ELEKTROTEHNIČKI FKULTET SRJEVO INŽENJERSK FIZIK I -- Pedavanja II dio -- 5.. RD, SNG I ENERGIJ 5... Rad sile Pomjeanje mateijalne točke po nekom pavolinijskom putu s pod djelovanjem sile F u mehanici se naziva adom. Rad sile se odeđuje sa skalanim poduktom sile i astojanja po kome se pomjeala mateijalna točka, tj. W = F s = Fs cos F, s = Fs cosα (5.) Rad je pozitivan ako sila F i astojanje π s zaklapaju ošta kut, α <. Sila ne vši ad kada sa π pomjeanjem zaklapa pav kut α = ili ako se čestica ne pomjea s =0. Sila vši negativan ad ako π sa pavcem vektoa s zaklapa tup kut α >,( ct. 5.. ) Ukoliko je sila pomjenljiva i zavisi od astojanja F = F s, a pomjeanje se vši duž poizvoljne kivulje, onda se ukupni ad sile u pvoj apoksimaciji može izaziti kao zbi elementanih adova učinjenih na konačnom boju pavolinijskih dijelova Δ, na koje je podijeljeno pomjeanje s : W n i= ΔW i = n F Δ s = i i i= i= n i F Δ s i cos Fi, Δ si (5.) gdje je F i sednja konstantna vijednost sile na i-tom podioku pomjeanja s i Δ si, a n- boj tih podioka. Ct. 5.. Pava vijednost izvšenog ada dobiva se iz jednadžbe (5.) kao ganični slučaj kad n, pa imamo: Δs i 0 a 36
n Δs0 i= s W = lim Fi Δ si = Fd s s Rad je jednak integalu pojekcije sile Fs = F cosα i pomaka ds. ko je početna i kajnja točka putanje zadana vektoima položaja i, ad se definia izazom: W = Fd = gdje je d d s elementani pomak. Jedinica za ad je jedan džul (u čast engleskog fizičaa P. Joule, 88-889), oznaka J. Pema definiciji J=Nm=kgm s - (5.3) 5.. Snaga Snaga je bzina všenja ad ili bzina pijenosa enegije: dw P = (5.4) dt Budući da je dw = F d s, to izaz za snagu možemo pisati: F d s d s P = = F = F v ( 5.5) dt dt Snaga je skalani podukt sile i tenutne bzine. To je skalana veličina. Jedinica za snagu je W = Js -. 5..3. Enegija Enegija je sposobnost všenja ada: što tijelo ima veću enegiju, to je moguće od njega dobiti veći ad. Kad tijelo vši ad, enegija mu se smanjuje, i obnuto: ako okolina vši ad na tijelu, enegija mu se povećava. Rad lako pelazi u enegiju i obatno. Jedinica ada i enegije je identična (J ) Postoji više oblika enegije: mehanička, elektomagnetska, kemijska, temička, nukleana itd. Enegija može pelaziti iz jednog oblika u dugi. Mehanička enegija pojavljuje se u dva oblika: kinetička i potencijalna enegija. Kinetička enegija uzokovana je ketanjem, a potencijalna položajem tijela. Kinetička enegija. Neka sila F ubzava tijelo na nekom putu. Izačunajmo ad poteban za ubzanje tijela od početne bzine v do konačne bzine v : s s v v d v d v W = Fd s = m d s = m v dt = m vd v dt dt odnosno s s v v nakon integianja: W = mv mv Veličinu mv = E k (5.6) 37
nazivamo kinetička enegija tijela mase m i bzine v. Tijelu, koje je na početku imalo kinetičku mv enegiju E k =, obavljenim adom povećali smo kinetičku enegiju na konačnu vijednost mv E k =. Pomjena kinetičke enegije jednaka je, dakle, izvšenom adu: W = Ek Ek = ΔEk (5.7) ko tijelo izvši ad (W < 0), kinetička enegija mu se smanjuje ( E < 0 ), kad se nad tijelom vši ad (W > 0), kinetička enegija mu se povećava ( E > 0 ). Kad je ad jednak nuli, kinetička enegija Δ k tijela ostaje konstantna. Relacija (5.5) koja povezuje ad i pomjenu kinetičke enegije i zove se teoema o adu i kinetičkoj enegiji. Potencijalna enegija. Potencijalna enegija je sposobnost všenja ada zbog toga što tijelo ima osobiti položaj. Tako np. tijelo mase m podignuto na visinu h iznad Zemljine povšine ima odeđenu potencijalnu enegiju i sposobno je, spuštajući se s te visine, izvšiti odeđeni ad. Slično: i nategnuta opuga ima potencijalnu enegiju i, vaćajući se u položaj avnoteže, izvši ad. Δ k 5. Gavitacija Više od 5000 godina ljudi se bave poučavanjem ketanja nebeskih tijela, a posebno uloge Zemlje u tom ketanju. Čovjekovo usko znanje ga je u početku dovelo do tzv. geocentičnog sistema koji je ustanovio Ptolomej, koji je smatao da je Zemlja mina sfea smještena u centa svemia, oko koje se po kužnom putanjama keću Sunce, Mjesec i tada poznate planete Meku, Venea, Mas,Jupite i Satun. Tek četnaest stoljeća kasnije Nikola Kopenik je pedložio da se ketanje planeta posmata tako da je u centu njihovog ketanja Sunce. Njegova ideja heliocentičnog sistema pomogla je astonomu Kepleu da kinematički opiše ketanje planeta i njegovi zakoni tvde slijedeće:. Obite planeta oko Sunca su elipse u čijoj jednoj žiži je Sunce.. Vekto položaja planete u odnosu na Sunce opiše jednaku povšinu za isto vijeme. 3. Kvadati peioda obilaska planeta oko Sunca popocionalni su tećem stepenu sednjeg astojanja planeta od Sunca. 5... Opšti zakon gavitacije Kepleovi zakoni su pecizno opisali ketanje planeta ne objašnjavajući zašto se planete tako keću.pedeset godina kasnije Newton fomuliše zakon univezalne gavitacije koji objašnjava inteakciju dva tijela, svejedno da li su to planete ili male čestice, i zbog koga se planete keću onako kako je to opisao Keple. Newtonov zakon opšte gavitacije je fomulisan na slijedeći način: Gavitaciona inteakcija između dva tijela može da se izazi pivlačnom centipetalnom silom koja je popocionalna masam tijela, a obnuto popocionalna kvadatu astojanja između njih : m m = F 0 γ (5.8) 38
gdje su m i m mase tijela koje međudjeluju a, astojanje između centaa masa tih tijela, jedinični vekto i γ = 6,67 0 Nm kg gavitaciona konstanta koju je 798. godine odedio Heny Cevedish pomoću tozione vage. Upavo zbog djelovanja ove sile, sva tijela u blizini Zemlje padaju na Zemlju istim ubzanjem g g = γ M / R 0 5... Gavitaciona potencijalna enegija Zamislimo česticu mase m koja se keće pod djelovanjem sile teže (ct. 5.) Rad sile teže na putu od do B jednak je: B W = Fd = m g B (5.9) Budući da je F = m g = mg j i j B = y, B j = y Dobili smo da je ad u polju sile teže jednak azlici dviju funkcija položaja W = ( mgy B mgy ) (5.0) Veličinu E p = mgy (5.) zovemo gavitaciona potencijalna enegija tijela na visini y iznad povšine Zemlje. Pi tome smo petpostavili da je na povšini Zemlje (y=0), potencijalna enegija jednaka nuli, te da je sila konstantna, što je ispunjeno za visine koje su malene u uspoedbi s polupečnikom Zemlje. F = m g Ct. 5.. Rad sile teže (5.0) ne ovisi o putu već samo o početnom i konačnom položaju tijela. Isti ezultat bi dobili kad bi se tijelo iz tačke do tačke B ketalo bilo kom putanjom. Tako np. keće li se tijelo od tačke peko C do B (ct. 5.) ad je: W = F d = F d + F d = F d = mg( y B y ) CB C BC dakle dobili smo ezultat isti kao pi integianju po kivolinijskoj putanji B. C 39
Sila koja ima osobinu da joj ad ne ovisi o putu već samo o početnoj i konačnoj točki zove se konzevativna sila. Rad konzevativne sile po zatvoenom putu jednak je nuli: F k d s = 0 (5.) Kužić peko integala označava da je put po kojem všimo integianje zatvoen. Rad sile tenja, napotiv, ovisi o putu: što je put duži, ad je veći. Rad sile tenja po zatvoenom putu azličit je od nule, ad je veći što je put duži. Nekonzevativne sile, kao što je sila tenja, zovemo i disipativne sile. Rad svake konzevativne sile možemo izaziti azlikom potencijalnih enegija: B F k d = [ E ( ) E ( )] p B p Ct. 5.3. 5..3. Potencijalno polje sila. Konzevativne sile ko je tijelo postavljeno u takve uvjete da je u svakoj tački postoa podvgnuto djelovanju dugih tijela sa silom koja se zakonomjeno mijenja od jedne tačke do duge, kaže se da se to tijelo nalazi u polju sila. Tako se, na pimje, tijelo u blizini povšine Zemlje nalazi u polju sila gavitacije, tj. u G svakoj tački postoa na njega djeluje sila = m g, usmjeena pema dolje. Za sile koje ovise samo od položaja tijela može se desiti da ad, koji vše nad tijelom, ne zavisi od puta, već se odeđuje samo početnim i zavšnim položajem tijela u postou. U tom slučaju polje sila se naziva potencijalnim poljem, a same sile konzevativnim. Sile čiji ad zavisi od puta, po kojem tijelo pelazi iz jednog položaja u dugi, nazivaju se nekonzevativnim silama. Polje centalnih sila, F = F, polje kod kojeg pavac djelovanja sile u poizvoljnoj točki postoa, polazi koz neki centa, a veličina sile zavisi samo od astojanja od tog centa. Polje sila gavitacije, elektostatska sila: su pimjei centalnog polja sila. Rad konzevativnih sila na bilo kojem zatvoenom putu jednak je nuli. 40
Ct. 5.4 Razložimo, zatvoen put po kojem se keće tijelo, koje se nalazi u potencijalnom polju sile, na dva dijela: put po kojem tijelo pelazi iz točke u točku, i put B po kojem tijelo pelazi iz točke u točku, pi čemu su točke i izabane potpuno poizvoljno, ct. 5.4. Rad na čitavom zatvoenom putu biće jednak sumi adova koji se vše na svakom od dijelova. = W W (5.3) ( ) + ( ) B W Lako je pokazati da ad, koji se vši na bilo kojem putu, na pimje na putu B, pi pelaženju tijela po njemu iz točke u točku jednak adu, sa obnutim pedznakom, koji se vši na istom tom putu pi obatnom pelaženju iz točke u točku. Pomatajmo dio putanje Δ s. Pošto u potencijalnom polju sila F ovisi samo od položaja tijela u postou i ne zavisi od stanja gibanja tijela (posebno od smjea gibanja), elementani ad na putu Δ s pi gibanju u jednom pavcu jednak je ΔW = F s, a pi gibanju u dugom pavcu on je jednak Δ W = FΔs. S obziom da je Δs = Δ s, tada je i ΔW = ΔW. To je ispavno za svaki elementani dio puta, a pema tome i za ad na čitavom putu, te je ( W ) B = ( W ) B (5.4) Koisteći se dobivenim ezultatom, jednadžba (5.3) može se napisati u slijedećem obliku: W = ( W ) ( W ) B (5.5) Međutim, u potencijalnom polju sila, ad ne ovisi od puta, tj. (W ) = (W ) B. Pema tome izaz (5.5) jednak je nuli, što je i tebalo dokazati. Pema tome, potencijalno polje sila može se definiati kao polje onakvih sila čiji je ad na svakom zatvoenom putu jednak nuli, onda na jednim dijelovima zatvoenog puta sile vše pozitivan ad, a na dugim dijelovima - negativan. Dokazat ćemo da je i polje gavitacionih sila potencijalno, ctež 5.5 Δ 4
Ctež 5.5 W = F Δ s = F Pošto je F = G = mg, i h = h h ( ) Δ Δs cos α = F dobivamo W = mg( h h ) (5.6) Izaz (5.7) očito ne ovisi od puta, slijedi da je gavitacijsko polje potencijalno. Δh 5..4. Rad sila u gavitacionom polju. Centalno polje sila Gavitaciono polje sila je centalno polje. To je polje kaakteistično po tome da pavac sile, koja djeluje u bilo kojoj tački postoa, polazi koz neki centa, a veličina sile ovisi samo od astojanja do tog centa m m = F γ 0 F ( ) = F.Gavitaciona sila ima oblik Elementani ad dw, koji izvši gavitacijska sila pi pomjeanju tijela m za astojanje d s jednaka je (ct. 5.6) mm dw = F d s = γ d gdje d s = d, integianjem od do dobivamo: 0 W = γ m = m γm m ili W = γ m m (5.7) 4
Ct. 5.6 Iz jednadžbe (5.7) vidimo da je za >, ad negativan. Pomjena potencijalne enegije sistema jednaka je negativnoj vijednosti ada kojeg vši gavitacijska sila pi pemještanju tijela mm mm ( E p ) ( E ) W p = = γ γ Obično se uzima da je, tada E ( ) = 0, pa potencijalna enegija tijela m je: p mm = γ (5.8) E p Razmotimo ti specijalna slučaja, ct. 5.7, za ti azličite ukupne enegije E = E k + E p. Ovi slučajevi su inteesantni kod ispaljivanja vještačkog satelita sa Zemlje. Nakon što dostigne maksimalnu visinu h satelit dobiva početnu bzinu v o. Ukupna enegija satelita je tada mm E = mv0 γ R h z + Ct. 5.7 43
U slučaju elipse E < 0, putanja po kojoj će se ketati satelit, je elipsa u čijem se jednom fokusu nalazi Zemlja, satelit u ovom slučaju pada na Zemlju. Uvjet da bi satelit se ketao po paaboli tj. E = 0, odnosno kinetička enegija satelita moa biti jednaka potencijalnoj enegiji. Da bi se satelit ketao po putanji hipebole, tj. oslobodio Zemljine teže, poteban uvjet je, da kinetička enegija satelita bude veća od potencijalne enegije odnosno E > 0. 44