Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul se umeşte moic su uitr terme liber,,, poliomul este cu coeficieţi complecşi şi scriem f X, ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi complecşi poliomul este cu coeficieţi reli şi scriem f X,,,, ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi reli poliomul este cu coeficieţi rţioli şi scriem f X,,,, ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi rţioli poliomul este cu coeficieţi îtregi şi scriem f X,,, ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi îtregi X X X X, ) Grdul uui poliom Dcă f X X X şi tuci spuem că poliomul f re grdul Notţie grd f su gr f Dcă f tuci poliomul se umeşte costt şi grd f Dcă f tuci poliomul se umeşte ul şi grd f 3) Eglitte poliomelor m m Fie f X X X şi g bmx bm X bx b Poliomele f şi g sut egle şi scriem f g dcă m şi i bi, i, dică u grde egle ir coeficieţii corespuzători egli 4) Vlore uui poliom Fie f X X X şi Numărul f se umeşte vlore poliomului î α şi se obţie di clculul îlocuirii edetermitei X cu α Dcă f tuci umărul α se umeşte rădăciă poliomului f Sum coeficieţilor se obţie clculâd vlore poliomului î dică f
Termeul liber se obţie clculâd vlore poliomului î dică f 5) Operţii cu poliome m i j Fie f, g [ X], f X i şi g bj X, m i Sum poliomelor f şi g este poliomul defiit pri: j f g c X, ude b, m c şi grd( f g) mxgrd f, grd g, m Sum se efectueză pri dure termeilor(moomelor) semee Produsul poliomelor f şi g este poliomul defiit pri: m f g cmx cx c, ude c ib j,, m şi grd( f g) grd f grd g produsul se efectueză pri desfcere prtezelor şi poi pri reducere termeilor(moomelor) semee Împărţire poliomelor f şi g se efectueză plicâd lgoritmul petru flre câtului şi restului Nu este idict să plicăm lgoritmul l împărţire cu biomul X Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică f ( ) deci reţiem că r f Câtul şi restul împărţirii uui poliom f pri biomul X se pot fl cu i j schem lui Horer Teorem împărţirii cu rest Oricre r fi poliomele f, g [ X ], grd f grd g, g, există şi sut uice poliomele qr, [ X] cre u proprietăţile: f gq r; şi grd g Avem evidet că grd q grd f grd g Dcă efectiv u putem plic lgoritmul l împărţire cu X X tuci determire restului se v fce stfel: Aplicăm TIR şi obţiem f X X qmx Clculăm f şi f î două moduri şi obţiem u sistem î m şi grd r Rezolvăm sistemul şi obţiem f f b f b bf m,, b b b 6) Divizibilitte poliomelor Fie f, g [ X] Poliomul f este divizibil cu poliomul g dcă există u poliom q [ X] stfel îcât f g q Notăm f g su g f f g dcă şi umi dcă f împărţit l g dă restul
f g dcă f împărţit l g u dă restul Dcă f g tuci grd f grd g Dcă f g dcă şi umi dcă rădăciile lui g sut şi rădăcii petru f f g dcă o rădăciă lui g u este rădăciă şi petru f 7) Rădăciile poliomelor Numărul α este rădăciă petru poliomului f dcă şi umi dcă f Teorem lui Bézout Fie f [ X ] u poliom eul şi Poliomul f este divizibil cu biomul X dcă şi umi dcă f dică este rădăciă Dcă α este rădăciă petru poliomul f tuci f ( X ) Dcă α şi β sut rădăcii petru poliomul f tuci f ( X ) şi f ( X ) Dcă f ( X ) şi f ( X ) tuci f ( X ) ( X ) Spuem că este rădăciă multiplă de ordi p petru poliomul f [ X ], dcă f ( X ) p şi f ( X ) p Dcă p tuci α se mi umeşte rădăciă dublă petru poliom, ir dcă p 3 tuci α se mi umeşte rădăciă triplă petru poliom f l este rădăciă dublă petru poliomul f [ X ], dcă f ll f dică α este rădăciă petru f, petru f l şi u e petru f l l f l f este rădăciă triplă petru poliomul f [ X ], dcă ll f lll f dică α este rădăciă petru f, petru f l, petru f l l şi u e petru f l l l Poliomul cre re o ifiitte de rădăcii este poliomul ul 8) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi reli Fie f [ X ] şi umerele bi, b respectiv bi,, b Dcă f re rădăci complexă bi, b tuci şi bi rădăciă şi mâdouă u celşi ordi de multiplicitte este Dcă f re rădăci complexă bi, b tuci f ( X ) ( X ) Numărul rădăciilor di \ dică pur complexe le poliomului f este pr Dcă grdul lui f este impr tuci poliomul re cel puţi o rădăciă relă Dcă grdul lui f este impr tuci poliomul re u umăr impr de rădăcii rele 3
Dcă grdul lui f este pr tuci poliomul re u umăr pr de rădăcii rele su deloc Dcă f f b tuci poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul b,, b,, b 9) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi rţioli Fie f [ X ] şi umerele b d, d, d respectiv b d,, b, d Dcă f re rădăci irţiolă b d, d, d tuci şi b d este rădăciă şi mâdouă u celşi ordi de multiplicitte Dcă f re rădăci irţiolă b d, d, d tuci f ( X ) ( X ) ) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi îtregi Fie f [ X ] şi umărul ude pq,, pq, Dcă f re rădăci frcţi ireductibilă p q p tuci p şi q q dică p divide termeul liber şi q divide coeficietul domit Rădăciile îtregi sut divizori i termeului liber U poliom u dmite rădăcii îtregi dcă vlorile poliomului î divizori îtregi i termeului liber sut eule Dcă f este moic(uitr) tuci rădăciile rţiole sut umi îtregi U poliom moic u dmite rădăcii rţiole dcă u re ici îtregi ) Descompuere î fctori Fie f X, f X X X cu rădăciile disticte x, x,, x Formul de descompuere este : f X xx x X x Dcă rădăciile u sut disticte tuci: p p p f X x X x X x ude p, p,, p sut ordiele de multiplicitte rădăciilor x, x,, x Orice poliom de grd cu coeficieţi reli pote fi descompus îtr-u produs de poliome de grdul I su grdul II cu coeficieţi reli Petru descompueri căutăm rădăcii îtregi pritre divizorii termeului liber plicâd schem lui Horer Dcă cuoştem rădăciile x, x,, x putem fl poliomul desfăcâd prtezele X xx x X x Î formul de descompuere f X x X x X x putem d vlori prticulre petru edermit X şi vom obţie diverse relţii ) Poliome reductibile-ireductibile 4
Poliomul f cu grd f, se umeşte reductibil peste mulţime de umere M dcă există poliomele g,h di M X de grde strict mi mici decât grdul lui f, stfel îcât f g h Î cz cotrr poliomul f este ireductibil peste mulţime M Orice poliom de grd este ireductil Orice poliom de grd este reductil peste f M X este ireductibil peste o mulţime de umere M Dcă u poliom tuci u re rădăcii î M dr ivers u dică dcă f M X u re rădăcii î M u îsemă că este ireductibil peste M Poliomele ireductibile peste sut de form f x b su f x bxc, ude bc,, U poliom f pote fi ireductibil peste o mulţime dr reductibil peste ltă mulţime 3) Relţii ître rădăcii şi coeficieţi-relţiile lui Viète Fie f X, f X X X cu rădăciile x, x,, x Relţiile lui Viète sut : V xx x V xx xx3 x x C termei 3 C termei V3 xxx3xxx4 xx x ; V x x x ( ) 3 Sum iverselor rădăciilor V x x x V Sum pătrtelor rădăciilor x x x V V Dcă x x x tuci poliomul u re tote rădăciile rele Dcă plicăm defiiţi rădăcii petru fiecre î prte tuci pri dure relţiilor putem obţie iformţii despre lte sume de puteri de rădăcii Dcă cuoştem V, V,, V tuci ecuţi cre re soluţiile x, x,, x este : x Vx V x ( ) V x ( ) V 4) Teoremă Orice ecuţiei poliomilă de grd re exct rădăcii complexe u epărt disticte 5) Teorem fudmetlă lgebrei (teorem D Alembert Guss) Orice ecuţie poliomilă de grd mi mre su egl cu re cel puţi o rădăciă complexă 5
6) Teorem Abel-Ruffii Orice ecuţie poliomilă de grd mi mre decât 4 u este rezolvbilă pri rdicli 7) Rezolvre ecuţiilor poliomile de form X X X Petru ecuţiile de grdul I şi II vem formule de rezolvre cuoscute 4 Petru rezolvre ecuţiilor bipătrte de form x bx c se fce substituţi x t Petru ecuţiile reciproce dică ecuţiile cu coeficieţii termeilor egl depărtţi de extremi, egli plicăm lgoritmul : Dcă grdul este impr tuci este rădăciă şi plicâd schem lui Horer obţiem o ltă ecuţie reciprocă, dr de grd pr Dcă grdul este pr tuci se fce substituţi x t, x şi pri x clcul se observă că x+ t x Ecuţiile biome de grd impr de form x,, u rădăci relă x * Ecuţiile biome de grd pr de form x,, u rădăciile rele x 8) Studiul rădăciilor uei ecuţii se pote fce şi cu teoremele Drboux, Rolle Cu jutorul cestor teoreme se pot determi umărul rădăciilor rele le ecuţiei precum şi itervlele î cre ceste rădăcii sut situte, dcă sociem fucţi poliomilă f : Coseciţă Teoremei lui Drboux Dcă o fucţi este cotiuă pe u itervl I şi f f b,, bi, I tuci ecuţi f x re cel puţi o soluţie î itervlul (,b) Şirul lui Rolle Ître două rădăcii le derivtei există cel mult o rădăciă fucţiei Algoritmul este: l Se rezolvă ecuţi f x şi obţiem rădăciile x, x,, x Fcem u tbel de form x x x x l f x f x lim f x f x f x f x lim f x x x lizăm vriţi semului fucţiei f Ître două vriţii de sem cosecutive le fucţiei f(x) există o rădăciă poliomului f 6