Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Petra Černayová Stanovení ekonomického kapitálu v neživotním pojištění Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Ing. Imrich Lozsi Studijní obor: Finanční a pojistná matematika
Poděkování Děkuji vedoucímu své diplomové práce Ing. Imrichu Lozsimu za drahocenný čas, který mi v období psaní věnoval, a za neúnavnou ochotu, se kterou mi sděloval cenné rady a návrhy. Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne Petra Černayová vlastnoruční podpis i
Obsah 1 Úvod 2 2 Solventnost II 3 2.1 Motivácia............................. 3 2.2 Terminológia Solventnosti II................... 4 3 Stochastický model 6 3.1 Miery rizika............................ 6 3.1.1 Value at Risk....................... 6 3.1.2 Tail Value at Risk..................... 7 3.2 Zmena výšky kapitálu...................... 7 3.3 Riziko poistného......................... 8 4 Agregácia rizík 11 4.1 Lineárna korelácia......................... 11 4.2 Kopuly............................... 12 5 Mnohorozmerné kopuly 13 5.1 Vlastnosti kopúl.......................... 14 5.2 Miery závislosti.......................... 16 5.2.1 Kendallovo tau...................... 16 5.2.2 Spearmanovo rho..................... 19 5.2.3 Tail dependence...................... 19 6 Archimedovské kopuly 23 6.1 Vlastnosti Archimedovských kopúl............... 25 6.2 Algoritmus generovania pre dvojrozmerné kopuly....... 27 6.3 Mnohorozmerné Archimedovské kopuly............. 28 6.3.1 Algoritmus generovania.................. 29 6.3.2 Mnohorozmerné kopuly s čiastočnou symetriou..... 32 6.4 Vybrané rodiny Archimedovských kopúl............ 34 ii
7 Výber kopuly 38 7.1 Metódy odhadu parametru kopuly................ 38 7.1.1 Dvojkrokový prístup................... 38 7.1.2 Jednokrokový prístup................... 39 7.2 Metódy výberu rodiny kopúl................... 40 8 Analýza dát 43 8.1 Popis dát............................. 43 8.2 Rozloženie výšky jednotlivých škôd............... 44 8.3 Rozdelenie počtu škôd...................... 51 8.4 Výber kopuly........................... 54 8.5 Simulácia............................. 61 8.5.1 Výsledky.......................... 63 9 Záver 66 iii
Abstrakt Název práce: Stanovení ekonomického kapitálu v neživotním pojištění Autor: Petra Černayová Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Ing. Imrich Lozsi e-mail vedoucího: ilozsi@kpmg.cz Abstrakt: Tato práce se zabývá opisem stochastického modelu pro stanovení výše kapitálového požadavku v neživotním pojištění pro riziko pojistného v kontextu vývoje Solventnosti II. Její cílem je zkoumání možností agregace rizik z jednotlivých odvětví pojištění, a to zejména pomocí teorie vícerozměrných Archimedovských kopulí. Klíčová slova: solventnost, solvenční kapitálový požadavek, riziko pojistného, agregace rizik, kopula, mnohorozměrná Archimedovská kopula Abstract Title: The Economic Capital Determination in Non-life Insurance Author: Petra Černayová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Ing. Imrich Lozsi Supervisor s e-mail address: ilozsi@kpmg.cz Abstract: This paper takes an overall look at the stochastic model used for computing the solvency capital requirement in non-life insurance within the scope of Solvency II. Its purpose is to investigate the methods of aggregation of the risks from the various lines of business, especially the method of multivariate Archimedean copulas. Keywords: Solvency, Solvency capital requirement, Premium risk, Aggregation of risks, Copula, Multivariate Archimedean copula 1
Kapitola 1 Úvod Ako už napovedá samotný názov diplomovej práce, jej témou je použitie stochastického modelu pri výpočte rizikovej rezervy neživotnej poist ovne v rámci projektu Solventnost II. Tejto tematike sa venujú kapitoly 2 a 3, v ktorých sa čitatel najprv oboznámi s krátkou históriou výpočtu solvenčného kapitálu a motiváciou vzniku iniciatívy revízie existujúceho solvenčného systému Solventnost I. Potom mu je predstavená základná charakteristika stochastického modelu, ktorý má nahradit súčasný jednoduchý nie príliš realistický model. Kapitola 4 je úvodom do t ažiskovej časti práce, ktorá sa týka agregácie rizík z rôznych poistných odvetví pri modelovaní kapitálu potrebného na krytie rizika poistného. V minulosti sa k modelovaniu závislosti jednotlivých rizík pristupovalo prostredníctvom lineárnej korelácie, ktorá však kompletne vystihuje závislost náhodných veličín iba v prípade elipticky rozdelených veličín. Kvôli nedostatkom korelácie d alej nasledovalo vyloženie pomerne modernej teórie mnohorozmerných kopúl, ktoré jednoznačne reprezentujú štruktúru závislosti náhodných veličín. To znamená, že znalost kopuly a marginálnych distribučných funkcií náhodného vektora je ekvivalentná znalosti združenej distribučnej funkcie, ktorá nám dáva všetky informácie o závislosti jednotlivých náhodných veličín. V kapitolách 5 a 6 sú postupne popísané všeobecné vlastnosti kopúl, miery závislosti s nimi súvisiace a neskôr definícia a základné znaky Archimedovských kopúl. Dôležitou súčast ou kapitoly 6 je rozšírenie teórie dvojrozmerných Archimedovských kopúl na mnohorozmerné a odvodenie algoritmov generovania použitých pri simuláciách. Kapitola 7 sa bližšie zaoberá metodikou identifikácie rodiny Archimedovských kopúl a odhadu parametra kopuly predstavujúcej závislost poistných odvetví. Predposledná kapitola je ukážkou využitia odvodenej teórie v praxi, na čo nám ako výpočetný prostriedok poslúžil vol ne dostupný štatistický software R. Výsledky našej analýzy sú zhodnotené v záverečnej kapitole. 2
Kapitola 2 Solventnost II 2.1 Motivácia Súčasný systém určovania solvenčného kapitálu Solventnost I, ktorý vznikol začiatkom sedemdesiatych rokov 20. storočia, využíva jednoduchý robustný model výpočtu založený na formule zohl adnňujúcej výšku rezerv pri životnom poistení a výšku prijatého poistného prípadne výšku škodného úhrnu pri neživotnom poistení. Tento prístup je nielen málo flexibilný, ale navyše berie pri výpočte solvenčného kapitálu do úvahy iba poistne-technické riziko. Ochrana poistených pred ostatnými rizikami je sprostredkovaná len reguláciami možností investovania a metód tvorby rezerv. Dokonca pri ňom dochádza aj k paradoxnej situácií, pretože znevýhodňuje poist ovne tvoriace vyššie rezervy, ktoré musia držat aj väčšie množstvo solvenčného kapitálu. Tieto nedostatky sa prejavili v posledných rokoch, kedy finančná stabilita niekol kých poist ovní bola otrasená. Medzi faktory, ktoré významne ovplyvnili ich finančnú situáciu, patrí pokles na akciových trhoch v rokoch 2001 a 2002, zvyšovanie dlhovekosti, ktorých efekt bol ešte znásobený zhoršujúcimi sa technickými výsledkami a katastrofickými škodami. Tieto udalosti viedli k mnohým zmenám v dohl ade a regulácií post ovní, a to k zmene účtovných zásad (IFRS) a zmene prístupu k výpočtu solvenčného kapitálu. Ciel om štandardu Solventnost II je zohl adnenie skutočných rizík, čo jednak zabezpečí vyšší stupeň ochrany poistených pred rizikom krachu poist ovne, naviac motivuje k efektívnejšej alokácií zdrojov poist ovne a k efektívnejšiemu prenosu rizika prostredníctvom zaistenia, sekuritizácie a hedgingu. Podporuje teda využívanie inovatívnych metód riadenia rizík. V neposlednom rade zvýšená konkurencia a transparentnost vedie k vývoju ponúkaných produktov a k adekvátnejšiemu stanoveniu cien. 3
2.2 Terminológia Solventnosti II História Solventnosti II siaha do roku 2001, kedy vznikla iniciatíva zameraná na prešetrenie potreby revízie súčasného európskeho solvenčného systému. V marci 2003 Európska komisia predstavila návrh dizajnu budúceho kontrolného systému, v ktorom bola ako odrazový mostík použitá trojpilierová štruktúra projektu Basel II upravujúceho podmienky v európskom bankovom sektore. Výška finančných zdrojov, ktoré musia byt poist ovňou držané za účelom solventnosti, je kvantitatívne definovaná v rámci piliera I. Piliere II a III sa týkajú skôr kvalitatívnych požiadaviek na určovanie solvenčného kapitálu, riadenia rizík, internej kontroly a dozoru. Určitú predstavu o troch pilieroch si čitatel môže urobit na základe naledujúcej schémy, bližšie informácie sú dostupné na stránkach organizácie CEIOPS (Commision for European Insurance and Occupational Pension Supervisors), ktorá tento projekt zastrešuje po technickej stránke. Obrázok 2.1: Tri piliere Solventnosti II Množstvo solvenčného kapitálu predpísané k držaniu v rámci piliera I projektu Solventnost II sa nazýva Solvency Capital Requirement (SCR), tj. solvenčná kapitálová potreba. Ide o množstvo kapitálu, ktoré by malo reflektovat všetky riziká, ktorým je poist ovňa vystavená. Neschopnost poist ovne zabezpečit finančné zdroje v danej výške je prvým varovným signálom o jej zlej finančnej situácií. Ciel om Solventnosti II je vytvorit štandardný model výpočtu výšky požadovaného SCR použitel ný menšími 4
a strednými poist ovňami, ktoré nemajú dostatok zdrojov na to, aby boli schopné vytvorit interný stochastický model zohl adňujúci ich špecifické riziká. Všeobecnost tohoto modelu so sebou prináša aj vysokú mieru konzervatívnosti pri výpočte kapitálu. Tento fakt je motiváciou pre poist ovne zavádzat svoje vlastné interné modely, ktoré sú prispôsobené rizikám, ktorým podliehajú, a preto by nemali nadhodnocovat výšku požadovaného kapitálu. Druhým, ovel a vážnejším signálom pre dozerajúce inštitúcie, je ak výška vol ného kapitálu poist ovne nedosahuje ani výšku druhej, nižšej, hranice stanovenej v rámci piliera I a to Minimum Capital Requirement (MCR), tj. minimálna kapitálová potreba. V tomto prípade sú sankcie zo strany dozorného orgánu taktiež závažnejšie, môže dôjst k zákazu rozširovat poistné portfólio. Výška MCR je stanovená rovnakou metódou ako SCR, pričom za konfidenčnú hladinu je zvolená úroveň nie 99.5% ale 90%. Otázka stanovovania MCR je však ešte stále diskutovaná a neuzavretá. Ďalšou zmenou oproti súčasnému solvenčnému systému je metodika určovania výšky vol ného kapitálu držaného poist ovňou, ktorá zaznamenala posun k trhovosti v oceňovaní aktív a záväkov poist ovne. Finančné aktíva na likvidných trhoch sú ohodnotené ich aktuálnou obchodovacou cenou, súkromne obchodovatel né aktíva prostredníctvom cien zrovnatel ných aktív verejne obchodovatel ných a neobchodovatel né aktíva nemajúce tržné priblíženie prostredníctvom oceňovacích postupov (napr. opcie Black-Scholesovou formulou). Záväzky (Market Value Liabilities, MVL) sú ocenené ako súčet súčasnej hodnoty najlepšieho odhadu (Best Estimate, BE) budúcich platieb, pričom ako diskontná miera sa používa bezriziková úroková miera, a rizikovej marže (Market Value Margin, MVM), ktorá zohl adňuje riziká a neistotu vyplývajúcu z týchto peňažných tokov, čiže MV L = BE + MV M. (2.1) V terminológií Solventnosti II je vol ný kapitál označovaný ako Available Solvency Margin (ASM), čiže diponibilná miera solventnosti. Ide o kapitál, ktorý nie je právne viazaný žiadnymi záväzkami a je tým pádom použitel ný na krytie náhodných strát poist ovne. Exaktne je definovaný ako rozdiel hodnoty započítatel ného kapitálu (Eligible Capital, EC), čo je hodnota kapitálu, ktorý môže byt podl a regulátorných pravidiel úplne alebo z časti vzatý v úvahu pri stanovení disponibilného kapitálu za účelom solventnosti a tržnej hodnoty záväzkov ASM = EC MV L. (2.2) Za solventnú môžeme považovat poist ovňu, pre ktorú platí ASM > SCR. 5
Kapitola 3 Stochastický model Základnou myšlienkou stochastického modelu pre stanovenie kapitálu je, že poist ovňa by mala držat také množstvo solvenčého kapitálu, aby pravdepodobnost, že ho ročná strata prevýši a teda dôjde k ruinovaniu, bola dostatočne nízka, tj. platilo P ( U < u) ɛ, (3.1) kde U je náhodná veličina predstavujúca zmenu výšky kapitálu počas roka, u je počiatočná výška rizikovej rezervy (solvenčného kapitálu) a ɛ je zvolená nízka pravdepodobnost (napr. 0, 01 alebo 0, 005). Našou úlohou teda je odhad rozdelenia náhodnej veličiny U a následné určenie výšky počiatočnej hodnoty rizikovej rezervy u. 3.1 Miery rizika Miery rizika sú prostriedkom určenia objemu potenciálnych škôd v portfóliu a porovnania rôznych rizík. Medzi klasicky používané miery rizika patria hodnota v riziku (Value at Risk) a zvyšková hodnota v riziku (Tail Value at Risk), ktoré sú založené na kvantilovom prístupe. 3.1.1 Value at Risk Value at risk (V ar α ) je α-kvantil rozloženia pravdepodobnosti straty, čiže je definované ako V ar α = inf{x R; P (X > x) 1 α}, (3.2) kde X je náhodná veličina predstavujúca stratu poist ovne. 6
Podl a posledného vývoja sa zdá, že v projekte Solventnost II bude ako miera rizika použitý 99, 5% kvantil, čo v podstate znamená, že výška potrebného solvenčného kapitálu je určená ako value at risk zápornej zmeny výšky kapitálu, tj. u = V ar 0,95 ( U). Tým dosiahneme splnenie požadovanej nerovnosti (3.1) a k ruinovaniu poist ovne držiacej kapitál v tejto výške dôjde iba s pravdepodobnost ou 0, 5% 3.1.2 Tail Value at Risk Tail value at risk (TVaR), tiež známe ako očakávaný deficit (expected shortfall), predstavuje priemernú stratu poist ovne za podmienky, že táto strata prekročí hodnotu VaR. Tail value at risk je definované ako T V ar α (X) = E[X X V ar α (X)]. (3.3) V projekte Solventnost II sa uvažovalo o TVaR ako o alternatívnej miere rizika, a to najmä z dôvodu, že jednak TVaR je na rozdiel od VaR koherentnou mierou rizika a navyše v prípade rozloženia strát s t ažkým chvostom TVaR lepšie zohl adňuje riziko potenciálnych extrémnych strát. VaR má naopak tendenciu podhodnotit riziko. Obrázok 3.1: Porovnanie Value at Risk a Tail Value at Risk 3.2 Zmena výšky kapitálu Otázkou ostáva, čo vplýva na zmenu kapitálu poist ovne počas roku, čiže náhodnú veličinu U. Medzi kladné položky patrí zaslúžené poistné na daný rok, ktoré môžeme považovat za deterministickú zložku, a výnosy z finančného 7
umiestnenia, ktoré sú náhodné a súvisí s nimi tržné riziko. Významnou zápornou položkou sú výplaty na poistné plnenia a s nimi súvisiace riziko nepostačitel nosti rezerv a riziko nedostatočného poistného. Medzi d alšie riziká vplývajúce na výšku potrebnej rizikovej rezervy patria kreditné riziko plynúce zo zaistenia a investícií a t ažko ocenitel né operačné riziko, tj. riziko zlyhania l udského faktoru a IT technológií. Ďalej je nutné započítat náklady poist ovne súvisiace s jej činnost ou. Vplyvy jednotlivých rizík na zmenu výšky kapitálu možno teda skrátene zapísat ako U = EP + R S C O E, (3.4) kde EP označuje zaslúžené poistné, R výnosy z finančného umiestnenia, S náklady na poistné plnenia, C stratu súvisiacu s kreditným rizikom, O stratu týkajúcu sa operačného rizika a E prevádzkové náklady. 3.3 Riziko poistného V súčasnej dobe poist ovne disponujú širokou ponukou rôznych produktov, s čím je spojená rôznorodost poistného kmeňa. Aby sa zaručila určitá miera homogenity pri výpočtoch, delí sa poistný kmeň na niekol ko poistných odvetví zahŕňajúcich približne rovnaké riziká a k modelovaniu škodných úhrnov z jednotlivých poistných odvetví sa pristupuje oddelene. Dôležitú úlohu v stanovení výšky solvenčného kapitálu hrá následná agregácia na základe závislosti medzi danými odvetviami. Majme poist ovňu prevádzkujúcu činnost v n rôznych poistných odvetviach. Potom celkový ročný škodný úhrn môžeme vyjadrit v tvare S = S 1 + S 2 +... + S n. (3.5) Výpočet ekonomického kapitálu prebieha v nasledujúcich krokoch: 1. Odhad rozdelení náhodných veličín S i, i = 1,..., n 2. Vyšetrenie štruktúry závislosti medzi jednotlivými poistnými odvetviami 3. Simulácia škôd berúca do úvahy zistenú závislost 4. Určenie potrebného kapitálu ako VaR resp. TVaR z nasimulovaných hodnôt. 8
Čo sa týka bodu 1 v tejto časti predstavíme 2 možné prístupy k odhadu distribučných funkcií strát. Body 2 a 3 sú t ažiskovou témou tejto diplomovej práce a sú im venované zvyšné kapitoly. Agregované škodné percento Jednou z možností je pristupovat k náhodným veličinám S i, i = 1,..., n ako k celkovým škodám, tj. nepozerat sa na ne ako na náhodný počet škôd náhodnej výšky, a odhadovat ich rozdelenie na základe historických dát o celkovom ročnom škodnom úhrne v daných poistných odvetviach. Za týchto okolností je nutné zohl adnit aktuálnu vel kost poistného portfólia, ktorá má jednoznačne dopad na celkovú výšku škôd. Preto je výhodné prejst k modelovaniu škodných pomerov, čiže podielov škodného úhrnu a zaslúženého poistného na daný rok: LR i,t = IC i,t EP i,t, (3.6) kde IC i,t predstavuje úhrn škôd z roku t z poistného odvetvia i a EP i,t zaslúžené poistné z roku t z poistného odvetvia i. Agregovaný škodný pomer pre všetky poistné odvetvia je dopočítaný ako vážený priemer škodných pomerov z jednotlivých odvetví: LR t = IC n t i=1 = IC i,t EP n t i=1 EP = i,t n EP i,t = LR i,t n i=1 EP = i,t i=1 n i=1 IC i,t EP i,t EP i,t n i=1 EP i,t n LR i,t w i,t, i=1 (3.7) kde váhou w i,t je podiel poistného odvetvia i v čase t na celkovom zaslúženom poistnom. V d alších krokoch výpočtu solvenčného kapitálu sa odhaduje závislost škodných pomerov medzi poistnými odvetviami a tá sa následne zohl adní pri simulácií ich hodnôt. Kolektívny model Ďalšou variantou ako modelovat výšku škôd vzniknutých počas roku je kolektívny model rizika, ktorý vychádza z predpokladu, že v dostatočne homogénnom poistnom kmeni možno považovat výšku škodných nárokov z jednotlivých poistných udalostí za rovnako rozdelené náhodné veličiny. Úhrny škôd v poistných odvetviach sú potom vyjadrené súčtami 9
N i S i = X i,j, i = 1,..., n, (3.8) j=1 kde X i,j, j = 1, 2,... predstavuje postupnost škodných nárokov z poistného odvetvia i bez ohl adu na to, ku ktorej poistnej zmluve prislúchajú a N i je počet všetkých poistných udalosti v danom období v poistnom odvetví i. Za predpokladu, že X i,j, j = 1, 2,... je postupnost nezávislých rovnako rozdelených náhodných veličín a N i je nezávislé na X i,j, i = 1, 2,..., má úhrn škôd S i zložené rozdelenie. Výhodou kolektívneho modelu je práve oddelený prístup k modelovaniu počtu vzniknutých škôd a výšky jednotlivých škôd. Táto intuitívna separácia prináša väčšiu flexibilitu modelu, pretože umožňuje zohl adnit vplyvy zmien vonkajšieho prostredia na jednotlivé zložky modelu: Rast portfólia sa odráža na rozložení náhodných veličín N i, i = 1,..., n. Škodná inflácia má naopak vplyv na výšky jednotlivých škôd, a teda na rozloženie náhodných veličín X i,j, i = 1,..., n. S ohl adom na flexibilitu sme sa v praktickej časti tejto diplomovej práce rozhodli použit kolektívny model a závislost medzi poistnými odvetviami modelovat prostredníctvom závislosti medzi náhodnými veličinami N 1,..., N n. 10
Kapitola 4 Agregácia rizík Mnohorozmerné normálne rozdelenie a lineárna korelácia sú základom vel - kého množstva modelov týkajúcich sa závislosti náhodných veličín. Hoci sa nám zdá tento prístup vel mi prirodzený a jednoduchý, iba zriedka je vhodný k modelovaniu skutočných situácií v poist ovníctve, a preto môže viest ku skresleným výsledkom. Ako vhodnejší prostriedok pre modelovanie závislosti a agregáciu náhodných veličín budú predstavené mnohorozmerné kopuly. 4.1 Lineárna korelácia Definícia 1 Nech X a Y sú reálne náhodné veličiny s konečnými rozptylmi. Koeficient lineárnej korelácie medzi X a Y je ρ l (X, Y ) = Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ), (4.1) kde Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) je kovariancia medzi X a Y a V ar(x), V ar(y ) označuje rozptyl X a Y. Lineárna korelácia je mierou lineárnej závislosti. V prípade dokonalej lineárnej závislosti, tj. Y = ax + b skoro iste pre a R \ {0}, b R platí ρ l (X, Y ) = ±1. V opačnom prípade 1 < ρ l (X, Y ) < 1. Navyše platí ρ l (αx + β, γy + δ) = sgn(αγ)ρ l (X, Y ) (4.2) pre α, γ R \ {0}, β, δ R. Preto je lineárna korelácia invariantná voči ostro rastúcim lineárnym transformáciam. Ďal šou výhodnou vlastnost ou lineárnej korelácie je jej chovanie v lineárnych 11
operáciách. Nech A, B R m n ; a, b R m a nech X = (X 1,..., X n ) T, Y = (Y 1,..., Y n ) T sú náhodné vektory. Potom platí Cov(AX + a, BY + b) = ACov(X, Y )B T. Dôvodom popularity používania lineárnej korelácie je, že spomínané vlastnosti umožňujú jednoduchost výpočtov, navyše lineárna korelácia je prirodzenou mierou závislosti u eliptických rozdelení (mnohorozmerné normálne a mnohorozmerné t-rozdelenie). Straty poist ovní však obvykle nevykazujú známky eliptických rozdelení, čo spôsobuje, že jej použitie je nevhodné. Navyše i v prípade, ked dáta sú elipticky rozdelené, môže dôjst k situácií, v ktorej je použitie lineárnej korelácie nemožné, a to pri rozdelení s t ažkými chvostami akým je t-rozdelenie s nízkym počtom stupňov vol nosti, u ktorého kvôli nekonečnému rozptylu lineárna korelácia dokonca ani nie je definovaná. 4.2 Kopuly Tento odsek sa venuje krátkemu úvodu do teórie kopúl a jeho účelom je jednoduché zhrnutie, o čo sa vlastne jedná. Presné definície, vlastnosti a iná teória z tejto problematiky je predmetom nasledujúcej kapitoly. Čo sú to teda vlastne kopuly a ako súvisia so závislost ou náhodných veličín? Majme náhodné veličiny X 1,..., X n, ich závislost je kompletne popísaná ich združenou distribučnou funkciou, ktorú je možno vyjadrit prostredníctvom kopuly a marginálnych distribučných funkcií týchto náhodných veličín. Kopula teda reprezentuje štruktúru závislosti náhodných veličín. V podstate ide o združenú distribučnú funkciu C s marginálmi distribučnými funkciami rovnomerného rozdelenia na (0, 1), pre ktorú platí F (x 1,..., x n ) = C(F 1 (x 1 ),..., F n (x n )), (4.3) kde F 1,..., F n sú distribučné funkcie náhodných veličín X 1,..., X n. Vd aka mnohým vynikajúcim vlastnostiam, medzi ktoré napríklad patrí invariantnost voči ostro rastúcim transformáciám, sa stáva preferovaným prostriedkom pri modelovaní vo finančnej sfére. Kopuly nachádzajú uplatnenie nielen pri simulovaní výšky škôd v rôznych na sebe závislých poistných odvetviach, ale je možné ich využit taktiež pri určovaní výšky zaistného, pri modelovaní výšky rezerv a podobne. Ide teda skutočne o prostriedok, ktorý si zaslúži našu pozornost. 12
Kapitola 5 Mnohorozmerné kopuly Definícia 2 n-kopula je funkcia C z I n do I = [0, 1], ktorá má nasledujúce vlastnosti: 1. Pre každé u z I n platí: (i) C(u) = 0, ak aspoň jedno u j = 0 pre j = 1,..., n, (ii) ak u 1 = = u k 1 = u k+1 = = u n = 1, potom C(u) = u k ; 2. Je n-rastúca, tj. pre a a b z I n také, že a b platí V C ([a, b]) 0, kde V C ([a, b]) = b ac(t) = bn a n b n 1 a n 1... b 1 a1 C(t), nazývané C-objem, je n-tá diferencia C na [a, b], pričom prvá diferencia C je rovná b k ak C(t) = C(t 1,..., t k 1, b k, t k+1,..., t n ) C(t 1,..., t k 1, a k, t k+1,..., t n ). Nasleduje základná veta v teórií kopúl. Veta 1 Sklarova veta v n dimenziách. Nech H je n-dimenzionálna distribučná funkcia s marginálnymi distribučnými funkciami F 1, F 2,..., F n. Potom existuje n-kopula C taká, že pre všetky x R n platí H(x 1, x 2,..., x n ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 ),..., F n (x n )). (5.1) Ak F 1, F 2,..., F n sú všetky spojité, potom C je jednoznačne určené; inak C je jednoznačne určené na RanF 1 RanF 2... RanF n. Naopak ak C je n-kopula a F 1, F 2,..., F n sú distribučné funkcie, potom funkcia H definovaná podl a (5.1) je n-dimenzionálna distribučná funkcia s marginálnymi distribučnými funkciami F 1, F 2,..., F n. Zo Sklarovej vety vyplýva, že v prípade spojitých distribučných funkcií, marginálne distribučné funkcie a ich štruktúru závislosti možno oddelit, pričom štruktúra závislosti je jednoznačne reprezentovaná kopulou. 13
5.1 Vlastnosti kopúl Táto čast je venovaná opisu vlastností kopúl, ktoré môžu byt použité pri postupoch výpočtu kapitálu. V prípade záujmu o ostatné vlastnosti, základný výpis je spracovaný v [11]. Invariantnost voči ostro rastúcim transformáciám Jednou z pozitívnych vlastností kopúl je jej chovanie pri ostro monotónnych transformáciach. Kopuly sú invariantné voči ostro rastúcim transformáciám marginálnych distribučných funkcií. Táto vlastnost sa ukazuje ako výhodná najmä pri zväčšovaní portfólia poistných zmlúv. V nasledujúcej časti si invariantnost odvodíme. Nech X 1, X 2,..., X n sú spojité náhodné veličiny s kopulou C a nech α 1, α 2,..., α n sú ostro rastúce funkcie na RanX 1, RanX 2,..., RanX n. Označme F 1, F 2,..., F n distribučné funkcie X 1, X 2,..., X n a G 1, G 2,..., G n distribučné funkcie transformovaných veličín α 1 (X 1 ), α 2 (X 2 ),..., α n (X n ), ktorých kopula je C α. Našou úlohou bude ukázat, že C = C α, z čoho vyplýva invariantnost kopúl voči ostro rastúcim transformáciám. Ked že α k je ostro rastúca pre každé k, pre každé x R platí G k (x) = P [α k (X k ) x] = P [X k α 1 k Použitím vzt ahu (5.2) dostaneme (x)] = F k(α 1 (x)) (5.2) k C α (G 1 (x 1 ),..., G n (x n )) = P [α 1 (X 1 ) x 1,..., α n (X n ) x n ] = P [X 1 α1 1 (x 1 ),..., X n αn 1 (x n )] = C(F 1 (α1 1 (x 1 )),..., F n (αn 1 (x n ))) = C(G 1 (x 1 ),..., G n (x n )). Zo spojitosti náhodných veličín X 1, X 2,..., X n vyplýva, že platí RanG 1 = RanG 2 =... = RanG n = I a teda aj rovnost C = C α na I n. Správanie pri ostro monotónnych transformáciach V prípade, že dochádza k iným ostro monotónnym transformáciám poistného kmeňa ako je rast, napríklad k úbytku poistných zmlúv, užitočný je následne odvodený vzt ah umožňujúci jednoduchost výpočtov. Nech X 1, X 2,..., X n sú náhodné veličiny s kopulou C X1,X 2,...,X n a nech α 1, α 2,..., α n sú ostro monotónne funkcie na RanX 1, RanX 2,..., RanX n. Označme C α1 (X 1 ),α 2 (X 2 ),...,α n(x n) kopulu transformovaných náhodných veličín 14
α 1 (X 1 ), α 2 (X 2 ),..., α n (X n ). Ďalej predpokladajme, že α k je ostro klesajúce pre nejaké k, 1 k n. Bez ujmy na všeobecnosti nech k = 1. Analogicky ako v predchádzajúcej časti označme F 1, F 2,..., F n distribučné funkcie X 1, X 2,..., X n a G 1, G 2,..., G n distribučné funkcie transformovaných veličín α 1 (X 1 ), α 2 (X 2 ),..., α n (X n ). Z predpokladu, že α 1 je ostro klesajúca transformácia a zvýšné transformácie sú ostro rastúce, plynie rovnost C α1 (X 1 ),α 2 (X 2 ),...,α n(x n)(g 1 (x 1 ), G 2 (x 2 ),..., G n (x n )) = (5.3) = P [α 1 (X 1 ) x 1,..., α n (X n ) x n ] = P [X 1 > α 1 1 (x 1 ), α 2 (X 2 ) x 2,..., α n (X n ) x n ]. Dosadením P [A C B] = P [B] P [A B] do posledného člena rovnosti (5.3) dostaneme C α1 (X 1 ),α 2 (X 2 ),...,α n(x n)(g 1 (x 1 ), G 2 (x 2 ),..., G n (x n )) = (5.4) = P [α 2 (X 2 ) x 2,..., α n (X n ) x n ] P [X 1 α 1 1 (x 1 ), X 2 α 1 2 (x 2 ),..., X n α 1 n (x n )] = C α2 (X 2 ),...,α n(x n)(g 2 (x 2 ),..., G n (x n )) C X1,α 2 (X 2 ),...,α n(x n)(f 1 (α 1 1 (x 1 )), G 2 (x 2 ),..., G n (x n )). Transformácia α 1 je ostro klesajúca, čo implikuje G 1 (x) = P [α 1 (x 1 ) x] = P [X 1 > α 1 1 (x)] = 1 F 1 (α 1 1 (x)). (5.5) Použitím (5.4) a (5.5) získame výslednú rovnost C α1 (X 1 ),α 2 (X 2 ),...,α n(x n)(g 1 (x 1 ), G 2 (x 2 ),..., G n (x n )) = (5.6) = C α2 (X 2 ),...,α n(x n)(g 2 (x 2 ),..., G n (x n )) C X1,α 2 (X 2 ),...,α n(x n)(1 G 1 (x 1 )), G 2 (x 2 ),..., G n (x n )). Tieto dve vlastnosti kopúl by sa dali využit pri tvorbe štandardného modelu výpočtu SCR v rámci piliera I Solventnosti II. Na základe pozorovaní škodovosti poistného kmeňa viacerých poist ovní na určitom území je možné vybrat kopulu reprezentujúcu štruktúru závislosti medzi jednotlivými poistnými odvetviami. Jej tvar by si následne každá poist ovňa upravila spomínanými transformáciámi podl a vlastností náhodných veličín predstavujúcich škody svojho vlastného poistného kmeňa. 15
Kopuly a nezávislost Nezávislost náhodných veličín je možné vyjadrit špeciálnou kopulou. Pre spojité náhodné veličiny X 1, X 2,..., X n s kopulou C totiž platí, že sú nezávislé, práve ked C = Π n, kde Π n (u) = u 1 u 2... u n (špeciálne Π 2 označujeme Π). Toto jednoduché tvrdenie plynie z faktu, že náhodné veličiny sú nezávislé, práve ked ich združená distribučná funkcia je súčinom marginálnych [1] a z jednoznačnosti kopuly ako reprezentanta štruktúry závislosti, ktorá bola vyslovená v Sklarovej vete. Kopulu Π n nazývame independence kopula a ide o špeciálny prípad kopuly z Gumbel-Hougaardovej rodiny, o ktorej sa zmienime v zozname najdôležitejších rodín Archimedovských kopúl. 5.2 Miery závislosti Pri výbere kopuly predstavujúcej štruktúru závislosti náhodných veličín sa využívajú miery závislosti ako je Kendallovo tau, Spearmanovo rho a tail dependence (závislost chvostov), ktoré sú vyjadrené prostredníctvom kopuly a teda sú taktiež invariantné voči rastu poistného portfólia a iným ostro rastúcim transformáciám. Hodnoty týchto mier závislosti sú známe pre mnohé rodiny kopúl, z ktorých sa na základe nich vyberá vhodná kopula na modelovanie extrémnych udalostí. 5.2.1 Kendallovo tau Motivácia Majme pozorovania (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) náhodného vektoru (X, Y ) spojitých náhodných veličín. Hovoríme, že pozorovania (x i, y i ) a (x j, y j ) sú harmonické v prípade, že x i < x j a zároveň y i < y j alebo x i > x j a zároveň y i > y j, tj. (x i x j )(y i y j ) > 0 a sú disharmonické v opačnom prípade, teda ak (x i x j )(y i y j ) < 0. Pri definovaní Kendallovho tau sa pozorujú počty dvojíc meraní, ktoré sú harmonické a disharmonické, pretože ak sú tieto počty porovnatel né, môžeme povedat, že tieto náhodné veličiny sú nezávislé, ak prevládajú harmonické dvojice, je to známkou toho, že rast náhodnej veličiny X je spojený s rastom Y (resp. pokles s poklesom ) a ak disharmonické, tieto náhodné veličiny sa správajú opačne. Kendallovo tau pre tento náhodný výber je definované ako c d c + d = c d ( n 2), (5.7) 16
kde c je počet harmonických párov, d počet disharmonických párov a ( ) n 2 počet všetkých dvojíc meraní. Poznámka: Označenie harmonický (disharmonický) je vol ným prekladom anglického výrazu concordant (discordant). Určité zovšeobecnenie predstavuje nasledujúca definícia Definícia 3 Nech (X 1, Y 1 ) a (X 2, Y 2 ) sú nezávislé a rovnako rozdelené náhodné vektory so združenou distribučnou funkciou H. Potom Kendallovo tau definujeme ako τ = τ X,Y = P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0] P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) < 0]. Vzt ah (5.7) nám dáva návod, ako na základe náhodného výberu odhadnút hodnotu Kendallovho tau a následne vybrat vhodnú kopulu na modelovanie závislosti škôd v jednotlivých poistných odvetviach. Neparametrický odhad Kendallovho tau je Vlastnosti ˆτ = ( ) 1 n sign[(x i X j )(Y i Y j )]. (5.8) 2 i<j Čo robí z Kendallovho tau výnimočnú mieru závislosti, je fakt, že ju je možné vyjadrit prostredníctom kopuly a teda je tiež invariantná voči ostro rastúcim transformáciám náhodných veličín. Majme (X 1, Y 1 ) a (X 2, Y 2 ) nezávislé vektory spojitých náhodných veličín so združenými distribučnými funkciami H 1 a H 2 so spoločnými marginálnymi funkciami F (pre X 1 a X 2 ) a G (pre Y 1 a Y 2 ). Nech C 1 a C 2 označujú kopuly (X 1, Y 1 ) a (X 2, Y 2 ), tj. platí H 1 (x, y) = C 1 (F (x), G(y)) a H 2 (x, y) = C 2 (F (x), G(y)). Nech Q = P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0] P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) < 0]. (5.9) Našim ciel om je vyjadrenie Q ako Q(C 1, C 2 ), tj. ako funkciu kopúl C 1 a C 2. Ked že sa jedná o spojité náhodné veličiny, platí P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) < 0] = 1 P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0]. (5.10) Použitím vzt ahu (5.10) dostaneme 17
Q = 2P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0] 1 (5.11) Ostáva nám vyjadrenie pravdepodobnosti P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0] = P [X 1 > X 2, Y 1 > Y 2 ] + P [X 1 < X 2, Y 1 < Y 2 ] ako funkcie kopúl C 1 a C 2. P [X 1 > X 2, Y 1 > Y 2 ] = P [X 2 < X 1, Y 2 < Y 1 ] = P [X 2 < x, Y 2 < y]dc 1 (F (x), G(y)) R 2 = C 2 (F (x), G(y))dC 1 (F (x), G(y)) R 2 Použitím transformácie u = F (x) a v = G(y) dostaneme P [X 1 > X 2, Y 1 > Y 2 ] = C 2 (u, v)dc 1 (u, v). (5.12) I 2 Analogicky P [X 1 < X 2, Y 1 < Y 2 ] = P [X 2 > x, Y 2 > y]dc 1 (F (x), G(y)) R 2 = [1 u v + C 2 (u, v)]dc 1 (u, v). I 2 Ked že C 1 je združená distribučná funkcia náhodného vektoru (U, V ) náhodných veličín s rovnomerným rozložením na (0, 1), platí E(U) = E(V ) = 1/2 a teda aj nasledujúci vzt ah P [X 1 < X 2, Y 1 < Y 2 ] = 1 1 2 1 2 I + C 2 (u, v)dc 1 (u, v) (5.13) 2 = C 2 (u, v)dc 1 (u, v). I 2 Dosadením (5.12) a (5.13) do (5.11) dostaneme vyjadrenie Q prostredníctvom kopúl Q = Q(C 1, C 2 ) = 4 C 2 (u, v)dc 1 (u, v) 1. (5.14) I 2 Pre spojité náhodné veličiny X a Y s distribučnými funkciami F a G a kopulou C je Kendallovo tau rovné τ X,Y = τ C = Q(C, C) = 4 C(u, v)dc(u, v) 1 = 4E(C(U, V )) 1, I 2 (5.15) kde U = F (X), V = G(Y ) sú náhodné veličiny s rovnomerným rozdelením na (0,1) a združenou distribučnou funkciou C. 18
5.2.2 Spearmanovo rho Podobným spôsobom ako Kendallovo tau je definované aj Spearmanovo rho, d alšia miera závislosti náhodných veličín spojená s tematikou kopúl. Definícia 4 Nech (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ) a (X 3, Y 3 ) sú nezávislé náhodné vektory so spoločnou združenou distribučnou funkciou H a marginálnymi distribučnými funkciami F a G a kopulou C. Potom Spearmanovo rho je definované ako ρ = ρ X,Y = 3(P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 3 ) > 0] P [(X 1 X 2 )(Y 1 Y 3 ) < 0]). (5.16) Združená distribučná funkcia (X 1, Y 1 ) je H(x, y) a združená distribučná funkcia (X 2, Y 3 ) je kvôli nezávislosti náhodných vektorov F (x)g(y). Z toho vyplýva, že kopulou X 2 a Y 3 je Π. Využitím znalostí z odseku o Kendallovom tau zistíme, že pre spojité náhodné veličiny X a Y, ktorých kopula je C, Spearmanovo rho spĺňa ρ X,Y = ρ C = 3Q(C, Π) = 12 C(u, v)dudv 3 = 12 uvdc(u, v) 3. I 2 I 2 (5.17) Dvojný integrál z (5.17) predstavuje strednú hodnotu súčinu náhodných veličín U a V s rovnomerným rozdelením na (0, 1), ktorých združená distribučná funkcia je kopula C. Preto platí ρ X,Y = ρ C = E(UV ) 1/4 1/12 = E(UV ) E(U)E(V ) V ar(u) V ar(v ). (5.18) Pre náhodné veličiny X a Y s distribučnými funkciami F a G sú U = F (X) a V = G(Y ) náhodné veličiny s rovnomerným rozdelením na (0, 1). Z toho plynie dôležitá rovnost ρ X,Y = ρ l (F (X), G(Y )). (5.19) Týmto dostávame náčrt, ako na základe pozorovaných hodnôt náhodných veličín X a Y môžeme odhadnút hodnotu Spearmanovho rho a teda aj d alší spôsob, ako vybrat kopulu reprezentujúcu štruktúru závislosti X a Y. 5.2.3 Tail dependence Tail dependence je mierou závislosti v chvostoch dvojrozmernej distribúcie, tj. závislost v extrémnych hodnotách. V prípade určovania solvenčného kapitálu prostredníctvom hodnoty v riziku alebo zvyškovej hodnoty v riziku je jej hodnota kl účová pre výber kopuly pri agregácií poistných rizík. 19
Definícia 5 Nech X a Y sú spojité náhodné veličiny s distribučnými funkciami F 1 a F 2. Koeficient hornej tail dependence X a Y je lim u 1 P [Y > F 1 2 (u) X > F 1 1 (u)] = λ U, za podmienky že limita λ U (0, 1] existuje. Ak λ U (0, 1], hovoríme, že X a Y sú asymptoticky závislé v hornom chvoste, ak λ U = 0, hovoríme, že X a Y sú asymptoticky nezávislé v hornom chvoste. Definícia hovorí, že ak λ U > 0, potom pravdepodobnost, že Y nadobudne extrémnu hodnotu za podmienky, že X nadobudne extrémnu hodnotu, je kladná. Teda táto miera závislosti je relevantná pri výbere kopuly pri modelovaní extrémnych strát poist ovne. Dôležitejšia je alternatívna definícia prostredníctvom kopuly, ktorá zaručuje invariantnost tail dependence voči ostro rastúcim transformáciám náhodných veličín. Použitím jednoduchého vzt ahu platného pre podmienenú pravdepodobnost dostaneme P [Y > F 1 2 (u) X > F 1 1 (u)] = čo je možné vyjadrit v tvare 1 P [Y > F2 (u), X > F1 1 (u)] P [X > F1 1 (u)], (5.20) 1 P [Y F2 1 (u)] P [X F1 1 (u)] + P [Y F2 1 (u), X F1 1 (u)] 1 P [X F1 1. (u)] (5.21) Z rovnosti P [Y F2 1 (u)] = P [X F1 1 (u)] = u vyplýva znenie definície tail dependence v závislosti na kopule. Definícia 6 Ak pre dvojrozmernú kopulu C existuje limita lim u 1 C(u, u)/(1 u) = λ U, kde C(u, u) = 1 2u + C(u, u), potom C vykazuje hornú tail dependence pre λ U (0, 1] a nevykazuje hornú tail dependence pre λ U = 0. Analogicky je definovaná závislost v dolných chvostoch, tzv. dolná tail dependence. Definícia 7 Nech X a Y sú spojité náhodné veličiny s distribučnými funkciami F 1 a F 2. Koeficient dolnej tail dependence X a Y je lim u 0+ P [Y F 1 2 (u) X F 1 1 (u)] = lim u 0+ C(u, u)/u = λ L, 20
za podmienky že limita λ L (0, 1] existuje. Ak λ L (0, 1], hovoríme, že X a Y sú asymptoticky závislé v dolnom chvoste, ak λ L = 0, hovoríme, že X a Y sú asymptoticky nezávislé v dolnom chvoste. Význam hodnoty tail dependence je zretel ný na obrázkoch (5.1) a (5.2) zobrazujúcich nasimulované hodnoty dvojice náhodných veličín použitím Gumbelovej a Claytonovej kopuly. Hoci oba grafy znázorňujú rovnomerne rozdelené náhodné veličiny na (0,1), ktorých hodnota Kendallovho tau je zhodná (0,9 a 0,5), majú rôznu štruktúru závislosti. Kým Gumbelova kopula vykazuje známky hornej tail dependence, pri použití Claytonovej kopuly sú náhodné veličiny asymptoticky nezávislé v hornom chvoste, ale asymptoticky závislé v dolnom chvoste. Vygenerované hodnoty Gumbelovej kopuly majú tendenciu simultánne dosahovat hodnoty blízke 1 a je teda vhodná na simulovanie strát v poistných odvetviach, v ktorých obvykle súčasne dochádza k extrémne vysokým škodám. Obrázok 5.1: Štruktúra závislosti Gumbelovej a Claytonovej kopuly τ = 0, 9 Obrázok 5.2: Štruktúra závislosti Gumbelovej a Claytonovej kopuly τ = 0, 5 21
Nasledujúca čast sa bude venovat neparametrickému odhadu hornej tail dependence. Koeficient dolnej tail dependence nevykazuje pri určovaní SCR takú dôležitost, preto je jeho odhad vynechaný. Predpokladajme, že nezávislé rovnako rozdelené náhodné vektory X 1 = (X 1, Y 1 ), X 2 = (X 2, Y 2 ),..., X m = (X m, Y m ) majú združenú distribučnú funkciu H, marginálne distribučné funkcie F a G a kopulu C. Nech C m je empirická kopula definovaná vzt ahom C m (u, v) = H m (F 1 m (u), G 1 m (v)) kde F m, G m, H m sú empirické distribučné funkcie. Nech R (j) m1 a R (j) m2 sú poradia X j a Y j, j = 1,..., m. Odhadom koeficientu hornej tail dependence je ˆλ (1) U,m = k m V C m ((1 k m, 1] (1 k m, 1]) = 1 k kde k = k(m), k/m 0 a m. m j=1 I(R (j) m1 > m k, R (j) m2 > m k) (5.22) Hodnota k sa volí tak, aby vychýlenost a rozptyl odhadu boli v prijatel nom pomere (variance-bias problém). Odhad je silne konzistentný a asymptoticky normálny.[4] 22
Kapitola 6 Archimedovské kopuly Archimedovské kopuly sú trieda kopúl zahŕňajúca množstvo parametrických rodín, ktoré poskytujú široké možnosti modelovania štruktúry závislosti. Ich výhodou je jednak vyjadrenie kopuly v uzavretom tvare, čo ul ahčuje výpočty. Navyše vykazujú zaujímavé vlastnosti, ktoré umožňujú pomerne jednoduché simulácie. Čiastočne problematickým sa môže javit rozšírenie dvojrozmerných Archimedovských kopúl na mnohorozmerné, ktoré si vyžaduje splnenie určitých dodatočných podmienok, a tým nás obmedzuje pri modelovaní závislosti náhodných veličín. Našim ciel om bolo vyšetrenie vhodnosti Archimedovských kopúl pi agregovaní rizík za účelom výpočtu potrebného solvenčného kapitálu. V úvode kapitoly budú predstavené dvojrozmerné Archimedovské kopuly a ich vlastnosti, neskôr dve možné rozšírenia na mnohorozmerný prípad spolu s algoritmami simulácií. Nech ϕ je spojitá ostro klesajúca funkcia z I do [0, ] taká, že ϕ(1) = 0. Pseudoinverzná funkcia ϕ je funkcia ϕ [ 1], ktorej definičný obor je [0, ] a obor hodnôt je I a je definovaná vzt ahom ϕ [ 1] (t) = { ϕ 1 (t) 0 t ϕ(0) 0 ϕ(0) t. Vlastnosti pseudoinverznej funkcie ϕ [ 1] : 1. spojitá neklesajúca na [ϕ(0), ], (6.1) 2. ostro klesajúca na [0, ϕ(0)], 3. ϕ [ 1] (ϕ(t)) = t na I, { t 0 t ϕ(0) 4. ϕ(ϕ [ 1] (t)) = ϕ(0) ϕ(0) t, 5. ak ϕ(0) =, potom ϕ [ 1] = ϕ 1. 23
Funkciu C z I 2 do I zadefinujeme vzt ahom C(u, v) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v)). (6.2) Zaujíma nás, či funkcia C spĺňa vlastnosti kopuly. Čo sa týka vlastnosti 1 z definície kopuly, je zrejmé, že C(u, 0) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(0)) = 0 a C(u, 1) = ϕ [ 1] (ϕ(u)) = u, zo symetrie C(0, v) = 0 a C(1, v) = v. Ešte ostáva otázne, čo zaručí, že C je 2-rastúca. Odvodíme, že nutnou i postačitel nou podmienkou je platnost nerovnosti C(u 2, v) C(u 1, v) u 2 u 1 (6.3) pre akékol vek u 1 u 2. Dôkaz nutnej podmienky je zrejmý, pretože ked je C 2-rastúca, platí V C ([u 1, u 2 ] [v, 1]) 0, čo je ekvivalentné (6.3). Pre odvodenie postačujúcej podmienky predpokladajme, že platí (6.3). Vyberieme v 1 a v 2 z I také, že v 1 v 2, a teda platí aj C(0, v 2 ) = 0 v 1 v 2 = C(1, v 2 ). (6.4) Ked že C je spojitá funkcia a platí (6.4), existuje t z I také, že C(t, v 2 ) = v 1 alebo ekvivalentne vyjadrené ϕ(v 2 ) + ϕ(t) = ϕ(v 1 ). A teda C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 1 ) = ϕ [ 1] (ϕ(u 2 ) + ϕ(v 1 )) ϕ [ 1] (ϕ(u 1 ) + ϕ(v 1 )) čo znamená, že C je 2-rastúca. = ϕ [ 1] (ϕ(u 2 ) + ϕ(v 2 ) + ϕ(t)) ϕ [ 1] (ϕ(u 1 ) + ϕ(v 2 ) + ϕ(t)) = C(C(u 2, v 2 ), t) C(C(u 1, v 2 ), t) C(u 2, v 2 ) C(u 1, v 2 ), Podmienka (6.3) platí, práve ked je funkcia ϕ konvexná, čoho dôkaz je čisto technickou záležitost ou, a preto sa ním nebudeme zaoberat. Zhrnutím je nasledujúca veta. Veta 2 Nech ϕ je spojitá ostro klesajúca funkcia z I do [0, ] taká, že ϕ(1) = 0 a nech pseudoinverzná funkcia ϕ je definovaná vzt ahom (6.1). Funkcia C z I 2 do I zadefinovaná vzt ahom (6.2) je kopula, práve ked ϕ je konvexná. Kopuly, ktoré majú formu (6.2) nazývame Archimedovské kopuly, funkciu ϕ aditívny generátor kopuly. Ak ϕ(0) =, potom hovoríme, že ϕ je striktný generátor. V tomto prípade ϕ [ 1] = ϕ 1 a C(u, v) = ϕ 1 (ϕ(u) + ϕ(v)) predstavuje striktnú Archimedovskú kopulu. 24
6.1 Vlastnosti Archimedovských kopúl Medzi vlastnosti, ktorými sa budeme zaoberat, patrí symetria a asociativita. Ďalej si ukážeme zjednodušenie výpočtu Kendallovho tau a koeficientu tail dependence u Archimedovských kopúl. Symetria a asociativita Symetria a asociativita sú vlastnost ami, ktoré umožňujú rozšírenie teórie Archimedovskej kopuly na mnohorozmerný prípad a z tohoto dôvodu im je v tejto časti venovaná pozornost. Symetria, tj. C(u, v) = C(v, u) pre všetky u, v I, vyplýva priamo z definície Archimedovskej kopuly. Asociativitu, tj. C(C(u, v), w) = C(u, C(v, w)) pre všetky u, v I, možno jednoducho odvodit. Kendallovo tau C(C(u, v), w) = ϕ [ 1] (ϕ(c(u, v)) + ϕ(w)) (6.5) = ϕ [ 1] (ϕ(ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v))) + ϕ(w)) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v) + ϕ(w)) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(ϕ [ 1] (ϕ(v) + ϕ(w)))) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(c(v, w))) = C(u, C(v, w)) V úvode vyslovíme a dokážeme kl účovú vetu, ktorá nielen slúži k odvodeniu vyjadrenia Kedallovho tau ako funkcie generátora ϕ Archimedovskej kopule, čo zjednodušuje výpočty, ale najmä sa využíva jednak v metódach výberu kopuly na základe dát popísaných v kapitole 6 a navyše v algoritmoch generovania kopúl. Zavedieme si označenie Ω pre množinu spojitých ostro klesajúcich konvexných funkcií ϕ z I do [0, ], pre ktoré platí ϕ(1) = 0. Veta 3 Nech C je Archimedovská kopula generovaná funkciou ϕ z Ω. Nech K C (t) označuje C-mieru množiny {(u, v) I 2 C(u, v) t}. Potom pre l ubovolné t z I platí K C (t) = t ϕ(t) ϕ (t + ). (6.6) 25
Dôkaz: Nech t patrí do intervalu (0, 1) a položme w = ϕ(t). Ďalej si vezmime prirodzené číslo n a uvažujme delenie {0, w/n,..., kw/n,..., w} intervalu [0, w]. Toto delenie nám na základe vzt ahu t n k = ϕ [ 1] (kw/n), k = 0, 1,..., n indukuje delenie {t = t 0, t 1,..., t k,..., t n = 1} intervalu [t, 1]. Ked že w < ϕ(0) a teda ϕ ϕ [ 1] dáva identitu, platí C(t j, t k ) = ϕ [ 1] (ϕ(t j ) + ϕ(t k )) (6.7) = ϕ [ 1] ( n j n w + n k n w) = ϕ [ 1] (w + n j k w). n Špeciálne C(t j, t n j ) = ϕ [ 1] (w) = t. Označme R k množinu [t k 1, t k ] [0, t n k+1 ] a položme S n = n k=1 R k. Z konvexnosti ϕ [ 1] vyplýva 0 t 1 t 0 t 2 t 1... t n t n 1 = 1 t n 1. Navyše lim n (1 t n 1 ) = 1 ϕ [ 1] (0) = 0, a preto K C (t) je rovné súčtu C-miery množiny [0, 1] I a limity lim n V C (S n ), čiže Ostáva ešte dokázat, že Pre každé k platí K C (t) = t + lim n V C (S n ). lim V C(S n ) = ϕ(t) n ϕ (t + ). a teda V C (R k ) = C(t k, t n k+1 ) C(t k 1, t n k+1 ) C(t k, 0) + C(t k 1, 0) = C(t k, t n k+1 ) t = ϕ [ 1] (w w/n) ϕ [ 1] (w), V C (S n ) = n k=1 V C (R k ) = w[ ϕ[ 1] (w) ϕ [ 1] (w w/n) ], w/n 26
z čoho plynie požadovaná rovnost lim V C(S n ) = wϕ [ 1] (w + ) = ϕ(t) n ϕ (t + ). To znamená, že ak máme náhodné veličiny U a V, ktoré majú rovnomerné rozdelenie na (0, 1) a ktorých združená distribučná funkcia je Archimedovská kopula C generovaná funkciou ϕ z Ω, potom K C (t) daná vzt ahom (6.6) je distribučnou funkciou náhodnej veličiny C(U, V ). Táto znalost umožňuje jednoduchší výpočet Kendallovho tau u Archimedovských kopúl, čo je výhodou oproti obecnému prípadu, v ktorom je často potrebný numerický výpočet dvojného integrálu, pretože analytický nie je možný. Nech X a Y sú náhodné veličiny s Archimedovskou kopulou C generovanou funkciou ϕ z Ω. Zo vzt ahu (5.15) vyplýva τ C = 4E(C(U, V )) 1 = 4 Tail dependence 1 0 1 ϕ(t) tdk C (t) 1 = 1 + 4 dt. (6.8) 0 ϕ (t) Taktiež koeficient hornej tail dependence striktnej Archimedovskej kopuly C(u, v) = φ 1 (φ(u)) + φ(v)) je možno použitím L Hospitalovho pravidla vyjadrit v tvare použitel nom v praktických výpočtoch. lim u 1 C(u, u)/(1 u) = lim u 1 [1 2u + ϕ 1 (2ϕ(u))]/(1 u) (6.9) = 2 2 lim u 1 ϕ 1 (2ϕ(u))/ϕ 1 (ϕ(u)) = 2 2 lim s 0 ϕ 1 (2s)/ϕ 1 (s). Z (6.9) plynie, že ak ϕ 1 (0) je konečné, tj. ϕ 1 (0) (, 0) z dôvodu klesania ϕ 1, potom limita je rovná nule a kopula nevykazuje známky hornej tail dependence. 6.2 Algoritmus generovania pre dvojrozmerné kopuly V tejto časti je vyslovená veta, ktorá je základom pre generovanie náhodných veličín U a V s rovnomerným rozdelením na (0,1) a so združenou distribučnou 27
funkciou C, tj. pre generovanie Archimedovských kopúl. Veta 4 Nech náhodné veličiny U a V majú rovnomerné rozdelenie na (0, 1) a združenú distribučnú funkciu C generovanú funkciou ϕ z Ω. Potom združená distribučná funkcia H(s, t) náhodných veličín S = ϕ(u)/[ϕ(u) + ϕ(v )] a T = C(U, V ) je H(s, t) = sk C (t) pre všetky (s, t) z I 2. Navyše S a T sú nezávislé a S je rovnomerne rozdelené na (0, 1). Dôkaz tohoto tvrdenia je špeciálnym prípadom odvodenia z d alšej časti diplomovej práce venujúcej sa algoritmu generovania mnohorozmernej kopuly. Preto je v tejto sekcií vynechaný. Využitím vety v praxi je algoritmus generovania hodnôt (u, v) náhodného vektora (U, V ), ktorého marginálne rozdelenia sú rovnomerné na (0, 1) a združená distribučná funkcia je Archimedovská kopula C s generátorom ϕ z Ω. Algoritmus 1 Základný algoritmus pre dvojrozmerné kopuly 1. Vygeneruj dve nezávislé premenné s a q z rovnomerného rozdelenia na (0, 1); 2. Polož t = K ( 1) C (q), kde K ( 1) C (t) označuje kváziinverznú funkciu distribučnej funkcie K C ; 3. Polož u = ϕ [ 1] (sϕ(t)) a v = ϕ [ 1] ((1 s)ϕ(t)). Požadovaná dvojica so združenou distribučnou funkciou C je (u, v). 6.3 Mnohorozmerné Archimedovské kopuly Nech u = (u 1, u 2,..., u 2 ) T je vektor taký, že u k [0, 1] pre k = 1,..., n. Prirodzeným rozšírením dvojrozmernej kopule do n dimenzií je C n (u) = ϕ [ 1] (ϕ(u 1 ) + ϕ(u 2 ) +... + ϕ(u n )). (6.10) Generovanie kopule prebieha na základe vzt ahu C n (u 1, u 2,..., u n ) = C(C n 1 (u 1, u 2,..., u n 1 ), u n ). (6.11) Tento spôsob generovania obyčajne nie je správny, ale vd aka symetrii a asociativite Archimedovských kopúl a dodatočným podmienkam funkcia C n má vlastnosti n-rozmernej kopuly. Touto dodatočnou vlastnost ou je kompletná monotónnost, ako ukáže nasledujúca definícia a tvrdenie. 28
Definícia 8 Funkcia g(t) je kompletne monotónna na intervale J, ak je spojitá a má derivácie všetkých rádov, ktoré menia znamienko, tj. pre všetky t vo vnútri J a pre k = 0, 1, 2,.... ( 1) k dk g(t) 0 (6.12) dtk Dôsledkom kompletnej monotónnosti funkcie g(t) na [0, ) je, že ak pre nejaké konečné kladné c platí g(c) = 0, potom g musí byt identicky rovné nule na [0, ). Pre Archimedovské kopuly z toho vyplýva, že ak pseudoinverzná funkcia ϕ [ 1] generátora ϕ je kompletne monotónna, musí byt pozitívna na [0, ), a teda ϕ [ 1] = ϕ 1, čo je znakom striktnej kopuly. Veta 5 Nech ϕ je spojitá strikne klesajúca funkcia z I do [0, ] taká, že ϕ(0) = a ϕ(1) = 0 a nech ϕ 1 označuje inverznú funkciu ϕ. Ak C n je funkcia z I n do I daná (6.10), potom C n je n-kopula pre všetky n 2, práve ked ϕ 1 je kompletne monotónna na [0, ). Z predchádzajúceho plynie, že nutnou podmienkou rozšírenia kopuly na mnohorozmerný prípad je striktnost Archimedovskej kopuly, nutnou a postačitel nou podmienkou kompletná monotónnost ϕ 1. Veta (5) sa však podl a [11] dá rozšírit na prípady, kedy ϕ nie je striktný generátor a ϕ [ 1] je iba m-monotónne, tj. (6.12) platí pre k = 0, 1,..., m. Potom C n je kopula pre 1 n m. Ďalším nedostatkom plynúcim z kompletnej monotónnosti ϕ 1 je možnost modelovat prostredníctvom mnohorozmerných kopúl iba pozitívnu závislost poistných rizík, čo vedie ku konzervatívnejšiemu odhadu potrebného solvenčného kapitálu. Je možné totiž ukázat, že ak je inverzná funkcia ϕ 1 striktného generátora Archimedovskej kopuly C kompletne monotónna, potom pre všetky u, v I platí C(u, v) Π(u, v) [11]. Dosadením tejto nerovnosti do (5.15) dostaneme pre náhodné veličiny X a Y s kopulou C nerovnost τ X,Y = 4 C(u, v)dc(u, v) 1 4 I 2 uvdudv 1 = 0 I 2 (6.13) 6.3.1 Algoritmus generovania V nasledujúcej časti sa budeme usilovat o mnohorozmerné rozšírenie algoritmu generujúceho dvojrozmernú Archimedovskú kopulu. Majme n-dimenzionálny náhodný vektor U = (U 1, U 2,..., U n ) kde U k má 29
rovnomerné rozdelenie na (0, 1) a definujme n-rozmernú Archimedovskú kopulu nasledovne C(u 1, u 2,..., u n ) = P (U 1 u 1, U 2 u 2,..., U n u n ) = ϕ 1 ( n ϕ(u k )). (6.14) Podobne ako v dvojrozmernom prípade definujeme transformované náhodné veličiny k k+1 S k = ϕ(u j )/ ϕ(u j ) (6.15) a náhodnú veličinu j=1 j=1 T = C(u 1, u 2,..., u n ) = ϕ 1 ( k=1 n ϕ(u k )), (6.16) u ktorých sme schopní vyjadrit združenú distribučnú funkciu (S 1,..., S n 1, T ) prostredníctvom transformácie náhodných veličín a podobne ako v dvojrozmernom prípade ukázat nezávislost S 1, S 2,..., S n 1, T. Inverzné transformácie k (6.15) a (6.16) spĺňajú nasledujúce rovnice: k=1 ϕ(u 1 ) = S 1 S 2... S n 1 ϕ(t ) ϕ(u 2 ) = (1 S 1 )S 2... S n 1 ϕ(t ) ϕ(u 3 ) = (1 S 2 )S 3... S n 1 ϕ(t )... ϕ(u n 1 ) = (1 S n 2 )S n 1 ϕ(t ) ϕ(u n ) = (1 S n 1 )ϕ(t ) (6.17) Označme J Jakobián transformácie u 1 / s 1 u 1 / s 2... u 1 / t u 2 / s 1 u 2 / s 2... u 2 / t J =...... u n / s 1 u n / s 2... u n / t Je možné ukázat, že determinant Jakobiánu má nasledujúci tvar J = s 0 1s 1 2... s n 2 [ϕ(t)] n 1 ϕ (t) n 1 ϕ (u 1 )... ϕ (u n ). (6.18) K vyjadreniu združenej hustoty náhodného vektora (S 1, S 2,..., S n 1, T ) potrebujeme poznat okrem Jakobiánu ešte združenú hustotu Archimedovskej 30
kopuly, ktorá je v tvare c(u 1, u 2,..., u n ) = n C(u 1, u 2,..., u n ) u 1 u 2... u n = ϕ 1(n) (C(u 1, u 2,..., u n )) Združenú hustotu teda môžeme vyjadrit ako h(s 1, s 2,..., s n 1, t) = J ϕ 1(n) (t) n ϕ (u j ) j=1 = s 0 1s 1 2... sn 1 n 2 [ϕ(t)] n 1 ϕ (t) ϕ (u 1 )... ϕ (u n ) ϕ 1(n) (t) n ϕ (u j ). j=1 (6.19) n ϕ (u j ) j=1 = s 0 1s 1 2... s n 2 n 1 ϕ 1(n) (t)[ϕ(t)] n 1 ϕ (t). (6.20) Z daného tvaru združenej distribučnej funkcie je zrejmé, že náhodné veličiny S 1, S 2,..., S n 1 a T sú navzájom nezávislé a marginálne hustoty veličín S k pre k = 1,..., n 1 sú a marginálne distribučné funkcie sú f Sk (s) = ks k 1, s (0, 1) (6.21) F Sk (s) = s k, s (0, 1). (6.22) Integráciou združenej distribučnej funkcie cez všetky s k, k = 1,..., n 1 dostaneme marginálnu hustotu náhodnej veličiny T f T (t) = 1 (n 1)! ϕ 1(n) (t)[ϕ(t)] n 1 ϕ (t). (6.23) Z predchádzajúceho môžeme odvodit algoritmus simulácie: Algoritmus 2 Algoritmus pre n-rozmerné kopuly 1. Vygeneruj n nezávislých hodnôt z rovnomerného rozdelenia na (0, 1) a označ ich w 1, w 2,..., w n 2. Polož s k = F 1 S k (w k ) = w 1/k k, k = 1,..., n 1 3. Polož t = F 1 T (w n) 4. Polož u 1 = ϕ 1 (s 1... s n 1 ϕ(t)) u k = ϕ 1 ((1 s k 1 ) n 1 j=k s jϕ(t)) pre k = 2,..., n 1 u n = ϕ 1 ((1 s n 1 )ϕ(t)) 31
Požadovaná n-tica so združenou distribučnou funkciou C je (u 1, u 2,..., u n ). Čo sa týka nedostatkov daného algoritmu, najväčším problémom je explicitné vyjadrenie distribučnej funkcie F T (t) = 1 (n 1)! t 0 ϕ 1(n) (w)[ϕ(w)] n 1 ϕ (w)dw, (6.24) čo zahŕňa vyjadrenie n-tej derivácie inverznej funkcie ϕ 1(n) a následne inverznej funkcie F 1 T (t). Ďalšou slabinou je pomerne limitovaná štruktúra závislosti, ktorú nám poskytuje (6.10), pretože z dôvodu jediného generátora ϕ sú všetky k-marginály, tj. C k (u) = ϕ 1 (ϕ(u 1 )+ϕ(u 2 )+...+ϕ(u k )) = C(C k 1 (u 1, u 2,..., u k 1 ), u k ) identické pre k = 2,..., n 1. 6.3.2 Mnohorozmerné kopuly s čiastočnou symetriou Kvôli popísaným nedostatkom predchádzajúceho prístupu vykreslíme iný spôsob rozšírenia dvojrozmernej Archimedovskej kopuly na mnohorozmerný prípad. Tento postup zahŕňa generovanie kopuly pomocou rôznych generátorov ϕ i. Pre n-rozmernú kopulu máme až n(n 1) 2-marginálov, ale môžeme použit iba n 1 generátorov. Preto je štruktúra závislosti, ako sa ukáže v praktickej časti diplomovej práce, stále obmedzená. Uvedieme príklady pre 3-rozmerné rozšírenie s generátormi ϕ 1 a ϕ 2 a pre 4-rozmerné rozšírenie s generátormi ϕ 1, ϕ 2 a ϕ 3. ϕ 1 1 (ϕ 1 ϕ 1 2 (ϕ 2 (u 1 ) + ϕ 2 (u 2 )) + ϕ 1 (u 3 )) (6.25) ϕ 1 1 (ϕ 1 ϕ 1 2 (ϕ 2 ϕ 1 3 (ϕ 3 (u 1 ) + ϕ 3 (u 2 )) + ϕ 2 (u 3 )) + ϕ 1 (u 4 )) (6.26) Aby (6.25) a (6.26) boli kopuly, musia byt opät splnené určité podmienky. Ked že mnohorozmerné rozšírenie by malo obsahovat C n ako špeciálny prípad, mali by byt slnené podmienky pre C n, tj. kompletná monotónnost. K určeniu dodatočných podmienok je podl a [7] nutné zadefinovat triedy funkcií L n a L n. Nech ϕ je ostro klesajúca diferencovatel ná funkcia L n = {ϕ : [0, ) [0, 1] ϕ(0) = 1, ϕ( ) = 0, ( 1) j ϕ (j) 0, j = 1,..., n} n = 1, 2,..., a L je trieda Laplaceových transformácií. L n = {ω : [0, ) [0, ) ω(0) = 0, ω( ) =, ( 1) j 1 ω (j) 0, j = 1,..., n} n = 1, 2,...,. 32
Pre 3-rozmerný prípad je danou podmienkou, že ϕ 1 1 a ϕ 1 2 sú kompletne monotónne, tj. ϕ 1 1, ϕ 1 2 L a sú teda Laplaceove transformácie a navyše platí ϕ 1 ϕ 1 2 L. Podobne pre 4-rozmerné rozšírenie musí byt splnené, že ϕ 1 1, ϕ 1 2 a ϕ 1 3 sú kompletne monotónne a ϕ 1 ϕ 1 2 a ϕ 2 ϕ 1 3 sú z L. Táto idea sa dá zovšeobecnit i pri vyšších dimenziách. Ak sú dané podmienky splnené a teda (6.25) a (6.26) sú kopuly, vieme povedat o ich 2- a 3-margináloch nasledujúce: 1. Ak pri 3-rozmernej kopule danej vzt ahom (6.25) položíme u 3 = 1, získame 2-marginál generovaný funkciou ϕ 2, ak u 2 = 1 alebo u 1 = 1, dostaneme 2-marginál generovaný funkciou ϕ 1. 2. Čo sa týka 4-rozmernej kopuly, jej 3-marginály sú všetky vo forme (6.25) a 2-marginály sú klasické 2-rozmerné kopuly generované funkciami ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 a ϕ 4. Rozšírením základného algoritmu generujúceho 2-rozmerné kopuly, dostaneme rekurzívny algoritmus poskytujúci realizácie náhodných veličín U 1, U 2,..., U n s nasledovnou ( čiastočne symetrickou ) štruktúrou závislosti: (U 1, U 2 ) majú kopulu C Θn 1 (U 1, U 3 ), (U 2, U 3 ) majú kopulu C Θn 2. (U 1, U n ), (U 2, U n ),..., (U n 1, U n ) majú kopulu C Θ1 A teda (U 1, U 2,..., U n ) má kopulu C n (u 1, u 2,..., u n ; Θ 1,..., Θ n 1 ). Algoritmus 3 Algoritmus pre n-rozmerné kopuly Vygeneruj hodnotu q z rovnomerného rozdelenia na (0, 1). Polož t 1 = K 1 C Θ1 (q). Vygeneruj hodnotu s 1 na q. z rovnomerného rozdelenia na (0, 1) nezávislú Polož a 1 = ϕ 1 Θ 1 (s 1 ϕ Θ1 (t 1 )) a u n = ϕ 1 Θ 1 ((1 s 1 )ϕ Θ1 (t 1 )). Potom pre i = 2,..., n 2 opakuj nasledujúce 3 kroky: Polož t i = K 1 C Θi (a i 1 ). Vygeneruj hodnotu s k na s 1, s 2,..., s i 1. z rovnomerného rozdelenia na (0, 1) nezávislú 33
Polož a i = ϕ 1 Θ i (s i ϕ Θi (t i )) a u n i+1 = ϕ 1 Θ i ((1 s i )ϕ Θi (t i )). Posledné kroky algoritmu sú: Polož t n 1 = K 1 C Θn 1 (a n 2 ). Vygeneruj hodnotu s n 1 z rovnomerného rozdelenia na (0, 1) nezávislú na s 1, s 2,..., s n 2. Polož u 1 = ϕ 1 Θ n 1 (s n 1 ϕ Θn 1 (t n 1 )) a u 2 = ϕ 1 Θ n 1 ((1 s n 1 )ϕ Θn 1 (t n 1 )). Požadovaná n-tica hodnôt so združenou distribučnou funkciou rovnou kopule C n (u 1, u 2,..., u n ; Θ 1,..., Θ n 1 ) je (u 1, u 2,..., u n ). Pre k-marginály, k = 3, 4,..., n platí rovnost C k (u 1,..., u k ; Θ 1,..., Θ k 1 ) = C(C k 1 (u 1,..., u k 1 ; Θ 2,..., Θ k 1 ), u k ; Θ 1 ), (6.27) kde pre j = 1, 2,..., k 1 máme C(, ; Θ j ) = C Θj (, ) = ϕ 1 Θ j (ϕ Θj ( ) + ϕ Θj ( )). (6.28) Ešte ostáva načtrnút postup overenia, že dvojice hodnôt vygenerované algoritmom skutočne majú popísanú štruktúru závislosti.[9] 1. (U 1, U 2 ) má kopulu C Θn 1, čo vyplýva z algoritmu (1) generovania 2-rozmerných kopúl. 2. (K CΘn 1 (C Θn 1 (U 1, U 2 )), U 3 ) má kopulu C Θn 2. Dá sa ukázat, že aj (U 1, U 3 ) a (U 2, U 3 ) majú kopulu C Θn 2. 3. (K CΘn 2 (C Θn 2 (A n 2, U 3 )), U 4 ) má podl a algoritmu kopulu C Θn 3, kde A n 2 = K CΘn 1 (C Θn 1 (U 1, U 2 )). Podobne je možné ukázat, že (U 1, U 4 ), (U 2, U 4 ) a (U 3, U 4 ) majú kopulu C Θn 3. 4. Analogicky sa pokračuje pre U 4, U 5,..., U n. 6.4 Vybrané rodiny Archimedovských kopúl V tabul ke (6.1) nájde čitatel zoznam najznámejších rodín Archimedovských kopúl, respektíve rodiny, ktoré sú využitel né pre naše účely, tj. u ktorých je možnost rozšírenia na mnohorozernú kopulu. Bližšie informácie slúžiace k identifikácií kopuly, ako je Kendallovo tau a koeficient hornej tail dependence, a k simulácií (tvar distribučnej funkcie K C (t)) sú zaznamenané 34
v tabul ke (6.2). V nej je aj spomenutý údaj o možnom rozšírení na mnohorozmernú (symetrickú) Archimedovskú kopulu. Poznámka: D k použité vo vyjadrení Kendallovho tau u Frankovej rodiny kopúl je definované ako D k (x) = k x t k dt. x k 0 e t 1 35
Č. Názov Kopula C θ (u, v) ϕ θ (t) θ 1 Clayton max([u θ + v θ 1] 1 θ, 0) 1 θ (t θ 1) [ 1, ) \ {0} 2 Ali-Mikhail-Haq uv 1 θ(1 u)(1 v) ln 1 θ(1 t) t [-1,1) 36 3 Gumbel-Hougaard exp( [( ln u) θ + ( ln v) θ ] 1/θ ) ( ln t) θ [1, ) 4 Frank 1 θ ln(1 + (e θu 1)(e θv 1) e θ 1 ) ln e θt 1 e θ 1 (, ) \ {0} 5 - (1 + [(u 1 1) θ + (v 1 1) θ ] 1/θ ) 1 ( 1 t 1)θ [1, ) 6 - (1 + [(u 1/θ 1) θ + (v 1/θ 1) θ ] 1/θ ) θ (t 1/θ 1) θ [1, ) Tabul ka 6.1: Rodiny Archimedovských kopúl
Č. τ = 1 + 4 1 ϕ(t) 0 dt τ λ ϕ (t) U K C (t) = t ϕ(t) ϕ (t + ) Rozšíritel nost na n-kopulu 1 θ θ+2 [ 1, 1] \ {0} 0 t tθ+1 t θ - 2 1 + 4 1 6θ (( 1+θ)2 ln(1 θ)) [ 0.181, 1 6θ 2 3 ] 0 t 1 1 θ(1 t) θ 1 ln( t )(t θt + θt 2 ) θ 0.399 37 3 1 1 θ [0, 1] 2 2 1/θ t + ( ln t)θ t θ( ln t) θ 1 θ 1 4 1 4 θ (1 D 1(θ)) [ 1, 1] \ {0} 0 t + 1 θ ln e θt 1 e θ 1 (1 e θt ) θ > 0 5 1 2 3θ [ 1 3, 1] 2 21/θ t + t2 ( 1 t 1)θ θ( 1+ 1 t )( 1+θ) θ 1 6 1 2 1+2θ [ 1 3, 1] 2 21/θ t t(t 1/θ 1) θ 1 Tabul ka 6.2: Parametre vybraných rodín Archimedovských kopúl
Kapitola 7 Výber kopuly V tejto kapitole budú konečne popísané praktické postupy výberu Archimedovskej kopuly a odhadu parametrov pre dvojrozmerné dáta využitel né taktiež pri m-rozmerných dátach. V prípade agregácie viacerých rizík dochádza k opakovanej aplikácií následne popísaných metód a tým pádom k postupnej identifikácií generátorov mnohorozmernej kopuly. Procedúra identifikácie kopuly začína predpokladom, že náhodný výber n dvojrozmerných pozorovaní (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) pochádza z neznámeho rozdelenia s distribučnou funkciou H(x, y) so spojitými marginálnymi distribučnými funkciami F (x) a G(x) a Archimedovskou kopulou C(x, y). Našim ciel om je určenie formy generátora ϕ, ktorý je závislý na parametre θ a modelovanie marginálnych distribučných funkcií F (x) a G(x). 7.1 Metódy odhadu parametru kopuly K odhadu parametra kopuly môžeme pristupovat v jednom alebo v dvoch krokoch. 7.1.1 Dvojkrokový prístup Dvojkrokový prístup spočíva v odhade parametrov marginálnych distribučných funkcií F (x) a G(x) v prvom kroku a v odhade parametra θ generátora ϕ v druhom kroku. Výhodou tejto intuitívnej separácie je možnost využitia známych algoritmov na odhad marginálnych funkcií. Napríklad neparametrického odhadu spojitou empirickou distribučnou funkciou alebo metódy maximálnej vierohodnosti reprezentujúcej parametrický odhad. Na druhej strane so sebou prináša riziko znásobenia možných chýb vzniknutých v prvom kroku v kroku druhom. V tejto práci sa obmedzíme na popis odhadu 38
parametra kopuly metódou maximálnej vierohodnosti, v prípade záujmu čitatel a o kompletný výpis metód odhadu marginálnych distribučných funkcií ho odkážeme na [8]. Metóda maximálnej vierohodnosti Ideou metódy maximálnej vierohodnosti je, že za odhad ˆθ parametra θ vezmeme takú hodnotu, pri ktorej je pravdepodobnost, že dôjde k nami pozorovaným realizáciám (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) náhodného vektora (X, Y ), maximálna. Pri jej použití je teda úlohou maximalizácia n h(x i, Y i ), (7.1) i=1 kde h(x, y) je hustota náhodného vektora (X,Y). V našom prípade je hustota rovná kde h(x, y) = f(x)g(y)c 12 (F (x), G(y)), (7.2) C 12 (u, v) = C(u, v) (7.3) u v a f(x), g(x) predstavujú hustoty marginálnych rozdelení, čo získame deriváciou distribučnej funkcie H(x, y) = C(F (x), G(y)). Vzhl adom k tomu, že f(x)g(x) je po prvom kroku už známa konštanta, redukujeme náš maximalizačný problém na ˆθ = argmax θ R n i=1 C 12 (F (X i ), G(Y i )), (7.4) kde R je množina prípustných θ. Prechodom na početne výhodný logaritmický tvar (pre podrobnosti vid [1]) získame výslednú rovnicu pre odhad parametra θ ˆθ = argmax θ R n log C 12 (F (X i ), G(Y i )). (7.5) i=1 7.1.2 Jednokrokový prístup Ako samotný názov napovedá, ide o odhad parametrov kopuly i marginálnych distribučných funkcií v jednom jedinom kroku prípadne o odhad parametra 39
kopuly, ktorý si nevyžaduje odhad parametrov marginálnych funkcií. V prípade parametrického prístupu, tj. odhadu všetkých parametrov pomocou metódy maximálnej vierohodnosti, ten so sebou prináša zbytočnú početnú náročnost pri komplexnom maximalizačnom probléme, navyše pri ňom nie je zrejmé, ako je hodnota parametru θ ovplyvnená marginálnymi distribučnými funkciami. Preto ako metóda zastupujúca tento prístup bude popísaná iba neparametrická, známejšia pod pomenovaním podl a jej autorov ako Genestova a Rivestova metóda. Neparametrický odhad Metóda popísaná Genestom a Rivestom [6] je založená na pozorovanej hodnote Kendallovho tau (5.8) a na vzt ahu (6.8), využitím ktorého sa dopočíta hodnota odhadu ˆθ parametra θ. Tento výpočet je súčast ou komplexnejšieho algoritmu slúžiaceho na výber kopuly popísaného v grafických metódach v nasledujúcej časti. Čitatel ho nájde pod označením Genestova a Rivestova metóda. Výhodou neparametrického prístupu je jednak to, že nevyžaduje znalost marginálnych distribučných funkcií F (x) a G(x) a navyše s tým súvisiaca robustnost odhadu, ktorej pozitíva sa prejavia najmä v prípade marginálnych rozložení s t ažkými chvostami. 7.2 Metódy výberu rodiny kopúl Po odhade parametra θ pre niekol ko rodín Archimedovských kopúl prichádza na rad overenie, ktorá rodina najlepšie vystihuje namerané hodnoty. K tomu nám poslúžia dve grafické metódy a následne použitý Kolmogorov-Smirnovov test [3]. Prístup využívajúci distribučnú funkciu K C Podl a vety (3) distribučnou funkciou C(F (X), G(Y )) je K C, tj. P [C(F (X), G(Y )) t] = K C (t) = t ϕ(t) ϕ (t + ), (7.6) z čoho vyplýva, že K C (C(F (X), G(Y ))) je rovnomerne rozložená náhodná veličina na (0, 1). Grafická metóda spočíva vo vykreslení kvantilov hodnôt K C (C(F (X), G(Y ))) za predpokladu θ = ˆθ voči kvantilom rovnomerného rozdelenia na (0, 1) v tzv. QQ-plote. V prípade, že kopula vystihuje štruktúru závislosti pozorovaných dát, zakreslené body v grafe by mali ležat na uhlopriečke. 40
Genestova a Rivestova metóda Idea druhej grafickej metódy výberu rodiny Archimedovských kopúl je založená na získaní dvoch odhadov distribučnej funkcie K C, neparametrického, ktorý je nezávislý na marginálnych distribučných funkciách a parametre kopuly a parametrického závislého na parametre ˆθ získaného neparametrickým spôsobom alebo metódou maximálnej vierohodnosti popísanými v tejto kapitole. Logickou sa javí vol ba tej rodiny, u ktorej je parametrický odhad distribučnej funkcie K C najbližšie neparametrickému odhadu. Táto metóda prebieha v troch krokoch: 1. Neparametrický odhad distribučnej funkcie K C Predpokladajme náhodný výber (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) z rozloženia s distribučnou funkciou H(x, y), ktorej marginálne distribučné funkcie sú F (x) a H(x) a štruktúrou závislosti reprezentovanou kopulou C. V prvom kroku bude našou úlohou odhad distribučnej funkcie na (0, 1) K C (t) = P [C(F (X), G(Y )) t] = P [H(X, Y ) t]. (7.7) Za účelom získania tohoto odhadu si najprv zadefinujeme T i := Ĥ(X i, Y i ) pre i = 1,..., n, kde Ĥ predstavuje empirický odhad distribučnej funkcie H T i = Ĥ(X i, Y i ) = #{(X j, Y j ) : X j < X i, Y j < Y i }. (7.8) n 1 A následne dopočítame neparametrický odhad K C (t), ktorý je rovný K n (t) = #{i : 1 i n, T i t}. (7.9) n 2. Parametrický odhad distribučnej funkcie K C V tomto kroku dochádza k odhadu parametra θ neparametrickou metódou. Ak ju nie je možné použit kvôli početnej náročnosti, nastupuje na rad metóda maximálnej vierohodnosti. Dosadením ˆθ do (6.6) dostaneme parametrický odhad distribučnej funkcie K ϕ (t) = t ϕ(t) ϕ (t + ). 3. Grafické porovnanie odhadov Grafickým prostriedkom na zrovnanie odhadov je opät QQ-plot, do ktorého sa nanášajú hodnoty K n (t) a K ϕ (t). Ako hodnoty t môžeme použit bud náhodný výber z R(0, 1) alebo uprednostnit C(F (X i ), G(Y i )) pre i = 1,..., n, pretože takto zvolená štruktúra t lepšie korešponduje s reálnymi dátami. Ak je rodina kopúl a parameter ˆθ zvolený správne, 41
na QQ-plote by sme mali pozorovat hodnoty umiestnené na uhlopriečke. Frees a Valdez [5] navrhli nasledujúci vzt ah, ktorým možno analyticky zmerat blízkost daných odhadov [K ϕ (t) K n (t)] 2 dk n (t). (7.10) 42
Kapitola 8 Analýza dát Popísanú teóriu uvedieme do praxe prostredníctvom výpočtu potrebného solvenčného kapitálu na krytie rizika škôd z troch odvetví neživotného poistenia: 1. Poistenia škôd na pozemných motorových dopravných prostriedkoch iných ako kol ajových, inými slovami havarijného poistenia (d alej označovaného CASCO), 2. Poistenia zodpovednosti za škodu vyplývajúcu z prevádzky pozemného motorového a jeho prípojného vozidla. V tomto prípade sme uvažovali väcšinou len škody presahujúce určitý limit. Takéto poistenie môže byt niekedy poskytované k základnému a povinnému MTPL ako dobrovol né pripoistenie (doplnkové MTPL, d alej skrátene označované ako MTPL), 3. Poistenia priemyselných rizík (d alej označovaného INDUSTRY). Je nutné upozornit čitatel a na fakt, že analýza zanedbáva možnost použitia zaistenia. 8.1 Popis dát Analýza bola založená na nasimulovaných dátach obsahujúcich údaje o výške zaplatených škôd, dátume (resp. štvrt roku) vzniku škody a výške zaslúženého poistného v rôznych štvrt rokoch obdobia 4 po sebe idúcich rokov, celkovo z obdobia 16tich štvrt rokov. Dáta tohoto rozsahu umožnili odhad rozloženia počtu poistných udalostí na základe iba 16 hodnôt, čo vedie k určitej miere nepresnosti. Poskytnuté údaje za MTPL boli vytvorené tak, aby v sebe zahŕňali aj predpokladaný efekt zmien v procesoch likvidácie poistných udalostí, ku ktorým často dochádza v praxi. Údaje o nadlimitných 43
škodách tak boli v počiatočných rokoch doplnené o poistné udalosti, ktorých výška tento limit nedosahuje. To môže odpovedat situácií, ked sa spočiatku nerozlišuje medzi malými a vel kými škodami a ich oddelené spracovanie sa zavádza postupne. Tým sa v dôsledku neporovnatel nosti údajov v rámci jednotlivých štvrt rokov znížil počet vierohodných údajov o počte vziknutých škôd o d alšie 2 hodnoty. Využitím rádovo tisícok hodnôt sme boli schopní docielit pomerne presný odhad rozloženia výšky jednotlivých škôd. Našim ciel om bolo využit maximum dostupných informácií na poskytnutie čo najvernejšieho obrazu o škodovosti v nasledujúcom roku, pre ktorý sa určoval SCR. Preto sme sa v týchto odvetviach snažili o zohl adnenie vývoja vel kosti poistného kmeňa pri určovaní rozloženia počtu škodných udalostí v jednom štvrt roku a taktiež o započítanie škodnej inflácie pri odhade rozloženia výšky jednotlivých škôd. Ako miera vel kosti poistného kmeňa nám slúžili údaje o výške zaslúženého poistného, ked že informácie o počte prijatých poistných zmlúv neboli k dispozícií. Škodnú infláciu sme sa snažili odhadnút priamo z dát. 8.2 Rozloženie výšky jednotlivých škôd Za účelom odhadu ročnej škodnej inflácie boli údaje o zaplatených škodách rozdelené do 4 skupín podl a roku vzniku škody. Ako miera škodnej inflácie bol použitý pomer mediánov výšky škody v jednotlivých rokoch. Za alternatívny mohol byt zvolený pomer priemerov, ale medián je robustnejším prostriedkom, pretože malý počet odl ahlých pozorovaní jeho hodnotu neovplyvní. Ked že pre určenie výšky kapitálu je ciel om odhad rozloženia škôd v nasledujúcom roku na základe hodnôt z minulých rokov, bolo potrebné z hodnôt 3 pomerov predpovedat škodnú infláciu do d alšieho roku. Na predpovedanie je vhodné použit funkciu forecast z knižnice forecast v prostredí R. V našom prípade, tj. pri odhadovaní na základe 3 hodnôt, však táto metóda nevyhovuje. Preto sme sa rozhodli odhadnút škodnú infláciu, ktorá nastala v 4.analyzovanom roku, práve poslednou pozorovanou hodnotou, nie však menšou ako 1 kvôli konzervatívnosti odhadu. Je možné namietat, že presnejší odhad by sa získal zo 16 hodnôt škodnej inflácie medzi jednotlivými štvrt rokmi, ale v tomto prípade by sme skôr vyšetrili vplyv ročného obdobia na výšku škôd ako samotnú infláciu. Vynásobením dát z jednotlivých rokov príslušnými koeficientmi inflácie získame porovnatel né dáta z cenovej hladiny roku, pre ktorý sa určuje výška kapitálu. Na základe týchto hodnôt možno odhadnút rozloženie výšky jednotlivých škôd z daného roku. Tabul ka (8.1) obsahuje namerané hodnoty pomerov mediánov zo 4 rokov 44
Poistné odvetvie medián 2 /medián 1 medián 3 /medián 2 medián 4 /medián 3 CASCO 1.29 1.10 1.02 INDUSTRY 1.10 1.53 1.40 MTPL 1.35 0.60 1.31 Tabul ka 8.1: Odhady škodnej inflácie označených ako 1, 2, 3 a 4. Už na prvý pohl ad sa môže zdat podozrivou neobvykle nízka hodnota 0.60 u MTPL, ktorá je spôsobená organizačnými zmenami v tomto poistnom odvetví. Do polovice 2. roku pozorovania boli všetky škody z povinného ručenia registrované ako nadlimitné, od polovice do konca tohoto roku dokonca dochádzalo k zmiešanej evidencii (niektoré limitné škody medzi malými, niektoré medzi velkými), až od začiatku 3. roka došlo k striktne oddelenému spracovávaniu limitných a nadlimitných škôd. Aby sme získali dáta prislúchajúce iba doplnkovému povinnému ručeniu, museli byt dáta z prvých dvoch rokov transformované. Od výšok jednotlivých škôd bola odpočítaná výška hornej hranice vyplácanej škody v rámci základného povinného ručenia škoda doplnkové = max(0, škoda celková horný limit). (8.1) Práve zmiešaná evidencia škôd z časti 2.roku je kameňom úrazu a dôvodom skreslenia odhadu škodnej inflácie. K skresleniu dochádza taktiež v oblasti odhadu počtu vzniknutých škôd. Preto tieto 2 štvrt roky boli z d alších výpočtov vylúčené. Čo sa týka škodnej inflácie z tohoto roku, predpokladáme, že v tomto roku nedošlo k zníženiu výšky jednotlivých škôd, a preto v d alších výpočtoch sa uvažovalo nie s hodnotou 0.58, ale s hodnotou 1. K odhadu parametrov rozdelenia výšky jednotlivých škôd sa pristupovalo momentovou metódou, tj. výberové momenty boli prirovnané k teoretickým a následne boli dopočítané parametre rozdelení. Vyšetrovaná bola príslušnost k logaritmickonormálnemu, gamma, Pareto a Weibullovmu rozloženiu pomocou QQ-plotov zachytávajúcich 5%, 10%, 15%,..., 90% kvantily. Správanie v chvostoch je kvôli väčšej názornosti zaznamenané v tabul ke kvantilov. Hodnoty kvantilov konkrétnych dát sa nachádzajú v prvom riadku pod označením Sample a vo zvyšných riadkoch tabul ky sú spísané teoretické kvantily jednotlivých rozdelení. Na histograme (8.1) nameraných hodnôt z CASCA, do ktorého sú zakreslené hustoty rozdelení s odhadnutými parametrami, je viditel né, že rozdelenie výšky jednotlivých škôd v tomto prípade nemožno odhadnút niektorým zo spomínaných rozdelení. Je to spôsobené nehomogenitou tohoto poistného odvetvia, ktoré v sebe zahŕňa množstvo rizík a najmä povahou tohoto druhu 45
poistenia, pri ktorom je obvyklý určitý typ škôd, a teda aj určitá výška. Obrázok 8.1: Histogram CASCO Tento nedostatok sme sa snažili eliminovat rozdelením škôd CASCA na 2 časti, na spomínané hodnoty obvyklej výšky, ktoré simulujú škody týkajúce sa rizika hmotnej škody a na škody s väčšiou volatilitou výšky, tj. škody z ostatných rizík, následným separátnym odhadom parametrov rozdelení jednotlivých škôd a použitím 4-rozmernej kopuly namiesto 3-rozmernej pri agregácií. Dosiahnutý výsledok síce nie je ideálny, ale ako je vidno na QQ-plotoch (8.2), (8.3) a (8.4), týmto oddelením sme sa priblížili k umiestneniu hodnôt na uhlopriečke. Pre modelovanie škôd z rizika hmotnej škody na základe QQplotu (8.3) volíme lognormálne rozdelenie a pre modelovanie škôd z ostatných rizík gamma rozdelenie (vid QQ-plot (8.4)). 25% 50% 75% 95% 97.5% 99.5% 99.9% Sample 5 734 11 511 22 200 92 196 151 716 420 558 841 180 Lognormal 3 569 9 422 24 871 100 507 158 178 383 771 804 603 Gamma 7 948 17 001 147 159 228 547 446 421 687 404 Pareto 4 648 12 251 28 732 92 375 136 520 306 986 64 6392 Weibull 649 4 644 21 898 122 787 195 611 439 755 796 079 Tabul ka 8.2: Hodnoty kvantilov pre riziko hmotnej škody Tabul ky (8.2) a (8.3) s údajmi o koncových kvantiloch taktiež podporujú výber lognormálneho a gamma rozdelenia pre modelovanie škôd CASCA. 46
Obrázok 8.2: QQ-plot pre všetky riziká CASCA Obrázok 8.3: QQ-plot pre riziko hmotnej škody QQ-ploty pre povinné ručenie (8.5) nedávajú jednoznačnú odpoved na otáz- 47
Obrázok 8.4: QQ-plot pre ostatné riziká CASCA 25% 50% 75% 95% 97.5% 99.5% 99.9% Sample 9 856 26 256 186 273 860 713 1 112 358 1 927 363 2 587 752 Lognormal 35 629 81 937 188 431 624 419 921 387 1 970 957 3 719 689 Gamma 2 990 37 654 193 862 822 552 1 150 020 1 973 768 2 849 703 Pareto 34 022 88 387 201 891 605 753 866 276 1 793 247 3 450 079 Weibull 11 872 56 231 191 588 748 544 1 081 636 2 052 000 3 280 309 Tabul ka 8.3: Hodnoty kvantilov pre ostatné riziká CASCA ku výberu rozdelenia. Dobre v nich totiž obstáli gamma, Pareto i Weibullovo rozdelenie. Preto bola táto vol ba urobená na základe tabul ky kvantilov (8.4). Berúc ohl ad na obozretnost sa javí ako najlepšie Paretovo rozdelenie s dostatočne t ažkým chvostom. Pri výbere rozdelenia výšky škôd v odvetví INDUSTRY je situácia o čosi zložitejšia. Odhad je komlikovaný odl ahlými pozorovaniami, ktoré deformujú tvar distribučnej funkcie v oblasti nižších kvantilov. Možným východiskom z tejto patovej situácie je oddelenie najvyšších škôd a ich modelovania v rámci vysokých škôd. Pri daných dátach sa javilo ako optimálne stanovit hranicu medzi nízkymi a vysokými škodami na úrovni približne 95% kvantilu. Pri tomto prístupe sme schopní, ako je vidiet na obrázkoch (8.7) a (8.8), presnejšie odhadnút rozdelenie nízkych priemyselných škôd v oblasti 48
Obrázok 8.5: QQ-plot pre doplnkové povinné ručenie 25% 50% 75% 95% 97.5% 99.5% 99.9% Sample 21 661 59 040 144 639 302 860 394 989 736 520 937 394 Lognormal 35 249 65 988 123 535 304 486 408 123 723 506 1 167 155 Gamma 19 941 60 533 139 953 341 180 431 035 643 280 858 594 Pareto 25 766 63 839 133 992 324 818 420 783 681 821 1 006 767 Weibull 21 918 61 196 137 466 338 004 430 984 657 740 896 514 Tabul ka 8.4: Hodnoty kvantilov pre doplnkové povinné ručenie nižších kvantilov Weibullovým rozdelením. V oblasti vyšších kvantilov pri vysokých škodách by sme však opät narazili na nepresnosti. Týmto krokom by navyše narástol počet pozorovaných náhodných veličin reprezentujúcich počet vzniknutých škôd na 5 a štruktúra závislosti medzi 5 náhodnými veličinami, ako bude popísané neskôr, by bola natol ko zložitá, že by sme neboli schopní vygenerovat použitím nášho algoritmu hodnoty s danou mierou závislosti. Preto budeme všetky pozorované hodnoty považovat za náhodný výber z lognormálneho rozdelenia. 49
Obrázok 8.6: QQ-ploty pre INDUSTRY Obrázok 8.7: QQ-ploty pre INDUSTRY - vysoké škody 25% 50% 75% 95% 97.5% 99.5% 99.9% Sample 11 932 27 350 68 961 463 783 812 238 3 808 095 15 850 849 Lognormal 3 710 16 491 73 290 626 614 1 257 874 4 910 485 15 316 710 Gamma 0 0 0 16 247 511 460 10 740 528 33214659.32 Pareto 29 630 79 269 191 079 660 733 1 011 239 2 483 523 5 755 649 Weibull 13 693 15 728 505 596 1 290 902 6 592 646 21 770 735 Tabul ka 8.5: Hodnoty kvantilov pre INDUSTRY 50
Obrázok 8.8: QQ-ploty pre INDUSTRY - nízke škody 8.3 Rozdelenie počtu škôd Ako už bolo spomínané, prvotným krokom pri odhade rozdelenia počtu škôd je zohl adnenie príslušnej vel kosti poistného portfólia, tj. úprava údajov o počte do takej podoby, že by boli v rôznych štvrt rokoch porovnatel né. Na to slúžia údaje o zaslúženom poistnom, ktorým sa zdá byt prirodzené dané počty vydelit a tým získat akýsi škodný pomer. Predpokladáme, že tarify neboli posledné 4 roky menené, a preto pri výpočte škodných pomerov nie je potrebné zohl adnit vplyv inflácie na výšku prijatého poistného. Pre získanie provnatel ných hodnôt počtov vzniknutých škôd bol teda zvolený nasledujúci postup: 1. Vydelenie počtov škôd príslušným zaslúženým poistným 2. Vynásobenie škodných pomerov odhadom prijatého poistného pre daný štvrt rok roku odhadovaného SCR Takto upravené dáta poslúžili na odhad rozdelenia počtu škôd v 4 štvrt rokoch daného roku a taktiež na odhad mier závislostí pri výbere kopuly. V tejto ukážkovej aplikácií teórie kopúl sa obmedzíme na určenie SCR pre prvý štvrt rok. Pre ostatné kvartály by sa postupovalo analogicky. 51
Prirodzeným postupom pri následnom spracovaní dát by bolo takto získané hodnoty zaokrúhlit k najbližšiemu celému vyššiemu číslu (kvôli konzervatívnosti) a pristupovat k nim ako k náhodnému výberu z diskrétne rozdelenej náhodnej veličiny. To však naráža na prekážku vo forme teórie kopúl odvodenej pre spojité marginálne distribučné funkcie. Preto bolo uprednostnené modelovanie počtu škôd prostredníctvom spojitej náhodnej veličiny. Je možné namietat, že počas simulácie počtu ako spojitej náhodnej veličiny sú produkované hodnoty, ktoré nemusia byt celými číslami a teda sú len t ažko interpretovatel né ako počet vzniknutých škôd. Táto zdanlivá prekážka sa dá odstránit už spomínaným zaokrúhlením nahor, ktoré v tomto prípade neprebehne po prvotnej úprave dát, ale až po simulácií. Parametre rozdelení počtu škôd boli odhadnuté opät metódou momentov a rozdelenie bolo zvolené na základe QQ-plotov (8.9), (8.10), (8.11) a (8.12), do ktorých boli tentoraz nanesené namiesto kvantilov náhodného výberu jeho všetky hodnoty. Pretože bolo k dispozícií iba 16 hodnôt, vynechanie ktorejkol vek z nich by znamenalo len d alšiu zbytočnú stratu informácie. Na vertikálnej osi sa nachádza 16 teoretických kvantilov, s ktorými boli namerané hodnoty zrovnávané. V prípade doplnkového povinného ručenia kvôli spomínaným zmenám v spracovaní dát bolo k dispozícií iba 14 hodnôt. Obrázok 8.9: QQ-plot pre riziko hmotných škôd v CASCU 52
Obrázok 8.10: QQ-plot pre ostatné riziká CASCA Obrázok 8.11: QQ-plot pre doplnkové povinné ručenie Obrázok 8.12: QQ-plot pre INDUSTRY Využitím popísaného postupu sme napriek podobným výsledkom dospeli k záveru, že pre simuláciu počtu škôd sa javí ako najvhodnejšia vol ba gamma rozdelenia v prípade INDUSTRY a rizika hmotných škôd v CASCU a lognormálneho rozdelenia pre ostatné riziká CASCA a pre doplnkové povinné ručenie. 53
8.4 Výber kopuly Prvým krokom pri výbere kopuly predstavujúcej závislost medzi počtami škôd bolo spočítanie klasickej lineárnej (Pearsonovej) korelácie medzi počtami škôd a najmä mier závislosti súvisiacich s tematikou kopúl, tj. Kendallovho tau, Spearmanovho rho a závislosti v hornom chvoste. Tieto údaje nám slúžia na vytvorenie si akej takej predstavy o štruktúre závislosti medzi skúmanými poistnými odvetviami. Hodnoty Pearsonovej, Kendallovej a Spearmanovej korelácie boli spočítané pomocou funkcie cor, ktorá je súčast ou štandardného balíka prostredia R. Na výpočet závislosti v hornom chvoste bol použitý neparametrický odhad (5.22), pričom za hodnotu k bolo zvolené 2. Agregácia 5 náhodných veličín Na začiatku sme sa zamerali na výpočet miery závislosti medzi 5 náhodnými veličinami (počet hmotných škôd v CASCU, ostatných škôd v CASCU, v doplnkovom povinnom ručení, počet nízkych a vysokých priemyselných škôd). Dospeli sme k nasledujúcemu výsledku zaznamenanému v tabul ke (8.6). Pearson Kendall Spearman λ U CASCO 1 a MTPL 0.7906478 0.3626374 0.6175824 0.5 CASCO 2 a MTPL 0.7511155 0.5384615 0.745055 0.5 CASCO 1 a INDUSTRY 1 0.3007383-0.1868132-0.2131868 0.5 CASCO 2 a INDUSTRY 1 0.1977392-0.01098901-0.1252747 0 CASCO 1 a INDUSTRY 2 0.4103434 0.2307692 0.3274725 0.5 CASCO 2 a INDUSTRY 2 0.4162603 0.4065934 0.4813187 0.5 MTPL a INDUSTRY 1 0.1728795-0.1208791-0.2 0 MTPL a INDUSTRY 2 0.2983565 0.2527473-0.3450549 0 CASCO 1 a CASCO 2 0.6999122 0.3846154 0.6395604 0 INDUSTRY 1 a INDUSTRY 2 0.9128342 0.05494505 0.1472527 0.5 Tabul ka 8.6: Miery závislosti piatich náhodných veličín Poznámka: Označenie CASCO 1 v tabul ke (8.6) predstavuje náhodnú veličinu reprezentujúcu počet hmotných škôd v CASCU, CASCO 2 počet ostatných škôd v CASCU, INDUSTRY 1 počet nízkych škôd a INDUSTRY 2 počet vysokých škôd. Pri agregácií 5 náhodných veličín je našou úlohou priradenie označenia U 1, U 2, U 3, U 4 a U 5 k náhodným veličinám CASCO 1 a 2, MTPL, INDUSTRY 54
1 a 2 a následný odhad parametrov θ 1,..., θ 4 generátorov kopúl ϕ 1,..., ϕ 4 tak, že: θ 1 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojiciach (U 1, U 5 ), (U 2, U 5 ), (U 3, U 5 ) a (U 4, U 5 ), θ 2 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojiciach (U 1, U 4 ), (U 2, U 4 ) a (U 3, U 4 ), θ 3 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojiciach (U 1, U 3 ) a (U 2, U 3 ), θ 4 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojici (U 1, U 2 ). To vlastne znamená, že dvojice (U 1, U 5 ), (U 2, U 5 ), (U 3, U 5 ) a (U 4, U 5 ) by mali byt podobne závislé (v zmysle hodnoty Kendallovho tau). Analogicky to platí pre dvojice (U 1, U 4 ), (U 2, U 4 ), a (U 3, U 4 ), atd. Hodnoty v tabul ke (8.6) naznačujú, že nie je možné priradit podl a daného kl úča náhodným veličinám CASCO 1 a 2, MTPL a INDUSTRY 1 a 2 označenie U 1, U 2, U 3, U 4 a U 5. Agregácia 4 náhodných veličín Ostáva nám vyšetrit mieru závislosti medzi 4 náhodnými veličinami, tj. CASCO 1, CASCO 2, MTPL a INDUSTRY (zahŕňajúce nízke i vysoké škody). Pearson Kendall Spearman λ U CASCO 1 a MTPL 0.7906478 0.3626374 0.6175824 0.5 CASCO 2 a MTPL 0.7511155 0.5384615 0.745055 0.5 CASCO 1 a INDUSTRY 0.3104748-0.1868132-0.1868132 0.5 CASCO 2 a INDUSTRY 0.2147828 0.07692308 0.006593407 0 MTPL a INDUSTRY 0.1830157-0.07692308-0.1428571 0 CASCO 1 a CASCO 2 0.6999122 0.3846154 0.6395604 0.5 Tabul ka 8.7: Miery závislosti štyroch náhodných veličín Čo si môžeme z tabul ky (8.7) vyvodit? Jednak to, že medzi odvetviami CASCO a MTPL existuje náznak závislosti v hornom chvoste, z čoho vyplýva preferencia rodín kopúl, ktoré touto vlastnost ou disponujú (napr. Gumbelova kopula). Medzi CASCOM 1 a poistením priemyselného majetku bola zaznamenaná mierna záporná závislost. Vzhl adom k možnosti modelovat iba nezávislost resp. pozitívnu závislost prostredníctvom mnohorozmerných 55
Archimedovských kopúl, náhodné veličiny reprezentujúce tieto odvetvia budeme v nasledujúcej simulácií pokladat za nezávislé. Medzi ostatnými automobilovými odvetviami a INDUSTRY bolo odhadnuté Kendallovo tau hodnotou blízkou nule, a teda ich budeme pokladat za nezávislé, čo vyhovuje modelovaniu závislostí pomocou mnohorozmerných Archimedovských kopúl. Je nutné upozornit na fakt, že závislost pozorovaných poistných odvetví je pri našom prístupe umelo nadhodnotená. Skreslenie je spôsobené vplyvom sezónnosti vo vzniku škôd, ktorá sa prejavuje najmä v automobilových odvetviach. Preto odporúčame v prípade kompletnejších dát výpočet závislostí na ročnej báze. Pri agregácií 4 náhodných veličín je našou úlohou priradenie označenia U 1, U 2, U 3 a U 4 k náhodným veličinám CASCO 1 a 2, MTPL a INDUSTRY a následný odhad parametrov θ 1,..., θ 3 generátorov kopúl ϕ 1,..., ϕ 3 tak, že: θ 1 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojiciach (U 1, U 4 ), (U 2, U 4 ) a (U 3, U 4 ), θ 2 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojiciach (U 1, U 3 ) a (U 2, U 3 ), θ 3 je parameter kopuly vystihujúcej štruktúru závislosti v dvojici (U 1, U 2 ). Hodnoty 0.3626374 a 0.3846154 môžeme pokladat za podobné a označit riziká nasledovne: U 1 = MTPL U 2 = CASCO 2 U 3 = CASCO 1 U 4 = INDUSTRY Hodnota parametra θ 1 sa s ohl adom na obozretnost dopočíta na základe hodnoty τ = 0, hodnota θ 2 na základe hodnoty 0.3846154 a θ 3 z τ = 0.5384615. Použitím tabul ky (6.2) môžeme na základe informácie o Kendallovom tau rovnom 0.3846154 a τ = 0.5384615 vylúčit z možného výberu rodiny kopúl Ali-Mikhail-Haqovu kopulu. Ostáva nám teda sa rozhodnút medzi rodinami 3, 4, 5 a 6 použitím grafických metód a Kolmogorov-Smirnovovho testu dobrej zhody. 56
Genestova a Rivestova metóda Prvým rozhodovacím prostriedkom bola Genestova a Rivestova metóda porovnávajúca parametrický a neparametrický odhad funkcie K C (t) pomocou QQ-plotu, vzt ahu (7.10) a nakoniec použitím Kolmogorov-Smirnovovho testu, ktorý bol rovnako ako QQ-ploty aplikovaný na dva náhodné výbery K n (C(F (X 1 ), G(Y 1 ))),..., K n (C(F (X 14 ), G(Y 14 ))) a K ϕ (C(F (X 1 ), G(Y 1 ))),,..., K ϕ (C(F (X 14 ), G(Y 14 ))), kde X 1,..., X 14 a Y 1,..., Y 14 predstavujú hodnoty počtov škôd v dvojiciach rizík používané k odhadu rozdelenia počtu škôd, ako marginálne disribučné funkcie F a G boli pre jednoduchost použité empirické distribučné funkcie a hodnota parametru θ bola odhadnutá neparametrickým spôsobom. Kopula C θ3 Obrázok 8.13: QQ-ploty z Genestovej a Rivestovej metódy (CASCO 2 a MTPL) QQ-ploty z obrázka (8.13) naznačujú použitie Gumbelovej, Frankovej alebo kopuly číslo 6 v d alšej simulácií. Výsledky analyticky zmeranej blízkosti sa nachádzajú v tabul ke (8.8). Ked že hodnoty p-value v Kolmogorov-Smirnovovom teste vyšli 0.9048 pre Gumbelovu, Frankovu a kopulu 6 a 0.3338 pre kopulu 5, test nenaznačil 57
Kopula R [Kϕ(t) K n(t)] 2 dk n(t) Gumbel 0.1703106 Frank 0.1590117 Kopula 5 0.2279297 Kopula 6 0.1736835 Tabul ka 8.8: Analytický prístup C θ3 ani pre jednu z kopúl na hladine 5% zamietnutie hypotézy, že oba výbery pochádzajú z rovnakého rozdelenia. Tým pádom test nevylúčil ani jednu z nich z d alšieho postupu. Kopula C θ2 QQ-ploty (8.14) i analytický prístup (8.9) z Genestovej a Rivestovej metódy opät ukazujú na Gumbelovu kopulu. Kopula R [Kϕ(t) K n(t)] 2 dk n(t) Gumbel 0.2592316 Frank 0.2874429 Kopula 5 0.3033897 Kopula 6 0.302316 Tabul ka 8.9: Analytický prístup C θ2 Pri výbere rodiny kopúl, do ktorej patria C θ2 a C θ3, však netreba zabúdat na prvotné odhady mier závislostí pozorovaných dát, v ktorých bola vykázaná nenulová hodota tail dependence. Ked že Frankova kopula závislost v chvostoch nie je schopná dostatočne zachytit, volíme na simuláciu Gumbelovu kopulu. 58
Obrázok 8.14: QQ-ploty z Genestovej a Rivestovej metódy (CASCO 1 a 2) Grafická metóda s distribučnou funkciou K C Podobne ako v Genestovej a Rivestovej metóde i tu boli do QQ-plotov zakreslené hodnoty K C (C(F (X 1, G(Y 1 )),..., K C (C(F (X 14, G(Y 14 )), avšak proti 14 kvantilom rozdelenia R(0,1). Kopula C θ2 a C θ3 Vzhl adom k (8.16) a (8.15) táto metóda nás utvrdzuje vo výbere Gumbelovej kopuly. Kopula C θ1 Fakt, že v simulácií počtov škôd sa bude k odvetviam CASCO 1 a INDUS- TRY, CASCO 2 a INDUSTRY, MTPL a INDUSTRY pristupovat ako k dvojiciam nezávislých náhodných veličín, opät hovorí pre použitie Gumbelovej kopuly, pretože kopula predstavujúca nezávislost (independence kopula) patrí tiež pod Gumbelovu rodinu s parametrom θ = 1. 59
Obrázok 8.15: QQ-ploty z grafickej metódy (MTPL a CASCO 2) Obrázok 8.16: QQ-ploty z grafickej metódy (CASCO 1 a 2) 60
Overenie podmienok pre 4-rozmerné rozšírenie Gumbelovej kopuly Ako prvé si pripomenieme, že ϕ 1 i L pre i = 1, 2, 3, ostáva nám overit, že ϕ i ϕ 1 i+1 L pre i = 1, 2. Pre ϕ i ϕ 1 i+1 (t) = tθ i/θ i+1 v prípade, že θ i /θ i+1 / N máme n-té derivácie v nasledujúcom tvare θ ( i θi )... (n 1) t θ i/θ i+1 n. (8.2) θ i+1 θ i+1 Takže ak θ i /θ i+1 / N, potom ϕ i ϕ 1 i+1 L platí, práve ked θ i /θ i+1 < 1. Ak θ i /θ i+1 N, potom ϕ i ϕ 1 i+1 L platí, práve ked θ i /θ i+1 = 1. Z toho plynie, že pre nami odhadnuté parametre θ 1 = 1, θ 2 = 1.625 a θ 3 = 2.166667 Gumbelovej kopuly sú podmienky splnené. 8.5 Simulácia Simuláciu môžeme v skratke zhrnút nasledovne: 1. Záverom predchádzajúcej analýzy je, že k simulácií počtov škôd sme sa rozhodli použit 4-rozmernú Gumbelovu kopulu s parametrami θ 1 = 1, θ 2 = 1.625 a θ 3 = 2.166667. Algoritmom (3) sme v prostredí R vygenerovali maticu vel kosti 100 000 4 hodnôt z intervalu (0, 1). Takto sme získali hodnoty distribučných funkcií náhodných veličín predstavujúcich počty škôd, a to v prvom stĺpci pre MTPL, v druhom pre CASCO 2, v tret om pre CASCO 1 a v štvrtom pre INDUSTRY. Ako ukážka nasimulovaných hodnôt poslúži graf (8.17), v ktorom si čitatel môže všimnút najvyššiu mieru závislosti medzi MTPL a CAS- COM 2, nižšiu medzi MTPL a CASCOM 1 a medzi CASCOM 1 a 2 a nezávislost medzi zvyšnými odvetviami, ktorá sa prejavuje zvýšenou rozptýlenost ou vygenerovaných hodnôt na grafe. Ďalšou zaujímavost ou je zvýšená koncentrácia hodnôt v pravom hornom rohu u závislých odvetví, čo je dôkazom schopnosti Gumbelovej kopuly modelovat závislost v chvostoch. 2. Na stĺpce matice sme postupne aplikovali kvantilové funkcie lognormálneho rozdelenia (na prvé 2 stĺpce) a gamma rozdelenia (na druhé 2 stĺpce) s príslušnými parametrami, ktorých odhad bol popísaný v sekcií o rozdelení počtu škôd. 3. Získané hodnoty sme zaokrúhlili nahor k najbližšiemu celému číslu a dospeli sme k hodnotám počtov škôd. 61
Obrázok 8.17: Scatter plot vygenerovaných hodnôt 4-rozmernej Gumbelovej kopuly V tomto bode sme overili schopnost algoritmu produkovat hodnoty počtov škôd so zadanými závislost ami, tj. spočítali sme Kendallovo tau vygenerovaných počtov. Výsledky sú zaznamenané v tabul ke (8.10). Zadaná hodnota Simulácia CASCO 1 a MTPL 0.3846154 0.352923 CASCO 2 a MTPL 0.5384615 0.5392323 CASCO 1 a INDUSTRY 0 0.002638389 CASCO 2 a INDUSTRY 0 0.001495522 MTPL a INDUSTRY 0 0.003569057 CASCO 1 a CASCO 2 0.3846154 0.3529569 Tabul ka 8.10: Kendallovo tau nasimulovaných dát 4. Simulovali sme výšky jednotlivých škôd v daných počtoch, ktoré sme sčítali, čím sme dostali 100 000 hodnôt celkového škodného úhrnu zo všetkých skúmaných poistných odvetví. 5. Stanovili sme hodnotu VaR ako 99.5% výberový kvantil a TVaR ako priemer z hodnôt nad 99.5% kvantilom. 62