Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον: lim f ( ) f ( a) lim f ( ) f ( ) a A Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f ; Απάντηση Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f ( ), lim f ( ) είναι ή, τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Α3 Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα a,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν f ( ) στο o f ( ) στο Απάντηση (, ), τότε να αποδείξετε ότι το (, ) και f ( ) είναι τοπικό μέγιστο της f Eπειδή f ( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο α, ] Έτσι έχουμε: ( f ( ) f ( ), για κάθε (, ] () Επειδή f ( ) για κάθε (, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β) Έτσι έχουμε: f ( ) f ( ), για κάθε [, ) ()
y f > f < y f > f < 35a f( ) f( ) O a β O a β Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f ( ) f ( ), για κάθε (, ), που σημαίνει ότι το f ( ) είναι μέγιστο της f στο (, ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν f συνεχής με f ( ) για κάθε [ a, ] f ( ) d a Σωστό (αφού η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο a, άρα ( ) f ( ) για κάθε a, Επομένως f ( ) d ή f ( ) d a ) a, τότε ίσχύει πάντοτε και f για κάθε a, ή β Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα a,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα A, B, όπου: Λάθος (είναι γ Αν υπάρχει το Σωστό δ Αν μια συνάρτηση f : A lim f ( ) και B lim f ( ) a B, A αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα ) lim f ( ), τότε f ( ) κοντά στο, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο έχει συνεχή πρώτη παράγωγο και f ( ) για κάθε Σωστό (αφού η f συνεχής στο και χωρίς ρίζες θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, επομένως είναι ή f ( ) για κάθε, δηλαδή γνησίως αύξουσα, ή f ( ) για κάθε, δηλαδή γνησίως φθίνουσα)
ε Δίνεται συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Στα εσωτερικά σημεία του όπου η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, η γραφική παράσταση C της f f έχει οριζόντια εφαπτομένη Σωστό (αν θέση τοπικού ακροτάτου, τότε από το θεώρημα του Fermat θα είναι f ( ), δηλαδή η εφαπτομένη της τον άξονα -οριζόντια εφαπτομένη) C στο σημείο, ( ) f A f είναι παράλληλη προς ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με: f Β Να δείξετε ότι και 4 Β Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ) Β3 Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ), αν, 8 6 3, αν Β4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) ln 8 διάστημα, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ Β Η είναι συνεχής στο, άρα και στο : συνεχής στο
Άρα: και και επομένως: Β Για και έχουμε: οπότε: Β3 Είναι: αφού: και, οπότε από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε:
Β4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: Η είναι συνεχής στο (ως σύνθεση και αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο ) Επίσης: Άρα, από το θεώρημα Bolzano, έχουμε ότι η εξίσωση: έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ΘΕΜΑ 3 ο Έστω μία συνάρτηση f :, επόμενες συνθήκες: Δίνεται επίσης η συνάρτηση: δύο φορές παραγωγίσιμη η οποία ικανοποιεί τις f () f () f ( ) 4 f ( ) f ( ) ln 3, για κάθε g f f Γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή στο, ( ) ( ) ( ) ln,
Γ Να αποδείξετε ότι f ( ) ln, Γ3 i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης διέρχεται από την αρχή των αξόνων C της f που f ii Αν ένα σημείο M ( t), y( t ), όπου t ο χρόνος σε sec και ( t), κινείται πάνω στην καμπύλη της γραφικής παράστασης μεταβολής της τετμημένης του και ίσο με C της fof με σταθερό ρυθμό fof cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t, κατά την οποία ( t ) cm Γ4 Να αποδείξετε ότι: a f f ( a) f ( ) για κάθε a,, e με a ΛΥΣΗ Γ Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, (ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: g f f f f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) 4 ( ) ( ) ln 3, λόγω της δεδομένης σχέσης Επομένως η συνάρτηση g είναι σταθερή, δηλαδή g( ) c, για κάθε > Γ Αφού από το ερώτημα Δ η συνάρτηση g είναι σταθερή θα υπάρχει c, ώστε να ισχύει g( ) c Για g() c f () f () c c Επομένως έχουμε διαδοχικά: g( ) f ( ) f ( ) ln f ( ) f ( ) ln f ( ) f ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) f f c c Για f () c c Επομένως:
Γ3 i) Έστω, ( ) f f ( ) ln ( ) ln, A f το σημείο επαφής της γραφικής παράστασης C της f με την f εφαπτομένη της (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f ( ), Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο Α είναι: ( ) : y f ( ) f ( )( ) y ln Αφού η (ε) διέρχεται από την αρχή των αξόνων (,) έχουμε: ln ln ln e Επομένως η ζητούμενη εξισωση είναι: ii) Έχουμε: y f ( e) f ( e) e y e y e e y( t) fof ( ( t)) f f ( ( t)) ln ln( ( t), t, ( t) Η συνάρτηση y( t) είναι παραγωγίσιμη για κάθε t (ως συνθέσεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων για t ) με: y ( t) ln( ( t) ( t), t ln( ( t) ln( ( t) ( t) Τη χρονική στιγμή t t sec είναι: t t y ( t ) ( t ) cm / sec ln( ( ) ( ) ln ln to t Γ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση K( ) ln f ( ),, e Η K ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ως συνθέσεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, e e ) με K ( ),, ln e Η K ( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ως αποτέλεσμα e πράξεων παραγωγίσιμων συνατήσεων στο, e ) με ( ln ) K ( ), για κάθε ln, e (είναι ln ln ln ln e e )
Άρα η K ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, δηλαδή η Κ είναι κυρτή στο e, e Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στα διαστήματα a a, και a, αντίστοιχα αφού: a Η συνάρτηση K( ) είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα a, και a, (άρα και a συνεχής σε αυτά) Επομένως, υπάρχουν αντίστοιχα a, και a, τέτοια, ώστε: a a K K a K K K ( ) και K ( ) Έχουμε διαδοχικά: a a K K a K K K ( ) K ( ) a a a K K a K K K K a K a a ln f ln f ( a) ln f ( ) ln f ln f ( a) f ( ) a a a f f ( a) f ( ) f f ( a) f ( ) f f ( a) f ( ) ( ύ f ( a), f ( ), ό,, ) e ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση 5 3 f ( ), Δ i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη ii) Να αποδείξετε ότι : e5 e3 e4 e5 4, για κάθε Δ i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) f έχει μοναδική ρίζα, ii) Να λύσετε την ανίσωση:
3 6 3 6 6 4 6 4 Δ3 Να αποδείξετε ότι: Δ4 i) Να αποδείξετε ότι: f ( t) dt 3 4 ii) Να υπολογίσετε, συναρτήσει του 3 e d 4 με, το ολοκλήρωμα: f d ΛΥΣΗ Δ i) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με: 4 f ( ) 5 3,, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή είναι «-» οπότε η f αντιστρέφεται ii) Έχουμε διαδοχικά: 5 3 4 5 5 5 3 4 5 4 e e e 5 3 3( ) 5 3 e e e e e e e e f ( e ) f ( ) e Η τελευταία σχέση αληθεύει για κάθε αφού: Για γίνεται ln (αληθής με χρήση της εφαρμογής,ii) στη σελίδα 66 του σχολικού βιβλίου) Για, είναι προφανής, αφού e Επομένως, οι λύσεις της δοθείσας ανίσωσης είναι όλα τα Σημείωση: Μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( ) e, και να μελετήσουμε την μονοτονία και τα ακρότατά της, οπότε αποδυκνείουμε ότι g( ) e για κάθε Επομένως, οι λύσεις της δοθείσας ανίσωσης είναι όλα τα Δ i) Θεωρούμε τη συνάρτηση K( ) f ( ),,
Η συνάρτηση K( ) είναι συνεχής στο, (ως πολυωνυμική) K() f (), άρα K() K() K() f () Επομένως, από το Θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ένα, τουλάχιστον,,, τέτοιο, ώστε K( ) f ( ) Επειδή η f είναι συνάρτηση «-» το είναι μοναδικό ii) Θεωρούμε την συνάρτηση να λύσουμε την ανίσωση: 6 4 h( ) 3 6, και έτσι θέλουμε ισοδύναμα 6 4 6 4 3 6 3 6 h( ) h( ) (Ι) Η h είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με: Έχουμε: 5 3 5 3 h ( ) ( f ( ) ), h ( ) ( f ( ) ) f ( ), f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) h ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) h ( ) Επομένως η συνάρτηση h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση και άρα είναι h( ) h( ), για κάθε Επομένως, το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι το ος τρόπος (Δ ii) Εχουμε ισοδύναμα: 6 4 6 4 6 4 6 4 3 6 3 6 6 4 6 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση 6 4 F( ),, η οποία είναι κυρτή στο, αφού η F 6 4 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με: 5 3 F ( ) f ( ), F ( ) f ( ), Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης A, F( ) είναι: C F της F στο σημείο της y F( ) F ( ) y F( ) F ( ) y F ( ) f ( ) y F ( ) Αφού η F είναι κυρτή στο, έχουμε διαδοχικά: 6 4 6 4 F( ) y F( ) F( ) F( ) F( ), 6 4 6 4 Επομένως, το σύνολο λύσεων της ανίσωσης (Ι) είναι το
Δ3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, αύξουσα στο, έχουμε: και επειδή η f είναι γνησίως t f f ( t) f f dt f ( t) dt f dt f ( t) dt f f ( t) dt f f f ( II ) Τώρα έχουμε: f () f f f () 3 f f 4 ( III) Επομένως, από τη σχέση (ΙΙ),λόγω της σχέσης (ΙΙΙ) προκύπτει ότι: Δ4 i) Ισχύει ότι f ( t) dt 3 4 e, (ερώτημα Δ,ii) Αν θέσουμε όπου το έχουμε ( ) e e e (ΙV), για κάθε H συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα επίσης δεν είναι παντού μηδέν στο,, (ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων στο Ολοκληρώνοντας την σχέση (ΙV) έχουμε διαδοχικά: 3 e d e d d d e d 3 4 e d e d 3 e d 4 3 3, ) και ii) Θέτουμε f ( ) u και έχουμε: f u f u ( ) ( ) d f ( u) du f ( u) u f ( u) u u,, u Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι: 6 4 6 4 4 5 3 5u 3u u 5 3 f ( ) d u f ( u) du u f ( u) du u 5u 3u du 5u 3u udu 6 4 6 4 Επιμέλεια λύσεων: wwwmathpgr-μαθηματικός Περιηγητής