Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο του ν αποδείξετε ότι είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα ( µονάδες) Β Στις προτάσεις Β και Β να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Β Έστω εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης, η οποία είναι παραγωγίσιµη σ αυτό Α Η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο αν και µόνο αν ( ) = Β Αν ( ), τότε η δεν παρουσιάζει τοπικό στο Γ Αν ( ) =, τότε η παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο (3 µονάδες) Β Έστω η συνάρτηση ορισµένη σ ένα διάστηµα και εσωτερικό σηµείο του Α Αν η είναι συνεχής στο, τότε είναι παραγωγίσιµη στο Β Αν η δεν είναι παραγωγίσιµη στο, τότε δεν είναι συνεχής στο Γ Αν η είναι παραγωγίσιµη στο, τότε δεν είναι συνεχής στο Αν η δεν είναι συνεχής στο, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο (3 µονάδες) Γ Έστω η συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα [ α, β] και παραγωγίσιµη στο ( α, β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος Υπάρχει πάντα ( α, β) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη της C στο Α (, ( )) να είναι παράλληλη στον άξονα Αν ( α) = ( β) υπάρχει πάντα ( α, β) στο οποίο η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο (3 µονάδες) Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr
Έστω, g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιµες στο R τέτοιες ώστε: ( ) = g( ), ( ) = g( ) + και για κάθε R, ( ) = g ( ) είξτε ότι: i g ( ) = ( ) +, R (9 µονάδες) ii Αν ρ,ρ µε ρ ρ iii Αν, µε ρ,ρ (8 µονάδες) ρίζες της τότε η g έχει µια ρίζα στο ( ) έχει µια ρίζες της g τότε η εξίσωση ( ) += τουλάχιστον ρίζα στο ( ), (8 µονάδες) Α i) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση µε ( ) =, R α και α ii) Να βρεθούν οι πραγµατικές τιµές του λ για τις οποίες ισχύει η ισότητα: α λ α λ = ( λ ) ( λ ), όπου α Β ίνεται η συνάρτηση ( ) + α, R i Αν (, ( )), Β(, ( )), Γ( ( )) = α Α είναι τοπικά ακρότατα της 3, γραφικής παράστασης της και 3 να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ (7 µονάδες) ii Αν α να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) στο (,) 3 = έχει ακριβώς µια λύση Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr
ίνεται η συνάρτηση :[, + ) (, i ( ) = ii ( ) = ( + ) για την οποία ισχύουν 8 Α Να βρεθούν: α) Ο τύπος της συνάρτησης (8 µονάδες) β) Οι θέσεις τοπικών ακρότατων και τα τοπικά ακρότατα της γ) Οι λύσεις της εξίσωσης ( ) = ( µονάδες) Β Ν αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό τέτοιο ώστε ( ) = (7 µονάδες) o o Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr
Β Β:Β Β: Γ : Λάθος : Λάθος g, τότε i) Έχουµε ότι: ( ) = ( ) R ( ) = g ( ) + c ( ) = [ g( ) + c], R τότε ( ) = g( ) + c+ c, R Για = έχουµε: ( ) = g( ) + c+ c g( ) + = g( ) + c+ c c+ c = Για = έχουµε: ( ) = g( ) + c+ c c = c άρα c c= c= και c = ( ) = = g + g = +, οπότε ( ) ( ) ( ) ( ) R ii) Η g συνεχής στο [ ρ,ρ ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων g( ρ) = ( ρ) + ρ = ρ g( ρ) g( ρ ) g( ρ ) = ( ρ ) + ρ = ρ οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ρ ) τέτοιο ώστε ( ) =,ρ ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων iii) Η g συνεχής στο [, ] Η g παραγωγίσιµη στο (, ) µε g ( ) = ( ) + g ( ) = g( ) = οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) g ( ξ) = ( ξ) + = ξ τέτοιο ώστε g Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr
α αφού ln α, α άρα η γνησίως φθίνουσα στο R ( ) = α ( lnα), R άρα η κυρτή στο R Α i) ( ) = lnα, R ii) Επειδή η γνησίως φθίνουσα στο R είναι και - οπότε α α λ λ α = ( λ ) ( λ ) λ λ ( λ ) = α ( λ ) ( λ ) = ( λ ) λ = λ (επειδή η - ) λ λ = λ = ή λ = 3 Βi) ( ) = = ( ) ( ) = = ή = = ή =± - + - - + + + - - + - + - + ( ) ( ) οπότε Α(, α ), Β (,α), Γ(, α ) λ λ AB BΓ α α + = = + λ α α = = AB ΤΜ ΤΕ ΤΜ = α = =α ( ) ( ) α ( ) λ BΓ = ΑΒ ΒΓ ii) Η συνεχής στο [,] ως πολυωνυµική ( ) = α ( ) ( ) ( ) = α οπότε υπάρχει ( ) τέτοιο ώστε ( ) =, Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr
Επειδή η γνησίως αύξουσα στο [,] το µοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) = Α)α) Παρατηρώ ότι: ( ) =, [, τότε Για = + + ( ) = + c, [, + έχουµε ( ) = + c + = c c= 5 Άρα ( ) = + 5, [, β) ( ) 8 8 = = = ( + ) ( + ) ± 8 + 7=, =, 8 = ή = Απορρίπτεται =6+=8 ± 8 = 8 ( ) + 7 = ( + ) + - ( ) ΤΕ ΤΜ + Άρα η έχει τοπικό ελάχιστο το ( ) = και µέγιστο το = + + + 5 = + + 5= + γ) ( ) = + 5= + + 5= Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr
9+ 89 9 = = ή 9 89 = Απορρίπτεται =8+8=89 Β) Για [,] η έχει σύνολο τιµών το,, επειδή η ( ) = είναι αδύνατη στο [,] Για [, η έχει σύνολο τιµών το lim + επειδή, ( ), =, υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( ) = το οποίο είναι µοναδικό αφού η γνησίως φθίνουσα στο [, Τηλ/Fa: 697, Τηλ: 6889 wwwapolitogr e-mail:ino@apolitogr