ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΘΕΜΑ Α Α α Σχολικό σελ 5 β i Σχολικό σελ 35 ii Σχολικό σελ 36 Α Σχολικό σελ 4 Α3 Σχολικό σελ 35 Α4 α Λάθος, Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση Παρατηρούμε ότι, αν και, για κάθε,,, εντούτοις η δεν είναι σταθερή στο,, β Λάθος Ο ισχυρισμός θα ήταν σωστός, αν η ήταν συνεχής στο Για παράδειγμα, η συνάρτηση Α5 γ, Ισχύει ότι 3, Ενώ 3
ΘΕΜΑ Β e,, A B Για να έχει η γραφική παράσταση της οριζόντια ασύμπτωτη στο την ευθεία y, πρέπει : u u e e u u Άρα Οπότε, e, B Έστω g e, Η g συνεχής στο [,3], ως πράξεις και συνθέσεις συνεχών συναρτήσεων g e e 3 3 g3 e 3 e 3 e Άρα g g3 Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzno η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο,3 Επιπλέον, η g είναι παραγωγίσιμη για κάθε, με g e e, για κάθε Άρα η g γνησίως φθίνουσα στο Επομένως, η ρίζα του θεωρήματος Bolzno είναι μοναδική g έχει μία B3 e, H είναι παραγωγίσιμη για κάθε με e, για κάθε, οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα η είναι «-», συνεπώς είναι και αντιστρέψιμη Για κάθε, θέτουμε y e y e y y y Οπότε έχουμε: ln e ln y ln y, y Όμως άρα ln y που ισχύει για κάθε y Άρα Δηλαδή, y ln y, y ln, B4 A,, η είναι συνεχής στο,, έτσι για κατακόρυφη ασύμπτωτη ελέγχουμε στο Έχουμε, [ ln u ] ln u u u Άρα η ευθεία ε : είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Οι C και C προκύπτουν από κατακόρυφες και οριζόντιες μετατοπίσεις, αντίστοιχα, των βασικών συναρτήσεων y e και y ln, έτσι έχουμε :
Η C προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της y e κατά δύο μονάδες προς τα πάνω Η C προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της ln y κατά δύο μονάδες προς τα δεξιά Η ln y είναι συμμετρική της ln y ως προς τον άξονα ΘΕΜΑ Γ Γ Η παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο δηλαδή e e H D L Πρέπει και από την έχουμε β=
Γ Η e Για > Για < e Καθώς για κάθε,, και η είναι στο θα είναι γνησίως αύξουσα στο R Στο, η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής,, Άρα u u e e u u, η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής Άρα,, e Το και καθώς η γνησίως αύξουσα στο, της εξίσωσης Γ3 i Στο o υπάρχει μοναδική ρίζα στο από το ερώτημα i η o 3 ii Καθώς για κάθε, Όμως η είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα και στο [, Δηλ και η 3 είναι αδύνατη για κάθε Γ4 t 3 και y t και t μον/sec
3 Είναι 3 t t Άρα t 3 t t t t για έχουμε 3 t t t 39 t 8μον / sec t t ΘΕΜΑ Δ Δ ln α β, D H ευθεία ε y εφάπτεται της C στο Α, άρα = και =- ' ln α ln[ ] α α β ' α, άρα β Και τελικά ln, D Δ Θεωρώ συνάρτηση h ln H h συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων Επιπλέον, για κάθε, άρα ln[ ] Και - για [,], άρα h για [,] E h d hd ln[ ]d Θέτουμε u= με du=- και για, u και για, u Ε lnudu u'lnudu [u lnu] u du ln ln τμ u Δ3 i Α τρόπος ' ln[ ] ln[ ] ln[ ]
4 '' Το πρόσημο της εξαρτάται από το πρόσημο της -, αφού κάθε R για - + - + H συνεχής στο,], παραγωγίσιμη με < στο,, άρα η γνησίως φθίνουσα στο,] H συνεχής στο [, [,, παραγωγίσιμη με > στο,, άρα η γνησίως αύξουσα στο Άρα η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για =, το =- Άρα ' ' ' για κάθε Β τρόπος ' ln[ ] ' ln[ ] ln[ ] ισχύει για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για =, αφού, για κάθε, άρα ln[ ] για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για = Και, για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για = 3 ii λ λ λ lnλ λ λ λ lnλ λ λ λ λ λ λ λ λ θα εφαρμόσουμε ΘΜΤ για την στο λ,λ
H συνεχής στο λ,λ, η παραγωγίσιμη στο λ,λ Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει ξ λ,λ τέτοιο ώστε λ λ 'ξ λ λ Άρα 'ξ, ισχύει καθώς ' από το προηγούμενο ερώτημα Δ4 H ευθεία ε y εφάπτεται της C στο Α, Θα δείξουμε ότι η y=-+ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της 3 g= Έστω B,g y g g', άρα σημείο της γραφικής παραστασης της g H εφαπτομένη της C g στο Β είναι g' 3 3 και και και 3 3 3 g' g 3 3 Και μοναδικό Πράγματι οι γραφικές παραστάσεις των, g έχουν κοινή εφαπτομένη Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει κι άλλη κοινή εφαπτομένη σε σημεία Γ, και Δ g, με και, θα πρέπει να ισχύει ' g', Από προηγούμενο ερώτημα με την ισότητα να ισχύει μόνο για = Επιπλέον g' 3, η ισότητα ισχύει μόνο για, αφού Άρα ' g' g', άτοπο 3, για κάθε