b. Diastereomeri ne odnose se kao predmet i njegov lik u ogledalu. Primer: Cis- i trans-izomeri (geometrijski izomeri) b. Izomerija položaja
|
|
- Παλλάς Παπαγεωργίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TEEOZOMEJA zomeri su jeinjenj iste molekulske formule: Konstituioni (strukturni) izomeri rzlikuju se po strukturi tj. po reosleu vezivnj tom:. zomerij niz 2 2 utn. zomerij položj l hlorpropn 2-metilpropn l 2-hlorpropn. zomerij funkionlnih grup 2 O O etnol (etil-lkohol) metoksimetn (imetil-etr). Tutomeri (nlze se u rvnoteži) O keto-olik 2 O enolni-olik ( 4 10 ) ( 7 l) ( 2 6 O) ( 2 4 O) 1 tereoizomeri (prostorni izomeri) izomeri čiji su tomi vezni n isti nčin, li se rzlikuju po svom prostornom rsporeu:. Enntiomeri premet i njegov lik u oglelu ne mogu se poklopiti. OO OO * * O O. Distereomeri ne onose se ko premet i njegov lik u oglelu. Primer: is- i trns-izomeri (geometrijski izomeri) is- 2-uten is- trns- 1,4-imetilikloheksn trns- Ne onose se ko premet i lik u oglelu. Konformeri (konformioni izomeri) tkođe su primeri stereoizomer. nti-rotmer utn guhe-rotmer utn e ekvtorijlni ksijlni metilikoheksn 2
2 Neki osnovni pojmovi u stereohemiji irlnost irlni entr Enntiomeri Distereomeri Apsolutn konfigurij (, sistem) eltivn konfigurij (D,L sistem) Optičk ktivnost Ahirlnost je osoin se 2 premet onose ko premet i njegov lik u oglelu i mogu se poklopiti jen s rugim. 4 ALNOT irlnost je osoin se 2 premet onose ko premet i njegov lik u oglelu i ne mogu se poklopiti jen s rugim. Enntios, grčki, nsuprot. ALN AALN MOLEKUL irlni molekuli: molekuli koji se ne mogu poklopiti s svojim likom u oglelu. Provi molekul koji se onose ko premet i njegov lik u oglelu i ne mogu se poklopiti su enntiomeri. Tkv jeinjenj su hirln.
3 Primer: mlečn kiselin * O OO stereoentr ili isimetrin tom (vezn z 4 rzliit supstituent) OO OO OO * * * O O O 5 Molekuli s 1 stereoentrom su uvek hirlni! Molekuli s više stereoentr ne morju iti hirlni. irlni i hirlni molekuli se rzlikuju prem tome li imju ili nemju rvn simetrije: hirlni molekuli nemju rvn simetrije hirlni molekuli imju njmnje 1 rvn simetrije. 6 (A) (B) (B') rvn rotij z 180 refleksije o (os rotije: vez -OO) * trnslij trukture A i B' se NE mogu poklopiti NU ientične. A i B su ENANTOME (enntios, grčki, suprotn) stereoizomeri koji se međusono onose ko premet i njegov NEpoklopivi lik u oglelu. D i se preveli jen u rugi neophono je rskinuti veze. Ahirlni molekuli molekuli koji se mogu poklopiti s svojim likom u oglelu. vn simetrije: zmišljen rvn koj eli molekul n 2 jenke polovine koje se onose jen prem rugoj ko premet i lik u oglelu. metn hlormetn ihlormetn romhlormetn romfluorhlormetn 6 rvni rvni 2 rvni 1 rvn nijen hirln hirln hirln hirln hirln l l A oglelo (rvn refleksije) l l B trnslij rotij B z 180 o l l B' A i B' se mogu poklopiti
4 OPTČKA AKTVNOT Jein fizičk osoin po kojoj se rzlikuju ENANTOME je interkij s plnrno polrizovnom svetlosti tj. ortnje rvni plnrno polrizovne svetlosti. 7 8 enntiomer Prv zkretnj ugl polrizovne svetlosti ekstrottorni U prvu kretnj kzljke n čsovniku levorottorni uprotno kretnju kzljke n čsovniku oznk (+)-enntiomer ( )-enntiomer Enntiomeri se nzivju i optički izomeri (ntipoi), fenomen optičk ktivnost. Optičk rotij se oređuje polrimetrom. N lmp λ = 58 nm peifičn rotij optički ktivnog molekul: fizičk konstnt krkterističn z tj molekul (ko i T t, tčk T klj i ρ). 2 (-)-2-romutn [α] 25 D = -2,1 o 2 (+)-2-romutn [α] D 25 = +2,1 o Enntiomeri orću rvn polrizovne svetlosti: z isti ugo li u suprotnim smerovim. mes istih količin (+)- i ( )- enntiomer je optički NEktivn i nziv se remsk smes. emsk smes se oznčv simolom (±).
5 OZNAČAVANJE KONFGUAJE ENANTOMEA APOLUTNA konfigurij:, sistem ELATVNA konfigurij: D,L sistem APOLUTNA konfigurij:, sistem tvrni prostorni (troimenzioni) rspore tom u molekulu. Nem irektne veze između znk zkretnj polrizovne svetlosti i strukture enntiomer. Apsolutn konfigurij se oređuje: eksperimentlno rentgenostrukturnom nlizom (ispitivnjem supstne pomoću x- zrk), hemijskom korelijom (hemijskim trnsformijm) s jeinjenjem čij je psolutn konfigurij poznt., sistem: hn ngol Prelog (1956. go). Kko se oeležv okruženje simetričnog tom (stereoentr)? ngirnje sv 4 supstituent n simetričnom tomu. Prioritet se oređuje sekvenionim prvilim. njveći prioritet; rugi prioritet; treći prioritet; njniži prioritet. 9 Prvilo posmtrnj hirlni entr mor iti posmtrn s suprotne strne o strne supstituent s njnižim prioritetom! upstituent s njnižim prioritetom se postvi što lje o posmtrč! Dv moguć rspore ostl tri supstituent prem opjućem prioritetu: Oređivnje prioritet supstituen sekvenionim prvilim Prvilo 1: Prioritet se oređuje prem tomskim rojevim (Z) veznih tom tom većeg Z im prenost. Z() = 1, Z() = 6, Z() = 5, Z() = 5 > > > isto je što i ()-1-rom-1-joetn 10
6 Prvilo 2: Ukoliko su v supstituent istog prioritet (k se poree tomi vezni irektno z stereoentr): rngirju se elementi už niz u supstituentu, ok se ne ođe o tom n kome je moguće rzlikovti prioritete između v niz. 11 Oluk o prioritetu onosi se n mestu rzlikovnj už inče sličnog supstituentskog niz (konstituij osttk niz je nevžn). 12 nižeg prioritet o metil niži niži viši etil viši util etil nižeg prioritet o niži 2 jenki nižeg prioritet o 1-metiletil (izopropil) 2-metilpropil (izoutil) jenki viši K se ođe o mest grnnj supstituentskog niz, izere se grn višeg prioritet. 2 ()-2-joutn ( ) 2 ( ) 2 ()--etil-2,2,4-trimetilpentn nižeg prioritet o 2-metilpropil (izoutil) 1,1-imetiletil (ter-util)
7 1 Prvilo : Dvostruke i trostruke veze tretirju se ko su zsićene, roj njihovih tom se uvostručuje ili utrostručuje ort se još jen ili ve veze n svkom o tom u nezsićenoj vezi i z njih se veže uvostručeni, fntomski, tom s rugog krj veze. Fntomski tom, zmišljeni tom koji im tomski roj Z = 0. Oeležv se ineksom "0" ili se stvi u olu zgru. tretir se ko O O O tretir se ko tretir se ko tretir se ko 2 O ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O ( O) O ( O) ( ) ( ) O O Fntomski tom im MANJ prioritet o relnog, iste vrste, AMO ukoliko je to JEDNO mesto rzlikovnj nkon primene svih ostlih sekvenionih prvil! ne se tretirju jenko. O 2 O Fisher ove projekione formule Dvoimenzionlne projekije troimenzionlnih moel molekul. Prestvljnje 2 enntiomer A i B Fsher ovim projekionim formulm: A troimenzionlni moel klinst struktur Fisher-ov projekion formul horizontlne rte: veze usmerene k posmtru vertiklne rte: veze usmerene o posmtr B Vžno: Neozvoljene trnsformije s Fisher ovim projekionim formulm menjju konfiguriju hirlnog entr u strukturnoj formuli!!! 14
8 Neke o ozvoljenih trnsformij: 1. otij u projekionoj rvni (rvni ppir) z 180 : 15 Neke o neozvoljenih (pogrešnih) trnsformij: 1. Zmen mest v supstituent (1 pr): 16 l rotij z 180 o l isto ko 2. Zmen mest supstituent u grupi: l l isto ko l isto ko. Zmen mest 4 supstituent (2 pr): l l 2. otij u projekionoj rvni (rvni ppir) z 90 ili 270 : l rotij z 270 o l rotij z 90 o l l l isto ko l isto ko l Fisher ovim projekionim formulm je efinisn psolutn konfigurij (supstituent njmnjeg prioritet u jenoj o vertiklnih poziij): O O 2 2
9 Jeinjenj s 2 ili više stereoentr Konfigurije svkog stereoentr mogu iti - ili -, te mogu postojti rzličite izomerne strukture. 1. irlni -tomi srže rzličite supstituente Z n stereoentr, roj stereoizomer = 2 n. l l premet lik u oglelu l (2,)- l (2,)- * * 2-rom--hlorutn l enntiomeri istereomeri enntiomeri l l 2 2 = 4 stereoizomer (2,)- (2,)- 17 l l 18 tereoizomeri koji se ne onose ko premet i lik u oglelu, i zog tog nisu enntiomeri, zovu se DATEEOME (i, grčki, preko). Distereomeri zličiti molekuli s rzličitim fizičkim i hemijskim osoinm, Mogu se ovojiti jen o rugog: frkionom estilijom, kristlizijom ili hromtogrfijom. is- trns-izomeri su iklični istereomeri. 2 2 = 4 stereoizomer trns-1-rom-2-hlorikloutn l is-1-rom-2-hlorikloutn l l l Npr. (2,)-izomer enntiomern je (2,)- jeinjenju i istovremeno je istereomern (2,)- i (2,)-strukturm.
10 2. irlni -tomi srže iste supstituente Z n stereoentr, roj stereoizomer < 2 n. * * 2,-iromutn (2,)- enntiomeri istereomeri (2,)- enntiomeri? Ne! entini su! (mezo) (2,)- (2,)- (2,)- isto ko (2,)- stereoizomer 19 (,)-stereoizomer je AALAN i nije optički ktivn, iko im 2 stereoentr. Jeinjenje koje srži 2 (ili više o 2) stereoentr, koje se može preklopiti s svojim likom u oglelu, zove se mezo-jeinje (mezo, grčki, srenji). Mezo-jeinj srže rvn simetrije. mezo-2,-iromutn Primer: vinsk kiselin 2,-ihiroksiutn-ikiselin (vinsk k.) O OO O OO (2,)- OO O O OO (2,)- (2,)- stereoizomer O OO O O O OO (2,)- isto ko (2,)- mezo-vinsk k. O olik imju rvn simetrije; otijom u rvni ppir z 180 o prelze jen u rugi. OO OO (2,)- 20
11 is- trns-izomeri su iklični istereomeri. 21 TEEOEMJA EMJK EAKJA 22 trns-1,2-iromikloutn stereoizomer Doijnje hirlne strukture iz hirlnog polznog mterijl ko rezultt je remsku smesu. 1. omovnje utn (riklski lnčni mehnizm) is-1,2-iromikloutn 1,2 isto ko i 1,2 Trns-izomer 1,2-iromikloutn je hirln. is-izomer je mezo-jeinjenje i optički je nektivn. 2 utn hirln.. - rikl plnrn hirln 2 2 * + 2 ()-2-romutn hirln emsk smes * 2 ()-2-romutn hirln. +.
12 2. Elektrofiln iij n is- ili trns-2- uten (jonski mehnizm) is- ili trns-2-uten hirln kroktjon plnrn hirln - * 2 ()-2-romutn hirln emsk smes * 2 ()-2-romutn hirln 2 zlgnje: rzvjnje enntiomer Čiste enntiomere hirlnog jeinjenj je moguće oiti rzlgnjem remt (remske smese) u enntiomere. Njčešće se rzlgnje remt zir n konverziji u smešu istereomer, otkom optički čistog regens (- ili - konfigurije). X + X Y + X optiki ist regens Y X Y remsk smes (enntiomer): komponente imju iste fizike osoine istereomeri: komponente imju rzliite fizike osoine rzvjnje istereomer (frkion kristlizij, estilij ili hromtogrfij) 24 X Y X Y rskinje rskinje X + Y X + Y rzvjnje i regenerisnje Y rzvjnje i regenerisnje Y X ist X ist
13 O N 2 OO N 2 remski (,)--utin-2-min _ + _ + OO N OO N O O + O (+)-trtrtn so -min 22 [α] o = +24,4 D kristliše iz rstvor K 2 O, 2 O O OO O OO (+)-vinsk k., 2 O, nekoliko n N 2 OO (-)-trtrtn so -min 22 [α] o = -24,1 D ostje u mt. lugu K 2 O, 2 O 47 % 51 % ()-(+)--utin-2-min ()-(-)--utin-2-min 22 [α] o = +5,2 D t.k o 22 [α] o = -5,2 D t.k o 25 ZADATAK Pomoću Fisher-ove projekione formule prikžite (,4)-,4-iromheksn. Oznčite prioritet grup n svkom -tomu i nčin rzmišljnj. ' (,4)-,4-iromheksn ' () ' = () 2 5 ' ' () ZADATAK Pomoću Fisher-ove projekione formule prikžite (,4)-,4-iromheksn. Oznčite prioritet grup n svkom -tomu i nčin rzmišljnj. ' (,4)-,4-iromheksn ' () ' = () 2 5 ' ' ()
14 ZADATAK 1. Prikžite 1-rom-1-joetn klinstim formulm (o enntiomer) ztim klinste formule preveite u Fisherove: klinste: Fisher-ove: 27 * * rvn refleksije 1.1. Oreite psolutnu konfiguriju enntiomerim iz ztk 1, oznčite prioritet supstituent i ojsnite nčin rzmišljnj. Ko klinstih formul, pri oređivnju konfigurije, formulu orijentišite u sklu s "prvilom posmtrnj": klinste: * * Prioritet op u nizu > > >, prem 1. sekven. prvilu, čime je oređen prioritet supstituent,,, i.... Klinstu formulu ovezno orijentisti u sklu s prvilom posmtrnj! Fisher-ove: U konkretnom primeru, psolutn konfigurij se može oreiti ez otnih trnsformij (supst. njmnjeg prioritet je u vertiklnoj poziiji, n nu formule)!... U nekim slučjevim je Fisherovu projekionu formulu potreno trnsformisti (koristeći ozvoljene trnformije) tko se može oreiti psolutn konfigurij!
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
IUPAC nomenklatura cikloalkana Imenuju se tako što se na ime alkana doda prefiks ciklo. Cikloalkil-grupe:
IKLOALKANI n n iklični ugljovodonici gd su tomi mñusobno povzni vzm. Prstnovi (broj tom u prstnu): mli (-4), obični (5-7), srdnji (8-1), vliki (1...). IUPA nomnkltur ciklolkn Imnuju s tko što s n im lkn
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Definicije i osobine statičkog momenta površine poprečnog preseka za proizvoljnu osu. Definicija. - statički moment površine A za osu y.
Definicije i osobine sttičkog moment površine poprečnog presek z proizvoljn os Definicij - sttički moment površine z os Zbog ( ) ( ) immo je - sttički moment površine z os ( ) i i ( ) Ovo tkođe znči je
Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću
Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni
TEKSTOVI ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektromagnetike (studijski program EEN, 2012/1)
TEKSTOV ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektomgnetike (stuijski pogm EEN, 22/). Oeiti silu koj eluje n tčksto opteećenje Q smešteno izn polusfeične povone izočine nultog potencijl. 2. Oeiti elimične kpcitivnosti
STRUKTURA I SVOJSTVA MATERIJALA METALOGRAFIJA ŽELJEZNIH LEGURA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić
STRUKTURA I SVOJSTVA MATERIJALA METALOGRAFIJA ŽELJEZNIH LEGURA Prof. dr. sc. Ivic Kldrić Identifikcij i procjen mikrostrukture METALOGRAFIJA je istrživčk metod koj ouhvć optičko istrživnje mikrostrukture
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Metode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD
ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY jun 2008.
OBRASCI ELEMENTARNE MATEMATIKE SY347 9. ju 008. Priroi rojevi u kup vih pozitivih elih rojev, N {,, 3,...}. Celi rojevi u kup vih pozitivih i etivih elih rojev i ule, Z {...,, 3, 0,,, 3,...}. Rioli rojevi
Osnovna škola. b) Koliko prstenova treba objesiti na kukicu s lijeve strane na slici 2 da bi poluga bila u ravnoteži? 1 3 F/N
ŠKOLSKO/OPĆINSKO NTJENJE IZ FIZIKE 2.2.2009. Osnovn škol Uut: U svim zdcim gdje je to otrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. zdtk (7 bodov) ) Slik 1 rikzuje olugu u rvnoteži n kojoj se nlze dv rsten i neoznti
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje
sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Moguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
LINEARNE JEDNAČINE. za koji važi: a x b
LINERNE JEDNČINE Pod linernom jednčinom po x podrzumevmo svku jednčinu s nepozntom x koj se ekvivlentnim trnsformijm svodi n jednčinu olik: gde su i dti relni rojevi. x Rešenje ove jednčine je svki reln
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ
ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΜΕΣΟ ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 7 OO ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΖΩΙΤΣΑ
Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Martin Jovanović UVOD U RAČUNARSTVO. - skripta za računske vežbe - prednacrt - nezvanična kompletna verzija -
Mrtin Jovnović UVOD U RAČUNARSTVO - skript z rčunske veže - prenrt - nezvničn kompletn verzij - Istorij verzij:..00. Prenrt. Neostju ojšnjenj z sve olsti. Primeri su u rukopisu. Ov verzij pokriv kompletno
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
MEHANIKA FLUIDA. Složeni cevovodi
MEHANIKA FLUIDA Složeni cevovoi.zaata. Iz va velia otvorena rezervoara sa istim nivoima H=0 m ističe voa roz cevi I i II istih prečnia i užina: =00mm, l=5m i magisalni cevovo užine L=00m, prečnia D=50mm.
Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x