UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V

UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA v NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GEOMETRIA V Kužeľosečk kvdrtické ploch Ondrej Šedivý Dušn Vllo Vdné v Nitre 0 Fkultou prírodných vied Univerzit Konštntín Filozof v Nitre Nitr 0

Názov: Geometri V. Kužeľosečk kvdrtické ploch Autori: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. RNDr. Dušn Vllo, PhD. Recenzenti: PedDr. Luci Rumnová, PhD. Prof. RNDr. Pvel Hnzel, CSc. Edíci: Prírodovedec č. 56 Schválené: Vedením Fkult prírodných vied UKF v Nitre dň. novembr 0 Rukopis neprešiel jzkovou úprvou. Ondrej Šedivý Vdné s finnčnou podporou grntu KEGA 073UKF-4/0 s názvom Didktické postup vučovni mtemtik n II. stupni ZŠ v príprve učiteľov s kcentom n prioritné úloh mtemtik vo vzdelávní v intenciách Štátneho vzdelávcieho progrmu. ISBN: 978-80-558-097- EAN 97880558097 9788055 8097

Obsh Predslov Kužeľosečk Kružnic... 5. Zákldné vlstnosti...... 5. Rovnic kružnice... 7 Elips...... 8. Zákldné vlstnosti...... 8. Rovnic elips... 3 Hperbol...... 9 3. Zákldné vlstnosti... 9 3. Rovnic hperbol... 33 4 Prbol 4 4. Zákldné vlstnosti... 4 4. Rovnic prbol... 44 5 Vzťh kvdrtickej form dvoch premenných rovnice kužeľosečk... 5 5. Zákldné vlstnosti...... 5 5. Kvdrtická form bez člen...... 5 5.3 Kvdrtická form s členom...... 55 Kvdrtické ploch 6 Kvdrtická rovnic s trom neznámmi...... 66 6. Zákldné vlstnosti...... 66 7 Vzťh kvdrtickej form troch premenných rovnice kvdrtickej ploch... 84 7. Zákldné vlstnosti...... 84 Litertúr

Predslov V predmete Geometri sme s venovli nltickej geometrii lineárnch útvrov geometrickým štruktúrm. V tejto učebnici tete predkldáme študentom učebnú látku, ktorej obshom sú vlstnosti kužeľosečiek kvdrtických plôch. Kužeľosečk kvdrtické ploch môžeme študovť sntetickou metódou metódou súrdníc. V tomto študijnom mteriál použijeme metódu súrdníc. Kužeľosečk sú rovinné krivk. Rovinnou krivkou s nzýv množin všetkých ( len tých) bodov, ktorých súrdnice (npr. v prvouhlej súrdnicovej sústve) vhovujú lgebrickej rovnici f (, ) = 0, t.j. dosdené do ľvej strn, ktorá je polnómom, ju nulujú. Stupeň rovnice s nzýv stupňom krivk. Po primke v rovine, ktorá je krivkou. stupň, mjú njjednoduchšie vlstnosti krivk. stupň kužeľosečk. Rovnice kužeľosečiek sú ted kvdrtické rovnice dvoch premenných. Anlogick j ploch druhého stupň sú určené kvdrtickými rovnicmi, le troch premenných. Teóri kužeľosečiek ptrí medzi njstršie geometrické pozntk. Obšírnu teóriu kužeľosečiek vprcovl Apollónius z Perg (si 00 75 pred n. l.) v diele O kužeľosečkách, ktorým si vslúžil titul veľkého geometr. Kužeľosečk možno chápť j ko rezové krivk rovin rotčnej kužeľovej ploch (rovin neprechádz jej vrcholom). Učivo o kužeľosečkách kvdrtických plochách je súčsťou príprv budúcich učiteľov z geometrie. Veríme, že predložená učebnic pomôže študentom zvládnuť j túto čsť učiv geometrie pomôže im v príprve n plnenie úloh v školskej pri. Prjeme študentom veľ úspechov pri štúdiu. V Nitre, 30. októbr 0 Autori

Kužeľosečk Kužeľosečkmi nzývme: kružnicu, elipsu, prbolu hperbolu. Kružnic. Zákldné vlstnosti Nech S je ľubovoľný bod rovin r > 0. Kružnicou k nzveme všetk bod X rovin, ktorých vzdilenosť od bodu S s rovná číslu r (obr. ). Bod S s nzýv stred kružnice. Úsečk SX (lebo číslo r ) je polomer kružnice. Kružnicu dnú bodom S polomerom r budeme oznčovť k( Sr, ). Obr. Obr. Primk s, ktorá má s kružnicou k spoločné dv rôzne bod, nzýv s sečnicou kružnice. Primk t, ktorá má s kružnicou spoločný jediný bod T, nzýv s dotčnicou kružnice, bod T je dotkový bod. Primk m, ktorá nemá s kružnicou spoločný bod, nzýv s nesečnic kružnice (obr. ). Kždá úsečk AB, ktorej koncové bod leži n kružnici, nzýv s tetiv. Ak tetiv obshuje stred kružnice, nzýv s priemer kružnice (obr. 3). Obr. 3 5

Dve rôzne kružnice môžu mť njvic dv spoločné bod. Nech sú dné dve kružnice k ( S, r ), (, ) pltí: ) Ak SS > r+ r, leži kružnice k, k mimo seb (obr. 4). k S r. O vzájomnej polohe dvoch kružníc k, k b) Ak SS = r+ r, kružnice k, k s dotýkjú zvonk (obr. 5). c) Ak r r < SS < r + r, kružnice k, k s pretínjú (obr. 6). d) Ak SS < r r, kde r > r, kružnice k, k s dotýkjú zvnútr (obr. 7). e) Ak 0 < SS < r r, kružnic k leží vo vnútri kružnice k (obr. 8). f) Ak S S, r < r, kružnice k, k sú sústredné (obr. 9). Obr. 4 Obr. 5 Obr. 6 Obr. 7 Obr. 8 Obr. 9 6

. Rovnice kružnice Anltické rovnice kružnice uvedieme v ďlšom. Rozlíšime dv prípd: ) stred kružnice k leží v zčitku prvouhlej súrdnicovej sústv, b) stred kružnice k má súrdnice [ mn, ], ktoré súčsne nie sú rovné 0. ) Kružnic so stredom S [ 0,0] má rovnicu kde r je polomer kružnice. + = r, (.) Obr. 0 b) Kružnic so stredom S[ mn, ] umiestnená v prvouhlej súrdnicovej sústve má rovnicu ( ) ( ) m + n = r, (.) Rovnicu ( ) ( ) Obr. m + n = r môžeme vjdriť v tvre 7

Obrátene, rovnic + m n+ m + n r = 0 (.). A B C D E F + + + + + = 0 (.b) je rovnicou kružnice, k ABCDEFsú,,,,, tké reálne čísl, o ktorých pltí A C B D E AF = 0, = 0, + 4 > 0. D E Stredom tejto kružnice je bod S, A A jej polomer s rovná číslu = + 4. A r D E AF Rovnic (.b) s čsto nzýv všeobecný tvr rovnice kružnice. Ak A= C =, rovnicu kružnice uvádzme v tvre kde M, NL, R. M N L + + + + = 0, (.c) V prvouhlej súrdnicovej sústve má kružnic k so stredom S[ mn, ] polomerom r prmetrické rovnice = m+ r cost = n+ r sin t, t 0,π (.3) Prmeter t 0,π vjdruje geometrick veľkosť uhl, ktorého rmená sú polprimk SA, súhlsne rovnobežná s kldnou polosou polprimk SX, kde X je ľubovoľný bod kružnice k (obr. ). Obr. 8

Ak je stred S v zčitku súrdnicovej sústv, budú prmetrické rovnice mť tvr = r cost (.4) = r sin t, t 0,π Pri vzájomnej polohe primk kružnice sme uviedli dotčnicu kružnicu. V prvouhlej súrdnicovej sústve má rovnic dotčnice t ku kružnici so stredom S[ mn, ] bodom dotku [, ] T (obr. 3) tvr ( )( ) ( )( ) m m n n r + = (.5) V ďlšom zvedieme pojem polár kružnice. Nech je dná kružnic k( Sr, ) bod P. Obr. 3 Množinou všetkých bodov Q hrmonick združených s pevným bodom P (pólom) vzhľdom k priesečníkom primok idúcich bodom P s dnou kružnicou k je primk p, zvná polár. V prvouhlej sústve súrdníc má rovnic polár p kružnice k so stredom S[ mn, ] pólom [, ] P (obr. 4) tvr 0 0 ( m)( m) ( n)( n) r + = (.6) 0 0 0 9

Úloh Obr. 4. Npíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v zčitku O súrdnicovej sústv prechádz bodom M [, 3]. Keďže bod M O, hľdná kružnic eistuje jej rovnic má tvr + = r. Bod M leží n kružnici, jeho súrdnice vhovujú jej rovnici, t.j. pltí ( ) + 3 = r, čiže r = 3. Hľdná rovnic kružnice je + = 3.. Npíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred S [ 4,5] prechádz bodom A [ 6,]. Keďže A S, hľdná kružnic eistuje. Ak dosdíme do rovnice (. ) súrdnice stredu m= 4, n= 5, dostneme Potrebné je určiť jej polomer. ( 4) ( 5) + + = r. Bod A leží n kružnici, preto jeho súrdnice = 6, = vhovujú rovnici kružnice, t.j. 6+ 4 + 5 = r, pltí ( ) ( ) čiže ( ) r = 0 + 4 = 6. 0

Rovnic kružnice je ( ) ( ) + 4 + 5 = 6, resp. + + 8 0 75= 0..3 Npíšte rovnice kružnice so stredom [,3] rovnice dotčnice v bode [ 4, 0] T T >. Rovnic kružnice podľ (. ) je S polomerom r = 5. Npíšte ( ) ( ) + + 3 = 5, lebo + + 6 5= 0. Bod T leží n kružnici, preto je + =. 6 T 8 T 5 0 Odtiľ ( ) ( ) = 7, =. T T Úlohe vhovuje bod T [ 4,7]. Dotčnic t v bode T má podľ (.5 ) rovnicu ( )( ) ( )( ) 4+ + + 7 3 3 5= 0, po úprve 3 4+ 40= 0..4 Npíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádz bodmi A [ 7,3], [,6] C [ 5, ]. Ak eistuje hľdná kružnic, potom má rovnicu M N L B, + + + + = 0. Keďže hľdná kružnic je určená bodmi ABC,,, ich súrdnice vhovujú dnej rovnici. Tk dostávme tri rovnice 58+ 7M + 3N + L= 0 40 M + 6N + L= 0 6+ 5M N + L= 0 Riešením tejto sústv troch rovníc je M = 4, N = 6 L =. Hľdná rovnic je potom + 4 6 = 0. Po úprve ( ) ( ) jej stred je S [,3] polomer r = 5. + 3 = 5,.5 Určte rovnicu kružnice so stredom [ 5,4] vtín tetivu dĺžk 8 (obr. 5).. spôsob S, ktorá n primke : + 3= 0

Určíme vzdilenosť stredu S od primk. Obr. 5 Vužijeme prvouhlý trojuholník SRV, vpočítme polomer r. 5+.4 3 0 v= = = 5 + 5 Použili sme vzorec pre výpočet vzdilenosti bodu od primk. Pretože 4 RV =, môžeme npísť ( ) r = 5 + 4 = 36. Rovnic hľdnej kružnice je ( ) ( ) 5 + 4 = 36, po úprve + 0 8 + 5= 0.. spôsob Rovnic kružnice so stredom S [ 5,4] je ( 5) ( 4) + = r (). Určíme súrdnice priesečníkov primk + 3= 0 s kružnicou riešením sústv rovníc ( 5) ( 4) + = r () + 3= 0 (3) Riešime po úprve = 3 ( ) ( 4) + + = r, 5 r 0 =,

odkiľ, r 0 =±, 5 tkže, r 0 = 3±. 5 Pretože dĺžk tetiv je 8, vzdilenosť bodov [, ],[, ] ted ( ) ( ) je 64 + =, r 0 r 0 + 4 = 64 5 5 4 6 ( r 0) + ( r 0) = 64 5 5 r 0= 6 r = 6 Rovnic hľdnej kružnice je ( ) ( ) 5 + 4 = 36..6 Určte rovnicu kružnice, ktorá prechádz bodmi A[ 5,3, ] B [ 6,] má stred n primke 3 4 3= 0. Ak hľdná kružnic eistuje, má rovnicu ( ) ( ) A[ 5,3, ] B [ 6,] musi vhovovť dnej rovnici stred [, ] m + n = r. Súrdnice bodov S mn leží n dnej primke, jeho súrdnice musi vhovovť rovnici 3 4 3= 0. Tým dostávme sústvu troch rovníc s tromi neznámmi: Riešením dostneme ( 5 ) ( 3 ) m + n = r ( 6 ) ( ) m + n = r 3m 4n 3= 0 m n r = 9, = 6, = 5. Rovnic hľdnej kružnice je ( ) ( ) 9 + 6 = 5, po úprve + 8 + 9= 0..7 Určte rovnicu dotčnice kružnice + = 89 v jej bode T[ 8, ]. 3

Súrdnice dotkového bodu [ 8, ] T vhovujú rovnici kružnice, preto 64+ = 89, čiže = 5, tkže = 5, = 5. Rovnic dotčnice dnej kružnice v bode T [ 8,5] je + = 89 8+ 5 89= 0. Rovnic dotčnice dnej kružnice v bode T [ 8, 5] je 8 5 89= 0..8 Určte rovnicu tej dotčnice kružnice + = 0, ktorá je rovnobežná s primkou = + 7. Dotčnic dnej kružnice v dotkovom bode T[, ] 0 + = ( ) má rovnicu Dotkový bod T leží n kružnici, preto 0 + =. Smernic k hľdnej dotčnice je podľ ( ) =. k Dná primk = + 7 má smernicu k =, ted =, =. Riešením sústv + = 0 = dostneme =, =. Prvá dotčnic má dotkový bod [ ] 4, po úprve + 0= 0. Druhá dotčnic má dotkový bod [ ] po úprve 0= 0. T rovnicu 4+ = 0, T 4, rovnicu 4 = 0,.9 Určte rovnice dotčníc prechádzjúcich bodom M [ 3,5;0,5] ku kružnici + = 6,5. (obr. 6) 4

Rovnic dotčnice kružnice 6,5 + = 6,5 v dotkovom bode T[, ] je + =. Pretože hľdná dotčnic prechádz bodom M [ 3,5;0,5] súrdnice vhovujú rovnici Bod T leží n kružnici, preto 3,5 0,5 6,5 + = ( ) 6,5 + = ( ) Riešením sústv rovníc ( ) ( ) vpočítme súrdnice dotkových bodov. Z rovnice ( ) vjdríme,5 7, jeho = dosdíme do rovnice ( ) : ( ) +,5 7 = 6,5, po úprve dostneme 7 6 0 + = ( 3 ) Odtiľ =, =,5. Z rovnice ( ) potom plnie Dotčnic t má dotkový bod [ ] =,5 4=,5 =,5 0,5= po úprve 8 6 5= 0. Dotčnic t má dotkový bod [ ] po úprve 6+ 8 5= 0. T ;,5, rovnicu,5 = 6,5, T,5;, rovnicu,5 + = 6,5, Obr. 6 5

.0 Npíšte v prvouhlej sústve súrdníc všeobecnú rovnicu kružnice k dnej prmetrickými rovnicmi. = + cost Uprvme prmetrické rovnice ( ) n tvr () = + sin t, t 0,π cost = + ( ) sint = Po umocnení sčítní rovníc ( ) dostneme t+ t = ( + ) + ( ) sin cos. Po použití identit Po úprve sin t cos t + =, je ( ) ( ) + + 4 + 4= 0. + + =.. Zistite vzájomnú polohu kružnice + = 6,5 primok ) primk p s rovnicou 3 4 0= 0, b) primk p s rovnicou 8+ 6 5= 0, c) primk p 3 s rovnicou + + 4= 0, ) Súrdnice[ spoločného, ] bodu primk kružnice vhovujú rovnicim Z rovnice ( ) vjdríme ( ) ( ) 3 4 0= 0 + = 6,5 4 + 0 3 =, po dosdení do ( ) 5 6 8,75 0 + + =, dostneme kvdrtickú rovnicu ktorá má diskriminnt D = 56 75= 8> 0. Rovnic má dv reálne korene Potom z rovnice ( ), 6± 9 = 0 = 0,7, =,5 vplýv =,4; = 0. Primk p je ted sečnicou dnej kružnice pretín ju v bodoch R[,4; 0,7], [ 0;,5] Q (obr. 7). 6

Obr. 7 b) Anlogick riešením sústv rovníc 6 + 5 = 8 + = 6,5 4 ( 3) ( ) dostneme kvdrtickú rovnicu 4 9 0 + =. Jej diskriminnt je D = 44 44= 0. Rovnic má dvojnásobný koreň =,5, potom =. Primk p je dotčnicou dnej kružnice s dotkovým bodom [ ;,5] T (obr. 8). Obr. 8 7

c) Riešením sústv rovníc = 4 5 ( ) ( ) + = 6,5 6 dostneme kvdrtickú rovnicu 4 9 0 + =. Diskriminnt tejto rovnice je D = 64 78= 4< 0, preto rovnic nemá v obore reálnch čísel riešenie. Primk p 3 dnú kružnicu nepretín, je jej nesečnicou. (obr. 9).. Elips Obr. 9. Zákldné vlstnosti Elipsou nzývme množinu všetkých bodov M v rovine, ktorých súčet vzdileností od dvoch pevných bodov F, F s rovná konštnte > 0 (obr. 0). FM + FM =, FF < ( ) Obr. 0 8

Bod F, F s nzývjú ohniská elips číslo s nzýv dĺžk hlvnej osi elips. Stred S úsečk FF s nzýv stred elips, číslo e= SF = SF = FF je ecentricit (výstrednosť) elips. Číslo s nzývjú ohniskové sprievodiče bodu M. b= e je dĺžk vedľjšej polosi elips. Úsečk FM, FM Z definície elips vplýv konštrukci bodov elips, k poznáme ohniská dĺžku > FF. Nech je dná úsečk PQ, PQ = bod F, F, ktoré sú ohniská elips (obr. ). Rozdelíme úsečku PQ bodom R n dve úsečk dĺžok r, r. Priesečník M, M kružníc k ( F, r ) (, ) M, M elips. 3 4 k F r sú bod elips. Ak vmeníme úlohu ohnísk, získme ďlšie dv bod Obr. Z konštrukcie vplýv súmernosť bodov elips podľ primk FF podľ primk CD, kde bod, CD zostrojíme pomocou kružníc (, ), (, ) k F k F je polovic úsečk PQ. Potom elips je súmerná j podľ stredu S, kde S je stred úsečk FF. N primke FF zostrojíme bod AB, elips, AS = SB =. Bod AB, nzývme vrchol hlvnej osi, bod CD, sú vrchol vedľjšej osi. Z vššie uvedeného vplýv, že elips je určená svojimi vrcholmi (obr. ). 9

Obr. Ak sú dné osi elips, potom môžeme vužiť finný vzťh medzi elipsou kružnicou použiť tzv. zástvkovú konštrukciu elips (obr. 3 obr. 4). Obr. 3 Obr. 4 Pri rsovní elips v okolí jej vrcholov občjne nhrdzujeme oblúkmi kružníc, npríkld tzv. hperoskulčných kružníc. Konštrukcie ich stredov S, S, S3, S 4 sú znázornené n obr. 5. Obr. 5 Použijeme dve osové finit, kde osmi finit sú primk, n ktorých leži osi elips. 0

Primk elips môžu mť trojkú vzájomnú polohu. Buď mjú spoločné dv bod (primk je sečnicou), lebo mjú jediný spoločný bod (primk je dotčnic, spoločný bod je bodom dotku), lebo nemjú spoločný bod (primk je nesečnic). Dotčnicu t v bode M elips, ktorej vrchol hlvnej osi sú AB,, vrchol vedľjšej osi sú CD, ohniská F, F (obr. 6) zostrojíme tkto: Určíme tú os uhlov sprievodičov FM, FM, ktorá pretín hlvnú os AB mimo úsečk FF. To je hľdná dotčnic t, pretože pltí, že dotčnic rozpoľuje tzv. vonkjší uhol sprievodičov. Obr. 6 Zostrojme bod Q súmerne združený s bodom F vzhľdom n os t. Leží n kolmici vednej bodom F n primku t. Stred úsečk FQ je pät P tejto kolmice n primku t. Zo zhodnosti trojuholníkov MPF MPQ vplýv, že bod Q leží n primke FM. Odtiľ vplýv MF = MQ FM + FM = pltí FM + MQ = FQ =. Ak zostrojíme bod nlogick bodu Q pre ďlšie dotčnice elips, budú tieto ležť n kružnici so stredom F s polomerom. Túto kružnicu nzývme ridicou kružnicou elips. Ďlej je FS : FF = : FP : FQ = :. Je ted SP =.

Preto, k zostrojíme bod obdobné bodu P n osttných dotčnicich elips, budú ležť n kružnici so stredom S polomerom. Túto kružnicu nzývme vrcholová kružnic elips (obr. 7). Obr. 7. Rovnic elips Nech je dná prvouhlá súrdnicová sústv. Umiestnime elipsu v nej tk, že S ohniská F, F leži n osi (obr. 8). = O Pre bod M elips pltí: Obr. 8 FM + FM =, ( ) ( ) FM = + e + ( ) FM = e +. potom ( + e) + + ( e) + = ( ) Po úprve s vužitím vzťhu b = e dostneme

b + =. ( 3 ) Rovnicu ( 3 ) nzývme rovnicou elips v stredovom tvre so stredom v zčitku súrdnicovej sústv s ohniskmi n osi. Ak ohniská elips zvolíme n osi stred opäť v zčitku O (obr. 9), dostneme rovnicu b + =. ( 4 ) Obr. 9 Elips, ktorá má stred S[ mn, ] jej hlvná os je rovnobežná s osou (obr. 30), má rovnicu ( m) ( n) + =, ( 5 ) b kde je dĺžk hlvnej, b je dĺžk vedľjšej polosi elips. Obr. 30 Elips, ktorá má stred S[ mn, ] jej hlvná os je rovnobežná s osou, má rovnicu 3

( m) ( n) + = ( 6 ) b Túto rovnicu nzývme rovnicou elips v tzv. osovom tvre. Rovnic A C D E F + + + + = 0 ( 7 ) je rovnicou elips, k ACDEF,,,, sú čísl, o ktorých pltí A> 0, C > 0 A C lebo A< 0, C < 0 A C. V prvouhlej súrdnicovej sústve má elips, ktorej ohniská sú F [ e,0, ] F [ e,0] polos vedľjši polos b, prmetrické rovnice tvru = cost = bsin t, t 0,π ( 8 ), hlvná Ak je stredom elips bod S[ mn, ] ohniská leži n rovnobežke s osou, prechádzjúcej stredom S, má prmetrické rovnice tvru = m+ cost = n+ bsin t, t 0,π ( 9 ) V prvouhlej súrdnicovej sústve súrdníc rovnic dotčnice elips dnej rovnicou v osovom tvre so stredom S[ mn, ] bodom dotku [, ] T je ( m)( m) ( n)( n) + = ( 0 ) Množinou všetkých bodov Q hrmonick združených s pevným bodom P (pólom) vzhľdom k priesečníkom primok idúcich pólom P s dnou elipsou je primk p, nzývná polár. Ak leží bod P zvonku elips, potom polárou p bodu P vzhľdom k elipse je spojnic bodov dotku T, T dotčníc vedených z bodu P k elipse (obr. 3). Ak bod P leží n elipse, potom polárou p bodu P vzhľdom k elipse je dotčnic elips idúc bodom P. Ak bod P leží vo vnútri elips, potom polár p bodu P vzhľdom k elipse nemá s dnou elipsou spoločný bod. b 4

Obr. 3 V prvouhlej sústve súrdníc rovnic polár elips, ktorá má stred S[ mn, ], pól [, ] P, 0 0 je ( m)( m) ( n)( n) + = ( ) b Úloh. Npíšte rovnicu elips v stredovom tvre, k jej hlvná polos má dĺžku = 5 ecentricit je e = 3. Pretože pre elipsu pltí rovnice elips je e = b, je b = e = 5 9= 6. Tkže stredový tvr + =. 5 6. Určte dĺžk polosí súrdnice ohnísk elips dnej rovnicou 5 9 900 + =. Ak vdelíme dnú rovnicu číslom 900, dostneme + =. 36 00 Z tejto rovnice môžeme usúdiť, že stred je v zčitku O ohniská leži n osi. Tkže = 0, b = 6, [ 0,8, ] [ 0, 8] F F. e = b = 00 36= 64, t.j. e = 8. Potom súrdnice ohnísk sú 5

.3 Npíšte rovnicu elips v stredovom tvre, ktorej ohnisko je F [ 4,0 ] prechádz bodom M [ 3,]. Zo súrdníc ohnisk vplýv, že e = 4, potom b = 6, = 6 + b. Ak bod M je bodom elips, musi súrdnice bodu M spĺňť jej rovnicu čiže + =, b b + = b. Po dosdení súrdníc bodu M vzťhu dostneme 9 ( 6) ( 6) b + b + = b + b, t.j. b + 6b 6= 0. 4 = 6 + b do rovnice Odtiľ vplýv b = (druhý koreň uvedenej bikvdrtickej rovnice je b = 8< 0 ten nemá význm) dostneme = + 6= 8. Rovnic hľdnej elips je + = 8.4 Nájdite rovnicu elips v stredovom tvre, ktorá prechádz bodmi P [ 6,4], [ 8,3] Ak tkáto rovnic eistuje, jej rovnic v stredovom tvre je Q. po úprve + =, b b + = b. Po dosdení súrdníc bodov PQ, dostneme rovnice 36b + 6 = b. 64b + 9 = b Odčítním druhej rovnice od prvej rovnice dostneme 8b + 7 = 0, tkže = 4b. Dosdením do prvej rovnice dostneme Odtiľ b = 5, tkže = 4.5= 00. 4 36b + 64b = 4b. Hľdná rovnic je tvru.5 Je dná rovnic elips + = 00 5 5 9 30 8 9 0 + + =. Určte dĺžk polosí b,, ecentricitu e, súrdnice stredu ohnísk prmetrické rovnice. Rovnic elips má tvr rovnobežkách s osmi súrdníc. A C D E F + + + + = 0 ted osi elips leži n 6

Dnú rovnicu budeme postupne uprvovť Odtiľ 5 + 9 30 8+ 9= 0 ( ) ( ) = 5 6 + 9 + 9 + + 9 5.9 9. = ( ) ( ) = 5 3 + 9 45= 0 ( 3) ( ) + =, 9 5 Stredom elips je bod S [ 3,], hlvná polos je = 3, vedľjši polos b = 5. Pre ecentricitu pltí e b = = 9 5 =. Ohniská leži n primke rovnobežnej s osou ich prechádzjúcej bodom S, potom je =. Pretože SF SF e Prmetrické rovnice dnej elips sú = = =, pre ohniská pltí [, ], [ 5,] = 3+ 3cost = + 5sin t, t 0,π F F (obr. 3). Obr. 3.6 Elipsu dnú prmetrickými rovnicmi = 3+ 5cost = 4sin t, t 0,π ( ) vjdrite v prvouhlej súrdnicovej sústve. Uprvme rovnice ( ) n tvr 7

3 cos t =, sin t =. 5 4 Tkto uprvené rovnice umocnime sčítjme ( ) 3 + =, 5 6 čím získme rovnicu elips. Stred elips je S [ 3,0], ohniská leži n osi, hlvná polos je = 5, vedľjši polos je b = 4..7 Určte, v ktorých bodoch pretín primk + 4= 0 elipsu + 4 = 00 rovnice dotčníc elips v týchto bodoch. Priesečník obidvoch čir nájdeme riešením sústv ich rovníc, táto sústv je + 4= 0 + 4 = 00 Z prvej rovnice vjdríme = 4, čo dosdíme do rovnice elips po úprve je 7+. Koreňmi tejto rovnice sú = 3, = 4, potom = 8, = 6. Priesečník sú [ 8,3, ] [ 6,4] P P. Dotčnic Dotčnic t v bode [ ] t v bode [ ] P 8,3 má rovnicu 8 + = 00, po úprve + 3 5 = 0. P 6,4 má rovnicu 3 + 8 = 0..8 Určte rovnicu elips v stredovom tvre, ktorá s dotýk primk + = 5 v bode [ 9, ] T. Dotkový bod T leží n dnej dotčnici, preto jeho súrdnice musi vhovovť jej rovnici, ted 9+ = 5, odkiľ vplýv = 8. 9 8 Rovnic dotčnice je + =, b k má bť totožná s rovnicou + =, 5 5 8

9 8 musí pltiť, = 5 b = 5. Odtiľ = 5, b = 00. Hľdná rovnic elips je + =, čiže 5 00 4 + 9 = 900.9 Npíšte rovnice dotčníc elips 4 9 4 8 7 0 + + = v bodoch, v ktorých elips pretín os. Bod osi mjú = 0, súrdnice týchto priesečníkov sú korene rovnice 4 4 7 0 + =, čiže T [ 4,5;0 ], [,5;0] T. 6+ 6,75= 0, t.j. = 4,5 =,5. Sú to bod Dotčnic dnej elips v dotkovom bode T má rovnicu 4+ 9 9 9 + 7= 0, čiže ( ) ( ) Ted pre T [ 4,5;0 ] je 4 + 9 9 9 + 7= 0 6 9 54+ 7= 0, resp. 3 9= 0 Pre [ ] T,5;0 je po úprve rovnic dotčnice + 3 3= 0 3. Hperbol 3. Zákldné vlstnosti Hperbolou nzývme množinu všetkých bodov M v rovine, ktorých rozdiel vzdileností v bsolútnej hodnote od dvoch pevných bodov F, F s rovná konštnte, kde 0< < FF (obr. 33). Pre ľubovoľný bod M hperbol pltí FM FM =, FF = e, kde FS = FS = e S je stred úsečk FF. 9

Bod F, F s nzývjú ohniská hperbol, bod S je stred hperbol číslo s nzýv dĺžk hlvnej polosi hperbol, číslo e= SF = SF = FF > je ecentricit (výstrednosť) hperbol. Číslo b= e je dĺžk vedľjšej polosi hperbol. Obr. 33 Vznčme v ďlšom obrázku (obr. 34) zákldné prvk hperbol. Bod AB, sú hlvné vrchol hperbol, (nieked im hovoríme j reálne vrchol), bod CD, sú vedľjšie vrchol hperbol. Pltí AB =, FF = e, CD = b, kde b= e, z čoho vplýv j konštrukci bodov CD., 30

Obr. 34 Primk, nzývme smptot hperbol sú to uhlopriečk obdĺžnik so strnmi,b. Z definície hperbol vplýv tzv. bodová konštrukci hperbol. Zvolíme dv bod F, F primku nimi určenú oznčíme o. Nech S je stred úsečk FF. Dv bod ABn, primke o zostrojíme tk, že SA = SB =. Ďlej si zvolíme primku p n nej zvolíme dv tké bod A, B, b AB = AB. N polprimke AB zvolíme bod M tk, b AM > FB nrsujeme kružnicu k so stredom F s polomerom r = BM. Podobne nrsujeme kružnicu k so stredom F s polomerom r = AM. Kružnice k, k s pretnú v bodoch M, M. Bod M, Msú osovo súmerné vzhľdom n primku o. Pretože ide o ľubovoľný pár bodov hperbol, mjú túto vlstnosť všetk bod hperbol, t.j. hperbol je osovo súmerná vzhľdom n primku určenú ohniskmi, preto primku o nzývme osou hperbol (obr. 35). Nrsujeme bodom S primku o, kolmú n os o. Bod M 3 je osovo súmerný s bodom M vzhľdom n os o. Pretože i ohniská sú vzhľdom n os o súmerné, pltí FM = FM FM 3 = FM. 3 3

Odtiľ FM 3 FM = FM FM = FM FM =. Primku o nzveme tiež os hperbol. Primku o nzývme hlvnou osou, os o zse vedľjšou osou hperbol. N osi o nie sú bod hperbol. Obr. 35 Pre kždý bod M hperbol úsečk FM FM s nzývjú sprievodiče bodu M hperbol (obr. 36). Nrsujme bodom M primku t, ktorá je osou uhl FMF. Pätu kolmice vedenej bodom F n primku t oznčme P osovo súmerný bod k bodu F vzhľdom n primku t oznčme Q. Bod P leží n kružnici so stredom S polomerom, ktorú nzývme vrcholová kružnic k v. 3

Obr. 36 Trojuholník FQM je rovnormenný, preto FM = MQ. Odtiľ FQ =. Z toho vplýv tvrdenie: Pät P kolmíc vedených ohniskmi hperbol n ich dotčnice leži n vrcholovej kružnici hperbol (t.j. n kružnici, ktorej stred je stredom hperbol, ktorá prechádz vrcholmi AB, hperbol). Bod Q, osovo súmerné k ohnisku hperbol vzhľdom k dotčnicim, leži n kružnici hperbol). k r so stredom v druhom ohnisku s polomerom (ridic kružnic 3. Rovnic hperbol Umiestnime hperbolu do prvouhlej súrdnicovej sústv tk, že jej stred S je v zčitku O ohniská n osi (obr. 37). 33

Obr. 37 Podľ definície pltí FM FM = ( ) Po dosdení do ( ) je ( ), ( ) FM = + e + FM = e +. ( + e) + ( e) + = ( ) Pri ďlších lgebrických úprvách možno oznčenie bsolútnej hodnot vnechť. Po úprvách zvedení b = e dostneme b = ( 3 ) Rovnic ( 3 ) je rovnicou hperbol v stredovom tvre. Ak stredom hperbol je bod [, ] S mn ohniská F, F leži n rovnobežke s osou, prechádzjúcou bodom S (obr. 38), potom rovnic hperbol má tvr ( m) ( n) = ( 4 ) b Túto rovnicu nzývme rovnic hperbol v osovom tvre. 34

Obr. 38 Rovnic hperbol, ktorej stred leží v zčitku súrdnicovej sústv ohniská sú n osi, F [ 0, e ], F [ 0, e], má tvr, b b = + = ( 5 ) Ak stred hperbol je bod S[ mn, ] ohniská leži n rovnobežke s osou, prechádzjúcou bodom S, potom rovnic hperbol má tvr Rovnice v osovom tvre môžeme uprviť ( m) ( n) + = ( 6 ) b A B C D E + + + + = 0, pričom AB <0. Túto rovnicu nzývme rovnicou hperbol vo všeobecnom tvre. V tomto prípde hperbol má hlvnú os rovnobežnú s osou lebo s osou. Obrátene to všk nepltí, kždá tkáto kvdrtická rovnic nemusí bť rovnicou hperbol s hlvnou osou rovnobežnou s osou lebo s osou V prvouhlej súrdnicovej sústve má hperbol s ohniskmi F [ e ], [ ] polosou prmetrické rovnice = cost 3 = btgt, t π, π π, π,0 ( 7 ) F e,0 hlvnou 35

Ak stredom hperbol je bod [, ] S mn ohniská F, F leži n rovnobežke s osou, prechádzjúcou bodom S, potom prmetrické rovnice hperbol mjú tvr = m+ cost 3 = n+ btgt, t π, π π, π Rovnic dotčnice v osovom tvre so stredom S[ mn, ] s dotkovým bodom [, ] ( 8 ) ( m) ( m) ( m) ( m) = ( 9 ) Rovnice smptôt hperbol v stredovom tvre sú b b b, v osovom tvre so stredom S[ mn, ] sú = = ( 0 ) b n m =± ( ) ( ) Pri neprimej úmernosti s stretávme s grfom rovnoosovej hperbol. T je Rovnoosová hperbol, ktorej smptot sú totožné s osmi, prvouhlej súrdnicovej sústv, má rovnicu k =, kde k 0 je konštnt. Ak je k > 0, vetv rovnoosovej hperbol leži v I. III. kvdrnte (obr. 39), k k <0, potom vetv leži v II. IV. kvdrnte (obr. 40). Obr. 39 Obr. 40 36

Úloh 3. Npíšte rovnicu hperbol v stredovom tvre, k vzdilenosť hlvných vrcholov je 30 vzdilenosť ohnísk je 34. Zo zdni úloh vplýv, že = 30, e = 34. Potom = 5, e= 7. Dĺžku b vedľjšej polosi vpočítme zo vzťhu b e Rovnic tejto hperbol je e = + b, čiže = = 7 5 = 89 5 = 64 = 8. po úprve =, 5 64 64 5 = 4400 3. Npíšte rovnicu hperbol v stredovom tvre, ktorá má hlvné vrchol v ohniskách ohniská vo vrcholoch elips s rovnicou + =. 00 64 Z dnej rovnice elips vplýv, že = 00, b = 64, e = b = 36, tkže = 0, b= 8, e= 6. Potom hperbol má e b e = 0, = 6, = = 00 36= 64, b = 8. Rovnic tejto hperbol je po úprve =, 36 64 6 9 576 =. 3.3 Npíšte rovnicu hperbol v stredovom tvre, ktorá prechádz bodom M [ 4,5;] jej smptot mjú rovnice Keďže rovnice smptôt sú = 3 b =±, potom =. 3 Po dosdení do rovnice hperbol v stredovom tvre je,5b b =± 3, čiže =±,5b. =. b 37

Pretože bod [ 4,5;] 0,5 M leží n tejto hperbole, pltí =,,5b b 9 po úprvách =, tkže b b Rovnic hperbol je b = 8, =,5b = 8. po úprve =, 8 8 4 9 = 7 3.4 Zistite, či rovnic 9 6 90 96 495 0 = je rovnicou hperbol. Ak je, potom určte jej stred, ohniská polosi. Dnú rovnicu budeme postupne uprvovť 9 6 90 96 495 0 = ( ) ( + ) = ( ) ( ) 9 0 6 6 495 9 0 + 5 6 + 6 + 9 = 495+ 9.5 6.9 ( ) ( ) 9 5 6 + 3 = 576 ( ) ( + ) 9 5 6 3 = 576 576 ( 5) ( + 3) = 64 36 Z tejto rovnice vplýv, že stred je S [ 5, 3], hlvná os je rovnobežná s osou, = 8, b = 6, e = 64+ 36= 00, 0 e = ; ohniská sú F [ ], [ ] 5, 3 F 5, 3, pretože pre ovú súrdnicu ohnisk F je m e = 5 0 = 5; pre ovú súrdnicu ohnisk F je m+ e= 5+ 0= 5. 3.5 Zistite, či rovnic 3 4 0 + + = je rovnicou hperbol. Ak áno, potom určte jej stred, ohniská polosi. Rovnicu postupne uprvíme 3 + + 4= 0 ( + ) ( + ) = ( ) ( ) 3 4 4 3 + 4 + 4 + + = 4+ 3.4 38

( ) ( ) ( + ) ( + ) 3 + + = 3 = 3 Z tejto rovnice vplýv, že stredom hperbol je S [, ], hlvná os je rovnobežná s osou, = 3, b =, F [,]. 3.6 Presvedčte s, či prmetrické rovnice e = + b = 3+ = 4, = t+ t b = t, b 0 t F, 3, e =. Ohniská sú [ ] sú rovnice hperbol. Npíšte jej rovnicu v prvouhlej súrdnicovej sústve. Z dných rovníc vlúčime prmeter t. Npíšeme ich v tvre sčítním týchto rovníc dostneme odkiľ t + = t t = t b t = + b, () ( ) b+ b t =, =. b t b+ Po dosdení týchto výsledkov do rovnice ( ) dostneme čo postupne uprvujeme tkto: b+ b = +, b b+ ( ) ( ) + = + + b b b b b + b = b + b+ + b b = b = b Táto rovnic je rovnicou hperbol v stredovom tvre. 39

3.7 Určte rovnicu dotčnice hperbol 3 8 6 0 + = v dotkovom bode, ktorého = 3. Dotkový bod T leží n dnej hperbole, po dosdení = 3 do rovnice hperbol je 7 8 8 0 + =, čiže 4 5= 0. Odtiľ je = 5, =. Dotčnic dnej hperbol v dotkovom bode T [ 5,3] má rovnicu 0 9 4 0+ 3+ 9 = 0, čiže =. Dotčnic v bode [,3] T má rovnicu 9 4+ 4+ 3+ 9 = 0, ted + =. 3.8 Presvedčte s, či prmetrickými rovnicmi ( ) = 4t ( ) 3 = t je dná hperbol. Npíšte rovnicu dotčnice v bode [ 5, 0] T >. Vlúčením prmetr t z obidvoch rovníc vpočítme rovnicu hperbol. Prmeter t = z rovnice ( ) dosdíme do rovnice ( ) postupne uprvujeme: 4 = 3 4 9 = 6 = ( 6) 9 6 44 = 6 9 Táto rovnic je rovnicou hperbol v stredovom tvre s ohniskmi n osi polosmi = 4, b= 3. Terz určíme súrdnice bodu T hperbol tk, že do rovnice ( ) dosdíme = T = 5 vjdríme z nej prmeter T 5 t =. Po dosdení tejto hodnot do rovnice ( ) 4 dostneme 5 9 9 T = 3 = 3 =±. 6 6 4 40

9 V nšom prípde je T 5, 4. Potom rovnic dotčnice má tvr úprve 5 4 6= 0. 3.9 Npíšte rovnicu dotčnice hperbol Dotčnic dnej hperbol s dotkovým bodom [, ] 9 5 4 = po 6 9 = 0, ktorá prechádz bodom M [ 4,4]. T má rovnicu = 0. Pretože prechádz bodom M [ 4,4], jeho súrdnice tejto rovnici vhovujú pltí 4 4 = 0, čiže = 5 +, čo dosdené do rovnice 0 = dáv 5+ 0 + = 0. Odtiľ = 0,5, tkže = 5+ = 4,5. Hľdná dotčnice má dotkový bod [ 4,5; 0,5] T rovnicu 4,5+ 0,5 = 0, t.j. 9+ = 0. Dným bodom M prechádz len jedn dotčnic hperbol, lebo tento bod leží n jej smptote s rovnicou =. 3.0 Npíšte rovnicu rovnoosej hperbol, ktorej smptotmi sú súrdnice osi prechádz bodom M [ 5,3]. Súčsne npíšte rovnicu dotčnice tejto hperbol v dnom bode M. Pretože bod M leží n uvžovnej hperbole s rovnicou k tejto rovnici pltí 3 =, ted k = 5. Rovnic hperbol je 5 = 5. k =, jeho súrdnice vhovujú 5 =, resp. Rovnic dotčnice má tvr + = k ted dotčnic v bode M má rovnicu 3+ 5 = 30, čiže 3 5 30= 0. 3. Určte rovnicu hperbol v stredovom tvre, ktorá má smptotu dotčnicu = 3. = 4

Rovnic smptot je b = porovnním s rovnicou = dostneme b =, čiže = b. Rovnic hperbol je 4b b =, resp. 4 = 4b. Treb vpočítť b. Hľdjme jej priesečník s dnou primkou = 3. Po dosdení do rovnice hperbol dostneme 4( 6+ 9) = 4b, čiže ( b ) 3 4 + 36+ 4 = 0. Ak má dná primk bť dotčnicou hľdnej hperbol, musí mť s ňou jeden spoločný bod, táto rovnic ted musí mť dvojnásobný koreň, preto jej diskriminnt musí s rovnť nule: D ( b ) = 44 336+ 4 = 0. Odtiľ vpočítme b = 3. Rovnic hľdnej hperbol je =, t.j. 3 4 =. 4. Prbol 4. Zákldné vlstnosti Prbolou nzývme množinu všetkých bodov M v rovine, ktoré mjú rovnkú vzdilenosť od pevného bodu F pevnej primk d. Bod F nzývme ohnisko prbol, primku d zse ridicou primkou prbol. Vzdilenosť p > 0 ohnisk F od ridicej primk d je prmeter prbol (obr. 4). Obr. 4 Primk o, zostrojená ohniskom F kolmo n ridicu primku d, je os prbol. Ted pre kždý bod M prbol pltí MQ MF Z definície prbol vplýv konštrukci bodov prbol (obr. 4). = ( ) 4

Oznčme G priesečník osi o primk d. Zrejme stred V úsečk FG je bod prbol. Bod V je vrchol prbol. Zvoľme bod n polprimke VF veďme ním kolmicu l n primku o. Kružnic k so stredom F s polomerom r = G pretne primku l v dvoch bodoch M, M. Tieto bod zrejme leži n prbole. Obr. 4 Ak totiž Q je pät kolmice vedená bodom M n primku d, je vzdilenosť MQ bodu M od primk d rovnká ko G, ted pltí MQ = G = r = FM. Rovnko to pltí j o bode M. Úsečk MQ MF nzývme sprievodiče bodu M. Zostrojme bodom M os t uhl FMQ. Ľhko s presvedčíme, že primk t má s prbolou spoločný práve jeden bod. Preto primku t nzveme dotčnicou prbol (obr. 43) Obr. 43 43

Všetk bod, ktoré mjú od bodu Q od bodu F rovnké vzdilenosti, leži n primke t tá má s primkou MQ spoločný práve bod M. Toto tvrdenie vplýv z nsledujúcej úvh. Vzhľdom n osovú súmernosť prbol, dotčnicou prbol v jej vrchole V je kolmic v n os o, primk v je vrcholová dotčnic. Oznčme P priesečník primok v t. Trojuholník MPF MPQ sú zhodné, pretože MF = MQ, strnu MP mjú spoločnú vnútorné uhl FMP QMP sú zhodné. Z toho vplýv, že j vnútorné uhl obidvoch trojuholníkov pri vrchole P sú zhodné ted prvé. Z uvedeného pltí FP = PQ. Z toho vplýv: ) pät P kolmíc vedených ohniskom prbol n dotčnice prbol leži n vrcholovej dotčnici, b) bod Q súmerné s ohniskom podľ dotčníc prbol leži n ridicej primke. 4. Rovnic prbol Umiestnime prbolu do prvouhlej súrdnicovej sústv tk, že vrchol V bude v zčitku O p ohnisko F,0. Jej ridic primk má rovnicu p = (obr. 44). Podľ definície pre kždý bod M[, ] pltí: FM = MQ, potom p FM = + MQ p = +, Po úprve je p p + = +. ( ) = p Obr. 44 44

Ak budeme meniť polohu ohnisk, všk vrchol V ponecháme v zčitku O, dostneme nsledovné rovnice prbol: p Rovnic prbol s ohniskom F,0 má tvr p rovnic prbol s ohniskom F 0, má tvr p rovnic prbol s ohniskom F 0, má tvr Jednotlivé prípd poloh sú znázornené n obr. 45. = p, ( ) = p, ( 3 ) = p. ( 4 ) Obr. 45 Prbol, ktorá má vrchol V[ mn, ] jej os je rovnobežná s osou, má rovnicu ( n) = p( m) (obr. 46) ( 5 ) lebo ( n) = p( m) ( 6 ) Obr. 46 45

Prbol, ktorá má vrchol V[ mn, ] jej os je rovnobežná s osou, má rovnicu ( m) = p( n) (obr. 47) ( 7 ) lebo ( m) = p( n) ( 8 ) Rovnic Obr. 47 A C D E F + + + + = 0 ( 9 ) je rovnicou prbol, k ACDEFsú,,,, reálne čísl pltí: Poznámk A= 0, CD. 0 lebo C = 0, AE. 0. Grf kvdrtickej funkcie b c, 0, (, ) Ak je V[ mn, ] vrchol prbol [, ] dotčnice prbol = + + predstvuje prbolu. T bod dotku dotčnice prbol, potom rovnic ) ( n) =± p( m) má tvr ( n)( n) =± p( + m), ( 0 ) b) ( m) =± p( n) má tvr ( m)( m) =± p( + n), ( ) Úloh 4. Npíšte rovnicu prbol, ktorá má vrchol v zčitku súrdnicovej sústv ohnisko ) F [ 5,0] b) [ 0, ] ) F. p = p, = VF = 5, p = 0, polprimk VF je kldnou polosou je osou prbol. Rovnic prbol je = 0. 46

b) p = p, = VF =, p = 4, polprimk VF je zápornou polosou je osou prbol. Rovnic prbol je = 8. 4. Určte rovnicu prbol, ktorá má vrchol v zčitku súrdnicovej sústv, prechádz bodom A[ 3, 6] má os ) n osi, b) n osi. Určte súrdnice ohnisk rovnicu ridicej primk. ) Ak V [ 0,0] os o je n osi, má prbol rovnicu = p (vplýv z poloh bodu A ). Pretože bod A leží n prbole je 36= p.3, odkiľ p =, tkže rovnic prbol je rovnicu = 3. =. Potom p = 6, 3 p =, [ 3,0] F ridic primk dp má b) Ak V [ 0,0] os o je n osi, má prbol rovnicu = p (vplýv z poloh bodu A ). Pretože bod A leží n prbole je 9 p. ( 6) rovnic prbol je =,5. Potom 0,375 =, odkiľ p =,5, tkže p =, [ 0; 0,375] F ridic primk dp má rovnicu = 0,375. 4.3 Určte súrdnice vrchol, súrdnice ohnisk, rovnicu ridicej primk prbol + 8 0 64= 0. Dnú rovnicu prbol postupne uprvíme n tvr + 8 0 64= 0 + 8 + 6= 0 + 64+ 6 ( + 4) = 0( + 8) Porovnním s rovnicou ( 7 ) dostneme, že dná prbol má vrchol [ 4, 8] prmeter 5 p =, ohnisko [ 4; 5,5] F ridic primk má rovnicu = 0,5. V, 4.4 Určte súrdnice vrchol, súrdnice ohnisk, rovnicu ridicej primk prbol 4 + 6 + 3= 0. Dnú rovnicu prbol postupne uprvíme n tvr 47

4 + 6 + 3= 0 6 + 9= 4 3+ 9 ( + 3) = 4( ) Porovnním s rovnicou ( 5 ) dostneme, že dná prbol má vrchol [, 3] p =, ohnisko F [, 3] ridic primk má rovnicu = 0. prbol má os op, m, n 3,p 4, p = = = =. Preto má vrchol [ ; 3] V, prmeter V, súrdnice ohnisk sú F [ ; 3]. Ridic primk je rovnobežná s osou má rovnicu = 0 (os ). 4.5 Npíšte vrcholovú rovnicu prbol, ktorá má os n súrdnicovej osi dotýk s primk s rovnicou 5 4 0= 0. Vzhľdom n umiestnenie prbol v súrdnicovej sústve má rovnicu tvru = p. Pre npísnie rovnice potrebujeme vpočítť prmeter p, resp. p. Súrdnice jej priesečníkov s dnou primkou sú korene kvdrtickej rovnice 5 0 = 4 5p+ 0p= 0. Ak má bť táto primk dotčnicou hľdnej prbol, musí táto rovnic mť jeden dvojnásobný koreň; preto jej diskriminnt s musí rovnť nule, ted potom p = 3,. Hľdná prbol eistuje má rovnicu 5p 80p= 0, = 6,4. 4.6 Určte rovnice primok, ktoré prechádzjú bodom M [ 6;] mjú s prbolou = 6 práve jeden spoločný bod. Primk, ktorá spĺň dnú podmienku, je buď rovnobežk s osou prbol, lebo jej dotčnic. 48

Z rovnice = 6 vplýv, že os tejto prbol je os ; rovnobežk s osou prechádzjúc bodom M [ 6;] má rovnicu = pretne dnú prbolu v bode P, ktorého = =, tkže 6 4 P ; 4. Dotčnic vedená bodom M má rovnicu k( 6) = +, kde k 0. Dotkový bod s prbolou = 6určíme riešením rovníc Po úprve dostneme kvdrtickú rovnicu = 6 ( ) = k + 6. k k ktorej diskriminnt bude s rovnť nule, ted čiže odkiľ ( ) 6 + 96 + 3 = 0, ( k ) 56 4k 96 + 3 = 0, 3k + k = 0, k =, k =. 3 Tkže rovnice hľdných dotčníc sú = ( + 6), čiže 3+ 8= 0, 3 ( ) = + 6, čiže + + 4= 0. 4.7. Npíšte rovnicu prbol v prvouhlej súrdnicovej sústve, k jej prmetrické rovnice sú t t = +, =. Z prvej prmetrickej rovnice vjdríme prmeter t = dosdíme ho do druhej rovnice. Dostneme lebo ( ) = = 4 + 3. 49

Prbol má potom v prvouhlej súrdnicovej sústve rovnicu = 4 + 3., jej vrchol je V [ ; ] prmeter p =. 4.8 Dné sú dve prbol rovnicmi = 7 = ( 9). Npíšte rovnice spoločných dotčníc dných prbol. Podľ zdni prbol, vrchol prbol sú dv rôzne bod osi ich spoločná os je os. Z toho vplýv, že hľdné dotčnice nie sú rovnobežné s osou smernicu. ted mjú Rovnic hľdnej dotčnice bude mť rovnicu tvru = k+ q, v ktorej ztiľ nepoznáme k q. Určíme ich z podmienk, že dotčnic s kždou z týchto prbol má len jeden spoločný bod. Ak dosdíme = k+ q do rovníc dných prbol, dostneme dve kvdrtické rovnice, ktorých diskriminnt musi s rovnť nule. Rovnic má diskriminnt ( ) kq kq Rovnic ( ) k + kq 7 + q = 0 7 4 = 0 odtiľ kq =,75. má diskriminnt ( kq ) k ( q ) ( ) ( ) k + kq + q + 99 = 0 4 + 99 = 0. Po dosdení kq =,75 dostávme k =, k =, 3 3 7 7 tkže q = : =, q = : =. 4 3 4 4 3 4 Rovnice spoločných dotčníc dných dvoch prbol sú čiže =± ±, 3 4 4+ + 63= 0 4 + 63= 0. 4.9 Reflektor má rez tvru prbol. Jeho priemer je 4cm hĺbk cm. Určte polohu ohnisk rovnicu prbolického rezu. 50

Dnú situáciu si znázorníme v súrdnicovej sústve (obr. 48) Obr. 48 Položili sme os reflektoru n kldnú čsť osi vrchol do zčitku súrdnicovej sústv O. Prbolický rez v tomto prípde je chrkterizovný rovnicou = p. Bod M [ ;] leží zrejme n dnej prbole. Po dosdení súrdníc tohto bodu je odkiľ p = 6. 44= 4 p, Rovnic prbolického rezu vo zvolenej súrdnicovej sústve je jeho ohnisko je F [ 3;0]. = 5. Vzťh kvdrtickej form dvoch premenných rovnice kužeľosečk 5. Zákldné vlstnosti Form + + + + +, ( ) 3 3 33 kde,,, 3, 3, 33 sú dné reálne čísl, pričom spoň jedno z čísel,, s nerovná nule, nzýv s kvdrtická form s dvom premennými., Kvdrtická rovnic má všeobecný tvr 0, + + + + + = ( ) 3 3 33 5

kde ij, ( i,,3; j,,3) = = sú reálne čísl spoň jedno z čísel,, s nerovná nule. Rovnic ( ) vo vhodne zvolenej prvouhlej súrdnicovej sústve môže vjdrovť:. kužeľosečku (kružnicu, elipsu, hperbolu, prbolu);. dvojicu primok; 3. bod; 4. prázdn množin 5. Kvdrtická form bez člen N záklde úvh v predchádzjúcich čstich môžeme rovnicu ( ) s = 0 uprviť n tvr 0 + + + + =. ( 3 ) 3 3 33 Postupnými úprvmi dostneme tieto prípd:. Rovnic kde b + =, ( 4 ) > b je rovnic elips, ktorej hlvná os je n osi vedľjši os je n osi ; pre = b je to rovnic kružnice so stredom v zčitku s polomerom ; pre < b je to rovnic elips, ktorej hlvná os je n osi vedľjši n osi.. Rovnic b =, ( 5 ) je rovnicou hperbol, ktorej reáln os leží n osi imginárn n osi ; rovnic b + =, ( 6 ) je rovnic hperbol, ktorej reáln os leží n osi imginárn os n osi. 3. Rovnic =, ( 7 ) je rovnic prbol, ktorej os leží n osi, vrchol v zčitku ohnisko je bod ;0 4. Rovnic =, ( 8 ) 5

je rovnic prbol, ktorej os leží n osi, vrchol je v zčitku ohnisko je bod 0; 4. Poznámk. Tvrdeni o rovnicich vstupujúce je záporné. =, = zostávjú správne j vted, keď číslo v nich Pri všetrovní kvdrtickej rovnice bez člen, t.j. rovnice môžeme postupovť tkto:. Ak 0, 0 0 + + + + =, ( 9 ) 3 3 33, uprvujeme rovnicu ( ) 9 nsledovne 3 3 33 3 3 + + + + = 0. Ak v nej vstupujúci zlomok s nerovná nule, predelíme k nemu opčným číslom z tkto vzniknutej rovnice usúdime, ký útvr tá rovnic predstvuje. Ak uvžovný zlomok s rovná nule, zisťujeme primo lebo ďlšou úprvou, ký útvr rovnic predstvuje.. Ak 0, 0 =, uprvíme rovnicu ( ) 9 n tvr ( 0 ) ďlej n tvr k 3 0. 3 3 + = 3 33 + 3 3 33 3 + = + 3 3, 3. Ak = 0, 0, postupujeme ko v prípde. Úloh 5. Je dná kvdrtická rovnic 36 6 36 96 9 0 + + + =. Zistite útvr, ktorý je dný rovnicou. Dná rovnic je bez člen, postupne ju uprvujeme. 36 + 6 + 36 96+ 9= 0 ( ) ( ) 36 + + 6 6 + 9= 0 53

4 4 ( ) 36 + + + 6 6 + 9 9 + 9= 0 36 + 9+ 6( 3) 44+ 9= 0 36 + + 6( 3) = 44 /:44 + ( 3 + ) =. 4 9 Táto rovnic je rovnicou elips, ktorej stred je v bode,3, hlvná os leží n primke = vedľjši os leží n primke = 3, dĺžk hlvnej polosi je 3 dĺžk vedľjšej polosi je (obr. 49). Obr. 49 5. Je dná kvdrtická rovnic 4 5+ 6+ 8= 0. Určte útvr, ktorý je dný rovnicou. + + = 4 5 6 8 0 5 4 + + 6+ 8= 0 4 5 5 5 + + + + + = 4 64 6 4 6 8 0 53 5 6 + = 4 + 96 8 54

Táto rovnic je rovnicou prbol, ktorej vrchol je je 5 =, jej prmeter je 8 3 p =. 4 5 53 V ; 8 96, rovnic osi tejto prbol 5.3 Kvdrtická form s členom Nech je dná kvdrtická rovnic 0. + + + + + = ( ) 3 3 33 Z koeficientov rovnice ( ) zostvíme determinnt 3 = 3 33 = ( ) 3 3 33 D D Determinnt D nzývme determinntom kužeľosečk s rovnicou ( ) determinnt D 33 nzývme diskriminntom kvdrtických členov kužeľosečk. Podľ hodnosti h mtice determinntu D môžu nstť tieto prípd:. D 0, h= 3 - kužeľosečk je regulárn (kružnic, elips, hperbol, prbol);. D = 0, h= - kužeľosečk je singulárn (degenerovná) (rozpdá s n dve reálne lebo imginárne rôznobežk); 3. D = 0, h= - kužeľosečk je opäť singulárn (rozpdá s n dve rôzne lebo totožné rovnobežk, ktoré sú reálne lebo imginárne). O kužeľosečke dnej všeobecnou rovnicou ( ) hodnôt,,. Zostvme tbuľku. možno rozhodnúť n záklde DD, 33 55

TABUĽKA D< 0 lebo reáln elips = reáln D 0 D 33 > 0 D< 0 D> 0 lebo D > 0 = 0 kružnic rovnici ( ) nevhovuje židn bod D 33 = 0 prbol D 33 < 0 hperbol D 33 > 0 rovnici ( ) vhovuje jediný bod 0 D < 0 dve rôzne reálne rovnobežk D = 0 dve splývjúce rovnobežk (dvojnásobná primk) D = 0 D 33 = 0 = 0 0 D > 0 rovnici ( ) nevhovuje židn bod D < 0 dve rôzne reálne rovnobežk D = 0 dve splývjúce rovnobežk (dvojnásobná primk) D > 0 rovnici ( ) nevhovuje židn bod D 33 < 0 dve reálne rôznobežk D = D = 3 3 3 33 3 33 56

Ak v rovnici ( ) je 0, otočením sústv súrdníc o orientovný uhol α, ktorý vpočítme zo vzťhu cotg ( α ) =, ( 3 ) dosihneme to, že regulárn kužeľosečk s rovnicou ( ) má osi rovnobežné so súrdnicovými osmi. Ak nstne tento stv, potom môžeme usúdiť o kú kužeľosečku s jedná:. k > 0, potom je regulárn kužeľosečk elipsou (pre = je kružnic);. k < 0, potom je regulárn kužeľosečk hperbolou (pre = je rovnoosá hperbol); 3. k = 0, potom je regulárn kužeľosečk prbolou. Úloh 5.3 Rozhodnite, kú kužeľosečku určuje rovnic 5 8 5 8 8 9 0 + + + =. Vpočítjme hodnot D D 33. 5 4 9 5 4 D = 4 5 9 =... = 8 D33 = =... = 9. 4 5 9 9 9 Podľ tbuľk dná rovnic je rovnicou elips, pretože D = 8 0, D33 = 9> 0, D= 5. ( 8) = 405< 0. Otočením súrdnicovej sústv o orientovný uhol α podľ vzorc ( 3 ) dostneme 5 5 0 cotg( α ) = = = 0, 8 8 o z toho α = 90, α = 45 o. Ak použijeme trnsformčné rovnice pre otočenie lebo =.cos α +.sinα =.sin α +.cosα =.cos α.sinα =.sin α +.cosα 57

dostneme Po dosdení do dnej rovnice je = ( ) = + ( ),. 5. ( ) + 8. ( ) + 5 ( + ) 8. ( ) 8. ( + ) + 9= 0, po úprve ( ) + =. 9 Z poslednej rovnice je zrejmé, že ohniská elips leži n rovnobežke s osou. Stredom elips v otočenej sústve súrdníc je bod S ;0, v pôvodnej súrdnicovej sústve bod [ ;] S. Ďlej = 3, b=, (obr. 50) Obr. 50 5.4 Je dná rovnic kužeľosečk + 3 + 6 = 0. Určte o kú kužeľosečku s jedná. Vpočítme hodnot D D 33. 58

,5 9 D = 3 =... = D33 = =... = 0 4,5 3 9 Podľ tbuľk je dná krivk prbolou, pretože D = 0, D33 = 0. Určme ďlšie 4 chrkteristické prvk prbol. Otočme súrdnicovú sústvu, vpočítjme uhol otočeni. 0 cotg( α ) = = = 0, o odkiľ α = 90, α = 45 o. Potom trnsformčné rovnice pre príslušné otočenie = + ( ) = +, ( ) Po dosdení do dnej rovnice dostneme ( + ). ( + ) + ( + ) 3. ( + ) + 6. ( + ) = 0. Po úprve je. 9 3 9 = 8 4 6. Dná rovnic v otočenej sústve súrdníc určuje prbolu s vrcholom V 9 9 ; 8 6 s prmetrom 3 p = (Obr. 5) 8 Obr. 5 59

5.5 Zistite, kú množinu bodov v rovine určuje rovnic 3 5 5 3 0 + + =. Vpočítme hodnot D D 33.,5,5,5 5 D =,5,5 =... = 0, D33 = = < 0.,5 4,5,5 3 Z tbuľk je vidieť, že s jedná o dve reálne rôznobežk. Rovnice dných rôznobežiek nájdeme njjednoduchšie tk, že rovnicu usporidne podľ klesjúcich mocnín (resp. ) riešime vzhľdom n os (resp. ). Tk dostneme Ich priesečník P má súrdnice + = 0 + 3= 0. 7 =, =. 5 5 Obr. 5 5.6 Rozhodnite, kú kužeľosečku určuje rovnic 4 + + 6+ + 3= 0. Nájdite túto kužeľosečku. 4 6 3 4 6 D = 6 =... = 79, D33 = = 40 6 3 3 60

Z tbuľk vidíme, že dnou krivkou je hperbol ( D = 79< 0, D33 = 40< 0). Podľ vzorc ( 3 ) je Vieme, že tg ( α ) Zo známch vzorcov je ( ) 4 cotg( α ) = = = 0. tg + =, z toho vplýv ( α ) cos ( α ) ( α ) 5 cos( α ) =... tg + = = 3 ( α) ( α) + cos 3 cos cos α = =... =, sin α = =... =. 3 3 Z trnsformčných vzorcov vplýv Po dosdení do rovnice dostneme Úprvou dostneme = 3 = 3 + ( 3 ) ( 3 ) 4 ( 3 ) + ( 3 )( + 3 ) 3 3 6 ( + 3 ) + ( 3 ) + ( + 3 ) + 3= 0. 3 3 3 3 3 3 + + 65 04 =. 79 79 00 30 Dná hperbol má hlvnú os rovnobežnú s osou, t.j. s primkou 3 3 3 + = 0, stred S v otočenej sústve je v bode 3 3 3 3 3 ; 04 65 polosi 6

79 79 sú = =... = 58, b= =... = 395. V ďlšom nkreslíme 00 0 30 0 hperbolu (obr. 53) Obr. 53 5.7 Zistite, ká kužeľosečk je určená rovnicou 4 + 4 + = 0. 0,5 0,5 49 D = 4 =... = 0, D33 = = 0, D = =. 4 0,5 4 0,5 Rovnic tvorí kužeľosečku, ktorá obshuje dve rôzne reálne primk 49 D= 0, D33 = 0, D = < 0 4. Ukážeme j ďlšie možné postup riešeni dnej úloh. Postupne uprvujeme. 4 + 4 + = ( 4 ) ( 4 ) = + + + = = ( 4+ ) ( 4+ ) + ( 4 + ) = 4 6

N obr. 54 sú primk znázornené. 49 ( 4 ) = = 4 4 = 4. + 3 = 0. ( )( ) Obr. 54 Iný postup riešeni môže bť j tkýto. Urobíme trnsformáciu súrdnicovej sústv otočením o orientovný uhol α, pre ktorý 4 tg α =... =, potom zo vzorc 3 pltí ( ) cos + tg = vplýv cos ( ) 3 α =. Zo 4 vzorcov cos sin = + cos cos = máme cos α =, sinα =. 5 5 Trnsformčné rovnice sú Po dosdení do dnej rovnice po úprve je = 5 = + 5 ( ) ( ) 5 + 5 = 0, 63

odkiľ 3 5 4 5 5 + = 0. 5 5 Ak s vrátime k pôvodnej súrdnicovej sústve, pltí ( ) ( ) + 3. + + 4 = 0. Rovnice primok sú + 3= 0, 4= 0. 5.8 Dná je rovnic + 4 + 4 6 + 9= 0. Zistite kužeľosečku, ktorá je touto rovnicou určená. Uprvujme dnú rovnicu. + 4 + 4 6 + + 9= ( ) = + 3 + 4 + 9= ( ) ( ) ( ) = + 3 + 3 = = + 3 = 0. Overme správnosť výsledku pomocou tbuľk. Vpočítme postupne determinnt DD, 33, D. 3 3 D = 4 6 =... = 0, D33 = = 0, D = = 0. 4 3 9 3 6 9 Pretože 0, je dná rovnic rovnicou dvojnásobnej primk (reálne splývjúce rovnobežk, obr. 55 ) Obr. 55 64

5.9 Rozhodnite ký geometrický útvr je dný rovnicou + 4 + + 5= 0. Uprvujme postupne dnú rovnicu. + 4 + + 5= ( 4 4) ( ) = + + + + = ( ) ( ) = + + = 0. Rovnic je splnená, keď = 0, + = 0, čiže =, =. Dná rovnic určuje bod P[, ] (obr. 56 ). Overme tvrdenie pomocou tbuľk. Vpočítjme determinnt DD, 33. 0 0 D = 0 =... = 0, D33 = =. 0 5 Keďže D = 0 D 33 = > 0, dná rovnic určuje jediný reáln bod. Obr. 56. 5.0 Určte kužeľosečku dnú rovnicou 6 9 3 8 0. =. Ak je táto kužeľosečk hperbolou, npíšte rovnice smptôt tejto hperbol. Uprvujme dnú rovnicu. = 6 9 3 8 ( ) = 6 + 9 8 = ( ) = 6 9 44= 0 65

Z poslednej rovnice vplýv ( ) =. 9 6 Je to rovnic hperbol so stredom v bode S [ ;0] (obr. 56). 4 4,. 3 3 Rovnice smptôt potom sú = ( ) = ( ) Kvdrtické ploch Obr. 57. 6 Kvdrtická rovnic s trom neznámmi 6. Zákldné vlstnosti Rovnicu z z z z 0, + + + + + + + + + = ( ) 3 3 4 4 34 44 kde,, 3, 4,, 3, 4, 33, 34, 44 sú reálne čísl, pričom spoň jedno z čísel,, 3, 4,, 3, 4, 33, 34 s nerovná nule, nzývme s kvdrtickou rovnicou s trom neznámmi z.,, Rovnic ( ) je čsto rovnicou ploch, ktorú nzývme kvdrtickou plochou. Pri skúmní ploch v priestore riešime tieto úloh: ) je dná kvdrtická rovnic zisťujeme plochu, ktorá je touto rovnicou určená; 66

b) poznáme plochu v dnej súrdnicovej sústve hľdáme jej rovnicu. Zisťovť, kú plochu predstvuje rovnic ( ), budeme tzv. metódou rezov rovinmi. Táto metód spočív v týchto krokoch:. Zistíme súrdnice priesečníkov súrdnicových osí s touto plochou.. Zistíme rezové krivk súrdnicových rovín s touto plochou. 3. Zistíme rezové krivk rovín rovnobežných so súrdnicovými rovinmi s dnou plochou. Ukážeme postup zisťovni druhu ploch, ktorú vjdruje dná kvdrtická rovnic. Príkld. Je dná rovnic Zistite plochu, ktorá je touto rovnicou určená. + + z = r. ( ). Zistíme priesečník súrdnicových osí s dnou plochou. ) O, = 0, z = 0 = r = r = r = r Sú to bod A [ r;0;0, ] A [ r;0;0] súrdnicovej sústv. b) O, = 0, z = 0 = r = r = r = r Sú to bod B [ 0; r;0, ] B [ 0; r;0] súrdnicovej sústv. c) O z, = 0, = 0. Tieto bod sú súmerne združené podľ zčitku. Opäť tieto bod sú súmerne združené podľ zčitku 67

z z z z = r = r = r = r Sú to bod C [ 0;0; r], C [ 0;0; r] súrdnicovej sústv.. Tieto bod sú súmerne združené podľ zčitku. Zistíme rovnice rezových kriviek súrdnicových rovín s touto plochou. ) O, z = 0 + = r z = 0 Rezová krivk je kružnic s rovnicou b) Oz, = 0 Rezová krivk je kružnic s rovnicou c) Oz, = 0 Rezová krivk je kružnic s rovnicou + = r. + z = r. + z = r. Rezové krivk sú zhodné kružnice so stredom v zčitku súrdnicovej sústv. 3. Zistíme rovnice rezových kriviek rovín rovnobežných so súrdnicovými rovinmi s dnou plochou. ) Nech sú rovin α P O. Vted z = k. + + z = r z = k, potom je + = r k. Ak k Ak k < r, potom je rovnic + = ( r ), kde = r, sú to bod C, C. r = r k, rovnicou kružnice. Ak k > r, potom rovin α nemá s plochou spoločné bod. b) Anlogick postupujeme pri rezoch rovinmi β PO, γ P O. z z Táto rovnic prezentuje množinu bodov M, pre ktoré pltí súrdnicovej sústv bod M[ z.,, ] OM = r, kde O je zčitok Túto plochu nzývme guľovou plochou so stredom S = O polomerom r. 68

V nsledujúcom prehľde sú uvedené kvdrtické ploch so stredom, resp. vrcholom, v zčitku súrdnicovej sústv s osomi n súrdnicových osich.. Guľová ploch so stredom v zčitku polomerom r má rovnicu + + z = r. ( ). Trojosový elipsoid so stredom v zčitku s polosmi bc,, po rde n osich z,, má rovnicu z b c + + =. ( 3 ) Zvláštnmi prípdmi trojosového elipsoidu sú rotčné kvdrtické ploch, ktoré môžeme chrkterizovť nsledovne: ) Nech je dná elips k s polosmi b., Množinu všetkých elíps, ktoré vzniknú rotáciou elips okolo jednej z jej osí, nzývme rotčným elipsoidom. Ak os rotácie je hlvná os elips, potom dostneme rotčný elipsoid pretihnutý ( > b= c). b) Ak os rotácie je vedľjši os elips, dostneme sploštený rotčný elipsoid (b< = c). Rovnic rotčného elipsoidu závisí od toho, okolo ktorej súrdnicovej osi elips rotuje. Poznámk. Ak b v rovnici ( 3 ) pltilo = b= c, ide o guľovú plochu, ktorá vznikne rotáciou kružnice okolo priemeru. 3. Hperboloid Eistujú dv druh hperboloidov. Obr. 58 69

) Trojosový jednodieln hperboloid so stredom v zčitku polosmi bc,, po rde n osich z,, má rovnicu z b c + =, ( 4 ) kde b, sú reálne polosi, c je imginárn polos. Ak = b, potom dostneme rotčný jednodieln hperboloid. Rotčný jednodieln hperboloid môže vzniknúť rotáciou hperbol okolo vedľjšej (imginárnej) osi. Ak vedľjši os je n osi z (obr. 59), potom rovnic rotčného jednodielneho hperboloidu je z c + =. ( 5 ) Obr. 59 b) Trojosový dvojdieln hperboloid so stredom mv zčitku súrdnicovej sústv, s polosmi bc,, po rde n osich z,, má rovnicu z b c + =, ( 6 ) kde b, sú imginárne polosi, c je reáln polos. Pre = b dostneme rotčný dvojdieln hperboloid (obr. 60) s rovnicou z c + =, ( 7 ) 70

4. Prboloid Opäť poznáme dv druh prboloidov. Obr. 60 ) Eliptický prboloid s vrcholom v zčitku súrdnicovej sústv osou n osi z má rovnicu z 0 b + =, ( 8 ) kde b, sú kldné čísl. Ak = b, dostneme rotčný prboloid (obr. 6). Obr. 6 b) Hperbolický prboloid s vrcholom s vrcholom v zčitku súrdnicovej sústv osou n osi z má rovnicu 7

kde b, sú kldné čísl (obr. 6). z 0 b =, ( 9 ) 5. Vlcové ploch Obr. 6 Budeme uvádzť vlcové ploch s povrchovými primkmi rovnobežnými so súrdnicovou osou z. ) Eliptická vlcová ploch, ktorej ridic krivk je elips v rovine z = 0, má rovnicu kde b, sú kldné čísl. b + =, ( 0 ) Ak v rovnici ( 0 ) pltí = b, je to rotčná vlcová ploch, ktorej rovnic je + = (obr. 63). Obr. 63 7

Eliptickými vlcovými plochmi sú j útvr, ktorých rovnice sú kde bc,, sú kldné čísl. b z + c = z + c =, ( ) b) Hperbolická vlcová ploch Kždá z rovníc z = 0, + = 0, = 0, b b c z z z + = 0, = 0, + = 0, c b c b c kde bc,, sú kldné čísl, je rovnicou hperbolickej vlcovej ploch. ( ) c) Prbolická vlcová ploch Kždá z rovníc p p z p pz z p pz =, =, =, =, =, =, ( 3 ) kde p je číslo rôzne od nul, je rovnicou prbolickej vlcovej ploch. 6. Kužeľové ploch Rovnic b z 0 + =, ( 4 ) kde b, sú kldné čísl, je rovnicou eliptickej kužeľovej ploch. Ak v rovnici ( 4 ) je = b, je táto rovnic rovnicou rotčnej (kruhovej) kužeľovej ploch (obr. 64). Obr. 64 73

V ďlšom n niektorých príkldoch ukážeme použitie rezovej metód pri zisťovní druhu ploch, k poznáme rovnicu ploch. Príkld. Je dná rovnic z b c Zistite vlstnosti ploch dnej touto rovnicou.. Priesečník ploch so súrdnocvými osmi. Os, = 0, z = 0. + + =. ( 5 ) Sú to dv bod A [ ] A [ ] súrdnicovej sústv.,, = = = = = ;0;0, ;0;0,, pričom sú tieto bod A, Asúmerné podľ zčitku Anlogick n osi sú dv bod B [ b ] B [ b ] zčitku súrdnicovej sústv. N osi z sú dv bod C [ 0;0; c], C [ 0;0; c] 0; ;0, 0; ;0, bod B, Bsú súmerné podľ. Súrdnicové rovin dnú plochu pretínjú nsledovne. s nlogickou vlstnosťou.. Súrdnicová rovin O, z= 0 pretín túto plochu v elipse s rovnicou + =. b Súrdnicová rovin Oz, = 0 pretín túto plochu opäť v elipse s rovnicou z + =. c Súrdnicová rovin Oz, = 0 pretín túto plochu v elipse s rovnicou b z + =. c 3. Priesek rovin, ktorej rovnic je z = k, ktorá je rovnobežná so súrdnicovou rovinou O, dnej ploch s rovnicou ( 5 ), je množin všetkých bodov, ktoré vhovujú súčsne rovnici ( 5 ) rovnici tej rovin, t.j. vhovujú rovnicim z + + = z k b c =. ( 6 ) 74

Urobme diskusiu riešeni tejto sústv. ) Ak je k < c, je prisek elips., k b; lebo kružnic, k je = b. b) Ak je k = c, je priesek množin s jedným bodom [ 0;0;c ]. c) Ak je k > c, je priesek prázdn množin, pretože v tomto prípde nemá sústv ( 6 ) riešenie. Podobné tvrdeni plti j o rovinách rovnobežných s rovinmi rovnobežných s rovinou Oz. Oz rovinách Ploch uvedených vlstností je elipsoid. Z predošlej úvh vplýv: Elipsoid má tri rovin súmernosti. Elipsoid má tri osi súmernosti. Priesečník osí súmernosti je stred elipsoidu. Priesečník osí s elipsoidom sú vrchol elipsoidu. Príkld 3. Zistite plochu jej vlstnosti, ktorej rovnic je bc,, sú kldné čísl. z b c + =, ( 7 ) Urobíme len posledný krok metód rezov, t.j. budeme zisťovť rez ploch rovín rovnobežných so súrdnocovými rovinmi. ) Rez rovin, ktorej rovnic je z = k, ktorá je rovnobežná s rovinou O ploch s rovnicou ( 7 ) je množin všetkých bodov, ktoré vhovujú sústve rovníc Rezom je elips, k je z + = z k b c =. ( 8 ) b, lebo kružnic, k = b. Potom dostneme k + =, b c 75

čiže rovnic + = c + k b c + k c c b) Rez rovin, ktorej rovnic je = m, ktorá je rovnobežná s rovinou Oz, dnej ploch, je množin všetkých bodov, ktoré vhovujú sústve rovníc Ak je m čiže z + = m b c, je tento rez hperbol s rovnicou m z b c + =, =. ( 9 ) z + =, pre m < b + m c + m Ak je m z + =, pre m >. b m c m =, je tento rez množin skldjúc s z dvoch primok z z + = 0 = 0. b c b c Podobné tvrdeni plti j pre rez rovín rovnobežných so súrdnicovou rovinou O dnou plochou. Plochu týchto vlstností nzývme jednodielnm hperboloidom. Ak v rovnici ( 7 ) je = b, jednodieln hperboloid je rotčný, os z je jeho osou rotácie. Príkld 4. Zistite plochu jej vlstnosti, ktorá je dná rovnicou b, sú kldné čísl. z 0 b =, ( 0 ) 76

. Súrdnicové osi mjú s plochou jediný spoločný bod to je zčitok súrdnicovej sústv O [ 0;0;0].. Zistíme rez súrdnicových rovín s plochou ) O, z= 0. Po dosdení z = 0 do rovnice ( 0 ) dostneme = 0 = 0, + = 0. b b b Rez tejto rovin s plochou pozostáv z dvoch primok, ktorých rovnice sú b) Oz, = 0. Po dosdení dostneme = 0, + = 0. b b Čo je rovnic prbol. c) Oz, = 0. z 0 =, Opäť dostneme rovnicu prbol z = 0. b 3. Urobme rez rovín rovnobežných so súrdnicovými rovinmi s plochou dnou rovnicou ( 0 ) (obr. 65). ) Rez rovin z = k s plochou ( 0 ). Rez je množin bodov vhovujúcich sústve rovníc Ak k 0, rez je hperbol s rovnicou z = 0 z = k. b =, k k > 0 ; ( k) ( b k) + = ( k) ( b k), k k < 0. 77

b) Rez rovin = h ktorá je rovnobežná so súrdnicovou rovinou Oz ploch ( 0 ) je množin všetkých bodov vhovujúcich sústve rovníc z = 0 b = h. Tento rez je vžd prbol, ktorá má rovnicu Rez rovin, ktorej rovnic je h z = b. = m je rovnobežná so súrdnicovou rovinou Oz, s plochou ( 0 ), je množin všetkých bodov vhovujúcich sústve rovníc z = 0 b = m. Tento rez je vžd prbol s rovnicou m z = + b. Úloh Obr. 65 Úloh. Ktorý z bodov A[ ;0;4, ] B[ 0;0;5, ] C[ ;4;5, ] D [ 0;4;3] leži n guľovej ploche dnej rovnicou + + z = 5? 78