3. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA IZMJENIČNE STRUJE ='5$9.2. z=a+jb

Transcript

1 3. METODE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV ZMJENČNE STRUJE 3.1. SMBOLČK METOD Simoličk metod ili metod kompleksne rvnine primjenjuje se kod rčunnj s vektorim, služi z rješvnje prolem formlnih nlognih izrz, osoito kod nlize strujnih krugov. Vektori se mogu prikzti pomoću određenog kompleksnog roj, p se rješvnjem relcij između kompleksnih rojev rješvju i odnosi među vektorim, koji se ond mogu primjeniti i n električne izmjenične veličine. Svki se vektor u kompleksnoj rvnini može prikzti, ko n slici 64, s dv međusono okomit vektor, odnosno sstvljen iz dvije komponente, od kojih je jedn u smjeru osi relnih vrijednosti, drug u smjeru osi imginrnih vrijednosti. 2 Z = tgϕ=/ 2 m Slik 64. Kompleksni roj ko vektor Neki vektor Z određen je u kompleksnoj rvnini točkom z koj im koordinte i. Pritom je relni dio kompleksnog roj (vektor Z ), imginrni dio. Poznto je d je veličin j tzv. imginrn jedinic ili j = 1. z mtemtike je poznto d se kompleksni roj z može pisti ko: z= Z ϕ gdje je Z = Z ϕ z=j Re 2 2 psolutni iznos ili veličin vektor Z, ϕ =rctg(/) ko kut vektor prem relnoj osi. Z rješvnje prolem krugov izmjenične struje tre koristiti ovj nčin prikz pomoću vektorskog dijgrm ili poligon, kd se može upotrijeiti i vektorsk lger. Tko se u svrhu prktične primjene produkt dv kompleksn roj z = Z ϕ i 1 1 z2 = Z2 ϕ može pisti : 2 z. 1 z 2 = Z 1. Z 2 ϕ 1 ϕ 2 Kvocijent kompleksnih rojev z 1 i z 2 može se td pisti: z Z 1 1 = ϕ1 ϕ2 z2 Z 2 Ko što je već poznto i pojedini elektrotehnički elementi mogu se prikzti spomenutom metodom kompleksnih rojev, tko što se izjegv upor integrlnog rčun i diferencijlnih jedndži, li smo kod sinusoidlnih poud. Ovdje je vžno istknuti d će se zog jednostvnosti prikz nlizirti uglvnom mreže s sinusoidlnom poudom i to u stcionrnom stnju. Stcionrno stnje u strujnom krugu nstje kd se zvrše sve prelzne pojve. 1 1

2 Pojedini elektrotehnički elementi u kompleksnoj rvnini mogu se prikzti: : omski otpor R : induktivni otpor L c: kpcitivni otpor C z R =Rj0=R 0 z L =0jωL=ωL 90 z C =01/jωC=-j/ωC=1/ωC -90 d: međuinduktivni otpor u 1 =M di2 i dt 1 =0 u 2 =M di1 i dt 2 =0 M=k LL 1 2 u 1 =-M di2 i dt 1 =0 u 2 =-M di1 i dt 2 =0 u 1 i 1 M u 1 i 1 L 1 L 2 M L 1 L 2 i 2 u 2 i 2 u 2 U kompleksnom oliku odnos veličin io i sljedeći: u 1 =i 1. jωl 1 i 2. jωm u 2 =i 2. jωl 2 i 1. jωm, z pozitivn utjecj međuinduktivitet i u 1 =i 1. jωl 1 -i 2. jωm u 2 =i 2. jωl 2 -i 1. jωm, z suprotn utjecj međuinduktivitet gdje je: X 1 =jωl 1, X 2 =jωl 2 i X M =jωm. 2

3 Y T ϕ t Slik 65. Prikz sinusoidlne funkcije U relnom vremenu, funkcij npon mplitude i periode T sinusoidlno se mijenj, što se vidi iz slike 65, opisuje se funkcijom y=. sinωt gdje je: ω=2π/t=2πf kružn frekvencij U kompleksnom oliku ov se funkcij može prikzti: u= e jωt. Ukoliko postoji fzni pomk u odnosu n ishodište, td je funkcij slijedećeg olik: u=. sin(ωtϕ) ili u kompleksnom oliku: u=. e j(ωtϕ) POJM MPEDNCJE Općenito impedncij je omjer npon i struje s tim d su i struj i npon vremenski promjenjive veličine. ko je npon u(t)=u. m sin(ωtϕ u ) i struj i(t)= m.sin(ωtϕ i ) koji u kompleksnom ( ) ( ω ϕ ) ond je impedncij j t u = m oliku izgledju : u U e j( ωt ϕu ) u Ume j ϕu ϕi z = = j( ωt ϕ = Ze i ) i e m Serijski spoj impedncij j t i = m ω ϕ, i e ( ) Z 1 Z 2 Z n Z=Z 1 Z 2...Z n Prlelni spoj impedncij Z 1 Z 2 Z n = Z Z1 Z2 Z n 3

4 Zdn su dv sinusoidln npon s ovim podcim: Odredite: T=0.001s U 1m =10V U 2m =5V ϕ 1 =-Π/6 ϕ 2 =Π/4. 1. kružnu ω i cikličku f frekvenciju npon 2. jedndže trenutnih vrijednosti npon tj. u 1 (t) i u 2 (t) zmjenični npon je npon čij se vrijednost mijenj u vremenu, odnosno to je npon kojemu se ne mijenj smo veličin nego i polritet. Z tkv npon potreno je definirti tri vrijednosti: mplitudu npon odnosno mksimlnu (tjemenu) vrijednost, kružnu frekvenciju npon koj služi z pretvrnje rgument u odgovrjući kut i fzni pomk u odnosu n referentni npon. 1. promjenjivost izmjeničnih npon i struj oznčv se trjnjem jedne periode T ili češće frekvencijom f tj. rojem period u jedinici vremen. f=1/t=1/0.001=1000hz=1khz ω=2πf= =6280s trenutn vrijednost npon (slik 66) prikzuje se u oliku: u(t)=u m sin(ωt ϕ) u 1 (t)=10 sin(6280t - Π/6) Slik 66. u 2 (t)=5 sin(6280t Π/4) U nlizi strujnih krugov izmjenične struje služiti ćemo se vektorskim prikzom ili kompleksnim rojevim jer je time olkšno rčunnje z rzliku od prikz npon i struj pomoću trenutnih vrijednosti. Kompleksni rojevi su proširenje skup relnih rojev, odnosno to je roj olik z=j gdje je relni dio, imginrni dio kompleksnog roj. Kompleksni roj u koordintnom sustvu je vektor s koordintm (,), projekcij vektor n os pscis predstvlj relni dio kompleksnog roj, projekcij n os ordint imginrnu vrijednost kompleksnog roj. Kompleksni roj z se može prikzti i u eksponencijlnom oliku z=z e jϕ što skrćeno pišemo u oliku z=z ϕ gdje je Z psolutn vrijednost kompleksnog roj, ϕ kut koji vektor z ztvr s osi pscis. Po Eulerovoj formuli je: e jϕ =cos(ϕ) j sin(ϕ) 4

5 Prvil koj vrijede pri rčunnju s kompleksnim rojevim: nek su zdn dv kompleksn roj z 1 =j i z 2 =cjd z 1 =Z 1 e jϕ1 z 2 =Z 2 e jϕ2 1. zrjnje dv kompleksn roj z 1 z 2 =(j)(cjd)=cj(d) 2.oduzimnje dv kompleksn roj z 1 -z 2 =(j)-(cjd)=-cj(-d) 3.množenje dv kompleksn roj z 1 z 2 =(j)(cjd)=cjdjcj 2 d=c-dj(dc) z 1 z 2 =Z 1 Z 2 e j(ϕ1ϕ2) 4.djeljenje dv kompleksn roj 2 z1 j c jd c jd jc j d c d j( c d ) = = = z2 c jd c jd c d c d z 1 /z 2 =Z 1 /Z 2 e j(ϕ1-ϕ2) zrzi z trenutne vrijednosti struj su: i1 = 2sin ωt i i 2 3 = 6 2 sin = 4sin( ωt ( ωt Π / 3 ) Π / 4 ) ( ωt Π / 6 ) ωt 2Π / ) i4 = 8 2 cos i5 = 10sin( 3 Tre ncrtti u kompleksnoj rvnini vektorske dijgrme struj te odrediti izrze z struje u kompleksnom oliku. N slici 67 je prikzn dijgrm vektor struj (mplitud). Kompleksn mplitud struje (npon) koj se hrmonično mijenj određuje se izrzom m =. m e jϕi U m =U. m e jϕu, u slučju sinusoidlne funkcije rgument se rčun od osi pscis, z kosinusoidlne veličine od osi ordint. zlzi d je: 1m =2 2m =6 2 e -jπ/3 3m =4 e jπ/4 4m =8 2 e jπ/6 5m =-10 e j2π/3 = 10 e j5π/3 4m 30 3m 45 1m 60 2m 5m Slik 67 5

6 Ukoliko se želi kompleksni roj npon ili struje pretvoriti u trenutnu vrijednost tre upotrijeiti Eulerovu formulu odnosno sinusn promjen se doiv ko imginrni dio, kosinusn promjen ko relni dio kompleksnog roj. m sin(ωtϕ)=m( m e j(ωtϕ) )=m( m e jωt ) m cos(ωtϕ)=re( m e j(ωtϕ) )=Re( m e jωt ) p je: i 1 =m(2e jωt ) i 2 =m(6 2 e -jπ/3 e jωt ) i 3 =m(4 e jπ/4 e jωt ) i 4 =Re(8 2 e jπ/6 e jωt ) i 5 =m(-10 e j2π/3 e jωt )= m(10 e j5π/3 e jωt ) Korisno je zpmtiti slijedeće relcije m sin(ωtϕ)= m cos(ωtϕ-π/2) m cos(ωtϕ)= m sin(ωtϕπ/2) Npon izvor se mijenj po sinusoidlnom zkonu s frekvencijom ω i zdn je u kompleksnom oliku: )U m =10e -j30 )U m =5j7 c)u m =-5j7. Ustnovite z svki slučj u(t). ) u(t)=m(u m e jωt )=m(10 e -j30 e jωt )=m(10cos(ωt-30 ) j10sin(ωt-30 ))= =10sin(ωt-30 ) ) potreno je pretvoriti kompleksni roj u olik z=z e jϕ =5 =7 Z= 2 2 = =8.6 tgϕ=/=7/5=1.4 ϕ=rctg(1.4)=54.46 z=8.6e j54.46 u(t)=8.6sin(ωt54.46 ) c) =-5 =7 Z= 2 2 = (-5) = 8.6 tgϕ=/=-7/5= -1.4 ϕ=rctg(-1.4)= u(t)= 8.6sin(ωt125,46 ) z=-5j7 m Potreno je znti u kojem je kvdrntu roj, ozirom d je z=-5j7 u drugom kvdrntu, kutu koji se izrčun dod se 180. Re Slik 68. Ukoliko se kompleksni roj nlzi u trećem kvdrntu, potreno je kutu koji se izrčun tkođer dodti 180 stupnjev. 5 j3 Vektor efektivne vrijednosti npon izržen je kompleksnim rojem U = 2 j Pri kojoj će vrijednosti, vektor npon iti smješten: ) u relnoj osi ) u imginrnoj osi c) pod kutom od -45 stupnjev u odnosu prem pozitivnom dijelu relne osi. U=((5-j3)/(2j))((2-j)/(2-j))=(10-j5-j6-3)/(4 2 ) ) imginrni dio =0 (-6-5)/(4 2 )= 0-6-5= 0 = -6/5 ) relni dio =0 (10-3)/(4 2 )= = 0 = 10/3 c) tg(-45 )=-1 (-6-5)/(10-3)= -1 =1/2 6

7 N svitk kojemu je rdni otpor R=2Ω i induktivitet L=1mH priključen je npon u=10 sin1000t (slik 69). Odredite: ) i(t), u R (t)-npon n otporu, u L (t)-npon n induktivitetu ) ncrtjte vektorski dijgrm npon i struje U 2Ω X L (induktivni otpor)=ωl = =1Ω U=10e j0 -eksponencijlni olik Slik 69. j1ω z=2j Z= 5e j26.56 = U 10 0 = = = kompleksni olik struje Z =U/Z - Ohmov zkon Z-impedncij-u nšem slučju serijski spoj omskog i induktivnog otpor U R =R= = U L =X L = = i(t)=m(e jωt )=2 5 sin(ωt ) u R (t)=m(u R e jωt )=4 5 sin(ωt ) u L (t)=m(u L e jωt )=2 5 sin(ωt63.43 ) Slik 70. U spoju prem slici 71 kojemu je U =100V, X L =6Ω, X C =3Ω i R=4Ω tre odrediti npon U i fzni pomk između npon U i struje. U j6ω 4Ω m -j3ω U L U R Re Z=RjX L jx C -serijski spoj omskog, induktivnog i kpcitivnog otpor Slik 71 7

8 Pretpostviti ćemo d je npon U referentn te g uzimmo d im kut 0 U =100 0 Z=4j6-j3=4j3 Z= Ω U =(R-jX C )=(4-j3)= =100 0 V = U=. Z=. (4j3)= = = V U=100V vrijednost npon fzni kut između npon i struje ϕ=ϕ U -ϕ = =36.86 Zdn je mrež prem slici 72 kojoj je U 1 =30V, U 2 =30V (U 2 prethodi U 1 z 90 ), R 1 =1Ω,R 2 =1Ω,X 1 =10Ω,X 2 =5Ω,X 1C =5Ω, X 2C =10Ω i X M =2Ω. Odredite metodom konturnih struj struje u prvoj i drugoj grni. Kompl.olik X M U 1 =30 R R 2 U 2 =30 90 X 1 =j10 U 1 1 X 1 X 2 2 X 2 =j5 U 2 X M =j2 X 1C =-j5 X 2C =-j10 X 1C -U 1 1 R 1 1 X 1 1 X 1C - 2 X M =0 -U 2 2 X 2C 2 X 2-1 X M 2 R 2 = (1j10-j5)- 2 j2= j2 2 (-j10j51)=0 Slik (1j5)- 2 j2=30 0 1j5= j2 2 (1-j5)= j5= j2= = =30 90 X 2C D= = D 1 = = =D 1 /D= =5.1(psolutn vrijednost) 8

9 D 2 = = =D 2 /D= =5.83(psolutn vrijednost) Odredite metodom konturnih struj ulznu impednciju mreže n slici 73, ko je X 1 =1Ω,X 2 =2Ω,X M =1Ω i Z P =1-j. X M X M U 1 1 X 1 X 2 1 X 1-2 X M =U 1-1 X M 2 (X 1 X 2 )- 3 X M =0-2 X M 3 (X 2 Z P )=0 1 j- 2 j=u 1-1 j 2 j3-3 j=0-2 j 3 (1j)=0 Slik 73. j -j 0 U 1 -j 0 D= -j j3 -j =-2-j D 1 = 0 j3 -j =U 1 (-2j3) 0 -j 1j 0 -j 1j 1 =D 1 /D=U 1 (-2j3)/(-2-j) 2 X 1 X 2 3 Z P Z ul =(U 1 / 1 )=(-2-j)/(-2j3)=1/13 j8/13 Z čvor električne mreže (slik 74) u kojem se sstju tri grne poznte su struje i 1 (t)=5sin314t i i 2 (t)=5sin(314tπ/2). Odredite struju i 3 (t) pomoću vektorkog prikz. i 1 i 2 i 3 Slik 74. i 1 (t)=5sin314t 1m =5 0 1 =5/ 2 0 (efektivn vrijednost) i i 2 (t)=5sin(314tπ/2) 2m = =5/ 2 90 (efektivn vrijednost) 9

10 Kirchoffov zkon z čvor glsi: =0 3 = 1-2 3m = 1m - 2m =5j0-0-j5=5-j5=5 2 e -jπ/4 i 3 (t)=5 2sin(314t-45 ) Slik 75. Metodom konturnih struj, z mrežu prem slici 76, izrčunjte rdnu sngu n otporniku R=45Ω. Zdno je X 1 =X 2 =25Ω, X M =20Ω, U=100V. j5 j4 j3 j2 j1 0 -j1 -j2 -j3 -j4 -j5 U m X 1 Slik 76. U= 1 X 1-2 X 1-2 X M 0= 2 (X 1 X 2 R)- 1 X M - 1 X 1 2 2X M 100=j j45 0=- 1 j45 2 (45j90) X M Re X 2 2 R Pretpostviti ćemo d je npon U pod kutem 0 X 1 =j25 X 2 =j25 X M =j20 2 j25 -j45 D= = j25(45j90)-j45j45=-225j1125 -j45 45j90 j D 2 = =j45 100=j4500 -j =D 2 /D= j4500/(-225j1125)=(j20/(-1j5))((-1-j5)/(-1-j5))=(100-j20)/26 2 =3.92 (psolutn vrijednost) P= 2 2 R=(3.92) 2 45=692W -rdn sng 10

11 zrčunjte metodom konturnih struj, struju koju pokzuje mpermetr (slik 77). U 1 R 1 1 jx 1 jx 3 3 R 2 2 -jx 2 U 2 R 1 =1Ω X 1 =1Ω R 2 =1Ω X 2 =1Ω R 3 =1Ω X 3 =2Ω U 1 =10 0 U 2 =10-60 Slik 77. z 1 =R 1 jx 1 =1j z 2 =R 2 -jx 2 =1-j z 3 =R 3 jx 3 =1j2 1 (z 1 z 3 )- 2 z 3 =U 1 2 (z 2 z 3 )- 1 z 3 =-U 2 Ko rješenje ovog sustv jedndži nkon što se uvrste vrijednosti doiv se: 1 =0.79j =-0.46j = 1-2 = mpermetr će pokzivti vrijednost struje od zrčunjte npon U xy prem slici 78 metodom konturnih struj. 2Ω -j2ω 5 30 V 10 0 V 1 R 3 j5 2 10Ω 5Ω 2Ω -j2ω 3 x 10Ω y Slik (7j3) 2 j5 3 5=10 1 j5 2 (12j3)- 3 (2-j2)= (2-j2) 3 (17-j2)=0 11

12 7j3 j5 5 D= j5 12j3 -(2-j2) = (2-j2) 17-j2 7j3 j5 10 D 3 = j5 12j = (2-j2) 0 3 =D 3 /D= U xy = 3 10= u xy (t)= sin(ωt-194 ) Zdn je mrež prem slici 79, s vrijednostim element. U 11 =1V U 22 =jv Z 1 =1Ω Z 2 =-jω Z 3 =jω Z 4 =1Ω Z 5 =jω Z 6 =1Ω Odredite sve struje, svih grn metodom npon čvorov. 2 U Z 1 Z 2 1 Slik 79. Metodom npon čvorov doiju se jedndže slijedećeg olik ukoliko čvor 0 uzimmo z referentni: U 10 (1/Z 1 1/Z 2 1/Z 3 )-U 20 1/Z 1 -U 30 1/Z 3 =U 11 /Z 1 -U 10 1/Z 1 U 20 (1/Z 1 1/Z 4 1/Z 6 )-U 30 1/Z 6 =-U 11 /Z 1 -U 22 /Z 6 -U 10 1/Z 3 -U 20 1/Z 6 U 30 (1/Z 3 1/Z 5 1/Z 6 )=U 22 /Z 6 U 10 (1/11/(-j)1/j)-U 20 1/1-U 30 1/j=1/1 -U 10 1/1U 20 (1/11/11/1)-U 30 1/1=-1/1-j/1 -U 10 1/j -U 20 1/1U 30 (1/j1/j1/1)=j/1 U 10 -U 20 -U 30 (-j)=1 -U 10 U 20 3-U 30 =-1-j -U 10 (-j)- U 20 U 30 (1-j2)=j 1-1 j D= =4-j2 D 3 = j =-1-j j -1 1-j2 j -1 j 2 Z 4 Z 5 Z U 22 3 Z j 1 1 j D 1 = -1-j 3-1 =1-j3 D 2 = -1-1-j -1 =-2-j2 j -1 1-j2 j j 1-j2 12

13 U 10 =D 1 /D=(1-j3)/(4-j2)=0.5-j0.5 U 30 =D 3 /D=(-1-j)/(4-j2)=-(1/10)-j(3/10) U 13 =U 10 -U 30 =(6/10)-j(2/10) U 20 =D 2 /D=(-2-j2)/(4-j2)=-(1/5)-j(3/5) U 21 =U 20 -U 10 =-(7/10)-j(1/10) U 23 =U 20 -U 30 =-(1/10)-j(3/10) U 21 =-U 11 1 Z 1 U 10 = 2 Z 2 U 13 = 3 Z 3 U 20 = 4 Z 4 U 30 =- 5 Z 5 U 23 = 6 Z 6 -U 22 1 =(U 21 U 11 )/Z 1 =(3/10)-j(1/10)=0.3-j0.1 2 =U 10 /Z 2 =(1/2)j(1/2)=0.5j0.5 3 =U 13 /Z 3 =-(2/10)-j(6/10)=-0.2-j0.6 4 =U 20 /Z 4 =-(1/5)-j(3/5)=-0.2-j0.6 5 =-U 30 /Z 5 =(3/10)-j(1/10)=0.3-j0.1 6 =(U 23 U 22 )/Z 6 =-(1/10)j(7/10)=-0.1j0.7 m j0,8 j0,7 j0,6 j0,5 j0,4 j0,3 j0,2 j0,1-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,1 0,2 0,30,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, j1 j0,9 -j0,2 -j0,3 -j0,4 -j0,5 -j0,6 -j0,7 Slik 80. Odredite struju z mrežu prem slici 81, metodom superpozicije, ko je zdno: 11 = =4 90 U 11 =4 0 V U 22 =12 90 V U U 1 Re 11 j2ω U 1 -j2ω 22 U 22 2Ω 4Ω Slik

14 Metod superpozicije temelji se n principu d struj kroz potrošč uz sve spojene izvore nije ništ drugo nego sum struj koje teku kd pojedinčno priključujemo izvore. 1) 1 je struj koj teče kd je izvor struje 11 priključen 11 j2 -j2ω 2Ω 4Ω 1 Slik 82. mpedncije kpcitet i zvojnice se međusono poništvju te je: 1 = 11 2/(24)= 11 /3=4 45 =2 2j2 2 2) 2 je struj koj te~e kd je smo nponski izvor U 11 spojen j2 U 1 -j2ω 2Ω 4Ω Slik 83. Slik /Z=1/21/41/j2 Z=(12j8)/13 1 =U 11 /(Z-j2)=13U 11 /(12-j18) U = 1 Z=j2/3 U 11 2 =U /4=j1/6 U 11 =j2/3 3) struj 3 je struj koj teče uz spojen strujni izvor 22 U 1 -j2ω 1 Z j2 -j2ω 22 2Ω 4Ω 3 Slik 85. mpedncij kondenztor i zvojnice se međusono poništvju zog jednkih vrijednosti. 3 = 22 2/(24)=1/3 22 = j4/3 4) struj 4 je struj koj teče uz nponski izvor U 22 spojen 14

15 U 22 j2 -j2ω 4Ω 4 2Ω Slik =U 22 /(24)=1/6 U 22 =j2 Rezultntn struj = =2 2j2 2j2/3j4/3-j2=2 2j2 2=4 45 Ukoliko je struj sinusnog olik i(t)=m()=4 2 sin(ωt45 ) Primjenom Thevenenov teorem odredite struju koj teče kroz Z 3 (slik 87). Slik 87. U=1V =j Z 1 =1Ω Z 2 = jω Z 3 =-jω Z 4 =1Ω U U Z 1 Z 1 Z 2 3 Z 3 B Z 4 1 Z 2 Z 4 2 B Slik 88. Krug z određivnje E T Z 1 B Z T 3 Z 2 Z 4 E T Z 3 Slik 89. Krug z određivnje Z T Slik 90. Ekvivlentni krug 15

16 S slike 88 vidi se d su dijelovi krug gdje teku struje 1 i 2 međusono nezvisni stog vrijedi d je (uz pol u točki ): E T =U B == 1 Z 2 2 Z 4 1 =U/(Z 1 Z 2 )=1/(1j)=1/2-j1/2 2 =- =-j(direktno određen strujnim izvorom) E T =(1/2-j1/2)j(-j)=1/2-j1/2 Prem slici 89 je: Z T =Z B =Z 1 Z 2 /(Z 1 Z 2 )Z 4 =3/2j1/2 S slike 90 doiv se struj 3 : 3 =E T /(Z T Z 3 )=0.4-j0.2 Odredite struju n slici 91, pomoću Thevenenov teorem. 5Ω 1 5Ω V V j5 j5 Slik 91. 2Ω 2 2Ω j3 6Ω j3 6Ω -j 2Ω Slik 92. Krug z određivnje E T 5Ω j5 2Ω j3 6Ω E T Z T -j 2Ω Slik 93. Krug z određivnje Z T Slik 94. Ekvivlentni krug 16

17 D ismo odredili E T primjeniti ćemo metodu konturnih struj. Prem slici 92 doivju se slijedeće jedndže: 1 (5j5)- 2 j5= j5 2 (8j8)=0 z druge jedndže ćemo izrziti 1 i uvrstiti u prvu. 1 = 2 (8j8)/j5 2 =3.33 E T =U = 2 6=20V Prem slici 93 je: Z T =Z =((Z 1 Z 2 )Z 3 )/(Z 1 Z 2 Z 3 ) =3.32j1.41 gdje je: Z 1 =5. j5/(5j5) Z 2 =2j3 Z 3 =6 Prem slici 94 je: =E T /(Z T (-j1.41))=20/3.32=6 Spoj prem slici 95 Ndomjestite po Thevenenu u odnosu n priključnice V 5 30 V 5Ω j5 5Ω j Ω 2 2 5Ω j5 5Ω j5 5Ω j5 Slik Ω j5 0 Slik 96. Slik 97. Krug z određivnje E T Krug z određivnje Z T Z mrežu prem slici 96 vrijede slijedeće relcije: = 1 2 U 10 = 1 (5j5) U 10 = 2 (105j5) 1 = 2 (15j5)/(5j5) 2 =(5j5)/(20j10) E T =U = 2 (5j5)=j10/(4j2)= = Prem slici 97 je Z T =Z =(15j5)(5j5)/(15j55j5)=4j3 17

18 Primjenom Thevenenov teorem odredite struju koju mjeri mperemetr (slik 98). U 1 Z 1 3 Z 2 U 2 Z 3 Slik 98. U 1 =10 0 V U 2 =10-60 V Z 1 = 2 45 Ω Z 2 = 2-45 Ω Z 3 = Ω U 1 Z 1 Slik 99. Krug z određivnje E T =(U 1 -U 2 )/(Z 1 Z 2 ) =(10-10cos(-60 )-10sin(-60 ))/( 2cos(45 ) 2sin(45 ) 2cos(-45 ) 2sin(-45 ))= =(5j5 3)/2= 5 60 U B = Z 2 U 2 = U B =11.83-j6.83= =E T B Z 2 Z T 3 U 2 Z 1 Z 2 E T Z 3 B Slik 100. Krug z određivnje Z T Slik 101. Ekvivlentni krug Prem slici 100 je: Z T =Z B =(Z 1 Z 2 )/(Z 1 Z 2 )=1 Prem slici 101 je: 3 =E T /(Z T Z 3 )= / =

19 U mreži prem slici 102 zdno je U 1 =24V i U 2 =6V, nponi se podudrju u fzi, uz Z 1 =6Ω, Z 2 =-j12ω, Z 3 =-j3ω, Z 4 =j4ω. Odredite struju drugog izvor koristeći se Nortonovim teoremom. Z 1 Z 3 U 1 Z 2 Z 4 U 2 Slik 102 Dio mreže u kojoj se nlzi drugi izvor (točke ) ndomjestiti ćemo po Nortonu. U 1 N Z 1 Z 1 Z 2 Slik 103. Slik 104. Mrež z određivnje N Mrež z određivnje Z N Z N Z 2 Z 3 Z 4 =(U 2 - N Z N )/(Z N Z 3 ) =(6-24/(1-j))/(6/(1-j) -j3) =(-6-j2)/(1-j) =-2-j4 Z 4 U 2 Slik 105 Ekvivlentni krug Prem slici 103 doiv se: N = =U 1 /Z 1 =24/6=4 Prem slici 104 doiv se: 1/Z N =1/Z =1/Z 1 1/Z 2 1/Z 4 Z N =6/(1-j) 19

20 Svitk s prmetrim X=30Ω i R=20Ω priključen je n dv genertor spojen serijski (sl. 106). Unutršnji otpori genertor i njihovi nponi iznose: Z 1 =4j8Ω, Z 2 =6jΩ, E 1 =200V i E 2 =240V. Odredite npon n stezljkm svitk i n stezljkm svkog genertor ko je poznto d E 2 prethodi nponu E 1 z T/12. U 1 R E Z U U 2 Slik 106. Slik 107 Uzmemo li d je E 1 =200 e j0 E 2 =240 e j30 =208j120 ukupni npon je: E=E 1 E 2 =408j120 Ukupn impedncij je: Z=Z 1 Z 2 RjX=30j39, struj u krugu =E/Z=6.82-j5.09, npon svitk U z =(RjX)=289j102, npon n stezljkm genertor U 1 =E 1 -Z 1 =200-(6,82-j5,09)(4j8)=132-j34,2 U 2 =E 2 -Z 2 =208j120-(6,82-j5,09)(6j)=162j133,54 U spoju prem slici 108 izrčunjte struju kroz zvojnicu upotreom Nortonov teorem. Zdno je: R 1 =1Ω X 1 =j0,5ω R 2 =1Ω X 2 =-jω X 3 =-jω E=1V =1 R 1 X 2 X E X 1 R 2 X 3 Slik

21 E R 1 X 2 R 2 X 3 Slik 109. Mrež z određivnje N R 1 R 2 X 2 X 3 Slik 110. Mrež z određivnje Z N Slik 111. Ekvivlentni krug Koristeći teorem superpozicije: N = =E/(R 1 X 2 )(R 2 /(R 2 X 3 ) N = =1/(1-j)1/(1-j)=2/(1-j) Z N =Z =((R 1 X 2 )(R 2 X 3 ))/(R 1 X 2 R 2 X 3 )=1/2-j1/2 = N Z N /(Z N X 1 )=2 Tri izvor sinusoidlnih npon jednke frekvencije uključen su u mrežu prem slici 112. Zdno je: E 1 =E 2 =E 3 =100V, npon E 2 prethodi E 1 z 60, E 3 zostje 60 z E 1, uz Z 1 =5Ω, Z 2 =5e j60 Ω, Z 3 =5e -j60 Ω. Odredite pokzivnje idelnog voltmetr. Ncrtjte vektorski dijgrm npon i struj. 1 N Z N X 1 Z 1 Z 2 Z V E 1 E 2 E 3 0 Slik

22 Ozirom d im dv čvor (od kojih čvor 0 im referentni potencijl) potren je jedn jedndž z metodu npon čvorov. U 10 (1/Z 1 1/Z 2 1/Z 3 )=E 1 /Z 1 E 2 /Z 2 E 3 /Z 3 U 10 (1/51/5 e -j60 1/5 e j60 )=100/5100/5100/5 U 10 =300/2=150V U 10 =E 1-1 Z 1 1 =(E 1 -U 10 )/Z 1 =( )/5=-10 U 10 =E 2-2 Z 2 2 =(E 2 -U 10 )/Z 2 =( )/5 60 =5j15 3= U 10 =E 3-3 Z 3 3 =(E 3 -U 10 )/Z 3 =( )/5-60 =5-j15 3= m 2 E 2 1 Slik 113. Zdn je funkcij prem slici 114. Rstvite funkciju u Fourierov red. f(t)=t z 0<ωt<Π f(t) Z 2 Z 3 3 Z 1 E 3 E 1 Re -2Π 0 Slik Π 4Π ωt Svk se periodičk funkcij f(t) s periodom T (koj je neprekinut i koj u svkoj točki im limes lijevi i desni) može rstviti u trigonometrijski red: f(t)= 0 /2 1 cosωt 2 cos2ωt. n cosnωt 1 sinωt 2 sin2ωt n sinnωt 22

23 gdje je: k T 2 = T f ()cos t k ω tdt 0 T 2 T f t k tdt k = ( )sin ω 0 Ukoliko je funkcij prn,odnosno vrijedi relcij f(-t)=f(t) td trigonometrijski red funkcije koju rstvljmo sdrži smo kosinus člnove. Grf prne funkcije je simetričn u odnosu n os ordint. f(t) Slik 115. Grf prne funkcije Neprn funkcij je funkcij z koju vrijedi f(-t)=-f(t), i rstv tkve funkcije sdrži smo sinus člnove. Grf neprne funkcije je simetričn u odnosu n ishodište. f(t) Slik 116. Grf neprne funkcije Ozirom d je zdn funkcij prn postoje smo kosinus člnovi: f(t)=π/2-4/π (cosωt cos3ωt/9 cos5ωt/25...) Spektr ove funkcije (dijgrm mplitud ovisno o frekvenciji) prikzn je n slici 117: Π/2 4/Π 4/9Π ωt - potreno je uočiti d prn funkcij im komponentu s frekvencijom 0 (istosmjern komponent) što je srednj vrijednost funkcije 4/25 4/49 4/81 4/121 ωt 0 ω 1 ω 3 ω 5 ω 7 ω 9 ω 11 ω Slik 117. Teoretski spektr periodičke funkcije je eskončn. S slike se vidi, d što je viši hrmonik (višekrtnik osnovne frekvencije) to mu je mplitud mnj. Funkcij se može predstviti s određenom točnošću uz končn roj hrmonik, uz znemrenje ostlih. Spektr mplitud funkcije u ovom zdtku opd po funkciji 1/x 2. 23

24 Funkciju prikznu n slici 118 rstvite u trigonometrijski red f(t) -2Π -Π 0 Π 2Π 3Π 4Π ωt Slik 118. f(t)= z 0<ωt<Π Funkcij je neprn te će rzvoj u trigonometrijski red iti slijedećeg olik: f(t)=4/π (sinωtsin3ωt/3sin5ωt/5...) Spektr funkcije je prikzn n slici 119, ozirom d je funkcij neprn, srednj vrijednost je nul te ne postoji istosmjern komponent. Spektr mplitud opd po funkciji 1/X. 4/Π 4/3Π 0 ω 1 ω 3 ω 5 ω 7 ω 9 ω 11 Slik 119. Funkciju prikznu n slici 120 prikžite pomoću trigonometrijskog red. f(t) 4/5Π 4/7Π 4/9Π 4/11 ω -Π/2 α Π-α 0 Π 2Π Π/2 3Π/2 5Π/2 ωt Slik

25 Funkcij je zdn ko: f(t)=0 z 0<ωt<α i z (Π-α)<ωt<Π f(t)= z α<ωt<(π-α) Funkcij je neprn te će sdržvti smo sinus člnove: f(t)=4/π (cosαsinωt 1/3 cos3αsin3ωt 1/5 cos5αsin5ωt...) Spektr funkcije prikzn je n slici 121, gdje je Z=4/Π: Zcosα Zcos3α/3 Zcos5α/5 Zcos7α/7 Zcos9α/9 Zcos11α/11 0 ω 1 ω 3 ω 5 ω 7 ω 9 ω 11 Slik RČUNNJE SNGE U KOMPLEKSNOM PODRUČJU Ukoliko je n npon u=u ϕ u spojen nek impedncij z kroz koju će poteći struj i= ϕ i, td se sng u nlizi strujnih krugov izmjenične struje rčun prem relciji S=u. i k gdje je i k konjugirno kompleksn vrijednost struje i. S=u. i ϕ u -ϕ i =Rejm prividn sng Rdn sng doiv se ko: Re(S)=u. i cos(ϕ u -ϕ i ), dok se jlov sng doiv ko: m(s)=u. i sin(ϕ u -ϕ i ). Bilnc sng se predstvlj u nlizi strujnih krugov izmjenične struje pomoću trokut snge koji je prikzn n slici 122: Slik 122. Trokut sng S Q S 2 =P 2 Q 2 tg(ϕ)=q/p P ϕ ω gdje je: P - rdn sng, Q - jlov sng i S - prividn sng. PRMJER: Ncrtjte trokut snge z odsječk mreže prem slici 123. =1 10Ω 5Ω 10Ω -20Ω 10W 5W 10VR -20VR 25

26 =1 15Ω -10Ω ekvivlentni krug 10V 15W 10W 5W -10VR -20VR Slik 123. Trokut snge Ncrtjte trokut snge z izvor i svku grnu mreže prem slici 124. Kolik vrijednost kpcitet C se tre spojiti prlelno izvoru d i fktor snge io jednk 1? U=20 60 Prem Ohmovom zkonu doiv se: 1 =U/Z 1 = / 4 30 = =U/Z 2 = / 5 60 =4 0 Z 1 =4 30 Slik 124 Z 2 =5 60 C S 1 =U. * 1 = =86.6j50 P 1 =86.6W (rdn sng) S 2 =U. * 2 = =40j69.2 P 2 =40W (rdn sng) prividn sng prve grne Q 1 =50 VR (rektivn sng) prividn sng druge grne Q 2 =69.2 VR (rektivn sng) Sng izvor tre iti: ) rdn P=126.6 W ) rektivn Q=119.2 VR Grfički prikz trokut sng prikzn je slikom

27 Prividn sng izvor S 2 =(126.6) 2 (119.2) Slik 125. Trokut snge Spjnjem kondenztor prlelno mreži koj je induktivnog krkter pooljšv se fktor snge i z jednu određenu vrijednost C n frekvenciji izvor poprim vrijednost 1, posljedic je mnj opterećenost izvor. Q C =119 VR Q C =U 2 /X C Z frekvenciju izvor 50Hz C=Q C /(U Π. f)=119.2/( )=950µF 27