AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Βλ σχολ βιβλίο σελ 5 Α Βλ σχολ βιβλίο σελ Α Σ Σ Σ 4 Σ 5 - Λ ΘΕΜΑ Β Β Η εξίσωση () z ισοδυναμεί με την z z που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα 4 διότι 4 Άρα οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικές συνεπώς z z z z z z z z Re z Im z i Re z 4Im z R Β Αν z i τότε z i και από τους τύπους του Viea έχουμε z z 4 zz 5 Β Για z i και z i έχουμε wyi w z i w z i w w i yi y i y y 4 4 y y 4y 4 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού w είναι η ευθεία y
Β4 Έστω w μιγαδικός του οποίου η εικόνα ανήκει στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος (γ) με w Τότε αν w i έχουμε τότε u w u w u w u w u w u w Τότε Οι εικόνες των μιγαδικών u βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(α,β) και ακτίνας ίσης με ρ Επειδή το κέντρο βρίσκεται στην ευθεία y = - ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες ' και y'y όταν Άρα η εξίσωση u w, u C u w μόνο μια φανταστική ρίζα όταν έχει μεταξύ των ριζών της μόνο μια πραγματική και ΘΕΜΑ Γ Γ Επειδή f() f() η f έχει προφανείς ρίζες και Έστω ότι η f έχει τρεις ρίζες στο R τις Τότε f ή,,, ά ώ f ί,,, ά ί f f f υπάρχει, τέτοιος ώστε f ' υπάρχει, τέτοιος ώστε f ' f '() ' ln ' ln κάθε R και f ' ή o, ά ώ f ' ί, ά ί f ' f ' τέτοιος ώστε f '' που είναι άτοπο διότι R f ''() ln ' ln 4 ln ln 4 ln4 ln 4 ln4 R υπάρχει, Άρα η f έχει το πολύ δύο ρίζες στο R άρα ακριβώς δύο τις προφανείς και
Γ Έχουμε f ή, f ί, f f R υπάρχει, τέτοιος ώστε f ' Από το ερώτημα (α) έχουμε f ''() κάθε R άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα και - συνεπώς ο ξ είναι μοναδικός Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R f '() f ' άρα f '() κάθε, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, f '() f ' άρα f '() κάθε, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, η f είναι συνεχής στο,, η f είναι συνεχής στο, Γ Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα f() f() f() άρα f() κάθε, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα f() f() f() άρα f() κάθε, Άρα f (),, Γ4 Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, ( ) f () f () f ( ) f () κάθε, Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, ( ) f ( ) f () f () f () κάθε, Άρα f () ά, f ί ύ, f ()d ΘΕΜΑ Δ Δ Η συνάρτηση κάθε είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική, η συνάρτηση Άρα η συνάρτηση e είναι συνεχής στο R Τότε η συνάρτηση e είναι συνεχής e είναι
e συνεχής στο R ως πράξεις μεταξύ συνεχών άρα και η F() d είναι παραγωγίσιμη e e στο R άρα και στο [,] Τότε F'() d ', Δ Η F' είναι παραγωγίσιμη στο [,] ως πράξεις παραγωγίσιμων με e e e F''() ' e e e e κάθε, Άρα η F είναι κυρτή στο [,] άρα η κάθε C F βρίσκεται πάνω από την εφαπτόμενη στο Έχουμε e και F() d είναι y F() F'() y Άρα F() κάθε [,] e F'() τότε η εξίσωση της εφαπτόμενης στο Δ Η σχέση ισχύει ως ισότητα προφανώς = Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει Έχουμε F( ) e κάθε, e e F( ) e F( ) F( ) Επειδή F'(), F() η τελευταία γίνεται ισοδύναμα F'() F( ) F() F'() Για, έχουμε F ή, υπάρχει, F ί, ώστε F' F( ) F() Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει Επειδή F''() κάθε, F'() F' F'( ) F'() F'() F' F'() κάθε, η F είναι γνησίως αύξουσα στο [,] άρα
Δ4 Έχουμε F() F () d d lim lim Διότι F() e lim lim και DLH lim lim lim DLH y d lim lim d y y έ y, ό y lim F() 7 Επιμέλεια: Νασιόπουλος Στέργιος Παρασκευόπουλος Κωνσταντίνος Τομέας Μαθηματικών Ορόσημο ΑΘΗΝΑΣ