Κανάρη 36, Δάφνη Τηλ. 973934 & 9769376 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 8. Α3. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ B Β. Η g είναι παραγωγίσιμη στο οπότε είναι και συνεχής. Επομένως η g είναι συνεχής στο και ισχύει lim g ( ) = lim g ( ) = g()... β =. + Η g είναι παραγωγίσιμη στο οπότε έχουμε g ( ) g() g ( ) g() α + + n ( + ) lim = lim lim = lim + + DLH α lim = lim + α = α =. + Β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) g d = g d + g d = + d + + n + d = [ ] + d + n ( + ) d = + + ( + ) n ( + ) d [ ] + + ( + ) n( + ) d n d n n = + = + = + + Οπότε έχουμε:
g( ) d+ f ( ) + = + n + n + f ( ) + = + n + + f ( ) = ( f( ) ) = ( n( + )) f( ) = n( + ) + c. + Όμως f() = n, οπότε c =. Άρα f( ) = n( + ),. Β3. Αρκεί να δείξουμε ότι ( f ) lim ( ) =. ( ) ( f n ) ( n ) lim ( ) = lim ( + ) = lim ( + ) =, γιατί: Θέτουμε u = +. Όταν τότε, οπότε u = +. Επομένως ( n ) ( nu) lim ( + ) = lim =. u B4. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με f ( ) = = > + + για κάθε. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Επίσης ( ( )) lim f( ) = lim n + = ( ) = και ( ( )) ( ) ( ) lim ( ) lim lim lim f = n + = n n + = n = + + + +, + γιατί: lim = lim =, οπότε αν θέσουμε + + DLH + lim n lim( nu) + = =. + u Άρα f ( ) = (,). u = + έχουμε: ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω ότι η f δεν είναι -, τότε θα υπάρχουν κλ, [, 3] με κ λ (και έστω κ < λ) τέτοια ώστε f ( κ) = f ( λ). Για την f ισχύει το Θ. Roll στο [ κλ,, ] οπότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον ( κλ, ) (, 3) τέτοιο ώστε f ( ) = ΑΤΟΠΟ. Γ. Αφού το σύνολο τιμών f είναι το [, 4], προφανώς η μέγιστη τιμή της f είναι το 4 και η ελάχιστη το -.
Γ3. Το - και το 4 ανήκουν στο σύνολο τιμών f και η f δεν παίρνει αυτές τις τιμές στα άκρα του [, 3], αφού f () = και 4 και f (3) = 3 και 4. Επομένως υπάρχουν, (, 3) τέτοια ώστε f( ) = και f( ) = 4. Γ4. Η f παρουσιάζει στα, (, 3) (και έστω < ) ελάχιστη και μέγιστη τιμή και είναι παραγωγίσιμη στα σημεία αυτά, οπότε από το Θ. Frmat έχουμε f ( ) = f ( ) =. Για την f ισχύει το Θ. Roll στο [, ], οπότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον (, ) (, 3) τέτοιο ώστε f ( ξ ) =. Επίσης η f είναι -, επομένως το ξ αυτό είναι μοναδικό. Γ5. Για την f ισχύει το Θ.Μ.Τ. στα [, ] και [,3], οπότε υπάρχουν (, ) (, 3) και (,3) (,3) τέτοια ώστε f( ) f() f ( ) = = = ( ) f ( ) = και f(3) f( ) 3 4 f ( ) = = = (3 ) f ( ) =. Επομένως 3 3 3 ( ) f ( ) (3 ) f ( ) =. ΘΕΜΑ Δ Δ. Τα δυο μέλη της δοσμένης ισότητας είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων και ως πολυωνυμική συνάρτηση. Επομένως έχουμε: f 3 ( ) f ( ) + f( ) = 3 + 3 f ( ) f ( ) f( ) f ( ) + f ( ) = 3 + ( ) ( ) 3 + 3 f ( ) f( ) + f ( ) = > για κάθε, γιατί: 3 + > και 3 f ( ) f( ) + > για κάθε, αφού = 8<. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα. 3 = έχουμε ( ) Για f () f () + f() = f() f () f() + = f() = γιατί f () f() +, αφού = 3<. Επομένως η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. f Για < f( ) < f() f( ) < και για > f( ) > f() f( ) >. Δ. Για = είναι f () = και y =, οπότε το σημείο (,) είναι κοινό σημείο της C f και της ( ε ). Επίσης f () = = = λ ε. 3 f () f() + f
Άρα η ( ε ) εφάπτεται στη C f στο σημείο (,). Δ3. Η δοσμένη ισότητα για = δίνει: 3 f () f () + f() = f() ( f () f() + ) = f() = f () f() + Θέτουμε g ( ) = +,. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική, με g ( ) =. Οπότε έχουμε: g '() + g() ολ. ελ. g ( ) 3 = 4 3 3 Επομένως για κάθε είναι g ( ) +, οπότε έχουμε 4 4 () 3 4 8 8 f () f() + f() 4 f () f() + 3 f () f() + 3 3 Θέτουμε h ( ) = ( + ) f( ) 8+,. Η h είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. h () = > και h() = 3 f() 8 λόγω της Οπότε h() h(). h() = Αν h() h() = h() =, τότε η ζητούμενη ρίζα είναι το. Αν h() h() <, τότε από Θ. Bolzano η εξίσωση h ( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,). Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση h ( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,]. + Δ4. Για κάθε [, 3] είναι f( ) >, οπότε 3 3. E = f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] οπότε ισχύει f( ) f() για κάθε [, ] και η ισότητα ισχύει για =, επομένως f ( ) d > () ( ) () ( ) () f d f d f d f d f > > Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,3] οπότε ισχύει f( ) f() για κάθε [,3] και η ισότητα ισχύει για =, επομένως 3 3 3 f ( ) d > f () d f ( ) d > f ()
Προσθέτουμε κατά μέλη τις και : 3 f ( ) d + f ( ) d > f () + f () E > f () + f (). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, 3] οπότε ισχύει f( ) f(3) για κάθε [, 3] και η ισότητα ισχύει για = 3, επομένως 3 3 f ( ) d < f (3) d E < f (3). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΓΕΝΑΣ ΘΟΔΩΡΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΛΑΥΔΙΑΝΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΙΟΥΛΗ ΜΑΚΡΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ