6. Ι ΙΑΣΑΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΝ ΙΜΝ 6. Πρόβληµατα πδίου σ διαστάσις Η νότητα αυτή αναφέρται σ προβλήµατα πδίου, όπου άγνωστη συνάρτηση ίναι µία βαθµωτή συνάρτηση. α προβλήµατα αυτά έχουν σηµαντικές φαρµογές και αναφέρονται σ προβλήµατα θρµότητας, ροής ιδατού ρυστού κλπ. 6.. Εισαγωγή - ιατύπωση του προβλήµατος Θα ξτάσουµ ξισώσις µρικών παραγώγων στο πίπδο της µορφής (, ) = f x στο και συνοριακές συνθήκς στο µ Β ( x, ) άγνωστη συνάρτηση, f (, ) x γνωστή. ο σύνορο χωρίζται σ Β και Β µ Β=Β Β και Β Β =. Σ κάθ σηµίο του Β έχω συνοριακές συνθήκς της µορφής = (γνωστή συνάρτηση) και Σ κάθ σηµίο του Β έχω συνοριακές συνθήκς της µορφής = (γνωστή συνάρτηση). Μ συµβολίζω την n n παράγωγο της συνάρτησης κατά την διύθυνση την κάθτη στο σύνορο Β, στο υπόψη σηµίο. Για καρτσιανές συντταγµένς x, ισχύι: = cos a+ sn a n n Β Σχήµα 6.: Χωρίο, µ σύνορο Β και κάθτο προς τα έξω διάνυσµα n. Επίσης, ο διαφορικός τλστής βαθµού. Σηµιώνουµ τέλος ότι το = ex+ e ( ) συµβολίζι ίναι διάνυσµα ( ) ( ) +, και ίναι προφανώς ου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα από 5
e,e µοναδιαία διανύσµατα κατά τους άξονς x πρόβληµα διαφορικής ξίσωσης x και. Αν λοιπόν θωρήσουµ το γνικό Lzm ( ) = f στο τότ για την δική µας την πρίπτωση m = άρα m =, και m =. Εποµένως, σ κάθ συνοριακό σηµίο έχω µία ( m = ) συνοριακή συνθήκη. Αυτή η συνθήκη, όταν πριέχι την (χωρίς παράγωγο, Συγκκριµένα, το Β Β ίναι φυσική. n ίναι το µέρος του συνόρου Β µ βασικές συνοριακές συνθήκς και το m = ) ίναι βασική νώ όταν πριέχι την αυτό µ φυσικές συνοριακές συνθήκς. Εποµένως το ανωτέρω γνικό πρόβληµα πδίου συνοψίζται ως ακολούθως: Υπολογίστ την βαθµωτή συνάρτηση που ικανοποιί την διαφορική ξίσωση (, ) = f x στο και τις συνοριακές συνθήκς = = n στο στο Β Για την ασθνή µορφή του προβλήµατος θωρούµ τυχαία αποδκτή συνάρτηση (µ = στο Β ). ότ η διαφορική ξίσωση ίναι ισοδύναµη µ την έκφραση ή ( ) + f d= ( ) d+ f d= Για τυχαία αποδκτή συνάρτηση Χρησιµοποιώντας το θώρηµα του Green και συνοριακές συνθήκς + Β+ = n ( ) ( ) d d f d () Β άρα στο Β, = στο, = n Β (γνωστό) ( ) ( ) d= dβ+ f d= ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα από 5
που αποτλί και την συµµτρική ασθνή µορφή του προβλήµατος. Για την πίλυση πιλέγω τη µέθοδο Galerkn N αφ( x, ) = N a φ ( x, ) = () Εύκολα αποδικνύται ότι µ την ως άνω διακριτοποίηση και µ την απαίτηση να ισχύι η "διακριτοποιηµένη" ασθνής µορφή για τυχαία a, καταλήγω στο γραµµικό σύστηµα N Ka j j = F, =,,..., N (3) j= µ K ( φ )( φ ) = d j j F = f φ d+ φ dβ Σ µητρωϊκή µορφή όπου [ K] = = [ ] a = a F a K F (4) [ ] a a... a N T ίναι τα µητρώο των αγνώστων συντλστών. Παρατηρήστ ότι Kj = K j, δηλαδή υπάρχι συµµτρία στο µητρώο[ K ]. 6.. Μορφή Μταβολών του Προβλήµατος α προβλήµατα της µορφής ( x, ) = f µ βαθµωτή συνάρτηση ίναι συνήθως πρόβληµα µτάδοσης θρµότητας, ροή σ πορώδς έδαφος κτλ. Όπου η µορφή µταβολών που πριγράψαµ ως µία νργιακή θώρηση δν χρησιµοποιίται. Από µαθηµατικής όµως πλυράς ίναι δυνατόν να διατυπώσουµ την έκφραση νός συναρτησιακού, η στάσιµη τιµή του οποίου να δίνι την ασθνή µορφή, δηλαδή να ίναι ισοδύναµη µ την διαφορική ξίσωση. Για τα υπόψη διδιάστατα προβλήµατα το Π ( ) ίναι Π ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 3 από 5
Π ( ) = ( ) ( ) d f d Β Η Μέθοδος των Ππρασµένων Στοιχίων Σηµιώσις d (5) Θωρώ µταβολή της άγνωστης συνάρτησης συναρτησιακού Π : δ, µ δ = στο Β και έχω την µταβολή του ( ) ( ) d δπ= δ d f δd δ Β Παρατηρήστ πως αν θέσω δ (προσέξτ πως οι δ και ικανοποιούν ακριβώς τις ίδις συνθήκς, δηλαδή ίναι τυχαίς και αποδκτές) και δ Π =, τότ έχω ακριβώς την έκφραση της ασθνούς µορφής (). Σηµίωση Στα προβλήµατα λαστικότητας και λαστικών κατασκυών (τα οποία θα ξτάσουµ στην πόµνη νότητα) το συναρτησιακό Π έχι ένα πολύ συγκκριµένο φυσικό νόηµα: την συνολική δυναµική νέργια του συστήµατος. Σηµίωση Η µλέτη των συναρτησιακών αυτών ίναι πολύ χρήσιµη σ όσους ασχολούνται µ θωρητικά θέµατα ππρασµένων στοιχίων. Συγκκριµένα πιτρέπουν την ξέταση ιδικών προβληµάτων όπως η σύγκλιση και η ακρίβια της µθόδου σ σχέση µ την ακριβή λύση και την κτίµηση του σφάλµατος. Σηµίωση 3 Αυτό, πολλές φορές µας πιτρέπι να φαρµόσουµ την διακριτοποίηση () απυθίας στο Π (δηλαδή στην ξίσωση (5)) και όχι στην ασθνή µορφή, µ το σκπτικό ότι σ πολλές πριπτώσις η νέργια ίναι πιο ύκολο να διατυπωθί από ότι η ασθνής µορφή των ξισώσων ισορροπίας. Η µέθοδος τότ λέγται Ralegh Rtz και ύκολα µπορίτ να διαπιστώστ πως καταλήγι στα ίδια αποτλέσµατα, δηλαδή στην ξίσωση (3) (ή (4)). 6. Βασικά Στοιχία ρισδιάστατης Θωρίας Ελαστικότητας Θωρώ γραµµικά λαστικό τρισδιάστατο σώµα µ σύνορο Β. Στο τυχαίο σηµίο ( x, x, x ) του σώµατος ζητώ τις µτατοπίσις, της παραµορφώσις j και τις τάσις 3 σ j, µ δδοµένη τη γωµτρία, τις σταθρές του υλικού, και τα ξωτρικά πιβαλλόµνα φορτία, δηλαδή τις δυνάµις ανά µονάδα όγκου b, και τις δυνάµις ανά µονάδα πιφανίας t στο σύνορο (βλέπ σχήµα 6.). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 4 από 5
t Β Σχήµα 6.: Χωρίο, µ σύνορο Β και διάνυσµα πιφανιακής δύναµης t. Οι ξισώσις που ισχύουν στο χωρίο κινηµατικές : ίναι: j= (, j+ j, ) = sm(, j) (6) καταστατικές: σ = D (7) j jke ke ισορροπίας: σ + = (8) j, j b όπου b ίναι η διανυσµατική συνάρτηση που κφράζι τις δυνάµις ανά µονάδα όγκου Σχτικά µ τις συνοριακές συνθήκς στο Β το Β χωρίζται σ τµήµατα : ο Β όπου η µτατόπιση ίναι ορισµένη σ κάθ σηµίο = µ γνωστή διανυσµατική συνάρτηση ο Β όπου η πιφανιακή τάση ίναι ορισµένη σ κάθ σηµίο σ n = t j j µ t γνωστή διανυσµατική συνάρτηση Ισχύι πίσης σ κάθ πρίπτωση, Β Β =Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 5 από 5
και Β Β = Η τλική διαφορική ξίσωση ισορροπίας ως προς τις µτατοπίσις προκύπτι µ την µέθοδο της ακαµψίας όπως έχουµ πριγράψι. Συγκκριµένα, συνδυάζοντας κινηµατικές και καταστατικές σχέσις έχουµ σ = D = D (, +, ) = D (, ) j jke kl jkl k l l k jkl k l (9) και λόγω της ξίσωσης ισορροπίας (8) προκύπτι τλικά ( ) D + b = () jke k, e j Για γραµµικά ισότροπα υλικά, ο καταστατικός νόµος (7) γράφται µ τη µορφή σ = λδ + µ j j kk j όπου λ και µ ίναι οι σταθρές του Lame, οι οποίς σχτίζονται µ τις «φυσικές» σταθρές E και ν ως ακολούθως: λ = Eν ( + ν )( ν ) µ = G = E ( + ν ) Στην ανωτέρω πρίπτωση, οι τλικές ξισώσις ισορροπίας γράφται ως ξής: ( ) µ λ µ j, + +, jj+ b = και ονοµάζονται και ξισώσις Naver. Σ κάθ πρίπτωση, η τλικές ξισώσις αποτλούν ένα πρόβληµα ης βαθµού και γράφονται µ τη γνική µορφή L m ( ) = f. µ m =. Άρα m = και m =. Οι συνοριακές συνθήκς θα ίναι λοιπόν έτσι ώστ να έχω m = συνθήκς σ κάθ συνοριακό σηµίο νώ οι συνοριακές συνθήκς στο Β και το Β ίναι οι βασικές και φυσικές αντίστοιχα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 6 από 5
Ενργιακή θώρηση Η δυναµική νέργια του λαστικού παραµορφώσιµου σώµατος Π δίνται από το ακόλουθο συναρτησιακό: Π= U + V όπου U η νέργια παραµόρφωσης U = σ j j d και V η µταβολή δυναµικού των ξωτρικών φορτίων V = t dβ+ b d Β Χρησιµοποιώντας κινηµατικές και καταστατικές σχέσις: U = Djke j ke d= Djke, j k, e d Εποµένως το συναρτησιακό της δυναµικής νέργιας ίναι Π = D d b d t Β ( ) d,, jke j k e Β () Σηµιώνουµ πως η άγνωστη συνάρτηση δν ίναι πλέον βαθµωτή (όπως στα µονοδιάστατα προβλήµατα ή στην διάδοση θρµότητας που ξτάσαµ στην προηγούµνη νότητα) αλλά διανυσµατική, µ =,, ), γι αυτό και γράφω Π ( ) ή ( ) ( 3 Π. Σηµιώστ πίσης πως µέχρι την σχέση () θώρησα την δυναµική νέργια Π, τις κινηµατικές σχέσις και τις καταστατικές σχέσις. Θα δίξουµ ότι η συνθήκη δ Π= για µταβολές της συµβατές µ τις βασικές καταλήγι στις ξισώσις ισορροπίας και τις φυσικές ΣΣ. ΣΣ Και αντιστρόφως αν η ικανοποιί τις ξισώσις (6) - (8), καθώς και τις αντίστοιχς ΣΣ, τότ αυτό σηµαίνι πως ικανοποιί τη συνθήκη της στάσιµης τιµής δ Π =. ο παραπάνω ονοµάζται «Αρχή της στάσιµης τιµής της δυναµικής νέργιας». Η απόδιξη δίνται κάτωθι: Ξκινώ από τις αρχικές σχέσις ισορροπίας ( j j b ) σ + = στο. (), ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 7 από 5
ότ θωρώ µία τυχαία συνάρτηση ισοδύναµη µ w αποδκτή δηλαδή = στο Β. Η σχέση () ίναι Αυτό σηµαίνι πως, ( σ ) j j, + b d= (3) σ j wd + bwd = σj n j d σj, j d+ b d= Β t j, j d= jnj d+ j nj Β Β σ σ σ σ d = t d + b d j, j jkl k, l, j d + b d D d= t d + b d (4) Αν τώρα θωρήσω την µταβολή του Π και θέσω δ Π=, έχω δπ= D δ d t δ dβ b δ d jke, j k, e D δ d= t δ dβ + b δ d (5) jke k, e, j Οι σχέσις (4) και (5) ίναι ταυτόσηµς, διότι ουσιαστικά δ. Εποµένως αντί λοιπόν να θωρήσω στην διαφορική ξίσωση και τις συνοριακές συνθήκς, µπορώ να ργαστώ µ την ξίσωση (4) (ή (5)) όπου η ίναι µία τυχαία αποδκτή συνάρτηση. Η ξίσωση (4) (ή (5)) αποτλί την ασθνή µορφή του προβλήµατός µου στην οποία µπορώ να φαρµόσω την µέθοδο Galerkn. Σηµίωση Η ξίσωση (4) ή (5) µπορί να γραφί και ως ξής σ d = t dβ + b d j j όπου σ = D = D j jkl k, l jkl kl και = + = = (,, ) sm( ) sm( w ) j j j ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 8 από 5
Καταλήγω δηλαδή στην αρχή των δυνατών µτατοπίσων την οποία γνωρίζτ από την Αντοχή των Υλικών έχτ χρησιµοποιήσι για την πίλυση πολλών προβληµάτων. Βασικό συµπέρασµα α ανωτέρω σηµαίνουν πως Η ασθνής µορφή του προβλήµατος ισορροπίας Η αρχή των δυνατών µτατοπίσων Η στάσιµη τιµή της δυναµικής νέργιας ίναι τρις ισοδύναµς κφράσις του ίδιου πράγµατος (δηλαδή της ισορροπίας της κατασκυής). 6.3 Προβλήµατα Επίπδης Ελαστικότητας Θα ασχοληθούµ µ πίπδη λαστικότητα σ γραµµικά και ισότροπα υλικά. α προβλήµατα θα αναφέρονται στο πίπδο x,, και χωρίζονται σ δύο ιδών προβλήµατα: προβλήµατα πίπδης έντασης όταν σ z = (αναφέρονται πίπδα λάσµατα πολύ µικρού πάχους σχτικά τις άλλς δύο διαστάσις). ότ από το νόµο του Hooke: και z ν σz ν σx σ + = σx + σ Ε = Ε ( ) ( ) σ x Ε ν x σ = ν ν προβλήµατα πίπδης παραµόρφωσης όταν z = (αναφέρονται σ προβλήµατα κατασκυών µ την µία διάσταση πολύ µγαλύτρη των άλλων δύο, όπου όµως δν υπάρχι µταβολή στην γωµτρία και τις φορτίσις κατά µήκος της µγάλης αυτής διάστασης). ότ, = : από το νόµο του Hooke, µ z ( ) σ = ν σ + σ z x και ( ν) σ x Ε ν x σ = ( ν)( ν) ν ( ν) + Σ κάθ πρίπτωση λοιπόν σ x D D x σ = D D όπου D j ξαρτώνται από τις λαστικές σταθρές του υλικού. Επίσης, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 9 από 5
τ = τ = xz z δοµένου δ ότι σ κάθ πρίπτωση θα ισχύι τ x Ε = ( + ν ) γ x έχω καταστατικές ξισώσις της µορφής όπου και σ = D 3 3 3 σ D σ x σ τ x = D D D D = G x γ x = όπου τα D, D, D ξαρτώνται από τις λαστικές σταθρές, ανάλογα µ το αν έχω πίπδη ένταση ή πίπδη παραµόρφωση. Οι τρις κινηµατικές σχέσις στο πίπδο ίναι x = x γ x υ = = + υ και οι δύο ξισώσις ισορροπίας ίναι σ τ x x + + b x = τ x σ + + b = Η ασθνής µορφή του προβλήµατος (αρχή δυνατών έργων) γράφται σd= t dβ+ bd (6) µ µητρώο µτατοπίσων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα από 5
= υ και τυχαία αποδκτή (διανυσµατική) συνάρτηση (δυνατές µτατοπίσις) = υ Επίσης, οι δυνατές παραµορφώσις ίναι x = γ x Και ικανοποιούν τις κινηµατικές σχέσις, δηλαδή, x =, x υ =, γ x υ = + Ας φαρµόσω τώρα την µέθοδο Galerkn: N φ( x, ) = α (7) υ N = φ ( x, ) β (8) όπου τα, θωρώ πως όπου τα α β άγνωστα και τα ( x, α, = N φ(, ) α = x υ N φ (, ) xβ = β ίναι τυχαία. φ γνωστές συναρτήσις τις οποίς γώ διαλέγω. Επίσης, ) Για την υπόλοιπη νότητα, ας θωρήσω για υκολία, και χωρίς να χάνται η γνικότητα της µθόδου, ότι έχω δύο συναρτήσις Galerkn, δηλαδή N =. ότ, παραγωγίζοντας τις (7), (8), οι παραµορφώσις (για ) γίνονται N = ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα από 5
= αφ + αφ (9) x, x, x = βφ + βφ (),, γ = αφ + αφ + βφ + βφ () x,,, x, x Οι παραπάνω σχέσις γράφονται σ µητρωική µορφή µ =Na () φ φ Ν= φ φ Και µ Οµοίως όπου = Β a φ φ, x, x Β= φ, φ, a = φ φ φ φ,, x,, x [ α β α β ] =Na = Βa T (3) T a β α β a = Αντικαθιστώ τις ανωτέρω στην ασθνή µορφή (6) και έχω ή ισοδύναµα Β D d = t dβ+ bd ( d ) = dβ + ( ) a Β D Β a a Ν t a Ν b d ( d) dβ d = a Β D Β a Ν t Β Ν b Εφόσον το όπου a ίναι τυχαίο, θα πρέπι [ K ] a F = (4) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα από 5
[ K] = Β DΒ d F = Ν b d+ Ν t dβ Καταλήγω λοιπόν σ ένα γραµµικό πρόβληµα, η λύση του οποίου µας δίνι τους άγνωστους συντλστές a : [ K] = = [ ] a F a K F (5) Στη συνέχια βρίσκω τις µτατοπίσις, τις παραµορφώσις, και τις τάσις σ =D σ κάθ σηµίο, χρησιµοποιώντας τις σχέσις () και (3). Παρατήρηση Ποις συναρτήσις φ θα πιλέξω ώστ να λύσω το πρόβληµά µου? Γνικά, η πιλογή των συναρτήσων αυτών δν ίναι ένα ττριµµένο θέµα. Η «κατάλληλη πιλογή» των συναρτήσων φ ίναι µία σηµαντικότρς πτυχές της µθόδου των ππρασµένων στοιχίων, και βασικό αντικίµνο των πόµνων κφαλαίων, αποτλί δ σ ορισµένα δύσκολα προβλήµατα αντικίµνο σχηµατικών αναλύσων και έρυνας. Στην µέθοδο των ππρασµένων στοιχίων χρησιµοποιούµ γνικώς πολυωνυµικές συναρτήσις. 6.4 ΠΑΡΑΡΗΜΑ: Αναλυτική λύση της ξίσωσης Posson Είναι σκόπιµο να συγκρίνουµ την προσγγιστική λύση της ξίσωσης = f στο µ = στο Β µ ακριβίς (αναλυτικές) λύσις. Στις πρισσότρς πριπτώσις, οι λύσις αυτές δν ίναι ύκολο να υπολογιστούν. Όταν όµως το µορφή, τότ ίναι δυνατό να βρούµ ακριβή λύση. ο µέλος (η f (, ) x ) έχι κάποια ιδική η Πρίπτωση Έστω ότ η συνάρτηση f ( x, ) = 8x( x) + 8( ) ( x, ) = 4x( x)( ) ικανοποιί τη διαφορική ξίσωση και τις συνοριακές συνθήκς και ίναι η λύση του προβλήµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 3 από 5
η Πρίπτωση Μία άλλη πρίπτωση ίναι όταν η f (, ) ( x, ) x ίναι µία σταθρή συνάρτηση. ότ η λύση που ικανοποιί ακριβώς τη διαφορική ξίσωση και τις συνοριακές συνθήκς δίνται µέσω νός αθροίσµατος απίρων όρων Forer. Έστω λοιπόν + = f ( x, ) = f = σταθ. στο µ = στο σύνορο Β Αναζητώ λύση της µορφής x, = a snmπ xsnnπ (6) ( ) m= n= f x, f η οποία ικανοποιί τις συνοριακές συνθήκς. Αναλύω την ( ) = σ σιρές Forer: µ ( ) f x, f f snmπ xsnnπ = = (7) m= n= ( ) f 4 f x, snmπxsnnπdxd = Υπολογισµός του ανωτέρω ολοκληρώµατος δίνι f = 4 f snmπx dx snnπ d αν m, n αρτια 4 = f ( cos mπ )( cos nπ ) = 6 f π αν m, n πριττα π (8) Αντικαθιστώντας τις (6), (7) και (8) στην διαφορική ξίσωση, έχουµ ηλαδή, + = a π ( m + n ) sn mπxsn nπx m= n= ( ) = f x, = f snmπ xsnnπ m= n= a = f π ( m + n ) και µάλιστα, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 4 από 5
a =, αν m ή n πριττά Έτσι η λύση της διαφορικής ξίσωσης για σταθρό δύτρο µέλος ίναι 6 f ( x, ) = snmπ xsnnπ 4 m=,3,5,.. n=,3,5,... π ( m + n ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ιδιάστατα Προβλήµατα Συνοριακών ιµών σλίδα 5 από 5