1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

Transcript

1 Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika same parametrizacije lako se zakljčje da je pitanj rotaciona površ koja se dobija rotacijom krive x sh z, z xz ravni Parametar predstavlja parametar profilne krive sh,,, dok parametar v [ π, π] označava gao rotacije oko z ose Kako je f ch cos v, ch sin v,, f v sh sin v, sh cos v,, f f v sh cos v, sh sin v, sh ch, to je f f v sh + ch Kako je f f v samo za, dobijamo da je površ reglarna svim tačkama osim za Napomena U definiciji elementarne površi podrazmeva se otvoren skp U kome pripadaj parametri, v U prethodnom primer najveći takav skp je U, + π, π i f : U R 3 predstavlja reglarn parametrizacij skpa iz dela a, bez krive poddarne profilnoj, levoj xz polravni za v ±π, tj bez krive sh,, b Kako je g, v, 3, + v,,, pitanj je pravolinijska površ koja predstavlja nij pravih koje sadrže tačke krive y x 3 xy ravni i čiji je vektor pravca vektor,,, tj paralelne s z osi Lako se dobija g, 3,, g v,,, g g v 6,,,,, pa je data parametrizacija reglarna Površ je data jednačinom f, v cos v, sin v,, >, v, π Izračnati: a koeficijente I i II kvadratne forme; b Gasov, srednj i glavne krivine; c gao izmed krivih + v 3 i v Rešenje Data površ f : U, +, π je reglarna parametrizacija dela paraboloida x + y 4z kao rotacione površi Ona se dobija rotacijom profilne krive koja prestavlja deo parabole,,, >, oko z ose, gde je v, π gao rotacije, čime smo prekrili sve osim jednog meridijana paraboloida a normala f cos v, sin v,, f v sin v, cos v, f,,, f v sin v, cos v,, f vv cos v, sin v, f f v 4 cos v, 4 sin v, 4 n f f v f f v cos v, + + sin v, +

2 koeficijenti prve fndamentalne forme E f, f 4 + F f, f v G f v, f v 4 koeficijenti drge fndamentalne forme e n, f + f n, f v matrični zapis b Gasova krivina srednja krivina glavne krivine g n, f vv H κ + I K eg f EG F Eg + eg F f EG F κ Hκ + K κ, + ± κ + Naravno, glavne krivine mogće je izračnati i kao sopstvene vrednosti matrice II I c Krive + v 3 i v predstavljaj prave karti U, parametrizovane sa α, 3 i βv v +, v, koje se sek tački, Odgovarajće krive na paraboloid s α f α i βv f βv Neka je φ traženi gao izmed krivih α i β Tada je pa je cos φ α, β α β α, β α, α β, β, α, β 6 α, α 6 β, β 6 cos φ , 4, 36, 36, φ arccos 9

3 3 Izračnati površin površi z x + y izmed ravni z i z Izračnati geodezijsk i normaln krivin krive presek površi i ravni z Rešenje Data površ je gornja polovina konsa Ovaj skp tačaka, bez jedne izvodnice konsa, možemo videti kao slik elementarne površi rρ, θ ρ cos θ, ρ sin θ, ρ, ρ, θ, +, π Iz lako dobijamo normal površi kao i matric prve fndamentalne forme r ρ cos θ, sin θ,, r θ ρ sin θ, ρ cos θ,, n cos θ, 6 6 sin θ, 6, 6 ρ Presek ravni z, odnosno z sa konsom s kržnice čije s projekcije na xy ravan date sa ρ, odnosno ρ Deo površi izmedj ravni z i z karti predstavlja kržni prsten D izmed pomentih kržnica, pa je tražena površina P EG F dρdθ D π 6πρ 4 6π 6ρdρdθ Presek ravni z sa konsom je kržnica γθ cos θ, sin θ,, θ, π Njena prirodna parametrizacija je s γs cos, sin s,, s, π Vektori brzine i brzanja s γ s T s sin s, cos s,, γ s cos s, sin s, Dž krive γ s θ vektori n, T i n T čine ortonormiran baz T je tangentni vektor, pri čem je Normalna krivina krive γ iznosi γ κ n n + κ g n T κ n γ, n 6, dok je geodezijska krivina κ g γ, n T [n, γ, γ ] 3 Kako je obična krivina krive γ jednaka, lako se proveri da zaista važi veza izmed krivina κ κ n + κ g Napomena Kriva γ iz zadatka, kao i svaka paralela na kons, nije ni asimptotska ni geodezijska linija Izvodnice konsa s, pak, i geodezijske i asimptotske linije

4 4 Dokazati da na paraboličkom cilindr r, v,, v važi: a v parametarske linije s geodezijske; b prirodno parametrizovana parametarska linija αs rs, v je geodezijska ako je + const Rešenje Parabolički cilindar r, v, x, v je pravolinijska površ koja se dobija od parabole y xy ravni, sa generatrisama paralelnim z osi Koeficijenti prve fndamentalne forme ove površi s E +, F, G Koristeći formle Γ GE F F + F E v EG F, Γ GE v F G EG F, Γ EF EE v F E EG F, Γ EG F E v EG F, Γ GF v GG F G v EG F, Γ EG v F F v + F G EG F, tj skraćenom oblik Γ E E, Γ E v G, Γ E v E, Γ G G, Γ G E, Γ G v G, dobijamo da je samo jedan Kristofelov simbol različit od nle Γ + Kriva γ : I R 3, γ γs je geodezijska na elementarnoj površi r : U R 3 akko fnkcije s i v vs date sa γs rs, vs zadovoljavaj sistem diferencijalnih jednačina + Γ + Γ v + Γ v, v + Γ + Γ v + Γ v U slčaj površi date zadatk, sistem se svodi na samo jedn diferencijaln jednačin + + Nije teško pokazati da je potreban slov da bi kriva γs bila geodezijska da parametar s bde proporcionalan prirodnom parametr a v parametarske linije const s prave βv,, v, v R Očigledno je parametar v ovih krivih jedno i prirodni parametar i važi v,, pa je jednačina zadovoljena Napomena Svaka prava koja leži na nekoj površi je geodezijska na toj površi, posmatrana sa odgovarajćom parametrizacijom b parametarske linije v v const s parabole αs rs, v s, s, v koje leže ravnima paralelnim xy ravni Jednačina je ekvivalentna jednačini + +, pa dobijamo odakle sledi zakljčak + const , Napomena Uslov + const važi čim je kriva αs rs, v prirodno parametrizovana, nezavisno od toga što je geodezijska Med tim, mi smo pravo pokazali da isti zakljčak važi i za sve odgovarajće parametrizovane geodezijske linije na površi r a ne samo za one parametrizovane prirodnim parametrom

5 Data je površ r, v 3 cos v, 3 sin v, v, >, v π, π a Odrediti asimptotske linije b Dokazati da s linije krivine date sa v ± ln const Rešenje Površ r :, + π, π R 3 data sa r, v 3 cos v, 3 sin v, v,, v + 3 cos v, 3 sin v, je beskonačni helikoid Koeficijenti prve i drge fndamentalne forme dati s sledećim matricama 9 3 9, I a Kako s koeficijenti drge fndamentalne forme e g, f, jedine asimptotske krive s koordinatne krive zadatak sa vežbi Naime, jednačina e + f v + gv asimptotskih linija αs rs, vs na površi svodi se na odakle je ili v, tj const ili v const b Iz slova f v, v v E F G e f g koji zadovoljavaj glavne linije αs rs, vs na površi, dobijamo diferencijaln jednačin čija s ona rešenja Stavljajći s, tj v v, ov jednačin možemo eksplicitno rešiti po v: v dv 9 d 9 +, dv d ± 3 9 +, v ± d, v ± ln const Naravno, dovoljno je samo zamenom proveriti da data rešenja tekst zadatka zadovoljavaj jednačin