GEOMETRIJA 3 vebe xkolske 2012/13 godine M i N smer
|
|
- Ἀχιλλεύς Γεννάδιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prvi dvoqas 1. Ispitati regularnost krivih zadatih parametrizacijom α(t) = (cos t, sin t), t ( π, π), β(t) = (cos t 3, sin t 3 ), t ( 3 π, 3 π). Da li su ove krive ekvivalentne? 2. Dokazati da su sledei skupovi taqaka slike (tragovi, nosaqi) regularnih krivih: a) E = {(x, y) R 2 x2 a 2 + y2 b 2 = 1}, a, b > 0; b) H = {(x, y) R 2 x2 a 2 y2 b 2 = 1, x > 0}, a, b > 0; v) P = {(x, y) R 2 x = y 2 }. 3. a) Dokazati da je skup {(t, 0) t [0, 1)} {(0, t) t [0, 1)} slika beskonaqno glatke krive koja nije regularna (tj. da ta glatka parametrizacija nije nasleena iz R 2 ). b) Dokazati da skup {(x, x ) x R} ne moe biti slika regularne krive. 4. Dokazati da je F (x 0, y 0 ) = ( F x, F y ) (x0,y 0 0 dovo an uslov da skup taqaka datih uslovom F (x, y) = 0 ) bude lokalno, u nekoj okolini taqke (x 0, y 0 ), trag regularne krive. Da li je taj uslov i potreban? 5. Dokazati da je duina odseqka odreenog koordinatnim osama tangentne linije astroide zadate jednaqinom x y 2 3 = a 2 3, a > 0, konstantna. 6. Date su regularna ravanska kriva α i dve taqke P i Q van e. Neka je M 0 taqka krive u kojoj zbir P M + QM, M α, dostie minimum. Dokazati da je simetrala P M 0 Q normalna na tangentu krive α u taqki M 0.
2 Drugi dvoqas Jox neke poznate krive prava (u R 2, R 3 ) krive drugog reda (elipsa, hiperbola, parabola) lanqanica y = ach x a, a > 0, x R traktrisa (eng. dog curve) a(cos t + ln(tg ( t 2 )), sin t), a > 0, t (0, π) cikloide (at b sin t, a b cos t), t [0, 2π] epicikloide a((1 + m) cos(mt) m cos(t(m + 1)), (m + 1) sin(mt) m sin(t(m + 1))), a, m > 0, t > 0 m = 1: kardioida 2a(cos t(1 + cos t), sin t(1 + cos t)), t [0, 2π], tj. ρ = 2a(1 + cos θ) hipocikloide a((m 1) cos(mt) + m cos(t(m 1)), (m 1) sin(mt) m sin(t(m 1))), a > 0, m (0, 1), t > 0 astroida (a cos 3 θ, a sin 3 θ), θ [0, 2π], a > 0, x y 2 3 = a 2 3 Arhimedova spirala ρ = aθ, a > 0 logaritamska spirala ae bθ, a > 0 Kasinijevi ovali (x 2 + y 2 ) 2 + 2a 2 (y 2 x 2 ) = c 4 a 4, a, c > 0; za a = c: Bernulijeva lemniskata ( ) a cos t a sin t cos t, 1+sin 2 1+sin 2 t, t [0, 2π], tj. ρ 2 = 2a 2 cos(2θ) kruni heliks (zavojnica) (a cos t, a sin t, bt), a > 0, t R konusni heliks (at cos t, at sin t, bt), a > 0, t R Vivijanijeva kriva a(1 + cos t, sin t, 2 sin t 2 ), a > 0, t [ 2π, 2π] 1. Izraqunati duine sledeih krivih: a) y = ln cos x, x [0, π 3 ]; b) x = t 1 2sh 2t, y = 2ch t, t [0, 2]; v) β(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, t [0, 2π]; g) ρ = a(1 + cos θ), a > 0. d) ρ = aθ, a > 0, θ [0, 2π]. 2. Nai prirodnu parametrizaciju krivih: a) kruga α(t) = (r cos t, r sin t), r > 0, t (0, 2π); b) heliksa β(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > 0, t (0, 2π); v) lanqanice y = ach x a, a > 0; (arsh (x) = ln(x + x 2 + 1)) g) elipse x2 y 2 + y2 b 2 = 1, a, b > 0.
3 Trei dvoqas 1. Odrediti Freneov reper, krivinu i torziju sledeih krivih a) α(t) = (r cos t, r sin t), r > 0; b) β(t) = (a cos t, a sin t, bt), a > Dokazati da Darbuov vektor X = τt + κb zadovo ava sistem: T = X T, N = X N, B = X B. (Darbuov vektor je vektor ugaone brzine krive, pa egov intenzitet daje ugaonu brzinu.) 3. Neka je α : I R 3 prirodno parametrizovana kriva. Dokazati sledee jednakosti: a) [T, B, B ] = τ; b) [B, B, B ] = τ 5 ( κ τ ), κ, τ 0; v) [T, T, T ] = κ 5 ( τ κ ), κ Neka je α : I R 3 prirodno parametrizovana kriva. Ako je κ(s) = 0, tada je α deo prave. Dokazati. 5. Ako sve tangentne linije regularne parametrizovane krive sadre fiksiranu taqku, tada slika te krive pripada nekoj pravoj. Dokazati. 6. Ako sve normalne linije regularne parametrizovane krive sadre fiksiranu taqku, tada je slika te krive sadrana u krugu. Dokazati.
4 Qetvrti dvoqas 1. Neka je α : I R 3 prirodno parametrizovana kriva i κ(s) 0. Dokazati da su sledeii stavovi ekvivalentni: α je ravanska kriva; B je konstantan vektor; τ(s) = 0 za sve s I. 2. Dokazati da je sledea kriva ravanska α(t) = ( 1+t 1 t, 1 1, 1 t 2 1+t ), t ( 1, 1), i nai ravan u kojoj lei. 3. Dokazati da vae uopxtene Freneove formule za regularnu krivu α(t), κ 0, parametrizovanu proizvo nim parametrom t (v = s = α ): T (t) = vκ(t)n(t) N (t) = vκ(t)t (t) +vτ(t)b(t) B (t) = vτ(t)n(t). 4. Dokazati da vae sledee formule za regularnu krivu α parametrizovanu proizvo nim parametrom: α = vt, α = v T + v 2 κn; T = α α ; B = α α α α ; N = (α α ) α α α α ; κ = α α α 3 ; τ = [α,α,α ] α α Dokazati da je krivina krive: a) ρ = ρ(θ) data formulom κ(θ) = 2(ρ ) 2 ρρ +ρ 2 ; ((ρ ) 2 +ρ 2 ) 3 2 b) (x(t), y(t), 0) data formulom κ(t) = x y x y. (x 2 +y 2 ) Neka je α(s) : I R 3, 0 I, κ 0 prirodno parametrizovana kriva. Dokazati da je [x α(0), α (0), α (0)] = 0 jednaqina oskulatorne ravni u taqki α(0). 7. Dokazati da se sve oskulatorne ravni neke regularne krive sa krivinom razliqitom od nule seku u jednoj taqki akko je ta kriva ravanska. 8. Sferna kriva konstantne krivine je deo kruga. Dokazati.
5 Peti dvoqas 1. Odrediti ravanski krivu (do na izometrijsku transformaciju) ako je data krivina: a) κ(s) = 1 as+b, a, b 0; b) κ(s) = 1 1+s Data je kriva α(t) = ( 2 cos t + sin t + 1, 2 sin t + 2, 2 cos t + sin t + 3), t R. a) Izraqunati krivinu i torziju krive. b) Deta no opisati krivu. 3. Uopxtena zavojna linija (heliks) je prostorna kriva qiji tangentni vektor zaklapa konstantan ugao sa fiksiranom pravom koja se naziva osa heliksa. Dokazati da je kriva uopxtena zavojna linija akko vai neki od uslova: normale su normalne na osu; binormale grade konstantan ugao sa osom; κ τ = const. 4. (primer ispitnog zadatka) Neka je α kriva data svojom polarnom parametrizacijom ρ(θ) = ae bθ, a > 0. a) Skicirati krivu α na najveem intervalu I na kojem je regularna. Odrediti enu prirodnu parametrizaciju, duinu luka izmeu taqaka θ = 0 i θ = t i krivinu κ(t) kao funkciju od t. b) Dokazati da proizvo na poluprava iz koordinatnog poqetka odseca na krivoj α dui qije duine qine geometrijsku progresiju, dok sa tangentama u preseqnim taqkama sa krivom zaklapa fiksiran ugao. v) Odrediti Freneov reper, krivinu i torziju krive β(t) = (e 5t cos 5t, e 5t sin 5t, e 5t ) koja predstav a reparametrizaciju konusnog heliksa zadatog standardnom parametrizacijom, nad ravanskom krivom α. g) Odrediti uglove koje zaklapaju tangenta, normala i binormala u proizvo noj taqki krive sa z osom.
6 Xesti dvoqas 1. a) Parametrizovati jediniqnu polusferu, sferu bez jednog meridijana i sferu bez jedne taqke. Da li su parametrizacije regularne? Da li je cela sfera slika regularne povrxi? b) Nai jednaqinu tangentne ravni na jediniqnu sferu u taqki ( 1 2, 1 2, 2 2 ). 2. Dokazati da zapremina tetraedra koji se dobija u preseku koordinatnih osa i tangentne ravni povrxi xyz = a 3, a > 0, ne zavisi od izbora taqke povrxi u kojoj je se razmatra tangentna ravan. 3. Dokazati da je skup rexea jednaqine f(x, y, z) = x 5 + x 3 + y 3 + y 2 + z 3 + z = 0 lokalno slika regularne povrxi i nai enu tangentnu ravan u proizvo noj taqki (x 0, y 0, z 0 ) slike povrxi. 4. Dokazati da gora polovina krunog konusa z 2 = x 2 + y 2 nije slika regularne povrxi.
7 Sedmi dvoqas 1. Dokazati da su povrxi qije su slike grafici glatkih funkcija regularne. 2. Neka je α(t) = (f(t), 0, g(t)), a < t < b, regularna 1 1 kriva klase C k i f > 0. a) Dokazati da je slika povrxi r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), a < u < b, 0 < v < 2π, dobijena rotacijom slike krive α oko z ose. b) Dokazati da je r regularna elementarna povrx. v) Odrediti koordinatne krive povrxi r i uglove koje one zaklapaju. g) Primeri rotacionih povrxi: sfera, katenoid, jednograni hiperboloid, torus, cilindar, konus. 3. a) Neka je α(u) regularna kriva i neka je β(u) 0 vektorsko po e du krive α. Odrediti pod kojim uslovima je f(u, v) = α(u) + vβ(u) regularna elementarna povrx. b) Primeri pravolinijskih povrxi: konus, cilindar, helikoid, jednograni hiperboloid, hiperboliqki paraboloid, Mebijusova traka.
8 Osmi dvoqas 1. Ispitati da li je povrx r(u, v) = ((1 + u sin v 2 ) cos v, (1 + u sin v 2 ) sin v, u cos v 2 ), 1 2 < u < 1 2 regularna. Izraqunati normalno vektorsko po e n(0, v). Dokazati da je lim n(0, v) = lim n(0, v). v π v π lim v π r(0, v) = lim v π, π < v < π, r(0, v) i 2. Dokazati da je jednograni hiperboloid dvostruka linijska povrx, tj. da sadri dve familije mimoilaznih pravih tako da svaka taqka hiperboloida pripada taqno jednoj pravoj iz svake familije. 3. Izraqunati koeficijente prve fundamentalne forme a) konusa z = 3(x 2 + y 2 ), (x, y) (0, 0); b) proizvo ne rotacione povrxi. 4. Data je povrx x = u cos v, y = u sin v, z = u 2. Odrediti ugao izmeu krivih v = u + 1 i v = 3 u. 5. Odrediti ugao izmeu krivih v = 2u i v = 2u na povrxi qija je metrika data sa ds 2 = du 2 + 2dv 2.
9 Deveti dvoqas 1. Izraqunati povrxinu torusa. 2. Neka je U = {(θ, φ) π 2 < θ < π 2, 0 < φ < 2π} R2 i f : U R 3 parametrizacija dela sfere S 2 data sa f(θ, ϕ) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ). a) Izraqunati povrxinu dela jediniqne sfere izmeu dva meridijana i dve paralele. b) Pokazati da su krive (loksodrome) na sferi koje zaklapaju konstantan ugao α sa meridijanima date jednaqinama ln tg ( π 4 θ 2 ) = ±(φ + C)ctg α, C R. v) Izraqunati duinu jedne od tih krivih. 3. Dokazati da krive familija u 1 (v) = C 1 e v 2 i u 2 (v) = C 2 e v 2, C 1, C 2 > 0, polove uglove izmeu koordinatnih linija povrxi f(u, v) = (u cos v, u sin v, u), u > a) Dokazati da su lokalne koordinate na sferi dobijene iz stereografske projekcije konformne, tj. da su ravan i sfera bez taqke konformno ekvivalentne. b) Pokazati da su loksodrome na sferi slike odgovarajuih logaritamskih spirala iz karte pri stereografskoj projekciji.
10 Deseti dvoqas 1. Dat je jednograni hiperboloid x 2 + y 2 z 2 = 1. a) Odrediti bar dve parametrizacije (dela) hiperboloida. b) Izraqunati Gausovu i sredu krivinu. v) Izraqunati Kristofelove simbole druge vrste. 2. Neka je druga fundamentalna forma povrxi f = f(u, v) identiqki jednaka nuli. Dokazati da slika povrxi pripada nekoj ravni. 3. Neka je α = α(u) prirodno parametrizovana kriva qija je krivina κ = κ(u) 0 i torzija τ = τ(u) 0. Izraqunati Gausovu i sredu krivinu tangentne povrxi f(u, v) = α(u) + vt (u), v > 0, pri qemu je T = T (u) tangentni vektor krive α.
11 Jedanaesti dvoqas 1. Odrediti geodezijsku i normalnu krivinu koordinatnih linija helikoida r(u; v) = (u cos v, u sin v, hv), u > 0, v R, h = const > Neka je γ prirodno parametrizovana kriva qiji trag pripada slici elementarne povrxi r. Oznaqimo sa κ, κ n, κ g redom krivinu, normalnu krivinu i geodezijsku krivinu krive γ, sa N i n normalno vektorsko po e krive i povrxi i sa θ ugao izmeu ih, du krive γ. Dokazati: a) κ 2 = κ 2 n + κ 2 g ; b) κ n = κ cos θ (u taqkama du krive gde je vektor N definisan, tj. gde je κ 0); v) ako je kriva γ u normalnom seqeu (u svim taqkama), tada je κ n = ±κ i κ g = a) Izraqunati normalnu krivinu sfere polupreqnika R u proizvo noj taqki i u pravcu proizvo nog tangentnog vektora. b) Dokazati da za krivinu κ prirodno parametrizovane krive α qiji trag lei na jediniqnoj sferi polupreqnika R vai nejednakost κ 1 R. 4. a) Odrediti geodezijske linije meu paralelama torusa. b) Odrediti eliptiqke, paraboliqke, hiperboliqke i planarne taqke na torusu. 5. Dokazati da u hiperboliqkim taqkama elementarne povrxi postoje taqno dva asimptotska pravca, kao i da su oni simetriqni u odnosu na glavne pravce u toj taqki.
12 Dvanaesti dvoqas 1. Odrediti geodezijske linije cilindra. 2. Dokazati da je svaka paralela rotacione povrxi geodezijska linija. 3. Dokazati da su koordinatne linije parametrizacije povrxi gde vai f 0 ujedno i asimptotske linije ako i samo ako je e = g = a) Dokazati da su koordinatne linije parametrizacije povrxi bez umbiliqkih taqaka ujedno i glavne linije (linije krivine) ako i samo ako vai F = f = 0. b) Dokazati da su meridijani i paralele rotacionih povrxi linije krivine. 5. Odrediti glavne i asimptotske linije na Eneperovoj povrxi r : R 2 R 3 date sa r(u, v) = (u u3 3 + uv2, v v3 3 + u2 v, u 2 v 2 ).
13 Trinaesti dvoqas 1. Ako je α(s) = f(u(s), v(s)) prirodna parametrizacija geodezijske linije na povrxi f = f(u, v) za koju je E = E(u), F = 0, G = G(u), dokazati da je G cos θ = const pri qemu je θ ugao izmeu geodezijske linije i v parametarske krive u = const. 2. Neka je f = f(u, v) deo povrxi na kojem su u i v parametarske krive ortogonalne i koefcijenti prve osnovne forme zavise samo od jednog parametra. Tada se geodezijske linije uvek mogu nai integracijom, tj. tada vai: a) u parametarske krive (v = const) su geodezijske; b) v parametarske krive (u = const = u 0 ) su geodezijske linije akko je G u (u 0 ) = 0; C E v) kriva oblika α(u) = r(u, v(u)) je geodezijska linija akko je v = du, C = const. G G C 2 3. Povrx f = f(u, v) naziva se Liuvilova povrx ako je E = G = U + V i F = 0, pri qemu je U funkcija samo po u i V funkcija samo po v. Ako je α(s) = f(u(s), v(s)) prirodno parametrizovana geodezijska linija na ovoj povrxi, dokazati da je U sin 2 θ V cos 2 θ = const, pri qemu je θ ugao izmeu geodezijske linije i u parametarske krive v = const. 4. Data je rotaciona povrx r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)). Dokazati: svaki meridijan (u parametarska kriva) je geodezijska linija; paralela (v parametarska kriva) je geodezijska linija akko su tangente meridijana paralelne osi rotacije u svim taqkama paralele. 5. Neka je α(s) = r(α 1 (s), α 2 (s)) prirodno parametrizovana kriva qija slika pripada tragu povrxi r = r(u, v). Posmatrajui n(s) = n(α 1 (s), α 2 (s)) du slike krive α, dokazati da vektorska po a T, S, n qine ortonormiranu bazu vektorskog prostora R 3 du slike krive α, kao i da vae formule analogne Freneovim formulama: T = II(T, T )n + κ g S; S = κ g T + II(T, S)n; n = II(T, T )T II(T, S)S.
14 Qetrnaesti dvoqas 1. Operator oblika S : T p M T p M predstav a negativni diferencijal Gausovog preslikavaa g(p) = n(p) elementarne povrxi r = r(u, v), tj. S = dg p. Kao samoadjungovan linearni operator u korespodenciji je sa drugom fundamentalnom (bilinearnom) formom na sledei naqin: II(v p, w p ) = S(v p ), w p = v p, S(w p ), pa su glavne krivine u taqki p regularne povrxi sopstvene vrednosti operatora oblika povrxi, a glavni pravci egovi sopstveni vektori. Dokazati da vae formule S(r u ) = n u = F f Ge EG F 2 r u F g Gf EG F 2 r v, S(r v ) = n v = F e Ef EG F 2 r u F f Eg EG F 2 r v. U sluqaju F = f = 0, prethodne formule se svode na S(r u ) = e E r u i S(r v ) = g G r v, odakle sledi da su tada normalne krivine u i v parametarskih krivih redom e E i g G. 2. Dokazati da su helikoid i katenoid (na odgovarajui naqin parametrizovani) izometriqne povrxi. 3. a) Dokazati da su ravan (bez taqke) i konus z = 3 x 2 + y 2 (bez vrha) difeomorfne povrxi. b) Dokazati da su ravan i konus z = 3 x 2 + y 2 lokalno izometriqni. v) Odrediti rastojae izmeu taqaka A(0, 1, 3) i B(0, 1, 3) na konusu.
Geometrija 3, zadaci po kojima se drže vežbe
Krive Geometrija 3, zadaci po kojima se drže vežbe 1. Skicirati i parametrizovati sledeće krive: prava, krive drugog reda, lančanica, traktrisa, cikloide (epicikloide i hipocikloide), Arhimedova i logaritamska
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:
Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραGEODEZIJSKA PRESLIKAVA A
Univerzitet u Beogradu Matematiqki fakultet MASTER RAD GEODEZIJSKA PRESLIKAVA A student: Rada Mutavi mentor: prof. dr Mirjana ori Beograd 2013. QLANOVI KOMISIJE: prof. dr Mirjana ori dr Sran Vukmirovi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku
Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Master rad Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Student: Nenad Krstić Mentor: dr Milan Zlatanović
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta
Διαβάστε περισσότεραVajerxtrasova reprezentacija minimalnih povrxi
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Master rad Vajerxtrasova reprezentacija minimalnih povrxi Autor: Mentor: dr Mirjana ori septembar 011. Sadraj Predgovor 1 Istorijski osvrt i motivacija 3 Klasiqne
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma
INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalna Geometrija: Vježbe 1
Diferencijalna Geometrija: Vježbe 1 (Krive: reprezentacija, dužina luka i oskulatorna ravan) Zadatak 1.1. Pokažite da su konični presjeci x + y = z, x cos α + z sin α = d, gdje α R i d 0 krive (potvrdite
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότερα(a) Odrediti koeficijente prve, druge fundamentalne forme i Kristofelove simbole površi r.
Geomerija 3, 9... Ime i prezime, broj indeksa, grupa. Daa je površ paramerizacijom ru, v = cos u cos v + 3 cos v, cos u sin v + 3 sin v, sin u, u, v, π, π. a Odredii koeficijene prve, druge fundamenalne
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραQETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa A. x 2, g : x. 1 (x 2 + y 2 dx dy. QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, Grupa B. ln x (x 1) 3/2.
1. Izraqunati QETVRTI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 1, 1995. x arctan x 1 + x dx. Grupa A. Izraqunati povrxinu koju ograniqavaju pozitivan deo x - ose i grafici funkcija 3. Ako je oblast ograniqena krivama
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα8 Tangencijalna ravnina plohe
8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότεραTIPOVI PROJEKCIJA SFERNA PROJEKCIJA
TIPOVI PROJEKCIJA SFERNA PROJEKCIJA Perspektivna projekcija, po definiciji, podrazumeva premeštanje tačaka, koje se posmatraju iz neke fiksne tačke prostora, na površinu. Pod projektovanjem se podrazumevaju
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότερα