC = A C 3.4. Neka je dat ugao hk u ravni α, prava a te iste ili neke druge ravni α i neka je, u odnosu na pravu a zadana poluravan ravni α. Neka je, dalje, h poluprava prave a sa početnom tačkom O. Tada u ravni α, kroz tačku O, u datoj poluravni s obzirom na pravu a, prolazi samo jedna poluprava k takva da je hk podudaran uglu h k. Svaki ugao je sam sebi podudaran. 10

12 3.5. Neka su A, B i C tri tačke koje ne pripadaju istoj pravoj i neka su A, B i C takod e tri tačke koje ne pripadaju istoj pravoj. Ako je pri tome AB = A B, AC = A C, BAC = B A C, onda je i ABC = A B C. 4. AKSIOME NEPREKIDNOSTI (1 aksioma) 4.1. (Dedekindova 8 aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dva neprazna skupa tačaka orijentisane prave p tako da za proizvoljnu tačku P skupa M i proizvoljnu tačku Q skupa N važi da je tačka P ispred tačke Q (P Q), tada na pravoj p postoji tačka X takva da je za svaku tačku P M \{X} i Q N \{X} važi relacija P X Q. 5. AKSIOME PARALELNOSTI (1 aksioma) 5.1. (Plejferova aksioma paralelnosti) Ako je p proizvoljna prava i A tačka van nje, tada u ravni π(p,a) postoji najviše jedna prava a, koja sadrži tačku A i nema zajedničkih tačaka sa pravom p. Prva grupa aksioma zasnovana je na relacijama pripada i sadrži se (, ) koje jednim imenom nazivamo relacijama incidencije (veze). Prve četiri aksiome odnose se na geometriju ravni (planimetrijske aksiome incidencije), a ostalih pet aksioma odnosi se na geometriju prostora (stereometrijske aksiome incidencije) Aksioma Lobačevskog Prve četiri grupe aksioma dopuštaju zasnivanje analitičke geometrije. Apsolutna geometrija je zasnovana na ove četiri grupe aksioma. Ukoliko sistemu aksioma Apsolutne geometrije pridružimo Plejferovu aksiomu paralelnosti, dobijamo Euklidsku geometriju. Ali ako sistemu aksioma pridružimo aksiomu Lobačevskog: Teorema (Aksioma Lobačevskog) Za svaku pravu a i svaku tačku A van nje, u njima odred enoj ravni, postoje dve različite prave a 1 i a 2 koje sadrže tačku A i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka. 8 Julius Wilhem Richard Dedekind ( ), nemački matemtičar 11

13 dobijamo Hiberboličku geometriju. Ravan i prostor u kojima važe ove aksiome se nazivaju redom Hiperbolička ravan ili ravan Lobačevskog i Hiperbolički prostor ili prostor Lobačevskog i obeležavaju se sa L 2 i L 3. 12

14 3 Karakteristične krive u Hiperboličkoj geometriji 3.1 Pramen pravih U ovom poglavlju razmotrićemo neka pitanja koja su od važnog teorijskog interesa za geometriju Lobačevskog i za njen položaj prema ostalim geometrijskim sistemima. U Euklidskoj ravni, pod pramenom pravih podrazumevamo takav beskonačan skup pravih te ravni, pri čemu sve prave tog skupa prolaze jednom tačkom ili su medjusobno paralelne. U prvom slučaju kažemo da je to pramen konkurentnih pravih ili eliptički pramen, a u drugom slučaju imamo ortogonalan ili hiperbolički pramen pravih (Slika ). Slika a) Eliptički pramen b) Pramen paralelnih pravih Uvodjenjem pojma paralelnosti u geometriji Lobačevskog u mogućnosti smo da definišemo još jedan pramen pravih - parabolički, za koji u Apsolutnoj geometriji ne može da se ustanovi da li se razlikuje od hiperboličkog pramena ili se od njega ne razlikuje. U Euklidskoj geometriji ti pramenovi se ne razlikuju, pa je prema tome, svaki hiperbolički pramen ujedno i parabolički. Kako se u geometriji Lobačevskog paralelne prave razlikuju od hiperparalelnih to se i parabolički pramen razlikuje od hiperboličkog. Stoga u Hiperboličkoj geometriji razlikujemo tri tipa pramena pravih (Slika ): 13

15 Definicija Eliptički pramen je skup pravih ravni, koje prolaze kroz istu tačku. Ta tačka se naziva središte pramena. Definicija Parabolički pramen je skup pravih ravni, koje su paralelne u istom smeru. Definicija Hiperbolički pramen je skup pravih ravni koje su normalne na istu pravu. Ta prava naziva se bazisna prava pramena. Slika a) Eliptički pramen b) Parabolički pramen c) Hiperbolički pramen Svaki pramen ravni Lobačevskog jednoznačno je odredjen sa ma koje dve prave tog pramena. Takodje, svakom tačkom ravni osim središtem pramena, prolazi jedna i samo jedna prava tog pramena. Posmatrajmo u ravni Lobačevskog dva razna pramena pravih ℵ i ℵ iste ravni. Razmotrimo sledeće : 1. Ako je jedan od tih pramenova eliptički, tada postoji jedinstvena prava koja pripada tim dvama pramenovima pravih, bez obzira na to da li je drugi pramen eliptički, parabolički ili hiperbolički. 2. Ako je ℵ hiperbolički, a ℵ parabolički pramen pravih, postojaće jedinstvena prava koja pripada tim dvama pramenovima pravih ako i samo ako osnovica pramena ℵ nije paralelna pravama pramena ℵ, jer postoji jedinstvena prava upravna na zadatoj pravoj, a paralelna polupravoj koja nije paralelna toj pravoj. 14

16 3. Ako su oba pramena hiperbolička, postojaće jedinstvena prava koja pripada tim dvama pramenovima pravih ako i samo ako su osnovice tih dvaju pramenova medjusobno hiperparalelne prave. Slučaj kada su zadati pramenovi pravih parabolički iskazaćemo u vidu sledeće teoreme : Teorema Neka su ℵ i ℵ dva razna parabolička pramena. Tada postoji jedinstvena prava koja pripada pramenovima ℵ i ℵ. Dokaz: Poznato je da dva razna pramena mogu imati najviše jednu zajedničku pravu. S toga je dovoljno dokazati da postoji prava koja pripada pramenovima ℵ i ℵ. Označimo sa p i q dve poluprave kojima su paralelne prave redom pramenova ℵ i ℵ. Tada poluprave p i q ne sadrže jedna drugu, jer bi se u suprotnom pramenovi ℵ i ℵ poklapali. Ako bi te dve poluprave pripadale jednoj pravoj, onda bi ta prava bila zajednička prava pomenutih pramenova pravih. Slika Neka poluprave p i q pripadaju dvema različitim pravama p i q i neka je Q tačka koja ne pripada tim dvema pravama (Slika ). Označimo sa p i q poluprave sa početkom u tački Q koje su paralelne redom polupravama p i q. Ako poluprave p i q pripadaju jednoj pravoj, onda je ta prava zajednička prava pramenova ℵ i ℵ. 15

17 Neka su p i q kraci nekog konveksnog ugla. Tada bisektrisa s tog ugla razlaže taj ugao na dva oštra ugla, pa postoji jedinstvena prava r normalna na pravu s i paralelna polupravama p i q. Prava r pripada svakom od pramenova ℵ i ℵ jer je paralelna obema polupravama p i q. Pokazaćemo teoremu koja govori o tome da se pri transformaciji podudarnosti ravni na tu istu ravan, parabolički pramen pravih prevodi u parabolički pramen pravih. Teorema Parabolički pramen se preslikava na sebe translacijom duž bilo koje prave koja mu pripada. Slika Dokaz: Neka je dat parabolički pramen pravih ℵ i neka je a proizvoljna prava zadatog pramena. Neka je prava a razložena na poluprave a i a nekom svojom proizvoljnom tačkom, ali tako da su prave pramena ℵ paralelne polupravoj a (Slika ). Označimo sa p i q dve različite proizvoljne prave upravne na pravu a. Osnom refleksijom S p svaka prava pramena ℵ preslikava se u pravu paralelnu polupravoj a. Medjutim, osnom refleksijom S q se ta prava preslikava u neku pravu paralelnu pravoj a, tj. u pravu pramena ℵ. Odavde zaključujemo da kompozicija S p S q pramen ℵ preslikava na sebe Sečica jednakog nagiba. Odgovarajuće tačke Definicija Prava AB je sečica jednakog nagiba pravih AA i BB ako ona sa iste strane obrazuje sa tim pravama podjednake uglove (Slika ). 16

18 Slika Teorema U svakom pramenu pravih, kroz proizvoljnu tačku ma koje prave, prolazi jedna i samo jedna sečica jednakog nagiba ka ma kojoj drugoj pravoj istog pramena. Dokaz: Neka su a A A i b B B dva elementa pramena pravih. Izaberimo na pravoj a tačku A, i obeležimo sa A 1 tačku u kojoj normala iz A na b seče pravu b. Uočimo tačku P izmedju A i A 1 i sa P Q označimo njeno odstojanje od prave a. Kada tačka P opisuje duž AA 1 od A prema A 1, rastojanje P A 1 se stalno i neprekidno smanjuje. S druge strane, pošto je A 1 AA oštar, to odstojanja P Q stalno i neprekidno rastu. Zbog toga postoji tačka O, duži AA 1 tako da je OA 1 = OC, gde je C podnožje normale spuštene iz O na a (Slika ). Slika

19 Obeležimo sa B tačku na pravoj b, tako da se ona nalazi sa one strane prave AA 1 sa koje nije tačka C i BA 1 = CA. Tada su trouglovi OAC i OBA1 podudarni, pa je OA = OB i OBA 1 = OAC. Iz prvog uslova (OA = OB) sledi da je trougao OAB jednakokrak, što znači da je OBA = OAB. Dakle, imamo, A 1 BA = BAC, a to pokazuje da je prava AB sečica jednakog nagiba pravih a i b. Ostaje nam da pokažemo da je AB jedina takva sečica koja prolazi kroz tačku A. Zaista, neka postoji još jedna takva sečica AB 1. Pretpostavimo da je ona takva da je B 1 AC > BAC. Kako je BAC = ABA 1 i B 1 AC = AB 1 A 1, to je AB 1 A 1 > ABA 1. Medjutim, ABA 1 je spoljašnji ugao trougla ABB 1 i prema teoremi 9 iz Apsolutne geometrije mora biti veći od unutrašnjeg neuporednog ugla AB 1 B tog trougla. Dobijena protivrečnost pokazuje da poluprava AB 1 ne može biti takva da je B 1 AC > BAC, što znači da se ona mora poklapati sa polupravom AB. Time je teorema u potpunosti dokazana. Definicija Neka tačka A pripada pravoj a, a tačka B pripada pravoj b. Ako je AB sečica jednakog nagiba pravih a i b, za tačke A i B kažemo da su odgovarajuće tačke pravih a i b. Teorema Ako su A i B odgovarajuće tačke elemenata a i b nekog pramena pravih, normala na duž AB u njenom središtu C, pripada istom pramenu pravih. Dokaz: Razlikovaćemo tri sličaja, prema tome da li tačke A i B pripadaju eliptičkom, hiperboličkom, ili paraboličkom pramenu pravih (Slika ). Slučaj eliptičkog pramena: Dakle, ako je pramen eliptički, onda postoji središte O pramena, kome pripadaju i prave a i b. Trougao OAB je jednakokrak, i normala podignuta na osnovicu AB u njenom središtu C, je visina trougla, tj. prolazi kroz tačku O. A to upravo znači, da i ta normala pripada tom pramenu pravih. Slučaj hiperboličkog pramena: Ako je pramen hiperbolički, obeležimo respektivno sa A i B tačke bazisne prave x, koje pripadaju pravama a i b. U četvorouglu AA B B su, dakle, uglovi koji naležu na stranicu A B pravi, dok su uglovi koji naležu na stranicu AB podudarni. Ovakav četvorougao je Sakerijev 10. Kako je srednja linija t Sakerijevog četvorougla normalna 9 Teorema: Spoljašnji ugao trougla, veći je od unutrašnjeg neuporednog ugla tog trougla. 10 Giovanni Girolamo Saccheri ( ), italijanski matematičar 18

20 na svaku od osnovica tog četvorougla, to je teorema dokazana i u slučaju hiperboličkog pramena pravih. Slučaj paraboličkog pramena: Neka prave a i b pripadaju paraboličkom pramenu pravih. Normala na duž AB u njenom središtu C ne može seći, zbog podudarnosti uglova sa temenima u tačkama A i B, ni jednu od pravih a i b, pa kako se nalazi izmedju njih, to je, s obzirom na teoremu 11 paralelna svakoj od njih u istom smeru. Drugim rečima, i u ovom slučaju pripada istom pramenu kome i prave a i b. Slika ) Eliptički pramen 2) Hiperbolički pramen 3) Parabolički pramen Važi i obrnuta: Teorema Ako tačke A i B pripadaju elementima a i b nekog pramena, a normala c na duž AB u njenom središtu C pripada tom istom pramenu, tačke A i B su odgovarajuće tačke pravih a i b. Dokaz: Kao i u dokazu prethodne teoreme razlikovaćemo tri sličaja, prema tome da li tačke A i B pripadaju eliptičkom, hiperboličkom, ili paraboličkom pramenu pravih (Slika ). Slučaj eliptičkog pramena: U ovom slučaju, uslov teoreme izražava činjenicu da simetrala osnovice AB trougla OAB gde je O središte pramena, prolazi kroz teme O. Ona je, dakle, visina tog trougla, koji je, s toga, jednakokrak, a to pokazuje da je AB sečica jednakog nagiba pravih a i b. Slučaj hiperboličkog pramena: Obeležimo sa A, B, C tačke bazisne prave x, koje pripadaju, respektivno, pravama a, b, c. Lambertovi 12 čevorougli 11 Teorema: Ako se prave AB i CD, koje su paralelne u istom smeru, nalaze sa raznih strana prave P Q, i prava P Q ne seče ni jednu od njih, onda je ona paralelna sa svakom od njih u istom smeru. 12 Johann Heinrich Lambert ( ), švajcarski matematičar, fizičar, astronom 19

21 ACC A i BCC B imaju zajedničku osnovicu CC i podudarne visine AC i CB. S obzirom na teoremu 13 ta dva četvorougla su podudarna. Iz njihove podudarnosti, sledi podudarnost ostalih elemenata, pa je A AB = B BA, a to pokazuje da je AB sečica jednakog nagiba pravih a i b. Slučaj paraboličkog pramena: Neka su prave a, b, c paralelne u istom smeru. Tada je A = Π(AC) i B = Π(BC), obzirom da je c normala na AB. Medjutim kako je AC = BC, tj. Π(AB) = Π(AC), to su uglovi A i B podudarni. Dakle, AB je sečica jednakog nagiba pravih a i b. Slika ) Eliptički pramen 2) Hiperbolički pramen 3) Parabolički pramen Teorema Ako tačke A i B odgovaraju jedna drugoj na pravama a i b nekog pramena, a tačke B i C odgovaraju jedna drugoj na pravama b i c tog snopa istog pramena, onda tačke A i C odgovaraju jedna drugoj na pravama a i c. Dokaz: Prema upravo dokazanoj teoremi, normala e duži AB u njenoj sredini E, pripada uočenom pramenu. Tom pramenu pripada i normala f duži BC u njenoj sredini F. No, prave e i f su simetrale stranica trougla ABC. Prema teoremi 14 iz Apsolutne geometrije, simetrala g treće strane AC tog trougla, pripada istom pramenu kome pripadaju i simetrale e i f. Dakle, normala g duži AC u njenom središtu G pripada onom pramenu, kome pripadaju i prave a i c (Slika ). Na osnovu prethodne teoreme, tačke A i C odgovaraju jedna drugoj na pravama a i c, što je i trebalo dokazati. 13 Teorema: Dva Lambertova četvorougla su podudarna ako su osnovica i odgovarajuća visina jednog podudarne osnovici i odgovarajućoj visini drugog. 14 Teorema: Medijatrise stranica trougla pripadaju jednom pramenu pravih. 20

22 Slika Primer Posmatraćemo u Hiperboličkoj ravni prave a, b i n. Ispitajmo da li postoji prava koja pripada pramenu X (a, b) i koja je normalna na pravoj n. Rešenje : Razlikovaćemo tri slučaja, prema tome da li je X (a, b) eliptički, parabolički ili hiperbolički pramen pravih. 1 Pretpostavimo da se prave a i b seku u nekoj tački S. Dakle, one odredjuju eliptički pramen. Na osnovu teoreme 15, postoji (jedinstvena) prava p, koja sadrži tačku S i normalna je na pravoj n (Slika ). Prava p, pripada pramenu X (a, b) i normalna je na pravoj n. Slika Teorema: Ako tačka P i prava p, pripadaju ravni π, tada u ravni π postoji jedinstvena prava koja sadrži tačku P i upravna je na pravoj p. 21

23 2 Pretpostavimo da su prave a i b paralelne, tj. pretpostavimo da one odredjuju parabolički pramen pravih. Slika (a) Pretpostavimo da prava n, ne pripada pramenu X (a, b). Neka je C proizvoljna tačka prave n. Na osnovu teoreme 16, postoji jedinstvena prava c koja sadrži tačku C, i pripada pramenu X (a, b). Razlikujemo: i) ako je prava c normalna na pravoj n, onda je c prava koja zadovoljava tražena svojstva (slika i); ii) ako prava c nije normalna na pravoj n, onda na osnovu teoreme 17 postoji prava c koja je normalna na pravoj n i paralelna pravoj c u istom smeru kao i prava a (prava c, dakle, normalna je na pravoj n i pripada pramenu X (a, b)) (slika ii). (b) Pretpostavimo da prava n pripada pramenu X (a, b). Pretpostavimo da postoji prava c koja je normalna na pravoj n i pripada pramenu X (a, b). Ako je C presečna tačka prave n i c, onda postoje dve različite prave (n i c) koje sadrže tačku C i pripadaju pramenu X (a, b), što je u suprotnosti sa teoremom navedenom u (2.a). Dakle, kako prava n pripada pramenu X (a, b), onda ne postoji prava koja pripada tom pramenu i normalna je na pravoj n. 16 Teorema: Ako su a i c dve razne prave neke ravni i B tačka te ravni koja im ne pripada, tada postoji jedinstvena prava b te ravni, koja sadrži B, takva da prave a, b i c pripadaju jednom pramenu. 17 Teorema: U Hiperboličkoj ravni postoji jedinstvena prava upravna na jednom kraku, a paralelna drugom kraku oštrog ugla. 22

24 3 Pretpostavimo da su prave a i b hiperparalelne, tj. da one odredjuju hiperbolički pramen pravih. Neka je m bazisna prava tog hiperboličkog pramena (slika 3.12). Slika Postoji prava koja pripada tom pramenu i normalna je na pravu n, akko postoji prava koja je normalna i na pravoj m i na pravoj n, tj. akko m i n imaju zajedničku normalu. Na osnovu teoreme 18, prave m i n imaju zajedničku normalu akko su hiperparalelne ili identične. Razlikujemo: (i) Ako je m hiperparalelna sa n, njihova zajednička normala p pripada pramenu X (a, b) i normalna je na pravoj n. (ii) Ako su prave m i n identične, svaka prava p normalna na pravoj n, pripada pramenu X (a, b). Dakle, tražena prava ( prava koja pripada pramenu X (a, b) i normalna je na pravoj n) postoji uvek, osim ako su prave a i b paralelne i prava n pripada pramenu X (a, b), ili ako su prave a i b hiperparalelne i njihova zajednička normala m, nije hiperparalelna niti identična sa pravom n. 18 Teorema: Ako je prava c hiperparalelna pravoj b, tada je prava b hiperparalelna pravoj c. 23

25 3.2 Trajektorija pramena pravih Definicija Posmatrajmo pramen pravih, tako da kroz svaku tačku ravni prolazi element pramena, i uočimo tačku A ravni; skup svih tačaka koje, u uočenom pramenu, odgovaraju tački A je trajektorija tog pramena pravih. Tačka A, koja pripada trajektoriji - jer odgovara sama sebi - naziva se početna tačka trajektorije. Trajektorija pramena pravih je, dakle, odredjena svojom početnom tačkom. Teorema Svaka tačka trajektorije pramena pravih, može se uzeti za početnu tačku trajektorije. Dokaz: Neka je T trajektorija pramena pravih u odnosu na početnu tačku A, a T trajektorija istog pramena u odnosu na početnu tačku B. Ako tačka B pripada i trajektoriji T, to znači da je B ona tačka elementa b pramena, koja odgovara tački A, elementa a tog pramena. Ali tada i tačka A elementa a odgovara tački B elementa b, tj. ako tačka B pripada trajektoriji T, onda i tačka A pripada trajektoriji T. Neka je, zatim, C proizvoljna tačka trajektorije T. To znači da je tačka C, elementa c pramena, odgovarajuća tačka tački A, elementa a. Ali na osnovu Teoreme sledi da su i tačke B i C odgovarajuće tačke, što znači da tačka C pripada i trajektoriji T. Jasno je da važi i obrnuto - svaka tačka trajektorije T pripada i trajektoriji T tj. trajektorije T i T se poklapaju. Dakle, trajektorija pramena pravih je odredjena ma kojom svojom tačkom. Na osnovu rezultata prethodnog paragrafa, slede teoreme: Teorema Svaka tetiva trajektorije pramena pravih je sečica jednakog nagiba onih elemenata pramena, koji prolaze kroz krajnje tačke tetive. Teorema Normala na tetivu trajektorije pramena pravih u njenom središtu, pripada tom pramenu pravih. Teorema Svaka trajektorija seče pramen pravih ortogonalno. Dokaz: Primetimo da ova teorema, u stvari, izražava činjenicu da tangenta trajektorije u svakoj tački stoji normalno na onom elementu pramena, koji prolazi kroz uočenu tačku pramena. Razmotrimo, posebno slučaj eliptičkog, paraboličkog i hiperboličkog pramena. 24

26 U slučaju eliptičkog pramena, sve tačke trajektorije su podjednako udaljene od središta pramena, tj. ta trajektorija je kružnica. Ali za kružnice ova teorema pripada Apsolutnoj geometriji. U slučaju paraboličkog pramena, neka je AB tetiva trajektorije, a CC normala te tetive u njenom središtu C. Tada je AA CC, pa je A AC = Π(AC), gde smo sa A označili tačku elementa pramena koji prolazi kroz tačku A, a nalazi se sa one strane prave AB sa koje je smer paralelnosti (Slika ). Medjutim funkcija Lobačevskog, Π(x) monotono raste kada argument opada, i pri tome Π(AC) π/2, kada AC 0. S sruge strane, kada AC 0 tetiva AB postaje tangenta trajektorije u tački A. Slika Ako je pramen hiperbolički, posmatrajmo tetivu AB trajektorije i one elemente a i b pramena koji prolaze, respektivno, kroz tačke A i B. Obeležimo sa A i B tačke preseka pravih a i b sa bazisnom pravom pramena x (Slika ). U Sakerijevom četvorouglu ABB A, kao i u slučaju paraboličnog pramena, A AB π/2 kada AB 0, a zajedno s tim i A B 0. Teorema Prava može seći trajektoriju pramena najviše u dve tačke. 25

27 Slika Dokaz: Iz Apsolutne geometrije je poznato da prava ne može seći kružnicu u više od dve tačke, pa je tvrdjenje jasno u slučaju eliptičkog pramena (u slučaju eliptičkog pramena trajektorija je kružnica). Ako je u pitanju parabolički ili hiperbolički pramen pravih, uočimo tačke A, B i C trajektorije tog pramena. Neka je tačka B izmedju tačaka A i C na toj trajektoriji, i AA, BB i CC odgovarajući elementi pramena. Tada su uglovi ABB i CBB oštri, odakle sledi da ABC ne može biti opružen, tj. tri tačke trajektorije ne mogu biti kolinearne, što je i trebalo dokazati. U ravni Lobačevskog postoje važne krive koje su u uskoj vezi s pramenom. Zbog svog velikog značaja zovu se fundamentalne ili C-krive. To su ortogonalne trajektorije, tj. takve krive koje presecaju prave pramena pod pravim uglom. U prvom odeljku govorili smo o pramenovima pravih u ravni Lobačevskog, pa shodno tome, može se govoriti o ortogonalnoj trajektoriji svakog od spo - menuta tri tipa pramena. Prema tome razlikujemo sledeće tri vrste fundamentalnih ili C-krivih : a) Ortogonalna trajektorija eliptičkog pramena je kružnica ili cikl. Svaka tačka kružnice podjednako je udaljena od središta eliptičkog pramena pravih (O). Tačku O nazivamo središtem tog cikla (Slika a). 26

28 b) Ortogonalna trajektorija paraboličkog pramena naziva se granična kružnica ili oricikl (Slika b). Oricikl se može posmatrati kao granični slučaj kruga (odatle i sledi naziv granična kružnica). Središte tog kruga bila bila bi infinitna tačka O u ravni Lobačevskog, u kojoj se seku prave paraboličkog pramena pravih. Oricikl je kriva koja cela leži s jedne strane svoje tangente, a konkavna strana joj je okrenuta prema onoj tački kojoj paralelne prave konvergiraju. c) Ortogonalna trajektorija hiperboličkog pramena naziva se ekvidistanta ili hipercikl (Slika c). Naziv ekvidistanta ova C-kriva dobila je po tome što ima svojstvo da su sve njene tačke podjednako udaljene od prave n koja je zajednička normala svih pravih toga pramena. Ta prava n naziva se baza (osnova) ekvidistante. U ravni Lobačevskog ekvidistanta nije prava, nego kriva. Medjutim, u Euklidovoj ravni ekvidistanta je prava (sledi iz V Euklidovog postulata). Slika a) Kružnica ili cikl b) Oricikl c) Ekvidistanta Sve prave pramena u svakom od ova tri slučaja zovu se ose odgovarajuće fundamentalne krive. Svaka od pomenutih krivih je simetrična u odnosu na svaku svoju osu. Krug, ekvidistanta i oricikl imaju zajedničko svojstvo - to su krive stalne krivine u L 2. Štaviše, može se dokazati da su to jedine krive konstantne krivine (-1) u ravni Lobačevskog. U Euklidskoj ravni E 2 postoje dve vrste linija konstantne krivine: krug i prava, dobijene kao trajektorije eliptičkog i hiperboličkog pramena pravih. Fundamentalne krive, pre svega oricikl i ekvidistanta, biće predmet našeg razmatranja u poglavljima koja slede. 27

29 3.3 Ekvidistanta Definicija Trajektorija hiperboličkog pramena pravih zove se ekvidistantna linija ili ekvidistanta, a bazisna prava pramena - bazisna prava ekvidistante. Svaki element pramena u odnosu na koji je ekvidistanta definisana je osa ekvidistante (Slika ). Slika Naravno, definiciju ekvidistante, možemo dati i u terminima sečice jednakog nagiba kao u narednoj definiciji: Definicija Neka je prava a iz hiperboličkog pramena pravih i neka je A proizvoljna tačka prave a. Tada geometrijsko mesto tačaka B, pri čemu je B b i b je iz istog pramena, i AB je sečica jednakog nagiba, naziva se ekvidistanta. Teorema Tačke ekvidistante su podjednako udaljene od njene bazisne prave. Obrnuto, geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljenih od te prave je ekvidistantna linija. Dokaz: (: ) Neka su A, B i C tačke ekvidistante e, a A, B i C projekcije tih tačkaka na njenu bazisnu pravu (Slika ). Tačke A i B su, dakle, odgovarajuće tačke na elementima AA i BB posmatranog hiperboličkog pramena. Zato je BAA = ABB. Kako je, po konstrukciji, AA B = A B B = R, to je četvorougao AA B B Sakerijev, tj. AA = BB. Analognim rasudjivanjem, četvorougao BB C C je Sakerijev, pa je AA = BB = CC. 28

30 ( :) Posmatrajmo sada normale u tačkama A, B i C date prave, i na njima, sa iste strane uočene prave, respektivno tačke A, B i C, tako da je AA = BB = CC. Tačke A, B i C pripadaju geometrijskom mestu tačaka podjednako udaljenih od date prave. Primetimo, uočene normale su elementi hiperboličnog pramena pravih za koje data prava predstavlja bazisnu pravu. Takodje četvorougli AA B B i BB C C su Sakerijevi. Stoga A AB = ABB i B BC = BCC. Dakle, tačke A, B i C su odgovarajuće tačke na elementima pramena i stoga pripadaju trajektoriji tog pramena, što je i trebalo dokazati. Slika Definicija Konstantno odstojanje AA = BB = CC = h tačaka ekvidistante od njene bazisne prave, naziva se parametar ekvidistante ili visina ekvidistante. Specijalno, ako je visina ekvidistante jednaka nuli, sledi da je ekvidistanta prava linija. Stoga prave linije možemo smatrati ekvidistantama visine nula. U sekciji 3.2 pokazali smo da prava može seći trajektoriju pramena pravih. Shodno tome, ona seče i ekvidistantnu liniju, najviše u dvema tačkama. Ali važi sledeći rezultat: 29

31 Teorema Prava koja seče bazisnu pravu, seče svaku granu ekvidistante u jednoj tački. Dokaz: Pretpostavimo da prava AB seče bazisnu pravu A B ekvidistante u tački C. Uočimo oštar ugao ACA. Koristeći se teoremom 19 zaključujemo da rastojanja tačaka njegovog kraka AC od drugog kraka CA neprekidno rastu, ukoliko se po kraku AC udaljujemo od njegovog temena C. Zato na tom kraku postoji tačka A 1 čije je rastojanje od kraka CA, tj. od bazisne prave A B jednako visini ekvidistante h (Slika ). Dakle, tačka A 1 pripada ekvidistanti (ona je presečna tačka prave i ekvidistante). Analogno se pokazuje da druga poluprava CB, date prave, seče drugu granu ekvidistante. Slika Teorema Prava koja je paralelna sa bazisnom pravom ekvidistante, seče ekvidistantu u jednoj tački. Dokaz: Poznato je da se odstojanje tačke koja se pomera po jednoj od dveju raznih medjusobno paralelnih pravih, od druge prave strogo i neograničeno smanjuje kada se tačka pomera u smeru paralelnosti, a strogo i neograničeno povećava kada se tačka pomera u smeru suprotnom od smera paralelnosti. Zato, ako uočimo pravu koja je paralelna bazisnoj pravoj ekvidistante, na njoj postoji jedna i samo jedna tačka, čije je rastojanje od bazisne prave ekvidistante jednako visini ekvidistante h. Ta tačka prave, zbog toga, pripada ekvidistanti, i prema tome, data prava seče ekvidistantu u jednoj tački, što je i trebalo dokazati. 19 Teorema: Odstojanje tačke koja se nalazi na jednom kraku oštrog ugla od drugog kraka neograničeno raste pri neograničenom udaljavanju te tačke od temena tog ugla. 30

32 Teorema Prava koja je mimoilazna sa bazisnom pravom ekvidistante, seče jedni granu ekvidistante u dvema tačkama ako je najkraće rastojanje te dve prave manje od visine ekvidistante; dodiruje je, ako je to rastojanje jednako visini ekvidistante, a nema zajedničkih tačaka sa ekvidistantom, ako je to rastojanje veće od visine ekvidistante. Dokaz: Označimo sa AB datu pravu, a sa A B bazisnu pravu ekvidistante. Neka su prave AB i A B mimoilazne. Neka je CC njihova zajednička normala. Duž CC je najkraće rastojanje te dve prave (jer od svih duži koje spajaju tačke dveju mimoilaznih pravih, najmanja je ona koja spaja podnožja zajedničke normale tih mimoilaznih pravih), i počev od nje mimoilazne prave se neprekidno i neograničeno udaljavaju jedna od druge. Razmotrimo svaki slučaj ponaosob (Slika ): (1) Neka je duž CC manja od visine ekvidistante. Primetimo, da na pravoj AB sa svake strane tačke C postoji po jedna tačka, čije je odstojanje od bazisne prave jednako duži h. Te dve tačke pripadaju i ekvidistanti (jer ekvidistantna linija je sastoji iz dve grane, od kojih se svaka nalazi sa jedne strane bazisne prave), pa, prema tome, data prava seče jednu granu (onu granu ekvidistante sa koje se nalazi) u dvema tačkama. Slika (2) Neka je duž CC jednaka visini ekvidistante. U tom slučaju tačka C pripada ekvidistanti. Ako se počev od tačke C, sa obe strane te tačke prava AB udaljuje od prave A B, onda ta prava nema više zajedničkih tačaka sa ekvidistantom, pa je zato dodiruje samo u tački C. (3) Neka je duž CC veća od visine ekvidistante. U tom slučaju tačka C se nalazi izvan ekvidistante. Nego, to važi i za ostale tačke prave AB, jer su i njihova odstojanja od A B veća od CC, pa prema tome i od h. Zato, u ovom slučaju, prava AB nema zajedničkih sa ekvidistantom. 31

33 U Euklidskoj geometriji ekvidistanta je prava, pa su svake dve ekvidistante podudarne. U ravni Lobačevskog ekvidistanta je različita od prave i važi sledeća teorema: Teorema Da bi u ravni Lobačevskog dve ekvidistante bile podudarne, potrebno je i dovoljno da im visine budu podudarne. Dokaz: Posmatrajmo u ravni L 2 ekvidistante e i e redom sa bazisnim pravama s i s. Neka su Q i Q redom tačke ekvidistanti e i e a A i A podnožja normala redom iz tačaka Q i Q na prave s i s. Označimo sa B i B tačke pravih s i s redom, takve da je AB = A B, a ℵ i ℵ hiperbolički pramenovi kojima su ekvidistante e i e definisane (Slika ). (: ) Pretpostavimo da su visine QA i Q A podudarne. Tada u ravni Lobačevskog postoji jedinstvena izometrija I koja trougao QAB prevodi u trougao Q A B. Izometrija I pramen ℵ prevodi na pramen ℵ pa samim tim ekvidistantu e na ekvidistantu e. ( :) Neka su ekvidistante e i e podudarne. Tada postoji izometrija I, takva da je I(e) = e. Nego, tada je I(ℵ) = ℵ, I(A) = A, I(B) = B i I(Q) = Q. Ukoliko bi bilo I(s) s, onda bi svaka prava pramena ℵ bila upravna na dvema pravama s i A B, što je nemoguće. Dakle, visine ekvidistanti e i e su podudarne. Slika Primer Pokažimo da ako je visine ekvidistante u Hiperboličkoj ravni veća od nule, onda ta ekvidistanta nije prava. Rešenje: Neka je data ekvidistanta e, i označimo sa s njenu bazisnu pravu. Neka su P, Q i R proizvoljne različite tačke koje pripadaju ekvidistanti, a P, Q i R podnožja normala iz tačaka P, Q i R na pravoj s. Pretpostavimo, bez umanjenja opštosti dokaza, da važi raspored B(P, Q, R ) 32

34 (Slika ). Po pretpostavci, visina ekvidistante e je različita od nule, pa tačke P i P se ne poklapaju (različite su i tačke Q i Q, i tačke R i R ). Važi P P = QQ = RR. Pošto se radi o ekvidistanti, prava s je zajednička normala pravih P P i QQ. Dakle, prave P P i QQ se ne seku. Analogno, ne seku se prave P P i RR i prave QQ i RR. Takodje, P P Q = QQ P = π 2 i QQ R = RR Q = π 2, pa su P P Q Q i QQ R R Sakerijevi četvorougli. Na osnovu teoreme 20 je P P Q = Q QP. Zbir uglova u četvorouglu P P Q Q manji je od zbira četiri prava ugla, i jednak je: P P Q + P Q Q + Q QP + QP P = 2 π Q QP odakle zaključujemo da je Q QP oštar. Analogno, se pokazuje da je i ugao Q QR oštar. Slika Ugao P QR jednak je zbiru uglova Q QR i Q QP, odakle zaključujemo da je P QR manji od opruženog. Ugao P QR manji je od opruženog, pa sledi da tačke P, Q i R nisu kolinearne. Dakle, ekvidistanta e nije prava. Primer Nikoje tri razne tačke ekvidistante ne pripadaju jednoj pravoj. 20 Teorema: Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četvorougla medjusobno su podudarni. 33

35 Rešenje: Posmatrajmo u ravni Lobačevskog ekvidistantu e sa bazisnom pravom s i visinom različitom od nule. Pokazaćemo da nikoje tri razne tačke te ekvidistante ne pripadaju jednoj pravoj. Pretpostavimo da postoji prava p koja sa ekvidistantom e ima tri zajedničke tačke A, B, C. Označimo sa A, B, C podnožja upravnih iz tačaka A, B, C redom na pravu s (Slika ). Četvorougli A B BA i B C CB su Sakerijevi (imaju po dva prava ugla i dve jednake bočne stranice) odakle zaključujemo da je: B BC = C CB = α ( ). S druge strane imamo da je B BC + B BA = 2R. Iz jednakosti oštrih uglova Sakerijevih četvorougla A B BA i B C CB zaključujemo da je B BA = α, pa je prema ( ) 2α = 2R, odakle zaključujemo da je α = R. Dobili smo da je σ(b BC C) = 4R, što je u geometriji Lobačevskog nemoguće. Slika Primer Neka su h i h dve ekvidistante koje imaju istu visinu, a nalaze se sa raznih strana njihove zajedničke osnove (bazisne prave) s. Pokazaćemo da prava s sadrži sredinu duži AB čiji su krajevi na ekvidistantama e i e. Rešenje: Posmatrajmo dve ekvidistante h i h, sa visinama respektivno h 1 i h 1, koje su medju sobom jednake (h 1 = h 1). Neka tačka A pripada 34

36 ekvidistanti h a tačka B ekvidistanti h, i neka su A i B podnožja normala, redom iz tačaka A i B na pravu s. Uočimo tačku S AB za koju je AS = SB. Pokazaćemo da u tom slučaju tačka S pripada pravoj s. Razlikujemo sledeće slučajeve : 1. Neka je AB s. Pri uslovu, da su jednake visine h 1 i h 1 zaključujemo da važi AS = SB = h 1 = h 1 odakle direktno sledi da S s. 2. Neka sada važi AB s (Slika ). Označimo sa P presečnu tačku bazisne prave s i duži AB. Posmatrajmo trouglove AP A i P BB. Za ove trouglove važi : - AA = BB - AA P = BP B = π - A P A = BP B (unakrsni uglovi). Slika Na osnovu izloženog zaključujemo da je AP A = P B B, prema Petom stavu o podudarnosti trouglova. Iz podudarnosti ovih trouglova, sledi jednakost ostalih elemenata, tj. AP = P B i AS = SB. Primer Pokazaćemo da skup vrhova svih trouglova koji imaju zajedničku osnovu i nalaze se sa iste strane prave odredjene tom zajedničkom 35

37 osnovom i u kojima je zbir unutrašnjih uglova svuda isti, obrazuje jednu ekvidistantu. Rešenje: Posmatrajmo u ravni Lobačevskog trougao ABC. Tada postoji tačka P sa svojstvom da P AB, B(A, P, B) i AP = P B. Slično, postoji tačka Q, tako da Q AC, B(A, Q, C) i AQ = QC (Slika ). Označimo sa l pravu odredjenu tačkama P i Q. Neka su B, C i A podnožja normala iz tačaka B, C i A na pravu l. Primetimo da su prave BB, CC i AA jedinstvene sa svojstvom da su normalne na pravu l - u suprotnom, postojao bi trougao sa dva prava ugla, što je nemoguće. Posmatrajmo trouglove AA P i BB P. Za njih važi : - AP = P B - AA B = BB A = π - A P A = BP B (unakrsni uglovi). Na osnovu izloženog zaključujemo da je AA P = BB P, prema Petom stavu o podudarnosti trouglova. Iz podudarnosti ovih trouglova, sledi jednakost ostalih elemenata, tj. A AP = B BP kao i AA = BB. Slično, važi AA P = CC Q, iz čega sleduje da je A AQ = C CQ kao i AA = CC. Kako je BB = AA, to imamo AA = BB = CC. Slika Posmatrajmo četvorougao BCC B. Kako je BB A = CC Q = R i BB = CC, zaključujemo da je četvorougao BCC B Sakerijev. Kako 36

38 su uglovi na protivosnovici Sakerijevog četvorougla jednaki, to je B B C = C CB. Sada imamo : σ(abc) = ABC + ACB + BAC = ABC + ACB + BAA + CAA = ABC + ACB + B BA + ACC = B BC + C CB = 2 C CB. Uočimo, još jedan trougao iz skupa trouglova sa navedenim svojstvom u uslovu zadatka. Neka je to trougao A 1 BC i označimo sa n pravu koja je odredjena sredinama stranica A 1 B i A 1 C pomenutog trougla. Za uočeni trougao važi, prema dokazanom delu : σ(a 1 BC) = B 1BC + C 1CB = 2 B 1BC. Kako je σ(abc) = σ(a 1 BC) to je : CBB = B 1BC, BCC = BCC 1. Sakerijevi četvorougli BCC B i BCC 1B 1 imaju i jednu zajedničku stranicu, BC, pa koristeći upravo dokazanu jednakost uglova, zaključujemo da su podudarni. Iz dokazane podudarnosti, sledi jednakost ostalih elemenata, tj. BB = CC = BB 1 = CC 1, kao i l n. Dakle AA = A 1 A 1, AA l i A 1 A 1 n. Za neki drugi trougao A 2 BC važiće : AA = A 1 A 1 = A 2 A 2 i A 2 A 2 n. Slika Dakle, AA, A 1 A 1, A 2 A 2 pripadaju hiperboličkom pramenu pravih (četvorougli 37

39 AA A 1 A 1 i AA A 2 A 2 su Sakerijevi) pa zaključujemo da su AA 1 i AA 2 sečice jednakog nagiba (Slika ), odakle sledi tvrdjenje zadatka. 38

40 3.4 Oricikl Definicija Trajektorija paraboličkog pramena pravih zove se oricikl. Svaki element pramena, u odnosu na koji je oricikl definisan naziva se osa oricikla (Slika ). Slika U nastavku dajemo definiciju oricikla u terminima sečice jednakog nagiba: Definicija Neka je prava a iz paraboličkog pramena pravih i neka je A proizvoljna tačka prave a. Tada geometrijsko mesto tačaka B, pri čemu je B b i b je iz istog pramena, i AB je sečica jednakog nagiba, naziva se oricikl. Kako se svaka tačka trajektorije može uzeti za početnu tačku trajektorije to sledi da je svaki oricikl odredjen ma kojom svojom tačkom i osom kroz tu tačku. Medjutim može se pokazati da važi opštija teorema: Teorema Oricikl je odredjen ma kojom svojom tačkom i ma kojom svojom osom. 39

41 Dokaz: Neka ja data tačka A oricikla o i neka je BB njegova osa. Primetimo, postoji jedna i samo jedna orijentisana prava AA, koja prolazi kroz tačku A, i paralelna je pravoj BB u istom smeru. Kako je svaki oricikl odredjen ma kojom svojom tačkom i osom kroz tu tačku, time je oricikl o pravom AA i tačkom A jednoznačno odredjen. Definicija Kroz svaku tačku P ravni prolazi jedna i samo jedna osa oricikla. Ako se tačka P nalazi sa one strane oricikla, sa koje je smer paralelnosti njegovih osa, kažemo da je P unutrašnja tačka oricikla. Ako je, pak, P sa one strane oricikla, sa koje nije smer paralelnosti osa, tačka P je spoljašnja tačka oricikla. Teorema Prava koja prolazi kroz unutrašnju tačku oricikla, a nije njegova osa, seče oricikl u dvema tačkama. Teorema Kroz ma koje dve tačke ravni prolaze dva oricikla koja su simetrična u odnosu na pravu odredjenu tim dvema tačkama. Dokaz: Slika Neka su A i B dve proizvoljne tačke ravni Lobačevskog. Neka je prava CC normala duži AB u njenom središtu C (Slika ). Ako prave AA i 40

42 BB prolaze, respektivno, kroz tačke A i B, tako da je AA BB i BB CC, onda je A AC = Π(AC) i B BC = Π(BC). Obzirom da je tačka C središte duži AB to je AC = BC, a kako jednakim dužima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti to je A AC = B BC. Tačka B pripada oriciklu, koji je odredjen tačkom A i pramenom paralelnih pravih AA, BB i CC. Primetimo da normalu na duž AB u njenom središtu C možemo orijentisati i u suprotnom smeru CC. Na taj način dobijamo novi pramen paralelnih pravih. Taj pramen pravih i tačka A odredjuju još jedan oricikl. Na isti način kao i u prethodnom slučaju se pokazuje da tačka B pripada i tom oriciklu. Teorema Dva oricikla, koja imaju jednu zajedničku tačku, a ne dodiruju se, imaju još jednu zajedničku tačku. Dokaz: Neka su data dva oricikla o i o koji imaju zajedničku tačku A. Označimo sa AA i AA ose pomenutih oricikala u tački A (Slika ). Po pretpostavci oricikli o i o se ne dodiruju, pa su zato ose AA i AA različite, tj. obrazuju neki ugao A AA. Neka je AC simetrala toga ugla, a duž AC duž paralelnosti za ugao A AC. Neka je C CC normala konstruisana u tački C na pravu AC. Prema konstrukciji ona predstavlja graničnu pravu ugla A AA, i shodno tome AA CC i AA CC. Slika

43 Obeležimo sa B tačku prave AC, tako da je AC = CB, a sa BB i BB orijentisane prave, tako da je BB CC i BB CC. Tada je A AB = ABB odakle sledi da tačka B pripada svakom od uočena dva oricikla. Definicija Uočimo tetivu AC oricikla. Odstojanje AD tačke A od one ose oricikla, koja prolazi kroz drugu krajnju tačku C uočene tetive, zove se visina luka AC oricikla (Slika ). Slika Teorema Luk oricikla odredjen je tetivom ili visinom. Dokaz: Pokazali smo da kroz ma koje dve tačke ravni prolaze dva oricikla koja su simetrična u odnosu na pravu odredjenu tim dvema tačkama. Odavde direktno sledi da je luk oricikla odredjen tetivom. Iz istog razloga, zaključujemo da je luk oricikla odredjen visinom, pošto udvostručena visina odredjuje tetivu dvostrukog luka, a shodno tome i sam luk. Teorema Svaka dva oricikla u ravni L 2 su medjusobom podudarna. Dokaz: Neka su ℵ i ℵ parabolički pramenovi pravih u odnosu na koje su definisani oricikli o i o, i neka je s zajednička prava tih pramenova. Označimo sa A i A zajedničke tačke prave s redom za oricikle o i o. Ukoliko se pramenovi ℵ i ℵ poklapaju, prava s je proizvoljna prava tog pramena (Slika a). Translacija τ preslikava pramen ℵ na sebe, tačku AA A oricikla o u tačku A oricikla o, pa je τ (o) = o. AA Ako su pramenovi ℵ i ℵ različiti (Slika b), onda je prema teoremi Teorema: Neka su ℵ i ℵ dva različita parabolička pramena. Tada postoji jedinstvena prava koja pripada pramenovima ℵ i ℵ. 42

44 prava s jedinstvena, pa se osnom refleksijom u odnosu na proizvoljnu pravu koja je upravna na pravu s pramenovi ℵ i ℵ preslikavaju jedan na drugi. Ukoliko se tačke A i A ne poklapaju, označimo sa n medijatrisu duži AA, a ako se poklapaju sa n ćemo označiti pravu koja sadrži tačku A A i upravna je na pravu s. Osnom refleksijom S n pramenovi ℵ i ℵ se preslikavaju jedan na drugi, a tačka A u tačku A, što znači da je S n (o) = o. Slika Kako se u oba slučaja oricikl o izometrijom preslikava na oricikl o, sledi da su oricikli o i o podudarni. Istaknimo još jednom, da se oricikl, može posmatrati kao granični slučaj kruga. Centar tog kruga bila bi infinitna tačka O u ravni L 2 u kojoj se seku prave nekog pramena. O tome detaljnije govori sledeća teorema: Teorema Granični položaj kružnice, koja prolazi kroz utvrdjenu tačku i ima u toj tački utvrdjenu tangentu, a čije se središte neograničeno udaljava, je oricikl. Dokaz: Posmatrajmo skup kružnica koje su medjusobno tangentne u tački A, a čija su središta S 1, S 2, S 3,... (Slika ). Svaka od tih kružnica je ortogonalna trajektorija eliptičnog pramena pravih. Središta tih pramenova su, respektivno, tačke S 1, S 2, S 3,... U graničnom slučaju kada AS, 43

45 eliptički pramen pravih postaje parabolički. Odgovarajuća kružnica, koja je granična kružnica svih posmatranih, je ortogonalna trajektorija paraboličkog pramena pravih, što u stvari predstavlja oricikl. Slika Primer Date su dve tačke A i B na oriciklu i neka je C proizvoljna tačka koja pripada oriciklu, tako da važi raspored tačaka B(A, C, B). Pokazaćemo da je A + B C = const, pri čemu su A, B, C uglovi trougla ABC. Rešenje : Slika Neka je dat oricikl o i tačke A i B koje mu pripadaju. Neka je tačka C o i neka ispunjava uslove zadatka. Neka su još AA, BB i CC prave 44

46 paraboličkog pramena pravih koje su odredjene tačkama A, B i C datog oricikla o (Slika ). Koristeći svojstvo sečice jednakog nagiba imamo : L = BAC + ABC ACB = A AC A AB B BC ABB ACC C CB = 2 A AB = const. jer su A i B fiksirane tačke. Primer Nikoje tri razne tačke oricikla ne pripadaju jednoj pravoj. Rešenje : Posmatrajmo oricikl o u ravni Lobačevskog. Pokazaćemo da nikoje tri tačke tog oricikla ne mogu biti na istoj pravoj. Pretpostavimo da postoji prava p koja sa oriciklom o ima tri zajedničke tačke A, B, C. Tada su AB i AC sečice jednakog nagiba (Slika ). Prema tome važe sledeće jednakosti medju uglovima: A AB = B BA i A AC = C CA. Iz ovoga proizilazi da je spoljašnji ugao B BA u C CBB sa jednim infinitnim temenom, jednak finitnom uglu C CB koji njemu nije suplementan, što je nemoguće jer spoljašnji ugao u trouglu sa jednim infinitnim temenom veći je od finitnog ugla koji njemu nije suplementan. Slika

47 3.5 Krive koje dopuštaju transformacije podudarnosti na samu sebe Poznato je da u Euklidskoj ravni postoje dve krive koje se transformacijom podudarnosti mogu preslikati na same sebe, a to su prava linija i kružnica. Prilikom rotacije ravni oko utvrdjene tačke, svaka se tačka kružnice sa središtem u toj tački, preslikava u neku drugu tačku te iste kružnice. Takodje prilikom translacije ravni, svaka tačka prave prelazi u neku drugu tačku te iste prave. U ravni Lobačevskog, pored prave i kružnice, postoje još dve krive koje se transformacijom podudarnosti mogu preslikati na same sebe. To su ekvidistantna linija i oricikl. Pokazaćemo da svaka od ovih krivih dopušta slobodno kretanje po samoj sebi, tj. da se prilikom transformacije podudarnosti svaka tačka pomenutih krivih preslikava u tačku iste krive. Slika Neka je data ekvidistanta e, i neka su A i B dve tačke ekvidistante. Neka su zatim, A i B odgovarajuće tačke na bazisnoj pravoj tačkama A i B (Slika ). U tom slučaju uglovi AA B i BB A pravi, a duži AA i BB podudarne. Na datu ekvidistantu e, primenimo transformaciju podudarnosti u Hiperboličkoj ravni, koja bazisnu pravu uočene ekvidistante preslikava na tu istu pravu. Prilikom ove transformacije tačke A i B prelaze u tačke A 1 i B 1 kao na slici, i pri tom duži A 1 A 1, B 1 B 1, AA i BB ostaju podudarne. Prema tome, tačke A 1 i B 1 pripadaju uočenoj ekvidistanti e. Zaključujemo da se pri opisanoj transformaciji podudarnosti Hiperboličke ravni svaka tačka ekvidistante preslikava u tačku te iste ek- 46

48 vidistante. Odavde sledi da ekvidistanta dopušta kretanje po samoj sebi. 2 Posmatrajmo u Hiperboličkoj ravni oricikl o. Pokazali smo da se ma koja dva oricikla transformacijom podudarnosti mogu dovesti do poklapanja. Takodje smo razmotrili i slučaj kada se dva oricikla poklapaju. Tada postoji kretanje oricikla po samom sebi, pri čemu proizvoljna tačka može preći u ma koju drugu tačku tog oricikla. Kružnice se medju sobom razlikuju po poluprečniku, dok se ekvidistante razlikuju po visini (pod pretpostavkom da je visina ekvidistante različita od nule). Ukoliko je, pak, visina ekvidistante jednaka nuli, onda govorimo o pravoj liniji, za koje znamo da se, posmatrajući ih u ravni, razlikuju samo po položaju. Takodje, kako su svaka dva oricikla podudarna, i oni se medju sobom razlikuju samo po položaju. Podsetimo se poznatog tvrdjenja iz Apsolutne geometrije - Simetrale stranica trougla pripadaju jednom pramenu pravih. U Euklidskoj geometriji simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački, centru opisanog kruga oko trougla, tj. pramen pravih odredjen simetralama stranica je eliptički. U geometriji Lobačevskog simetrale stranica trougla se ne moraju seći. Naime, one mogu pripadati svakom od razmatranih pramenova pravih u ovom poglavlju: eliptičkom, hiperboličkom ili paraboličkom. (i) Ukoliko se simetrale stranica trougla seku, onda se kao što smo kazali, oko datog trougla može opisati kružnica čije je središte presek simetrala stranica. (ii) Neka su sada simetrale stranica trougla mimoilazne medju sobom. Dakle, one pripadaju hiperboličkom pramenu pravih, pa postoji prava koja predstavlja zajedničku normalu sve tri simetrale. U ovom slučaju temena trougla pripadaju ekvidistanti. Prava koja je podjednako udaljena od sva tri temena uočenog trougla, i koja predstavlja zajedničku normalu simetrala njegovih stranica u stvari je bazisna prava uočene ekvidistante. Dokaz da temena trougla pripadaju jednoj ekvidistanti: Po pretpostavci, u slučaju (ii), simetrale stranica trougla pripadaju hiperboličkom pramenu pravih. Dakle s b s c. Odavde zaključujemo da postoji prava p koja je zajednička normala pravih s b i s c. Takodje, h postoje 47

49 prave AA 1, BB 1, CC 1 sa svojstvom da su normalne na pravoj p. Zaključujemo da prave AA 1, BB 1, CC 1, s b, s c pripadaju hiperboličkom pramenu pravih (imaju zajedničku normalu, pravu p). Slika Uočimo Lambertove četvorougle B 1 P MB i P A 1 AM (Slika ). Primetimo da ova dva četvorougla imaju po jednu zajedničku stranicu (stranica P M), a prema konstrukciji je MB = MA. Na osnovu jednog od stavova za podudarnost Lambertovih četvorougla zaključujemo da je B 1 P MB = P A 1 AM. Iz navedene podudarnosti, sledi jednakost ostalih elemenata, pa je tako B 1 BM = A 1 AM. Slično se pokazuje da je QC 1 CN = A 1 QNA, pa je NAA 1 = C 1 CN. Dakle, AB i AC su sečice jednakog nagiba, pa temena trougla ABC pripadaju jednoj ekvidistanti. (iii) Na kraju, neka su simetrale stranica trougla medjusobno paralelne. Tada prave koja prolaze kroz temena trougla, a paralelne su simetralama u istom smeru, pripadaju istom paraboličkom pramenu pravih. Na osnovu teoreme koju smo dokazali u prvom delu ove glave, zaključujemo da su temena trougla odgovarajuće tačke na elementima tog pramena, što znači da sva tri temena pripadaju istom oriciklu. Na kraju uopštimo zaključke iz ovog odeljka sledećom teoremom: 48

50 Teorema Kroz ma koje tri tačke ravni prolazi jedna i samo jedna kriva, koja dopušta slobodno kretanje po samoj sebi. 49

51 4 Karakteristične površi u Hiperboličkoj geometriji 4.1 Snop pravih Upoznali smo skup pravih ravni koji se zove pramen pravih, a u vezi s tim i tri vrste pramena: eliptički, parabolički i hiperbolički. Na sličan način proučava se beskonačan skup pravih prostora koje nazivamo snop pravih. Preciznije, važi sledeća definicija: Definicija Pod snopom pravih podrazumevamo skup svih pravih u prostoru, koji ima osobine: - kroz svaku tačku prostora prolazi jedna i samo jedna prava snopa, - ma koje dve prave snopa su komplanarne. U Apsolutnoj geometriji nije moguće ustanoviti u kakvom su odnosu dve disjunktne prave, pa stoga ne možemo utvrditi ni razliku izmedju paraboličkog i hiperboličkog snopa. U Euklidskoj geometriji ti snopovi se nisu medjusobno razlikovali, pa su postojale samo dve vrste snopova: snop koaksijalnih pravih i snop paralelnih pravih. U Hiperboličkoj geometriji dve disjunktne prave jedne ravni mogu da budu paralelne ili hiperparalelne, pa stoga u Hiperboličkoj geometriji razlikujemo tri vrste snopova pravih: 1. Skup svih pravih prostora koji prolaze jednom tačkom u konačnosti zove se konvergentni ili eliptički snop. Ta zajednička tačka svih pravih snopa zove se vrh ili centar snopa (Slika ). Slika

52 2. Skup svih pravih prostora koji su paralelni s jednom te istom pravom zove se parabolički snop (Slika ). Prava sa čijim se pravcem paralelnosti uporedjuju ostale prave snopa, može se odabrati na bilo kojoj pravoj toga snopa. Slika Skup svih pravih prostora koje su normalne na istoj ravni zove se hiperbolički snop (Slika ). Ta ravan se naziva baza ili osnovica snopa. Slika Za neku ravan kažemo da pripada snopu ako prolazi jednom njegovom pravom. Primetimo da sve prave nekog snopa, koji leži u ravni koja pripada tom snopu, čine pramen, i to iste vrste koje je i sam snop. To drugim rečima znači da npr. paralelni snop sadrži u nekoj ravni koja mu pripada paralelni pramen. Analogno važi i za ostale vrste snopa pravih. 51

53 Posmatrajmo u prostoru Lobačevskog dva snopa pravih X i X. Razmotrimo sledeće : 1. Ako je jedan od zadatih snopova pravih eliptički, tada postoji jedinstvena prava koja pripada tim dvama snopovima, bez obzira na to da li je drugi snop eliptički, parabolički ili hiperbolički. 2. Ako je jedan od zadatih snopova pravih hiperbolički, a drugi parabolički, postojaće jedinstvena prava koja pripada tim dvama snopovima pravih ako i samo ako prave paraboličkog snopa nisu paralelne osnovi hiperboličkog snopa, obzirom da postoji jedinstvena prava upravna na zadatoj t ravni, a paralelna polupravoj koja nije paralelna toj ravni. 3. Ako su oba snopa hiperbolička, postojaće jedinstvena prava koja pripada tim dvama snopovima pravih ako i samo ako su osnove tih snopova medjusobno hiperparalelne ravni. 4. Ako su oba snopa parabolička, onda važi tvrdjenje koje se potpuno analogno dokazuje kao u prethodnom odeljku: Teorema Postoji jedinstvena prava koja pripada dvama raznim paraboličkim snopovima pravih. I sledeća teorema se analogno pokazuje kao u prethodnom odeljku : Teorema Translacijom duž bilo koje prave koja mu pripada parabolički snop se preslikava na sebe. Teorema Presek snopa sa ravni koja prolazi kroz jedan element snopa je pramen pravih; taj pramen pravih je, u zavisnosti od prirode snopa, parabolički, hiperbolički ili eliptički. Dokaz: Pokažimo da tvrdjenje važi za eliptički snop pravih, dok se za ostale snopove pravih pokazuje analogno. Ako se iz eliptičkog snopa pravih izdvoje oni elementi koji pripadaju istoj ravni, ti elementi se i dalje seku u istoj tački O, a kroz svaku tačku ravni prolazi po jedna takva prava. Dakle, u datoj ravni imamo eliptički pramen pravih. U slučaju hiperboličkog snopa pravih, bazisna prava pramena pravih je prava preseka ravni α sa bazisnom ravni snopa. 52

54 Teorema Ako ravan α seče neki element paraboličkog snopa pravih, onda u tom snopu postoji prava koja ravan seče ortogonalno. Dokaz: Pretpostavimo da ravan α seče u tački A pravu AA iz paraboličkog snopa. Razlikujemo dva slučaja: Slika AA α (Slika ). Tada je dokaz završen. Slika AA α (Slika ). Onda prava AA obrazuje sa svojom projekcijom (postoji ravan β takva da AA β i β α ) na ravan α sa jedne strane tačke A oštar ugao, a sa druge strane te tačke tup ugao. Neka 53

55 je BAA < R. Neka je tačka C na polupravoj AB, takva da je A AB = Π(AC). U tački C konstruišemo normalu CC na ravan α. Ona će ujedno biti i normala na AB. Prema konstrukciji sledi da je CC AA, tj. da CC pripada paraboličkom snopu pravih. Pokažimo sada da je CC jedina prava uočenog snopa koja je normalna na ravan α. Pretpostavimo da postoji još jedna takva prava DD. Kako su CC i DD normalne na ravan α, onda su one normalne na svaku pravu te ravni koja prolazi kroz tačku C i tačku D (Slika ). Odavde je CD DD i CD CC, pa zaključujemo da prave CC i DD imaju zajedničku normalu, te su stoga hiperparalelne, tj. DD ne pripada paraboličkom pramenu pravih. Dakle, prava CC je jedinstvena sa navedenim svojstvom. Slika Definicija Tačka C, koja se pominje u dokazu prethodne teoreme naziva se središte ravni u odnosu na uočeni parabolički snop. Definicija Za tačku B b kažemo da je odgovarajuća tački A a iz istog snopa, ako je AB sečica jednakog nagiba za prave a i b. Kako elementi a i b snopa, uvek pripadaju istoj ravni, to je, takodje tačka A odgovarajuća tački B, tj. tačke A i B su uzajamno odgovarajuće. 54

56 Teorema U eliptičkom snopu dve odgovarajuće tačke su podjednako udaljene od središta snopa. Teorema U hiperboličkom snopu dve odgovarajuće tačke su podjednako udaljene od bazisne ravni snopa. Teorema Ako tačke A i B odgovaraju jedna drugoj na pravama a i b snopa, a tačke B i C odgovaraju jedna drugoj na pravama b i c istog snopa, onda tačke A i C odgovaraju jedna drugoj na pravama a i c. Dokaz: Razlikovaćemo tri slučaja, prema tome da li se radi o eliptičkom, paraboličkom ili hiperboličkom snopu pravih. 1 Posmatrajmo prvo eliptički snop sa središtem O. Kako su A i B odgovarajuće tačke na elementima a i b tog snopa, to je trougao AOB jednakokrak, odakle je AO = OB (Slika ). Iz istog razloga, jer su B i C odgovarajuće tačke jedna drugoj na elementima b i c tog snopa, trougao BOC jednakokrak, pa je OB = OC. Zaključujemo da je OA = OC. Dakle, OAC je jednakokrak, odakle sledi da je OAC = OCA, tj. prava AC je sečica jednakog nagiba za prave a i c snopa, odnosno tačke A i C su odgovarajuće tačke tih pravih. Slika Neka je sada snop pravih hiperbolički i neka je α njegova bazisna ravan. Neka su A, B i C preseci pravih a, b i c sa ravni α (Slika ). Kako su A i B odgovarajuće tačke na pravama a i b to je AA = BB. Takodje 55

57 je BB = CC. Na osnovu navedenih podudarnosti zaključujemo da je AA = CC. Prema tome četvorougao AA C C je Sakerijev, pa je A AC = C CA, tj. AC je sečica jednakog nagiba za prave a i c, a tačke A i C su odgovarajuće tačke na elementima a i c snopa. Slika Na kraju posmatrajmo parabolički snop pravih (Slika ). Neka su a AA, b BB i c CC prave paralelne u istom smeru. Obzirom da prave a, b i c nisu komplanarne, to tačke A, B i C nisu kolinearne. Obeležimo sa O središte ravni trougla ABC u odnosu na uočeni parabolički snop i neka je OO normala te ravni u tački O. Malopre smo pokazali da ako odredjenu ravan seče neki element paraboličkog snopa, onda u tom snopu postoji prava, koja tu ravan seče ortogonalno. Prema tome važi: OO α(a, B, C) i OO AA BB CC. Konstruišimo iz tačke O normale redom na stranice trougla ABC. Neka su to tačke F, D i E redom na stranice AB, BC i AC. Dakle OF AB, OD BC i OE AC. Ravan α 1 (O OF ) seče ravan β 1 (A ABB ) po F F. Sada koristeći teo- 56

58 remu 22 zaključujemo da je, F F AA BB CC. Slika Dakle, F F pripada uočenom paraboličkom pramenu. Slično i svaka od pravih DD i EE pripadaju istom paraboličkom snopu pravih. Kako je OO α(a, B, C) onda i svaka ravan koja sadrži OO je normalna na α(a, B, C). Dakle, α 1 (O OF ) α, α 2 (O OD) α i α 3 (O OE) α. S druge strane BC OD. Takodje BC α, OD α 2 i α 2 α. Dakle, BC α pa je u tački prodora normalna na svaku pravu iz ravni α 2. Zaključujemo da je BC α 2 (O OD), pa će biti normalna i na svaku pravu te ravni. Specijalno, BC DD. Slično je i F F AB i EE AC. Posmatrajmo prave AA i F F. One su paralelne u istom smeru, a prava F F je normalna na pravu AF. Zato je A AF = Π(AF ). Prava F F je takodje paralelna pravoj BB u istom smeru, a normalna na pravu BF, 22 Teorema : Ako su a i b dve razne medjusobno paralelne prave neke ravni π prostora Lobačevskog i tačka C van ravni π, tada se ravni α(a, C) i β(b, C) seku po izvesnoj pravoj c koja sadrži tačku C i paralelna je sa pravama a i b u istom smeru. 57

59 pa je B BF = Π(BF ). Tačke A i B su odgovarajuće, pa je AB sečica jednakog nagiba za elemente a i b snopa, i zato je A AF = B BF. Iz poslednje jednakosti je Π(AF ) = Π(BF ) što nam zapravo govori da je AF = BF. Slično je Π(BD) = Π(DC) odakle sledi BD = DC. Znači F i D su središta stranica AB i BC trougla ABC. Prave OD i OF su simetrale dveju stranica trougla ABC i seku se u tački O. Kako simetrale stranica trougla pripadaju istom pramenu, to kroz tačku O prolazi i simetrala treće stranice tog trougla, i važi OE AC. Dakle, tačka E je središte stranice AC trougla ABC. Posmatrajmo sada prave AA EE i CC EE. Kako je prava EE normalna na pravu AC, to je, A AE = Π(AE) i C CE = Π(CE). Obzirom da jednakim dužima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti, to je A AE = C CE, što pokazuje da je AC sečica jednakog nagiba elemenata a i c snopa, a A i C odgovarajuće tačke tih elemenata. Primetimo, da u dokazanoj teoremi tačke A, B i C pripadaju istoj kružnici. Naime, važi sledeća : Teorema U paraboličkom snopu, tri tačke, koje odgovaraju jedna drugoj na trima pravama tog snopa, pripadaju istoj kružnici, čije je središte - središte ravni te tri tačke u odnosu na uočeni snop Pramenovi ravni u prostoru Lobačevskog Kako u ravni Lobačevskog postoje tri vrste pramenova pravih (eliptički, parabolički i hiperbolički), u prostoru Lobačevskog će postojati tri vrste pramenova ravni : eliptički, parabolički i hiperbolički. O postojanju navedenih tipova ravni svedoči sledeća teorema : Teorema Skup ℵ pravih neke ravni π je pramen pravih ako i samo ako je skup Ω ravni koje sadrže prave skupa ℵ i upravne su na ravan π, pramen ravni. Navešćemo još dve teoreme, ne dokazujući ih, kojima se iskazuju izvesna svojstva pramenova ravni, a koje će nam biti potrebne za poglavlja koja slede: 58

60 Teorema Ako su α i β dve ravni koje se seku, koje su medjusobno paralelne ili su hiperparalelne, tada je skup Λ svih ravni upravnih i na ravni α i na β, redom, hiperbolički, parabolički ili eliptički. Kako je ravan koja je upravna na dvema ravnima, uprvana na svakoj ravni pramena koji je tim dvema ravnima odredjen, svaka ravan pramena Λ upravna na ravnima α i β biće upravna na svim ravnima pramena Λ (α, β), pa s toga možemo reći da su Λ i Λ medjusobno upravni pramenovi ravni. Teorema Pramen ravni upravan, redom, na eliptičkom, paraboličkom i hiperboličkom pramenu ravni biće redom, hiperbolički, parabolički ili eliptički. 59

61 4.2 Površ nivoa snopa pravih Definicija Uočimo snop pravih i tačku A. Skup svih tačaka prostora koje, u posmatranom snopu odgovaraju tački A, nazivamo površ nivoa tog snopa. Svaki element snopa je osa površi, a tačka A je njena početna tačka. Primetimo, površ nivoa je, za dati snop, potpuno odredjena početnom tačkom A. Zaista, na svakom elementu snopa postoji jedna i samo jedna tačka koja je odgovarajuća tački A. S druge strane, ma koje dve ovako dobijene tačke su par odgovarajućih tačaka u odnosu na one elemente snopa kojima pripadaju, prema teoremi iz prethodne glave. Prema tome, važi sledeća: Teorema Svaka tačka površi nivoa snopa može se uzeti za početnu tačku. Teorema Presek površi nivoa snopa sa ravni, koja prolazi kroz osu površi, je kriva koja dopušta slobodno kretanje po samoj sebi. Dokaz: U prethodnoj glavi smo pokazali da presek snopa sa ravni, koja prolazi kroz jedan element snopa, je pramen pravih. Dakle, ravan koja prolazi kroz osu površi nivoa snopa, seče taj snop po pramenu pravih. Tačke površi koje pripadaju i presečnoj ravni su odgovarajuće tačke u odnosu na one elemente snopa, kojima pripadaju. Medjutim ti elementi su i elementi dobijenog pramena pravih, pa su tačke preseka odgovarajuće tačke i u odnosu na taj pramen pravih. Obzirom da je kriva koje dopušta slobodno kretanje u sebi u stvari skup odgovarajućih tačaka pramena pravih, to je teorema dokazana. Teorema Svaka osa površi nivoa snopa je u isto vreme i normala te površi. Dokaz: Neka je l osa površi u njenoj tački A. Tada kroz pravu l prolazi beskonačno mnogo ravni, pri čemu svaka od njih seče površ po nekoj krivoj, koja dopušta slobodno kretanje po samoj sebi i sve te krive prolaze kroz tačku A. Prava l je osa svake od njih. Prema tome prava l je normala svake od tih krivih u tački A, pa je i normala cele površi u tački A. 60

62 Na sličan način, kao što smo u prethodnom poglavlju na pramenu definisali fundamentalne krive, sada ćemo na snopu definisati fundamentalne ili C-površi. To su takve površi koje presecaju sve prave snopa pod pravim uglom. Postoje tri vrste fundamentalnih površi (Slika ): a) C-površ konvergentnog (eliptičkog) snopa je sfera. Sve tačke sfere podjednako su udaljene od središta koje se poklapa s vrhom snopa. I obratno, sve tačke prostora podjednako udaljene od centra snopa pripadaju jednoj sferi. b) C-površ paraboličkog snopa zove se granična kugla ili orisfera. Orisfera se može smatrati graničnim slučajem sfere čije je središte infinitna tačka posmatranog paraboličkog pramena pravih O. c) C-površ hiperboličkog snopa je površ koja se zove hipersfera. Ova površ ima svojstvo da su joj sve tačke jednako udaljene od baze snopa, tj. od ravni na kojoj su normalne sve prave snopa. Pomenutu ravan nazivamo bazisna ravan ili osnova snopa. Zato hipersferu nazivamo i ekvidistantna površ. Osnovu odgovarajućeg snopa pravih nazivamo osnovom ekvidistantne površi, a duž, tj. udaljenost bilo koje tačke od osnove visinom te ekvidistantne površi. Slika Sve prave snopa u svakom od ova tri slučaja zovu se ose odgovarajuće fundamentalne površi. Napomenimo još jedno važno svojstvo fundamentalnih površi. Pomenute tri površi se često nazivaju i površima konstantne krivine. Osobina da površ 61

63 u svakoj svojoj tački ima konstantnu krivinu omogućuje toj površi da se kreće sama po sebi. To svojstvo omogućuje da se na svakoj od tih površi izgradi elementarna geometrija. Euklidska geometrija može se izgraditi isključivo na površima konstantne krivine. Teorema U prostoru Lobačevskog postoje isključivo tri površi stalne ili konstantne krivine. To su sfera, orisfera i hipersfera (ekvidistantna površ). Svaka ravan koja pripada snopu zove se dijametralna ravan odredjene C-površi i seče je u dijametralnom preseku. Svaki dijametralni presek C-površi je C-kriva i to : a) dijametralni presek sfere je kružnica (naziva se još i glavna kružnica sfere); b) dijametralni preseci hipersfera su hipercikli, a c) dijametralni preseci orisfere su oricikli. Presek dveju C-površi je C-kriva. Presek C-površi i ravni koja je upravna na nekoj pravoj snopa je krug ili tačka. S obzirom da postoji jedinstvena prava snopa upravna na zadatu ravan, presek proizvoljne ravni koja ne sadrži pravu kojom je orisfera definisana i orisfere je krug. Ako ravan seče osnovu ekvidistantne površi, tada je presek ravni i ekvidistantne površi ekvidistanta. U narednim glavama ćemo detaljnije razmotriti neke preseke ravni i C- površi. Rotacijom C-krive oko bilo koje svoje ose nastaje odgovarajuća C-površ. Recimo, rotacijom oricikla oko neke svoje ose nastaje orisfera. Predjimo na ispitivanje osobina fundamentalnih površi. 62

64 4.3 Površ nivoa eliptičkog snopa - sfera Kazali smo da u eliptičkom snopu dve odgovarajuće tačke su podjednako udaljene od središta snopa. Dakle, površ nivoa eliptičnkog snopa ima osobinu da su sve njene tačke podjednako udaljene od središta snopa odakle zaključujemo da je površ nivoa eliptičkog snopa sfera. Teorema Svaka ravan koja sadrži pravu eliptičkog snopa seče odgovarajuću sferu po krugu. Dokaz: Neka je dat eliptički snop pravih prostora Lobačevskog, sfera S i ravan α koja sadrži pravu a S. Neka je O centar sfere S (Slika ). Ravan α mora da sadrži tačku O (ravan α po pretpostavci sadrži pravu eliptičkog snopa, a sve prave eliptičkog snopa sadrže tačku O). Uočimo u ravni α još jednu pravu b koja pripada datom snopu pravih (u α je pramen). Označimo sa A i B presečne tačke u kojima prave a i b prodiru sferu S. Tačke A i B nalaze se na sferi S pa je (po definiciji površi nivoa eliptičkog snopa) AB sečica jednakog nagiba za eliptički pramen pravih u ravni α. Dakle, u preseku ravni α i sfere S dobija se krug. Slika

65 4.4 Površ nivoa hiperboličkog snopa - hipersfera Definicija Površ nivoa hiperboličkog snopa zove se ekvidistantnta površ (hipersfera). Bazisna ravan uočenog hiperboličkog snopa naziva se bazisna ravan ekvidistantne površi. Ekvidistantnu površ možemo formulisati i u obliku sledeće teoreme : Teorema Ekvidistantna površ je geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljenih od bazisne površi. Definicija Rastojanje tačaka ekvidistantne površi od bazisne ravni površi, zove se parametar ili visina ekvidistantne površi. Ekvidistantne površi se medju sobom, osim po položaju, razlikuju i po parametru. U specijalnom slučaju kada je parametar nula, ekvidistantna površ je ravan. Na osnovu prethodne teoreme, zaključujemo da se ekvidistantna površ sastoji iz dva dela, od kojih se svaki nalazi sa po jedne strane bazisne ravni. Teorema Ravan koja je mimoilazna sa bazisnom ravni ekvidistantne površi, ne seče tu površ, ako je najkraće rastojanje izmedju te ravni i bazisne ravni, veće od parametra površi; dodiruje je ako je to rastojanje jednako parametru ekvidistantne površi, a seče je po kružnici, ako je to rastojanje manje od parametra površi. Dokaz: Neka je π bazisna ravan ekvidistantne površi, a β ravan koja je sa π mimoilazna. Označimo sa MN zajedničku normalu pomenutih ravni. Po pretpostavci, MN je manja od parametra ekvidistantne površi. Kako se, počev od normale MN ravni π i β neprekidno udaljavaju jedna od druge, to postoje tačke ravni β čija su rastojanja od ravni π jednaka parametru površi. Te tačke su tačke preseka ravni β i ekvidistantne površi. Označimo sa A i B presečne tačke ravni β i ekvidistantne površi, a sa A i B njihove projekcije na bazisnu ravan. U tom slučaju je AA = BB. Lambertovi četvorougli MNAA i MNBB imaju zajedničku osnovicu MN, pri čemu su im suprotne visine AA i BB podudarne. Prema jednom od stavova za podudarnost Lambertovih četvorougla, sledi podudarnost četvorougla MNAA i MNBB. Iz njihove podudarnosti sledi MA = MB. 64

66 Dakle, ma koje dve tačke preseka ravni β i ekvidistantne površi podjednako su udaljene od utvrdjene tačke ravni β. Odavde zaključujemo da je presek ravni β i ekvidistantne površi, pri datim uslovima, kružnica. Teorema Ekvidistantna površ je obrtna površ oko svake svoje ose. Dokaz: Navedeno tvrdjenje je neposredna posledica prethodne teoreme. Zaista, na svakoj osi ekvidistantne površi, u tački koja je izmedju površi i bazisne ravni, možemo postaviti ravan, koja je normalna na uočenu osu. Ta ravan prema prethodnoj teoremi seče ekvidistantnu površ po kružnici. Važi i sledeće tvrdjenje : Teorema Ravan koja prolazi kroz osu ekvidistantne površi, seče tu površ po ekvidistantnoj liniji. Dokaz: Neka je dat hiperbolički snop pravih prostora Lobačevskog, ekvidistantna površ E i ravan α koja sadrži pravu a {E} (Slika ). Slika

67 Neka je još i β bazisna ravan ekvidistantne površ. Označimo sa β α = p. Tada je a p. Neka je A tačka u kojoj prava a prodire ekvidistantnu površ E. Ravan α takodje sadrži i tačku A. Uočimo u ravni α još jednu pravu b koja pripada datom snopu pravih (u α je pramen pravih). Neka je B presečna tačka prave b sa ekvidistantnom površi. Tada, AB je sečica jednakog nagiba (po definiciji ekvidistantne površi) i a b. h Uočimo u ravni α još jednu pravu c koja pripada datom snopu pravih. Neka je C presečna tačka prave c sa ekvidistantnom površi. Sada je AC sečica jednakog nagiba (jer je ekvidistantna površ po definiciji površ nivoa hiperboličkog snopa pravih) i a c. h Nastavljajući postupak dolazimo do ekvidistantne površi (vidi definiciju ekvidistantne površi ). Dakle, pokazali smo da ako ravan seče osnovu ekvidistantne površi, onda je presek te ravni i ekvidistantne površi - ekvidistanta. Sledećom teoremom ćemo odgovoriti na pitanje šta se dobija u preseku ekvidistantne površi i ravni paralelne njenoj osnovi. Teorema Presek ravni α koja je paralelna osnovi π neke ekvidistantne površi E i pripada poluprostoru sa rubom π kojem pripada i E, je oricikl. Teorema Dve ekvidistantne površi su podudarne ako i samo ako su im podudarne visine. Na kraju, napomenimo još jednom da je ekvidistantnu površ moguće razmatrati i kao dvojnu ekvidistantnu površ, tj. kao dva disjunktna skupa tačaka podjednako udaljenih od zajedničke bazisne ravni pri čemu svaki od ovih skupova tačaka pripada po jednom poluprostoru odredjenim bazisnom ravni. 66

68 4.5 Površ nivoa paraboličkog snopa - orisfera Definicija Površ nivoa paraboličkog snopa pravih zove se orisfera. Kroz svaku tačku A prostora, prolazi uvek jedna i samo jedna osa orisfere. Definicija Kažemo da je tačka A unutrašnja tačka orisfere, ako se nalazi sa one strane orisfere, sa koje je smer paralelnosti njenih osa. Definicija Kažemo da je tačka A spoljašnja tačka orisfere, ako se nalazi sa one strane orisfere, sa koje nije smer paralelnosti njenih osa. Teorema Ravan koja prolazi kroz osu orisfere, seče tu površ po oriciklu. Dokaz: Neka je dat parabolički snop pravih prostora Lobačevskog, orisfera O i ravan β koja sadrži pravu a {O}. Neka je A tačka u kojoj prava a prodire orisferu O (Slika ). Ravan β takodje sadrži i tačku A. Uočimo u ravni β još jednu pravu b koja pripada datom snopu pravih (u β je pramen pravih). Neka je B presečna tačka prave b sa orisferom. Tada, AB je sečica jednakog nagiba (po definiciji orisfere) i a b. Slika

69 Uočimo u ravni β još jednu pravu c koja pripada datom snopu pravih. Neka je C presečna tačka prave c sa orisferom. Sada je AC sečica jednakog nagiba (jer je orisfera po definiciji površ nivoa paraboličkog snopa pravih) i c a. Nastavljajući postupak dolazimo do oricikla (vidi definiciju oricikla ). Teorema Orisfera je obrtna površ oko svake svoje ose. Dokaz: Orisfera je granični slučaj sfere, u slučaju kada poluprečnik sfere neograničeno raste. Iskazana činjenica se pokazuje na isti način na koji smo pokazali da je oricikl granični položaj kružnice, kada poluprečnik kružnice neograničeno raste. Teorema Ako ravan ne prolazi kroz osu orisfere, a njena središnja tačka u odnosu na parabolički snop osa pripada spoljašnjosti orifere, ona ne seče orisferu. Ako središnja tačka pripada površi, ravan dodiruje orisferu, a ako središnja tačka pripada unutrašnjosti orisfere, ravan je seče po kružnici čiji je centar središnja tačka ravni u odnosu na snop orisfere. Dokaz: Razmotrimo svaki slučaj ponaosob : (1) Neka središte ravni α pripada spoljašnjosti orisfere (Slika ). Neka je to tačka M. Slika

70 Na osnovu rezultata, da ukoliko ravan seče neki element paraboličkog snopa, onda u tom snopu postoji ravan koja taj snop seče ortogonalno, zaključujemo da prava MM pripada paraboličkom snopu koji odredjuje orisferu i MM α. Neka osa orisfere, koja prolazi kroz tačku M seče orisferu u tački C. Posmatrajmo sada tangentnu ravan na orisferu u tački C. Na osnovu teoreme 23, prava CM je normalna na tangentnu ravan u tački C. Tangentna ravan i ravan α imaju zajedničku normalu pa su one hiperparalelne, to sve njene tačke pripadaju spoljašnjosti orisfere. Dakle ravan α nema zajedničkih tačaka sa orisferom. (2) U slučaju kada središnja tačka ravni pripada orisferi, ravan je normalna na osu MM orisfere u njenoj tački (Slika ). Sve ostale tačke te ravni pripadaju spoljašnjosti orisfere, pa je to tangentna ravan orisfere. Slika (3) Neka je C 0 središnja tačka date ravni u odnosu na snop orisfere, i neka pripada unutrašnjosti orisfere (Slika ). Sledi da je C 0 C α, pa je normalna i na svaku pravu ravni α u tački C 0. Obeležimo sa C presečnu tačku orisfere i njene ose, koja prolazi kroz C 0. Tada će svaka ravan, kao što smo pokazali u jednoj od prethodnih teorema, koja prolazi kroz pravu CC 0 seći orisferu po oriciklu, a 23 Teorema: Svaka prava nekog snopa pravih prostora L 3 upravna je na površ koja odgovara tom snopu pravih. 69

71 datu ravan po pravoj koja je normalna na osu CC 0 orisfere i presečnog oricikla. Kako ta prava prolazi kroz unutrašnju tačku C 0 presečnog oricikla ona ga seče u dvema tačkama A i A 1, koje pripadaju orisferi i to su odgovarajuće tačke paraboličkog snopa pravih, koje pripadaju istoj kružnici. Prema tome svaka ravan koja je normalna na osu orisfere, a seče je u unutrašnjoj tački, seče orisferu po kružnici (jer je orisfera obrtna površ oko svake svoje ose). Slika

72 4.6 Površi koje dopuštaju slobodno kretanje u sebi U glavi o karakterističnim krivama u ravni Lobačevskog videli smo da fundamentalne krive dopuštaju slobodno kretanje po samoj sebi. Sada ćemo razmatrati isti problem, ali za fundamentalne površi. Pokazaćemo da i one dopuštaju slobodno kretanje u sebi, i opisaćemo transformacije podudarnosti kojima se to postiže. Uočimo u ravni Lobačevskog sledeće elemente: tačku A i pravu a koja prolazi kroz tu tačku, kao i tačku B i pravu b koja prolazi kroz tačku B. Uvek postoji transformacija podudarnosti, koja ravan preslikava na samu sebe, tako da se tačka A preslikava na tačku B, a prava a na pravu b. Sada ćemo opisati kako se ova podudarnost može realizovati. Najpre, primenimo translaciju za duž AB. Translacija preslikava ravan na samu sebe, tako da se tačka A preslikava na B, dok se prava a preslikava na pravu a, koja prolazi kroz tačku B. Sada primenimo rotaciju ravni oko tačke B. Ona takodje preslikava ravan na samu sebe, i pri tom se tačka B preslikava na samu sebe. Rotacija se uvek može izabrati tako da se prava a preslikava na pravu b. Konačno, proizvod translacije i ove rotacije je transformacija podudarnosti, sa osobinama koje smo napred naveli. Posmatrajmo sferu. Uočimo na njoj tačku A i veliku kružnicu a, koja prolazi kroz tu tačku. Dalje, uočimo veliku kružnicu b, koja prolazi kroz tačku B. Rotacija oko nekog prečnika sfere preslikava sferu na samu sebe. Ako se radi o prečniku koji je normalan na ravni velike kružnice OAB, gde je O središte sfere, a za ugao rotacije se uzme AOB, velika kružnica OAB se preslikava na samu sebe, tako da se tačka A preslikava na tačku B, dok se kružnica a preslikava na veliku kružnicu a, koja prolazi kroz tačku B. Rotacijom sfere oko njenog prečnika OB može se kružnica a preslikati na kružnicu b. Proizvod ove dve rotacije je transformacija podudarnosti, koja sferu preslikava na sebe, tako da se tačka A preslikava na tačku B, a kružnica a koja je u unutrašnjoj geometriji sfere prava - na kružnicu (pravu) b. Uvodimo sledeću definiciju : Definicija Za površ koja se može transformacijom podudarnosti preslikati na samu sebe, tako da se tačka i prava kroz tu tačku preslikavaju na proizvoljnu, ali unapred zadatu tačku i proizvoljnu, ali unapred datu pravu kroz tu tačku, kažemo da dopušta slobodno kretanje u sebi. U Euklidskom prostoru jedine površi koje dopuštaju slobodno kretanje u sebi su ravan i sfera. (Proizvoljna obrtna površ, ne dopušta slobodno 71

73 kretanje u sebi.). Pokazaćemo da, u prostoru Lobačevskog pored ravni i sfere, ekvidistantna površ i orisfera dopuštaju slobodno kretanje u sebi. Posmatrajmo najpre u prostoru Lobačevskog ekvidistantnu površ, i neka su M i N dve proizvoljne tačke te površi. Označimo sa M i N njihove projekcije na bazisnu ravan. Neka je a ekvidistantna linija površi, koja ima osobinu da prolazi kroz tačku N i pripada ravni, koja je normalna na bazisnu ravan, a b ekvidistantna linija iste površi, koja prolazi kroz tačku M, i pripada ravni normalnoj na bazisnu ravan (Slika ). Slika Posmatrajmo transformaciju podudarnosti koja bazisnu ravan preslikava na samu sebe. Pri tom se svaka normala na bazisnu ravan preslikava na normalu na bazisnu ravan, pa se prema tome ekvidistantna površ preslikava na samu sebe. Ukoliko se radi o transformaciji podudarnosti, takvoj da se prava M N preslikava na samu sebe, i to tako da se tačka N preslikava na tačku M, ekvidistantna površ se preslikava na samu sebe, tako da se ekvidistanta NM preslikava na samu sebe, a tačka N na tačku M. Ekvidistanta a se preslikava na ekvidistantu a, koja prolazi kroz tačku M. Obrtanjem ekvidistantne površi oko ose MM, transformišemo ekvidistantu a u b. Dakle, ekvidistantna površ dopušta slobodno kretanje u sebi. Slično se može pokazati da je i orisfera površ koja dopušta slobodno kretanje u sebi. Tačnije, ako su A i B tačke orisfere, a AA i BB odgovarajuće ose, transformišemo osu AA u BB, a tačku A u B. Zatim obrtanjem orisfere oko njene ose BB možemo oricikl orisfere koji prolazi kroz tačku B, transformisati u drugi takav oricikl. Odavde sledi da orisfera dopušta slobodno 72

74 kretanje u sebi. Kao posledicu poslednjeg razmatranja dobijamo sledeću teoremu : Teorema Sve orisfere su medjusobom podudarne. Dokaz: Neka je orisfera O odredjena tačkom A i osom AA a orisfera L tačkom B i osom BB. Kretanjem se prava AA može dovesti do poklapanja sa pravom BB. Pri tom se tačka A može dovesti do poklapanja sa tačkom B 1 prave BB. Novim kretanjem, duž prave BB, tačka B 1 se transformiše u tačku B. 73

75 5 Unutrašnja geometrija fundamentalnih površi Sistem osnovnih pojmova, aksioma kao i njihovih posledica koje karakterišu figure neke površi, kao i medjusobne odnose tih figura, zove se unutrašnja geometrija te površi. Drugim rečima, pod unutrašnjom geometrijom površi podrazumeva se skup svih onih osobina njenih figura, koje se dobijaju sredstvima same površi, ne pozivajući se na okolni prostor u koji je ta površ smeštena. Tako, na primer, euklidska planimetrija je unutrašnja geometrija euklidske ravni. Slično, sferna trigonometrija pripada geometriji loptine površi. Unutrašnja geometrija površi zasniva se i izgradjuje na isti način kao i unutrašnja geometrija ravni. Utvrdjuje se izvestan broj osnovnih objekata i izmedju njih uspostavljaju izvesni uzajamni odnosi. Zatim se ispituje kakav je sistem aksioma koje, na toj površi, ti osnovni objekti zadovoljavaju. Napomenimo, da u stvari, taj sistem aksioma i karakteriše unutrašnju geometriju posmatrane površi. U svakoj od do sada proučavanih fundamentalnih površi može se razviti njena unutrašnja geometrija. Pokazuje se da analogne figure u svakoj od tih površi pokazuju različita svojstva. Može se na primer posmatrati trougao u svakoj od fundamentalnih površi. Pokazaćemo da se ti trouglovi razlikuju po mnogim svojstvima. U poglavljima koja slede, prelazimo na ispitivanje unutrašnje geometrije svake od fundamentalnih površi. 74

76 5.1 Unutrašnja geometrija ekvidistantne površi Razmotrićemo pitanje unutrašnje geometrije ekvidistantne površi u prostoru Lobačevskog. Pri deduktivnoj izgradnji geometrije neke površi sledi se isti put kojim se ide i pri izgradnji Euklidske planimetrije u običnoj ravni. Najpre uspostavljamo osnovne pojmove i osnovne teoreme. Polazeći od pomenutih osnova izvode se raznovrsni zaključci, teoreme i izgradjuje se geometrija. U običnoj planimetriji medju osnovne pojmove ubrajamo tačku i pravu. Analogni osnovni pojmovi uvode se i na ekvidistantnoj površi. Pod tačkom ćemo podrazumevati bilo koju tačku ekvidistantne površi. Ulogu prave u unutrašnjoj geometriji ekvidistantne površi ima kriva koja se naziva geodezijska ekvidistanta. Naime, važi sledeća definicija : Definicija Geodezijska ekvidistanta je kriva po kojoj ravan što prolazi kroz osu ekvidistantne površi seče ekvidistantnu površ. Uvedimo sada relaciju pripadnosti, izmedju i podudarnosti medju osnovnim pojmovima. Za ovako definisane osnovne pojmove kazaćemo da, u unutrašnjoj geometriji ekvidistantne površi, pripadaju jedan drugom, ako oni pripadaju jedan drugom u običnom smislu. Uvedimo sada relaciju izmedju: za tačku B ekvidistantne površi, kazaćemo da se nalazi izmedju tačaka A i C te površi, ako se projekcija tačke B, u oznaci B na bazisnu ravan ekvidistantne površi, nalazi izmedju projekcija A i C tačaka A i C. Na kraju, ostaje nam da uvedemo i relaciju podudarnosti. Za dve figure ekvidistantne površi kazaćemo da su podudarne medju sobom, ako se one kretanjem površi po samoj sebi, mogu dovesti do poklapanja, a takodje i ako su simetrične u odnosu na bilo koju ravan. U daljem proučavanju unutrašnje geometrije ekvidistantne površi pokazaćemo da ovako izabrani osnovni objekti i njihovi uzajamni odnosi, zadovoljavaju sve zahteve aksioma veze I 1 3, aksioma rasporeda II 1 4, aksioma podudarnosti III 1 5, aksioma neprekidnosti IV 1 2 Hilbertovog sistema aksioma i aksiomu Lobačevskog V L. 75

77 Proverićemo, redom, aksiome Hilbertovog sistema aksioma. Aksiome veze Aksioma I 1: Za ma koje tačke A i B postoji geodezijska ekvidistanta a kojoj pripada i tačka A i tačka B. Obeležimo sa A i B projekcije tačaka A i B na bazisnu ravan α uočene ekvidistantne površi. Kroz prave A B, AA i BB uvek prolazi jedna i samo jedna ravan β koja uvek seče ekvidistantnu površ i to po geodezijskoj ekvidistanti. Odavde zaključujemo da je na ekvidistantnoj površi zadovoljena i aksioma I 1 ali i aksioma I 2 Hilbertovog sistema aksioma koja glasi : Aksioma I 2: Za ma koje dve tačke A i B, postoji najviše jedna geodezijska ekvidistanta, koja pripada i tački A i tački B. Ostaje nam da proverimo da li važi aksioma I 3, tj. aksioma : Aksioma I 3: Geodezijskoj ekvidistanti pripadaju najmanje dve tačke. Postoje najmanje tri tačke koje ne pripadaju istoj geodezijskoj ekvidistanti. Neka je a geodezijska ekvidistanta uočene površi. Ravan γ kojoj ona pripada stoji normalno na bazisnu ravan α površi i seče je po pravoj a. U geometriji Lobačevskog važi aksioma I 3 (obzirom da važe sve aksiome Apsolutne geometrije). S toga na pravoj a postoje najmanje dve tačke A i B, a takodje u bazisnoj ravni α postoji najmanje još jedna tačka C, koja ne pripada pravoj a. Podignimo u tačkama A, B i C normale na bazisnu ravan. Prve dve normale ujedno su i ose ekvidistantne površi i pripadaju ravni γ. One, dakle, seku površ u tačkama A i B koje pripadaju ekvidistanti a. Prema tome, na proizvoljnoj geodezijskoj ekvidistanti površi postoje najmanje dve tačke, A i B. Normala u tački C je osa površi, ali ne pripada ravni γ. Stoga ta normala seče površ u tački C, koja ne pripada ekvidistanti a. To znači da na ekvidistantnoj površi postoje najmanje tri tačke, koje ne pripadaju istoj geodezijskoj ekvidistanti. Dakle, na ekvidistantnoj površi su zadovoljene sve tri aksiome prve grupe Hilbertovog sistema aksioma, tj. aksiome I

78 Prelazimo, na ispitivanje da li važi druga grupa aksioma. Aksiome rasporeda Aksioma II 1: Ako se tačka B nalazi izmedju tačaka A i C, onda su A, B i C tri razne tačke jedne iste geodezijske ekvidistante, i tačka B se, takodje nalazi izmedju C i A. Posmatrajmo projekciju a geodezijske ekvidistante a na bazisnu ravan α ekvidistante površi. Tačke A, B i C ekvidistante a, projektuju se na tačke A, B i C prave a. Kako je na pravoj a Hiperboličke ravni α zadovoljena aksioma II 1, to imamo sledeće. Podignimo u tačkama A, B i C normale na bazisnu ravan α. Sve tri normale pripadaju ravni γ, koja stoji normalno na bazisnu ravan α površi i seče je po pravoj a. Pomenute normale pripadaju ravni γ, a pri tom su i ose ekvidistantne površi. Stoga one seku ekvidistantnu površ u tačkama A, B i C koje pripadaju geodezijskoj ekvidistanti a, pri čemu se tačka B nalazi izmedju tačaka A i C. Analogno se proveravaju i ostale aksiome rasporeda. Aksiome podudarnosti Da bi verifikovali aksiome podudarnosti, primetimo da se uspostavlja uzajamno jednoznačna korespondencija, izmedju tačaka površi i bazisne ravni, ukoliko se izvrši ortogonalno projektovanje ekvidistantne površi na njenu bazisnu ravan. Kako ekvidistantna površ i ravan dopuštaju slobodno kretanje u sebi, to ma koje kretanje bazisne ravni α, koje dovodi do poklapanja nekih figura te ravni, indukuje kretanje površi, koje dovodi do poklapanja odgovarajućih figura na površi. Dakle, figure ekvidistantne površi se nalaze u istim odnosima uzajamne podudarnosti, u kakvim se nalaze odgovarajuće figure njene bazisne ravni. Prema tome, zaključujemo da su u unutrašnjoj geometriji ekvidistantne površi zadovoljeni svi zahtevi aksioma podudarnosti Hilbertovog sistema aksioma, jer su te aksiome zadovoljene u geometriji bazisne ravni α. Aksiome neprekidnosti Na isti način, kao kod provere da li važe aksiome podudarnosti, ortogonalnim projektovanjem ekvidistantne površi na njenu bazisnu ravan, možemo se uveriti da su u unutrašnjoj geometriji ekvidistantne površi, zadovoljene i aksiome neprekidnosti Hilbertovog sistema aksioma. Naime, važe sledeće dve aksiome : 77

79 Aksioma IV 1: Ako su AB i CD dve proizvoljne duži, tada na geodezijskoj ekvidistanti AB postoji konačan niz tačaka A 1, A 2,..., A n takvih da je B(A 1, A 2,..., A n ), pri čemu je svaka od duži AA 1, A 1 A 2,..., A n 1 A n podudarna duži CD i B(A, B, A n ). Aksioma IV 2: Ako je A 1 B 1, A 2 B 2,..., A n B n,... niz zatvorenih duži jedne iste geodezijske ekvidistante, takvih da svaka od tih duži sadrži sledeću, tada postoji tačka X koja pripada svakoj duži tog niza. Videli smo, da prilikom razvijanja geometrije na ekvidistantnoj površi, na njoj važe sve aksiome Apsolutne geometrije, pri čemu ulogu pravih imaju geodezijske ekvidistante. Ostaje još da se pokaže da u unutrašnjoj geometriji ekvidistantne površi važi : Aksioma Lobačevskog Da bi pokazali da važi Aksioma Lobačevskog, posmatrajmo tačku C koja pripada ekvidistantnoj površi, a ne pripada geodezijskoj ekvidistanti AB te površi. Neka je CD geodezijska ekvidistanta površi, koja prolazi kroz tačku C. Ona seče ekvidistantu AB ako i samo ako njena projekcija C D seče projekciju A B ekvidistante AB na bazisnu ravan α površi. Kako je na ravni α zadovoljena Aksioma Lobačevskog V L, tj. kroz tačku C van prave A B prolazi beskonačno mnogo pravih, koje ne seku pravu A B, to je, zbog uzajamno jednoznačne korespondencije izmedju tačaka površi i bazisne ravni, isti slučaj i na ekvidistantnoj površi, tj. kroz tačku C prolazi beskonačno mnogo geodezijskih ekvidistanti, koje ne seku ekvidistantu AB. Ovo je jedan od načina da se pokaže da u unutrašnjoj geometriji ekvidistantne površi važi Aksioma Lobačevskog. Navedimo još jedan. Najpre, ugao izmedju dve geodezijske ekvidistante definišimo kao ugao koji grade tangente tih dveju geodezijskih ekvidistanti, u tački njihovog preseka. Na osnovu tako definisanih uglova izmedju geodezijskih ekvidistanti na ekvidistantnoj površi može se rešiti problem paralela na toj površi. U tom cilju posmatrajmo trougao ABC na ekvidistantnoj površi σ i njegovu projekciju trougao A B C u bazisnoj ravni ρ ekvidistantne površi σ. Projektovanje je izvedeno pomoću osa AA, BB i CC ekvidistantne površi (Slika ). Pomenute ose su normalne na ravan ρ. Zato su uglovi B A C i BAC medjusobno jednaki, jer se radi o uglovima jednog istog 78

80 prostornog ugla koji obrazuju ravni AA B B i AA C C. Iz istog razloga je : A B C = ABC, A C B = ACB. Slika Odavde proizilazi da je zbir uglova trougla A B C jednak zbiru uglova trougla ABC na ekvidistantnoj površi. Ali kako je zbir uglova trougla A B C manji od zbira dva prava ugla (jer je to trougao ravni ρ Lobačevskog), prema tome je i zbir uglova trougla na ekvidistantnoj površi manji od 180. Znamo da je teorema o zbiru uglova trougla ekvivalentna s aksiomom o paralelama. Stoga zaključujemo da na ekvidistantnoj površi važi aksioma o paralelama geometrije Lobačevskog, pa imamo teoremu : Teorema Unutrašnja geometrija ekvidistantne površi je Hiperbolička planimetrija, pri čemu ulogu pravih imaju geodezijske ekvidistante. Zato se geometrija na ekvidistantnoj površi može dobiti neposredno iz planimetrije Lobačevskog ako se u ovoj reč prava zameni sa ekvidistanta a reč ravan sa ekvidistantna površ. 79