3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, ) ΘΕΜΑ Α 1 Έχουμε F h F f( h) g h f() g f( h) f() g( h) g() και για h 0 βρίσκουμε το πηλίκο F h F f h f g h g h h h επομένως F h F f h f g h g lim lim lim f g h 0 h h 0 h h 0 h άρα f g f g α) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος β) Διακριτές λέγονται οι ποσοτικές μεταβλητές που παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές Συνεχείς λέγονται οι ποσοτικές μεταβλητές που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή από ένα διάστημα πραγματικών αριθμών, 3 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β α) Η f έχει πεδίο ορισμού το ως πολυωνυμική Σελίδα 1 από 6
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 με, 0 0 και αλλάζει πρόσημο αριστερά και δεξιά η πρώτη παράγωγος f τότε η f παρουσιάζει ακρότατο για 0, δηλαδή εκεί που μηδενίζεται η f έχουμε πιθανό ακρότατο Η παράγωγος της f είναι η f για κάθε Θα έχουμε κατ αρχάς f 0 0 4 0 4, (1) Επειδή η συνάρτηση έχει στο σημείο με τετμημένη 0 τοπικό ακρότατο ίσο με 1 η γραφική της παράσταση θε διέρχεται από το σημείο A(,1) οπότε θα έχουμε f 1 5 1 4 4, () Η 1 1 4 1 4 Άρα έχουμε τη συνάρτηση f 4 5 Θα εξετάσουμε τώρα αν η πρώτη παράγωγος f αλλάζει πρόσημο αριστερά και δεξιά του 0 Έχουμε ότι f 4 f 0 4 0 4 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Άρα η f αλλάζει πρόσημο αριστερά και δεξιά του 0, άρα οι τιμές 1, 4 είναι δεκτές β) Για 1 και 4 Είναι έχουμε f 4 για κάθε f 4 5 για κάθε Σελίδα από 6
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι της μορφής (ε): με f () 8, οπότε η ευθεία γίνεται (ε): 8 Αφού όμως το σημείο 17 8 1 A, f (,17) ανήκει στην ευθεία (ε) θα ισχύει: Άρα η ζητούμενη εφαπτομένη είναι (ε): 8 1 ΘΕΜΑ Γ α) Για 3 έχουμε Επομένως 3 15 3 3 3 1 45 f () 15 lim f () lim 15 3 3 15 0 3 3 Επίσης f (3) 16 s Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 3, θα ισχύει: 16 s 0 (1) Οπότε έχουμε: limf() f(3), δηλαδή 3 s 0 16 s 16 s CV 0,15 1,5% 16 Επειδή CV 1,5% 10% συμπεραίνουμε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές β) Επειδή το σημείο 4,3s ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f θα ισχύει: f (4) 3s 4 4 15 3s 9 3s s 3 () Από το α) ερώτημα έχουμε τη σχέση (1) () 16 s 0 16 3 0 4 γ) i Οι παρατηρήσεις της μεταβλητής X ακολουθούν κανονική κατανομή Γνωρίζουμε ότι αν έχουμε κανονική κατανομή τότε η τυπική απόκλιση έχει τις παρακάτω ιδιότητες όπως φαίνονται στο σχήμα Σελίδα 3 από 6
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Από β) ερώτημα βρήκαμε ότι 4, s 3άρα θα έχουμε Σελίδα 4 από 6
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Το 100% 95%,5% είναι το ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή μικρότερη από το s 18, άρα θα ισχύει,5 5,5 500 00 100 ii Το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα 1,30 είναι 68% 13,5% 81,5% (βλέπε σχήμα 1) Άρα το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα 1,30 είναι 81, 5 00 163 100 δ) Θεωρούμε τις τιμές i, i 1,,, v με i t i c, i 1,,, v, οπότε από την εφαρμογή 3 σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου θα έχουμε, μέση τιμή c και s s Το δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτουν για να είναι ομοιογενές θα πρέπει να ισχύει s 1 1 3 1 CV 4 c 30 c 6 10 10 4 c 10 Άρα η ελάχιστη τιμή του c είναι το 6 ΘΕΜΑ Δ για κάθε, με 0 α) Είναι f () 3 3 Η ζητούμενη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f, στο σημείο A(1, f (1)) θα έχει εξίσωση με,, με f (1) 3 3 Οπότε η εξίσωση της ευθείας γίνεται Επειδή το σημείο A(1, f (1)) (1, 3 ) ανήκει στην εφαπτομένη θα ισχύει: 3 Άρα η ζητούμενη εξίσωση θα είναι η, με 0 Σελίδα 5 από 6
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ β) i Από την εξίσωση της εφαπτομένης προκύπτει η σχέση i i, με 0 και i 1,,, Για τη μεταβλητή zi i, i 1,,, θα έχουμε σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του βιβλίου ότι η μέση τιμή z και η τυπική απόκλιση s z θα είναι: z και s z s s Ομοίως για τη μεταβλητή i zi, i 1,,,, θα έχουμε ότι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση s θα είναι: z και s sz οπότε θα έχουμε και s s 1 s s ii Αφού και, τότε 5 Έχουμε s 1 Οπότε CV CV CV s s s 4 (i) CV s s 1 5 5 Άρα μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει το δείγμα των τεταγμένων iii Είναι (i) s 1 1 s 5s 55 s 10 Για 1 έχουμε 10 1 1 5 5 0,5 10 Σελίδα 6 από 6