Geometrija 3, zadaci po kojima se drže vežbe
|
|
- Ιπποκράτης Αλιβιζάτος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Krive Geometrija 3, zadaci po kojima se drže vežbe 1. Skicirati i parametrizovati sledeće krive: prava, krive drugog reda, lančanica, traktrisa, cikloide (epicikloide i hipocikloide), Arhimedova i logaritamska spirala, kružni i konusni heliks, Vivijanijeva kriva. 2. Ispitati regularnost i ekvivalentnost sledećih krivih: (a) α(t) = (cos t, sin t), t ( π, π), (b) α(t) = (t 2, t), t R, β(u) = (u 4, u 2 ), u R; β(u) = (cos u 3, sin u 3 ), u ( 3 π, 3 π); (c) α(t) = (cos t + ln(tg t 2 ), sin t), t (0, π), β(u) = (u th u, 1 ch u ), u R. 3. Dokazati da je ugao izmed u vektora položaja i tangente logaritamske spirale ρ = ca θ (a > 0, c > 0) konstantan. 4. Dokazati da je dužina odsečka tangentne linije astroide x y 2 3 = a 2 3, a > 0, odred enog koordinatnim osama konstantna. 5. Data je regularna ravanska kriva α i tačke P i Q van nje. Neka je M 0 tačka krive u kojoj zbir rastojanja P M + QM, M α, dostiže minimum. Dokazati da je simetrala ugla P M 0 Q normalna na tangentu krive α u tački M Izračunati dužinu sledećih krivih: (a) y = ln cos x, x (0, π 3 ); (b) x = t 1 2 sh 2t, y = 2 ch t, t (0, 2); (c) β(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b 0, t (0, 2π); (d) ρ = a(1 + cos θ); (kardioida) (e) ρ = aθ, θ (0, 2π). (Arhimedova spirala) 7. Odrediti prirodnu parametrizaciju krivih: (a) kruga α(t) = (r cos t, r sin t), t (0, 2π), r > 0; (b) kružnog heliksa β(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b R; (c) lančanice y = a ch x a, a > 0; (d) elipse x2 a + y2 2 b = 1, a, b > 0; 2 (e) parabole y = x (a) Odrediti Freneov reper, krivinu i torziju kružnog heliksa β(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, b 0. (b) Odrediti Freneov reper i označenu krivinu lančanice y = a ch x a, a > 0, a zatim jednačinu oskulatornog kruga u tački (0, a). 9. (a) Dokazati da postoji jedinstveno vektorsko polje X(t) (Darbuovo vektorsko polje) duž krive α = α(t) parametrizovane proizvoljnim parametrom, za koje važi: T = X T, N = X N, B = X B. (b) Odrediti Darbuov vektor kružnog heliksa. 10. Dokazati da za prirodno parametrizovanu krivu važi: (a) [B, B, B ] = τ 5 ( κ τ ), κ, τ 0; (b) [T, T, T ] = κ 5 ( τ κ ), κ Odrediti krivu na fiksiranom rastojanju d od kružnog heliksa duž njegovih: (a) tangentnih linija; (b) normalnih linija; (c) binormalnih linija. 12. (a) Neka je α : I R 3 prirodno parametrizovana kriva. Ako je κ(s) 0, tada je α deo prave. Dokazati. (b) Ako sve tangentne linije regularne parametrizovane krive sadrže fiksnu tačku, tada slika te krive pripada nekoj pravoj. Dokazati. 13. Neka je α(t), t I, regularna kriva. Pretpostavimo da postoji a R 3 tako da je (α(t) a) T (t) za svako t I. Dokazati da je α(t) sferna kriva. 14. Sferna kriva konstantne krivine je deo kruga. Dokazati.
2 15. Neka je α prirodno parametrizovana kriva koja pripada sferi x 2 + y 2 + z 2 = R 2. (a) Izraziti vektor položaja tačaka krive α u Freneovoj bazi krive α. (b) Dokazati da za krivinu i torziju krive α važi τ 2 (R 2 1 κ 2 ) = ( κ κ 2 ) Neka je α : I R 3, 0 I, κ 0, prirodno parametrizovana kriva. Dokazati da je [X α(0), α (0), α (0)] 0, X = (x, y, z), jednačina oskulatorne ravni u tački α(0). 17. Dokazati da je kriva α(t) = ( 1+t 1 t, t, 2 1+t ), t ( 1, 1) ravanska i odrediti ravan u kojoj leži. 18. Dokazati da se sve oskulatorne ravni neke regularne krive sa krivinom različitom od nule seku u jednoj tački akko je ta kriva ravanska. 19. Neka je α : I R 3 regularna kriva parametrizovana dužinom luka s, krivine κ 0 i 0 I. (a) Dokazati da za sve tačke s u dovoljno maloj okolini tačke 0 I važi ( ) ( ) α(s) = s κ2 0 6 s3 + o(s 3 κ0 ( ) T (0) + 2 s2 + κ 0 6 s3 + o(s 3 κ0 τ ) 0 ) N(0) + 6 s3 + o(s 3 ) B(0), gde je α(0) = (0, 0, 0), κ 0 = κ(0), κ 0 = κ (0), τ 0 = τ(0). (b) Analizirati lokalni izgled krive pomoću projekcija na oskulatornu, normalnu i rektifikacionu ravan. 20. Neka je ravanska kriva α zadana polarnom parametrizacijom ρ = ρ(θ). (a) Dokazati da je dužina krive α na segmentu [a, b] data formulom L(α) = (b) Dokazati da je označena krivina krive α data sa κ z (θ) = 2(ρ ) 2 ρρ +ρ 2. (c) Odrediti krivinu Arhimedove spirale ρ = aθ, a > 0. ((ρ ) 2 +ρ 2 ) 3 2 b a (ρ ) 2 + ρ 2 dθ. 21. Odrediti parametrizaciju ravanske krive (do na direktnu izometrijsku transformaciju ravni) čija je data označena krivina u zavisnosti od prirodnog parametra s i dokazati da je u pitanju naznačena kriva: (a) κ z (s) = 1 as+b (b) κ z (s) = 1 1+s 2 - lančanica; (a 0) - logaritamska spirala; 22. Data je kriva α(t) = ( 2 cos t + sin t + 1, 2 sin t + 2, 2 cos t + sin t + 3). Izračunati krivinu i torziju date krive, a zatim detaljno opisati krivu. 23. Uopštena zavojna linija (heliks) je prostorna kriva čiji tangentni vektor zaklapa konstantan ugao θ (0, π), θ π 2, sa fiksiranim nenula vektorom v E 3. Uopšteni heliks leži na cilindru čije su izvodnice odred ene pravcem v i tačkama krive. Dokazati da je kriva uopštena zavojna linija akko važi jedan od uslova: (a) normale su normalne na v; (b) binormale grade konstantan ugao sa v; (c) κ τ = const. 24. Data je kriva γ(t) = (at, bt 2, ct 3 ), a, b, c 0. (a) Dokazati da je γ uopšteni heliks akko je 3ac = ±2b 2. (b) Ako je 3ac = 2b 2, odrediti fiksiran vektor v i ugao θ izmed u vektora v i tangente krive γ u proizvoljnoj tački. 25. Evoluta regularne prirodno parametrizovane krive α : I R 2 je kriva β : I R 2 definisana u tačkama gde je κ(s) 0, data sa β(s) = α(s) + 1 κ(s) N(s), a njena involuta je kriva γ : I R2 data sa γ(s) = α(s) + (c s)t (s), c I. (a) Ispitati regularnost i odrediti označenu krivinu, krivinu i Freneov reper krivih β i γ preko odgovarajućih veličina krive α. (b) Dokazati da je evoluta krive α geometrijsko mesto centara oskulatornih krugova krive α, a involuta krive α geometrijsko mesto tačaka koje opisuje fiksirana tačka prave koja se kotrlja po krivoj α. (c) Dokazati da je involuta od evolute date krive ponovo polazna kriva. (d) Odrediti evolutu elipse i traktrise. (e) Odrediti involutu kruga i cikloide.
3 Površi 1. Neka je α(u) regularna kriva i β(u) 0 vektorsko polje duž krive α. Elementarna površ definisana parametrizacijom f(u, v) = α(u) + vβ(u) naziva se linijska površ. (a) Odrediti pod kojim uslovima je površ f regularna. (b) Primeri pravolinijskih površi: ravan, helikoid, Mebijusova traka, jednograni hiperboloid, hiperbolički paraboloid, cilindrične površi, konusne površi. 2. Neka je α(t) = (f(t), 0, g(t)), a < t < b, regularna 1 1 kriva klase C k i f > 0. (a) Dokazati da je površ r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), a < u < b, 0 < v < 2π dobijena rotacijom krive α oko z ose. (b) Dokazati da je r regularna elementarna površ. (c) Odrediti koordinatne krive (linije) površi r i ugao koje one zaklapaju. (d) Odrediti odgovarajuću parametrizaciju ako kriva α rotira oko x ose, odnosno y ose. (e) Primeri rotacionih površi: sfera, katenoid, torus, kružni elipsoid, kružni jednograni hiperboloid, kružni dvograni hiperboloid, kružni paraboloid, pseudosfera, kružni cilindar, kružni konus. 3. Dokazati da je skup rešenja jednačine f(x, y, z) = x 5 + x 3 + y 3 + y 2 + z 3 + z = 0 regularna površ i odrediti njenu tangentnu ravan u proizvoljnoj tački (x 0, y 0, z 0 ) površi. 4. Dokazati da zapremina tetraedra koji se dobija u preseku koordinatnih osa i tangentne ravni površi xyz = a 3 ne zavisi od izbora tačke površi u kojoj se razmatra tangentna ravan. 5. Data je parametrizacija Mebijusove trake r(u, v) = ( (1 + u sin v 2 ) cos v, (1 + u sin v 2 ) sin v, u cos ) v 2, 1 2 < u < 1 2, π < v < π. Izračunati normalno vektorsko polje n(0, v) duž centralne kružnice u = 0 Mebijusove trake, a zatim dokazati da je lim v π r(0, v) = lim v π r(0, v) i lim v π n(0, v) = lim v π n(0, v). 6. Dat je konus z = 3 x 2 + y 2. Odrediti koeficijente prve fundamentalne forme, vektore brzine koordinatnih linija i ugao izmed u njih ukoliko je konus lokalno parametrizovan kao: (a) grafik funkcije; (b) rotaciona površ. 7. Dat je jednograni hiperboloid x 2 + y 2 z 2 = 1. (a) Parametrizovati ovu površ kao rotacionu i odrediti koeficijente prve fundamentalne forme. (b) Dokazati da na jednogranom hiperboloidu postoje dve familije mimoilaznih pravih tako da svaka tačka hiperboloida pripada tačno jednoj pravoj iz svake familije. (c) Reparametrizovati hiperboloid kao linijsku površ. 8. Neka je U = {(θ, φ) θ ( π 2, π 2 ), φ (0, 2π)} i f : U R3, f(θ, φ) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) parametrizacija dela sfere S 2. (a) Dokazati da su krive na sferi koje zaklapaju konstantan ugao α sa meridijanima date jednačinom α(θ) = f(θ, ± tg α ln tg ( π 4 θ 2) + C), C R. Ove krive nazivaju se loksodrome. (b) Izračunati dužinu loksodrome koja se dobija za C = 0. (c) Izračunati površinu dela jedinične sfere izmed u dva meridijana i dve paralele. 9. Dat je kružni parabolid r(u, v) = (u cos v, u sin v, u 2 ), u > 0, v (0, 2π). Odrediti ugao izmed u krivih α(u) = r(u, u + 1) i β(u) = r(u, 3 u) na paraboloidu. 10. Izračunati površinu torusa koji se dobija rotacijom kruga (x a) 2 + z 2 = b 2 (a > b) oko z ose. 11. Dokazati da na konusu f(u, v) = (u cos v, u sin v, u), u > 0, v (0, 2π), dve familije krivih α(v) = f(ce 1 v 2, v) i β(v) = f(ce 1 v 2, v), C = const > 0, polove uglove izmed u koordinatnih linija. 12. (a) Dokazati da su lokalne koordinate na sferi dobijene iz stereografske projekcije konformne. (b) Pokazati da su loksodrome na sferi slike odgovarajućih logaritamskih spirala iz karte pri stereografskoj projekciji. 13. Odrediti parametrizaciju loksodroma na katenoidu r(u, v) = (ch u cos v, ch u sin v, u), u R, v (0, 2π), koje zaklapaju konstantan ugao α sa meridijanima. 14. Neka je druga fundamentalna forma površi identički jednaka nuli. Dokazati da je površ deo ravni.
4 15. Odrediti Gausovo preslikavanje i sliku sledećih površi na jediničnoj sferi: (a) sfere poluprečnika R; (b) cilindra poluprečnika R; (c) katenoida. 16. Neka je D r = {(x, y, x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 < r 2 } deo paraboloida z = x 2 + y 2, P(r) površina površi D r, a G(r) površina njene slike na sferi S 2 G(r) pri Gausovom preslikavanju. Dokazati da je lim jednak Gausovoj krivini paraboloida u tački (0, 0, 0). r 0 P(r) 17. Odrediti glavne, Gausovu i srednju krivinu jednogranog hiperboloida x 2 y 2 + z 2 = Neka je α = α(s), s I, prirodno parametrizovana kriva čija je krivina κ 0 i torzija τ 0. Definišimo linijsku površ parametrizacijom r(s, v) = α(s) + vb(s), s I, v ( ε, ε), pri čemu je B = B(s) binormalni vektor krive α. (a) Ispitati regularnost date površi. (b) Izračunati geodezijsku i normalnu krivinu koordinatnih linija date površi. (c) Odrediti glavne, Gausovu i srednju krivinu date površi. 19. Odrediti geodezijsku i normalnu krivinu koordinatnih linija: (a) cilindra x 2 + y 2 = 9; (b) helikoida r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), u > 0, v R. 20. (a) Izračunati normalnu krivinu proizvoljne sferne krive koja leži na sferi poluprečnika R. (b) Dokazati da za krivinu κ prirodno parametrizovane krive α na jediničnoj sferi poluprečnika R važi nejednakost κ 1 R. 21. Dokazati da su koordinatne linije površi za koju važi f 0 asimptotske linije akko je e = 0 = g. 22. (a) Dokazati da se tangentna ravan površi duž asimptotske linije na površi poklapa sa oskulatornom ravni krive. (b) Dokazati da se tangentna ravan površi duž geodezijske linije na površi poklapa sa rektifikacionom ravni krive. 23. Neka je α(s) = r(u(s), v(s)) prirodno parametrizovana kriva na površi r = r(u, v). Posmatrajući n(s) = n(u(s), v(s)) duž krive α, vektorska polja [T, S, n] čine ortonormiranu bazu vektorskog prostora R 3 duž krive γ (tzv. Darbuova baza). Geodezijska torzija krive γ je τ g = II(T, S). Dokazati formule analogne Frene-Sereovim formulama: (a) T = κ n n + κ g S; (b) S = κ g T + τ g n; (c) n = κ n T τ g S. 24. Odrediti geodezijske linije kružnog cilindra. 25. Ako je α(s) = f(u(s), v(s)) prirodno parametrizovana geodezijska linija na površi f = f(u, v) za koju važi E = E(u), F = 0, G = G(u), dokazati da je G cos θ = C = const pri čemu je θ ugao izmed u geodezijske linije i v-parametarske krive u = const. 26. Neka je f = f(u, v) regularna površ na kojoj su u i v-parametarske krive ortogonalne i koeficijenti prve osnovne forme zavise samo od parametra u. Tada se geodezijske linije uvek mogu naći integracijom, tj. tada važi: (a) u-parametarske krive (v = const) su geodezijske linije; (b) v-parametarske krive (u = const = u 0 ) su geodezijske linije akko je G u (u 0 ) = 0; (c) kriva oblika α(u) = r(u, v(u)) je geodezijska linija akko je v = C E G G C du, C = const. 2 t 27. Dokazati da je kriva α(t) = (t cos ln t2 +1 (u cos v, u sin v, v), u > 0, v R., t sin ln t 28. (a) Svaki meridijan rotacione površi je geodezijska linija. Dokazati., ln t t2 +1 t2 ), t R, geodezijska linija na helikoidu r(u, v) = +1 (b) Paralela rotacione površi je geodezijska linija akko su tangente meridijana paralelne osi rotacije u svim tačkama paralele. Dokazati. 29. (a) Dokazati da su koordinatne linije površi bez umbiličkih tačaka glavne linije (linije krivine) akko je F = f = 0. (b) Dokazati da su meridijani i paralele rotacionih površi glavne linije. 30. Odrediti glavne pravce, asimptotske pravce, glavne linije (linije krivine) i asimptotske linije Eneperove površi r(u, v) = (u u3 3 + uv2, v v3 3 + vu2, u 2 v 2 ).
5 31. Parametrizovati sledeće površi tako da važi F = f = 0: (a) r(u, v) = (u cos v, u sin v, av), (u, v) R (0, 2π), a > 0; (b) sedlo z = xy. 32. Odrediti eliptičke, paraboličke, hiperboličke, planarne tačke na torusu. 33. (a) Odrediti broj asimptotskih pravaca površi u zavisnosti od tipa tačke površi (eliptička, hiperbolička, parabolička, planarna). (b) Dokazati da su asimptotski pravci u hiperboličkim tačkama površi simetrični u odnosu na glavne pravce. 34. Odrediti parametrizaciju krivih u normalnom sečenju hiperboličkog paraboloida z = x 2 y 2 u tački (0, 0, 0) i pravcu tangentng vektora w i izračunati njenu krivinu, a zatim proveriti da li se dobijena krivina poklapa sa rezultatom koji se dobija koristeći Ojlerovu ili Menijeovu teoremu, ukoliko vektor w: (a) polovi jedan od uglova izmed u glavnih pravaca; (b) zaklapa ugao π 6 sa nekim glavnim pravcem Opisati skup tačaka tangentne ravni na rastojanju od fiksirane tačke regularne površi u kojoj se posmatra tangentna κn ravan, gde je κ n normalna krivina duž odgovarajućeg pravca. 36. Dokazati da ne postoji elementarna površ za koju važi: (a) E = 1, F = 0, G = 1, e = 1, f = 0, g = 1; (b) E = 1, F = 0, G = cos 2 u, e = cos 2 u, f = 0, g = (a) Odrediti formule normalne i centralne projekcije (iz koordinatnog početka) cilindra x 2 +y 2 = 1 na sferu x 2 +y 2 +z 2 = 1. (b) Dokazati da normalna projekcija nije izometrija, ali čuva površine. 38. Dokazati da med u sledećim površima nikoje dve nisu lokalno izometrične (kako god da su parametrizovane): sfera, cilindar, helikoid, paraboloid. 39. Neka je α : I R 3 prirodno parametrizovana kriva. Tangentna površ krive α je linijska površ data parametrizacijom f(s, v) = α(s) + vt (s), s I, v > 0. (a) Dokazati da je površ f lokalno izometrična delu ravni. (b) Odrediti eksplicitne formule ove izometrije ukoliko je kriva kružni heliks α(t) = (cos t, sin t, t). 40. (a) Dokazati da su helikoid r(u, v) = (a ch u cos v, a ch u sin v, au), (u, v) R (0, 2π), i katenoid f(z, w) = (z cos w, z sin w, aw), (z, w) R (0, 2π), a > 0, lokalno izometrične površi. (b) Reparametrizovati dati helikoid tako da parametrizacija bude konformna, a zatim odrediti jednačine krivih na helikoidu koje polove uglove izmed u koordinatnih linija. 41. (a) Dokazati da je cindrična površ r(u, v) = (u, f(u), v), (u, v) R 2, izometrična (delu) ravni. (b) Odrediti eksplicitne formule izometrije izmed u cilindrične površi r(u, v) = (u sin u, 1 cos u, v), u (0, 2π), v R, i dela ravni. 42. (a) Dokazati da je konus z = 3 x 2 + y 2 lokalno izometričan ravni. (b) Odrediti geodezijske linije na datom konusu. (c) Izračunati rastojanje izmed u tačaka A(0, 1, 3) i B(0, 1, 3) na datom konusu.
6 Primeri zadataka za kolokvijum i ispit 1. Data je kriva parametrizacijom α(t) = (3 cos t cos 3t, 3 sin t sin 3t), t R. (a) Dokazati da je data kriva epicikloida koja se dobija kao trag fiksirane tačke kruga poluprečnika 1 koji se kotrlja po krugu poluprečnika 2 koji je fiksiran i ima centar u koordinatnom početku (t je ugao izmed u x ose i vektora položaja centra manjeg kruga). (b) Ispitati regularnost date krive i skicirati je. (c) Dokazati da kriva zadovoljava sledeće jednačine u polarnim i Dekartovim koordinatama: ( ρ 2 ) 2 3 = (sin θ 2 ) (cos θ 2 ) 2 3, (x 2 + y 2 4) 3 = 108y 2. (d) Dokazati da je kriva α zatvorena i izračunati njenu dužinu. (e) Odrediti funkciju dužine luka, označenu i neoznačenu krivinu (κ z i κ) date krive za t (0, π), uzimajući za početnu tačku (0, 4). (f) Odrediti ugao φ koji tangenta krive zaklapa sa x osom i proveriti da li važi κ z = dφ ds, s prirodni parametar. (g) Odrediti parametrizaciju evolute date krive i skicirati je. Koja je kriva u pitanju? 2. Neka je α prostorna kriva koja predstavlja skup rešenja jednačine u cilindričnim koordinatama z = ρ = e 2θ, θ R. (a) Odrediti parametrizaciju krive α, dokazati da kriva pripada konusu z = x 2 + y 2 i skicirati je. Koja kriva je projekcija krive α na xy ravan? (b) Odrediti prirodnu parametrizaciju krive uzimajući za početnu tačku vrh konusa (obrazložiti zašto je to moguće). (c) Odrediti Freneov reper, krivinu i torziju krive. (d) Napisati Frene-Sereove formule u tački (0, e π, e π ). (e) Odrediti jednačine oskulatorne, rektifikacione i normalne ravni krive u tački (0, e π, e π ). (f) Dokazati da je data kriva uopšteni heliks, odrediti fiksirani pravac v i uglove koje vektori Freneove baze zaklapaju sa vektorom v. (g) Odrediti vektore Darbuove baze i geodezijsku i normalnu krivinu date krive na konusu z = x 2 + y Dat je parabolički cilindar svojom jednačinom u Dekartovim koordinatama x = y 2. (a) Odrediti neku parametrizaciju date površi, ispitati njenu regularnost i skicirati je. (b) Odrediti Gausovo preslikavanje i sliku na jediničnoj sferi date površi. (c) Dokazati da je data površ lokalno izometrična ravni i odrediti eksplicitne formule izometrije. (d) Odrediti sve geodezijske linije na datoj površi i izračunati najkraće rastojanje izmed u tačaka (0, 0, 0) i (1, 1, 1) (po površi). (e) Odrediti glavne krivine i glavne pravce date površi, kao i Gausovu i srednju krivinu. Koji je tip tačaka na površi? (f) Odrediti krivu u normalnom sečenju date površi u tački (0, 0, 0) i u pravcu vektora w tangentne ravni koji polovi jedan od uglova izmed u glavnih pravaca, kao i njenu krivinu. (g) Proveriti da li se dobijena krivina poklapa sa rezultatom koji se dobija koristeći Ojlerovu ili Menijeovu teoremu. 4. Data je elementarna površ r(u, v) = (ch u(cos v + sin v), ch u(sin v cos v), 2u), u R, v (0, 2π). (a) Dokazati da je data površ katenoid, dobijen kao slika standardnog katenoida kompozicijom homotetije sa centrom u koordinatnom početku i rotacije oko z ose. (b) Odrediti Gausovo preslikavanje i sliku na jediničnoj sferi date površi. (c) Odrediti jednačinu loksodroma na datoj površi koje zaklapaju ugao π 3 sa meridijanima. (d) Odrediti geodezijsku i normalnu krivinu koordinatnih linija date površi. Koje su med u njima geodezijske? (e) Odrediti glavne krivine, Gausovu i srednju krivinu u tački ( 2, 0, 0). (f) Odrediti glavne i asimptotske pravce tangentne ravni u tački ( 2, 0, 0), kao i normalnu krivinu površi duž pravaca tangentne ravni koji zaklapaju orijentisani ugao π 3 sa glavnim pravcima. (g) Odrediti glavne i asimptotske linije na datoj površi. Koje od njih sadrže tačku ( 2, 0, 0)? (h) Odrediti konstante a i b tako da je data površ lokalno izometrična helikoidu f(u, v) = (au cos v, au sin v, bv), (u, v) R (0, 2π).
1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA 3 vebe xkolske 2012/13 godine M i N smer
Prvi dvoqas 1. Ispitati regularnost krivih zadatih parametrizacijom α(t) = (cos t, sin t), t ( π, π), β(t) = (cos t 3, sin t 3 ), t ( 3 π, 3 π). Da li su ove krive ekvivalentne? 2. Dokazati da su sledei
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:
Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalna Geometrija: Vježbe 1
Diferencijalna Geometrija: Vježbe 1 (Krive: reprezentacija, dužina luka i oskulatorna ravan) Zadatak 1.1. Pokažite da su konični presjeci x + y = z, x cos α + z sin α = d, gdje α R i d 0 krive (potvrdite
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότερα(a) Odrediti koeficijente prve, druge fundamentalne forme i Kristofelove simbole površi r.
Geomerija 3, 9... Ime i prezime, broj indeksa, grupa. Daa je površ paramerizacijom ru, v = cos u cos v + 3 cos v, cos u sin v + 3 sin v, sin u, u, v, π, π. a Odredii koeficijene prve, druge fundamenalne
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Master rad Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Student: Nenad Krstić Mentor: dr Milan Zlatanović
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραTIPOVI PROJEKCIJA SFERNA PROJEKCIJA
TIPOVI PROJEKCIJA SFERNA PROJEKCIJA Perspektivna projekcija, po definiciji, podrazumeva premeštanje tačaka, koje se posmatraju iz neke fiksne tačke prostora, na površinu. Pod projektovanjem se podrazumevaju
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραFunkcije više promenljivih. Uvod u funkcije više promenljivih
Funkcije više promenljivih Uvod u funkcije više promenljivih Na ovom predavanju će biti reči o: o oznakama za funkcije više promenljvih o domenu funkcija više promenljvih o graficima funkcija više promenljvih
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Moderna diferencijalna geometrija površi nulte srednje krivine Master rad Mentor: dr Ljubica Velimirović Student: Miloš Petrović
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότερα