ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α3 Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α Λ - Σ - Σ - Λ - Σ ΘΕΜΑ Β B ) 655 6 w 65 6( ) ( )( ) 9 A w w 8 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 5 5 ) w 5 5 ( 5 )( 5 ) ( )( ) 6 ( ) 6Im( ) Im( ) Im( ) B Θέτουμε, με, και (, ) (, ) 5 5 ( 5 )( ) 5 6 w ( )( ) ( ) ( ) 5 w: φανταστικός Re( w) 5 ( ) ( ) 9 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι ο κύκλος με κέντρο K (,) και ακτίνα 3, εκτός από το σημείο (, ) B3 ) Απ το Β έχουμε 3 Επίσης
Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε 5 Αν τότε και από το Β έχουμε, δηλαδή Άτοπο Επομένως Άρα 5 ( ) 9, οπότε και ) H ελάχιστη απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων είναι η ελάχιστη τιμή του Είναι 5 Άρα 5 5 mn Β Αφού οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, είναι σημεία κύκλου με ακτίνα 3, η μέγιστη απόστασή τους είναι ίση με το μήκος της διαμέτρου, δηλαδή 6 Επίσης το είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων των, Επομένως 6 36 ( )( ) 36 36 36 Re 36 36 Re ΘΕΜΑ Γ Γ () () ύ : ύ Άρα D Η είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με, οπότε Γ για κάθε και η είναι συνεχής στο, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Το σύνολο τιμών της είναι το lm, lm Θέτουμε u Όταν, όu οπότε: Επίσης ( ) lm lm lm ή u u lm ln lm ln
lm Οπότε όταν, όu γιατί u lm ln lm ln Άρα u u για κάθε, επομένως Γ3 Η είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με Προφανώς, και Άρα η είναι κυρτή στο (,], κοίλη στο [, ) και η O, Η εξίσωση της εφαπτομένης της Γ Επειδή η C είναι κοίλη στο [,] και η είναι για κάθε, C έχει σημείο καμπής το C στο Ο είναι:, επομένως: εφάπτεται στη C O,, d ( ) ( ) d d d d και ( d ) ( ) ( ) ( ) ( ) () d d d ln ln τμ ln Οπότε ΘΕΜΑ Δ Δ ( ) ( ) n ( ) ln ln ( ) h h
h h h h 3 h h 3 και έχουμε: 3 3 Είναι 3 3 3 lm lm, οπότε από ΚΠ h h lm h για κάθε, Επομένως (Συνέπειες ΘΜΤ): h c ln c,, Δ Επειδή η C και η g και έχουμε: Για C g έχουν κοινή εφαπτομένη στο ισχύει: g h lncc οπότε ln ln ln : lncc Άρα ln, Για Δ3 ln ln Η συνάρτηση edορίζεται για κάθε o,, και, : ln ln Η συνάρτηση Τελικά η Οπότε για ln c διότι η Επομένως η συνάρτηση 6 8 έχει πεδίο ορισμού το F ορίζεται για κάθε Η συνάρτηση ln συνεχούς e, επομένως η παραγωγίσιμων Τελικά η πράξεις παραγωγίσιμων F ln e d και είναι παραγωγίσιμη στο [,] και η e είναι συνεχής στο ln edορίζεται για κάθε edεπίσης, ως αρχική της ln edείναι παραγωγίσιμη στο [,] ως σύνθεση F είναι παραγωγίσιμη στο [,], επομένως και συνεχής, ως ln (ln ln) ln Οπότε F F F e d e d Άρα η F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [,]
Δ Είναι ln ln ln F ln e 6 e 6, : Εφαρμόζοντας το θεώρημα Rolle έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ln ln e 6 3 ln F e ln 6 3 6 6 Επίσης Για ln ln 3 ln ln e ln ln 3 Επομένως e ln 6 Άρα,3 ( ) ( ) e ed Δ5 G ( ) d ( ) ( ) e οπότε Για πολύ μεγάλες τιμές του έχουμε: ln ln Για e e e, οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e d ( ) e d ed e e d e lm Από ΚΠ έχουμε, οπότε lm lm e ( ) ( ) ed Οπότε ( ) ed ( ) ( ) e ( ) e lm G ( ) lm lm lm και lm e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )