4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx) i odrediti vrednost minimuma fx ). Rešenje: Najpre popunimo tablicu konačnim razlikama: x y y y 3 y.17 0.6085 0.794 0.644 0 1.5187 0.1857 1.4384 1.3681 1.7044 1.641 0.0703 0.4938 4 3.385 1.6944 0.5641 6 5.09.585 8 7.814 Prema vrednostima za y k = fx k ) vidimo da funkcija dostiže minimalnu vrednost u intervalu [, ], tj. u okolini tačke 0. Pošto je f po apsolitnoj vrednosti u intervalu [0, ] manje nego u intervalu [, 0] verovatnije je da se minimum nalazi u intervalu [0, ] ali nije obavezno tako.) Zato ćemo formirati I Njutnov interpolacioni polinom uzimajući tačku 0 za početnu: N I x) = y 1 + y 1 u + y 1! uu 1) + 3 y 1 uu 1)u ) Neopodan uslov da funkcija ima minimum u tački x jeste da vrednost prvog izvoda u toj tački bude 0. Prvi izvod I Njutnovog interpolacionog polinoma u ovom slučaju je: N Ix) = 1 [ ] y 1 + y 1 u 1) + 3 y 1 3u 6u + ) 1)! Dovoljno je da izjednačimo izraz u zagradi sa 0 i zamenimo poznate vrednosti iz tablice: 0.1857 + 1.4384 Formiramo iterativni proces iz 3) po lineranom članu: u 1) + 1.3681 3u 6u + ) 6 = 0 ) 0.6840u +.8065u 0.9895 = 0 3) u n+1 = 0.9895.8065 + 0.6840.8065 u n u n+1 = 0.356 + 0.437u n 4) Početna vrednost u iterativnom postupku je u 0 = 0. Iz 4) dobijamo niz iteracija: 1

u 0 = 0 u 1 = 0.356 u = 0.389 u 3 = 0.3883 u 4 = 0.3893 u 5 = 0.3895 u 6 = 0.3896 u 7 = 0.3896 Dobili smo u = u 7 = 0.3896. Sada je u = x x 1, pošto je početna tačka od koje smo formirali Njutnov interpolacioni polinom x 1 = 0. Dakle, funkcija fx) dostiže minimalnu vrednost u tački x = u + 0 = 0.3896 + 0, tj. = x 0 x = 0.779. Odredimo minimum funkcije fx). Funkcija je zadata tabelom, pa ćemo koristiti I Njutnov interpolacioni polinom sa početnom tačkom x 0. N I x) =.17 0.6085u + 0.794! uu 1) + 0.644 uu 1)u ) gde je u = x x 0 = 0.779 ) = 1.3896. Sada je: fx ) N I x ) = 1.4611 4.1 Izvod - enje formula za numeričko diferenciranje Greška numeričkog diferenciranja R je zbir dve greške, greška metode R M i greška računa r, koja nastaje kao posledica zaokruživanja. R = R M + r. 5) Greška računa r jeste maksimalna greška sa kojom je zadata vrednost funkcije f. 8. Neka je funkcija fx) C [a, b] čije su poznate vrednosti u ekvidistantnim čvorovima Dokazati da je a = x 0 < x 1 <... < x n = b f x k ) = f k f ξ), ξ x k, x k+1 ). 6) Rešenje: Koristimo Tejlorov razvoj funkcije u okolini tačke x k. fx k+1 ) = fx k + ) = fx k ) + f x k ) x k+1 x k ) + f ξ) x k+1 x k )!

Odavde direktno sledi fx k+1 = fx k ) + f x k ) + f ξ) ) f x k ) = fx k+1) fx k ) f x k ) = f k f ξ) f ξ) 9. Neka je funkcija fx) C 3 [a, b] čije su poznate vrednosti u ekvidistantnim čvorovima a = x 0 < x 1 <... < x n = b Dokazati da je f x k + ) = f k f ξ) 4, ξ x k, x k+1 ). 7) Rešenje: Uvedimo smenu: Odavde je direktno: x = x k +. x k = x x k+1 = x +. Primenjujemo Tejlorov razvoj funkcije u okolini tačke x do trećeg stepena. fx k ) = f x ) = fx) f x) + f ) x) f ) ξ 1 ) 3, ξ 1 [x k, x]8)! fx k+1 ) = f x + ) = fx) + f x) + f ) x) + f ) ξ ) 3, ξ [x, x k+1] 9)! Oduzmimo 9) 8) i, posle skraćivanja i deljenja sa, dobija se: fx k+1 ) fx k ) = f x) + f ξ 1 ) + f ξ ) ) 10) 48 Pošto funkcija fx) ima neprekidan treći izvod, to postoji tačka ξ [x k, x k+1 ] takva da je: Konačno je f ξ 1 ) + f ξ ) = f ξ) f x k + ) = fx k) f ξ) 4, ξ x k, x k+1 ). Napomena 1.: U pretodnom zadatku Tejlorov red razvijamo do trećeg reda pošto se članovi drugog reda skraćuju. Napomena.: Posmatrajmo formule 6) i 7). Prvi sabirak u obe formule predstavlja aproksimaciju f x k ), tj. f x k + /), a drugi sabirak grešku formule diferenciranja greška metode). Primetimo da je prvi izvod u obe tačke, x k i x k + /, aproksimiran istim izrazom, ali su greške približni vrednosti koje se dobijaju tim aproksimacijama različite. Napomena 3. Za korak kažemo da je optimalan korak interpolacije ili maksimalan korak interpolacije) ako funkcija ukupne greške R) ima minimum u. 10. Neka se vrednosti funkcije fx) mogu izraziti sa tačnošću ε i neka je max f n) x) = M n. Naći optimalan korak za numeričko diferenciranje po formuli: 3

a) f x k ) f k b) f x k + ) f k c) f x k ) f k 1 = fx k+1) fx k )+fx k 1 ) Rešenje: a) U zadatku. smo dokazali formulu 6). Pogledati Napomenu. iza Zadatka 9.) Dakle, ova aproksimacija važi. Nad - imo optimalan korak. Greška metode je sledi iz Zadatka 9., pogledati Napomenu. iza zadatka 9!) R M = f ξ) M. Greška računa je sledi iz toga što su vrednosti funkcije date sa tačnošću ε, a iz Zadatka 7. je f x k ) f k = fx k+1) fx k ) ) r = ε Dakle, ukupna greška je R) = R M + r = M + ε Tražimo koje će da minimizuje grešku R), tj. R ) = M ε = 0 Sada je optimalan korak za numeričko diferenciranje ovom formulom 4ε =. M b) Slično kao pod a), a kao posledica Zadatka 9. i formule 7), imamo da je greška metode: a greška računa pa je ukupna greška: R M = M 3 4 r = ε R) = M 3 4 Tražimo koje će da minimizuje grešku R), tj. + ε. R ) = M 3 1 ε = 0 Sada je optimalan korak za numeričko diferenciranje ovom formulom c) Najpre dokažimo formulu = 3 4ε M 3. f x k ) fx k+1) fx k ) + fx k 1 ) 11) 4

Pod - imo od desne strane predložene formule: fx k+1 ) fx k ) + fx k 1 ) = 1 [fx k + ) fx k ) + fx k )] = = 1 [fx k) + f x k ) fx k ) + fx k ) f x k ) + f x k )! + f x k )! + f x k ) f x k ) 3 + f IV ξ 1 ) 4 4! 3 + f IV ξ ) 4 ] 4! Ovde smo iskoristili razvoj funkcije u Tejlorov red u okolini tačke x k do četvrtog reda. fx k+1 ) fx k ) + fx k 1 ) = f x k ) + 1 f IV ξ) Pritom, ξ 1 x k 1, x k ), ξ x k, x k+1 ). Ako funkcija fx) ima neprekidan četvrti izvod na intervalu [x k 1, x k+1 ], tada postoji tačka ξ x k 1, x k+1 ) takva da važi: f IV ξ 1 ) + f IV ξ ) = f IV ξ). Ovim smo dokazali predloženu formulu sa greškom metode: i greškom računa Ukupna greška je R M = M 4 1 r = 4ε R) = M 4 1 Tražimo korak koji minimizuje grešku: + 4ε. R ) = M 4 1 8ε 3. Optimalan korak za numeričko diferenciranje po formuli 11) je = 4 48ε M 4. Napomena 4. Greška formule za numeričko diferenciranje se smanjuje sa smanjenjem koraka interpolacije. U tom slučaju su aproksimaciju izvoda tačnije, pošto su čvorovi koje koristimo pri aproksimaciji bliži. S druge strane, vrednosti fx), fx±), fx±) itd. postaju bliske za male vrednosti koraka, pa dolazi do skraćivanja ti vrednosti u formulama za diferenciranje. U tom slučaju se povećava uticaj računske greške, pa ukupna greška raste. Zato je potrebno odrediti otimalan korak interpolacije koji će obezbediti minimalnu grešku. 11. Neka se vrednosti funkcije mogu odrediti sa tačnošću ε i neka je M n = max x [a,b] f n) x). Naći optimalan korak za numeričko diferenciranje po formuli f x) = 1 [ 3fx k) + 4fx k+1 ) fx k+ )], 5

pri čemu su čvorovi ekvidistantni. Rešenje: Koristimo razvoj funkcije u Tejlorov red u okolini tačke x k. Čvorovi su ekvidistantni, tj. x k+1 = x k +, x k+ = x k +. Pod - imo od desne strane predložene formule. [ 1 3fx k ) + 4 1 [ 3fx k) + 4fx k+1 ) fx k+ )] = fx k ) + f x k ) + f x k )! + f ) ξ) 3 fx k ) + f x k ) ) + f x k ) ) + f )] ξ) ) 3! = 1 [f x k ) 3 ] f ξ) 3 = f x k ) 1 3 f ξ) gde je ξ [x k, x k+ ] neka tačka. Dakle, dokazali smo formulu: f x k ) 1 [ 3fx k) + 4fx k+1 ) fx k+ )] 1) sa greškom metode R M = M 3 3 i greškom računa r = 8ε. Tražimo optimalan korak koji minimizuje ukupnu grešku R) = R M + r, tj. Odavde je optimalan korak R ) = 3 M 3 4ε = 0. = 3 6ε M 3 1. Funkcija fx) tabelirana je korakom > 0 u ekvidistantnim čvorovima x 0, x 1, x, x 3, x 4. Dokazati aproksimacije: a) f x 0 ) = 1 1 [ 5f 0 + 48f 1 36f + 16f 3 3f 4 ] b) f x 1 ) = 1 1 [ 3f 0 10f 1 + 18f 6f 3 + f 4 ] c) f x ) = 1 1 [f 0 8f 1 + 8f 3 f 4 ] gde je f k = fx k ). Rešenje: Koristimo I Njutnov interpolacioni polinom: x y f f 3 f 4 f x 0 f 0 f 1 f 0 f f 1 + f 0 f 3 3f + 3f 1 f 0 f 4 4f 3 + 6f 4f 1 + f 0 x 1 f 1 f f 1 f 3 f + f 1 f 4 3f 3 + 3f f 1 x f f 3 f f 4 f 3 + f x 3 f 3 f 4 f 3 x 4 f 4 I Njutnov interpolacioni polinom je oblika: N I x) = f 0 + f 1 f 0 )u + 1! f f 1 + f 0 )u u) + 1 f 3 3f + 3f 1 f 0 )u 3 3u + u)+ 6

+ 1 4! f 4 4f 3 + 6f 4f 1 + f 0 )u 4 6u 3 + 11u 6u) pri čemu je u = x x 0. Nama treba aproksimacija prvog izvoda funkcije fx), pa koristimo izvod I Njutnovog interpolacionog polinoma: N Ix) = 1 [ f 1 f 0 + 1 f f 1 + f 0 )u 1) + 1 6 f 3 3f + 3f 1 f 0 )3u 6u + )+ + 1 ] 4 f 4 4f 3 + 6f 4f 1 + f 0 )4u 3 18u + u 6) a) Tražimo procenu vrednosti f x 0 ), pa zamenimo u gornju jednačinu x = x 0. U tom slučaju je u = x x 0 = 0, pa za u = 0, posle sred - ivanja poslednjeg izraza, dobijamo traženi izraz pod a). b) Slično kao pod a), samo je sada x = x 1, a u = x 1 x 0 = 1, pošto su čvorovi ekvidistantni, tj. x 1 x 0 =. c) Sada je x = x, a u =. 7