8. SINTEZA SISTEMA SA BESKONAČNIM IMPULSNIM ODZIVOM

8. SITEZA SISTEMA SA ESKOAČIM IMPULSIM ODZIVOM Postu rojetovnj relzcje neog dsretnog sstem sstoj se z četr fze:. U fz zdvnj secfcj se n osnovu nlze roblem zdju mltuds /l fzn rterst dsretnog sstem oje treb ostvrt, o dozvoljene tolerncje u relzcj ovh rterst.. U fz snteze se određuju oefcjent olnom u brojocu menocu funcje renos dte zrzom (6.4), l oložj olov nul funcje renos, n tv nčn d se zdte secfcje ostvre s grešom oj lež unutr dozvoljenh tolerncj. 3. U fz relzcje vrš se zbor relzcone struture određvnje oefcjent množč. Pored rterjum eonomčnost, rlom zbor se vod rčun o osetljvost relzcje n ončnu tčnost redstvljnj odt u dgtlnm sstemm. 4. U fz mlementcje vrš se softvers l hrdvers relzcj funcje renos određene u fz, oršćenjem relzcone struture zbrne u fz 3. U ovoj glv bće reč o ostucm snteze funcje renos čj je mulsn odzv besončn (IIR t). Pošto funcj renos oj treb d se sntetzuje njčešće m fltrso svojstvo, tj. ojčv l roušt bez slbljenj sgnle z neog oseg učestnost, do slb sgnle z neog drugog oseg učestnost, fz se občno nzv sntez fltrsh funcj l ostu rosmcje. jčešće se sntez dgtlnog fltr IIR t zvod ogodnom trnsformcjom funcje renos odgovrjućeg nlognog fltr. Ovv rlz ostuu snteze orvdn je z neolo rzlog. Pre sveg, ostu snteze nlognh fltr (nročto rousn nsh učestnost) se roučv već vše od edeset godn to d ostoje rzvjen ostuc snteze z mnoge vžne rtčne slučjeve. Drugo, u mnogm vžnm slučjevm olov l oefcjent funcje renos nlognh fltr dt su eslctnm formulm. Treće, z slučjeve z oje ne ostoje eslctne formule z funcju renos sčnjene su osežne tbele oje služe o omoć r rojetovnju, u oslednje vreme ojvl su se rčunrs rogrm z ntertvno srovođenje ostu snteze. Postuom trnsformcje nlogne funcje renos u dgtlnu funcju renos treb d se očuvju ne vžn svojstv nlognog sstem. Pre sveg, trnsformcj mor bt rconln, tj. olzeć od nlogne funcje renos oj je rconln funcj omlesne učestnost s, treb d se dobje rconln funcj omlesne učestnost z. Drugo, zbog održnj stblnost sstem, olov nlogne funcje renos oj leže u levoj olovn rvn omlesne učestnost s, morju se reslt unutr jednčnog rug u rvn omlesne učestnost z. Treće, oželjno je d se trnsformcjom ne ovećv red funcje renos. 55

56 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom Zvsno od tog ojoj se rterstc fltr r reslvnju osvet njveć žnj dobjju se rzn metod trnsformcje oj će bt osn u ovoj glv. Prvo će urto bt rzn sntez njvžnjh nlognh funcj renos, ztm njvžnje trnsformcone metode. Posle tog bće rzne nee dretne metode snteze u z domenu oje se ređe orste, l mogu bt orsne u slučju nestndrdnh secfcj z oje ne ostoj jednostvno rešenje u nlognm sstemm. 8. SITEZA AALOGI FILTARSKI FUKCIJA Krterste funcje renos oju treb sntetzovt, l rće, secfcje, zdju se njčešće u frevencjsom domenu. Kod seletvnh funcj renos, oje su oznte od nzvom fltrse funcje, rzluju se rousn oseg, nerousn oseg relzn zon. U rousnom osegu sgnl se u sstemu ojčv, roušt nezmenjen l vrlo mlo slb. surot tome, u nerousnom osegu se sgnl zntno oslbljuje. U relznoj zon funcj renos se ne secfcr, l se njčešće zhtev d mltuds rterst bude monotono odjuć. roj rousnh oseg, odnosno nerousnh oseg može bt već od jedn. jjednostvnj slučj z zdvnje secfcj je u slučju rousn nsh učestnost, l rće F fltr. Grfč rz tzv. šeme tolerncj l gbrt z mltudsu rterstu F fltr rzn je n slc 8.. S sle se uočv d su gbrt određen s četr rterstčne velčne:. Grnčn učestnost rousnog oseg,. Grnčn učestnost nerousnog oseg, 3. Vrjcj mltude u rousnom osegu δ, 4. Vrjcj mltude u nerousnom osegu δ. + - δ δ (j ) Ω -δ (j ) Ω α α(d) δ Ω Ω Ω () δ Ω Ω Ω (b) α Ω Ω Ω (c) Sl 8. Gbrt z F fltrsu funcju: () (b) mltuds rterst, (c) slbljenje. U nem slučjevm, nročto o se rd o svnm fltrm, nje dozvoljeno d mltuds rterst m veću vrednost od jednce, gbrt zgledju o n slc 8.b. Međutm, njčešć nčn zdvnj gbrt fltrsh funcj je rzn n slc 8.c, gde se n ordnt rzuje recročn vrednost mltudse rterste zržen u d, odnosno slbljenje. U tom slučju se umesto vrjcje mltude u rousnom osegu δ secfcr msmlno slbljenje u rousnom osegu α, do se umesto vrjcje mltude u nerousnom osegu δ secfcr mnmlno slbljenje u nerousnom osegu α. Vez zmeđu velčn δ α dt je zrzm: α + δ log, δ δ 5. α (8.) 5. α +

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 57 o su gbrt mltudse rterste o n slc 8., odnosno zrzm: α.5α log, δ (8.) δ o su gbrt mltudse rterste o n slc 8.b. Vez zmeđu velčn δ α u ob slučj dt je zrzm: α.5α log δ, δ (8.3) Fzn rterst se njčešće ne secfcr od seletvnh fltr. osnovu zdth secfcj treb odredt stblnu rconlnu funcju renos čj mltuds rterst lež unutr zdth gbrt. U mtemtc je tj zdt oznt o roblem rosmcje funcj. U nrednom zlgnju bće osno neolo ostu rosmcje oj su nšl njveću rmenu u rs. U svm slučjevm bće tretrn sntez F fltr, zbog tog što se u tom slučju mogu dobt eslctne formule z olove nule funcje renos. Sntez ostlh tčnh funcj renos (rousn vsoh učestnost - VF, rousn oseg - PO nerousn oseg - O) vrš se njčešće trnsformcjom F funcje renos. 8.. ATERVORTOVA APROKSIMACIJA tervortov (utterworth) rosmcj delne mltudse rterste F fltr je zveden od retostvom d je mltuds msmlno rvn u oordntnom očetu. U slučju funcje -tog red to znč d je rvh ( ) zvod vdrt mltudse rterste jedno nul z. Drug uslov oj se ostvlj od tervortove rosmcje je strtn monotonost mltudse rterste u rousnom nerousnom osegu. Kvdrt mltudse rterste oj zdovoljv ob ostvljen uslov dt je zrzom: (8.4) ( j ) + ε ( ) gde je ε rmetr oj određuje slbljenje n grnc rousnog oseg, tj.: log(+ ε ) α (8.5) odnosno, ε. α (8.6) Osm rmetr ε otrebno je odredt red fltrse funcje. Red se određuje n osnovu secfcj z nerousn oseg. grnc nerousnog oseg vž: odle se, oršćenjem (8.6) dobj: [ + ε ( ) ] α log (8.7).α log.α log D log( ) log( ) (8.8) gde su ftor dsrmncje D ftor seletvnost dt zrzm:

58 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom. α D (8.9). α (8.) Vrednost desne strne nejednost (8.8) njčešće nje ceo broj, se u sntez z red usvj rv ceo broj oj je već od zrčunte vrednost. Povećnje red m o osledcu ovećno slbljenje n grnc nerousnog oseg. U retm slučjevm, d je to otrebno, može se smnjt vrednost rmetr ε to d se smnj slbljenje n grnc rousnog oseg. ov vrednost rmetr ε je: ε (.α ) (8.) slc 8. rzn je obl mltudse rterste oj se dobj tervortovom rosmcjom z 345,,,, ε. Uočv se d s ovećnjem red mltuds rterst ostje rvnj u rousnom osegu, strmj u relznoj zon seletvnj u nerousnom osegu. (j Ω).8.6.4..5.5.5 3 Ω Sl 8. Amltuds rterst tervortovog fltr z,, 3, 4, 5 ε. Sledeć or u sntez fltrse funcje n osnovu tervortove rosmcje je određvnje olov funcje renos. Anltčm rošrenjem s j, z (8.4) se dobj: (8.) ( s) ( s) + ε ( s j ) Polnom u menocu zrz (8.) m oren oj su dt zrzom: + jπ + + s e cos jsn,,,..., π + π ε ε (8.3)

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 59 Očgledno je d su orenov rsoređen n rugu olurečn ε s jednm ugonm rstojnjm π, smetrčno u odnosu n relnu mgnrnu osu. Zbog uslov stblnost, oj zhtev d sv olov funcje renos leže u levoj olovn rvn omlesne učestnost s, olov funcje ( s) su oren z leve olurvn ( ), do su olov funcje ( s) oren z desne olurvn ( + ). Dle, funcj renos dobjen tervortovom rosmcjom može se nst u oblu: () s, ( s ) ( s s ) (8.4) slc 8.3 je rzn rsored olov z 3, do je n slc 8.3b rzn rsored olov z 4. Im s Im s Re s Re s () Sl 8.3 Rsored olov tervortovog fltr z ε : () 3, (b) 4. Iz mltudse rterste tervortovog fltr može se vdet d je greš rosmcje vrlo ml u donjem delu rousnog oseg o u gornjem delu nerousnog oseg. olje rterste u relznoj zon, o nž red fltr mogu se dobt o se greš rosmcje rvlnje rsored u rousnom osegu, u nerousnom osegu, l u ob. U rvom slučju dobjju se tzv. Čebševljev fltr rve vrste, u drugom Čebševljev fltr druge vrste, u trećem eltč fltr. (b) 8.. ČEIŠEVLJEVA APROKSIMACIJA PRVE VRSTE Kvdrt mltudse rterste Čebševljevog fltr rve vrste dt je zrzom: j ) (8.5) + ε T ( ) C ( gde je T ( x) Čebševljev olnom, defnsn zrzom: cos( cos x) x T ( x) (8.6) cosh( cosh x) x l reurentnom formulom: T ( x) xt ( x) T ( x), T ( x), T ( x) x (8.7) + Postu određvnj rterstčnh rmetr ε slčn je o od tervortove rosmcje. Ko je T (), vrednost rmetr ε je određen zrzom (8.6). Z red funcje renos se dobj:

6 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom cosh D cosh ( ) (8.8) gde su velčne D određene zrzm (8.9) (8.). Amltudse rterste Čebševljevh fltr z 3 4 ε. 58 ( α d ) rzne su n slc 8.4. T C(j Ω) T C(j Ω).5.5 3 Ω 3 Ω () (b) Sl 8.4 Amltudse rterste Čebševljevh fltr z ε.58: () 3, (b) 4. Polov Čebševljevog fltr leže n els u levoj olovn s rvn. Reln mgnrn deo olov s σ + j dt su zrzm: + σ snh snh sn π (8.9) ε cosh snh + cos ε π (8.) gde je,,...,. Rsored olov Čebševljevh fltr z 3 4 u omlesnoj rvn rzn je n slc 8.5. Im s Im s Re s Re s () (b) Sl 8.5 Rsored olov Čebševljevog fltr: () 3, (b) 4. gde je: Funcj renos je, ond, dt zrzom: C ( s () s.5α ) ( s s ) ( s ) rno nerno čme je obezbeđeno d mnmlno slbljenje u rousnom osegu bude jedno nul. (8.) (8.)

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 6 8..3 ČEIŠEVLJEVA APROKSIMACIJA DRUGE VRSTE Kod Čebševljevog fltr druge vrste uslov zrvnjenj mltudse rterste su rsoređen u nerousnom osegu. Zto je mltuds rterst u rousnom osegu monoton, do u nerousnom osegu m oscltorno onšnje. Kvdrt mltudse rterste Čebševljevog fltr druge vrste može se dobt o se od jednce oduzme vdrt mltudse rterste Čebševljevog fltr rve vrste: ε T ( ) C ( j) (8.3) + ε T ( ) + ε T ( ) čme se rousn oseg retvr u nerousn obrtno. Ao se uz to rgument Čebševljevog olnom zmen svojom recročnom vrednošću, dobj se tržen vdrt mltudse rterste Čebševljevog fltr druge vrste l nverznog Čebševljevog fltr: ε T ( ) IC ( j) (8.4) + ε T ( ) Amltuds rterst nverznog Čebševljevog fltr je rzn n slc 8.6. Anlzom mltudse rterste može se ozt d je on msmlno rvn u oordntnom očetu. Mnmum msmum mltudse rterste u nerousnom osegu dt su zrzom: π sec,,..., (8.5) (j Ω) C.8.6.4..5.5.5 3 Ω Sl 8.6 Amltuds rterst nverznog Čebševljevog fltr z 5 α 3d (ε.364). Polov nverznog Čebševljenog fltr s dobjju se nverzjom olov Čebševljevog fltr rojetovnog z ste vrednost ε rem formul: ( s ) IC (8.6) ( s ) to d se funcj renos nverznog Čebševljevog fltr može, rem (8.4), nst u oblu: C

6 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom IC ( s + ) ( s ) ( s), (8.7) ( s s ) Potrebn red Čebševljevog fltr druge vrste određen je jednčnom (8.8). 8..4 ELIPTIČKA APROKSIMACIJA Zjednč rterst tervortove Čebševljeve rosmcje je d su odlčne u nerousnom osegu, l o cenu šroe relzne zone. Inverzn Čebševljev fltr mju mnje slbljenje u nerousnom osegu l je slbljenje u gornjem delu rousnog oseg često suvše velo. jbolj relzn zon se dobj o se greš rosmcje delne rterste rvnomerno rsored u rousnom nerousnom osegu. Rezultujuć mltuds rterst m oscltorn rter u rousnom osegu gde oscluje zmeđu δ, u nerousnom osegu gde oscluje zmeđu nule δ. Tv rosmcj nzv se eltč rosmcj jer se u ostuu snteze orste eltče funcje, l Kuerov rosmcj, rem utoru (Cuer) oj ju je rv formulso. Kvdrt mltudse rterste eltčog fltr dt je zrzom: E ( j ) (8.8) + ε C ( ) gde je C ( x) tzv. Čebševljev rconln funcj oj obezbeđuje oscltorno onšnje mltudse rterste u rousnom nerousnom osegu monoton rter u relznoj zon. Ošt obl funcje C ( x) je: ( ( x z)( x z ) ( x zl ) C x) Kx (8.9) ( x )( x ) ( x ) gde čln x ostoj smo od funcj nernog red, do je broj vdrtnh člnov u brojocu menocu st, L. Međutm, određvnje tčnh oložj nul olov funcje C ( x) zhtev oršćenje Jobjevh (Jcob) eltčh funcj, odnosno, Ležndrovh (Legendre) eltčh ntegrl rve vrste oj se reto roučvju u ursevm vše mtemte. Osm tog, č d su oznt oložj nul olov funcje C ( x), ostje roblem određvnj olov funcje () s oj zhtev određvnje oren olnom u menocu funcje () s ( s). Zbog tog se eltč fltr rojetuju oršćenjem obmnh tbel oje obuhvtju slučjeve znčjne z rsu [S-, Z-3], oršćenjem rčunrsh rogrm z zrčunvnje eltčh funcj određvnje oren olnom [G-7] l oršćenjem tertvnh rčunrsh ostu [D-]. U dljem zlgnju će zbog omletnost bt zložen jedn lgortm z rojetovnje [G-, A-], oj eltče funcje zrčunv rosmrjuć h brzo onvergentnm redovm. Postu snteze F fltr zočnje zdvnjem secfcj,, α α. Ao se funcj renos F eltčog fltr nše u oblu: gde je: E () s D () s r s + A s + s+ L (8.3)

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 63 nerno r (8.3) rno s + σ nerno D ( s) (8.3) rno ond se oefcjent A,,, σ mogu odredt sledećm ostuom: (8.33) q + (8.34) (8.35) 5 9 3 q q + q + 5q + 5 q (8.36). α D (8.37). α D log 6 log( q) (8.38) 5. α + Λ ln (8.39) 5. α σ 4 m m( m+ ) q ( ) q snh[( m+ ) Λ] m + ( ) q coshmλ m m m (8.4) W ( + σ σ ) + (8.4) q 4 m m q m( m + ) (m + ) πμ sn, mπμ qcos,, r m, m + ( ) ( ) (8.4) gde je: μ nerno rno (8.43)

64 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom V ( ) A (8.44) (8.45) ( σ V ) + ( W ) (8.46) ( + σ ) σ V (8.47) + σ r σ nerno A (8.48) r.5α rno A Prmećuje se d u formulm (8.4) (8.4) treb sumrt besončne redove. Međutm, ov redov su vrlo brzo onvergentn to d je u većn slučjev dovoljno sumrt sveg tr do četr čln. Io je cel ostu moguće srovest orsteć lultor, zbog obmnost zrčunvnj ogodnje je orstt rčunr odgovrjuće rogrme. Osn ostu obezbeđuje tčnu relzcju tr od četr olzn rmetr:, α. Relzovno slbljenje u nerousnom osegu je veće od secfcrnog može se zrčunt rem formul:.α α + log (8.49) n 6q slc 8.7 su rzne mltudse rterste eltčh fltr četvrtog etog red s rmetrm rd/s, α d α 3 d. T (j ) Ω E T (j ) Ω E.5.5 3 Ω 3 Ω () (b) Sl 8.7 Amltudse rterst eltčh fltr: () 4, (b) 5. 8..5 POREĐEJE APROKSIMACIJA AMPLITUDSKE KARAKTERISTIKE U rethodnom zlgnju su osne četr njčešće oršćene rosmcje mltudse rterste delnog F fltr. U vez s tm može se ostvt neolo tnj. Postoj l

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 65 njbolj rosmcj? Ao ne ostoj, oju rosmcju treb orstt u onretnom slučju? Št je s fznom rterstom o ojoj nje vođeno rčun u ostuu rosmcje? Im l nčn rosmcje veze s relzcjom, td. Odgovor n ov tnj nsu jednostvn, l se mnog orsn zljučc mogu zvuć oređenjem rterst osnh fltr. Vrlo orsn zljučc se dobjju oređenjem rterst fltr stog red. e su secfcje fltr oj se orede: 5, α 5. d, α 4 d. Amltudse rterste (slbljenje u d) dobjene omoću četr osn ostu rosmcje su rzne n slc 8.8-d. α (j Ω) α (j Ω) C 5 5 3 Ω () α (j Ω) IC 3 Ω (b) α (j Ω) E 5 5 3 Ω 3 Ω (c) (d) Sl 8.8 Amltudse rterste funcj etog red: () tervortov rosmcj, (b) Čebševljev rosmcj, (c) Inverzn Čebševljev rosmcj, (d) Eltč rosmcj. Ko što se vd, učestnost nem sto znčenje od svh tov rosmcje. D b oređenje blo od stm uslovm mor se zvršt normlzcj učestnost to d sve četr rterste n neoj učestnost (recmo ) mju sto slbljenje (recmo 3 d). Kd se zvrš normlzcj učestnost dobjju se rterste rzne n slc 8.9. S sle 8.9, o z odgovrjućh numerčh odt, mogu se zvest sledeć zljučc:. U donjem delu rousnog oseg (u ooln ) njbolj je nverzn Čebševljev fltr, z njm sled tervortov rosmcj. Čebševljev eltč fltr mju rblžno slčne rterste.. U gornjem delu rousnog oseg njbolj su eltč Čebševljev fltr do su nverzn Čebševljev tervortov fltr zntno lošj jer unose veće slbljenje. 3. U relznoj zon, rem rterjumu šrne relzne zone, njbolj je eltč fltr, z njm sled nverzn Čebševljev fltr, ond Čebševljev, n rju, tervortov fltr. 4. U nerousnom osegu Čebševljev tervortov fltr obezbeđuju veće slbljenje od nverznog Čebševljevog l eltčog fltr. Međutm, ov čnjenc ne redstvlj nvu rednost ove dve rosmcje jer je od svh rosmcj zdovoljen uslov d je u nerousnom osegu slbljenje veće od mnmlne vrednost α. 5. Vrlo vžnu rterstu funcje renos redstvlj Q ftor rtčnog r olov defnsn zrzom:

66 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom Q σ σ + (8.5) gde se od rtčnm rom olov odrzumev onj oj je njblž mgnrnoj os. Ov rterst je vžn zbog tog što su z relzcju većeg Q ftor otrebne vltetnje omonente (s mnjm gubcm u svnoj tehnologj mnjm tolerncjm u tvnoj tehnologj). U slučju dgtlnh fltr, već Q ftor zhtev već broj bt u dgtlnoj reč. U ogledu Q ftor, njbolj je tervortov fltr, obe vrste Čebševljevh fltr su dentčne, do je eltč fltr njgor. α (d).5 IC C E.5..4.6.8 Ω () α (d) 5 C 5 IC E 3 Ω (b) Sl 8.9 ormlzovne mltudse rterste fltr s sle 8.8: () rousn oseg, (b) nerousn oseg. 6. Što se tče jednostvnost relzcje, u svm tehnologjm je jednostvnje relzovt olnomse fltre (čj funcj renos nem nule) v su tervortov Čebševljev, jer je otrebn mnj broj element u nlognm relzcjm l mnj broj množč u dgtlnoj relzcj. 7. U ogledu odstunj od lnernost fzne rterste, odnosno odstunj rterste grunog šnjenj od onstnte, njbolj je tervortov fltr, z njm sled nverzn

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 67 Čebševljev fltr, do Čebševljev eltč fltr mju zntno lošje rterste nročto u gornjem delu rousnog oseg. Drug vrst oređenj rzlčth metod rosmcje mltudse rterste može se zvest to što se određuje mnmln red funcje oj zdovoljv tržen gbrt. e je otrebno odredt funcju renos oj zdovoljv rterste:,. 5, α 5. d, α 5 d. Red funcje renos oj zdovoljv tržene zhteve mor bt 7 z tervortovu rosmcju, 8 z Čebševljevu nverznu Čebševljevu rosmcju 5 z eltču rosmcju. Dle, eltč rosmcj dje rešenje njnžeg red, oje je njčešće njeonomčnje z relzcju. Cen oj je lćen je, nrvno, loš fzn rterst. 8..6 ESELOVA APROKSIMACIJA U rethodn četr odelj rzmtrn su ostuc rosmcje delne mltudse rterste. Arosmcj delne (lnerne) fzne rterste, odnosno, onstntnog grunog šnjenj može se ostvrt rmenom tzv. eselovh (essel) olnom u formrnju funcje renos. e je funcj renos dt zrzom: ( s) (8.5) s ( s) s gde je ( s) eselov olnom čj su oefcjent: ( )!!( )! (8.5) Anlzu mltudse rterste rterste grunog šnjenj funcje (8.5) njlše je zvršt oršćenjem eselovh funcj. To se dolz do zljuč d funcj (8.5) m msmlno zrvnjenu rterstu grunog šnjenj u oordntnom očetu. Zbog tog je n nsm učestnostm gruno šnjenje rtčno onstntno. Amltuds rterst eselovh fltr je monoton funcj učestnost l m zntno lošju seletvnost od tervortove funcje renos. Dle, n osnovu dosdšnjh zžnj može se zvest jedn vžn zljuč: seletvne fltrse funcje mju lošu fznu rterstu obrtno. Ovj zljuč je ošte rrode vž z sve funcje renos mnmlne fze (s nulm olovm u levoj olovn s rvn), od ojh su mltuds fzn rterst jednoznčno ovezne. slc 8. su rzne mltudse rterste rterste grunog šnjenj eselovh fltr z 345,,, oje su normlzovne to d bude τ( ) s. 8..7 TRASFORMACIJE UČESTAOSTI U rethodnm oglvljm rzmtrn je sljučvo sntez F fltrsh funcj. Pr tome se z grnčnu učestnost Ω njčešće uzm vrednost od rd/s čme se dobj normlzovn l rotots F fltr. Uolo je otrebno sntetzovt F fltr s drugom grnčnom učestnošću, l ne drug t fltr, mor se zvršt trnsformcj učestnost obl:

68 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom s f (sˆ) (8.53) gde je s omlesn učestnost u funcj renos normlzovnog F fltr, do je s omlesn romenljv u funcj renos osle trnsformcje. T (j ) Ω D ( ) Ω.5.5 3 4 5 Ω 3 4 5 Ω () (b) Sl 8. eselov fltr,, 3, 4, 5: () mltudse rterste, (b) rterste grunog šnjenj. 8..7. Trnsformcj F F e je oznt funcj renos normlzovnog F fltr, F (), s čje su grnčne učestnost rousnog nerousnog oseg. e ošt trnsformcj (8.53) m obl: s s (8.54) odnosno, s s ˆ (8.55) Iz (8.55) se, smenm s j s ˆ jˆ, lo dobjju nove vrednost grnčnh učestnost: ˆ (8.56) ˆ (8.57) Postu trnsformcje l denormlzcje učestnost se, dle, zvod n tj nčn što se rvo z (8.56) l (8.57) odred denormlzcon onstnt, ztm se zvrš reslvnje nul olov funcje renos, rem (8.55), l trnsformcj cele funcje rem: ( s ) ( s) F F s s (8.58) 8..7. Trnsformcj F VF odnosno, Trnsformcj rototsog F fltr u VF fltr može se zvest reslvnjem: s (8.59) s

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 69 s (8.6) s Grnčne učestnost se ond reslvju rem zrzm: (8.6) ˆ ˆ (8.6) Postu trnsformcje se zvod to što se z (8.6) l (8.6) odred onstnt, ztm se zvrš reslvnje nul olov funcje renos rem (8.6) l trnsformcj cele funcje rem: VF (ˆ) s ( s) (8.63) F s sˆ 8..7.3 Trnsformcj F PO Trnsformcj funcje renos F fltr u funcju renos rousn oseg (PO) čj je centrln učestnost šrn rousnog oseg, zvod se rem formul: sˆ + ˆ s s + sˆ (8.64) sˆ odnosno, sˆ, ( s± s 4 ) (8.65) Smenm s j s ˆ jˆ dobjju se reslne grnčne učestnost rousnog nerousnog oseg: ( ) ˆ, ˆ ± + + 4 (8.66) ( ) ˆ, ˆ ± + + 4 (8.67) Trnsformcj se zvod to što se zvrš reslvnje nul olov funcje renos rem (8.65) l, češće, trnsformcjom cele funcje rem: () sˆ () s s + (8.68) PO F s Iz jednčne (8.64) se vd d se trnsformcjom F fltr u rousn oseg učestnost udvostručv red funcje renos. To znč d se ovvom trnsformcjom mogu dobt smo funcje renos rnog red. Osm tog, osn trnsformcj uvod još jedno ogrnčenje. Iz jednčn (8.66) (8.67) se lo dobj d vž jednost: ˆ sˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (8.69) oj se nzv uslov geometrjse smetrje grnčnh učestnost.

7 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 8..7.4 Trnsformcj F O Trnsformcj funcje renos F fltr u funcju renos nerousn oseg (O), čj je centrln učestnost šrn nerousnog oseg, zvod se rem formul: sˆ s (8.7) s ˆ + odnosno, sˆ, ( ± 4 s ) (8.7) s Smenm s j s ˆ jˆ dobjju se reslne grnčne učestnost rousnog nerousnog oseg: ( ) ˆ, ˆ ± + 4 ( ) ˆ, ˆ ± + 4 (8.7) (8.73) Trnsformcj se zvod to što se zvrš reslvnje nul olov funcje renos rem (8.7) l, češće, trnsformcjom cele funcje rem: ( sˆ) ( s) (8.74) O F sˆ s sˆ + I ov trnsformcj učestnost udvostručv red funcje renos. Tođe vž ogrnčenje d funcj renos može bt smo rnog red uslov geometrjse smetrje grnčnh učestnost. 8. IMPULSO IVARIJATA TRASFORMACIJA Osnovn dej rmenjen od mulsno nvrjntne trnsformcje nlogne funcje renos je d se mulsn odzv dsretnog sstem hn [ ] dobje dsretzcjom mulsnog odzv nlognog sstem h ( t), tj. hn [ ] h( nt), n,,... (8.75) gde je T erod odbrnj. Interesntno je stt št se dešv u frevencjsom domenu. osnovu relcje (3.) setr dsretnog sgnl hn [ ], oj ujedno redstvlj frevencjs odzv dsretnog sstem jω ( e ), dt je zrzom: jω Ω π e ( ) j j T + T + T T ( s) (8.76) Dle, frevencjs odzv dsretnog sstem redstvlj sumu erodčno onovljenh frevencjsh setr nlognog sstem. Ao je: s ( j ), > (8.77)

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 7 ond je: [ j( + )] s, s (8.78) se ončno dobj: jω jω s e ( ) ( j ), (8.79) T T T odnosno, frevencjs odzv dsretnog sstem dobjenog mulsno nvrjntnom trnsformcjom nlognog sstem rzluje se smo z multltvnu onstntu od frevencjsog odzv nlognog sstem, o je zdovoljen uslov d je frevencjs odzv nlognog sstem ogrnčen, učestnost odbrnj je br dv ut već od njvše omonente u setru nlognog sstem. Kd je uslov z rmenu mulsno nvrjntne trnsformcje (8.77) zdovoljen, o su olov nlogne funcje renos rost, može se st: () s A s (8.8) Imulsn odzv nlognog sstem određuje se rmenom nverzne Llsove trnsformcje čme se dobj: Iz uslov (8.75) sled: Prmenom sstem: h () t Ae t h ( nt) h[ n] Ae nt (8.8) (8.8) z-trnsformcje n (8.8), ončno se dobj funcj renos dsretnog ( z) Az z e T ( z) T ( z e ) (8.83) Iz zrz (8.83) se vd d se olov nlognog sstem reslvju u olove dgtlnog sstem z rem formul: T ( j ) T z e e σ+ (8.84) do se oložj nul dsretnog sstem ne može redvdet. Treb rmett d reslvnje (8.84) nje obostrno jednoznčno. Sv tč z nlognog s domen jednoznčno se reslv u z j domen, l obrnuto ne vž. me, jedn tč z z domen, z re θ, reslv se u su tč ln r T+ j( θ + π) T, oje leže n rvoj oj je rleln s mgnrnom osom. Preslvnje (8.84) zdovoljv sve tr tržene osobne. Pošto onjugovno omlesn r olov z s rvn reslvnjem (8.84) dje onjugovno omlesn r olov u z rvn, oefcjent dsretne funcje renos su reln, tj. trnsformcj je rconln. Trnsformcj je tođe stbln jer se olov stblnog nlognog sstem, od ojh je σ <, reslvju u olove dsretnog sstem unutr jednčnog rug. Treće, ne ovećv se red funcje renos.

7 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom Kod mulsno nvrjntne trnsformcje, vez zmeđu nlogne učestnost dgtlne učestnost Ω je lnern, tj. Ω T πf f s πf, gde je F normlzovn učestnost. Dle, o je zdovoljen uslov ogrnčenost frevencjsog odzv (8.77), mltuds fzn rterst nlognog sstem su očuvne reslvnjem. žlost, nee vžne lse seletvnh fltrsh funcj, o što su, n rmer, rousnc vsoh učestnost nerousnc oseg, ne mogu se oretno reslt mulsno nvrjntnom trnsformcjom jer ne zdovoljvju uslov ogrnčenost frevencjsog odzv (8.77). Imulsno nvrjntn trnsformcj tođe nje ogodn n z reslvnje eltčh fltrsh funcj jer uslov (8.77) ne može bt zdovoljen zborom dovoljno vsoe učestnost odbrnj. Ko lustrcju rmene mulsno nvrjntne trnsformcje u sntez IIR fltrsh funcj osmtrjmo reslvnje u dgtln fltr normlzovnog nlognog Čebševljevog F fltr etog red čj je grnčn učestnost, msmlno slbljenje u rousnom osegu.5 d. Polov nlogne Čebševljeve funcje renos leže u tčm: -.353 ± j.3788, -.3535 ± j.6445 -.43695 to d rzvoj u rcjlne rzlome m obl: j j j j s (). 55. 99 + 84.. 99 84 3535 948 3535 948 + +. +.. +. +. s +. 43695 s+ 353. j3788. s+ 353. + j3788. s+. 3535 j. 6445 s+. 3535 + j. 6445 e je erod odbrnj T s, to d je vez zmeđu nlogne dgtlne učestnost Ω. Uslov ogrnčenost mltudse rterste (8.77) je u ovom slučju vrlo dobro zdovoljen jer je n vstovoj učestnost s π vrednost mltudse rterste Čebševljevog fltr jedn 9. 6 4 ( 6 d). Posle trnsformcje olov rem (8.84), dobjju se olov dsretne funcje renos u tčm:.44388 ± j.7553,.5664 ± j.48.646, to d se oršćenjem jednčne (8.83) ončno dobj:. 55. 99 + j84.. 99 j84.. 3535 j948. z ( ) + + +. 646z (. 44388 j.7553) z (. 44388 + j.7553) z ( 5664. j. 48) z 3 4. 3535 + j948.. 354z + 856. z +. 4z +. 355z + 3 4 5 ( 5664. + j. 48) z 4. 9993z + 3454. z 4. 639z +. 935z 4. 38z slc 8. su rzne mltudse rterste nlognog dsretnog fltr oje su rtčno dentčne. rvno, rterst dsretnog fltr je erodčn s erodom π. (j Ω) (e j).8.6.4. Dsretn fltr, T s Dsretn fltr, T s Anlogn fltr.5.5.5 3 ΩT Sl 8. Preslvnje Čebševljevog fltr mulsno nvrjntnom trnsformcjom.

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 73 Ao je erod odbrnj dvostruo već, vrednost mltudse rterste n vstovoj učestnost se ovećv n 4. 9 ( 6 d) je utcj relnj u setrlnom domenu već. Zbog tog se mltuds rterst zoblčv, nročto u blzn vstove učestnost. I ov rterst je rzn n slc 8.. U drugom rmeru osmtrćemo reslvnje normlzovnog nlognog eltčog F fltr etog red s msmlnm slbljenjem u rousnom osegu od.5 d mnmlnm slbljenjem u nerousnom osegu od 3 d u dgtln fltr. Perod odbrnj je onovo zbrn d bude T s, to d je vez zmeđu nlogne dgtlne učestnost Ω. Uslov ogrnčenost mltudse rterste (8.77) u ovom slučju nje dobro zdovoljen jer je n vstovoj učestnost s π vrednost mltudse rterste eltčog fltr mnj l jedn 36. ( 3 d). slc 8. su rzne mltudse rterste nlognog dsretnog fltr. S sle se mogu uočt zntne rzle u rousnom nerousnom osegu oje su osledc relnj u frevencjsom domenu. (j Ω) (e j).8.6.4. Dsretn fltr, T s Anlogn fltr.5.5.5 3 Ω, Sl 8. Preslvnje eltčog fltr mulsno nvrjntnom trnsformcjom. 8.. MODIFIKOVAA IMPULSO IVARIJATA TRASFORMACIJA Kd je funcj renos nlognog sstem rconln, občno je tešo zdovoljt uslov ogrnčenost frevencjsog odzv (8.77). Modfcj mulsno nvrjntne trnsformcje oj će bt osn u nrednom zlgnju urvo m z clj d rošr oseg rmene mulsno nvrjntne trnsformcje n fltrse funcje s ončnm nulm funcje renos. e je funcj renos nlognog sstem: s () s () Ds () M ( s s ) ( s ) (8.85) gde je M, s su nule sstem, do su olov sstem. Funcj ( s) može se nst u oblu:

74 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom s () s () () s (8.86) odle se, oređenjem s (8.85), mogu dentfovt omoćne funcje renos ( s) (): s () s (8.87) Ds () () s (8.88) () s z oje se, ošto mju smo menlc, sgurno može zbrt učestnost dsretzcje to d uslov ogrnčenost frevencjsog odzv (8.77) bude zdovoljen. Dle, reslvnjem funcj ( s) ( s), odnosno nul olov funcje ( s), omoću mulsno nvrjntne trnsformcje dobjju se dsretne funcje renos ( z) ( z) o: Az ( z) ( z) (8.89) T z e D ( z) z oje vž: M z ( z) ( z) (8.9) st z e D ( z) jω ( ) ( ) jω s e j, (8.9) T T T jω ( ) ( ) jω s e j, T T T (8.9) Dle, reslvnjem se dobj funcj renos: z ( z ) ( z ) D ( z ) ( ) ( z ) ( z) ( z) D ( z) ( z) z oju rem (8.9) (8.9) vž: M jω jω ( e ) jω ( ) ( ) jω ( e ) T e j st ( z e ) T ( z e ) (8.93) (8.94) Međutm, osn trnsformcj, md rešv roblem reslvnj rconlnh funcj, m dv vžn nedostt. Prv se ogled u čnjenc d dobjen funcj renos može bt nestbln. me, olnom D( z) sgurno m orenove unutr jednčnog rug jer se on dobjju reslvnjem olov nlogne funcje renos. S druge strne, oložj orenov olnom ( z) se ne može ontrolst, to d se deo olov može nć zvn jednčnog rug. U tom slučju se može ostut n sledeć nčn. Utcj relnog ol z n mltudsu rterstu rzn je ftorom:

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 75 ( j Ω ) j Ω j Ω e z j Ω z e z e z e z z z do se, n slčn nčn, utcj onjugovno omlesnog r olov z z zrzom: ( j Ω )( j Ω ) j Ω e z j Ω e z z e e z z (8.95) može rzt (8.96) Ko što se vd, u ob slučj olov funcje ( z) zvn jednčnog rug se mogu zment svojm recročnm vrednostm bez utcj n mltudsu rterstu. Fzn rterst se, nrvno, menj. Ao ne od olov lež n jednčnom rugu, orecj se vrš mlm smnjvnjem njegovog modul čme se mlo utče n mltudsu n fznu rterstu. Drug nedostt osnog metod lež u čnjenc d je red dsretne funcje renos ( z) ovećn soro dvostruo u odnosu n nlognu funcju renos (). s 8.. USKLAĐEA Z-TRASFORMACIJA Drug metod z rošrenje oblst rmene mulsno nvrjntne trnsformcje redstvlj uslđen z-trnsformcj. Io je ovj metod formulsn nezvsno od rethodno osne modfovne mulsno nvrjntne trnsformcje [G-3], do zrz z reslvnje omoću uslđene z-trnsformcje njlše se dolz olzeć od zrz z funcju renos dobjenu modfovnom mulsno nvrjntnom trnsformcjom (8.93). Istvnjem zrz (8.93) može se zljučt d je utcj ftor ( z) ( z) reltvno ml d se može usešno rosmrt L ftorom ( z + ) gde je L M. To se z dsretnu funcju renos dobj: M st ( z e ) L z ( ) ( z+ ) (8.97) T ( z e ) Uslđen z-trnsformcj dje odlčne rezultte od reslvnj VF O fltrsh funcj. edostt ovog metod je što uve ostoj mlo zoblčenje mltudse rterste, što može bt od znčj u rousnom osegu Čebševljevh l eltčh fltr. Zbog tog se z reslvnje F PO fltrsh funcj rdje orst modfovn mulsno nvrjntn trnsformcj. 8.3 ILIEARA TRASFORMACIJA lnern trnsformcj redstvlj dns njčešće oršćen metod reslvnj nlognh u dsretne funcje renos. Osnovn retostv n ojoj je zsnovn ov trnsformcj je d vremens odzv nlognog dsretnog ntegrtor n rozvoljnu obudu budu st u dsretnm trenucm vremen. U zvođenju blnerne trnsformcje olz se od funcje renos delnog nlognog ntegrtor:

76 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom čj je mulsn odzv: I ( s) s (8.98) + t h I ( t) t (8.99) odzv n rozvoljnu obudu je dt onvoluconm ntegrlom: e je + < τ t < t. Td vž: t t y( t) x( τ) h ( t τ) dτ (8.) I t y ( t ) y( t ) x( τ) h ( t τ) dτ x( τ) h ( t τ) dτ x( τ) dτ (8.) I jer je u osmtrnom ntervlu vremen hi ( t τ) hi ( t τ ). Ao je t t ond se vrednost ntegrl n desnoj strn jednčne (8.) može rosmrt zrzom: I t t yt ( ) yt ( ) xt ( ) + xt ( ) (8.) e je, ončno, t nt T, t nt. Ond zrz (8.) ostje dferencn jednčn: T y ( nt ) y ( nt T ) xnt ( T) + xnt ( ) (8.3) Prmenom z-trnsformcje n (8.3) dobj se: t t T Y ( z ) z Y ( z ) z X( z) + X( z) odle se lo dobj funcj renos dsretnog ntegrtor: Y( z) T z + I ( z) X( z) z (8.4) (8.5) Dle, funcj renos nlognog ntegrtor (8.98) se smenom: z s (8.6) T z + reslv u funcju renos dsretnog ntegrtor (8.5). Preslvnje (8.6) m mnogo oštj znčj. me, sv nlogn funcj renos može se redstvt omoću djgrm to u ome eslctno fguršu grne s ntegrtorm čj su renos jedne velčne oje zvse od učestnost. Ao se u djgrmu to zvrš trnsformcj nlognh u dsretne ntegrtore, dobj se djgrm to odgovrjućeg dsretnog sstem čj je funcj renos: ( z) ( s) (8.7) z s T z+ Odzv n rozvoljnu obudu dsretnog sstem je rblžno jedn odzvu nlognog sstem od og je dobjen trnsformcjom.

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 77 Trnsformcj (8.6) je rconln trnsformcj, jer se romenljv s trnsformše u olčn dve lnerne funcje romenljve z. Zbog tog se trnsformcj (8.6) nzv blnern trnsformcj l Tustnov trnsformcj o utoru oj je rv redložo [S-5]. S obzrom n vel znčj rmenu blnerne trnsformcje u sntez IIR dsretnh sstem, u nrednom zlgnju će bt detljno nlzrne osobne blnerne trnsformcje. Očgledno je d je blnern trnsformcj rconln trnsformcj oj ne ovećv red funcje renos. Interesntno je utvrdt stblnost blnerne trnsformcje. Iz (8.6) se dobj: dobj: T + s z (8.8) T s Kd se u dobjenu relcju smen s σ + j, z moduo omlesne romenljve z se z ( T ) ( T ) +σ + σ + Iz relcje (8.9) se lo uočvju sledeće čnjence: (8.9). Imgnrn os u s-rvn ( σ ) se reslv u jednčn rug u z-rvn ( z ).. Lev olovn s-rvn ( σ < ) se reslv unutr jednčnog rug u z-rvn ( z < ). 3. Desn olovn s-rvn ( σ > ) se reslv zvn jednčnog rug u z-rvn ( z > ). 4. Koordntn očet z s-rvn (s + j) se reslv u tču z + j u z-rvn. 5. Tč u besončnost z s-rvn (s ) se reslv u tču z + j u z-rvn. Osn svojstv blnerne trnsformcje grfč su rzn n slc 8.3. s-rvn jω s z-rvn Σ s Sl 8.3 Preslvnje s-rvn u z-rvn blnernom trnsformcjom. S obzrom d se os učestnost nlogne s-rvn reslv u jednčn rug u z-rvn n ome je defnsn dsretn učestnost, nteresntno je ronć vezu zmeđu učestnost u nlognom sstemu dsretnom sstemu oj je dobjen blnernom trnsformcjom. Smenom s j z e jω u (8.6) dobj se: odnosno, jω jω jω e e e j (8.) jω jω jω T e + T e + e Ω tn (8.) T Ko što se vd, trnsformcj nlogne učestnost u dgtlnu je nelnern. Ov ojv nje neočevn jer se, n rmer, ceo oztvn deo mgnrne ose reslv u gornju olovnu

78 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom jednčnog rug. Smo u osegu učestnost Ω. 3 trnsformcj učestnost je rblžno lnern, Ω T. Ko je rem (8.7): (8.) jω ( e ) ( j) Ω tn T z određen r učestnost (, Ω) mltuds fzn rterst su ste. Međutm, zbog nelnerne trnsformcje učestnost, mltuds fzn rterst su zoblčene. Izoblčenj mltudse rterste nsu btn o su gbrt z mltudsu rterstu zdt o nz segment onstntne vrednost mltude. me, osle blnerne trnsformcje, vrednost mltude ostju ste smo se menj oložj msmum mnmum mltudse rterste. Izoblčenj fzne rterste tođe nsu vžn o se rd o reslvnju funcje renos oj je dobjen neom od rosmcj mltudse rterste gde se n u nlognom domenu ne vod rčun o fz. jvžnj slučjev d su nelnern zoblčenj učestnost oj unos blnern trnsformcj btn su reslvnj nlognh dferencjtor nlognh fltr s lnernom fznom rterstom u dsretn domen. U tm slučjevm se blnern trnsformcj ne orst z reslvnje nlognh funcj renos, jer se bolj rezultt dobjju neom od vrjnt mulsno nvrjntne trnsformcje. Kod reslvnj seletvnh fltrsh funcj, gde fzn rterst nje od nteres, efet dstorzje sle učestnost se može elmnst redstorzjom rterste nlognog fltr. Ao su rterstčne učestnost u secfcjm dsretnog sstem Ω, Ω, odgovrjuće rterstčne učestnost u secfcjm nlognog sstem dte su s: Ω tn,,, (8.3) T Dle, o se nlogn fltr rojetuje to d zdovolj secfcje s rterstčnm učestnostm,,, osle reslvnj blnernom trnsformcjom dsretn sstem će zdovoljvt secfcje s trženm rterstčnm učestnostm Ω, Ω,. lnern trnsformcj s redstorzjom učestnost se vrlo često rmenjuje u sntez IIR fltrsh funcj. U slučjevm snteze fltrsh funcj d su gbrt mltudse rterste zdt segmentm onstntne vrednost l d fzn rterst nje od nteres, to čn oo 9% rtčnh slučjev snteze, orst se blnern trnsformcj. Međutm, u rs se blnern trnsformcj funcje renos reto vrš rmenom zrz (8.7) već se zntno češće orst reslvnje nul olov funcje renos omoću jednčne (8.8). Ao se nule olov nlogne funcje renos u s blnernom trnsformcjom (8.8) reslvju u nule olove dsretne funcje renos z ond se z (8.7) dobj: ( z) ( s) z s T z+ M ( s u ) ( s s ) z s T z+ ( z z ) M ( z+ ) (8.4) d M ( z ) S obzrom n znčj ovog metod reslvnj, u odelju 8.5 detljnje će bt osn rmen ostu redstorzje u sntez funcj renos F, VF, PO O t n osnovu zdth secfcj.

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 79 8.4 TRASFORMACIJE UČESTAOSTI U DISKRETOM DOMEU Preslvnje funcje renos F t u druge tove funcje može se obvt u dsretnom domenu. U dljem testu bće osne nee tve orsne trnsformcje oje su zsnovne n rmen ošte trnsformcje: z f ( z ) e m jnπ z z (8.5) gde su n m cel brojev, do su onjugovno omlesne onstnte. Preslvnje (8.5) reslv jednčn rug z z rvn u jednčn rug u z rvn, unutršnjost jednčnog rug z z rvn u unutršnjost jednčnog rug u z rvn, do se soljšnjost jednčnog rug z z rvn reslv u soljšnjost jednčnog rug u z rvn. Zbog tog je stblnost funcj renos očuvn rlom reslvnj. 8.4. Trnsformcj F F Trnsformcj F funcje renos u F funcju renos zvod se rd romene grnčnh učestnost. e je grnčn učestnost rousnog oseg funcje oj se trnsformše, grnčn učestnost rousnog oseg osle trnsformcje. Preslvnje je rzno n slc 8.4. Pošto se menj smo grnčn učestnost, u oštoj formul (8.5) uzm se z vrednost rmetr m, m, tj. trnsformcj je blnern svod se n: z e jnπ z z (8.6) z rvn C A z rvn C ' ' A' D D' Sl 8.4 Trnsformcj F F. eoznt rmetr n mogu se odredt n sledeć nčn. U tčm A A m se z z, do je u tčm C C z z. Rešvnjem sstem od dve jednčne dobjju se rešenj z n : n, α (8.7) to d je ončno: z α z (8.8) αz zˆ e jωˆ Vrednost rmetr α određuje se ostvljnjem jednčne z tče gde je z e, čjm se rešvnjem dobj: jω

8 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 8.4. Trnsformcj F VF Ω ˆ Ω sn α (8.9) Ω ˆ +Ω sn I u ovom slučju rousn oseg se reslv u jedn rousn oseg, to d je m. Rešvnjem jednčn ostvljenh z tče A A, C C, n slc 8.5, dobj se: n, α (8.) to d je: z z α (8.) αz do se vrednost rmetr α određuje ostvljnjem jednčne z tče, čjm se rešvnjem dobj: Ω ˆ Ω cos α (8.) Ω ˆ +Ω cos z rvn C A z rvn C ' ' A' D D' Sl 8.5 Trnsformcj F VF. 8.4.3 Trnsformcj F PO U slučju trnsformcje F fltr u rousn oseg učestnost, rousn oseg se reslv u dv rousn oseg, o n slc 8.6. Zbog tog je vrednost rmetr m, je trnsformcj bvdrtn m obl: z e jn π z + βz + γ + βz + γz (8.3) gde su β γ relne onstnte.

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 8 z rvn C A D z rvn C ' ' " D' A' D" Sl 8.6 Trnsformcj F PO. Postvljnjem jednčne z tče C C, dobj se rešenje n (e jnπ ). Postvljnjem rešvnjem jednčn z tče D D, dobjju se vrednost z rmetre β γ o: α β (8.4) + gde je: γ + (8.5) Ωˆ ˆ +Ω cos α (8.6) Ωˆ ˆ Ω cos Ω ˆ ˆ Ω Ω tn cot (8.7) 8.4.4 Trnsformcj F O I u slučju trnsformcje F fltr u nerousn oseg učestnost rousn oseg se reslv u dv rousn oseg o n slc 8.7. Zto je m, trnsformcj je bvdrtn dt je jednčnom (8.3), o u rethodnom slučju. z rvn C A z rvn D' C ' ' A' D D" " Sl 8.7 Trnsformcj F O. Postvljnjem jednčne z tče C C, dobj se rešenje n (e jnπ ). Postvljnjem rešvnjem jednčn z tče D D, dobjju se vrednost z rmetre β γ o: α β (8.8) +

8 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom gde je: γ + (8.9) Ωˆ ˆ +Ω cos α (8.3) Ωˆ ˆ Ω cos Ω ˆ ˆ Ω Ω tn tn (8.3) Ko što se vd, trnsformcj učestnost može bt zvršen u nlognom domenu, o u odelju 8..7, l omoću osnh trnsformcj u dsretnom domenu. Ao se z reslvnje orst blnern trnsformcj, rezultt oj se dobj je st, nezvsno od zbrnog metod z relz s F funcje n željen t funcje renos. Međutm, o se z reslvnje orst mulsno nvrjntn trnsformcj, rezultt neće bt st, č može bt neoretn. rmer, o treb rojetovt VF fltr, trnsformcj F VF se ne sme zvršt u nlognom domenu, jer osle tog nsu zdovoljen uslov z rmenu mulsno nvrjntne trnsformcje. U tvom slučju, bolje je rment mulsno nvrjntnu trnsformcju z reslvnje nlognog F fltr u dsretn F fltr, ztm rment F VF dsretnu trnsformcju z dobjnje tržene funcje renos. 8.5 PROJEKTOVAJE A OSOVU ZADATI SPECIFIKACIJA Ko što je već rečeno, blnern trnsformcj redstvlj osnovn lt z rojetovnje dsretnh sstem s besončnm mulsnm odzvom. Proces rojetovnj dsretnog sstem omoću blnerne trnsformcje može se odelt u šest fz:. Zdvnje secfcj u dsretnom domenu redstorzj rterstčnh učestnost Ω Ω u učestnost,. Određvnje red sntez nlognog fltr n osnovu secfcj α, α,, 3. Trnsformcj nul olov nlognog fltr u nule olove dsretnog fltr omoću relcje (8.8), 4. Izrčunvnje multltvne onstnte d z () () l slčnog uslov, 5. Formrnje ( z) n osnovu (8.4) 6. Preslvnje ( z) u drug t funcje renos, uolo nje zvršeno u fz. S obzrom n zvesne rzle robleme oj mogu nstt u ostuu redstorzje rzlčth tov fltrsh funcj, u dljem testu će bt detljnje rzmotren ostu redstorzje z četr osnovn t fltrsh funcj.

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 83 8.5. Predstorzj rterstčnh učestnost F fltr Grnčne učestnost dsretne F funcje renos Ω Ω reslvju se, rem (8.3), u grnčne učestnost nlogne funcje renos : Ω tn (8.3) T Lo je utvrdt d vž nejednost: Ω tn (8.33) T Ω tn Ω tn Ω > Ω (8.34) odnosno, d je strmn mltudse rterste nlognog fltr mnj od strmne mltudse rterste dsretnog fltr dobjenog blnernom trnsfromcjom. Ov čnjenc može z osledcu d m mnj otrebn red funcje renos. Pošto se F fltr občno rojetuju, l su m vrednost tbelsne, z grnčnu učestnost rousnog oseg ~, mor se zvršt dodtno slrnje učestnost u nlognom domenu, tj. reslvnje F F rem (8.54), odnosno: ~ (8.35) Dle, z (8.3) (8.33) se oršćenjem (8.35) dobj: ~ Ω tn (8.36) T ~ Ω tn (8.37) T Vrednost rmetr, oj je otrebn u ostuu denormlzcje nul olov, dobj se z (8.36) o: T ~ (8.38) Ω tn gde rmetr ~ (grnčn učestnost rousnog oseg rototsog F fltr) zvs od metod rosmcje (njčešće je ~ ). Z određvnje red fltr otrebno je odredt rmetr, oj je u ovom slučju: Ω ~ tn ~ (8.39) Ω tn

84 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 8.5. Predstorzj rterstčnh učestnost VF fltr I u slučju VF fltr, grnčne učestnost dsretne VF funcje renos Ω Ω reslvju se u grnčne učestnost nlogne funcje renos oršćenjem zrz (8.3) (8.33). Međutm, r određvnju grnčnh učestnost rototsog F fltr, umesto (8.54) orst se reslvnje (8.59) to d se dobj: ~ (8.4) Zbog tog je: ~ (8.4) Ω tn T odnosno, do je, 8.5.3 Predstorzj rterstčnh učestnost PO fltr ~ Ω tn (8.4) T Ω ~ tn ~ (8.43) Ω tn Predstorzj rterstčnh učestnost fltr rousn oseg učestnost određvnje rterstčnh učestnost rototsog F fltr nešto su omlovnj nego u rethodn dv slučj. Grnčne učestnost dsretne PO funcje renos Ω, Ω, Ω Ω reslvju se u grnčne učestnost nlogne funcje renos,, oršćenjem zrz: Ω tn,, (8.44) T Ω tn,, (8.45) T osnovu reslnh grnčnh učestnost zrčunvju se onstnte K A, K K C, oje će bt oršćene u ostuu određvnj rmetr rototsog F fltr, n sledeć nčn: K A Ω Ω tn tn (8.46) K Ω Ω tn tn (8.47) K C Ω Ω tn tn (8.48)

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 85 Preslvnje učestnost nlognog PO fltr u učestnost rototsog F fltr se, međutm, zvod rem relcj (8.64) oj je vdrtnog rter: (8.49) odnosno, vez zmeđu grnčnh učestnost rototsog F fltr nlognog PO fltr je, rem (8.66) (8.67):, ( ± + + 4 ) (8.5) gde je: ( ), ± + + 4 (8.5) ~ (8.5) ~ (8.53) (8.54) Uslov (8.54) oj otče od vdrtnog rter reslvnj (8.49) nzv se uslov geometrjse smetrje. S obzrom d su učestnost Ω, Ω, Ω Ω, odnosno učestnost,, unred zdte, uslov (8.54) je reto zdovoljen. Uobčjeno je d se vrednost z odrede rem (8.44), d se jedn od učestnost l odred rem (8.45), do se drug grnčn učestnost nerousnog oseg zbere to d uslov geometrjse smetrje (8.54) bude zdovoljen. Iz (8.5) (8.44) (8.46) sled: Ω Ω tn tn K T T Tođe, z (8.54), (8.44), (8.45) (8.47) sled: A (8.55) Ω Ω tn tn K (8.56) T T Ao je < (K < KC ), grnčn učestnost gornjeg nerousnog oseg se br to d bude, gde je. Tme se secfcje čne strožjm jer se strmn mltudse rterste u gornjoj relznoj zon ovećv. Ond z (8.53) sled: odle je: Ω tn K T T ( ) K A Ω tn T T (8.57)

86 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom Ω ~ K A tn ~ (8.58) Ω K tn Ao je > (K > KC ), grnčn učestnost donjeg nerousnog oseg se br to d bude gde je. Tme se secfcje tođe čne strožjm, jer se strmn mltudse rterste u donjoj relznoj zon ovećv. Iz (8.53) sled: odle je: Ω tn T T ( ) K A Ω tn T T K (8.59) Ω ~ K A tn ~ (8.6) Ω tn K Dle, rmetr oj defnše strmnu mltudse rterste u relznoj zon, odnosno red fltrse funcje, određen je zrzom:, K K, K K gde su određen zrzm (8.58) (8.6). C 8.5.4 Predstorzj rterstčnh učestnost O fltr C (8.6) Predstorzj rterstčnh učestnost fltr nerousn oseg učestnost određvnje rterstčnh učestnost rototsog F fltr vrlo su slčn odgovrjućem ostuu z PO fltrsu funcju. Grnčne učestnost dsretne PO funcje renos Ω, Ω, Ω Ω reslvju se u grnčne učestnost nlogne funcje renos,, oršćenjem zrz (8.44) (8.45). Konstnte K A, K K C određene su zrzm (8.46), (8.47) (8.48). Preslvnje učestnost nlognog O fltr u učestnost rototsog F fltr zvod se zrzom: ~ (8.6) Iz (8.6) (8.44) (8.46) sled: Ω Ω tn tn K A ( ) (8.63) T T do je zrz z centrlnu učestnost, st o u slučju rousn oseg (8.56). Prmetr određen je zrzom:

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 87, K K, K K gde su određen zrzm (8.58) (8.6). C C (8.64) Izveden zrz z rmetr su ošte rrode ne zvse od tog oj se rosmcj mltudse rterste orst rlom snteze rototse F funcje. 8.5.5 Prmer rojetovnj fltr n osnovu zdth secfcj U ovom odelju će rmen blnerne trnsformcje u sntez dsretnh funcj renos bt lustrovn s neolo rmer. Posmtrjmo rvo sntezu eltčog F fltr, oj treb d zdovolj sledeće secfcje: učestnost odbrnj f s z, f.5955 z, α 5. d, f.7 z, α 3 d. Z grnčne učestnost u dsretnom domenu lo se dobj: Ω πf f s Ω πf f s.87. Postuom redstorzje (8.3) (8.33) dobjju se grnčne učestnost nlognog fltr, 96 rd s 998 rd s, n osnovu ojh se određuje mnmln red fltr, 5. Prmenjujuć ostu snteze nlogne F funcje renos trnsformcje učestnost u nlognom domenu, oj su osn u odelju 8., o reslvnje nul olov blnernom trnsformcjom, dobjju se oložj nul olov funcje renos u z-rvn oj su rzn u Tbel 8.. Amltuds rterst fltr rzn je n slc 8.8. Tržene grnčne učestnost dsretne funcje renos, Ω Ω, su ste o u slučju reslvnj eltčog fltr mulsno nvrjntnom trnsformcjom, oje je rzno n slc 8.. Lo se može uočt d se r reslvnju eltčog fltr blnernom trnsformcjom u otunost zdržv obl mltudse rterste u rousnom u nerousnom osegu, jer nem relnj u frevencjsom domenu. Tbel 8. ule olov dgtlnog eltčog F fltr. ule Polov -..4848.453 ± j.969.495389 ± j.845.463 ± j.99456.48547 ± j.577

88 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom (e j).8.6.4. 3 4 5 Sl 8.8 Amltuds rterst dgtlnog eltčog F fltr. F (z) Ko sledeć rmer, osmtrjmo sntezu VF fltr oj treb d zdovolj sledeće secfcje: učestnost odbrnj f s z, f 3.5 z, α d, f.5 z, α 45 d. Z grnčne učestnost u dsretnom domenu, lo se dobj: Ω. 99 Ω. 9448. Postuom redstorzje dobjju se grnčne učestnost nlogne fltrse funcje, 395 rd s 9rd s. Potrebn red funcje renos znos 5 z tervortov t rosmcje, 5 z Čebševljevu rosmcju rve vrste, 5 z Čebševljevu rosmcju druge vrste 3 z eltču rosmcju. Posle snteze nlogne F funcje renos, reslvnj F VF u nlognom domenu reslvnj nul olov blnernom trnsformcjom, dobjju se oložj nul olov funcje renos rzn u Tbel 8.. Tbel 8. ule olov VF fltr. tervort, 5 Čebšev I, 5 Čebšev II, 5 Eltč, 3.778.9938.. ule.853 ± j.64.56 ± j.3656.6874 ± j.998.478 ± j.87894.997758 ± j.66.99873 ± j.5883.49637 ± j.86844 -.793 -.7493 -.84-5.848646 Polov -.6963 ± j.6948 -.556 ± j.3656 -.4573 ± j.68444 -.49397 ± j.6643 -.97474 ± j.334 -.6585 ± j.5883 -.47455 ± j.35693 Amltudse rterste sv četr fltr rzne su n slc 8.9. Lo se može uočt d sve fltrse funcje, osm tervortove, zdovoljvju mnogo strožje secfcje. Ov osobn je osledc čnjence d se r određvnju red funcje uve vrš zoružvnje n već ceo broj. To se deslo d u rncu mnogo seletvnj Čebševljev rterst m st red o tervortov, što z osledcu m mnogo bolju mltudsu rterstu. Ko treć rmer, osmtrjmo sntezu eltčog fltr rousn oseg, oj treb d zdovolj sledeće secfcje: učestnost odbrnj f s 6 z, f.9 z, f.z, α d, f.8 z, f. z, α 45 d. Funcj renos treb d bude eltčog t. Z tržene grnčne učestnost u dsretnom domenu, lo se dobj: Ω. 9448, Ω.59, Ω. 83776 Ω. 5664. Postuom redstorzje dobjju se grnčne

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 89 učestnost nlogne fltrse funcje, 64 rd s, 7793 rd s, 5343 rd s 879 rd s. Mnmln red rototse F funcje renos znos 7, to d red funcje renos fltr rousn oseg, oj je dvostruo već, znos 4. Posle snteze nlogne F funcje renos, trnsformcje funcje renos rousn nsh učestnost u rousn oseg u nlognom domenu blnerne trnsformcje, dobjju se oložj nul olov funcje renos u z-rvn oj su rzn u Tbel 8.3. Amltuds rterst trženog eltčog fltr rzn je n slc 8.. (e j) (d) - È II E È I -4-6 -8 3 4 5 Sl 8.9 Amltudse rterste dgtlnh VF fltr. F (z) Tbel 8.3 ule olov dgtlnog eltčog fltr rousn oseg. ule Polov ±..4634 ± j.964.398 ± j.9445.47 ± j.933.3883 ± j.9574.43553 ± j.87734.3987 ± j.977.58697 ± j.87897.64343 ± j.76553.57793 ± j.8773.66 ± j.79849.5483 ± j.8657.594 ± j.84457.485863 ± j.8347

9 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom (e j) (d) - -4-6 -8 3 Sl 8. Amltuds rterst dgtlnog eltčog fltr rousn oseg. F (z) U četvrtom rmeru bće ozn sntez fltr nerousn oseg, Čebševljevog t druge vrste, oj treb d zdovolj sledeće secfcje: učestnost odbrnj f s 3 z, f.35 z, f.7 z, α 5. d, f.43 z, f.6 z, α 4 d. Z tržene grnčne učestnost u dsretnom domenu, lo se dobj: Ω. 7334, Ω. 4668, Ω.959 Ω. 5664. Postuom redstorzje dobjju se grnčne učestnost nlognog fltr nerousn oseg: 33 rd s, 54 rd s, 9rd s 4359 rd s. Mnmln red F funcje renos znos, to d je red funcje renos 4. Posle snteze nlogne F funcje renos, trnsformcje F funcje renos u nerousn oseg u nlognom domenu blnerne trnsformcje, dobjju se oložj nul olov funcje renos u z-rvn oj su rzn u Tbel 8.4. Amltuds rterst fltr nerousn oseg učestnost je rzn n slc 8.. Tbel 8.4 ule olov dgtlnog fltr nerousn oseg. ule Polov.36696 ± j.97584.68 ± j.9676.5487 ± j.96699.9346 ± j.973.8955 ± j.9577.4883 ± j.8997.33783 ± j.944.995 ± j.85643.39596 ± j.98598.34549 ± j.88.4568 ± j.889873.44537 ± j.78996.555 ± j.85737.6848 ± j.7455.675687 ± j.7379.6557 ± j.7735.665 ± j.74684.6994 ± j.788.643668 ± j.76537.57533 ± j.7894.696 ± j.79547.5368 ± j.73648.56794 ± j.8376.4659 ± j.7636

8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom 9 (e j) (d) - -4-6 -8.5.5 Sl 8. Amltuds rterst dgtlnog fltr nerousn oseg učestnost. F (z) 8.6 DIREKTA SITEZA U Z-RAVI Postu snteze funcje renos IIR sstem može se obvt dretno u z-rvn. rmer, o se vdrt mltudse rterste funcje renos defnše o: j ( e Ω ) tn ( Ω ) +ε tn ( Ω ) (8.65) dobj se tervortov rosmcj u dsretnom domenu. slčn nčn se mogu defnst ostle oznte rosmcje nlognh fltrsh funcj. Međutm, osn tehn rosmcje nje nšl šru rmenu br z dv rzlog. Prvo, dost je tešo oerst s trgonometrjsm olnomm oj se ojvljuju u ostuu rosmcje. Drugo, z rzlu od snteze nlognh fltr, z zrz (8.65) tešo je odredt oložj olov u z-rvn č d se orste rčunrs rogrm. Dretn sntez u z-rvn se stog orst smo d sntezu tržene funcje renos nje moguće zvršt reslvnjem nlogne funcje renos. Tv su slučjev rosmcje mltudse rterste d se u gbrtm ojvljuju segment gde mltud nje onstntn. Tv su slučjev d je otrebno rosmrt lnernu fznu rterstu, l, d su smultno ostvljen gbrt z mltudsu fznu rterstu. Ao su ostvljen uslov z onšnje sstem u vremensom domenu tođe se mor rment metod dretne snteze u z- domenu. 8.6. OPTIMIZACIJA U FREKVECIJSKOM DOMEU e je funcj renos IIR sstem dt u oblu ogodnom z sdnu relzcju: ( z) s + b z + b z A + z + z (8.66)

9 8. Sntez sstem s besončnm mulsnm odzvom gde su neoznt rmetr onstnt A oefcjent rcjlnh funcj renos b, b,,,. jednčnom rugu, frevencjs odzv osmtrnog sstem je: gde je: s ( e M jω s + b ) A + mltuds rterst sstem, do je: e + b e jω j Ω M ( Ω) j Ω jω e + e + b e + b e jθ( Ω) (8.67) s jω jω j Ω ( Ω) ( e ) A (8.68) jω j Ω + e + e e j Ω θ( Ω) rg ( e ) (8.69) fzn rterst sstem. Umesto fzne rterste, u otmzcj se orst gruno šnjenje defnsno zrzom: dθω ( ) dθ( z) dz τω ( ) d dz (8.7) Ω j Ω dω odle se, rmenom n (8.66) (8.69) dobj: z e s jω jω be + b e + τω ( ) Re jω jω jω jω (8.7) e + be + b e + e + što je, zbog čnjence d je τ (Ω) rconln funcj, zntno ogodnj obl z otmzcju. e su tržen mltuds rterst, M (Ω), gruno šnjenje, τ (Ω), secfcrn n L dsretnh učestnost Ω u osegu Ω π. roj dsretnh tč L treb d bude br et ut već od broj slobodnh rmetr, dle L> s. jčešće se tče brju d njhovo rstojnje bude evdstntno. Greš mltudse rterste defnše se o:, E A L W A [ M ( Ω ) M ( )] m ( Ω ) Ω D (8.7) do se greš grunog šnjenj defnše s: E L [ ] τ Wτ ( Ω ) τ( Ω ) τ D ( Ω ) τ (8.73) U zrzm (8.7) (8.73) M D ( Ω ) τ D ( Ω ) su secfcrne vrednost mltude grunog šnjenj, m su celobrojne onstnte oje br orsn, do je τ romenljv rmetr oj se tertvno odešv toom otmzcje. Funcje WA( Ω ) W τ ( Ω ) redstvljju tzv. težnse funcje ojm se odešv rsodel greše o osezm. Uun greš rosmcje defnše se o: E αea + ( α) E τ (8.74) Ao je α, odešv se smo mltuds rterst, do se u slučju α odešv smo rterst grunog šnjenj. Z vrednost < α < vrš se smultn otmzcj mltude grunog šnjenj. Uun broj romenljvh rmetr od ojh zvs uun greš