a je vrijednost Q x x iznosi P( a ). Primjenom tog stava zaključuje se da ostatak pri dijeljenju P( x ) sa ( ) = ( 1)

Transcript

1 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak. Proizvod rješenja jednačine 4 5 = 64 je: a) 6 b) -6 c) d) - Jednačinu je moguće napisati u obliku = 0. Na osnovu Vietovih formula, proizvod rješenja kvadratne jednačine a + b + c = 0, c gdje su a, b i c realne konstante je =. a Upoređujući prethodne jednačine lako se zaključi da je a = 4 i c = 64, pa je proizvod rješenja c jednak = 6. Tačan odgovor je b. a P polinomom 5 4 Zadatak. Ostatak pri dijeljenju polinoma ( ) = Q( ) = + je: a) -6 b) 4 c) 6 d) 0 Po Bezuovom stavu ostatak pri dijeljenju polinoma P( ) polinomom oblika ( ) P( a ). Primjenom tog stava zaključuje se da ostatak pri dijeljenju P( ) sa ( ) = ( ) 5 4 P( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) + = = 4. Tačan odgovor je b. a je vrijednost Q iznosi

2 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. Zadatak. Sve vrijednosti realnog parametra k za koje prava p: y = k + predstavlja tangentu kružnice K: + y = su: a) b) ± c) ± d) ± Da bi prava bila tangenta kružnice potreban i dovoljan uslov jeste da sistem jednačina + y = y = k +, ima samo jedno rješenje. Uvrštavajući drugu jednačinu u prvu, dobije se ( ) + k + =. Posljednja jednačina se može svesti na oblik ( ) + k + 4k + = 0. Početni sistem jednačina će imati samo jedno rješenje, tj. prava p će biti tangenta kružnice K ako ova kvadratna jednačina ima samo jedno rješenje, dakle ako joj je diskriminanta jednaka nuli. Iz tog uslova dobije se ( ) D= 6k + k = 0 6k k = 0, k = k =±. Tačan odgovor je d. Zadatak 4. Skup rješenja nejednačine a) [ 8, + ) b) ( ] 5 + je:,8 c) [ 8, ] d) (, ) Domen nejednačine 5 + matematskih operacija nejednačina se svodi na je skup (, ) (, + ), a nakon primjene osnovnih 5 ( + ) 8 0, Tabelarnim rješavanjem dobije se rješenje početne nejednačine u vidu skupa (,8 ]. Tačan odgovor je b.

3 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. z Zadatak 5. Vrijednost izraza + z, za z= i, je: a) 5 b) c) d) 5 5 Korištenjem pravila za modul količnika izraz ( ) z z i + = = = =. Tačan odgovor je c. + z + z + i + z + z postaje Zadatak 6. Kompleksan broj 0 procenata je ( ) Re z manje od ( ) z ima osobinu da mu je Re( z ) dva puta veći od ( ) Im z? a) 0% b) 5% c) % d) 50% Im z. Za koliko Neka je kompleksan broj z = + iy i prema uslovima zadatka važi = y. z = ( + iy) = + yi y. Prema prethodnim relacijama vrijedi Re( z ) = y = i 4 4 Im( z ) = y =, pa je ( ) = ( Re z Im z ) i Re( z ) je za 5% manji od Im( z ) b.. Tačan odgovor je

4 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. a Zadatak 7. Dat je izraz A = a+ b a b b a) A = b) = a A c) A = b b b Izraz A je ekvivalentan sa a a b a b a b A = = = a+ b a b b ( a+ b)( a b) b b. On je, uz uslove a ± b b 0, ekvivalentan sa: a d) A = b. Tačan odgovor je a. Zadatak 8. Ako je cos = 5 α i α [ 0, ] π, onda je sinα jednako: a) 4 5 b) 4 5 c) ± 4 5 d) 5 Polazi se od poznatog trigonometrijskog identiteta: sin α+ cos α =, pa je 6 4 sin α= cos α sinα=± cos α =± =± =± Pošto je sinα 0, za svako α [ 0, π ], slijedi da je sinα = 4. Tačan odgovor je a. 5 4

5 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. Zadatak 9. Rješenja logaritamske jednačine log log 6 = 0 su i. Proizvod rješenja iznosi: a) 5 b) 6 c) d) Domen date jednačine je skup ( 0, + ). Jednačina se svodi na kvadratnu, uz smjenu log5 = t. Dobije se t t 6= 0 t = t =. Dalje je log5= log5 = = = 5 5 Očito je proizvod rješenja jednak 5. Tačan odgovor je a. + Zadatak 0. Jednačina 4 = ima rješenja, i. Suma + iznosi: a) b) 4 c) 9 4 d) 5 4 Domen date jednačine je skup \{ 0 }. Jednačina se može ekvivalentirati na sljedeći način: + = + = ± + 8 = 0, = 4 5 = i =. Tražena suma iznosi + = + =. Tačan odgovor je d

6 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. π Zadatak. Sva rješenja trigonometrijske jednačine sin =, na segmentu π 0, su: π π π π 7π π 7π 5π a) b) i c) i d) i i Domen date jednačine je skup. Rješenje jednačine je lahko grafički odrediti ako se jednačina π napiše u obliku sin =, sa sljedeće slike. Dobije se π π π 5π πk = + k, πk = + k, 6 6 5π 6 π 6 π 7π πk = + k, πk = + k, 6 π kπ 7π kπ = +, k = +, k 6 8 Za prethodna dva rješenja u zatvorenom obliku, rješenja koja pripadaju segmentu π 0, su: π 7π,0 = i,0 = (za k = 0 ). Ostala rješenja bi bila izvan posmatranog segmenta. Tačan odgovor 6 8 je c. Zadatak. Na šahovski turnir se prijavilo 0 igrača. Svaki igrač igra sa ostalima po jednu partiju. Ukupan broj odigranih partija je: a) 90 b) 60 c) 45 d) 5 Svaki igrač je odigrao N- partiju sa ostalim igračima (ako je N broj igrača). Ukupan broj odigranih N( N ) 0 9 partija je = = 45, budući da ne treba duplo računati partije koje odigraju dva igrača međusobno. Tačan odgovor je c. 6

7 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. Zadatak. Oznaka a ( b) je oznaka broja a izraženog u brojnom sistemu baze b. Suma 444( ) + 6 ( 6) jednaka je broju: a) 0 ( 6) b) 50 ( 0) c) 50 ( 6) d) 0 ( ) Data suma se može direktno odrediti u brojnom sistemu baze 6 i iznosi: Zadatak se može riješiti i predstavljanjem sabiraka u brojnom sistemu baze 0, sabiranjem i provjeravanjem tog rezultata u brojnim sistemima baza i 6 (zbog ponuđenih odgovora) = = 5 ( 6) ( 6) ( ) ( ) ( 0) Predstavljanjem posljednjeg broja u brojnom sistemu baze 6, dobiva se isti rezultat kao i direktnim sabiranjem. Tačan odgovor je a. log + 4 < log je skup: Zadatak 4. Rješenje nejednačine ( ) a) (, ) b) ( 0, ) c) (, ) (, + ) d) (,] (, + ) Domen date nejednačine je skup { : 4 0} nejednačinama + 4 <, + < 0, < 0. + > =. Data nejednačina je ekvivalentna ( ) ( ) Rješenje dobivene kvadratne nejednačine je skup (, ). Tačan odgovor je a. 7

8 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. Zadatak 5. Jednačina kružnice koncentrične sa + y + 6+ y + 5= 0, a koja prolazi kroz tačku T(, -4) je: a) K: ( + ) + ( y + ) = 5 b) K ( ) ( y ) : + + = 6 c) K: ( + ) + ( y + ) = 6 d) K ( ) ( y ) : + + = 5 Jednačina date kružnice se može pisati u obliku ( ) ( ) ( ) + y + 6+ y+ 5= y+ = 5 C,, r = 5. Tražena kružnica je K: ( + ) + ( y+ ) = R, T(, 4) K ( ) ( ) Tačan odgovor je a = R R = 5 Zadatak 6. Roba je snižena za 0%. Koliko mora iznositi poskupljenje u procentima da bi se vratila prvobitna cijena robe? a) 0% b) 5% c)0% d)50% Pretpostavit će se da je prvobitna cijena robe. Nakon sniženja ta roba ima vrijednost 0 0% = = 0,= 0,8. 00 Potrebno je vratiti prvobitnu cijenu robe uz poskupljenje od a (%). Zbog toga je 0,8 + a( %) 0,8 =, a 0,8 + 0,8 =, 00 a = 5. Tačan odgovor je b. 8

9 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. Zadatak 7. Tačke D (,), E (,), ( 4,5) F su središta stranica BC, CA i AB trougla ABC respektivno. Zbir koordinata tačke A jednak je: a)- b) - c) 0 d) 5 Kako su D (,), E (,), F ( 4,5) središta stranica BC, CA i AB trougla ABC respektivno, to važe jednačine B + C yb + yc D = = i y D = =, C + A yc + ya E = = i y E = =, A + B ya + yb F = = 4 i y F = = 5, odakle slijedi skup sistema A + B = 8 A B = 6 A =, ya + yb = 0 ya yb = y A = 4, pa je zbir koordinata tačke A, jednak 5. Tačan odgovor je d. Zadatak 8. Jednačina ( ) m m + = 0 ima realna rješenja suprotnog znaka. Vrijednosti realnog parametra m, za koje je zadovoljen prethodni uslov, pripadaju intervalu: a) (, ) b) (,5 ) c) ( 5, ) d) (,0 ) Da bi jednačina imala realna rješenja, za diskriminantu D mora biti zadovoljeno D 0. Za ovu jednačinu je D= 4m m +, i vrijedi D 0 za sve vrijednosti realnog parametra m. Zahtjev zadatka da rješenja kvadratne jednačine budu suprotnog znaka može se ekvivalentirati zahtjevom da proizvod rješenja jednačine bude negativan (to će u oba slučaja biti proizvod pozitivnog i negativnog broja), pa slijedi < 0 ( < 0 > 0) ( > 0 < 0. ) c Prema Vietovim pravilima, za kvadratnu jednačinu a + b + c = 0, je = < 0. a Direktnim očitanjem koeficijenata iz postavljene jednačine dobije se c= ia= m. ( ) Uvrštavanjem u modificiranu formu uslova zadatka slijedi < 0, m < 0 m <. m Dakle, za vrijednosti parametra m iz intervala (,), zadata kvadratna jednačina ima korijene različitog znaka. Tačan odgovor je a. 9

10 Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/. Zadatak 9. Skup svih realnih rješenja nejednačine + 7 > 8 je: a) [ 4,7 ] b) [ 4,5] ( 6,7 ] c) [ 4,5) ( 6,7 ] d) [ 4,5) [ 6,7) Domen nejednačine je skup { : } = { > 4 7} + > 7 + ( 7 )( 8) + 8 Sređivanjem i kvadriranjem nejednačine dobije se > ( 7 )( 8).. Izraz na lijevoj strani je sigurno nenegativan, pa nejednačina postaje + 60 < 0, čija je rješenje + 0 < 0 skup (,5) ( 6, + ). Presjekom rješenja i domena, rješenje nejednačine je skup 4,5) ( 6,7. Tačan odgovor je c. Zadatak 0. Neka je oštar ugao. Rješenje nejednačine sin+ cos > je interval: a) π 0, b) π, π c) π, π d) π 0, 6 Domen nejednačine je skup π 0,. Nejednačina transformacijom postaje π sin+ cos > sin + sin > π, sin+ sin > π sin + > π π π + kπ < + < + kπ, k π, što svođenjem na prvi kvadrant postaje 0 < <. Tačan π kπ < < + kπ, k odgovor je d. 0