TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200
RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. RNDr. Ján Buša, CSc. c doc. RNDr. Dušan Knežo, CSc. RNDr. Miriam Andrejiová, PhD. RNDr. Zuzana Kimáková, PhD. 200
Predhovor 3 Predhovor Tento učebný tet je určený poslucháčom prvého ročníka bakalárskeho štúdia Strojníckej fakult Technickej univerzit v Košiciach a tematick je orientovaný na predmet Matematika a Matematika I. Rovnako dobre však môže poslúžiť poslucháčom Fakult baníctva, ekológie, riadenia a geotechnológií a Hutníckej fakult Technickej univerzit v Košiciach. V učebnom tete sú uvedené podstatné teoretické poznatk potrebné ku riešeniu úloh, riešené príklad a úloh na riešenie týkajúce sa funkcie jednej reálnej premennej a jej diferenciálnehopočtu.obsahjespoluučebnýmtetom MATEMATIKA,časťB dostatočným základom pre štúdium a úspešné absolvovanie spomínaných predmetov. Obom recenzentom prof. RNDr. Jozefovi Dobošovi, CSc. a RNDr. Jánovi Bušovi, CSc. ďakujeme za dôsledné posúdenie tejto učebnej pomôck. Ich cenné pripomienk, rad a odporúčania prispeli ku zvýšeniu kvalit tejto publikácie. V Košiciach 6. 0. 200 Autori
Obsah Funkcia jednej premennej 7. Pojemfunkcie.... 7.2 Základnévlastnostifunkcie.... 4.2. Monotónnosťfunkcie.... 4.2.2 Ohraničenosťfunkcie.... 5.2.3 Párnaanepárnafunkcia...... 5.2.4 Periodickáfunkcia..... 6.2.5 Prostá(jednojednoznačná)funkcia.... 6.2.6 Inverznáfunkcia...... 7.3 Elementárnefunkcie.... 2.3. Konštantnáfunkcia.... 2.3.2 Lineárnafunkcia...... 2.3.3 Kvadratickáfunkcia.... 22.3.4 Mocninováfunkcia..... 23.3.5 Eponenciálnafunkcia... 25.3.6 Logaritmickáfunkcia.... 25.3.7 Trigonometrické(goniometrické)funkcie..... 26.3.8 Cklometrickéfunkcie... 29.4 Limitapostupnosti..... 35.4. Postupnosti základnépojm...... 35.4.2 Limitapostupnosti... 36.4.3 Výpočetlimítpostupnosti..... 38.5 Limitafunkcie... 44.5. Limitafunkcie,jednostrannélimit.... 44.5.2 Vetolimitáchfunkcií... 47.5.3 Výpočetlimítfunkcií.... 48.6 Spojitosťfunkcie.Asmptot... 55.6. Spojitosťfunkcie...... 55.6.2 Asmptot..... 57 2 Diferenciáln počet funkcie jednej premennej 63 2. Deriváciafunkcie...... 63 2.2 Geometrickývýznamderivácie...... 76 2.2. Rovnicadotčniceanormál... 76 2.2.2 Uholmedzigrafmifunkcií..... 79 2.3 Fzikálnvýznamderivácie.... 82 2.4 Derivácievššíchrádov...... 85 5
6 2.5 Diferenciálprvéhoráduadiferenciálvššíchrádov.... 90 2.6 L Hospitalovopravidlo... 94 2.7 Monotónnosťfunkcie.Lokálneetrém...... 02 2.7. Monotónnosťfunkcie.... 02 2.7.2 Lokálneetrém...... 03 2.8 Konvenosťakonkávnosťfunkcie.Inflenýbod..... 9 2.8. Konvenosťakonkávnosťfunkcie..... 9 2.8.2 Inflenýbod.... 20 2.9 Priebehfunkcie... 26 2.0 Funkciaurčenáparametrick... 43 2. Talorovaveta... 48 Riešenia úloh 53 Riešeniaúlohkapitol..... 53 Riešeniaúlohkapitol2..... 57 Literatúra 80
Kapitola Funkcia jednej premennej. Pojem funkcie Definícia. Nech M a P sú neprázdne podmnožin množin reálnch čísel R. Hovoríme, že na množine M je definovaná funkcia f, ak je daný predpis, podľa ktorého je každému prvku z množin M priradený jeden prvok z množin P. Množinu M nazývame definičným oborom funkcie f a budeme ju označovať D f. Množinu všetkých tých prvkov z P, ktoré sú funkciou f priradené nejakému prvku z M, nazývame oborom hodnôt funkcie f a budeme ju označovať H f. Ak funkcia f priradzuje prvku D f prvok, zapisujeme to = f(), (.) pričom číslo resp. f() nazývame hodnotou funkcie f v bode (čísle). Vo vzťahu (.) znak nazývame argumentom funkcie alebo nezávislou premennou, znak nazývame závislou premennou. Funkcia f môže bť daná niekoľkými spôsobmi: a) pomocou formálneho matematického zápisu rovnicou = f(), b) tabuľkou, c) slovným vjadrením, d) grafick. Grafom funkcie f() je mnnožina všetkých bodov [,] v rovine, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:. je z definičného oboru funkcie f(), t.j. D f, 2. je hodnota funkcie f() v bode, t. j. = f(). Nieked uvažujeme funkciu len na časti jej definičného oboru 2. Vted hovoríme o tzv. parciálnej funkcii. Rozumieme tým nasledovné: Nech f je funkcia s definičným oborom D f a M D f. Hovoríme, že funkcia g je parciálna funkcia z f na M, ak D g = M a pre každé D g platí g() = f(). Napríklad funkcia definovaná na 0, π 2 rovnicou = sin je parciálnou funkciou Kvôli stručnosti budeme namiesto funkcia f s nezávislou premennou hovoriť iba funkcia f(). 2 Napríklad vted, ak funkcia nemá požadovanú vlastnosť na celom definičnom obore, ale na nejakej jeho časti ju má. 7
8 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ z funkcie danej rovnicou = sin (ktorej definičný obor je R). Postup pri určovaní definičného oboru: Na určenie definičného oboru funkcie f() je potrebné poznať definičné obor a vlastnosti elementárnch funkcií. Najčastejšie je potrebné vedieť, že: menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nule, výraz pod párnou odmocninou musí bť nezáporný, logaritmická funkcia je definovaná len pre kladný argument, ak a >, potom log a > 0 práve vted, ak >, ak 0 < a <, potom log a > 0 práve vted, ak 0 < <, funkcie = arcsin, = arccos sú definované pre. Zapamätajme si: 0 2n 0, n N log a > 0, a > 0, a a > log a > 0 > 0 < a < log a > 0 0 < < = arcsin = arccos Príklad. Určme definičný obor funkcie f() = +3+ln(3 2)+ 2. Riešenie. Vzhľadom na uvedené podmienk musí platiť Riešime sústavu nerovníc: +3 0 3 2 > 0 2 0. +3 0 3 3 2 > 0 < 3 2 2 0 0. Z toho vplýva, že definičný obor funkcie f() je D f = 3,0) (0,) (, 3 2).
.. POJEM FUNKCIE 9-3 0 3 2 Definičný obor funkcie Príklad 2. Určme definičný obor funkcie f() = Riešenie. 2 5+6. Pod párnou odmocninou musí bť výraz nezáporný a menovateľ zlomku má bť rôzn od nul, t.j. 2 5+6 0 2 5+6 0. Teda 2 5+6 > 0 ( 3)( 2) > 0. Nerovnicu môžeme riešiť pomocou nulových bodov. Výraz 2 5 + 6 nadobúda hodnotu 0 pre = 2, = 3. Tieto dva bod rozdelia množinurna tri interval, ktoré zapíšeme do tabuľk: (, 2) 2 (2, 3) 3 (3, ) 2 5+6 + 0 0 + Dosadením ľubovoľných čísel z jednotlivých intervalov zistíme, ked výraz 2 5+6 nadobúda kladné a ked záporné hodnot: (,2): = 3 f( 3) = ( 3) 2 5( 3)+6 = 30 > 0, (2,3): = 2,5 f(2,5) = (2,5) 2 5(2,5)+6 = 0,25 < 0, (3, ): = 4 f(4) = (4) 2 5(4)+6 = 2 > 0. Z tabuľk vplýva, že definičný obor funkcie f() je D f = (,2) (3, ). Nerovnicu môžeme riešiť aj grafick. Grafom funkcie = 2 5+6 je parabola, ktorá pretína -ovú os v bodoch = 2, = 3. Riešením nerovnice sú tie čísla, pre ktoré je graf funkcie nad osou o. 2 = -5+ 6 0 2 3 Definičný obor funkcie
0 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ Príklad 3. Určme definičný obor funkcie f() = Riešenie. 7 +2 2. Pre výraz pod párnou odmocninou musí platiť 7 +2 2 0 a menovateľ zlomku má bť rôzn od nul, t.j. 2. Riešime nerovnicu s neznámou v menovateli: Nulové bod sú = 2, =. 7 3+3 2 0 0. +2 +2 (, 2) 2 ( 2, ) (, ) 3+3 +2 + 0 Definičný obor funkcie f() je D f = ( 2,. Príklad 4. Určme definičný obor funkcie f() = log 0, (2+). Riešenie. Z podmienok pre výraz pod párnou odmocninou a pre argument logaritmu pri základe a = 0, vplýva log 0, (2+) 0 2+ > 0. Platí Riešime sústavu nerovníc: log 0, (2+) 0 log 0, (2+) log 0, 2+. 2+ > 0 > 2 2+ 0. - 2 0 Definičný obor funkcie Definičný obor funkcie f() je D f = ( 2,0.
.. POJEM FUNKCIE Príklad 5. Určme definičný obor funkcie f() = arcsin 2 3. 4 Riešenie. Funkcia = arcsin je definovaná pre. Platí 2 3 4 / 4 4 2 3 4 / 2 6 3 2 / : ( 3) 2 2 3 2 3 2 Definičný obor funkcie f() je D f = 23,2. Príklad 6. Určme definičný obor funkcie f() = sin+ 25 2. Riešenie. Z podmienok vplýva sin 0 25 2 0. Riešime podmienk: sin 0 0+2kπ,π +2kπ, k Z, 25 2 0 2 25 5 5,5. Definičný obor funkcie Ak zoberieme do úvah to, že π = 3,45926..., potom definičný obor funkcie f() je D f = 5, π 0,π.
2 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ Úloh V úlohách..90 nájdite definičný obor.. f() = 3+5 7 + 2.2 f() = 3+5 + 2.3 f() = 2 4 2.4 f() = 3 2 2 +3 9.5 f() = +2 + 3.6 f() = log 3 (2 ).7 f() = 5 +ln.8 f() =.9 f() = ln(2 3)+ 3 2.9 f() = 9 4 + 4+9.20 f() = 2 3 4.2 f() = 2 3 0 2 4.22 f() = 3 2 2 +9.23 f() = 2 2 +3+2+ 3.24 f() = 2 4 2 + 3 8.25f() = 2 +5+4+.26 f() = log 2 ( 2 4+4).27 f() = log( 2 )+ 3 2 4 2 2 8.0 f() = +log 3 (+). f() =.2 f() =.3 f() = 2 log(+5) 4 +e 5 log 0,5 (2+) + 3 +5 ln(9 ).4 f() = ln(3 2).5 f() =.6 f() =.7 f() = 2 2 +2 2 3 +8 2 +5 + 4.8 f() = 3 + 5+.28 f() = ln(2 3) +5.29 f() = 3 6 2 +log(3 ).30 f() = 4 2 4+.3 f() = 2 2 5 3.32 f() = 2 +4 5 ln(+5).33 f() = log 4 (2+7)+.34 f() = 2 3 5 2 +log( 2 4 5).35 f() = 2 3log 5(2 3) ) (.36 f() = ln 2 6+9
.. POJEM FUNKCIE 3.37 f() =.38 f() = ln( 4 2 ) 2 5+6 ln(2 4).39 f() = ln(+4) 2 ++6.40 f() = log 3(3 2 2 ).4 f() = log( 2 4)+.42 f() = log(2 +5+6).43 f() =.44 f() = +5 + log 2 (3 5) + 2 2 +9+0 log.45 f() = 4 3.46 f() = 8 3 3+2.47 f() = 3.48 f() = 2 6 +2 2.49 f() = + + 3+2 2.50 f() = + + 2.5 f() = 3 2 8 +.52 f() = 5 6.53 f() = 2 3 4 2+ 2.54 f() = 2 + 6 + ( ).55 f() = ln 4 ( ).56 f() = log 3 2+ ( ) 2.57 f() = log 5+.58 f() = log 2 +6 2 +3 ( ).59 f() = log 2.60 f() = log(log)+.6 f() = log.62 f() = log 2 log2 3.63 f() = ln ( ) 4 2.64 f() = log 3 (ln ).65 f() = 3 e.66 f() = 3 9.67 f() = ( ) 4 2 + 3.68 f() = log(3 27).69 f() = e e 2.70 f() = log 4 (+5).7 f() = log 0,3 (4 2).72 f() = log 0, (2+4).73 f() = 2 ln(3+5).74 f() = log( )+ 4 +2
4 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ (.75 f() = log 2 ) 2 3.76 f() =.77 f() = ( ) + log 3 ( ) log 0,4 +2.78 f() = log(cos).79 f() = sin+ 4 2.80 f() = arccos(+).8 f() = 3arcsin( 2) ( ) 2+.82 f() = arcsin + + 2 3 ( ) 3.83 f() = arcsin +ln(3 ) 2 ( ) 3 2.84f() = arccos + 5 2 2 35.85 f() = ( ) 2+5 4 2 2arccos 3 ( ) 2.86 f() = arccos + 4 ln ( ) 3+2.87 f() = arcsin + 2 2+.88 f() = log(2 2 +4 6)+arcsin 2.89 f() = arccos( )+.90 f() = arcsin 4 3 ln( ).2 Základné vlastnosti funkcie.2. Monotónnosť funkcie Funkcia f() sa nazýva rastúca (klesajúca) na množine M, M D f, ak pre každé, 2 M také, že < 2, platí f( ) < f( 2 ) ( ) f( ) > f( 2 ). Ak M = D f hovoríme, že funkcia f() je rastúca (klesajúca). f( 2 ) =f( ) f( ) f( ) =f( ) f( 2 ) 0 2 0 2 Rastúca funkcia Klesajúca funkcia
.2. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIE 5 Funkcia f() sa nazýva neklesajúca (nerastúca) na množine M, M D f, ak pre každé, 2 M také, že < 2, platí ( ) f( ) f( 2 ) f( ) f( 2 ). Ak M = D f hovoríme, že funkcia f() je neklesajúca (nerastúca). Každú neklesajúcu a každú nerastúcu funkciu nazývame monotónnou. Každú rastúcu a každú klesajúcu funkciu nazývame rýdzomonotónnou. =f( ) =f( ) 0 0 Neklesajúca funkcia Nerastúca funkcia.2.2 Ohraničenosť funkcie Funkcia f() je zhora (zdola) ohraničená na množine M, M D f práve vted, ak eistuje také reálne číslo K, (resp. k), že pre každé M platí f() K (f() k). Funkcia je ohraničená na množine M, ak je zhora i zdola ohraničená na množine M. K =f( ) =f( ) k 0 0 Funkcia ohraničená zhora Funkcia ohraničená zdola.2.3 Párna a nepárna funkcia Hovoríme, že funkcia f() je párna, ak. pre D f je ( ) D f,
6 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ 2. pre D f je f( ) = f(). Hovoríme, že funkcia f() je nepárna, ak. pre D f je ( ) D f, 2. pre D f je f( ) = f(). Graf párnej funkcie je súmerný podľa osi o pravouhlého súradnicového sstému, graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku pravouhlého súradnicového sstému. f(- )=f( ) =f( ) f(- )=-f( ) =f( ) - 0-0 Párna funkcia Nepárna funkcia Platí: súčet alebo rozdiel dvoch párnch (nepárnch) funkcií je párna (nepárna) funkcia, súčin alebo podiel dvoch nepárnch alebo dvoch párnch funkcií je párna funkcia, súčin alebo podiel jednej párnej a jednej nepárnej funkcie je nepárna funkcia..2.4 Periodická funkcia Funkciu f() nazývame periodickou, ak eistuje kladné reálne číslo p také, že platí:. pre každé D f je aj (+p) D f a ( p) D f, 2. pre každé D f platí: f(+p) = f(), f( p) = f(). Najmenšie kladné reálne číslo p daných vlastností nazývame základnou periódou funkcie f() a označujeme ho T..2.5 Prostá (jednojednoznačná) funkcia Funkcia f() sa nazýva prostá, ak pre každé, 2 D f také, že 2 platí f( ) f( 2 ). Veta. Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá.
.2. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIE 7 f( )= f( 2 ) =f( ) f( ) f( 2 ) =f( ) 0 2 0 2 Funkcia nie je prostá na D f Funkcia je prostá na D f.2.6 Inverzná funkcia Nechf() je prostá funkcia definovaná na množine D f s oborom hodnôt H f. Funkciu definovanú na H f tak, že každému H f priradí ten prvok D f, pre ktorý platí = f(), nazývame inverznou funkciou k funkcii f(). Inverznú funkciu k funkcii f() budeme označovať f (). Veta 2. Nech f() je rýdzomonotónna funkcia. Potom eistuje k nej inverzná funkcia f (). Funkcia f () je rastúca (klesajúca) vted, ak funkcia f() je rastúca (klesajúca). Pre funkciu f() a k nej inverznú funkciu f () platí: graf funkcií f() a f () sú osovo súmerné podľa priamk =, D f = H f, H f = D f, D f : f (f()) =, H f : f(f ()) =. = f( ) 0 f - ( ) Inverzná funkcia
8 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ Postup určenia predpisu inverznej funkcie k funkcii = f():. Zistíme, či je funkcia = f() prostá. Ak nie je (teda k nej neeistuje inverzná funkcia), snažíme sa určiť také interval definičného oboru, na ktorých sú príslušné parciálne funkcie (pozri str. 7) z funkcie f() prosté a inverznú funkciu hľadáme pre tieto parciálne funkcie. 2. V rovnici = f() navzájom vmeníme a, t. j. dostaneme = f(). 3. Z rovnice = f() vjadríme pomocou. Príklad. Všetrime párnosť, resp. nepárnosť funkcie f(). a) f() = 3 3 +, b) f() = 3 2 4, c) f() = 2, Riešenie. d) f() = sin, e) f() = 2 2 +, f) f() = ln( ). a) Funkcia f() = 3 3 + je definovaná pre všetk reálne čísla, t.j. pre D f je aj D f. Porovnáme f() a f( ). Pretože f( ) = 3( ) 3 + = 3 3 +, eistujú D f také, že f( ) f() a f( ) f(), teda funkcia nie je párna, ani nepárna. b) Definičný obor funkcie f() = 3 2 4 je D f = R { 2,2}, t.j. pre D f aj D f. Porovnáme f() a f( ). Platí odkiaľ vplýva, že funkcia f() = 3 2 4 f( ) = ( )3 ( ) 2 4 = 3 2 4 = f(), je nepárna. c) Definičný obor funkcie f() = 2 je D f = R { 2 }. Pretože nie je splnená podmienka: pre D f je aj D f, funkcia f() nie je párna, ani nepárna. d) Definičný obor funkcie f() = sin je D f = R, t.j. pre každé D f je aj D f. Platí f( ) = ( ) sin( ) = ( ) ( sin) = sin = f(), odkiaľ vplýva, že funkcia f() = sin je párna.
.2. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIE 9 e) Definičný obor funkcie f() = 2 2 + je D f = R, t.j. pre D f je aj D f. Platí f( ) = 2( ) 2 ( ) + = 2 Funkcia f() = 2 2 + je nepárna. 2 + = f) Definičný obor funkcie f() = ln( ) je D f = (,). 2 2 +2 2 = 2 +2 = 2 2 + = f(). Pretože nie je splnená podmienka: pre D f je aj D f, funkcia f() = ln( ) nie je párna, ani nepárna. Príklad 2. Nájdime inverznú funkciu k funkcii f(). a) f() = 2, b) f() = 3+2 4, c) f() = 3, d) f() = 4ln(3+2), e) f() = 2 3 +. Riešenie. a) Definičný obor funkcie f() = 2 je D f = R. Funkcia je párna a na intervale (, ) nie je prostá. Inverzná funkcia k nej neeistuje. Z grafu funkcie (pozri str. 23) je zrejmé, že parciálne funkcie f() = 2, (0, ) a f() = 2, (,0) sú prosté a eistujú k nim inverzné funkcie. Hľadajme teraz inverznú funkciu k funkcii f() = 2 na intervale (0, ). Definičný obor funkcie je D f = (0, ) a obor hodnôt H f = (0, ). Funkcia je rastúca a teda prostá, preto k nej eistuje inverzná funkcia f (), pričomd f = H f = (0, ),H f = D f = (0, ). Určíme inverznú funkciu: = 2, 2 =. Pretože H f = (0, ), inverznou funkciou k funkcii f() = 2 na intervale (0, ) je funkcia f () : =, (0, ). Hľadajme teraz inverznú funkciu k funkcii f() = 2 na intervale (,0). Definičný obor funkcie je D f = (,0) a obor hodnôt H f = (0, ). Funkcia je klesajúca a teda prostá, preto k nej eistuje inverzná funkcia f (), pričom D f = H f = (0, ), H f = D f = (,0). Určíme inverznú funkciu: = 2, 2 =. Pretože H f = (,0), inverznou funkciou k funkcii f() = 2 na intervale (0, ) je funkcia f () : =, (0, ).
20 KAPITOLA. FUNKCIA JEDNEJ PREMENNEJ b) Definičný obor funkcie f() = 3+2 4 je D f = R {4}, obor hodnôt H f = R { 3}. Funkcia je na celom definičnom obore rastúca a teda je prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f () definovaná na množine D f = H f = R { 3}. Určíme inverznú funkciu: 3 +2 = 4, (4 )=3 +2, 4 2=3 +, (3+)=4 2, = 4 2 3+. Inverznou funkciou k funkcii f() = 3+2 je funkcia 4 f () : = 4 2 3+, R { 3}. c) Definičný obor funkcie f() = 3 je D f = (,3, obor hodnôt H f = 0, ). Funkcia je klesajúca a teda prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f (), ktorá je definovaná na intervale D f = H f = 0, ). Určíme inverznú funkciu: = 3, 2 =3, =3 2. Inverznou funkciou k funkcii f() = 3 je funkcia f () : = 3 2, 0, ). d) Definičný obor funkcief() = 4ln(3+2) jed f = ( 3 2, ), obor hodnôth f = (, ). Funkcia je rastúca a teda prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f (), ktorá je definovaná na intervale D f = H f = (, ). Určíme inverznú funkciu: =4ln(3+2), 4 =ln(3+2), e 4 =3+2, e 4 3=2, e 4 3 2 =, = e 4 3 2. Inverznou funkciou k funkcii f() = 4 ln(3 + 2) je funkcia f () : = e 4 3, R. 2 e) Definičný obor funkcie f() = 2 3 + je D f = R, obor hodnôt H f = (, ). Funkcia je rastúca a teda prostá. Eistuje k nej inverzná funkcia f (), ktorá je definovaná na intervale D f = H f = (, ).