Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane na partitivnom skupu? (b (5 bodova Iskažite i dokažite Borelov zakon 0 1. Koje je značenje nezavisnosti dogadaja u tom teoremu?
Zadatak 2 (5 bodova (a (3 boda Neka je Ω neprazan skup te F neprazna familija podskupova od Ω zatvorena na konačne unije i komplementiranje i neka za nju takoder vrijedi da ako uzmemo rastući niz skupova A 1 A 2 A 3... u F, onda je n=1 A n F. Pokažite da je F σ-algebra. (b (2 boda Neka je P vjerojatnost na (Ω, F. Ako je (A n F niz dogadaja takvih da je P(A n = 1 za svako n N, izračunajte P( n=1a n. (a Neka su B 1, B 2,... dogadaji iz F. Tada je A n = n i=1b i F jer je F zatvorena na konačne unije. No, A n je rastući niz dogadaja pa je n=1 A n F pa je tada i i=1 B i F. Dakle F je zatvorena na prebrojive unije. Iz teksta zadatka znamo da je zatvorena na komplementiranje. Budući da je F neprazna, onda postoji neko A F. No, tada je = A \ A = A A c = (A c A c F jer je F zatvorena na konačne unije i komplementiranje. Dakle je F σ-algebra. (b P (A n = 1 pa indukcijom dokažemo: P ( k n=1a n = 1. vjerojatnosti imamo P ( n=1a n = 1. No, tada po neprekidnosti
Zadatak 3 (5 bodova Neka je (Ω, F, P vjerojatnosni prostor. (a (2 boda Neka su A, B, C F nezavisni dogadaji. Jesu li dogadaji A B i C nezavisni? (b (3 boda Ako za dogadaje A i B vrijedi: P(A B = 0 te P(A B = p (0, 1, izračunajte P(A \ B i P(A B. Jesu li A i B nezavisni dogadaji? Sve tvrdnje dokažite. (a P((A B C = P(A B c C+P(A c B C = P(AP(B c P(C+P(BP(A c P(C = = (P(AP(B c + P(BP(A c P(C = (P(A B c + P(B A c P(C = P(A B P(C, gdje smo koristili činjenicu: ako su dogadaji nezavisni, onda su i njihovi komplementi nezavisni. (b 0 = P(A B = P(A \ B + P(B \ A pa je zbog nenegativnosti vjerojatnosti slijedi P(A \ B = P(B \ A = 0. Nadalje, P(A = P(A \ B + P(A B = P(A B te P(B = P(B \ A + P(A B = P(A B pa zbog p = P(A B = P(A + P(B P(A B imamo P(A B = p. Takoder, P(A B = p p 2 = P(A P(B, tj. A i B nisu nezavisni dogadaji.
Zadatak (5 bodova Spužva Bob, Patrik, Koraljka, Luna i Kalamarko igraju igre. (a (2 boda U jednoj košarici imaju dvije roze i tri ljubičaste meduze, a u drugoj četiri roze i tri ljubičaste meduze. Spužva Bob na slučajan način izvlači jednu meduzu iz jedne od kutija. Pokazao je ostatku društva da je izvukao rozu meduzu. Kolika je vjerojatnost da ju je izvukao iz prve kutije? (b (3 boda Druga igra sastoji se u tome da Spužva Bob smisli neku izjavu i šapne je Luni. Ona šapne tu istu izjavu ili negaciju te izjave Patriku, on pak šapne izjavu koju je dobio od Lune ili negaciju te izjave Kalamarku, a Kalamarko dobivenu izjavu ili njenu negaciju Koraljki, koja na glas kaže izjavu koju joj je rekao Kalamarko ili negaciju te izjave. Svaki od njih prenese (šapne točno istu izjavu koju je primio od prethodnika s vjerojatnošću 1/3 (odnosno, s vjerojatnošću od 2/3 prenese negaciju izjave koju je primio. Na kraju igre, kolika je vjerojatnost da je izjava koju na glas kaže Koraljka jednaka izjavi koju je smislio Spužva Bob (a ne njena negacija? (a H 1 := {izvlačio je iz 1. kutije}, H 2 := {izvlačio je iz 2. kutije}, A := {izvukao je rozu meduzu}. P(A = P(A H 1 P(H 1 + P(A H 2 P(H 2 = 2 5 1 2 + 7 1 2 = 3 70, Tražena vjerojatnost je P(H 1 A = P(A H 1 P(H 1 P(A = 1/5 3/70 = 7 17. (b Definirajmo A k := {k-ti igrač prenese točnu Bobovu izjavu}, k = 1, 2, 3,. Tada je P(A 1 = P(Luna je prenijela točnu Bobovu izjavu = 1 3, P(A 2 = P(Patrik je prenio točnu Bobovu izjavu = = P(A 2 A 1 P(A 1 + P(A 2 A c 1 P(A c 1 = 1 3 1 3 + 2 3 2 3 = 5 9,
P(A 3 = P(Kalamarko je prenio točnu Bobovu izjavu = = P(A 3 A 2 P(A 2 + P(A 3 A c 2 P(A c 2 = 1 5 + 2 = 13, 3 9 3 9 27 pa je traženo rješenje P(A = P(Koraljka je prenijela točnu Bobovu izjavu = = P(A A 3 P(A 3 + P(A A c 3 P(A c 3 = = 1 13 + 2 1 = 1. 3 27 3 27 81 Takoder, zadatak se može i kraće riješiti: ako je na kraju izašla istina, znači da se rečenica izvrnula paran broj puta. Znači, zbrajamo da su svi rekli istinu, da su svi rekli laž, i da je na 2 mjesta bila istina, a na 2 laž pa je račun: (1/3 + (2/3 + ( 2 (1/32 (2/3 2 = 1/81.
Zadatak 5(5 bodova U kutiji se nalazi jabuka, 5 kruški i 6 šljiva. (a (3 boda Na slučajan način izvlačimo komada voća. Izračunajte vjerojatnost da medu izvučenim komadima voća nisu zastupljene sve tri vrste voća. (b (2 boda Na slučajan način izvlačimo jedan komad voća s vraćanjem (i ponavljamo postupak. Kolika je vjerojatnost da će kruška biti izvučena prije šljive? (a A = {nije zastupljena jabuka }. B = {nije zastupljena kruška }. C = {nije zastupljena šljiva }. Tražimo P(A B C = Sylv. formula = P(A+P(B+P(C P(A B P(B C P(C A+P(A B C = ( P(A = ( 5 + 6 = ( 11, P(B = ( + 6 = ( 10, P(C = ( + 5 = ( 9, P(A B = ( 6, P(A C = ( 5, P(B C = (, P(A B C = 0. ( = ( 11 + ( 10 + ( 9 ( ( ( 6 5 + 0 ( = 15 7920 + 500 + 302 360 120 2 = 32760 = 1580 32760 = 0.72527. (b Beskonačni vjerojatnosni prostor. Prestajemo s izvlačenjem kad izvučemo krušku ili šljivu. J=jabuka, K=kruška, Š=šljiva. Ukupno imamo + 5 + 6 = 15 komada voća u kutiji. Ω = {K, Š, JK, JŠ, JJK, JJŠ, JJJK, JJJŠ,...}. P(K = 5 15, P(Š = 6 15, P(JK = 5 15 2, P(JŠ = 6 15 2, P(JJK = 5 15 3, P(JJŠ = 6 15 3,... P({ kruška izvučena prije šljive ( } = P(K + P(JK + P(JJK + P(JJJK +... = = 5 + 5 + 2 5 + 3 5 +... = 5 1 + + ( 2 ( 15 15 2 15 3 15 15 15 15 + 3 15 +... = 5 1 = 5 0.55. 15 1 11 15