2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način tera krv da struji kroz krvne sudove. Proučavanje i razumevanje kretanja je interesantno često iz potpuno praktičnih razloga. Na primer, možemo da se zapitamo gde će fudbalska lopta pasti ako se šutne pod odredjenim uglom u odnosu na horizontalu i nekom početnom brzinom. Osim ovih, praktičih, razloga postoje i drugi zbog kojih se, pre nego što se krene u druge oblasti fizike, mora posvetiti odredjena pažnja upravo kretanju tela. Odredjeni pojmovi, koji se uvode kada se proučava kretanje, kao što je na primer ubrzanje, su osnova za kasnije uvodjenje drugih veličina, recimo sile. 1 Iz svakodnevnog iskustva mi imamo predstavu o kretanju kao o neprekidnoj promeni u položaju nekog tela. Sva kretanja u fizici, možemo da kategorišemo u tri tipa kretanja: translatorno, rotaciono i vibraciono (oscilatorno). Automobil koji se kreće auto putem je primer translatornog kretanja, Zemljina rotacija oko sopstvene ose je primer rotacionog kretanja, a kretanje klatna vibracionog. 2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Formalno izučavanje fizike stoga obično kreće od oblasti koja se naziva kinematika, koja se može definisati kao oblast fizike koja se bavi proučavanjem 1 Može da se kaže da zapravo postoji odredjeni logički niz pojmova koji se uvode u okviru fizike. 29

30 GLAVA 2. KINEMATIKA kretanja, bez uzimanja u obzir masa tela i sila koje deluju medju njima. 2 Proučavanje kretanja tela je nešto što je oduvek zanimalo ljudski rod i svakako je predstavljalo predmet interesovanja i u vremena koje istorija nije zabeležila. Prvi zapisani tragovi posvećeni proučavanju kretanja se odnose na kretanje Sunca i planeta po nebu. Interesovanje koje je pobudjivalo njihovo kretanje je, puno vekova kasnije, dovelo do ideje o postojanju gravitacije i do revolucionarne ideje da Zemlja nije centar Vasione. Pozabavimo se za početak, najprostijim tipom kretanja, translatornim kretanjem po pravoj liniji, odnosno jednodimenzionalnim kretanjem. Pri proučavanju translatornog kretanja koristićemo čestični model, odnosno model materijalne tačke, prema oome se dimenzije tela zanemaruju odnosno tela smatramo geometrijskim tačkama. Ako na primer, opisujemo kretanje Zemlje oko Sunca, i pri tom ne uzimamo u obzir njihove dimenzije već ih tretiramo kao materijalne tačke, mogli bi da pomislimo da na taj način činimo velike greške. Medjutim, rezultati koji se na taj način dobijaju su ipak veoma tačni, a razlog je taj što je poluprečnik Zemljine orbite mnogo veći od dimenzija Zemlje i Sunca. 3 Ukoliko pak proučavamo kretanje tela u blizini Zemljine površine, Zemlju očigledno ne možemo smatrati materijalnom tačkom. Na osnovu ovih primera nameće se zaključak da telo možemo smatrati materijalnom tačkom jedino onda, ukoliko je njegova putanja takva, da se ono kreće po prostoru koji je mnogo veći od dimenzija samog tela. 2.1.1 Putanja, put i pomeraj Kretanje materijalne tačke se smatra u potpunosti poznatim, ukoliko se zna njen položaj u prostoru za svaki momenat vremena. Da bi medjutim mogli da odgovorimo na ovo pitanje, odnosno da bi mogli da se bavimo opisivanjem promena položaja tela, prvo moramo da budemo u stanju da definišemo sam položaj, odnosno da umemo da definišemo gde se telo, u datom momentu, nalazi. Položaj tela odredjujemo uvek u odnosu na neki referentni sistem. 4 2 Reč kinematika potiče iz grčkog jezika i odnosi se na kretanje, a takodje je ima i u drugim jezicima, na primer engleskom cinema-film, ili pak kinesiology - proučavanje ljudskog kretanja. 3 Drugi primer je posmatranje kretanja molekula gasa koji se nalaze u nekom sudu i objašnjenje pritiska koji se na taj način stvara, kao posledica njihovih udara u zid suda. U ovom prilazu se molekuli gasa tretiraju kao materijalne tačke, iako je reč o molekulima koji imaju odgovarajuću unutrašnju strukturu. Rezultati ovakvog modela su dobroj saglasnosti sa eksperimentom, što i opravdava njegovu primenu. 4 Obično se kaže da se prati promena položaja datog tela u odnosu na neko, takozvano, referentno telo, za koje se a priori pretpostavlja da je nepokretno. Koordinanti sistem koji

2.1. KINEMATIKA JEDNODIMENZIONOG KRETANJA 31 Kada proučavamo kretanje tela na Zemlji, najčešće se za nepokretno telo uzima upravo Zemlja i za nju vezuje referentni sistem. Ponekad je zgodnije da se koristi neki drugi referentni sistem, npr, sistem reference vezan za voz koji se kreće po pruzi (slika 2.1). Slika 2.1: Putnik se kreće od prednjeg ka zadnjem kraju vagona. Njegov (relativan) položaj u odnosu na vagon je označen sa x. Pomeraj putnika u odnosu na vagon je - 10 m i predstavljen je strelicom usmerenom ka zadnjem kraju vagona. Ako povežemo niz tačaka u kojima je materijalna tačka bila u datim vremenskim intervalima, dobijamo neprekidnu krivu koja predstavlja putanju ili trajektoriju tela. Deo putanje tela, koji je ono prešlo za posmatrani vremenski interval se naziva put. Ako se neko telo kreće u odnosu na sistem reference (na primer nastavnik koji se na slici kreće na desno u odnosu na Zemlju (slika 2.2) i putnik koji se kreće ka zadnjoj strani vagona (slika 2.1)), to znači da mu se položaj u prostoru menja sa vremenom. Pomeraj se definiše kao promena položaja tela. 5 SI jedinica za pomeraj je metar (m), ali se ponekad, iz praktičnih razloga koristi kilometar (km), ili neke druge jedinice dužine. Ukoliko je se telo iz položaja čija je koordinata x 1 pomerilo u položaj u kome mu je koordinata x 2, pomeraj x je odredjen relacijom 6 x = x 2 x 1. (2.1) Valja primetiti da je pomeraj odredjen i smerom i intenzitetom. Nastavnikovo pomeraj je 2,0 m na desno, a pomeraj putnika je 10 m ka zadsmo postavili tako da je fiksiran (vezan) za to referentno telo se naziva sistem reference. 5 Termin pomeraj implicira da se telo pri promeni položaja u prostoru na neki način kreće ili pomera. 6 Napomenimo da će, skoro uvek, u tekstu ove knjige velikim grčkim slovom biti označena promena neke veličine čiji će simbol biti napisan uz njega. U tom smislu, x znači da je reč o promeni položaja koji je, prilikom kretanja u jednoj dimenziji, odredjen poznavanjem koordinate x.

32 GLAVA 2. KINEMATIKA njem delu vagona. Kada je reč o jednodimenzionalnom kretanju, smer će biti odredjen predznakom plus ili minus. Nastavnikov položaj je u početku bio x 1 = 1, 5 m, a konačan x 2 = 3, 5 m, pa je pomeraj x = x 2 x 1 = 3, 5 m 1, 5 m = +2, 0 m. Pomeraj na desno (u pravu pozitivnog dela x ose koja nam služi za odredjivanje položaja tela) je pozitivan, dok je pomeraj na levo negativan. Na sličan način je, ako je početni položaj putnika (u odnosu na vagon) bio x 1 = 12 m, a konačan x 2 = 2, 0 m, njegov pomeraj x = x 2 x 1 = 2, 0 m 12 m = 10 m. Dakle, njegovo kretanje ka zadnjem delu vagona, u sistemu reference vezanom za vagon i sa x osom usmerenom u smeru kretanja vagona, ima negativan pomeraj. Slika 2.2: Nastavnik se kreće na desno dok drži predavanja. Pri ovim razmatranjima je neophodno praviti razliku izmedju predjenog puta i pomeraja tela. To svakako nisu iste veličine a u to se možemo uveriti na sledećem primeru. Kada ujutro krenemo od kuće na fakultet, a uveče se vratimo kući, naš pomeraj je nula (jer smo se vratili u istu polaznu tačku), ali predjeni put svakako nije, već je jednak makar dvostrukom rastojanju kuće i fakulteta. 2.1.2 Vektori i skalari Veličine koje su odredjene intenzitetom, pravcem i smerom nazivaju se vektori. Pomeraj je takva veličina a drugi primeri su: brzina koja, da bi se potpuno poznavala mora da bude zadata na, recimo sledeći, način - telo se kreće brzinom 90 km/h na istok, sila od 400 N je usmerena na niže,... 7 7 Podsetimo se još jednom da je smer vektora u jednodimenzionalnom kretanju odredjen samo predznakom (koji može biti plus ili minus).

2.2. VREME I BRZINA 33 Na slikama 2.2 i 2.1 je prekazano kako vektorske veličine mogu da se predstave strelicom. Strelica imaju dužinu proporcionalnu intenzitetu vektora a pravac i smer im se poklapaju sa pravcem i smerom date fizičke veličine. Za neke fizičke veličine nije potrebno poznavati pravac i smer delovanja jer ih - nemaju. Svaka takva veličina, za čije poznavanje je dovoljno da se zna samo njena brojčana vrednost (ne i pravac i smer) se naziva skalar. Na primer: temperatura vazduha je 20 0 C, visina čoveka je 1,8 m. Primetimo da, iako skalar može da bude negativan (na primer dobro poznate negativne temperature u stepenima Celizijusa), taj predznak ne označava smer date veličine već govori samo o tome gde se na datoj skali nalazi očitana temperatura. 2.2 Vreme i brzina Da bi se u potpunosti poznavalo kretanje nekog tela, nije dovoljno znati njegov pomeraj. Osim pomeraja potrebno je znati koliko dugo i kojom brzinom se telo kretalo pri pomeranju sa jednog mesta na drugo. Na ovakva pitanja ne moě da se odgovori bez uvodjenja novih fizičkih veličina. 2.2.1 Vreme U vezi vremena postoji mnogo pitanja na koja ne postoje odgovori. Na primer, da li je moguće promeniti mu smer? Da li vreme ima apsolutni početak, a ako ga ima da li ima i kraj? Bez obzira na to što za sada ne postoje zadovoljavajući odgovori na ova pitanja, to ne umanjuje našu sposobnost da sa vremenom operišemo u praktičnom smislu. Svako merenje vremena podrazumeva zapravo merenje promene neke fizičke veličine. To može biti broj na digitalnom satu, otkucaji srca ili pak položaj Sunca na nebu..., odnosno, sve to je izazvano promenama nekih fizičkih veličina koje se ispoljavaju u tim efektima koje uočavamo. 8 SI jedinica za vreme je, kao što je napomenuto u prethodnoj glavi, sekunda (s). Kakva je uloga vremena prilikom kretanja? Obično nas zanima interval 8 Vreme je u fizici povezano sa promenama u sistemu. To iskazuje činjenicu da je nemoguće znati da li vreme prolazi ukoliko se nešto ne menja. Količina proteklog vremena je kalibrisana poredjenjem sa standardima vremena. Na primer, matematičko klatno koje izvrši jednu punu oscilaciju za 0,75 s može da se koristi za merenje vremena tako što se broje njegove oscilacije ili se pak ono poveže na neki satni mehanizam koji bi na brojčaniku pokazao iznos proteklog vremena.

34 GLAVA 2. KINEMATIKA proteklog vremena u toku odredjenog kretanja. 9 Da bi našli interval proteklog vremena, mi moramo da odredimo početni i krajnji trenutak i da ih oduzmemo. Na primer, ako čas počinje u 9.00 pre podne i završava se u 9.45 takodje pre podne, interval proteklog vremena je 45 minuta. Formalno, obzirom da koristimo simbol t za vreme, interval vremena t je razlika izmedju krajnjeg vremenskog trenutka t 2 i početnog t 1, odnosno t = t 2 t 1. (2.2) Sve biva znatno prostije ukoliko početni vremenski trenutak proglasimo za nulti, odnosno ako za merenje vremenskog intervala iskoristimo štopericu. Ukoliko je t 1 = 0, vremenski interval se obično zapisuje kao t = t 2 = t. 2.2.2 Brzina Intuitivno poimanje brzine je praktično istovetno naučnom. Naime, ukoliko telo za male vremenske intervale doživljava velike pomeraje, znači da se kreće velikom brzinom. U tom smislu, jedinica brzine se dobija kada jedinicu za rastojanje podelimo jedinicom vremena (na primer km/h). Kako telo ne mora stalno da se kreće jednakom brzinom na nekom putu, potrebno je uvesti pojam srednje brzine. Srednja brzina, v, se definiše kao pomeraj podeljen intervalom vremena za koji se desio 10 v = x t = x 2 x 1 t 2 t 1. (2.3) Ovakva definicija ukazuje na to da je i brzina vektorska veličina. Ako se početni trenutak nulti, srednja brzina je v = x/t. Ukoliko pretpostavimo da je, u ranije razmatranom primeru (slika 2.1) putniku u vozu bilo potrebno 20 s da dodje do zadnjeg kraja vagona, tada je njegova srednja brzina v = x/t = ( 10 m)/(20 s) = 0, 50 m/s. Minus znak ukazuje na to da je brzina usmerena ka zadnjem kraju vagona. SI jedinica za brzinu je m/s, ali se često koriste i jedinice km/h, cm/s, a u nekim zemljama i mi/h (milja na čas). Poznavanje srednje brzine nije dovoljno za potpuno poznavanje kretanja jer na osnovu njene vrednosti ne možemo reći ništa o tome šta se dešavalo sa telom izmedju početne i krajnje tačke. Da bi se dobila dodatna informacija, potrebno je razmatrati sve manje delove ukupnog pomeraja a onda njih 9 Na primer, može da nas interesuje koliko vremena je potrebno putniku prikazanom na slici 2.1, da ode od prednjeg do zadnjeg kraja vagona. 10 Srednja brzina, kao vektorska veličina, u skladu sa ovom definicijom ima isti pravac i smer kao i pomeraj.

2.2. VREME I BRZINA 35 deliti, sve manjim i manjim, intervalima vremena za koje su se desili (slika 2.3). Slika 2.3: Detaljnija slika kretanja putnika kroz vagon (u sistemu reference vezanom za vagon, koja pokazuje manje segmente njegovog puta i odgovarajuće pomeraje. Svaki od tih segmenata ima sopstvenu srednju brzinu. Što su manji ovi segmenti, to je dobijena potpunija slika o kretanju. Ako taj proces nastavimo tako što ćemo intervale smanjiti jako puno, dobijamo takozvani infinitezimalni interval. U tom slučaju srednja brzina postaje trenutna, odnosno odnosi se na neki vremenski trenutak. 11 Tačnije rečeno, trenutna brzina v je srednja brzina za infinitezimalno mali vremenski interval. 12 2.2.3 Ubrzanje U svakodnevnoj komunikaciji termin ubrzanje se odnosi na povećanje brzine. Što je veće ubrzanje, to je veća promena u brzini tela za dati interval vremena. Formalna definicija ubrzanja, kao fizičke veličine, je u skladu sa 11 Trenutna brzina kretanja automobila se, na primer, očitava na njegovom brzinomeru. 12 Odredjivanje trenutne brzine v u nekom momentu vremena t se svodi zapravo na izračunavanje granične vrednosti odnosa pomeraja i vremenskog intervala za koji je izvršen.

36 GLAVA 2. KINEMATIKA ovom predstavom ali je malo sadržajnija. Ubrzanje je fizička veličina koja pokazuje iznos promene brzine za posmatrani interval vremena. Srednje ubrzanje je, prema tome, ā = v t = v 2 v 1 t 2 t 1. (2.4) Jedinica za ubrzanje direktno proističe iz njegove definicije i iznosi m/s 2. Ubrzanje je vektorska veličina (kao i brzina), i ima isti pravac i smer kao promena brzine v. Medjutim, pošto je brzina vektor, to znači da, osim promene intenziteta, ona može da se menja i po pravcu i smeru. 13 Što je telo naglije promenilo svoju brzinu to je veće ubrzanje. Prema tome, telo poseduje ubrzanje uvek kada se brzina menja, bilo po intenzitetu, bilo po pravcu, ili na oba načina. P r i m e r X. U trci konja na hipodromu, konji ubrzavaju iz stanja mirovanja do brzine 15,0 m/s, za 1.80 s, u smeru istok-zapad. Izračunati srednje ubrzanje. R e š e nj e. Kako se brzina konja menja od 0 do 15,0 m/s, u smeru zapada, promena brzine je jednaka konačnoj brzini, odnosno v = v 2 0 = 15, 0 m/s. Srednje ubrzanje je, prema tome, ā = v t = 15, 0 m/s 1, 80 s = 8, 33 m/s 2, i usmereno je ka zapadu. Napomenimo da ovaj rezultat kazuje da se brzina konja, u proseku, svake sekunde poveća za 8,33 m/s. Uvodjenje srednjeg ubrzanja, slično kao i kada je bilo reči o brzini i njenoj srednjoj vrednosti, ukazuje na to da je reč o fizičkoj veličini koja u realnosti može da varira. P r i m e r X. Grafik ubrzanja u zavisnosti od vremena za slučaj kada se ubrzanje veoma malo menja i u vek je usmereno u isto smeru. Srednja vrednost ubrzanja po celom vremenskom intervalu je približno jednaka ubrzanju u bilo kom momentu vremena. Trenutno ubrzanje a, je ubrzanje u odredjenom trenutku vremena i dobija se na analogan način kao i trenutna brzina, razmatranjem promene brzine u malom - infinitezimalnom intervalu vremena. Da li je, medjutim moguće odrediti trenutno ubrzanje korišćenjem samo algebre? Tačnije da li 13 Kada automobil skrene na raskrsnici ne menjajući intenzitet brzine, ipak postoji ubrzanje jer se brzina tela promenila po pravcu.

2.2. VREME I BRZINA 37 Slika 2.4: Slika 2.5: Primer grafika zavisnosti ubrzanja od vremena na osnovu izmerenih vrednosti ubrzanja datih tabelarno.

38 GLAVA 2. KINEMATIKA nam je neophodno da ga poznajemo uvek i da li je, makar ponekad, moguće odrediti ga, bez korišćenja metoda više matematike. U tu svrhu je dobro razmotriti primere dva, veoma različita, kretanja čije su zavisnosti ubrzanja od vremena predstavljene na slikama (2.4) i (2.5). Kod prvog kretnja, ubrzanje se veoma malo menja sa vremenom, i njegova srednja vrednost po celom vremenskom intervalu predstavljenom na ovom grafiku, je približnoj jednako trenutnoj vrednosti ubrzanja u bilo kom momentu vremena. Na drugoj slici je prikazan slučaj kada se ubrzanje drastično menja sa vremenom. U takvom slučaju je potrebno da se razmatraju, relativno mali vremenski intervali (reda sekunde), unutar kojih je ubrzanje približno konstantno. 2.2.4 Pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem Pretpostavimo sada, da posmatramo kretanje tela konstantnim ubrzanjem. Ako je to tako, znači da nam nije neophodan infinitezimalni račun jer će i srednje i trenutno ubrzanje biti jednaki, odnosno važiće ā = a. (2.5) Uvedimo, kao i ranije, neke pretpostavke koje će uprostiti dalja razmatranja. Neka je, početni vremenski trenutak t 1 = 0 s, odnosno da vremenski intervali merimo štopericom. Tada će vremenski interval t = t 2 t 1 biti predstavljen kao t = t 2 = t, gde je t vreme koje je pokazala štoperica. Ako smo početno vreme definisali kao nulto, onda i početna koordinata i početna brzina imaju u oznakama indekse koji ukazuju na to. Tako je, na primer, početna koordinata x 0 a početna brzina v 0, dok se finalne vrednosti označavaju prosto sa x, v, t. Na osnovu ovih uprošćavanja jednačina (2.3) glasi v = x x 0, t koju, kada rešimo po koordinati x, daje x = x 0 + vt, (2.6) (za konstantno ubrzanje), gde je srednju brzinu moguće odrediti na osnovu izraza v = v 0 + v. (2.7) 2 P r i m e r X. Džoger trči srednjom brzinom 4,00 m/s 2 oko 2,00 minuta. Koja mu je konačna pozicija nakon tog vremena ako se u početku nalazio u koordinatnom početku?

2.2. VREME I BRZINA 39 R e š e nj e. Konačni položaj je dat jednačinom (2.6)u kojoj je x 0 = 0, v = 4, 00 m/s 2 a vremenski interval je t = 120 s, tako da je konačna pozicija džogera x = x 0 + vt = 0 + (4, 00 m/s)(120 s) = 480 m. Na sličan način, jednačina (2.4) postaje a = v v 0 t, odakle je v = v 0 + at. (2.8) P r i m e r (Usporavanje aviona pri sletanju) Avion sleće početnom brzinom 70,0 m/s i usporava 1,50 m/s 2 narednih 40,0 s. Kolika mu je konačna brzina na kraju tog vremenskog intervala? R e š e nj e. Konačna brzina aviona nakon navedenog intervala je nalazi na osnovu jednačine (2.8) u koju treba za početnu brzinu v 0 zameniti 70,0 m/s, dok je ubrzanje jednako -1,5 m/s 2, obzirom da avion usporava (što u stvari znači da je ubrzanje suprotno usmereno od brzine), dok je vreme jednako 40 s v = v 0 + at = 70, 0 m/s + ( 1, 50 m/s 2 )(40 s) = 10 m/s. Primetimo da je ova brzina znantno manja od početne ali se avion i nakon isteka 40 s još uvek kreće. 14 Slika 2.6: Avion pri sletanju ima početnu brzinu od 70 m/s i usporava do brzine 10 m/s. Ubrzanje je negativno jer je suprotno usmereno od brzine, odnosno smera kretanja. Kombinovanje jednačina (2.6), (2.7) i (2.8) dovodi do još jedne korisne jednačine na sledeći način. Ako jednačini (2.8) dodamo v 0 sa (to znači da obema stranama jednačine moramo dodati ovu vrednost) i podelimo sa 2, dobija se v 0 + v = v 0 + 1 2 2 at, 14 Da bi avion nakon sletanja stao, potrebno je ili duže vreme kočenja ili veće ubrzanje (suprotno usmereno od početne brzine). Na osnovu iste relacije može da se izvrši analiza oba načina zaustavljanja aviona, što se ostavlja čitaocu za samostalnu vežbu.

40 GLAVA 2. KINEMATIKA pri čemu je (v 0 +v)/2, odredjeno izrazom (2.7) i predstavlja v, što prethodni izraz prevodi u v = v 0 + 1 2 at. Ako se sada ovaj izraz zameni u jednačinu (2.6), dobija se x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2. (2.9) Još jedna važna jednačina može da se dobije ako se (2.8) reši po vremenu, i rezultat zameni u jednačinu (2.9) što daje v 2 = v 2 0 + 2a(x x 0 ), (2.10) koja, važi samo za slučaj kada je ubrzanje konstantno. P r i m e r. Na suvom asfaltu automobil, prilikom kočenja, usporava 7,00 m/s svake sekunde, dok kada je asfalt mokar brzina mu se, kada zakoči, smanjuje 5,00 m/s svake sekunde. Odrediti nakon koliko predjenih metara se, prilikom kočenja, automobil koji se kretao brzinom od 108 km/h, zaustavlja (a) ako se kreće po suvom, (b) ako se kreće po vlažnom kolovozu. R e š e nj e. Domaći. 2.2.5 Slobodni pad tela u gravitacionom polju Padanje tela u gravitacionom polju je veoma interesantan tip kretanja. Na primer, na osnovu bacanja kamena u dubok bunar i merenja vremena koje mu je potrebno da padne do površine vode, može da se proceni put koji je on pri tome prešao odnosno da se odredi na kojoj se dubini nalazi voda. Primenjujući kinematičke jednačina na ovaj i slične slučajeve, može dosta da se nauči o delovanju gravitacije. Verovatno najznačajnija i možda neočekivana činjenica vezana za pad tela u gravitacionom polju, je da, ako zanemarimo uticaj vazduha na kretanje tela (odnosno trenje koje se pri tome javlja), sva tela koja padaju ka centru Zemlje pri tome imaju isto ubrzanje koje je nezavisno od njihove mase (vidi slike 2.7 i 2.8). 15 Ova eksperimentalno utvrdjena činjenica je bila neočekivana, jer smo mi priviknuti na efekat otpora vazduha i trenja koje se pri tome javlja, tako da 15 Ovo je inače opšta karakteristika gravitacije i nije vezana samo za Zemlju. To je prvi put u praksi provereno na Mesecu, kada je astronaut Dejvid Skot (David R. Scott), izveo ogled koji je pokazao da i pero i čekić na isti način padaju, što znači da pri tome imaju isto ubrzanje koje za Mesec iznosi 1,67 m/s 2. Napomenimo da na Mesecu, s obzirom na to da on skoro da nema atmosferu, otpor padanju tela praktično ne postoji.

2.2. VREME I BRZINA 41 Slika 2.7: Padanje knjige, čekića i buketa cveća u vazduhu. Usled postojanja trenja pri kretanju kroz vazduh, za jednake vremenske intervale ova tela neće preći iste puteve. Slika 2.8: Ista tela, u situaciji kada nema otpora vazduha (kada bi se našla u vakuumu) bi za jednake vremenske intervale prešla iste puteve.

42 GLAVA 2. KINEMATIKA očekujemo da lakša tela sporije padaju od težih. Za tela koja padaju bez uticaja otpora vazduha, odnosno odgovarajućeg trenja, se kaže da slobodno padaju. Kako padanje tih tela izaziva gravitaciona sila, ubrzanje koje se pri tome javlja se naziva gravitaciono ubrzanje. Ovo ubrzanje je konstantno, što znači da se na slobodni pad mogu primeniti sve kinematičke jednačine dobijene u prethodnoj sekciji. Gravitaciono ubrzanje koje se pri slobodnom padu javlja je toliko značajno da se označava posebnim slovom g. Za dato mesto na Zemlji ono je konstantno a njegova srednja vrednost je 16 g = 9, 80 m/s 2. (2.11) Smer ovog ubrzanja je na dole a njegov pravac nam u stvari služi da definišemo pojam vertikalnosti. 17 Odredjivanje g iz posmatranja padanja tela Ubrzanje Zemljine teže može da se odredi na više načina 18 a ovde će biti opisan jedan od najjednostavnijih. Neko telo, najzgodnije je da to bude metalna lopta za koju je otpor vazduha zanemarljiv se pušta da pada i da, za izmereno vreme, predje neko poznato rastojanje (slika 2.9). Pažljiva merenja vremena potrebnog za ovakvo kretanje mogu da posluže da se ubrzanje Zemljine teže odredi na veoma precizan načina. Neka je posmatrano telo, za 0,45173 s prešlo pri ovakvom kretanju put od 1,000 m (pri čemu pri merenju ovih vrednosti postoji nesigurnost u odredjivanju poslednjih cifara u smislu u kojem je to navedeno u prvoj glavi). 16 Iako g varira od 9,78 do 9,83 m/s 2, u zavisnosti od geografske širine i visine, i u zavisnosti od sastava Zemlje, lokalne topografije, srednja vrednost 9,80 m/s 2 se koristi ako nije drugačije naglašeno. 17 Galileo Galilei (1564-1642.), jedan od najvećih naučnika svih vremena, je prvi pokazao da tela koja slobodno padaju imaju isto ubrzanje. Legenda kaže da je Galilej tu karakteristiku gravitacije demonstrirao puštajući tela različitih masa da padaju sa Krivog Tornja u Pizi, mada nema ni jednog istorijskog podatka koji bi to potvrdio. U svakom slučaju on je prvi izvršio u laboratoriji eksperimente koji su pokazali da u vazduhu, pri postojanju otpora odnosno trenja, razna tela padaju na razne načine, u zavisnosti od njihove mase. Medjutim, u uslovima kada su ovi efekti mogli da se zanemare (kada bi vakuumirao cev kroz koju su se kretala tela) sva tela su padala na isti način. Važnije od ovog otkrića u vezi gravitacije je činjenica da je on prvi uveo eksperiment kao osnovni metod za proveru i utvrdjivanje zakonitosti koje vladaju u prirodi. 18 Dva načina za odredjivanje vrednosti g su opisana u Praktikumu eksperimentalnih vežbi iz fizike, navedenom u literaturi. Jedan se zasniva na osnovnim karakteristikama kretanja matematičkog klatna a drugi na osnovu kretanja tela niz Galilejev žleb.

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 43 Slika 2.9: Uzastopni položaji tela pri slobodnom padu u polju Zemljine teže. Jednačina (2.9), za kretanje tela bez početne brzine (v 0 = 0), pri čemu se položaj tela opisuje koordinatom y, je y = y 0 + 1 2 at2. Reši li se ova jednačina po ubrzanju, dobija se a = 2(y y 0) t 2. Kako je početni položaj tela bio na visini y 0 = 1, 0000 m, a konačni na y = 0 m, na osnovu izmerenog vremena padanja tela, za ubrzanje se dobija a = 2( 1, 0000 m) (0, 45173 s) 2 = 9, 801 m/s 2. Znak minus koji je dobijen pri izračunavanju gravitacionog ubrzanja ukazuje na njegov smer na dole. 2.3 Kinematika kretanja u dve dimenzije U prirodi se retko srećemo sa, do sada opisivanim, kretanjima duž prave linije. Drugim rečia, mnogo su češća kretanja po krivim linijama. Kretanje

44 GLAVA 2. KINEMATIKA tela po krivoj liniji na nekoj ravnoj površi (bilijarska lopta na stolu, klizanje tela po ledu,...) je kretanje u dve dimenzije, i prema tome opisuje se odgovarajućom dvodimenzionalnom kinematikom. Kretanje tela u prirodi, u principu ne moraju da budu ograničena na ravan (na primer automobili koji se kreće putem sa serpentinama, osim kretanja po krivoj liniji, menja i svoju nadmorsku visinu), i u tom slučaju se opisuju trodimenzionalnom kinematikom. 19 U čemu se ogleda glavna razlika kretanja tela u jednoj i dve dimenzije? Da bi odgovorili na ovo pitanje proanalizirajmo neke primere dvodimenzionalnih kretanja. Pretpostavimo da, u gradu koji se sastoji iz identičnih blokova zgrada, kao na slici 2.10 treba da dodjemo iz mesta označenog sa A u drugu mesto, odnosno tačku označenu sa B. Ako bi smo za kretanje koristili helikopter onda bi mogli da iz jedne u drugu tačku dodjemo najkraćim mogućim putem koji bi bio prava linija ( AB). Medjutim ako pešačimo ili idemo atuomobilom, jedna od mogućnosti za kretanje bi mogla da bude ona prikazana na slici 2.10, preko tačke P. Slika 2.10: Da bi pešak došao od tačke A do tačke B preko tačke P treba da prodje 9 + 5 = 14 blokova zgrada. Kada bi mogao da ide pravom linijom od tačke A do tačke B prošao bi kraći put. Koliko bi, medjutim, bilo rastojanje koje bi trebalo preći helikopterom 19 I kretanje tela u dve a i u tri dimenzije se može smatrati proširenjem jednodimenzionalne kinematike koja je uvedena u prethodnom poglavlju. Takva generalizacija nam omougućuje da primenimo fizičke zakonitosti na realističnije situacije ali nas takodje dovodi i do nekih novih zaključaka.

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 45 po pravoj liniji 20 od jedne do druge tačke? Ona se može dobiti primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao AP B, što daje 9 2 + 5 2 = 10, 3 blokova zgrada. Uočavamo da je ovo rastojanje naravno manje od rastojanja koje je prešao pešak a koje iznosi 14 blokova. 21 Proanalizirajmo sada kretanje dve kugle u gravitacionom polju koje sa iste visine počinju kretanje. Pri ovome, jedna slobodno pada (bez početne brzine), a drugoj je saopštena početna brzina u horizontalnom pravcu. 22 Slika 2.11: Skica kretanja dve lopte u polju Zemljine teže. Tamno osenčena počinje da pada iz stanja mirovanja, dok druga ima početnu brzinu u horizontalnom pravcu. Sve sukcesivne pozicije lopti se razlikuju za isti vremenski interval. Ukoliko bi fotografisali položaje lopti pri njihovom istovremenom padu, 20 Odnosno po liniji duž koje je rastojanje od tačke A do tačke B najmanje. 21 Ovaj rezultat je primer generalne karakteristike vektorskih veličina koja se sastoji u tome da se takve veličine, ukoliko nisu istog pravca i smera, ne sabiraju kao obični brojevi. Naime, ova dva pomeraja koja su načinjena pri kretanju na jedan, odnosno drugi, način jesu vektori za koje važi AP + P B = AB. Dužina strelica kojima predstavljamo vektore je proporcionalna njihovoj dužini što je jasno naznačeno na slici 2.10. 22 Kako je pravac ubrzanja Zemljine teže, g, upotrebljen za definisanje vertikalnog pravca, pravac koji zovemo horizontalnim se nalazi pod pravim uglom u odnosu na pravac gravitacionog ubrzanja.

46 GLAVA 2. KINEMATIKA u jednakim vremenskim intervalima, dobili bi niz fotografija koje bi izgledale kao na slici 2.11. Na prvi pogled iznenadjuje činjenica da su se obe lopte stalno nalazile na istim vertikalnim rastojanjima u jednakim vremenskim intervalima. Medjutim, pošto je to tako, moramo da zaključimo da je vertikalno kretanje nezavisno od horizontalnog (koje nije isto za obe lopte). Razlog je u tome što se obe lopte nalaze u istom gravitacionom polju i što su obe krenule sa istom vertikalnom početnom brzinom (jednakom nuli). I kako pri pradu imaju isto ubrzanje g iz toga proizilazi i da će prelaziti jednake puteve. Kada je reč o kretanju druge lopte u horizontalnom pravcu, merenja horizontalnih pomeraja bi pokazala da su oni jednaki za jednake vremenske intervale. I ovo nije sasvim neočekivana činjenica ako se ima u vidu da je jedino ubrzanje usmereno vertikalno a da je komponenta brzine lopte u horizontalnom pravcu stoga stalno konstantna i jednaka početnoj brzini. Putanja druge lopte nije prava već kriva linija 23 jer je njeno kretanje sastavljeno iz dva nezavisna jednodimenzionalna kretanja. 24 2.3.1 Kosi hitac Kada se telo kreće kroz vazduh, nekom početnom brzinom v 0, koja zaklapa ugao θ 0 u odnosu na horizontalu i samo pod uticajem gravitacije, kaže se da se kreće kao kosi hitac. Tipičan primer ovakvog kretanja je kretanje lopte, nakon šutiranja iz slobodnog udarca u fudbalu, let skijaša pri skoku,..., čija putanja je, do njihovog pada na Zemlju, karakteristična kriva linija. Da bi smo uspeli da ovaj tip kretanja dobro proučimo, iskoristićemo činjenicu da su kretanja duž dve uzajamno normalne ose nezavisna. U tom smislu je, početak u u analizi kosog hica, dekomponovanje njegovog kretanja na jedno koje se odvija duž horizontalne i drugo koje se odvija duž vertikalne ose. 25 Uobičajeno je da horizontalna osa bude označena kao x a vertikalna kao y osa. Komponente ubrzanja tela pri ovakvom kretanju su, a x = 0 i a y = g = 9, 80 m/s 2. Obe komponente ubrzanja su konstantne pa se jednačine (2.8) do (2.9) mogu primenjivati i na x i na y komponentu kretanja. Kao što je već napomenuto, prvi korak u analizi krivolinijskog kretanja 23 Ona se može dobiti ako spojimo linijom njene uzastopne položaje. Nije teško pokazati da je ova linija u stvari parabola. 24 U stvari ova dekompozicija kretanja na dva nezavisna, u dva medjusobno ortogonalna pravca, je ključni korak koji se veoma često primenjuje u analizi krivolinijskog kretanja. 25 Ovo je najprirodniji izbor koordinatnih osa jer ubrzanje Zemljine teže u tom slučaju ima pravac vertikalne ose, dok u pravcu horizontalne nema nikakvog ubrzanja.

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 47 Slika 2.12: Parabolična putanja tela izbačenog nekom brzinom v 0 i pod nekim uglom θ 0 u odnosu na horizont. je, njegovo dekomponovanje na dva, pogodno izabrana, uzajamno ortogonalna pravca. U ovom slučaju su to x i y pravac (slika 2.12). Komponente pomeraja duž tih osa će biti takodje označene sa x i y. Komponente brzine v su v x = v cos θ i v y = v sin θ, gde je v intenzitet vektora brzine a θ je ugao koji on zaklapa sa x osom. Početne vrednosti ugla i brzine su označene indeksom 0. Kinematičke jednačine za horizontalnu komponentu kretanja (a x = 0) su prema tome x = x 0 + v x t, v x = v 0x = const. (2.12) dok su za vertikalnu (a y = g) v y = v 0y gt (2.13) y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 (2.14) v 2 y = v 2 0y 2g(y y 0 ). (2.15) Primetimo da je vreme t u obe grupe jednačina isto jer je reč o istom kretanju koje smo, iz praktičnih razloga, dekomponovali na horizontalno i vertikalno.

48 GLAVA 2. KINEMATIKA U skladu sa činjenicom da su ose, kao i komponente brzina pod pravim uglom, ukupni pomeraj r i intenzitet ukupne brzine će biti r = x 2 + y 2 v = vx 2 + vy 2 P r i m e r. Tokom vatrometa, raketa je izbačena u vazduh početnom brzinom od 70 m/s pod uglom od 75 prema horizontu. Fitilj je tako napravljen da, kada raketa dostigne najvišu tačku, eksplodira. Odrediti visinu do koje će raketa doći, kao i vremenski interval izmedju lansiranja rakete i njene eksplozije. R e š e nj e. Ako zanemarimo otpor koji vazduh pruža neeksplodiranoj raketi pri njenom kretanju na više, mogu se primeniti rezultati analize kretanja kosog hica. Koordinatni početak možemo da postavimo u mesto sa koga je poletela raketa pa će onda biti x 0 = y 0 = 0. Slika 2.13: Putanja rakete koja eksplodira na najvećoj visini koju može da dostigne pri kretanju. U najvišoj tački putanje rakete, njena brzina je usmerena horizontalno pa je v y = 0. U skladu sa time, jednačina (2.15) postaje 0 = v 2 0y 2gy, gde je y ima smisao visine h na koju se popela raketa. Kada ovu jednačinu rešimo po y, odnosno h za visinu penjanja rakete se dobija h = v2 0y 2g.

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 49 Da bi iz ove relacije odredili visinu penjanja moramo da znamo y komponentu početne brzine, odnosno v 0y. Ona je data sa v 0y = v 0 sin θ 0, gde je v 0 početna vrednost brzine od 70 m/s a početni ugao je θ 0 = 75, tako da je v 0y = v 0 sin θ 0 = (70 m/s)(sin 75 ) = 67, 6 m/s. Visina penjanja rakete je sada h = (67, 6 m/s)2 2(9, 80 m/s 2 ) = 233 m. Vreme penjanja rakete se može odrediti pomoću jednačine (2.13) koristeći opet činjenicu da je u najvišoj tački putanje veritkalna komponenta brzine nula, tako da je traženo vreme t = v 0y g 67, 6 m/s = 2 = 6, 903 s. 9, 80 m/s P r i m e r. Vulkan Kilauea na Havajima je najpoznatiji neprekidno aktivan vulkan na svetu. Poznato je da vulkani koji su, kao on, veoma aktivni češće iz kratera izbacuju vrelo stenje i lavu nego dim i prašinu. Pretpostavio da je vulkan izbacio veliku stenu početnom brzinom 25,0 m/s i pod uglom 35 u odnosu na horizont. Stena pada na površinu Zemlje koja je na 20,0 m manjoj nadmorskoj visini od vrha kratera. Odrediti vreme potrebno steni da predje ovaj put. Slika 2.14: Putanja stene izbačene iz vulkana Kilauea. R e š e nj e. Nakon izbacivanja iz vulkana, stena se prvo penje u vis, dostiže maksimalnu moguću visinu i zatim pada ka Zemlji. Vreme koje joj je potrebno za prelaženje tog puta može da se nadje iz jednačine y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2.

50 GLAVA 2. KINEMATIKA Ako je koordinatni početak sistema u mestu izbacivanja stene, to znači da je y 0 = 0 a da je y = 20, 0. Vertikalna komponenta početne brzine je v 0y = v 0 sin θ 0 = (25, 0 m/s)(sin 35 ) = 14, 3 m/s. Zamenjujući ove vrednosti i pišući vreme kao t = t s (to će dovesti do toga da će se sve jedinice skratiti i da ćemo dobiti jednačinu po bezdimenzionoj veličini t), koja nakon sredjivanja može da se zapiše kao 4, 90t 2 14, 3t 20, 0 = 0. Ova jednačina ima formu kvadratne jednačine 26 koja ima dva rešenja t = 3, 96 i -1,03, što znači da je od momenta izbacivanja stene iz vulkana do njenog pada na opisano mesto prošlo t = 3, 96 s, odnosno -1,03 s. Negativna vrednost za vreme bi značila da se to dogodilo pre nego što je kretanje uopšte počelo, tako da je traženo vreme t = 3, 96 s. Primetimo da analiza kretanja kosog hica ilustruje nezavisnost vertikalne i horizontalne komponente kretanja pri čemu se ne sme zaboraviti da je vreme isto i za jednu i za drugu komponentu. Galilej je verovatno bio prvi koji je pravilno razumeo te činjenice i iskoristio ih da odredi domet odnosno horizontalno rastojanje na koje će pasti telo koje se izbaci kao kosi hitac. 27 Kako početna brzina utiče na domet hica? Uglavnom tako da povećanje početne brzine dovodi do povećanja dometa hica (slika 2.15). Početni ugao pod kojim se hitac izbacuje takodje jako utiče na njegov domet (slika 2.16). Za konstantnu početnu brzinu, koju može da saopšti top granatama, maksimalna domet se dobija kada je ugao izbačaja projektila θ 0 = 45. 28 Domet takodje zavisi od intenziteta ubrzanja Zemljine teže g i odredjuje se prema formuli D = v2 0 sin 2θ 0, (2.16) g 26 Kvadratna jednačina, po promenljivoj t, ima opšti oblik at 2 + bt + c = 0 (u ovom slučaju su konstante a = 4, 90, b = 14, 3 i c = 20, 0), sa rešenjem t = b ± b 2 4ac. 2a 27 Galilej i ostali koji su se bavili time su se za domet interesovali pre svega iz čisto vojnih razloga. Pokazalo se, medjutim, da proučavanje dometa projektila može da pomogne u razumevanju drugih interesantnih fenomena, na primer orbita Zemljinih satelita. 28 Interesantno je da za, bilo koji početni ugao osim za ugao od 45, postoje dva ugla za koje hitac ima isti domet. Oni su takvi da njihov zbir iznosi 90.

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 51 Slika 2.15: Veća početna brzina tela za isti početni ugao dovodi do većeg dometa. Slika 2.16: Efekat promene ugla pod kojim se izbacuje telo, Primetimo da je domet hica koji se izbacuje istom početnom brzinom, jednom pod uglom od 15 a drugi put pod uglom od 75 isti, iako visine i trajektorije to nisu.

52 GLAVA 2. KINEMATIKA gde je v 0 početna brzina a θ 0 ugao koji vektor brzine zaklapa sa horizontom. Kada smo do sada govorili o dometu kosog hica, smatrali smo da je njegov domet D mnogo manji od obima Zemlje. Ako je, medjutim, domet veliki, površina Zemlje iznad koje se hitac kreće neće biti ravna već zakrivljena te će se i pravac ubrzanja Zemljine teže menjati. U tom slučaju će domet biti veći nego što bi bio ako se računa po jednačini (2.16), jer telo mora da padne niže da bi došlo do (zakrivljene) površine Zemlje nego kada bi površ ispod njega ravna (slika 2.17). Slika 2.17: Izbacivanje satelita kao kosoh hica dovoljno velike brzine. Ako je početna brzina hica dovoljno velika projektil uopšte neće pasti na Zemlju već će početi da se oko nje kreće na odredjenoj visini, odnosno po nekoj orbiti. Ta činjenica je uočena vekovima pre nego što je i ostvarena. Kada se telo nalazi u orbiti, Zemlja i dalje stalno zakrivljuje njegovu putanju na isti način kao i kada ono pada. 29 Ono se, prema tome, nalazi u stalnom padu na Zemlju ali nikada neće dodirnuti njenu površinu. 2.3.2 Sabiranje brzina Ako čamcem pokušamo da predjemo reku, usmeravajući ga pod pravim uglom u odnosu na tok vode, jasno je da nećemo uspeti da dodjemo direktno na drugu obalu, već će nas vodeni tok odneti nizvodno. Slično, kada avion prilikom leta naidje na jaku vazdušnu struju, neće se kretati tamo gde 29 Prema iznetoj analizi jedina razlika ovakvog kretanja i onoga gde je telo dodirnulo površinu Zemlje je samo u njihovoj početnoj brzini.

2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 53 je usmeren već pravcem koji je odredjen, osim njegovog pravca i smera i, pravcem i smerom duvanja vetra. Slika 2.18: Primer sabiranja brzina. U oba slučaja, telo se kreće u odnosu na sredinu brzinom v t (reka ili vazduh), a data sredina se takodje kreće ali u odnosu na površinu Zemlje brzinom v s. Brzina tela u odnosu na posmatrača koji se nalazi na Zemlji je u tom slučaju vektorski zbir ove dve brzine 30 v = v t + v s. (2.17) Intenzitet ukupne brzine je, kada su one medjusobno normalne, v = vt 2 + v2 s, (2.18) dok joj je pravac odredjen uglom θ koji se može izračunati iz jednačine tan θ = v t v s. (2.19) P r i m e r. Odrediti intenzitet i pravac brzine broda u odnosu na posmatrača na obali, ako je brzina broda, u odnosu na reku 0,750 m/s, brzina reke 1,20 m/s. Pri tome smatrati da su ove dve brzine jedna u odnosu na drugu pod pravim uglom. R e š e nj e. Intenzitet brzine broda u odnosu na posmatrača na obali je, prema jednačini (2.18) v = vt 2 + v2 s = (1, 20 m/s 2 ) + (0, 750 m/s 2 ) = 1, 42 m/s. 30 U dosadašnjem radu smo takodje sabirali brzine, na primer kod kosog hica, ukupna brzina je bila zbir dveju komponenti, horizontalne i vertikalne.

54 GLAVA 2. KINEMATIKA Pravac i smer ukupne brzine je odredjen kao θ = arctan ( ) vt v s = arctan ( ) 0, 750 = 32, 0. 1, 20 2.3.3 Relativne brzine i klasična relativnost Videli smo da kada sabiramo brzine, moramo da budemo sigurni u odnosu na koji referentni sistem su one zadate. U tom smislu su sve brzine relativne. 31 Pojam relativnosti brzine je jedan od aspekata relativnosti, koja se bavi time kako različiti posmatrači koji se kreću jedan u odnosu na drugog, mere karakteristične fizičke veličine nekog tela ili procesa koji se na njemu dešavaju. Skoro svako kada čuje reč relativnost, ima asocijaciju na Alberta Ajnštajna 32 koji je izvršio pravu revoluciju u poimanju prostora i vremena. Kada se u ovom poglavlju govori o relativnosti, misli se na klasičnu relatvnost čije su osnovne postavke dali Galilej i Njutn. 33 Klasična relativnost se odnosi na situacije u kojima su brzine tela manje od 1% brzine svetlosti u vakuumu, odnosno manje od 300 000 km/s. Većina tela koje vidjamo svakog dana se kreću brzinama koje su naravno manje od ove. Da bi bio jasniji značaj pojma (klasične) relativnosti, razmotrimo kako dva različita posmatrača vide jednu istu situaciju koju je još Galilej analizirao. Pretpostavimo da se mornar nalazi na katarci broda koji se kreće nekom brzinom u odnosu na obalu i da je ispustio svoj nož. Da li će on pasti odmah pored jarbola ili će zaostati iza broda, usled njegovog kretanja? Odgovor je da će, ako je otpor vazduha zanemarljiv, nož pogoditi mesto na palubi koje se nalazi ispod tačke u kojoj je on ispušten. Proanalizirajmo sada kako različiti posmatrači vide putanju noža. Neka je jedan od njih na brodu a drugi na obali. Nož nema horizontalnu komponentu brzine u odnosu na brod, odnosno posmatrača na njemu, pa će stoga vertikalno pasti i zabiti se u palubu pored jarbola. Za posmatrača na obali, i nož, ali i brod imaju istu horizontalnu komponentu brzine, te će stoga, za vreme dok nož pada, oba preći jednako rastojanje u horizonatalnom pravcu. Posmatrač sa obale će zato videti da nož ima zakrivljenu putanju (slika 2.19). 34 31 Na primer kada sedimo i čitamo ovu knjigu naša brzina u odnosu na Zemlju je nula, ali je brzina našeg kretanja po orbiti oko Sunca oko 30 km/h. 32 Albert Einstein (1879-1955), jedan od najvećih fizičara dvadesetog veka. 33 Isaac Newton... 34 Brzina broda je, da bi se istakao efekat registrovanja različitih putanja noža, pri crtanju slike smatrana većom nego što je u realnosti.

2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 55 Slika 2.19: Bez obzira što različiti posmatrači vide drugačiju putanju noža on će uvek pasti pored jarbola, vertikalno ispod mesta sa koga je ispušten. Svejedno što putanja noža izgleda različito kada se posmatra iz različitih sistema reference, na kraju se dobija isti rezultat, odnosno on pada na brod pored jarbola. Z a d a t a k z a d o m a ć i. Galeb leti brzinom 9,00 m/s u odnosu na vazduh, u susret vetru. Ako mu je potrebno 20,0 minuta da preleti rastojanje od 6,00 km u odnosu na Zemlju, kolika je brzina vetra? Ako se galeb, nakon što preleti tih 6,00 km okrene i počne da leti nazad, koliko vremena će mu trebati da predje isto rastojanje? 2.4 Kinematika rotacionog kretanja Rotaciono kretanje je kretanje prilikom koga se sve tačke tela kreću po kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije. Ukoliko je, pri ovakvom kretanju, linijska brzina konstantna, kretanje se naziva uniformno kružno kretanje. 2.4.1 Ugao rotacije i ugaona brzina Ugao rotacije Kada telo rotira oko neke ose - na primer kompakt disk (slika 2.20) koji rotira oko ose koja prolazi vertikalno kroz njegov centar - svaka njegova tačka opisuje kružnu putanju. Ako od centra diska povučemo pravu liniju

56 GLAVA 2. KINEMATIKA Slika 2.20: Sve tačke diska opisuju kružne putanje. Za isto vreme t sva udubljenja na disku, koja se nalaze na istoj liniji koja spaja centar diska sa njegovim obodom, zarotiraju se za isti ugao θ. ka obodu, tako da prati poluprečnik diska, svako udubljenje 35 na koje će ta linija naići, pri rotaciji diska, opisuje jednak ugao za jednak vremenski interval. Ugao rotacije se pri ovakvom kretanju koristi da se opiše pomeranje tela za dati interval vremena. Ugao rotacije θ je, kao što se vidi sa slike 2.21, jednak odnosu dužine luka s i poluprečnika krivine r θ = s r. (2.20) Dužina luka s je zapravo jednaka putu koji je tačka diska prešla duž kružne putanje (slika 2.21). Kad posmatrana tačka opiše pun krug, dužina luka je jednaka obimu kružnice poluprečnika r, odnosno 2πr. U tom slučaju je ugao rotacije θ = 2πr = 2π. r Ova formula je osnovna za definisanje jedinice za ugao rotacije u radijanima, jer je 2π rad = 1 pun obrtaj. (2.21) Kada je θ = 2π rad, kompakt disk je napravio jedan pun obrtaj, i svaka njegova tačka se, pri tom, vratila u početni položaj. Kao što je dobro poz- 35 Svako takvo udubljenje služi zapravo za zapis podataka.

2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 57 Slika 2.21: Posmatrane tačke su zarotirane za isti ugao θ ali su im putevi različiti, pa prema tome i linijske brzine. nato, to znači da je ugao rotacioje 360 0, pa je veza radijana i stepena 2π rad = 360 0, odakle je 1 rad = 3600 2π = 57, 30. Ugaona brzina Kojom fizičkom veličinom može da se predstavi brzina tela koje rotira oko neke ose? Ta veličina ne može biti ranije uvedena brzina v date tačke, jer je različita za tačke koje su na različitoj udaljenosti od ose rotacije (što je tačka dalja, njena brzina je veća). Medjutim, svaka tačka će, za isti interval vremena, preći isti ugao, pa zato ima smisla preko ova dve veličine, definisati novu veličinu koja će reprezentovati brzinu rotiranja tela. Ta nova fizička veličina se zove ugaona brzina ω, a definiše se kao odnos ugla rotacije i intervala vremena za koji je ta rotacija izvršena ω = θ t. (2.22) Što je veći ugao rotacije za dati interval vremena, veća je i ugaona brzina. Njena jedinica je radijan u sekundi (rad/s). Ugaona brzina ω je veličina analogna, ranije uvedenoj, takozvanoj linijskoj brzini v. Da bi se dobila direktna veza ove dve veličine, razmotrimo ponovo rotiranje jednog udubljenja na kompakt disku. Ono se kreće po luku dužine s za vreme t, tako da je njegova linijska brzina v = s t.

58 GLAVA 2. KINEMATIKA Prema jednačini (2.20), je s = r θ. Zamena ove relacije u prethodni izraz daje v = r θ = rω. (2.23) t Ovu jednačinu možemo da napišemo i u obliku ω = v r. (2.24) Prva od ove dve relacije pokazuje da je linijska brzina v proporcionalna ras- Slika 2.22: Automobil se kreće sa leva na desno brzinom v jer točkovi rotiraju ugaonom brzinom ω. Linijska brzina točka u odnosu na osovinu je takodje v. Pošto je v = rω, što je veća ugaona brzina i što su veći točkovi, automobil se brže kreće. tojanju od centra rotacije, što je tačka za koju je odredjujemo dalja od njega (veće r), veća je njena linijska brzina. Relacija (2.24) se može razumeti ako posmatramo rotiranje točka na kolima (slika 2.22). Ukoliko nema proklizavanja izmedju guma točka i podloge, što se automobil brže kreće, brže je rotiranje točkova oko osovina ω i veća je linijska brzina v, jer su to veličine koje su direktno proporcionalne. Slično, što je veći poluprečnik točka, pri njegovom rotiranju istom ugaonom brzinom, automobil se brže kreće (odnos v/r mora da bude jednak ugaonoj brzini pa povećanje poluprečnika točka dovodi do povećanja linijske brzine). I v i ω, osim intenziteta, imaju i odredjen pravac i smer, jer je reč o brzinama, dakle vektorskim veličinama. Ugaona brzina ima pravac ose rotacije, a smer joj zavisi od smera rotiranja oko nje, u smeru kazaljke na časovniku i obrnuto. Linijska brzina je tangenta na putanju (slika 2.23). P r i m e r. Izračunati ugaonu brzinu automobilskog točka poluprečnika 0,300 m, ukoliko je njegova brzina 15,0 m/s. R e š e nj e. Kako je...

2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 59 ω = v r = 15, 0 m/s 0, 300 m = 50, 0 rad/s. Domaći: Prevesti ovaj rezultat u stepene u sekundi. 2.4.2 Centripetalno ubrzanje Uvek kada se brzina menja sa vremenom, postoji odredjeno ubrzanje. Kako je brzina vektorska veličina, čak iako nema promene brzine po intenzitetu, i sama promena po pravcu znači da postoji neko ubrzanje. U slučaju uniformnog kružnog kretanja, brzina se menja samo po pravcu, što znači da postoji ubrzanje koje će opisivati ovu promenu. Ovo ubrzanje osećamo pri vožnji automobila po zakrivljenoj putanji (okretanje u krivini,...). Ukoliko držimo volan stalno u jednom položaju i ne povećavamo intenzitet brzine, kretaćemo se uniformno po kružnici (zapravo delu kružnice). Ubrzanje koje se pri tom poljavljuje ima pravac normalno na putanju. Što je zakrivljenija putanja (što smo više zakrenuli volan) i što je veća linijska brzina, više osećamo ubrzanje. Slika 2.23 prikazuje telo koje se kreće brzinom kon- Slika 2.23: Brzina je tangenta na putanju. tačke v je usmerena ka centru putanje. Promena brzine izmedju dve stantnog intenziteta po kružnici. Pravac brzine je prikazan u dve proizvoljne tačke na putanji. Ubrzanje je u smeru promene brzine, a kako je ona usmerena ka centru kružnice, i smer ubrzanja je identičan. Ovo je prikazano vektorskim dijagramom na slici. Ubrzanje koje se javlja pri uniformnom kretanju tela po kružnici, zbog svog smera, se naziva centripetalno ubrzanje, a c. Koliki je intenzitet ovog ubrzanja? Primetimo da je trougao koji čine vektori brzine v 1, v 2 i njena promena v (u matematičkom smislu) sličan

60 GLAVA 2. KINEMATIKA onom koji čine vektori položaja i njegova promena r (trougao ABC na slici 2.23). Oba su jednakokraka (imaju po dve jednake stranice), jer je zbog uniformnosti kretanja v 1 = v 2. Posledica njihove sličnosti je da važi sledeća jednakost v v = r r. Da bi dobili intenzitet traženog ubrzanje (a c = v/ t), moramo prvo da rešimo gornji izraz po v v = v r r, odakle je ubrzanje v t = v r r t. Kako je r/ t = v, intenzitet centripetalnog ubrzanja je a c = v2 r. Ovo je dakle ubrzanje koje mora da postoji ukoliko želimo da se telo kreće brzinom konstantnog intenziteta v po kružnici poluprečnika r. Centripetalno ubrzanje je, kao što je i očekivano utoliko veće ukoliko je veća brzina kojom se telo, na primer automobil, kreće po kružnoj putanji (ili jednom njenom delu). Novina je to što je ubrzanje a c proporcionalno ne brzini na prvom stepenu, već njenom kvadratu. Posledica toga je, da je na primer, četiri puta taže da, prateći kružnu putanju, skrenemo pri brzini od 80 km/h nego kada je brzina 40 km/h. Oštrija krivina, sa druge strane, ima manji poluprečnik, pa će i centripetalno ubrzanje biti veće, što je već napomenuto. Interesantno je napisati izraz za a c preko ugaone brzine. Zamenjujući v = rω u prethodni izraz on postaje a c = (rω) 2 /r = rω 2, pa se centripetalno ubrzanje može dati u sledeća dva oblika a c = v2 r, a c = rω 2. (2.25) P r i m e r. Koliki je intenzitet centripetalnog ubrzanja potrebnom da se kola voze po kružnom toku poluprečnika 500 m brzinom od 25,0 m/s (slika 2.24)? Uporediti to ubrzanje sa ubrzanjem Zemljine teže. R e š e nj e. Kako su date linijska brzina i poluprečnik zakriveljene putanje, centripetalno ubrzanje je a c = v2 r = (25 m/s)2 500 m = 1, 25 m/s2.