Θέμα Α Α. Σχολικό Βιβλίο Α. Σχολικό Βιβλίο Α. Σχολικό Βιβλίο Α. i - >Σ ii->λ iii-> Λ iv -> Λ v->λ Θέμα Β Df = R Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία: 0 Μαρτίου 09 Απαντήσεις Β. H f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις συνέχων και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: 8 f '( ) 8 f '( ) 0 0 8 8 f '( ) 0 0 8 0 8 f ή '( ) 0 0 8 0 f '( ) + f( ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,] Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και [,+ ) lim f lim 0 lim f lim 0 H f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f( ) = H f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το f() =
Σύνολο τιμών: Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ = (, ], οπότε: f f, lim f ( ),0 Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο Δ = (,], οπότε: f f ( ), f, Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ = (,+ ), οπότε: Οπότε f(df) = f(δ) f(δ) f(δ) = f lim f ( ), f 0,, Β. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f ''( ) f ''( ) 8 8 6 8 f ''( ) 8 f ''( ) f ''( ) f ''( ) 0 0 0 ή 0 ''( ) 0 0 0 f 0 f ''( ) + + f( ), 0 0, f f f
H f είναι κοίλη στα διαστήματα, και 0,, είναι κυρτή στα διαστήματα,,0 και και παρουσιάζει καμπή στα, 0 και.,, 0,0,, Τα σημεία καμπής είναι τα Τα σημεία Α,Β είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο αφού το Ο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Β. H Cf δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες αφού είναι συνεχής στο R. Από το ερώτημα Β έχουμε: lim f lim 0 lim f lim 0 Άρα η Cf έχει οριζόντια ασύμπτωτη της ευθεία y = 0 (άξονας ) στο + και στο. Β. lim f 07 ln Από το σύνολο τιμών της f έχουμε: Οπότε έχουμε: 0 07 f ln f 07 07 ln 07 f 0 07 ln 0 lim lim 0 0 lim lim 0 0
Θέμα Γ Οπότε από κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι: lim f 0 07 ln Γ. f:(0,+ ) R, f () ( ) f() = 0, f() = ln, h( ) g( ), f(h()) = ln( ) i. f ( ) f ( ) f '( ) ( ) 0 f '( ) ( ) f ( ) f ( ) f '( ) f '( ) 0 f ( ) Έστω v( ). Από την σχέση () έχουμε ότι: v () = 0. Οπότε αφού η v είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων από τις συνέπειες του Θ.Μ.Τ έχουμε: v() = c, c R. f () ln Για = : v() c c c c 0 Οπότε v() = 0 0 ( ) ln f ( ) f ( ) f () ii. H f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παρ/μων με f '( ) 0 + f + f o.ε ( ) H f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ = (0,] οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι της μορφής: f(δ) = f (), lim f ( ) ln, 0 Αφού 0 f(δ) η f() = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Δ, η οποία είναι μοναδική και θετική αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ H f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ = [,+ ) οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι της μορφής: f(δ) = f (), lim f ( ) ln,
Αφού 0 f(δ) η f() = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Δ, η οποία είναι και μοναδική και θετική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Άρα η f() = 0 έχει δύο ακριβώς ρίζες στο R. iii. f() = 0, (0,) και f() = 0, (,+ ). H εφαπτομένη της f στο Μ(ξ,f(ξ)) θα είναι της μορφής: y f(ξ) = f (ξ)( ξ). Για να δείξουμε ότι η παραπάνω ευθεία διέρχεται από την αρχή τα ων αξόνων αρκεί αν δείξουμε ότι ισχύει η σχέση: f(ξ) = f (ξ)ξ f '( ) f( ) 0 Έστω η συνάρτηση: ( ) Η ω είναι συνεχής στο [,] Η ω είναι παραγωγίσιμη στο (,) ω() = ω() = 0 Οπότε από το Θ. Roll έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο f '( ) f( ) ώστε: ω (ξ) = 0 0 Γ. f:, R, με τύπο: f() = + αεφ ημ, α R. i. Έχουμε: f() 0 f() f(0) για κάθε,, οπότε η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 Το 0 είναι εσωτερικό σημείο του Df. Στο 0 παρουσιάζει ακρότατο η f Οπότε από το θεώρημα Frmat έχουμε ότι f (0) = 0. f ( ) f (0) f '(0) 0 lim 0 lim 0 0 0 0 lim 0 0 0 0 lim lim 0 0 Οπότε θα έχουμε: 0 5
αφού ii. f() = εφ ημ έστω g() = εφ ημ, η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη για κάθε, με: g '( ) 0, > 0, για κάθε, και η ισότητα ισχύει μόνο για = 0. Η g είναι συνεχής στο 0, άρα και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0 g( ) g(0) g( ) 0 0 g( ) g(0) g( ) 0 Επομένως:, 0,0,. Θέμα Δ f:r R, f ' f 6 R, f (0) Δ. Από τη δοσμένη σχέση έχουμε: f ' f f '( ) f '( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f f f f '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) f f f f f '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) f f Οπότε από το πόρισμα του ΘΜΤ έχουμε: Για = 0 έχουμε: 0 = - + c c = Άρα θα έχουμε: ( ) ' ( ) ' f f c ( ) ( ), c R f ( ) f ( ) f ( ) f
Δ. H f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f ' 0 Άρα αφού η f είναι συνεχής στο, έπεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. H f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, οπότε: f f D lim f ( ), lim f ( ) 0,, ύ lim lim 00 0 lim lim lim Δ. H αρχική εξίσωση γίνεται: f f f f 5 f Df, οπότε η εξίσωση αύξουσα) στο R. έχει μοναδική λύση (αφού f γνηίως Δ. F () = f() Α. Ν.Δ.Ο. F F f ότι για κάθε > 0 Για κάθε > 0 έχουμε: < Η F είναι συνεχής στο [,] Η F είναι παραγωγίσιμη στο (,) Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε: F' F F F F( ) f 7
Οπότε θα έχουμε: Β. f. ύ f ( ) f ( ) f ( ) 0 F F( ) f ( ) F F( ) f ( ) F F, 0 g ( ), 0 Θα δείξουμε ότι η g είναι συνεχής στο 0. 0 Fή, 0 F( ) F( ) f ( ) f ( ) lim g( ) lim lim f (0) f (0) g(0) 0 0 0 άρα η g είναι συνεχής στο 0, οπότε θα είναι και συνεχής στο [0,+ ). Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,+ ) με: f ( ) f ( ) F( ) F( ) g'( ) f ( ) f ( ) F( ) F( ) f ( ) f ( ) f ( ) F( ) F( ) f ( ) f ( ) f ( ) F( ) F( ) 0, ύ f ( ) F( ) F( ) > 0, από Α ερώτημα f. ύ 0 f f f ( ) f ( ) 0 Άρα g γνησίως αύξουσα στο [0, + ) Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές Στέλιος Καψαλιάρης Δημήτρης Νίκου Νίκος Παπαθανασίου Σπύρος Σιταρίδης 8