Prof.dr Ratomir Paunović Prof.dr Radovan Omorjan OSNOVNE NUMERIČKE METODE U HEMIJSKOM INŽENJERSTVU Tehnološki fakultet, Univerzitet u Novom Sadu Novi Sad : Recenzenti:
Predgovor Kori² enje numeri kih metoda za analizu, simulaciju i projektovanje tehnolo²kih procesa i sistema je u naglom porastu, zahvaljuju i raspoloºivosti ra unarima sa velikom ra unarskom snagom. Pred inºenjerskom profesijom se postavljaju sve ve i zahtevi u tom smislu, tako da studenti pored teorijskog znanja iz numeri kih metoda moraju da ovladaju i primenom ovih znanja radi re²avanja sloºenih prakti nih problema upotrebom ra unara. Moderni visoko²kolski udºbenici, ija je tematika vezana za najrazli itije prora une oslanjaju se na kori² enje matemati ko-numeri kog softvera. Kako je takav softver pristupa an i lako dostupan, nastavnici i autori udºbenika nisu vi²e ograni eni na najjednostavnije primere i probleme ve imaju mnogo ve u slobodu, a i obavezu, da obražuju realnije i samim tim mnogo sloºenije probleme. Tako studenti treba da se upoznaju sa primenom raznovrsnog softvera koji je sve vi²e imperativ uspe²nog re²avanja inºenjerskih problema. Naravno, nemogu e je nau iti sve numeri ke metode i kori² enje svih dostupnih softverskih paketa. Cilj svakog kursa ili materijala iz numeri kih metoda, pa tako i ovog, je da razvije sposobnost studenta za ²to ekasnijim izborom numeri kih metoda i odgovaraju eg softvera u re²avanju problema u prakti nom radu. Ovaj materijal sadrºi standardne numeri ke postupke neophodne za re²avanje tipi nih ra unskih problema u hemijskom inºenjerstvu: interpolacija i aproksimacija, pribliºno diferenciranje i integracija, re²avanje algebarskih i diferencijalnih jedna ina itd. Pored izloºenih osnovnih teorijskih postavki numeri kih metoda, prikazani su i brojni primeri re²avanja osnovnih matemati kih modela procesa u hemijskom inºenjerstvu, koji uklju uju fenomene prenosa i hemijske reakcije. Izabran je Mathcad v. kao matemati ki softver pomo u kojeg su re²avani dati primeri i problemi. Pored toga je uklju ena i Mathcad elektronska knjiga sa re²enjima odabranih problemima (moºe se skinuti sa Internet strane Fakulteta ili dobiti od autora). Iako je samo Mathcad izabran kao softver, studentima je pruºena dobra osnova za re²avanje numeri kih problema u drugim softverima. Trenutno, pored Mathcad-a, najaktuelniji komercijalni softveri su Matlab, Mathematica, Maple, Polymath odnosno besplatni (slobodno dostupni) Octave, Scilab, Maxima, EuMathT, i mnogi drugi. Materijal je rezultat dugogodi²njeg angaºovanja autora na mnogim predmetima i kursevima koji su zahtevali upotrebu numeri kih metoda pri re²avanju razli itih problema. Formiran je u skladu sa aktuelnim potrebama i programima na razli itim predmetima kao ²to su: Programiranje i primena ra unara, Primena ra unara I, Primena ra unara II, Numeri ka matematika u hemijskom inºenjerstvu, Matemati ke metode u hemijskom inºenjerstvu, Hemijsko inºenjerski prora uni, Matemati ko modelovanje tehnolo²kih procesa, Modelovanje u prehrambenoj industriji itd. koje su slu²ali (nisu vi²e aktuelni) ili trenutno slu²aju studenti Tehnolo²kog fakulteta u Novom Sadu. Materijal nije ograni en na konkretne predmete i preporu uje se svima onima koji imaju potrebu za numeri kim re²avanjem problema.
Sadržaj Računanje sa približnim brojevima 7. IZVORI GREŠAKA........................ 7. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE................. Prikazivanje brojeva...................... Značajne cifre broja......................3 Sigurne cifre broja..................... 3..4 Granica apsolutne greške iz broja sigurnih decimala... 4.3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA 4.3. Granica relativne greške iz broja sigurnih cifara...... 4.3. Broj sigurnih cifara iz granice relativne greške...... 5.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE............. 6.4. Specijalni slučajevi funkcija................ 8.4. Pravila za računanje i procenjivanje tačnosti rezultata... 3.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE............ 5.6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA.......... 33.6. Memorisanje brojeva u računaru-mašinski brojevi.... 33.6. Greška redukovanog preslikavanja............ 37.6.3 Greške računskih operacija................. 38.6.4 Prostiranje grešaka u računskom procesu......... 39.7 ODUZIMANJE BLISKIH BROJEVA............... 4.8 STABILNOST RAČUNSKOG PROCESA............. 43 ZADACI.................................. 46 Interpolacija 49. LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM......... 5. PROCENA GREŠKE INTERPOLACIJE............. 53.3 KONAČNE RAZLIKE....................... 55.4 PRVI I DRUGI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM... 58
SADRŽAJ.4. Prvi Njutnov interpolacioni polinom............ 58.4. Drugi Njutnov interpolacioni polinom........... 59.5 PRAKTIČNI ASPEKTI INTERPOLACIJE............ 59.5. Izbor stepena polinoma.................. 6.5. Izbor čvorova interpolacije................. 6.5.3 Uticaj povećanja stepena IP na grešku interpolacije.... 6.6 PISVAJZ I SPLAJN INTERPOLACIJA.............. 67.6. Kubni splajn........................ 67.7 INVERZNA INTERPOLACIJA.................. 68 ZADACI.................................. 7 3 Numeričko diferenciranje 73 3. GREŠKA NUMERIČKE PROCENE PRVOG IZVODA..... 74 3. PRVI IZVOD U EKVIDISTANTNIM ČVOROVIMA....... 75 3.3 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE U MATHCAD-u....... 8 ZADACI.................................. 84 4 Numerička integracija 87 4. OSNOVNE INTEGRACIONE FORMULE............ 88 4. TRAPEZNO PRAVILO....................... 9 4.3 SIMPSONOVO PRVO I DRUGO PRAVILO........... 9 4.3. Greške Simpsonovih pravila................ 9 4.4 TRAPEZNA I SIMPSONOVA INTEGRACIONA FORMULA.. 9 4.4. Trapezna formula...................... 9 4.4. Simpsonova formula.................... 93 4.5 GREŠKA I RED INTEGRACIONE FORMULE......... 94 4.6 PROCENA GREŠKE METODE.................... 3 ZADACI.................................. 6 5 Sistemi linearnih jednačina 9 5. NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE.... 9 5.. Elementarne transformacije matrice. Ekvivalentne matrice 5. GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGA.... 5 5.3 LINEARNA ZAVISNOST VRSTA (KOLONA) MATRICE.... 8 5.3. Vektori........................... 8 5.3. Linearna zavisnost vektora................. 8 5.3.3 Vektorski prostori i potprostori............... 5.3.4 Broj nezavisnih vrsta (kolona) matrice........... 5.4 NEZAVISNE HEM. REAKCIJE.................. 4 5.5 EGZISTENCIJA REŠENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA9 5.5. Kroneker-Kapelijeva teorema............... 9
SADRŽAJ 3 5.5. Broj stepeni slobode i rešavanje saglasnog neodre denog SLJ34 5.5.3 Homogen SLJ....................... 36 5.6 GAUSOV ELIMINACIONI METOD REŠAVANJA SLJ..... 36 5.7 GAUS - ŽORDANOV ELIMINACIONI METOD......... 37 5.8 REŠAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ............ 39 5.9 LINEARNA ALGEBRA U MATHCAD-U............ 43 5.9. Rešavanje SLJ pomoću Solve Block-a........... 43 ZADACI.................................. 5 6 Svojstvene vrednosti matrice 57 6. LINEARNA TRANSFORMACIJA VEKTORA.......... 57 6. SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VREDNOSTI.... 58 6.. Karakteristična jednačina i karakteristični polinom matrice 59 6.3 IZRAČUNAVANJE SVOJSTVENIH VREDNOSTI........ 6 6.4 ODREDJIVANJE SVOJSTVENIH VEKTORA.......... 6 6.5 NEKE TEOREME......................... 66 6.6 MATHCAD FUNKCIJE...................... 67 ZADACI.................................. 68 7 Numeričko rešavanje nelinearnih jednačina 7 7. Zadatak numeričkog rešavanja nelinearnih jednačina....... 7 7.. Egzistencija realnog rešenja................ 7 7. ITERACIONI PROCES....................... 73 7.. Kriterijumi za završetak iteracionog procesa........ 75 7.3 RED I BRZINA KONVEREGENCIJE ITERACIONOG PROCESA76 7.4 METOD PROSTIH ITERACIJA.................. 79 7.4. Uslov konvergencije.................... 8 7.5 METODA TANGENTE...................... 85 7.5. Dovoljan uslov konvergencije............... 85 7.6 METODA SEKANTE....................... 87 7.7 VEGŠTAJNOV METOD...................... 89 7.8 ODREDJIVANJE NULA POLINOMA.............. 95 7.9 KORENI JEDNAČINA I POLINOMA U MATHCAD-u..... 98 ZADACI.................................. 8 Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 9 8. METODA PROSTIH ITERACIJA - JAKOBIJEVA METODA.. 8. GAUSS - ZEIDELOVA MODIFIKACIJA............... 5 8.3 VEGŠTAJNOVA METODA.................... 6 8.4 NJUTN - RAFSONOVA METODA................ 6 8.5 REŠAVANJE NELINEARNIH SISTEMA U MATHCAD-u... 8
4 SADRŽAJ ZADACI.................................. 9 9 Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina 5 9. UVOD............................... 5 9.. Numeričko rešenje ODJ.................. 7 9.. Sistem običnih diferencijalnih jednačina.......... 7 9. PREVOÐENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ. REDA..... 9 9.3 NUMERIČKO REŠAVANJE ODJ. REDA............ 3 9.3. Lokalna greška i red numeričke metode.......... 34 9.3. Globalna greška i stabilnost numeričke metode...... 35 9.4 TAČNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE........ 35 9.4. Propagacija greške u računskom procesu......... 37 9.4. Stabilnost računskog procesa................ 38 9.5 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE............ 39 9.5. Metoda srednje tačke.................... 39 9.5. Metoda srednjeg nagiba.................. 4 9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA............... 4 9.7 KLASIFIKACIJA NUMERIČKIH METODA............. 4 9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA... 4 9.9 VIŠEKORAČNE EKSPLICITNE METODE........... 43 9. VIŠEKORAČNE IMPLICITNE METODE............ 44 9. NUMERIČKA INTEGRACIJA SISTEMA............ 45 9. NUMERIČKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U...... 47 9.. Početni problem za sistem ODJ. reda.......... 48 9.. Granični problem za ODJ. reda............. 49 9..3 Metod probe i greške................... 49 9.3 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE......... 57 9.4 LINEARNA ODJ METODA KONAČNIH RAZLIKA...... 64 Numeričko rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednačina 67. UVOD............................... 67. NUMERIČKO REŠAVANJE PARABOLIČNE PDJ........ 7.3 EKSPLICITNA METODA..................... 7.4 IMPLICITNA METODA...................... 75.5 METODA LINIJA......................... 77.6 NUMERIČKO REŠAVANJE ELIPTIČNE PDJ.......... 77 Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka 85. IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE................. 87. LINEARIZOVANE DVOPARAM. EMPIRIJSKE FORMULE.. 9.3 METOD NAJMANJIH KVADRATA................ 94
SADRŽAJ 5.4 EMPIRIJSKA FORMULA LINEARNA PO PARAMETRIMA.. 95.5 EMPIRIJSKA FORMULA SA VIŠE NEZAVISNO PROMENLJ... 33.6 METOD NAJMANJIH KVADRATA U MATHCAD-u...... 35.6. Formule sa jednom nezavisno promenljivom, linearne po parametrima........................ 35.6. Formule sa jednom nezavisno promenljivom, nelinearne po parametrima....................... 36.6.3 Formule sa više nezavisno promenljivih.......... 36 ZADACI.................................. 38 Literatura 35 Indeks 36
6 SADRŽAJ
Glava Računanje sa približnim brojevima. IZVORI GREŠAKA Hemijsko-inženjerski proračun u opštem slučaju obuhvata dve faze: - Formulisanje neophodnih jednačina matematičkog modela - Rešavanje matematičkog modela Neka je cilj proračuna odre divanje neke veličine x, koja je funkcija niza parametara i promenljivih koje figurišu u matematičkom modelu. Izvori grešaka u procesu rešavanja problema mogu se prikazati sledećom šemom (Tabela.), u kojoj svaka zvezdica u eksponentu tražene veličine x označava prisustvo greške u njenoj vrednosti, koja potiče iz jednog od izvora: stvarni proces matematički model matematički model sa približnim parametrima numeričko rešenje matematičkog modela na idealnom računaru numeričko rešenje matematičkog modela na realnom računaru x(a, b, c,...) x (a, b, c,...) x (a, b, c,...) x (a, b, c,...) x (a, b, c,...) Tabela.: Izvori grešaka Tako se mogu uočiti sledeće greške prikazane u Tabeli.:
8 Računanje sa približnim brojevima greška matematičkog modela, koji uvek manje ili više odstupa od tačnog opisa realnog procesa greška usled približnih vrednosti parametara, čije tačne vrednosti nisu poznate greška numeričkih metoda za približno rešavanje matematičkog modela greška računanja zbog neizbežnih zaokruživanja me durezultata E = x x E = x - x E 3 = x - x E 4 = x - x Tabela.: Vrste grešaka Za ukupnu grešku imamo: E = x x = 4 i= E i (.) Primer.. U protivstrujnom izmenjivaču toplote hladi se ekstrakciono ulje od temperature T do temperature T, hladnim uljem koje se pri tom zagreje od temperature θ do temperature θ. Potrebno je odrediti neophodnu površinu izmenjivača toplote, A(m ) za hla denje ulja protoka F(kg/h), specifične tople c p : T A = Fc p T dt K T (T )(T θ (T )) gde je temperatura rashladnog ulja, θ u podintegralnoj funkciji, na osnovu energetskog bilansa, jednaka θ = θ θ T T (T T ) + θ θ F T T θ Slika.: Slika uz primer.
. IZVORI GREŠAKA 9 Greška modela: postoji, jer model uključuje niz uprošćujućih pretpostavki, izme du ostalog : - nema radijalnih promena temperature - nema razmene toplote sa okolinom - specifična toplota ulja se ne menja sa temperaturom - kriterijalne jednačine za odre divanje koeficijenata prelaza toplote za radni i rashladni fluid su tačne Greška koja potiče od grešaka parametara: vrednosti fizičkih parametara koji se koriste za izračunavanje koeficijenta prolaza toplote K T : - gustina, - specifična toplota, - viskozitet ulja, - koeficijenti provodljivosti toplote za zid cevi i ulje, itd. odstupaju od tačnih (stvarnih) vrednosti. Greška numeričke metode: greška trapezne formule (Slika.) za približno (numeričko) izračunavanje vrednosti integrala : I = T T dt K T (T )(T θ (T )) = T T f (T ) dt f(t) I = I + I + I 3 + I 4 Greška trapezne formule za približno odreñivanje I I I I 3 I 4 T T T Slika.: Greška trapezne formule Greška računanja: Kao što ćemo se uveriti u poglavlju 4, ova greška, pri izvo denju proračuna na računaru je zanemarljiva u odnosu na prethodne.
Računanje sa približnim brojevima. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Za neki broj x kaže se da je približan ako se neznatno razlikuje od njegove tačne vrednosti, x koju najčešće ne znamo. Greška približnog broja je razlika: x = x x Granica apsolutne greške,a x je broj koji nije manji od apsolutne vrednosti njegove greške: A x x x (.) Tako je interval na brojnoj pravoj u kome leži nepoznata, tačna vrednost x: * A x A * x x * Slika.3: Interval u kome se nalazi tačna vrednost Primer.. Broj π ima beskonačno mnogo decimala: x = π = 3.45965... Pa se može posmatrati kao približan, recimo: x = π = 3.4 x x =.5965... <.6 <. A π =. je količnik odstupanja i približne vred- Relativna greška približnog broja nosti: Kako je δ x = x x (.3) δ x = x x A x x Kao granica relativne greške uzima se količnik :
. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Primer.3. R x = A x x R π = A π π =. 3.4 = 6.369 4 < 3 R π =.% (.4).. Prikazivanje brojeva Oblik sa fiksiranom decimalnom tačkom u brojnom sistemu sa osnovom B izgleda: x = ± α n α n...α.α α...α m, α i {,,...,B } (.5) a u razvijenom obliku predstavlja zbir: x = ±(α n B n + α n B n +... + α B + α B + α B +... + α m B m ) = ± n i= m Primer.4. α i B i 44.7 = (4 + + 4 + + 7 + 3 ) Specijalni slučajevi: α = 4, α =,...,α 3 = α i = za i Ako α m α k =, za k > m > α i = za i : ceo broj sa n + cifara : decimalni broj sa m decimala : pravi razlomak U obliku sa pokretnom decimalnom tačkom (eksponencijalni oblik), broj se prikazuje kao proizvod jednog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tačkom i odgovarajućeg celobrojnog stepena osnove sistema. Prikaz nije jednoznačan. Primer.5. 44.7 = 44.7 }{{} }{{} = predeksponenci jalni celobro jni f aktor stepen osnove
Računanje sa približnim brojevima = 4.47 = 447 3 =... Normalizovani eksponencijalni oblik je jednoznačno definisan kao: x = ± x M x E x M mantisa, koja je pravi razlomak,. x M < x E eksponent, ceo broj (.6) Primer.6. 44.7 =.447 3, x M =.447, x E = 3.. Značajne cifre broja Značajne cifre nekog broja su sve cifre tog broja u obliku sa nepokretnom tačkom, počev od prve cifre sleva, koja je različita od nule. Primer.7. Po 5 značajnih cifara imaju brojevi: 3.84,.4876,. g mase izmeren na analitičkoj vagi sa tačnošću A x = 4 pravilno se prikazuje kao: x =. }{{} ±. g znača jne ci f re Dakle, desne nule u decimalnom delu broja se smatraju značajnim i zato se prikazuju samo ako nose značajnu informaciju (na primer, ako su rezultat merenja)! U normalizovanom eksponencijalnom obliku broja, sve cifre u decimalnom delu mantise su značajne! Primer.8..4876 =. 4876 }{{} znača jne ci f re Pri prikazivanju celih brojeva u obliku sa fiksnom decimalnom tačkom, neophodno je zadržati desne nule iako one ne nose nikakvu informaciju nisu značajne, već služe samo za naznačavanje reda veličine broja. Da bi se prikazale samo značajne cifre, neophodno je da se takav ceo broj prikaže u normalizovanom eksponencijalnom obliku Primer.9. Ako je u broju x = 8 samo nula značajna, to se može naznačiti prikazivanjem broja u obliku: x =.8 6
. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE 3..3 Sigurne cifre broja Cifra a k dekadnog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tačkom je sigurna: u užem smislu, ako je A x.5 k u širem smislu, ako je A x k (.7a) (.7b) dakle, ako granica apsolutne greške indexgranica apsolutne greškene prevazilazi polovinu mesne vrednosti ( k ) te cifre (uži smisao) odnosno mesnu vrednost te cifre - širi smisao. Sledi, ako je a k sigurna cifra, sigurne su i sve cifre levo od nje. Zadatak.. Odrediti broj sigurnih cifara u broju x =.6943, sa granicom apsolutne greške, A x = 4. Rešenje: x =.6943, A x = 4, s =? A x = 4 4 k = 4, s = 3 u širem smislu A x = 4.5 3 k = 3, s = u užem smislu Primer.. x A x U širem smislu U užem smislu 5.4.5 3.5 3 3 s = 4.5 3.5 3 s = 4 5.4.8.8 s = 3.8.5 s = 3.4. =.. s = 3..5 s = 3 Dekadni broj x prikazan u normalizovanom eksponencijalnom obliku ima s sigurnih cifara ako, A x ω x E s (.8) s - najveci ceo { broj za koji važi formula.5 u užem smislu i to, za ω = u širem smislu Primer.. x =.6943 =.6943 x E = A x = 4.5 3 =.5 s - 3 = - - s s = u užem smislu A x = 4 4 = s s = 3 u širem smislu
4 Računanje sa približnim brojevima Zadatak.. Koliko sigurnih cifara ima vrednost pritiska p =.3bar, dobijena merenjem sa relativnom greškom R p = % =.. Rešenje: x =.3 =.3 x E = A p = R p p =..3 =.3 bar A p =.3.5 =.5 s - = - s s = u užem smislu Pravilnije prikazana vrednost pritiska, koja sadrži samo sigurne cifre: p =. bar..4 Granica apsolutne greške iz broja sigurnih decimala Ako je poznato da neki približan broj x ima d sigurnih decimala, znači da za poslednju cifru, čija je mesna vrednost d, važi (.7) A x ω d, ω =.5, (.9) i dobili smo formulu za granicu apsolutne greške iz broja sigurnih decimala u užem (ω =.5) ili širem (ω = ) smislu. Primer.. Neka su u tabeli termodinamičkih podataka za neku supstancu, njene gustine ρ date sa decimale, koje su sigurne u širem smislu. Granica apsolutne greške datih gustina je: A ρ =.3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA.3. Granica relativne greške iz broja sigurnih cifara Neka broj x ima s sigurnih cifara. Kako, koristeći samo tu informaciju, a ne i vrednost broja, proceniti granicu njegove relativne greške? Ako u formulu (.4) umesto granice apsolutne greške zamenimo, u skladu sa jednačinom (.8), A x = ω x E s i broj prikažemo u normalizovanom eksponencijanom obliku, za granicu relativne greške dobijamo: R x = ω x E s x M x E Kako je najmanja moguća vrednost mantise jednaka., smenom te vrednosti umesto x M dobijamo traženu procenu relativne greške, R x = ω s (.)
.3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA 5 gde se za ω uzima.5 ili u zavisnosti da li su cifre sigurne u užem ili širem smislu. Jasno je da će formula (.) u opštem slučaju dati veće procene relativnih grešaka od onih bi se dobile iz granice apsolutne greške i vrednosti broja (.4). Pokazali smo da je: - relativna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih cifara, dok je - apsolutna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih decimala Zadatak.3. Instrument daje vrednosti pritisaka sa tačnošću od dve sigurne cifre u užem smislu. Proceniti granicu relativne greške izmerenih pritisaka. Rešenje: R x =.5 =.5 = 5% Uporedite ovaj zadatak sa prethodnim!.3. Broj sigurnih cifara iz granice relativne greške Neka je R x granica relativne greške približnog broja x i treba proceniti broj njegovih sigurnih cifara s u užem smislu.u pitanju je problem obrnut prethodnom i pokazaćemo da za njegovo rešavanje nije korektno koristiti jedn. (.). U skladu sa definicijom (.8), to je najveći ceo broj s za koga važi: odnosno, A x = x M x E R x.5 x E s R x.5 x M s Da ne bi precenili broj sigurnih cifara, neophodno je uzeti donju granicu kao vrednost nepoznatog broja.5/x M, kojim se množi stepen s : R x.5 s (.) Dakle, kao procenu broja sigurnih cifara u užem smislu uzimamo najveći ceo broj s, koji zadovoljava relaciju (.). Očigledno je da jedn. (.) može da preceni broj sigurnih cifara ( za veći od stvarnog ). Primer.3. Neka je vrednost x = 5 odre dena sa granicom apsolutne greške A x =.. Koristeći jednačinu (.7a) ili (.8), dobijamo da je s =, u užem smislu. Granica relativne greške približnog broja je : R x =. 5 = 3 < 5 3 =.5 =.5 3 i ako bi koristili jednačinu (.) za procenu broja sigurnih cifara, dobili bi nekorektnu procenu s = 3. Iz relacije (.) sledi korektna procena s =.
6 Računanje sa približnim brojevima U daljem tekstu će se pod sigurnim ciframa smatrati sigurne cifre u užem smislu, ako nije naglašeno da su u pitanju sigurne cifre u širem smislu. Primer.4. Ako približan broj ima granicu relativne greške.%, imamo pa procenjujemo da ima sigurne cifre. R x = 3 =..5.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE Data je funkcija n promenljivih y = y(x), gde je x = (x,x,...,x n ). Potrebno je proceniti grešku vrednosti funkcije, koja je nastala zamenom tačnih vrednosti argumenata x,x,...,x n približnim vrednostima x,x,...,x n. Ukratko, dato je A x i (i =,,...,n), traži se granica apsolutne greške funkcije A y, za koju važi: A y y(x ) = y(x) y(x ) Primer.5. Uticaj prvog izvoda na grešku funkcije jedne promenljive, y(x) (n = ). y Interval u kome leži tačna vrednost funkcije y Interval u kome leži tačna vrednost nezav. promenljive: x*- A x* x x*+ A x* y * y * x * A x* x x * A x* Slika.4: Uticaj prvog izvoda na grešku funkcije x Prvi izvod funkcije je, kao što znamo, mera osetljivosti vrednosti funkcije na promene vrednosti nezavisno promenljive. Zato, granica apsolutne greške
.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 7 funkcije je utoliko veća ukoliko su vrednosti njenog prvog izvoda u intervalu x A x x x + A x veće po apsolutnoj vrednosti. Linearna procena greške funkcije, se bazira na zameni priraštaja funkcije y, koji potiče od malih poremećaja vrednosti argumenata, totalnim diferencijalom, dy: Pošto je: usvajamo: Primer.6. y(x ) = y(x) y(x ) dy = n i= n y (x )(x i xi ) i= x i y (x )(x i xi n ) x i y (x ) i= x i A xi A y = n i= y (x ) x i A x j U slučaju funkcije jedne promenljive, A y = dy dx (x ) A x (.) A y* * nagib: y ( x ) y * A x* x * Slika.5: Linearna procena greške Pri procenjivanju granice apsolutne greške funkcije primenom formule (.), kod usvajanja konačne procene koristi se princip majorizacije (uvećavanje)
8 Računanje sa približnim brojevima Pri tom, najčešće, konačna procena se usvaja sa preciznošću od jedne značajne cifre i to, u skladu sa definicijom sigurnih cifara (.7), u obliku k ili.5 k. Zadatak.4. Proceniti, za date približne vrednosti i granice apsolutnih grešaka argumenata, granicu apsolutne greške datog izraza. Rešenje: y x y x 3 x x y = x + x x 3 x = 3.5, x =.34, x 3 =. A x =.3, A x =.8, A x 3 =. =. <.474, = 3.5 +.34. <.4 y x x =.34. <.8 A y =.474.3 +.8.8 +.4. <.473 <.5 A y =.5 majorizacija!.4. Specijalni slučajevi funkcija Algebarski zbir (sabiranje i oduzimanje) ili opštije: y(x) = x ± x ± x 3 ±... ± x n y = ±; y x i x i = A y = y(x) = y x i = a i ; A y = n i= n i= n i= A x i (.3) a i x i y x i = a i a i A x i (.4)
.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 9 gde su a i,(i =,...,n) tačni brojevi. Proizvod stepena y(x) = C x a x a x a 3 3... x a n n, Neka su C i a i,(i =,...,n) tačni brojevi : A ai = A C = Množenje i deljenje Iz (.5): y = a i y ; x i x i A y = Stepenovanje tačnim brojem n i= R y = y (x ) = a i y x i xi a i y A x i x i n a i R x i (.5) i= y = x x (a = a = ), y = x x (a =, a = ) R y = R x + R x (.6) y = x a Iz (.5) R y = a R x (.7) { >, Ry > R Za a = x (npr. stepenovanje celim brojem) <, R y < R x (npr. korenovanje) Logaritmovanje y = log a x A y = y x A x = log a e x A x = log a e R x (.8) { e, Ay = R a = x, A y =.4343R x (.9) Zadatak.5. iz formule Sa koliko sigurnih cifara je moguće izračunati gustinu etilena ρ = p M z R T
Računanje sa približnim brojevima sa podacima: p = 56atm, R p =.% =. T = 95K, A T =.5K z =.735, s z = 4 M = 8.5g/mol, R =.86l atm/mol K Podatke o molarnoj masi i univerzalnoj gasnoj konstanti smatrati tačnim. Rešenje: R ρ = R p + R T + R z + R M + R R R T = A T T =.5 <.7 3 95 R z = A z.5 4 z = < 7 5.735 R ρ = 3 +.7 3 +.7 3 =.77 3 < 3 3 p M ρ = z = 88.59 g/l R T A ρ = 3 3 88.59 =.66 <.5 g/l s = Tako, rezultat prikazujemo kao: ρ = 89 g/l ili eventualno kao ρ = 88.6 g/l (poslednja cifra nije sigurna) U narednim zadacima izostavićemo označavanje približnih vrednosti zvezdicama. Zadatak.6. Koeficijent prolaza toplote, k izme du vode koja se zagreva i zasićene pare kao grejnog fluida u cevnom izmenjivaču toplote, odre duje se iz merenja pomoću formule : k = M C p T v S T sr M protok vode koja se zagreva, kg/s C p srednja specifična toplota vode, J/kg K T v razlika izlazne i ulazne temperature vode T v = T T, C S grejna površina izmenjivača toplote, m T sr srednja pogonska sila razmene toplote u izmenjivaču, C, T sr = T p T +T = T p T s, C T p temperatura grejne pare, C T s srednja temperatura vode u izmenjivaču, T s = T +T, C
.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE Izvesti sledeće formule za procenjivanje granice relativnih grešaka razlike temperatura T v i pogonske sile T sr, koje potiču od relativne greške R T instrumenta za merenje temperature vode (temperaturu pare smatrati tačnom veličinom): T s b) Za sledeće izmerene vrednosti: R Tv = R T R Tsr = T s R T T T T p T s M = kg/min, C p = 487 J/kg C, S =.6m, T p = C, T = 5. C, T = 65.5 C izračunati koeficijent prolaza toplote, a na osnovu sledećih informacija o greškama merenja: A M =. kg/min, A S =. m, R T =.% odrediti granice u kojima se očekuje njegova tačna vrednost. Pri tom vrednosti specifične toplote i temperature pare smatrati tačnim. Rešenje: a) T v = T T, A Tv = A T + A T = (T + T ) R T = T s R T b) R Tv = A T v = T s R T T v T T A Tsr = (A T + A T ) R Tsr = T s T p T s R T M = kg min =.667kg s T sr = T p T + T = 64.7 C T v = T T = 4.4 C k = MC p T v S T sr =.667 487 4.4.6 64.7 W m K = 33 W m K Granice u kojima leži tačna vrednost k su k A k i k + A k, pa je neophodno proceniti granicu apsolutne greške izračunate, približne vrednosti k. Pogodno je
Računanje sa približnim brojevima traženu apsolutnu grešku, obzirom na strukturu izraza za k, izračunati iz prethodno procenjene relativne greške: R k = R M + R Tv + R S + R Tsr, R M = A M M = 3 R Tv = T s T T R T < 4.5 3, R T sr = T s T p T s R T <.4 3 R S = A S S <.3, R k =.9, A k = k R k = 6.74W / m K Da ne bismo puno precenili granicu apsolutne greške, usvojićemo ovde, suprotno principu majorizacije, nešto manju, ali blisku vrednost izračunatoj: A k = 6W / m K. Konačno traženi interval u kome leži tačna vrednost koeficijenta prolaza toplote je: [37,39] Zadatak.7. Potrebno je iz izmerenih koncentracija reaktanata, zapremine reakcione smeše u idealno mešanom protočnom reaktoru i protoka reakcione smeše odrediti konstantu brzine nepovratne reakcije : polazeći od bilansa reaktanta A: A + B produkti, kc A C B = C A C A V /F V zapremina reakcione smeše F zapreminski protok reakcione smeše Pretpostavljajući da je početna ulazna koncentracija reaktanta A, C A tačna, izvesti sledeći izraz za granicu relativne greške odre divanja konstante k, u funkciji stepena konverzije reaktanta A, x A : R k = + x A x A R C + R V + R F, x A = C A C A C A gde su R V,R F i R C granice relativnih grešaka merenja zapremine, protoka i izlaznih koncentracija reaktanata (R CA = R CB = R C ). Proceniti grešku za stepen konverzije.7, ako su granice relativnih grešaka merenja koncentracija, zapremine i protoka: R C = %, R V =.5%, R F =.5% Može li se i do koje granice smanjiti granica relativne greške konstante k, pogodnim izborom stepena konverzije, pri datim greškama merenja koncentracija, zapremine reakcione smeše i protoka?
.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 3 Rešenje: Iz bilansne jednačine: gde je uvedena smena: k = C A C A F C A CB V = C A C A F C A CB V = y F CB V y = C A C A C A Za relativnu grešku, primenjujući jednačinu (.5) dobijamo: R k = R y + R C + R V + R F R y = A y y = CA A C ( A ) = C A C A C A C A CA C R CA = R C A x A R k = + x A R c + R V + R F x A Za zadate greške i stepen konverzije iz izvedene formule dobijamo: R k =.88 < 9% b) Uočavamo da je u oblasti definisanosti ( x A ), R k opadajuća funkcija stepena konverzije, pa se najmanja greška dobija ako sav reaktant A izreaguje, x A =, i pri datim greškama zapremine i protoka ona iznosi 8%..4. Pravila za računanje i procenjivanje tačnosti rezultata Mogu se formulisati sledeća iskustvena pravila za izvo denje nekog složenog proračuna uz pomoć kalkulatora:. Rezultat ima najviše onoliko sigurnih cifara koliko ima podatak sa najmanje sigurnih cifara.. Me durezultate računati sa jednom značajnom cifrom više od procenjene tačnosti rezultata. Pri tom, ako je tražena tačnost rezultata k sigurnih cifara, podatke treba uzeti sa k + sigurnom cifrom. Ako najmanje tačni podaci imaju s sigurnih cifara, ostale podatke treba uzeti sa s + (najviše s + ) sigurnih cifara i primenjivati pravila zaokruživanja. 3. Iz prethodna dva pravila sledi pravilo za približno procenjivanje broja sigurnih cifara rezultata nekog složenog proračuna: Rezultat ima onoliko sigurnih cifara koliko i najmanje tačni podaci, ili jednu sigurnu cifru manje. Treba naglasiti da navedena pravila važe samo za stabilne računske procese, koji nisu praćeni akumulacijom efekata grešaka zaokruživanja, tj. gubitkom sigurnih cifara u toku računskog procesa (.8).
4 Računanje sa približnim brojevima Zadatak.8. Vrednost specifične toplote pentana na t = 5 C i normalnom pritisku, u kojoj su sve date cifre sigurne, je C p =.536 kcal/kg K. Preračunati datu vrednost u SI sistem jedinica. Konverzioni faktor je f = 4.868 kj/kcal. Rešenje: Broj sigurnih cifara u vrednosti C p, s = 3. Konverzioni faktor uzimamo sa jednom značajnom cifrom više: f = 4.87 C p =.536 4.87 =.44 kj kcal Uzećemo da je broj sigurnih cifara dobijenog rezultata, u skladu sa 3. pravilom, jednak broju sigurnih sifra manje tačnog podatka: s = 3. Tako, pravilno prikazan rezultat konverzije: C p =.4 kj kgk ima isti broj značajnih cifara kao i polazna vrednost. Zadatak.9. Protok etilena, Q (kg/h) u pogonu proizvodnje polietilena se izračunava iz izmerene srednje brzine etilena, w (m/h) prigušnom pločom i njegove gustine, ρ (kg/m 3 ): Q = waρ; w = C p; A = D π 4 koja se računa iz izmerenih vrednosti pritiska i temperature i odgovarajuće tabelarne vrednosti koeficijenta stišljivosti, z (Zadatak.5). Za podatake date u Zadatku.5 i, m C = h mmv S /, D =.m ±.5mm, p = 66mmV S ±.mmv S (mm vodenog stuba) proceniti protok i broj njegovih sigurnih cifara, koristeći linearnu procenu greške funkcije. Vrednost konstante prigušne ploče, C smatrati tačnom. Uporediti procenjeni broj sigurnih cifara sa onim koji bi se dobio primenom pravila 3 za procenjivanje tačnosti nekog rezultata. U Zadatku.5 smo za date uslove i tabelarnu vrednost z odredili gustinu i granicu njene relativnu greške: i za protok etilena računamo : ρ = 88.6 kg/m 3, R ρ = 3 3 Q = C p πd 4 ρ = 5.65 3 kg h
.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 5 R Q = R w + R A + R ρ Rw = R p =. 66 = 7.6 4 < 8 4 R A = R D = 5 5 = 3. R Q = 8 4 + 3 + 3 3 = 4.8 3 < 5 3 A Q = R Q Q = 8. =.8 kg/h.8.5 =.5 4 s s = U polaznim podacima za računanje protoka, broj sigurnih cifara je: podaci s D 4 p ρ i prema empirijskom pravilu 3, za broj sigurnih cifara u izračunatom protoku bi tako de dobili..5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE Potrebno je proceniti dozvoljene granice apsolutnih grešaka argumenata x i, i =,,...,n da bi se vrednost funkcije y(x,x...x n ) dobila sa zadatom granicom greške, A y ε. Treba odrediti vrednosti A x i iz uslova: A y = n i= y (x ) x i A xi ε (.) Problem je matematički odre den (broj nepoznatih jednak broju uslova) samo za n = : A y = dy ε A x ε A x dx y (x ) x
6 Računanje sa približnim brojevima A y* y * A x* x * Slika.6: U slučaju n >, primenjuje se jedan od tri principa (pretpostavki): Princip jednakih uticaja Pretpostavka: y x A x = y x A x =... = y x n A xn = λ Polazeći od jednačine (.) izvodimo: A y = nλ ε λ ε n, y x i A xi ε n A x i ε n y, i =,,...,n (.) x i Princip jednakih apsolutnih grešaka Pretpostavka: A x i = A x i =,...,n Izvodimo: A y = A x A x n i= n i= y x i ε ε (.) y x i
.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 7 Princip jednakih relativnih grešaka Pretpostavka: R x = R x =... = R x n = R x Izvodimo: A x i = R x xi n, A y = R x y i= x i x i ε R x A x i n i= n i= ε y, i =,,...,n (.3) x x i i ε xi y, i =,,...,n (.4) x x i i Pri procenjivanju dozvoljenih grešaka argumenata, primenom nekog od tri opisana metoda, primenjuje se princip minorizacije (umanjivanje). Zadatak.. Faktor stišljivosti etilena se iz izmerenih vrednosti pritiska, gustine i temperature, odre duje po formuli: z = Mp ρrt, M = 8.5, R = 8.35 kj kmol K Podatke M i R smatrati tačnim. Granice u kojima se kreću vrednosti pritiska, gustine, i temperatura su: p = 5-6 bar, T = 8-3 K, ρ = 8-9 kg/m 3 Uz pretpostavku da instrumenti za merenje gustine, pritiska i temperature imaju istu tačnost (jednake relativne greške), odrediti koliko je neophodno da budu tačni (R p = R T = R ρ =?), da bi se faktor stišljivosti dobio, a) sa granicom relativne greške R z = 5% b) sa granicom apsolutne greške A z =.5 kg/m 3 Rešenje: Primenićemo jednačinu (.3): jer je: R p,t,ρ z p p + z T ε T + z p p = z T T = z ρ z ρ = ε ρ 3z ρ = Mp ρrt = z
8 Računanje sa približnim brojevima a) R p,t,ρ ε 3z = 3 R z.67 >.5 R p,t,ρ =.5% ( minorizacija!) b) R p,t,ρ ε 3z max (minorizacija!) z max = M p max ρ min RT min =.94 R p,t,ρ =.5 3.94 =.8 >.5 R p,t,ρ =.5% Zadatak.. Treba izračunati vrednost funkcije z(x,y) = 3x (lnx siny) za x = 4.8,y = sa 4 sigurne cifre. Odrediti potrebnu tačnost argumenata, tj. granice relativnih grešaka R x, R y i to sa preciznošću od jedne značajne cifre. Rešenje: z = 3 4.8 [ ln4.8 sin ( 36 π)] = 53. s z = 4 A z.5, ε =.5 z x = 6x(lnx siny) + 3x x = 6x(lnx siny + ) z x = 6 4.8 [ ln4.8 sin( ) +.5 ] =.4 z y = 3x cosy, z y = 3 4.8 cos( ) = 4.75 a) Princip jednakih uticaja R x = A x x R y = A y y z x z y R x =.8 4, ε = x ε = y R y = 5.5.4 4.8 =.84358 4 >.8 4.5 4.75 =. 4 >. 4
.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 9 b) Princip jednakih apsolutnih grešaka ε R x [ z x + x ε R y [ z y + x z y z y R x =.7 4, ] = ] =.5 4.8(.4 + 4.75) =.7947 4 >.7 4.5 (.4 + 4.75) =.695 4 >. 4 R y = 5 c) Princip jednakih relativnih grešaka R x = R y z x ε x + z y = y =.859 4 > 5 R x = R y =. 5.5.4 4.8 + 4.75 = Zadatak.. Iz kubne jednačine f (z,a,b) = z 3 + z (B ) + z(a 3B B) + B 3 + B AB = (*) koja sledi iz Peng - Robinson jednačine stanja, se za date vrednosti temperature i pritiska, iz kojih se po odgovarajućim formulama prethodno izračunaju vrednosti parametara A i B mogu izračunati koeficijenti stišljivosti ključale tečnosti, z L i zasićene pare, z V neke supstance kao najmanji i najveći od tri realna korena. Za amonijak, na tački ključanja: T = 373.5 K i p = 63.5 bar vrednosti parametara su: A =.394, B = 4.74, a odgovarajuće vrednosti koeficijenata tečnosti (L) i pare (V ), z V =.6447 z L = 9.84 su dobijene kao najveći i najmanji od tri korena jednačine (*) - vidi skicu.
3 Računanje sa približnim brojevima f z L z V z Slika.7: Pod pretpostavkom da jednačina tačno opisuje promene koeficijenta stišljivosti tečnog i parnog amonijaka duž linije ključanja, treba odrediti sa kojom granicom relativne greške je neophodno poznavati vrednosti parametara A i B, da bi se, z L i, z V mogli dobiti sa greškom manjom od.%. Rešenje: Imamo slučaj da funkcija z(a,b) nije definisana eksplicitno, već implicitno. z Potrebni su nam izvodi A, z B implicitno zadate funkcije: f (z,a,b) =, čije se vrednosti dobijaju rešavanjem kubne jednačine (*). Podsetimo se nalaženja parcijalnih izvoda implicitne funkcije f (y, x) =. Diferenciranjem obe strane jednačine po x i : i odatle: Dakle: f + f x i y y = x i y x i = f z A = A, f z f x i f y f z B = B f z = 3z + z(b ) 3B B + A f A = z B, f z f B = z (6B + )z + 3B + B A
.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 3 R A,B z A ε = R z z Za parnu fazu (z =.6447): f z =.365, ε A + z B = B f A f A =.5975, f z ε A + f B R A,B 6.7 4 > 5 4 (.5%) B f B =.74 Za tečnu fazu (z = 9.84 ) : R A,B.89 4 >.5 4 (.5%) Zadatak.3. Bensonova formula za procenjivanje molske zapremine, v b (cm 3 /mol) supstance na normalnoj temperaturi ključanja iz vrednosti njene kritične zapremine, v c pritiska, p c (bar) glasi: v b = v c.833ln p c +.979 (sve cifre u vrednostima konstanti su sigurne) Uz pretpostavku da Bensonov model korektno opisuje vezu izme du v b,v c i p c, a) Proceniti molsku zapreminu na normalnoj temperaturi ključanja izopropilalkohola, čiji su kritični parametri, v c = cm 3 /mol, p c = 47.6 bar (sve cifre u vrednostima su sigurne) i broj sigurnih cifara u rezultatu. Analizirati relativne uticaje grešaka pojedinih parametara u Bensonovom izrazu na grešku rezultata. b) Odrediti sa kojom granicom relativne greške treba poznavati vrednosti kritičnih parametara neke supstance da bi v b procenili sa apsolutnom greškom manjom od.5 cm 3 /mol, ako Bensonova formula važi u oblasti: a) Rešenje: 3 p c 5, v c 5 v b = v c aln p c + b =.833ln(47.6) +.979 = 8.87 Prema empirijskom pravilu, datom na kraju prethodnog poglavlja, broj sigurnih cifara u rezultatu je ili najviše 3 (koliki je broj sigurnih cifara u vrednostima p c i v c ), pa bi korektno prikazan rezultat bio: v b = 8 cm 3 /mol ili v b = 8.9 cm 3 /mol
3 Računanje sa približnim brojevima Procenićemo broj sigurnih cifra rezultata i na bazi linearne procene greške: gde su: A vb = f a A a + f b A b + f vc A vc + f pc A pc f a = v c ln p c (aln p c + b), f b = Za date podatke: v c (aln p c + b), f v c = aln p c + b, f p c = f a = 7.7, f b = 3.47, f vc =.37, f pc =.73 v c a p c (aln p c + b) i za granicu apsolutne greške rezultata dobijamo: A vb =.3 <.5. Tako je poslednja sigurna cifra u rezultatu v b = 8.87cm 3/ mol cifra na mestu jedinica, pa je broj sigurnih cifara s =. Zanimljivo je uporediti doprinose grešaka pojedinih parametara u izrazu za v b ukupnoj apsolutnoj greški rezultata: f a A a = 5.9 3, f b A b =.5, f vc A vc =.9, f pc A pc = 5.9 3 Očigledan je dominantan uticaj greške kritične zapremine v c, koji je za jedan ili dva reda veličine veći od doprinosa grešaka ostalih parametara, pa se njihovi uticaji mogu zanemariti. Zaista, zanemarujući uticaj ostalih parametara za granicu greške bi dobili: A vb =.9 <.5, tj. procenjeni broj sigurnih cifara bi opet bio. b) Ako parametre a i b, smatramo tačnim, odnosno, u skladu sa prethodnom analizom, zanemarimo njihov doprinos greški v b, traženu granicu relativne greške v c i p c ćemo dobiti iz formule (.3): R =.5 f vc v c + f pc p c Pošto su apsolutne vrednosti parcijalnih izvoda f vc, f pc funkcije v c i p c, postavlja se pitanje za koje vrednosti kritičnih parametara izračunati R. To je, u skladu sa principom minorizacije, onaj par vrednosti za koji R ima minimum, odnosno imenioc u formuli za R f vc v c + f pc p c = v c aln p c + b + v c a (aln p c + b)
.6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 33 ima maksimum, u datoj oblasti u kojoj se Bensonova formula primenjuje. Pošto vrednost imenioca raste sa v c, a opada sa p c, R ćemo računati u tački v c = 5, p c = 3: f vc v c = v c aln p c + b = 5.833ln(3) +.979 = 9. f pc p c = v c a (aln p c + b) = 5.833 (.833ln(3) +.979) = 3.53 R =.5 9. + 3.53.4 Usvajamo, u skladu sa principom minorizacije, R =. =.% Radi provere, izračunaćemo A vb u tački v c = 5, p c = 3 sa usvojenom granicom relativne greške kritičnih parametara. Dobijamo procenu A vb =.46, što potvr duje da su korišćena uprošćenja u postupku opravdana..6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA Vrednost nekog složenog izraza (funkcije) u računaru se dobija korak po korak, tj. kao rezultat niza osnovnih računskih operacija (koraka). Rezultat svakog pojedinog koraka, sem poslednjeg u nizu je me durezultat, koji ulazi kao operand u naredni korak. Pre no što u de u operaciju u narednom koraku, on se privremeno memoriše i pri tom, u opštem slučaju, trpi zaokruživanje (ili jednostavno, odsecanje) zbog ograničenog broja značajnih cifara koji se može registrovati u memorijskoj lokaciji. Konačno, i rezultat poslednjeg koraka trpi zaokruživanje (odsecanje). Tako izračunata vrednost neke funkcije f (x,x,...x n ) neće biti tačna, ni kada su polazni podaci (x,x,...x n )sasvim tačni, zbog grešaka zaokruživanja (ili odsecanja) u toku računskog procesa..6. Memorisanje brojeva u računaru-mašinski brojevi Iz tehničkih razloga, brojevi se u računaru realizuju u binarnom ili eventualno u binarno kodiranom oktalnom ili heksadekadnom brojnom sistemu. U okviru programa namenjenih raznim inženjerskim proračunima, registrovanje realnih brojeva je organizovano u normalizovanom eksponencijalnom obliku: x = ±x M B x E = ± ( m i= a i B i ) B ± e b j B e j j= (.5)
34 Računanje sa približnim brojevima Vidimo da je realizacija realnih brojeva definisana sa tri parametra: brojna osnova B, broj cifara decimalnog dela mantise, tj. broj značajnih cifara m i broj cifara eksponenta, e. Primer.7. Kao što znamo, realni brojevi se u okviru programskih jezika BASIC, FORTRAN i PASCAL predstavljaju u binarnom brojnom sistemu, B =, a kapacitet memorijske lokacije za brojeve obične tačnosti je 4 bajta, od kojih je jedan namenjen registrovanju eksponenta i njegovog znaka, a preostala tri bajta registrovanju decimalnog dela mantise (značajne cifre broja) i znaka broja: x E Bitovi znaka Slika.8: x M Pri tom, negativni eksponenti se prikazuju kao B - komplementi odgovarajućih pozitivnih brojeva. Tako su vrednosti ostala dva parametra: e = 8 = 7, m = 3 8 = 3 Brojevi oblika (.5) za dato B,m i e se zovu mašinskih brojevi. Skup svih mašinskih brojeva označićemo sa M(B,m,e). U daljoj diskusiji ćemo se ograničiti na slučaj B =, tj. binarne mašinske brojeve. Primer.8. Za opisano registrovanje brojeva kod programskih jezika, mašinski brojevi pripadaju skupu M(,3,7) Realizacija brojnih vrednosti u računaru (polazni podaci ili me durezultati) može se posmatrati kao preslikavanje skupa realnih brojeva, R u skup mašinskih brojeva M. Pošto je skup mašinskih brojeva konačan i prebrojiv, a skup realnih brojeva beskonačan i neprebrojiv, jasno je da to preslikavanje ima ograničenja (vidi skicu) i nazivamo ga redukovano preslikavanje (γ): γ :R M (.5)
.6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 35 Z M MM R Q R skup realnih brojeva Q skup racionalnih brojeva Z skup celih brojeva M skup mašinskih brojeva Slika.9: Internu ili mašinsku vrednost nekog broja x, koju dobijamo primenom redukovanog preslikavanja opisujemo kao γx. Mogu se odrediti najmanji, x min i najveći, x max po apsolutnoj vrednosti realni brojevi, koji se mogu (tačno) registrovati u računaru : x max = (x M ) max B (x E) max, x min = (x M ) min B (x E) min Za M(B,m,e), najveća mantisa i najveći eksponent se dobijaju kao, (x M ) max = B m (x E ) max = B e Najmanja mantisa, u skladu sa definicijom mantise je (x M ) min =. = B a najmanji eksponent (negativan ceo broj, veliki po apsolutnoj vrednosti), imajući u vidu da se negativni brojevi registruju kao B-komplementi: (x E ) min = B e Primer.9. Primer: Približne dekadne vrednosti x max i x min u M(,3,7) su: (x M ) max = (.... }{{} ) = (.... }{{}) = 3 3 bajta 3 bajta (x E ) max = () = ( ) = 7 x max = ( 3) 7 7.7 38 x min = 7 = 9.469 39
36 Računanje sa približnim brojevima Tako se u računaru: - brojevi manji od -x max registruju kao -x max i svi brojevi veći od x max kao x max (arithmetic overflow) - brojevi, po apsolutnoj vrednosti manji od x min, registruju kao nule (eventualno ±x min ) Dakle, ako skup realnih brojeva, R podelimo na podskupove na sledeći način: ( R = R - R - R R R = = (-,-x max ) [-x max, -x min ] (-x min, x min ) [x min, x max ] (x max, ) R R - R - R -x max -x min x min x max Slika.: R možemo da pišemo: γx = x max, x R γx = x max, x R γx =, x R Ni brojevi iz podskupova R i R se u opštem slučaju nemogu tačno predstaviti u računaru jer je kapacitet memorijske lokacije ograničen na m binarnih značajnih cifara (jednačina.5). Tako se iracionalni brojevi i beskonačni periodični razlomci ne mogu tačno registrovati. Primer.. U skupu M(,3,7), mogu se registrovati prvih 3 značajnih cifara broja x R R u njegovom binarnom obliku. To je približno prvih 7 dekadnih značajnih cifara istog broja jer je: 3.9 7 7 Ukoliko tačna vrednost broja x R R u binarnom obliku ima više od m značajnih cifara, x = ±(.a a...a m a m+ a m+...) x E prilikom njegovog memorisanja se vrši odsecanje ili zaokruživanje na m značajnih cifara.
.6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 37 Primer.. Za M(,3,7) imamo: γ (.5) =.5, γ ( / 3 ) =.3333333, γ ( / 3 ) = γ (.) =.9999999 jer je (.) = (...) }{{} beskonačan periodičan decimalanbro j {.6666666 uz odsecanje.6666667 uz zaokruživanje U programskim jezicima BASIC, FORTRAN i PASCAL moguće je brojeve registrovati u tzv. duploj preciznosti, kada se za broj angažuje umesto 4, duplo više, tj. 8 bajtova i od toga se 5 bita koristi za registrovanje mantise, m = 5, tj. imamo M(,5,), što obezbe duje da se brojevi x R R registruju sa preciznošću od 5 dekadnih sigurnih cifara ( 5. 6 <.5 5 ). Poznati softverski paketi Mathcad i Excel tako de rade u M(,5,). Primer.. Uz zaokruživanje, interna vrednost iracionalnog broja biće: ( ) γ = {.444 u M (,3,7).44356373 u M (, 5, ).6. Greška redukovanog preslikavanja Ako se pri memorisanu realnog broja x R R on, odnosno njegova mantisa zaokružuje na mdekadnih značajnih cifara, tj. približna vrednost mantisexm dobija po pravilu zaokruživanja: { xm.a a =...a m ako je a m+ < 5.a a...a m + m ako je a m+ 5 odbačeni deo mantise će biti: gde decimalan broj:...a m+ a m+... = (.a m+ a m+...) m = g m g =.a m+ a m+... ( g < ) ima osobine mantise. Greška redukovanog preslikavanja mantise je tako { (x M xm) g m ako je a = m+ < 5, tj. g <.5 ( g) m ako je a m+ 5, tj. g.5 i u svakom slučaju, po apsolutnoj vrednosti je manja od.5 m. Dakle, za grešku redukovanog preslikavanja broja x važi :
38 Računanje sa približnim brojevima x = x M x M x E.5 x E m pa za granicu apsolutne greške zaokruživanja možemo da usvojimo: A x =.5 x E m (.6) Znači da, uz pretpostavku da je broj x tačan, svih m značajnih cifara njegove interne vrednosti su sigurne cifre. Konačno, iz jednačine (.9) dobijamo granicu relativne greške zaokruživanja: R x =.5 m (.7) Analognim postupkom, lako je izvesti sledeće procene apsolutne i relativne greške odsecanja: A x = x E m (.8).6.3 Greške računskih operacija R x = m (.9) Rezultat neke osnovne računske operacije ( +,,, :), zbog ograničenog kapaciteta memorijske lokacije u koju se unosi, u opštem slučaju nije tačan. Tako ako je z tačan rezultat operacije x + y, razultat u računaru će biti : z = x + y γz = z + z = z + rz = z( + r) = (x + y)( + r) gde je r relativna greška, definisana ovde kao količnik odstupanja i tačne vrednosti. Njena apsolutna vrednost je najviše jednaka izvedenoj granici relativne greške redukovanog preslikavanja (jednačine (.7), (.9). Dakle u kompjuterskoj aritmetici se operacije +,,, : izvode sa ograničenim brojem značajnih cifara, m i zbog toga se nazivaju pseudoperacije. Pri izračunavanju vrednosti složenijih izraza, uzastopno se izvode umesto pravih, pseudoaritmetičke operacije, pa u kompjuterskoj aritmetici ne važi zakon asocijativnosti za operacije sabiranja i množenja kao ni zakon distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje. Primer.3. Rezultat sabiranja tri broja, S = x +x +x 3 u računaru će zavisiti od redosleda sabiranja. Tako će se u opštem slučaju, za sumu S = x + x + x 3 dobiti različit rezultat od onoga za sumu S = x + x 3 + x. Sume se računaju u dva koraka - pseudosabiranja, sa memorisanjem rezultata i to:
.6 GREŠKE U TOKU RAČUNSKOG PROCESA 39 prva suma S : (x + x ) + x 3 druga suma S : (x + x 3 ) + x Pošto će greške u prvoj pseudooperaciji biti u opštem slučaju različite za jednu i drugu sumu (zavise od veličine brojeva koji se sabiraju), ni dobijene sume neće biti jednake. Primer.4. U kompjuterskoj aritmetici ne važi U = U gde su: U = (x y)z, U = xz yz. Vrednost U je rezultat jednog oduzimanja i jednog množenja, sa me dumemorisanjem, dok se U računa u tri koraka, dva množenja i jedno oduzimanje sa dva me dumemorisanja i u opštem slučaju greške ta dva računska procesa će se razlikovati..6.4 Prostiranje grešaka u računskom procesu Rezultat nekog složenog računskog procesa u koji, kao podaci, ulaze vrednosti promenljivih x,x,...,x n možemo smatrati nekom funkcijom f (x,x,...,x n ). Dobijena vrednost posmatrane funkcije, ni u slučaju kada su vrednosti argumenata x,x,...,x n potpuno tačni, neće biti tačna zbog grešaka računskih operacija u procesu računanja. Pri tom, pogrešan rezultat neke operacije u nizu ulazi kao operand ili podatak u sledeću operaciju i tako imamo pojavu prostiranja ili propagacije grešaka u rečunskom procesu. Efekat je zamena tačnog računskog procesa, f (x,x,...,x n ) nekim približnim (pseudo), koga ćemo označiti kao ˆf (x,x,...,x n ). Razlika, f (x,x,...,x n ) ˆf (x,x,...,x n ) predstavlja grešku, koja je rezultat propagacije grešaka u računskom procesu i naziva se i mašinska greška. U opštem slučaju ni polazni podaci za posmatrani računski proces, f (x,x,...,x n ) nisu tačni. Recimo, neki od njih sadrže greške merenja, a neki su netačni zbog redukovanog preslikavanja tačnih vrednosti. Rezultat će biti pogrešna vrednost približnog računskog procesa, tj. pseudofunkcije, ˆf (x,x,...,x n ), zbog približnih vrednosti argumenata : x,x,...,x n. Ukupnu grešku, možemo da razložimo na komponente: f (x,x,...,x n ) ˆf (x,x,...,x n) f (x,...,x n ) ˆf (x,...,x n) = f (x,...,x n ) f (x,...,x n)+ f (x,...,x n) ˆf (x,...,x n) pa kao granicu ukupne apsolutne greške možemo da uzmemo: A f = f (x,...,x n ) f (x,...,x n) + f (x }{{},...,xn) ˆf (x,...,x n) }{{} greška ko ja potiče od grešaka u podacima mašinska greška (.3)