RAD, SNAGA, ENERGIJA

Transcript

1 RAD, SNAGA, NRGIJA Mehanički ad Fiički smisao ada se u mnogome alikuje od našeg svakodnevnog oimanja ada. Zato odmah ecimo da je ad skalani oivod sile od čijim dejstvom telo učini neki omeaj i tog omeaja: A = F = F cos F, ( ( ) kgm Jedinica a ad je Džul (J): [ A ] = J = Nm = s I gonjeg iaa vidimo da ad avisi od vednosti kosinusa ugla kojeg aklaa vekto sile sa vektoom omeaja. Pošto namo da f-ja cos može da ima vednosti od - do (uključujući nulu), ostavlja se itanje da li to nači da ad neke sile može biti negativan ili nula i omeanju nekog tela? Odgovo je otvdan, što se može videti i na sledećim imeima. N Na slici je ikaano telo koje leži na hoiontalnoj odloi. Na njega deluje konstantna hoiontalna sila F F od čijim dejstvom će se telo F omeiti a T. Osim ove sile na telo deluje sila teže, nomalna sila mg (dejstvo odloge) i sila tenja. Naišimo čemu je jednak ad svake od ovih sila. A F = F cos = F ad sile F je oitivan. A mg = mg cos = mg = sila teže ne vši ad i omeanju tela a. A N = N cos = nomalna sila odloge ne vši ad. AF T = FT cos ad sile tenja je negativan (sila tenja uža oto ketanju i otiv nje se moa ivšiti ad da bi se telo omeilo a. Dakle, uošteno govoeći mogući su sledeći slučajevi: A >, θ < A =, θ = A <, θ > gde je θ ugao koji aklaaju vektoi sile i omeaja. Ramotimo sledeći ime sa slike dole levo. Neka na telo koje se nalai na hoiontalnoj odloi deluje sila F od uglom θ u odnosu na avac ose (avac omeaja). Silu F možemo aložiti na dve komonente F i F. U skladu sa goe iloženim amatanjem, aključujemo da y ad vši samo komonenta sile koja je u avcu omeaja (hoiontalna komonenta), dok je ad vetikalne komonente sile jednak nuli.

2 y Postavlja se itanje šta ako je intenitet ili avac sile omenljiv N F duž omeaja? Pe nego što damo y θ odgovo na ovo itanje uočimo (u F omoć slike) da omena avca sile, θ F odnosno ugla θ, istovemeno nači i omenu inteniteta hoiontalne F T komonente koja je odgovona a všenje ada duž hoiontalnog mg omeaja. Dakle, ako je sila omenljivog inteniteta moamo ueti u obi elementani ad koji sila vši na elementanom utu. Neka je na slici desno ikaan gafik omene hoiontalne komonente sile duž omeaja o osi. Potebno je ukuan omeaj ideliti na deliće d, d,... d i,... d n, takve da je sila na tom avolinijskom deliću uta konstantnog inteniteta. Rad F sile na tom elementanom utu je: da = Fd = Fd cos( < ( F, d ) = Fd da i Što geometijsko odgovaa ovšini osenčenog avougaonika. Da bismo dobili ukuan ad sile na utu d i od do, otebno je sumiati ovšine svih avougaonika, tj. iačunati ovšinu isod kive na slici od tačke do tačke. Tako dobijamo da je: A = F d, Odnosno, u oštem slučaju, ukuan ad sile i emeštanju tela od tačke do tačke je: A = F d Ukoliko na telo istovemeno deluje više sila, onda je: n A = F d = F d = e i= i n F d = n i i= i= što nači da ukuan ad možemo dobiti sabianjem adova koje je ivšila svaka sila ojedinačno, a to edstavlja inci sueoicije adova. Snaga Snaga je veličina koja kaakteiše binu všenja ada i (i tanslatonom ketanju) može se naći i: da F d P = = = F v dt dt Dakle, to je skalana veličina koja avisi od inteniteta sile i bine i ugla kojeg aklaaju vektoi sile i bine. Jedinica a snagu je Vat (W): J kgm [ P ] = W = = 3 s s A i

3 negija Neka se dve bilijaske kugle keću o istom avcu u suotnom smeu, dakle jedna ema dugoj. Ako se alikuju o masi ili ako su im inteniteti bina aličiti, tada je ukuan imuls sistema (bi imulsa svake kugle ojedinačno) aličit od nule. Neka, atim, kugle dožive asolutno neelastičan suda, tako da nakon sudaa miuju. Ukuan imuls sistema u tom slučaju je jednak nuli. Dakle, ako bismo osmatali samo imuls i omoću njega oisivali komletnu dinamiku sistema, moali bismo da aključimo da je ketanje koje je ostojalo e sudaa iščelo. kseiment, međutim, okauje da je bog sudaa došlo do oasta temeatue kugli što, kako ćemo kasnije videti, edstavlja manifestaciju unutašnjeg ketanja. Iak, oediti imuls kugli e sudaa i temeatuu osle nije moguće, ako ni bog čega dugog ono bog toga što je imuls vektoska, a temeatua skalana veličina. Zato uvodimo novu skalanu veličinu koja će, oed imulsa, kaakteisati dinamiku tela (sistema) i njegovu sosobnost da vši ad, a to je enegija. Postoji više tiova enegije (unutašnja, tolotna, hemijska,...) ali ćemo se mi, u ovom odeljku, baviti samo jednim tiom i to mehaničkom enegijom, koja edstavlja bi kinetičke i otencijalne enegije tela. Kintička enegija Kinetička enegija edstavlja sosobnost tela da vši ad ahvaljujući svom ketanju. Neka na telo deluje više sila istovemeno. Tada je elementani ad koji vše te sile na elementanom omeanju tela jednak: da = Fe d Pimenjujući na ovaj ia II Njutnov akon i činjenicu da je u oblasti klasične mehanike (gde su bine tela mnogo manje od bine svetlosti) masa tela konstantna veličina, dobijamo: d d da = Fe d = = v d = v d( mv ) = mv dv = mvdv = md( v ) = d mv = dk (*) dt gde smo sa k onačili kinetičku enegiju tela i tanslatonom ketanju. Dakle: k = mv Takođe vidimo da kinetičku enegiju možemo oveati sa imulsom na način: ( mv) = = k m m I iaa (*) dobijamo da je ukuan ad eultante soljašnjih sila jednak omeni kinetičke enegije sistema, je je: A = da = dk = k k = mv mv što nači da bismo omenili kinetičku enegiju tela moamo všiti ad ili telo vši ad na ačun omene svoje kinetičke enegije. Ako je eultanta soljašnjih sila jednaka nuli (takve sisteme naivamo iolovanim sistemima), onda: da = Fe d = dk = k = const ili ečima: u iolovanom sistemu ukuna kinetička enegija je konstantna. kgm Jedinica a enegiju u SI sistemu je ista kao i a ad i to je Džul:[ ] = J = s

4 Konevativne sile Sve sile koje su centalne (deluju duž avca koji saja cente dva tela) i stacionane (ne avise od bine, ne menjaju se u toku vemena) naivaju se konevativne sile. One koje ne isunjavaju ove uslove naivaju se disiativne sile. I dosadašnjeg amatanja možemo aključiti da su, n., gavitaciona i elastična sila konevativne (kao i elektostatička, n.), a da su sile tenja i otoa, disiativne sile. Fiičko olje u kome vladaju konevativne sile naiva se otencijalno olje (dakle, gavitaciono olje je otencijalno olje). Kaakteistika konevativnih sila je da ad ovih sila ne avisi od a oblika utanje tela, već samo od očetnog i kajnjeg oložaja tela. Tako, b ema slici desno, možemo naisati da je: c A a = A b = A c. Takođe, u slučaju konevativnih sila važi da je ad koji sila ivši omeajući telo o atvoenoj kivolinijskoj utanji, jednak, tj.: A = Rad konevativnih sila jednak je negativnoj omeni otencijalne enegije tela: k A = Potencijalna enegija Potencijalna enegija edstavlja sosobnost tela da vši ad ahvaljujući svom oložaju. Za aliku od kinetičke enegije, čiji smo ia dosledno iveli olaeći od definicije kinetičke enegije, slučaj otencijalne enegije je nešto složeniji. Ia a otencijalnu enegiju moamo ivesti a svaki slučaj ojedinačno, je on avisi od: tia sile (ili olja) i iboa efeentnog nivoa na kome je otencijalna enegija jednaka nuli. Da bismo lakše aumeli o čemu je eč, ivedimo ia a otencijalnu enegiju u slučaju (aličiti tiovi sile):. gavitacione i. elastične sile, a u slučaju gavitacione sile umimo da je nivo na kome je otencijalna enegija jednaka nuli smešten: a) u beskonačnosti, b) na ovšini Zemlje.. Gavitaciona otencijalna enegija a) ( ) = Na slici desno ikaano je telo mase m koje deluje gavitacionom silom F g na telo mase m, i čemu je: mm F g γ Rad gavitacione sile na omeanju tela a d je: mm da = Fg d d m m F g

5 Imajući u vidu da je ot (jedinični vekto) : d = d cos( (,d )) = d cos = d, dobijamo: mm da d Kako smo u ovom tekstu već naglasili, gavitaciona sila je konevativna sila, a ad konevativnih sila je jednak negativnoj omeni otencijalne enegije. Zato: m m da mm d = d d = γ d d = γ (Ovde smo odeđujući ganice integala iskoistili činjenicu da smo efeentni nivo ostavili u beskonačnost, tj = a = ). Dalje je: mm mm i konačno, gavitaciona otencijalna enegija je: mm Gafički ikaana ova avisnost data je na slici dole. mm d mm F< ~-/ < b) ( ) = R Postavljamo efeentni nivo na ovšinu Zemlje i ačunamo M kolika je otencijalna enegija tela mase m koje se nalai na nekoj visini h u odnosu na ovšinu Zemlje. Gavitaciona sila kojom Zemlja ivlači to telo data je iaom: R F g Mm h F ( ) g R + h a je ad gavitacione sile: Mm Mm da = Fg d d (i istih aloga kao u slučaju od a) da = d d ( ) ( ) d = γ Mm R + h d d = γ ( ) ( ) Poslednji ia možemo da naišemo u obliku: R Mm d m

6 Mm d = = = γ d γmm γmm R + h R R R Mmh = γ h R + R Za visine h koje su mnogo manje od oluečnika Zemlje: h h << R + R M i ošto smo anije okaali (edavanje 4) da je: g = γ, ubanje Zemljine teže na ovšini, konačno, gavitaciona otencijalna enegija je: = mgh. lastična otencijalna enegija R y Na slici je edstavljeno telo mase m koje leži na glatkoj hoiontalnoj odloi i koje je eko elastične ouge F e akačeno a neoketan id. Kada je telo u avnotežnom oložaju ouga je neistegnuta. Ako telo ivedemo i avnotežnog oložaja a neko (u smeu ose) ouga će se istegnuti a isto, a će se javiti elastična sila F e koja teži da vati telo u avnotežni oložaj (čime će se i istegnuta ouga elaksiati). lastična sila je: F e = k, gde je k koeficijent elastičnosti ouge, a, jedinični vekto. Rad elastične sile je jednak negativnoj omeni otencijalne enegije, a dobijamo: da F d = k d = k d cos,d = k d = kd = d ( ( )) = e d = kd k d = kd = k = ( ) k =, što edstavlja konačan ia a elastičnu otencijalnu enegiju.