TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie: 2007-2013 Prijímateľ: Názov projektu: Stredná odborná škola, Mierová 727, Strážske Moderná škola cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce Kód ITMS projektu: 26110130595 Číslo a názov pozície: 3.1.32 Metodik pre prípravu a tvorbu učebných materiálov pre žiakov v predmete Matematika Spracovala: Mgr. Marta Bočanová Strana 1 z 27

Obsah 1. Rovnice opakovanie 1.1. Rovnosť a rovnica, koreň rovnice 1.2. Lineárne rovnice 1.3. Kvadratické rovnice 1.3.1. Druhy kvadratických rovníc 1.3.2. kvadratických rovníc 1.3.2.1. Kvadratické rovnice bez absolútneho člena 1.3.2.2. Rýdzo kvadratické rovnice 1.3.2.3. Normovaný tvar kvadratickej rovnice 1.3.2.4. Všeobecná kvadratická rovnica úplná 1.4. Cvičenia 2. Funkcie opakovanie 2.1. Opakovanie základných pojmov 2.2. Kvadratická funkcia 2.3. Cvičenia 3. Nerovnice opakovanie 3.1. Kvadratická nerovnica 3.2. Cvičenia 4. Použitá literatúra Strana 2 z 27

1. Rovnice - opakovanie 1.1. Rovnosť a rovnica, koreň rovnice V matematike sa často stretávame s rovnosťou dvoch výrazov. Znamená to, že sa dva výrazy rovnajú. Prvý výraz označíme veľkým písmenom L nachádza sa na ľavej strane. Druhý výraz označíme veľkým písmenom P nachádza s na pravej strane. Čiže dva výrazy sa rovnajú a zapíšeme to L = P. Ak je vo výraze aj neznáma x, vzniká rovnica. Pomocou rovnice zistíme, pre ktoré čísla platí, že L = P. To znamená, že ak za premennú x dosadíme číslo, dostanem rovnosť dvoch výrazov. Všetky takéto čísla nazývame koreňmi rovnice, alebo riešením rovnice. Množinu takýchto čísel označíme veľkým písmenom K. O správnosti riešenia rovníc je potrebné sa presvedčiť skúškou správnosti. 1.2. Lineárne rovnice Tieto rovnice nazývame aj ako rovnice prvého stupňa. Ak po úprave rovnice pomocou ekvivalentných úprav dostaneme tvar, hovoríme o lineárnej rovnici. Ekvivalentné úpravy: ak k obidvom stranám rovnice pripočítame ten istý výraz, koreň rovnice sa nemení ak obidve strany rovnice násobíme tým istým výrazom rôznym od nuly obidve strany rovnice môžeme zameniť Okrem týchto úprav používame pri riešení rovníc aj tzv. dovolenú úpravu: obidve strany rovnice môžeme umocniť rovnakým mocniteľom Táto úprava nie je ekvivalentná, preto musíme urobiť skúšku správnosti riešenia. Máme koreň rovnice. Je to jediný koreň rovnice a je ním číslo 4. Ak použijeme úpravu č. 4 umocníme obidve strany, dostaneme rovnicu, lenže táto rovnica má dva korene a sú to čísla 4, -4. Pri úpravách lineárnych rovníc postupujeme takto: 1.) Odstránime zátvorky 2.) Odstránime zlomky vhodným vynásobením obidvoch strán 3.) Rovnicu upravíme na tvar a obidve strany vydelíme číslom a Strana 3 z 27

1.3. Kvadratické rovnice Kvadratickou rovnicou s jednou neznámou nazývame každú rovnicu, ktorú môžeme ekvivalentnými úpravami upraviť na tvar kde: x je neznáma, premenná a, b, c sú koeficienty, ktoré sú reálnymi číslami Celý tento výraz ax 2 + bx + c nazývame kvadratický trojčlen Člen ax 2 sa nazýva kvadratický člen Člen bx sa nazýva lineárny člen Člen c sa nazýva absolútny člen 1.3.1. Druhy kvadratických rovníc Všeobecný tvar kvadratickej rovnice, kde a 0, b 0, c 0. Normovaný tvar kvadratickej rovnice x 2 + bx + c = 0, kde a = 1, b 0, c 0 alebo x 2 + px + q = 0 Pre korene x 1 a x 2 normovanej rovnice platí:,. Rýdzo kvadratická rovnica ax 2 + c = 0, kde a 0, b = 0, c 0 (chýba nám tu lineárny člen bx = 0) Kvadratická rovnica bez absolútneho člena ax 2 + bx = 0, kde a 0, b 0, c = 0 (chýba nám tu absolútny člen c = 0). 1.3.2. kvadratických rovníc 1.3.2.1. Kvadratické rovnice bez absolútneho člena. Tento druh kvadratických rovníc riešime pomocou vyberania neznámej pred zátvorku. Potom použijeme poučku: Súčin čísel sa rovná nule, ak aspoň jedno z čísel je nula. Riešte kvadratickú rovnicu 3x 2 + 7x = 0 Strana 4 z 27

3x 2 + 7x = 0 / teraz vyberieme pred zátvorku neznámu x X (3x +7) = 0 /teraz sme rozložili výraz na súčin, riešime poučkou o súčine x = 0 /prvé číslo sa rovná 0 x 1 = 0 druhé číslo súčinu sa rovná nule 3x + 7 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu 3x = -7 x= - / druhé číslo sa rovná nule x 2 = - Skúška x = 0 L = 0. ( 3.0 + 7) = 0 P = 0 x = - L = 3.( ) 2 + 7.( ) = 3. - 7. = 0 P = 0 Rovnica má korene x 1 = 0, x 2 = Rovnica má korene K = {0, -7/3} 1.3.2.2. Rýdzo kvadratické rovnice Takéto rovnice riešime rozkladom na súčin dvojčlena, alebo rovnicu jednoducho odmocníme. Nesmieme zabudnúť, že odmocnina čísla má dve riešenia. Jedno so znamienkom + a jedno so znamienkom -. Riešte kvadratickú rovnicu x 2 = 16 x 2-16 = 0 /rozložíme na súčin dvojčlenov Strana 5 z 27

(x + 4 ). (x - 4) = 0 / teraz využijeme poučku: súčin čísel sa rovná nule, ak aspoň jedno číslo sa rovná nule. Uvažujeme, že prvé číslo sa rovná nule. x + 4 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu x 1 = - 4 Teraz druhé číslo sa rovná nule. x 4 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu x 2 = 4 Skúška x = -4 L (-4) 2 16 = 16 16 = 0 P = 0 x = 4 L 4 2 16 = 0 P = 0 16 16 = 0 Rovnica má dve riešenia x 1 = -4, x 2 = 4 K = {-4,4} Riešte kvadratickú rovnicu x 2 = 81 x 2 = 81 /rovnicu jednoducho odmocníme x = 81 /nesmieme zabudnúť, že odmocninou čísla sú dva korene x 1 = +9, x 2 = -9 Skúška Pre x 1 = 9: L = 9 2 = 81 P = 81 Pre x 2 = -9: L = (-9) 2 = 81 P = 81 Koreňmi rovnice sú čísla x 1 = -9, x 2 = 9 K = {-9,9} Strana 6 z 27

Riešte kvadratickú rovnicu 2x 2 + 3 = 0 2x 2 + 3 = 0 2x 2 = - 3 x 2 = - /teraz by sme mali rovnicu odmocniť, lenže odmocniť môžeme len čísla kladné, nanajvýš rovné nule. Takže záporné číslo - nevieme odmocniť v R a preto daná rovnica nemá riešenie v R. K= Ø 1.3.2.3. Normovaný tvar kvadratickej rovnice Normované kvadratické rovnice riešime skusmo, pomocou vlastností koreňov kvadratickej rovnice, alebo doplnením na úplný štvorec. V množine R riešte kvadratickú rovnicu x 2 +2x 63 = 0 Rovnicu x 2 + 2x 63 = 0 riešime doplnením na úplný štvorec x 2 + 2x - 63 = 0 x 2 + 2x = 63 /teraz dvojčlen na ľavej strane doplníme na kvadratický trojčlen, podľa vzorca by sme za B 2 mali dosadiť číslo 1 x 2 + 2x +1 = 63 + 1 / číslo 1 pripočítame k obidvom stranám, aby bola zachovaná rovnosť strán, ľavú stranu upravíme na súčin dvojčlena (x + 1) 2 = 64 /odmocníme x + 1 = 8 x + 1 = 8 x + 1 = - 8 x 1 = 7 x 2 = - 9 Skúška Pre x 1 = 7: L 1 = (7) 2 + 2. 7 63 = 49 + 14-63 = 0 P 1 =0 Pre x 2 = -9: L 2 = (-9) 2 + 2. (-9) 63 = 81-18 63 = 81 81 = 0 P 2 =0 Strana 7 z 27

Tejto rovnici vyhovujú korene x 1 = 7, x 2 = -9 K = {7,-9} Riešte rovnicu x 2 - x - 6 = 0 pomocou vlastností koreňov x 2 - x - 6 = 0 pre korene platí: p = -(x 1 + x 2 ) a q = x 1. x 2 V našej rovnici p = -1, q = -6 p = - (x 1 + x 2 ) q = x 1.x 2-1 = - (x 1 + x 2 ) /.( -1) - 6 = x 1.x 2 1 = x 1 + x 2 Za predpokladu, že sú korene celé čísla, platí - 6 = - 1. 6, alebo 6. (-1), alebo - 3. 2, alebo -2. 3 súčasne platí -p = x 1 + x 2, čiže 1 = x 1 + x 2. Ak urobíme súčet koreňov -1 +6 1 ani 6 + (-1) 1 ani -3 + 2 1 ale -2 + 3 = 1. Takže koreňmi rovnice budú čísla x 1 = -2, x 2 = 3. Skúška Pre x 1 = -2: L 1 = (-2) 2 - (-2) 6 = 4 + 2 6 = 0 P 1 = 0 Pre x 2 = 3: L 2 = 3 2 3 6 = 9 9 = 0 P 2 = 0 K = {-2,3} Na určenie koreňov normovanej kvadratickej rovnice máme aj vzorec 1.3.2.4. Všeobecná kvadratická rovnica úplná Tvar všeobecnej kvadratickej rovnice je ax 2 + bx + c = 0, a 0, b 0, c 0, a 1. Jej korene určíme pomocou vzorca, kde D = b 2 4ac nazývame diskriminant kvadratickej rovnice. Strana 8 z 27

Keď je diskriminant b 2 4ac 0 ( kladné číslo), má kvadratická rovnica dva rôzne korene. Keď je diskriminant b 2 4ac = 0, má kvadratická rovnica jeden dvojnásobný koreň. Keď je diskriminant b 2 4ac < 0 (záporný) nemá rovnica v R koreň. Pri riešení rovnice je dobré najprv určiť hodnotu diskriminantu D, a až potom dosadiť do vzorca pre výpočet koreňov kvadratickej rovnice. Riešte kvadratickú rovnicu 12x 2-5x -3 = 0 v R Určíme si koeficienty jednotlivých členov a = 12, b = - 5, c = -3 Teraz si určíme hodnotu diskriminanta D = b 2 4ac = (-5) 2 4-12.(-3) = 25 + 144 = 169 D > 0, rovnica má dva rôzne korene. Na ich výpočet použijeme vzorec X 1 = - x 2 = Koreňmi tejto rovnice sú čísla x 1 = -, a x 2 =. K = {-1/3;3/4} Riešte kvadratickú rovnicu x 2 8x + 16 = 0 v množine R Určíme si jednotlivé koeficienty a = 1, b = -8, c = 16 D = (-8) 2 4.1.16 = 64-64 = 0 D = 0, z toho vyplýva, že rovnica má len jedno riešenie. X 1,2 = = = = 4 Koreňom tejto rovnice je číslo 4. K = {4} Strana 9 z 27

Riešte rovnicu 2x 2-5x + 6 = 0 v množine R Určíme si koeficienty a = 2, b = -5, c = 6 Určíme si D. D = (-5) 2 4.2.6 = 25 48 = -23 Keďže D rovnica nemá riešenie v R, ďalšie riešenie nie je nutné. K = Ø 1.3.3. Cvičenia 1. Riešte rovnice a.) (x 2)(x - 1) = 0 b.) (x + 3)(2x - 5) = 0 c.) (5 3x)(-2x - 5) = 0 a.) {2;1} b.) {-3;2,5} c.) { } 2. Riešte kvadratické rovnice v množine R a.) (u - 2) 2 = 0 b.) (0,5 - u) 2 = 0 c.) (2u - 11) 2 = 0 d.) v 2 4 = 0 a.) {2;0 } b.) {0;5} c.) {5;5} d.) {-2;2} 3.) Riešte kvadratické rovnice v množine R a.) x 2-6x + 8 = 0 b.) x 2 6x + 5 = 0 c.) 4x 2 4x 1 = 0 d.) x 2 + x + 1 = 0 e.) 3x 2 + 5x + 1 = 0 f.) 6x 2 + 7x + 1 = 01 a.) {2;4} b.) {5;2} c.) {, } d.)nemá riešenie, e.) {, } f.) {-1;- } 4. Riešte v množine R dané kvadratické rovnice a.) 5x 2 +10x-36 = -3(x+2) 2 + 24x-23 b.) - 1 = 0 a.) {, } b.) { }) 5. V pravouhlom trojuholníku je jedna odvesna o 1 m kratšia ako prepona, druhá o 2 m kratšia ako prepona. Určte dĺžky všetkých strán trojuholníka. {3m;4m;5m} Strana 10 z 27

2. Funkcie - opakovanie 2.1. Opakovanie základných pojmov Funkcia vyjadruje vzťah medzi číslami, kde zmena jedného má za následok zmenu ďalších čísel. Funkcia znamená predpis, ktorým sa ku každému číslu x priraďuje jedno a len jedno číslo y. Číslo x nazývame nezávislá premenná, (nezávisí od iného čísla). číslo y nazývame závislá premenná (závisí, mení sa, podľa čísla x). Napríklad vo vzorci y = ax sú tri veličiny a čas potrebný na výrobu jedného výrobku, x počet výrobkov, y výrobný čas všetkých výrobkov. X a y sú premenné, číslo a voláme konštantou. Množinu všetkých hodnôt premennej x voláme definičný obor funkcie f, označujeme ho D(f). Množinu všetkých hodnôt premennej y nazývame obor hodnôt funkcie f. Označujeme ho H(f). Ku každému x je pomocou vzorca priradené práve jedno y. x a y tvoria usporiadanú dvojicu [x, y] ϵ f. Máme danú funkciu g s definičným oborom R, v ktorej každému číslu x ϵ R je priradené číslo 2,5x; čiže pre každé x ϵ D(f) sa hodnota funkcie g rovná 2,5x. Funkciu g môžeme zapísať viacerými spôsobmi: g = {[x, y] ϵ R x R: y = 2,5x} Jednoduchší zápis: g : y = 2,5x, x ϵ R čítame funkcia g s definičným oborom R, v ktorej každému x ͼ R je priradené y = 2,5x. Stručnejší zápis : y = 2,5x, x ϵ R čítame funkcia y = 2,5x s definičným oborom R ďalšie zápisy funkcie x 3x, x ϵ R f(x) = 3x, x ϵ R Zápis f(a) znamená hodnotu funkcie f pre hodnotu a premennej x. Strana 11 z 27

2.2. Kvadratická funkcia Definícia : Funkcia f: y = a +bx +c, x ϵ R, kde a,b, c ϵ R, a 0, sa nazýva kvadratická funkcia. Výraz ax 2 +bx +c sa nazýva kvadratický trojčlen. Výraz ax 2 sa nazýva kvadratický člen. Výraz bx voláme lineárny člen, a c je absolútnym členom kvadratického trojčlena. Čísla a, b, c sa nazývajú koeficienty kvadratického trojčlena. Číslo D = b 2 4ac sa nazýva diskriminant kvadratického trojčlena. Krivka, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, sa nazýva parabola. Túto krivku tvoria ramená a vrchol paraboly. Je súmerná podľa osi o, ktorá je rovnobežná s osou y, a prechádza cez vrchol paraboly. Ak je koeficient a kvadratického člena záporný, nadobúda kvadratická funkcia najväčšie hodnoty pre x = -, (t. j.vrchol je najvyšší bod paraboly. Parabola je otvorená nadol ). Ak je koeficient a kvadratického člena kladný, nadobúda kvadratická funkcia najmenšie hodnoty pre. ( t.j. vrchol je najnižší bod paraboly. Parabola je otvorená nahor ). Ak je diskriminant D < 0, nepretína os x Ak D = 0 je vrchol jediný spoločný bod s osou x Ak D > 0 pretína parabola os x v dvoch jej bodoch koreňoch rovnice ax 2 + bx + c = 0. Postup pri vyšetrovaní kvadratickej funkcie: 1. Podľa znamienka koeficienta pri kvadratickom člene rozhodneme o type grafu vyšetrovanej funkcii. 2. Určíme súradnice vrcholu paraboly, zostrojíme vrchol a zostrojíme os paraboly, ktorá prechádza vrcholom V paraboly. 3. Zostavíme tabuľku hodnôt y vyšetrovanej funkcie pre zvolené x, zostrojíme príslušné body a spojíme ich. Strana 12 z 27

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x 2 a zostrojte jej graf. Teraz si vyhodnotíme koeficienty. Koeficient kvadratického člena a = 1, a súčasne a > 0 To nám súčasne ukazuje na to, aký bude tvar paraboly. Ešte nám chýba hĺbka paraboly. Preto si teraz vypočítame diskriminant. Diskriminant D = b 2 4.ac = 0 V = [0.0] Načrtneme si graf Na grafe vidíme, že celý graf je nad osou x. Obor funkčných hodnôt sa ukazuje iba na R+ Strana 13 z 27

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = 2x 2 a zostrojte jej graf. Teraz pouvažujeme. Vieme že koeficient kvadratického člena je dvakrát väčší ako v rovnakej rovnici. Čiže vieme, že a = 2, a vieme že aj a > 0. Vidíme, že je graf podobný minulému grafu. Vypočítajme diskriminant. Diskriminant D = 0. Takže bod, v ktorom bude parabola najnižšie, bude mat najnižšie hodnoty, bude D = (0,0} Nakreslíme si graf Vo výsledku vidíme, že graf je tak isto ako aj predchádzajúci graf, iba nad osou x. Jeho ramená sú bližšie k osi y. Strana 14 z 27

Vyšetrite kvadratickú funkciu f:y = -3x 2 a zostrojte jej graf. Vypočítame si koeficient kvadratického člena. Je ním číslo a = -3.Takže a < 0. Z toho budú vychádzať aj výsledky. Ideme si vypočítať výsledky. D = b 2 4ac =0 2 4.(-3 ).0 = 0 D = O X = 0 y = 0 Takže diskriminant bude D = (0,0) Načrtneme graf P = R - Takto vyzerá graf funkcie. Obor pravdivosti je teraz R- Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = -3 x 2 + 3 Strana 15 z 27

Na prvý pohľad je táto rovnica ako tá pred ňou, no má aj absolútny člen 3. Teraz si nájdeme koeficienty. Kvadratický člen má za koeficienta písmeno a a jeho hodnota je a = -3. Ďalší koeficient je koeficient c. Jeho hodnota je rovná +3. Treba nám vypočítať, aký bude graf. Teraz si vypočítame hodnoty vzorca. Diskriminant D = b 2 4ac = 0-4.(-3).3 = 0 + 36 = 36 Teraz si vypočítame vrchol. Pre x = = 0. Pre y = = 3 0 = 3 Teraz má aj svoje posunutie. Nakreslíme graf. P = (0,3) Ramená idú do opačnej strany, lebo a = -3 Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x 2 + 2x 3 a zostrojte jej graf. Pri kvadratickom člene sa v našej situácii nachádza koeficient a, a = 1, a > 0. Teraz je parabola funkcie otvorená nahor. A bod V je jej najnižším bodom. Pre koeficienty a = 1, b = 2, c = -3. Teraz je čas na vrchol V. X = - = -1 y = c - = - 4 Vrchol má nove hranice a sú to V = [-1,-4] Teraz si zostrojíme graf. Strana 16 z 27

Vidíme, má že tento graf má dva body, ktorými prechádza. Zastavuje sa na najnižšom bode. Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x 2-6x +9 a zostrojte graf funkcie Zistili sme, že koeficient kvadratického člena a=1, a>0, potom z toho vyplýva, že graf funkcie bude otvorený hore. Zistíme si súradnice vrcholu V = [x;y] Koeficienty sú z našej rovnice a = 1, b = -2, c = 9 x = - = 3 Y = c = 0 Vrchol bude mať teraz súradnicu V = [3,0]. Koeficient a = 1, znamená, že ramená grafu budú hore. Strana 17 z 27

Graf funkcie P = R+ Vyšetrite priebeh kvadratickej funkcie f: y = - x 2 +2x 2 Určíme koeficient kvadratického člena a=-1, a<0. Z tohto zistenia vidíme, že graf bude dole otvorený a jeho najvyšším bodom bude vrchol ( graf bude mať tvar kopca). Teraz zistíme súradnice vrcholu V, pričom hodnoty ďalších koeficientov sú b=2, c=-2 a z toho vyplýva, že vrchol V má súradnice [1,-1]. Strana 18 z 27

Pomocou tabuľky si určíme súradnice ďalších bodov grafu. X -2-1 0 1 2 3 4 Y -10-5 -2-1 -2-5 -10 Nakreslíme si graf Aj keď je rovnica na konci, môžeme si všimnúť jej postavenie. Paragraf je na konci najlepším dôkazom toho, o čom sme rozmýšľali. Vrchol paraboly je V = [1,-1] a ramená idú dole a nie hore. Tak potom je správne otvorený náš graf. Strana 19 z 27

2.3. Cvičenia 1.) Doplňte tabuľku hodnôt pre funkciu f: f: y = -X 2 +11X -2 X -2 0 3 3,5 6 129 y 2.) Určte kvadratickú funkciu, ktorej patria dvojice a.) [-4, 49], [-2, 13], [7, 148] b.) [8, -123], [5, -48], [-2,5, -18] a.)f: y = 3x 2 +1 b.)f: y=2x 2 +x-3 3.) Zostrojte grafy nasledujúcich funkcií v intervale (-4,4) a.) f 1 : y = 0,1x 2 b.)f 2 : y = x 2 c.) f 3 : y = -2x 2 d.) f4: y = -3x 2 4.) Určte súradnice vrcholov parabol, ktoré sú grafmi kvadratických funkcii:. a.) y = 0,32x 2 b.) y = 6x 2 +3 c.) y = -2(x-1) 2 d.) y = 5(x+2) 2 f.) y = 2(x+2) 2 + 2 g.) y = 3[(x-1) 2 +1] h.) y = -5(x+7) 2-0,2 a.) V[0,0] b.) V[0,3] c.) V[2,-2] d.)v[2,0] f.) V[-2,2] g.) V[1,3] h.) V[-7,-0,2] 5.) Určte súradnice vrcholov parabol, ktoré sú grafmi daných kvadratických funkcii: a.) y = x 2 + 2x 3 b.) y = - x 2 + 14x 49 c.) y = x 2 4x - 21 a.) V[-1.-4] b.) V[7.0] c.) V[2,-21] Strana 20 z 27

3. Nerovnice - opakovanie l(x) < p(x), l(x) p(x), l(x) > p(x), l(x) p(x), kde výraz l(x) znamená ľavú stranu nerovnice a výraz p(x) znamená pravú stranu nerovnice Nerovnice l(x) < p(x) a l(x) > p(x) voláme ostré nerovnice, Nerovnice l(x) p(x) a l(x) p(x) voláme neostré nerovnice Množinu riešení nerovnice označujeme P alebo P M. Ekvivalentné úpravy nerovníc Pričítanie toho istého čísla alebo výrazu k obidvom stranám nerovnice Násobenie alebo delenie obidvoch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom, ktorý je v obore riešenia nerovnice kladný Násobenie obidvoch strán nerovnice záporným číslom alebo výrazom, ktorý je v obore riešenia nerovnice záporný, a zámena pravej a ľavej strany nerovnice (alebo zmena znaku nerovnosti na opačný). 3.1. Kvadratická nerovnica Nerovnica, ktorú môžeme prepísať pomocou ekvivalentných úprav na tvar ax 2 + bx + c > 0, a 0 ax 2 + bx + c 0, a 0 ax 2 + bx + c < 0, a 0 ax 2 + bx + c 0, a 0 sa volá kvadratická nerovnica s jednou neznámou, kde a, b, c, sú reálne čísla. Postup pri riešení kvadratickej nerovnice: Upravíme danú nerovnicu ekvivalentnými úpravami na niektorý z tvarov kvadratickej nerovnice. Podľa znamienka koeficienta pri kvadratickom člene rozhodneme, či grafom kvadratickej funkcie f : y = ax 2 + bx + c, x ϵ R je parabola otvorená nahor (dolina) alebo otvorená nadol (kopec). Určíme diskriminant D kvadratického trojčlena ax 2 +bx + c, v prípade D 0, určíme korene rovnice ax 2 + bx +c = 0 Načrtneme si graf funkcie f a súčasne určíme riešenie nerovnice. Riešte v množine R dané kvadratické nerovnice. Strana 21 z 27

Riešte v množine R nerovnicu x 2 3x 28 > 0 Nerovnicu prepíšeme na funkciu f: y = x 2 3x 28. Vidíme, že koeficient kvadratického člena je 1>0, preto graf kvadratickej funkcie bude parabola otvorená nahor (dolina). Určíme si diskriminant kvadratického trojčlena. D = (-3) 2 4.1.(-28) = 9 + 112 = 121 D = 121 > 0, takže graf funkcie f pretína os x v dvoch bodoch, ktoré sú aj koreňmi kvadratickej rovnice x 2 3x -28 = 0. Teraz si určíme korene rovnice. X 1,2 = = X 1 = x 2 = =- 4 Teraz si načrtneme graf funkcie, ktorý ma x-ovej osi prechádza bodmi -4, a 7 a je otvorený nahor čiže má tvar doliny. Súčasne y = x 2-3x -28 > 0 (máme urči množinu všetkých x, ku ktorým priradené y podľa funkcie sú väčšie ako 0,. P = (-,-4) (7, ) Iba tieto korene, kde má funkcia kladné korene, môže byť väčšia ako nula. Strana 22 z 27

Riešte v R nerovnicu x 2 +2x 3 0 Nerovnicu prepíšeme na funkciu f: y = x 2 +2x 3. Koeficient kvadratického člena je 1>0, takže graf funkcie bude parabola otvorená nahor (dolina). Určíme si diskriminant kvadratického trojčlena. D = 2 2 4. 1.(-3) = 4 + 12 = 16 D = 16 > 0, z toho vyplýva, že grafom je parabola, ktorá pretína x-ovú os v dvoch bodoch. X 1,2 = X 1 = = 1 x 2 = = -3 P = (-3,1) Náš graf je teraz pod osou x. Patrí k nemu práve táto časť grafu. Riešte v R nerovnicu: 9x 2 +12x+4 0 Keďže koeficient kvadratického člena je 9 > 0, grafom kvadratickej funkcie y = 9x 2 +12x+4 je parabola otvorená nahor. Teraz si určíme hodnotu diskriminantu D = 12 2 4.9.4 = 144 144 = 0 Strana 23 z 27

Pretože D = 0, graf funkcie f sa dotýka x-ovej osi v jedinom bode, ktorý je zároveň koreňom kvadratickej rovnice 9x 2 +12x +4= 0.Vypočítame koreň rovnice X 1 = = Teraz si načrtneme graf funkcie. kedže a>0, musí byť hore otvorený graf, Riešte v R nerovnicu 5x + 3 3x 2 + 10 Našu nerovnicu upravíme pomocou ekvivalentných úprav na nerovnicu -3x 2 + 5x 7 < 0 Určíme si koeficient kvadratického člena, ktorým je číslo -3 je parabola otvorená nadol. 0. Z tejto vlastnosti vyplýva, že grafom Teraz si určíme diskriminant kvadratického trojčlena. D = 5 2 4.(-3).(-7) = 25 84 = -59 <0 Keďže D<0 rovnica nepretína graf v dvoch bodoch, a nepretína x-ovú os ani v jednom bode D< 0, preto graf nepretína x-ovú os. Strana 24 z 27

P = R 3.2. Cvičenia 1.) Riešte v množine R dané nerovnice a.) -2(x - 1) 2 0 b.) -x 2 0 c.) -3(x+1) 2-2 > 0 a.) R b.) {0} c.) 2.) Riešte v množine R dané nerovnice a.) x 2-3x 28 > 0 b.) x 2-3x 28 0 c.) -x 2 + x 17 < 0 d.) x 2 +8x + 16 < 0 a.) ( b.) (-4;7) c.) R d.) Strana 25 z 27

Zoznam použitej literatúry Jirásek F., Braniš K., Horák S., Vacek M. : Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory SOU. 4 vydanie. SPN Bratislava 1997, ISBN 80-08-02633-2 Odvárko O., Řepová J., Skříček L.: Matematika pre študijné odbory SOŠ a SOU. 4. vydanie. SPN Bratislava 1993, ISBN 80-08-02112-8 Odvárko O., Calda E., Řepová J.: Matematika pre SOŠ a študijné odbory SOU. 1. vydanie. SNP Bratislava 1987. Jozífek V., Horák S.: Matematika pre 1. a 2. ročník OU a UŠ. 2. vydanie. SPN Bratislava 1976 Strana 26 z 27

Vydané pre interné účely SOŠ v Strážskom. Autorské práva vyhradené. 2015 Strana 27 z 27