Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto úloha súvisí? Ž: Výraz pod odmocninou musí nadobúdať nezáporné hodnot. Mali b sme vriešiť podmienku sin. U: Ide o goniometrickú nerovnicu. Môžeme ju upraviť na základný tvar sin. Ukážeme si dve metód jej riešenia. Prvá metóda je založená na grafoch funkcií, druhá vužíva definíciu funkcie sínus. Ž: Pri prvej metóde riešenia určite vužijeme graf funkcie sínus. Netuším, ktoré ďalšie funkcie máte na msli. U: Samotný zápis nerovnice je porovnaním funkčných hodnôt dvoch funkcií. Výraz sin na ľavej strane určuje hodnot funkcie g : = sin. Hodnot druhej funkcie sú určené výrazom na pravej strane. Ž: Mslíte konštantnú funkciu h : =? U: Áno. Dúfam, že vieš ako vzerajú graf oboch funkcií. Ž: Grafom funkcie sínus je sínusoida. Konštantná funkcia [ má graf priamku rovnobežnú s -ovou osou. Priamka pretína -ovú os v bode ; ]. = = sin U: Nájsť riešenie na základe grafov pre rovnicu sin = b pre teba nemal bť problém. Ž: V prípade rovnice sa funkčné hodnot oboch funkcií majú rovnať. Preto určíme priesečník grafov oboch funkcií g a h. U: Samotné riešenie rovnice je potom určené -ovými súradnicami týchto priesečníkov. Urči tieto riešenia pre náš prípad. Stačí ak zoberieš základný interval ; ).
Ma-Go--T List = 5 = sin Ž: Funkcia sínus nadobúda hodnotu v tomto intervale dvakrát. Raz pre známu hodnotu argumentu, rovnú číslu. Druhú hodnotu 5 dostanem, ak číslo odčítam od čísla. = 5 U: Pri riešení rovnice nás zaujímajú -ové súradnice priesečníkov grafov dvoch funkcií. To preto, že hodnot funkcií sa majú rovnať. Ako sa to zmení pre nerovnicu sin? Aký má bť vzťah medzi hodnotami funkcií g a h? Ž: Hodnot ľavej stran majú bť väčšie alebo rovné hodnotám pravej stran. Hodnot funkcie sínus majú bť väščie alebo rovné číslu. U: Preto okrem -ových súradníc priesečníkov grafov týchto dvoch funkcií zoberieme za riešenie aj interval, kde sínusoida sa nachádza nad priamkou. Vted každý bod na sínusoide má väčšiu -ovú súradnicu ako bod s rovnakou -ovou súradnicou na priamke. = 5 = sin Ž: Takže riešením nerovnice budú všetk reálne čísla medzi hodnotami, ktoré sme určili pri rovnici sin =? U: Áno. Základným riešením nerovnice sin bude uzavretý interval ; 5. Funkcia sínus je však periodická s najmenšou periódou. Preto riešením bude aj každý interval získaný posunutím základného intervalu o celočíselné násobk čísla. Pozri sa na číselnú os. Znázorňuje základné riešenie a interval, ktoré sme dostali jeho posunuím o číslo doprava a doľava. Takýchto intervalov je nekonečne veľa.
Ma-Go--T List Ž: Ako zapíšeme výsledok riešenia? U: Použiješ zápis obsahujúci smbol zjednotenia nekonečného počtu intervalov. Ľavú hranicu intervalu zapíšeš pomocou súčtu čísla a celočíselných násobkov periód funkcie sínus. Pravú hranicu analogick, ale s číslom 5. Riešenie nerovnice je zároveň určením definičného oboru zadanej funkcie f. Pozri výsledok v rámčeku. Df) = K = k Z + k; 5 + k Ž: Spomínali ste možnosť riešenia zadanej nerovnice na základe definície funkcie sínus. U: Pri tejto metóde celú situáciu zadanú nerovnicou znázorníš pomocou jednotkovej kružnice. Východiskom je definícia funkcie sínus a jej interpretácia na jednotkovej kružnici. Ž: Funkcia sínus priraďuje reálnemu číslu -ovú súradnicu bodov na jednotkovej kružnici, ktoré sú istým spôsobom priradené tomuto reálnemu číslu. U: Čo hovorí zápis nerovnice sin v zmsle tejto interpretácie? Ž: Pre rovnicu b som vedel. Na jednotkovej kružnici treba nájsť všetk bod, ktorých -ová súradnica je rovná číslu. Také bod sú dva, v I. a v II. kvadrante. Odpovedajú im reálne čísla = a = 5. Určili sme ich aj pri grafoch. J = U: Zostáva vriešiť problém, ako geometrick interpretovať zápis sin >. Ale to je jednoduché. Hľadané bod na jednotkovej kružnici majú mať -ovú súradnicu väčšiu ako číslo. Preto patria menšiemu kružnicovému oblúku, ktorého koncové bod zodpovedajú riešeniu rovnice. Preto sa hodnot premennej nachádzajú medzi hodnotami prislúchajúcimi koncovým bodom kružnicového blúka. Základným riešením je uzavretý interval ; 5.
Ma-Go--T List 4 Ž: Ako vidím, v oboch metódach sú dôležité obrázk. Samotné riešenie stačí nájsť na intervale dĺžk periód funkcie a potom zohľadniť periodičnosť. U: To, ako si pochopil problematiku riešenia goniometrických rovníc, overíme pri riešení druhej nerovnice: sin <. Ž: To nebude náročné. Zmenili ste iba znak nerovnosti. Namiesto väčšie alebo rovné ste dali znak menší. Preto zoberiem zvšok základného intervalu. Ale zostali dve časti. Otvorené interval ; ) ) 5 a ;. 5 + = J U: Z toho dôvodu je vhodnejší taký zápis, ktorý spojí tieto dve časti do celku. Sleduj na jednotkovej kružnici. Začiatkom intervalu nech je číslo 5. Čísla od do prevedieme na hodnot väčšie o jednu periódu funkcie sínus. Koniec intervalu bude preto vjadrený číslom + =. 5 Ž: Základným riešením nerovnice bude otvorený interval ; ). U: Konečné riešenie nerovnice zapíšeme v tvare zjednotenia nekonečného počtu intervalov. Získame ich zo základného riešenia pripočítaním násobkov periód funkcie sínus k hraniciam základného intervalu. K = k Z 5 ) + k; + k U: Dané dve úloh sú ukážkou základných goniometrických nerovníc. Vriešili sme dve zo štroch možných pre funkciu sínus a dané číslo a na pravej strane. Majú tvar sin < a; sin a; sin > a; sin a. Ž: Presvedčili ste ma, že riešenia nerovníc s opačnými znakmi nerovnosti nemusia až tak jednoducho súvisieť. Ešte mi prezraďte, či riešením týchto nerovníc je vžd neprázdna množina.
Ma-Go--T List 5 U: Riešenie závisí od viacerých faktorov. V prvom rade od hodnot parametra a. Napríklad nerovnica sin 8. Jej riešením bude množina všetkých reálnch čísel, lebo funkcia sínus nadobúda iba hodnot od do vrátane. To znamená, že pre všetk reálne čísla platí nerovnosť sin 8. Ž: Začínam chápať súvislosti. Ak b som zmenil znak nerovnosti, riešením nerovnice sin 8 b bola prázdna množina. U: Áno. Riešenie závisí tak od hodnot parametra a, ako aj znaku nerovnosti. Aj malá zmena spôsobí veľké rozdiel vo výsledkoch. Porovnajme riešenia nerovníc sin > a sin. = = sin Ž: Riešením nerovnice sin > je prázdna množina. Oborom funkčných hodnôt funkcie sínus je uzavretý interval ;. Preto neeistuje reálne číslo, pre ktoré b sínus bol väčší ako číslo. U: Naproti tomu, množina koreňov nerovnice sin obsahuje nekonečne veľa čísel. Sú to všetk reálne čísla, pre ktoré je hodnota sínus rovná číslu. Také čísla sa dajú vjadriť v tvare + k, kde k je celé číslo. Táto nerovnica ukazuje, že jej riešením nemusí bť zjednotenie intervalov. Ab sme vstriedali všetk prípad, vriešme ešte nerovnice sin < a sin. Ako sa teraz zmení výsledok? Ž: Zaujímavá úloha. Čo všetko sa dá v jednom zápise zmeniť. Začnem tou poslednou nerovnicou sin. Toto platí vžd. Jej riešením teda bude množina všetkých reálnch čísel. U: Nerovnica sin < sa líši od tebou vriešenej nerovnice iba vo vnechaní rovnosti. Teda jej riešením budú všetk reálne čísla, okrem čísel v tvare + k, kde k je celé číslo. To z toho dôvodu, že vted je hodnota funkcie sínus rovná číslu.
Ma-Go--T List sin > ; K =, sin ; K = sin < ; K = R { + k; k Z }, { + k; k Z }, sin ; K = R. U: Analýza riešenia goniometrických nerovníc, ktoré obsahujú inú goniometrickú funkciu ako sínus, je podobná tomu, čo sme v tejto téme urobili. So samotnými nerovnicami sa stretneš aj pri iných úlohách. Pri zostrojovaní grafov funkcií, určovaní definičných oboroch funkcií, úprave výrazov a podobne.
Ma-Go-- List 7 Príklad : Vriešte v uzavretom intervale ; nerovnicu: a) sin >, b) cos. U: Použijeme grafickú metódu. Ľavá strana nerovnice určuje hodnot funkcie f : = sin a pravá strana konštantnú funkciu g : =. Dúfam, že nemáš problém s tým, ako vzerajú graf týchto funkcií. Ž: Sínusoida je grafom pre funkciu sínus a -ová os pre funkciu =. = = sin U: Zápis nerovnice znamená, že pre hľadané reálne čísla má bť graf funkcie sínus nad -ovou osou. Hodnot funkcie sínus majú bť väčšie ako nula. Urči, ktorý interval tomu vhovuje. Ž: Riešením sú všetk reálne čísla z otvoreného intervalu ; ). U: Tou istou metódou vriešme nerovnicu cos. Graf ktorých funkcií budeme teraz zobrazovať? Ž: Znázorníme graf funkcie kosínus a konštantnej funkcie, ktorá má predpis =. U: Aj [ teraz bude v obrázku priamka. Bude rovnobežná s -ovou osou. -ovú os pretne v bode ; ]. Určiť z grafu reálne čísla vhovujúce nerovnici, b si mal už vedieť sám. = cos =
Ma-Go-- List 8 Ž: V zápise nerovnice sa hovorí, že hodnot funkcie kosínus majú bť menšie, alebo rovnaké ako číslo. Zoberiem tú časť, kde sa kosínusoida nachádza pod priamkou. Je ohraničená priesečníkmi týchto grafov. Funkcia kosínus nadobúda hodnotu pre rovné číslu. S určením druhej hodnot potrebujem poradiť. U: Okrem I. kvadrantu nadobúda funkcia kosínus kladné hodnot aj vo IV. kvadrante. Graf funkcie kosínus je smetrický na intervale ; podľa priamk rovnobežnej s -ovou osou. Priamka pretína -ovú os v bode =. Preto druhú hodnotu dostaneme odčítaním čísla od čísla. = cos 5 = = 5 Ž: Teraz je to už ľahké. Riešením nerovnice na intervale ; ) bude uzavretý interval ; 5. Pre takéto sa graf funkcie kosínus nachádza pod grafom konštantnej funkcie =. U: Ukážeme si aj druhú metódu riešenia. Je založená na definícií funkcie kosínus. Vužijeme pri nej aj jednotkovú kružnicu. Ž: Mslíte bod jednotkovej kružnice, ktorých -ová súradnica predstavuje hodnot funkcie kosínus? U: Áno. Bod jednotkovej kružnici odpovedajú reálnm číslam. Najdôležitejšie pre riešenie je preformulovať si zadanie nerovnice cos do geometrickej interpretácie na jednotkovej kružnici. Rovnosť b si mal vedieť vsvetliť. Ž: Treba nájsť bod jednotkovej kružnice, ktorých -ová súradnica je rovná číslu. Také bod sú dva, v I. a vo IV. kvadrante.
Ma-Go-- List 9 = J U: Tieto bod zodpovedajú hodnotám a 5 argumentu. Tu je jasnejší výpočet druhej hodnot cez číslo. Nerovnosť znamená nájsť bod na jednotkovej kružnici, ktorých -ová súradnica je menšia ako číslo. To znamená, že -ové súradnice môžu bť v rozpätí od do. Ako vidíš na obrázku zodpovedajú tomu všetk hodnot argumentu, ktoré sú medzi už určenými číslami. Záver riešenia je ten istý ako pri prvej metóde. K = ; 5
Ma-Go-- List Príklad : Vriešte v množine reálnch čísel nerovnicu: tg. U: Načrtni graf funkcie tangens na otvorenom intervale ; ). Ž: Grafom je časť tangentoid. Na -ovej osi tangentoidu vmedzujú dve asmptot. Sú to priamk rovnobežné s -ovou osou a prechádzajú koncovými bodmi intervalu. = tg U: S výrazom tg na ľavej strane nerovnice súvisí jedna funkcia, ktorej graf už máme. Pravou stranou nerovnice je určená druhá funkcia, ktorej graf treba načrtnúť do toho istého obrázka. Nerovnica je porovnaním hodnôt týchto dvoch funkcií. Hodnot výrazu na pravej strane v našom prípade nezávisia od hodnôt argumentu. Stále sú rovné číslu. O akú funkciu ide? Ž: Pravá strana je konštanta. Grafom je priamka rovnobežná s -ovou osou. Priamka pretína -ovú os v bode. = tg = U: Podľa zadanej nerovnice hodnot funkcie tangens majú bť väčšie alebo rovnaké ako hodnot konštantnej funkcie. Pre reálne čísla zodpovedajúce tejto situácii sa graf funkcie tangens má nachádzať nad grafom konštantnej funkcie, alebo ho pretínať. Aká je -ová súradnica priesečníka grafov týchto dvoch funkcií? Ž: Funkcia tangens nadobúda hodnotu jedna pre rovné reálnemu číslu. Opačnú hodnotu 4 má pre rovné číslu 4.
Ma-Go-- List U: Ab boli hodnot funkcie tangens väčšie ako číslo, musí bť argument väčší ako číslo. Vted časť tangentoid je nad priamkou. Máš možnosť vidieť to na obrázku. 4 Ž: Riešením bude teda interval 4 ; ). U: Bude to základné riešenie. Podobných intervalov však bude nekonečne veľa, lebo funkcia tangens je periodická s najmenšou periódou. Všeobecne ich zapíšeš tak, že k ľavému hraničnému bodu základného intervalu pripočítaš celočíselné násobk čísla. To isté 4 urobíš pre pravý hraničný bod. Výsledok bude zjednotením takto vtvorených intervalov pre všetk celočíselné hodnot parametra k, ktorý použiješ. K = k Z 4 + k; + k ) Úloha : Vriešte v množine reálnch čísel nerovnicu: Výsledok: K = + k; ) + k k Z < cotg <.
Ma-Go-- List Príklad : Vriešte v množine reálnch čísel nerovnicu: sin cos >. Ž: Nevzerá to dobre. Dve rôzne funkcie v súčine na ľavej strane nerovnice. U: Lenže nerovnica hovorí, že súčin funkcií má bť kladné číslo. To celé riešenie zjednoduší, hoci na prvý pohľad je zadanie tejto úloh komplikované. Aké môžu bť dve čísla, ak ich vnásobením máme dostať kladné číslo? Ž: Obe čísla musia bť buď súčasne kladné alebo súčasne záporné. U: Aplikuj túto vedomosť na zadanú nerovnicu sin cos >. Ž: V našom prípade buď sínus aj kosínus sú súčasne kladné alebo súčasne záporné. U: Možno sa pamätáš na smbolický zápis tebou vslovenej vlastnosti, ktorú si aplikoval na zadanú nerovnicu. sin cos > sin > cos > ) sin < cos < ) Ž: Potrebujem to trochu pripomenúť. Čo znamenajú tie smbol? U: Nahradil som tvoje slovné spojk smbolmi. Smbol podobný písmenu v označuje spojku alebo. Ak ho prevrátime, dostaneme smbol pre spojku a. Prvý smbol nahrádza slovné spojenie práve vted, keď. Vjadrili sme ním, že kladnosť sa dá dosiahnuť iba v týchto dvoch prípadoch. Inoked nie. V prvom prípade majú bť hodnot funkcií sínus a kosínus súčasne kladné. Urči riešenie pre tento prípad na intervale ; ). Ž: Funkcia sínus je kladná na otvorenom intervale ; ). Pre funkciu kosínus dostaneme dva interval. Je kladná na intervale ; ) ), alebo na intervale ;. U: Logická spojka alebo, ktorú si použil, zodpovedá zjednoteniu týchto intervalov. Smbolický zápis si môžeš pozrieť v rámčeku. ; ) ; ) U: Dostal si dve čiastkové riešenia. Pre nerovnicu sin > množinu koreňov K = ; ). Pre nerovnicu cos > množinu koreňov K = ; ) ) ;. V tomto prípade obe nerovnice majú platiť súčasne. Výsledná množina koreňov K preto bude prienikom oboch týchto množín K a K. K = K K = ; ) U: Vrieš podobným spôsobom druhý prípad. Obe funkcie teraz majú mať záporné hodnot.
Ma-Go-- List Ž: Funkcia sínus nadobúda záporné hodnot na intervale ; ). Pre funkciu kosínus je to interval ; ). Ich prienikom je interval ; ). Prienik preto, lebo obe nerovnice majú platiť súčasne. K = ; ) U: Celkové riešenie nerovnice dostaneme zjednotením čiarkovaných množín. Zatiaľ sme ho určili iba na základnom intervale ; ). Obe funkcie sú však periodické s najmenšou periódou rovnajúcou sa číslu. Výsledkom teda bude zjednotenie nekonečného počtu takýchto intervalov. Ich hraničné bod získame ako súčet hraničných bodov základného riešenia a celočíselných násobkov periód. Sleduj v rámčeku. K = K K = ; K = k Z ) ; [ + k; + k ) + k; + k ) ]. ),
Ma-Go--4 List 4 Príklad 4: Vriešte na uzavretom intervale ; nerovnicu: tg sin. U: Upravme nerovnicu na anulovaný tvar. To znamená, že na jednej strane nerovnice bude nula. Ž: Odčítam od oboch strán nerovnice výraz sin : tg sin. U: Všetk ďalšie úprav budeme robiť tak, ab sme výraz na ľavej strane upravili na súčin dvoch výrazov. Čím b si začal? Ž: Tangens b som napísal ako podiel funkcií sínus a kosínus: sin sin. cos U: Ľavú stranu upravíme na jeden zlomok. Spoločným menovateľom je výraz cos, preto výraz sin rozšírime: sin sin cos cos. Akú ďalšiu úpravu b si urobil? Ž: V čitateli zlomku sa dá vbrať pred zátvorku výraz sin : sin cos ) cos. Netuším ako postupovať ďalej. U: Pozri sa ešte raz na tvar poslednej nerovnice. V zlomku je súčin dvoch výrazov delený tretím výrazom. Výsledkom všetkých operácií má bť nezáporné číslo. Teda kladné alebo rovné nule. Nedá sa zistiť, ked to nastane? Ž: To bude dosť komplikované. Čitateľ aj menovateľ musia bť naraz kladné čísla, alebo oba súčasne záporné. Toto určite sám nezvládnem. Veď ešte aj čitateľ je súčin dvoch výrazov. U: Čitateľ b v oboch prípadoch mohol bť aj nula. Vidím však, že analýza riešenia pre tri výraz ťa odrádza od ďalšieho uvažovania. Poteším ťa. Výraz na ľavej strane sa dá sin cos ) zjednodušiť. Podiel dvoch funkcií v zápise sa dá nahradiť jedným cos výrazom. Ž: Máte pravdu. Už sme to raz v riešení použili. Podiel funkcií sínus a kosínus predstavuje hodnot funkcie tangens. Teraz to vzerá oveľa lepšie. V poslednej nerovnici už nie je zlomok.
Ma-Go--4 List 5 sin cos ), cos tg cos ). U: Ľavá strana je navše súčinom iba dvoch výrazov. Dúfam, že teraz už prekonáš svoju nechuť k riešeniu. Vedel si, ked je podiel dvoch výrazov nezáporné číslo. Pre súčin je to o trochu jednoduchšie. Ž: Máte pravdu. Buď sú výraz tg a cos súčasne nezáporné alebo súčasne nekladné. tg cos ) tg cos ) tg cos ). U: Rámček vjadruje tvoju slovnú argumentáciu použitím smbolov. Máme teda vriešiť dva prípad a v každom dve nerovnice. Prvá nerovnica tg nepatrí medzi obtiažne. Pre ktoré reálne čísla nadobúda funkcia tangens nezáporné hodnot? Ž: Toto si pamätám, lebo sa to vsktuje veľmi často. V I. kvadrante. Teda ; ). U: Funkcia tangens je periodická s najmenšou periódou. Z tohto dôvodu nerovnici tg vhovuje zjednotenie nekonečného počtu intervalov. Budú vjadrené pomocou hraníc základného intervalu, ku ktorým pripočítame celočíselné násobk čísla : + k; ) + k. k Z U: Ani riešenie druhej nerovnice cos nie je náročné. Stačí ju upraviť na tvar cos. Ž: To b malo platiť vžd! U: Prečo? Ž: Vplýva to z oboru funkčných hodnôt pre funkciu kosínus. Kosínus má pre každé reálne číslo hodnot menšie, alebo rovné číslu. U: Dobre. Riešením nerovnice cos sú preto všetk reálne čísla. Obe nerovnice majú platiť súčasne. Riešením druhej nerovnice sú všetk reálne čísla a prvej nerovnici ) vhovujú čísla zo zjednotenia intervalov v tvare + k; + k. Výsledok je určený prienikom. V tomto prípade je to spomenuté zjednotenie intervalov. K = R k Z + k; ) + k = k Z + k; ) + k
Ma-Go--4 List U: Vriešiť druhý prípad b pre teba nemal bť problém. Začni poslednou nerovnicou. tg cos Ž: Upravím ju na tvar cos. Hodnot kosínus nemôžu bť väčšie ako číslo. U: Ale hodnot funkcie kosínus môžu bť rovné číslu. Nerovnica vted bude pravdivým výrokom. Pre aké to nastane? Ž: Kosínus nadobúda hodnotu pre celočíselné násobk čísla. U: V porovnaní s prvým prípadom sme nedostali nič nové. Prípad ked kosínus je rovný číslu je zahrnutý aj v nerovnici cos. Vriešili sme ju v prvom prípade. Čísla v tvare k sú zarátané do množin K. Teda nie je nutné v riešení druhého prípadu pokračovať. Nedostaneme nič nové. Celkovým riešením je množina, ktorá je uvedená v rámčeku. K = K = k Z + k; ) + k
Ma-Go--5 List 7 Príklad 5: Vriešte v množine reálnch čísel nerovnicu: cos <. U: Riešenie bude závisieť od toho, aké hodnot nadobúda výraz cos v absolútnej hodnote. Podľa definície absolútnej hodnot reálneho čísla treba rozlíšiť dva prípad. Ž: Mohli b ste to pripomenúť? U: Ak výraz cos v absolútnej hodnote nadobúda nezáporné hodnot, tak absolútnu hodnotu možno nahradiť tým istým výrazom. Absolútna hodnota nezáporného čísla je to isté číslo, napríklad =. V našom prípade: ak cos, tak cos = cos. Ž: Aha! Vted bude mať zadaná nerovnica tvar cos <. U: Správne! Uvedom si však, že nerovnicu cos < máme vriešiť za podmienk cos. Preto ďalej riešime sústavu dvoch nerovníc. Ako súvisí riešenie tejto sústav s množinami koreňov jednotlivých nerovníc? Ž: Keďže je to sústava, obe nerovnice musia platiť súčasne. Výsledné riešenie nájdeme ako prienik množín koreňov jednotlivých nerovníc. U: Ukážeme si, že v našom prípade sa výsledné riešenie sústav nerovníc dá určiť rýchlejšie. Sleduj graf funkcie kosínus na intervale ;. Nerovnice cos < a cos včleňujú z neho tú časť, ktorá sa nachádza nad alebo na -ovej osi. To preto, lebo podľa druhej nerovnice majú bť hodnot funkcie kosínus nezáporné. Prvá nerovnica navše hovorí, že tejto časti grafu nepatria bod, v ktorých má funkcia kosínus hodnotu. = cos U: Výsledným riešením v prvom prípade budú všetk reálne čísla, pre ktoré graf funkcie nie je pod -ovou osou a graf nenadobúda maimum. Určiť ich, b pre teba nemal bť problém. Ž: Sú to dva interval, a to interval ; ) a ;. Ž: Ako sa vrieši nerovnica, keď kosínus bude záporný? U: To je druhý prípad. Podľa definície absolútnej hodnot, ak reálne číslo je záporné, tak jeho absolútna hodnota je rovná číslu, ktoré je k nemu opačné. Napríklad = ). V našom prípade, ak cos <, tak cos = cos. Stačí dosadiť do zadania a vriešiť. Ž: Po dosadení do pôvodnej nerovnice cos < dostaneme nerovnicu cos <. Ak vnásobíme výraz na oboch stranách nerovnice číslom, bude mať nerovnica tvar: cos >.
Ma-Go--5 List 8 U: Aj v druhom prípade vriešime sústavu dvoch nerovníc: cos < a cos >. Situácia v interpretácií nerovníc na grafe je analogická prvému prípadu. Ž: Teraz nás zaujíma časť grafu funkcie kosínus, ktorá je pod -ovou osou, lebo podľa prvej nerovnice majú bť hodnot tejto funkcie záporné. U: Keďže oborom funkčných hodnôt funkcie kosínus je uzavretý interval ;, druhá nerovnica platí vžd, okrem tých reálnch čísel, pre ktoré je kosínus rovný číslu. Na grafe nezoberieme bod, ktorý zodpovedá minimu funkcie. = cos Ž: Riešením budú opäť dva interval: ; ) a interval ; ). U: Zjednotením riešení získaných v oboch prípadoch dostaneme výsledné základné riešenie. Pre celkové riešenie úloh na množine reálnch čísel zohľadníme periodickosť funkcie kosínus s najmenšou periódou. Sleduj najskôr situáciu na číselnej osi. Štri interval, ktoré sme dostali ako riešenia v analzovaných dvoch prípadoch vtvárajú skoro jeden súvislý celok. Je to interval ; ), v ktorom treba vlúčiť dve čísla: a. Vieš prečo? Ž: Pre tieto hodnot má funkcia spomínamé maimum alebo minimum. Ale, keď je periodická, bude sa táto situácia opakovať na každom ďalšom vhodnom intervale dĺžk. U: Ako jednoduchšie b sa daný výsledok dal zapísať? Ž: Výsledkom budú všetk reálne čísla, okrem tých hodnôt, pre ktoré má funkcia kosínus hodnot alebo. V základnom intervale sú to čísla a. Všeobecne ich zapíšeme v tvare k, kde k je celé číslo. K = R {k; k Z} U: Ak si uvedomíš podstatu zadania, nemusíš mať riešenie úloh takéto zdĺhavé. Na zadanie však potrebuješ aplikovať vedomosti o vlastnostiach funkcie kosínus. Vieme, že hodnot funkcie kosínus sú v rozpätí od do vrátane. Zadaná nerovnica cos < hovorí, že absolútna hodnota funkčných hodnôt kosínus nemôže bť väčšia alebo rovná číslu. Vted b absolútna hodnota nebola menšia ako číslo. Preto kosínus nemôže bť rovný číslam a. Ale to už je výsledok, ku ktorému sme došli aj v našom riešení.
Ma-Go-- List 9 Príklad : Určte definičný obor funkcie: a) f : = cotg, cos b) g : =. U: Akou podmienkou je dané určenie definičného oboru funkcie f? Ž: V predpise funkcie na pravej strane je výraz obsahujúci druhú odmocninu. Pod odmocninou nesmie bť záporné číslo. U: V našom prípade budeme teda riešiť nerovnicu cotg. Tá porovnáva hodnot funkcie kotangens s nulou. Preto je výhodné načrtnúť si graf funkcie kotangens. = cotg U: Ako na grafe interpretovať nerovnicu? Hodnot funkcie kotangens majú bť väčšie alebo rovné nule. Ž: -ová súradnica predstavuje hodnot funkcie. Teda graf funkcie kotangens má bť nad -ovou osou, alebo ju pretína. Vted je hodnota funkcie rovná nule. U: Je dobré, ak si v takýchto úlohách budeš všímať graf iba na základnom intervale. Pre funkciu kotangens je to otvorený interval ; ). Na tomto intervale sa graf nachádza nad -ovou osou, respektíve ju pretína, pre z intervalu ;. Ž: Ako zohľadníte periodickosť funkcie kotangens? Veď riešením je nekonečne veľa intervalov. U: Každý z ďalších intervalov získame posunutím základného riešenia v smere -ovej osi o celočíselné násobk čísla. Ž: To je najmenšia perióda funkcie kotangens. U: Áno. Celkový výsledok zapíšeme v tvare zjednotenia nekonečného počtu intervalov. Ich hranice vjadríme v tvare súčtu čísel, ktoré vjadrujú hranice základného intervalu ; a celočíselných násobkov čísla. Vjadruje to posun o spomínané násobk periód. Df) = k Z + k; + k
Ma-Go-- List U: Riešenie úloh b) bude analogické. Akou podmienkou je určený definičný obor funkcie cos g : =? Ž: Výraz cos, ktorý je pod druhou odmocninou, musí nadobúdať nezáporné hodnot, t. j. cos. U: Na rozdiel od úloh a) je dobré nerovnicu upraviť. Ž: Vnásobím obe stran nerovnice číslom a dostanem cos. Ak pripočítam k obom stranám nerovnice výraz cos, mám nerovnicu cos. U: Riešenie poslednej nerovnice je pomerne jednoduché. Potrebuješ však uplatniť vedomosť o jednej vlastnosti, ktorú má funkcia kosínus. Ž: Máte na msli obor funkčných hodnôt? U: Vieš zdôvodniť prečo? Ž: Zápis cos vjadruje, že hodnot funkcie kosínus majú bť menšie alebo rovné číslu. Funkcia kosínus však nadobúda hodnot v rozpätí čísel od do vrátane. Preto riešením nerovnice je každé reálne číslo. U: Vidíš. Riešenie tejto úloh bolo nakoniec jednoduchšie ako v prvom prípade. Definičným oborom funkcie g je množina všetkých reálnch čísel Dg) = R.
Ma-Go--7 List Príklad 7: Vriešte v množine reálnch čísel nerovnicu: cos > U: Zavedieme substitúciu. Výraz, ktorý je argumentom funkcie kosínus, nahradíme novou neznámou u =. Dostaneme nerovnicu cos u >. Ž: Pokúsim sa vriešiť túto nerovnicu vužitím jednotkovej kružnice. Viem, že kosínus predstavuje -ovú súradnicu bodov, ktoré sú priradené reálnm číslam u. Rovnici cos u = vhovujú dve riešenia v základnom intervale. Odpovedajú bodom jednotkovej kružnice v I. a vo IV. kvadrante. u = J u Ž: Kosínus nadobúda hodnotu pre u rovné číslu. I. a IV. kvadrant sú smetrické podľa -ovej osi. Preto základné riešenie zodpovedajúce bodu vo IV. kvadrante bude rovné rozdielu čísla a určenej hodnot pre I. kvadrant, teda =. U: Rovnicu si vriešil správne. Teraz je nutný prechod k nerovnici. Hodnot funkcie kosínus majú bť väčšie ako číslo. To znamená, že hľadané bod na jednotkovej kružnici majú -ovú súradnicu väčšiu ako. Ktorá časť kružnice tomu vhovuje?
Ma-Go--7 List u = J u Ž: Sú to bod na menšom kružnicovom oblúku ohraničenom bodmi, pre ktoré platila rovnica. U: V nerovnici je ostrá nerovnosť. Preto riešením bude otvorený interval. Koncové bod kružnicového oblúka nerovnici nevhovujú. Ž: Mám problém tento interval zapísať pomocou čísel a. U: Máš pravdu. Ab to bol jeden interval, je nutné hodnotu nahradiť iným reálnm číslom. Bude zodpovedať tomu istému bodu vo IV. kvadrante. Zoberieme číslo. To isté ako v I. kvadrante, ale v zápornom smere. Ž: Jasné! Riešením pre neznámu u bude otvorený interval ; ). U: Je to základné riešenie. Prečo sme ho určovali iba na intervale dĺžk? Ž: Pretože funkcia kosínus je periodická s najmenšou periódou. Interval sa budú opakovať. Ako to zapíšeme? U: Začiatok každého ďalšieho intervalu, ktorý je riešením nerovnice cos u <, dostaneme pripočítaním celočíselných násobkov čísla k začiatku základného intervalu. Koniec intervalu zapíšeme analogick. Celkovým riešením pre neznámu u je zjednotenie takto vtvorených intervalov: u + k; ) + k. k Z U: Smbol označuje spomínané zjednotenie. Zápis k Z vjadruje, že parameter k nadobudne všetk hodnot z množin celých čísel. V zjednotení je nekonečný počet intervalov. Ž: Máme už množinu koreňov zadanej nerovnice? U: Zatiaľ sme určili iba hodnot neznámej u. Určiť riešenie pre neznámu už nie je problém, lebo u =. Neznáma bude nadobúdať polovičné hodnot zodpovedajúce substitučnej neznámej u: K = k Z + k; + k ).
Ma-Go--7 List Ž: Prečo ste zmenili aj periódu z na číslo? U: Funkcia = cos u má najmenšiu periódu číslo, ale funkcia = cos má dvakrát menšiu periódu. Veď to vplýva aj z našej substitúcie u =. Teda = u. Ak u = + k, tak je polovicou výrazu na pravej strane: = + k = + k.