Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekciji

Poglavǉe 2 Dodatak qetvrtoj lekcj 15

16 Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekcj 2.1 Hevsajdov razvoj funkcje X (s) Postavǉa se ptaǌe kako se određuje orgnal funkcje ako je poznata ǌena Laplasova transformacja? X (s) x (t)? Pr tome je X (s) realna raconalna funkcja. Defncja 2.1 Za funkcju X (s) se kaжe da je realna raconalna funkcja akko je: 1. gde su p (s) q (s) polnom po s, X (s) = p (s) q (s) 2. za svaku realnu vrednost broja s, X (s) je takođe realno: s = σ R = X (s) R. Neka su: p (s) = b k s k ; q (s) = a k s k ; m n. 2.1.1 Nule funkcje X (s) Defncja 2.2 Broj s je ogranqena nula r tog reda funkcje X (s) u oznac s 0 akko je taj broj s nula r tog reda polnoma p (s) u brojocu funkcje X (s). Ako funkcja X (s) ma vxe ogranqenh nula npr. M one se oznaqavaju sa: s 0 1, s 0 2,, s 0 M. Vxestrukost k te nule se oznaqava sa ν0 k tako da je: ν 0 1 + ν 0 2 + + ν 0 M = m. 2.1.2 Polov funkcje X (s) Defncja 2.3 Broj s je ogranqen pol r tog reda funkcje X (s) u oznac s akko je taj broj s nula r tog reda polnoma q (s) u menocu funkcje X (s). Ako funkcja X (s) ma vxe ogranqenh polova npr. µ on se oznaqavaju sa: s 1, s 2,, s µ. Vxestrukost k tog pola se oznaqava sa ν k tako da je: ν 1 + ν 2 + + ν µ = n. 2.1.3 Hevsajdov razvoj funkcje X (s) Neka je po pretpostavc: n m

2.1. Hevsajdov razvoj funkcje X (s) 17 Tada je: 1, k ν k = 2, k =. X (s) = R 0 + R 1 s s + + R 1 1 s s + R +1 1 s s + + R µ +1 s s + (2.1) µ + R 1 s s + R 2 Rν + + (s s )2 (s s )ν Hevsajdov razvoj funkcje X (s) u ǌenm polovma, koj je potpuno određen sa s k, ν k, R k R j. U zrazu 2.1 s k ν k su polov funkcje X (s) koj se dobjaju rexavaǌem jednaqne: q (s) = 0 ǌhove vxestrukost. Takođe, u zrazu 2.1 R 0, R k, R 1 su rezdjum (ostac) funkcje X (s) u ǌenm polovma, +, jednostrukm vxestrukom. Pr tome je: R 0 = X (+ ), R k = p (s) q (s), s=s k, ν k =1 R j = 1 d ν j [ (ν j)! ds ν j (s s ) ν X (s)] s=s. (2.2), ν 2 Oqgledno, na osnovu zraza 2.2 rezdjum R 1 u tom vxestrukom polu je: 1 d ν 1 [ R 1 = (ν 1)! ds ν 1 (s s ) ν X (s)] s=s., ν 2 Svak sabrak Hevsajdovog razvoja je tablqn sluqaj, tako da se dobja orgnal: x (t) = R 0 δ (t) + ν µ R k e s k t R j t j 1 h (t) + (j 1)! es t h (t). k=1 k 2.1.4 Dferencjalna jednaqna ponaxaǌa kao jedan oblk matematqkog modela Posmatra se jednostruko prenosn sstem S (koj ma samo jednu ulaznu jednu zlaznu velqnu) qj je djagram predstavǉen na slc 2.1. j=1

18 Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekcj X u S X Slka 2.1: Jednostruko prenosn sstem S Sstem S je takav da je ǌegovo ponaxaǌe matematqk opsano skalarnom obqnom lnearnom dferencjalnom jednaqnom sa konstantnm koefcjentma (skalar a k b k ), kompaktno: l u razvjenom oblku: a k X (k) (t) = b k X (k) u (t) (2.3) a n X (n) (t) + a n 1 X (n 1) (t) + + a 1 X (t) + a 0 X (t) = = b 0 X u (t) + b 1 X u (t) + + b m X (m) (t) koja se nazva skalarna dferencjalna jednaqna ponaxaǌa. Slqno, na slc 2.2 prkazan je vxestruko prenosn sstem S (ukupan zbr ǌegovh ulaznh zlaznh velqna je ve l jednak tr, M + N 3). u X u S X Slka 2.2: Djagram vxestrukoprenosnog sstema S Sstem S sa slke 2.2 je takav da je ǌegovo ponaxaǌe matematqk opsano vektorskom obqnom lnearnom dferencjalnom jednaqnom sa konstantnm koefcjentma (matrce A k B k ), kompaktno: l l u razvjenom oblku: gde je: A k X (k) (t) = B k X (k) u (t) (2.4) A l X (l) (t) + A l 1 X (l 1) (t) + + A 1 X (t) + A 0 X (t) = = B 0 X u (t) + B 1 X u (t) + + B m X (m) (t) A k R N N, k = 0, 1,, l; B k R N M, k = 0, 1,, m; X u R M ; X R N koja se nazva vektorska dferencjalna jednaqna ponaxaǌa. U jednaqnama 2.3 2.4 velka slova oznaqavaju totalne vrednost odgovaraju h promenǉvh velqna (ulaznh, zlaznh, ulaza zlaza). u

2.1. Hevsajdov razvoj funkcje X (s) 19 2.1.5 Stvarna dnamqka ponaxaǌa nomnalno (жeǉeno) dnamqko ponaxaǌe sstema Uobqajeno je da se za sstem uopxte, kao na prmer na slc 2.2 propsano, zadano dnamqko ponaxaǌe nazva nomnalno dnamqko ponaxaǌe ono se zraжava sa X N (t). Ako je posmatran sstem objekt upravǉaǌa (O) onda se propsano, zadano dnamqko ponaxaǌe nazva жeǉeno dnamqko ponaxaǌe ono se zraжava sa X ž (t). Na slc 2.3 prkazano je stvarno nomnalno dnamqko ponaxaǌe za sstem S sa slke 2.2 sa razlqtm koordnatnm sstemma u kojma se ova dnamqka ponaxaǌa posmatraju. x N x (t) X (t) 0 X (t) x 1 x 2 X N 0 X (t) N, [ X (t)] t X2 X 1 Slka 2.3: Stvarno nomnalno dnamqko ponaxaǌe sstema S Na slc 2.3 koordnatn sstem (0, X 1, X 2,, X N ) je tzv. totaln koordnatn sstem koj je vezan za vremensku osu u kome se sve velqne predstavǉaju svojm totalnm vrednostma a oznaqavaju velkm slovma. Na stoj slc prkazan je koordnatn sstem (0, x 1, x 2,, x N ) koj je vezan za nomnalno dnamqko ponaxaǌe tj. жeǉeno dnamqko ponaxaǌe u sluqaju kada je sstem S objekt upravǉaǌa O u kome se sve velqne predstavǉaju svojm odstupaǌma a oznaqavaju malm slovma. Veza zmeđu totalnh koordnata sstema odstupaǌa je poznata od ranje a defnsana tz. ǈapunovǉevom transformacjom koordnata: 2.5 2.6 = x u = X u X un (2.5) x = X X N. (2.6) x u = 0 u X u = X un x = 0 X = X N. Jednaqna 2.4 vaж za nomnaln radn reжm glas: l m A k X (k) N (t) = B k X (k) un (t). (2.7)

20 Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekcj Na osnovu 2.4 2.7 sled: l A k [X (t) X N (t)] (k) = B k [X u (t) X un (t)] (k). (2.8) Na osnovu 2.5, 2.6 2.8 dobja se vektorska dferencjalna jednaqna ponaxaǌa po odstupaǌma: l A k x (k) (t) = B k x (k) u (t). (2.9) Upoređuju 2.4 2.9 zakǉuquje se da pr prelasku sa totalnh koordnata na odstupaǌa vektorska dferencjalna jednaqna ponaxaǌa zadrжava st oblk, st red ste koefcjente. 2.2 Prenosna funkcja prenosna matrca sstema Na slc 2.4 prkazan je djagram jednostruko prenosnog sstema S. Pretpostavka je da su ulazna zlazna velqna zraжene u odstupaǌma. x u S x Slka 2.4: Djagram jednostruko prenosnog sstema S Defncja 2.4 Prenosna funkcja sstema S u oznac W (s) je kolqnk levh Laplasovh transformacja ǌegove zlazne velqne x (t) ǌegove ulazne velqne x u (t) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul: W (s) = L {x (t)} L {x u (t)} = X (s) Xu (s) (2.10) x (k) Iz zraza 2.10 = = 0, k = 0, 1,, n 1; x (k) u = 0, k = 0, 1,, m 1. X (s) = W (s) X u (s) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. Na slc 2.5 prkazan su djagram vxestruko prenosnog sstema S na dva naqna, jedan na kome su detaǉno prkazane sve ulazne zlazne

2.2. Prenosna funkcja prenosna matrca sstema 21 xu1 x x x x um S x 1 N u S Slka 2.5: Detaǉan kompaktan djagram sstema S gde su sve ulazno zlazne velqne skazane preko odstupaǌa velqne pojednaqno, drug kompaktan gde su ulaz zlaz prkazan u vdu dvostrukh strelca. Pretpostavka je da su sve ulazne zlazne velqne zraжene u odstupaǌma. Svaka ulazna velqna deluje, u opxtem sluqaju, na svaku zlaznu velqnu. Defncja 2.5 W jk (s) je (j, k) ta parcjalna prenosna funkcja sstema S u odnosu na ǌegovu j tu zlaznu velqnu x j (t) ǌegovu k tu ulaznu velqnu x uk (t): W jk (s) = X j (s) X pr svm poqetnm uslovma jednakm nul = uk (s), X j (s) = W jk (s) X uk (s) ; j = 1, 2,, N; k = 1, 2,, M. (2.11) Oqgledno, posmatran sstem S sa slke 2.5 ma N M parcjalnh prenosnh funkcja. Defncja 2.6 Prenosna matrca sstema S je N M matrqna funkcja qj je (j, k) t element ǌegova (j, k) ta prenosna funkcja W jk (s) oznaqava se sa W (s): W (s) = Na osnovu zraza 2.11 2.12 sled: W 11 (s) W 12 (s) W 1M (s) W 21 (s) W 22 (s) W 2M (s). W N1 (s) W N2 (s) W NM (s). (2.12) X (s) = W (s) X u (s) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. 2.2.1 Odzv sstema prmenom Laplasove transformacje na jednaqnu ponaxaǌa Neka je skalarna dferencjalna jednaqna ponaxaǌa jednostruko prenosnog sstema skazana preko odstupaǌa: a k x (k) (t) = b k x (k) u (t). (2.13)

22 Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekcj Prmenom Laplasove transformacje na levu desnu stranu ove jednaqne dobja se: { n } { m } L a k x (k) (t) = L b k x (k) u (t). Na osnovu osobne lnearnost Laplasovog operatora sled: { } a k L x (k) (t) = { } b k L x (k) u (t). Daǉe, na osnovu Laplasove transformacje k tog zvoda funkcje pr svm poqetnm uslovma jednakm nul, sled: a k s k X (s) = b k s k Xu (s). U prethodnom zrazu X (s) X u (s) mogu da se kao qnoc zvuku spred suma: (s) a k s k = Xu (s) b k s k = X X (s) = b k s k Xu (s) = a k s k W (s) = b k s k. (2.14) a k s k Slqno, prmenom Laplasove transformacje na jednaqnu 2.9 dobja se: { l } { m } L A k x (k) (t) = L B k x (k) u (t) = l { } A k L x (k) (t) = ( l ) A k s k X { } B k L x (k) u (t) = ( m ) (s) = B k s k X u (s) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul X (s) = ( l ) 1 ( m ) A k s k B k s k X u (s) =

2.3. Frekventna karakterstka frekventna matrca sstema 23 ( l ) 1 ( m ) W (s) = A k s k B k s k. (2.15) Na osnovu zraza 2.14 2.15 vd se da kako prenosna funkcja tako prenosna matrca ne zavse od ulaznh zlaznh velqna, odnosno ulaza zlaza (ǌhovh Laplasovh transformacja) ve samo od koefcjenata a k, b k odnosno A k, B k. Prenosna funkcja sstema W (s) odnosno prenosna matrca sstema W (s) su oblk matematqkog modela sstema koj u seb sadrж nformacje o osobnama sstema. 2.2.2 Fzqko tumaqeǌe prenosne funkcje prenosne matrce sstema Imaju u vdu da je: X (s) = W (s) X u (s) = 1. Prenosna funkcja sstema opsuje u kompleksnom domenu kompleksnog broja s, zakon po kome sstem dejstvo ulazne velqne prenos na zlaznu velqnu u toku vremena. 2. x u (t) = δ (t) = x (t) = (t) = X u (s) = 1, L { (t)} = I (s) = I (s) = W (s) 1 = W (s) = L { (t)} tj. prenosna funkcja sstema je leva Laplasova transformacja ǌegovog jednqnog mpulsnog odzva pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. 2.3 Frekventna karakterstka frekventna matrca sstema 2.3.1 Furjeova transformacja Defncja 2.7 Furjeova transformacja funkcje x (t) u oznac F {x (t)} = X (jω) je nesvojstven ntegral: F {x (t)} = x (t) e jωt dt ukolko on postoj. Imaju u vdu da za funkcju x (t) vaж da je: x (t) = 0, t < 0 = F {x (t)} = 0 x (t) e jωt dt.

24 Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekcj Stav 2.8 Furjeova transformacja je lnearan operator: F {α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t)} = α 1 F {x 1 (t)} + α 2 F {x 2 (t)}. Stav 2.9 Ako je funkcja x (t) defnsana, neprekdna k puta dferencjablna ako su sv poqetn uslov jednak nul onda je Furjeova transformacja k tog zvoda funkcje x (t) određena sa: { } F x (k) (t) = (jω) k F {x (t)}, x (r) (0) = 0 r = 0, 1,, k 1. 2.3.2 Frekventna karakterstka frekventna matrca Posmatra se sstem S prkazan na slc 2.4. Defncja 2.10 Frekventna karakterstka sstema S u oznac F (jω) je kolqnk Furjeovh transformacja ǌegove zlazne velqne x (t) ǌegove ulazne velqne x u (t) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul: x (k) Iz zraza 2.16 = F (jω) = F {x (t)} F {x u (t)} = X (jω) X u (jω) = 0, k = 0, 1,, n 1; x (k) u = 0, k = 0, 1,, m 1. X (jω) = F (jω) X u (jω) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul. Posmatra se sstem S prkazan na slc 2.5. (2.16) Defncja 2.11 F jk (jω) je (j, k) ta parcjalna frekventna karakterstka sstema S u odnosu na ǌegovu j tu zlaznu velqnu x j (t) ǌegovu k tu ulaznu velqnu x uk (t): F jk (jω) = X j (jω), pr svm poqetnm uslovma jednakm nul = X uk (jω) X j (jω) = F jk (jω) X uk (jω) ; j = 1, 2,, N; k = 1, 2,, M. (2.17) Oqgledno, posmatran sstem S sa slke 2.5 ma N M parcjalnh frekventnh karakterstka. Defncja 2.12 Frekventna matrca sstema S je N M matrqna funkcja od jω qj je (j, k) t element ǌegova (j, k) ta frekventna karakterstka F jk (jω) oznaqava se sa F (jω): F (jω) = Na osnovu zraza 2.17 2.18 sled: F 11 (jω) F 12 (jω) F 1M (jω) F 21 (jω) F 22 (jω) F 2M (jω). F N1 (jω) F N2 (jω) F NM (jω) X (jω) = F (jω) X u (jω) pr svm poqetnm uslovma jednakm nul.. (2.18)

2.3. Frekventna karakterstka frekventna matrca sstema 25 2.3.3 Osobne frekventne karakterstke frekventne matrce sstema Prmenom Furjeove transformacje na jednaqnu 2.13 dobja se frekventna karakterstka tog sstema: F (jω) = b k (jω) k a k (jω) k = r 1 (ω) + j 1 (ω) r 2 (ω) + j 2 (ω) = (2.19) gde je: F (jω) = R (ω) + ji (ω) R (ω) = Re F (jω) realn deo frekventne karakterstke I (ω) = Im F (jω) magnarn deo frekventne karakterstke. R (ω) = r 1 (ω) r 2 (ω) + 1 (ω) 2 (ω) r 2 2 (ω) + 2 2 (ω) I (ω) = r 2 (ω) 1 (ω) r 1 (ω) 2 (ω) r 2 2 (ω) + 2 2 (ω). Eksponencjaln oblk frekventne karakterstke je: F (jω) = A (ω) e jϕ(ω) pr qemu je: A (ω) = F (jω) ampltudno frekventna karakterstka, ϕ (ω) = arg F (jω) fazno frekventna karakterstka. Na slc 2.6 je prkazana jedna taqka frekventne karakterstke u frekventnoj ravn sa ǌenm realnm magnarnm delom kao ǌenm ampltudnm faznm delom. Sa slke 2.6 na osnovu zraza se dobja da je: A (ω) = r 2 R 2 (ω) + I 2 (ω) = 1 (ω) + 2 1 (ω) r 2 2 (ω) + 2 2 (ω), ϕ (ω) = arctan I (ω) R (ω) = arctan 1 (ω) r 1 (ω) arctan 2 (ω) r 2 (ω), R (ω) = A (ω) cos ϕ (ω), I (ω) = A (ω) sn ϕ (ω). Bez dokaza se daje slede a osobna: R (ω) R ( ω) parna funkcja od ω,

26 Poglavǉe 2. Dodatak qetvrtoj lekcj ji ji( ) A( ) F(j ) ( ) 0 R( ) R Slka 2.6: Jedna taqka frekventne karakterstke F (jω) u frekventnoj ravn I (ω) I ( ω) neparna funkcja od ω, A (ω) A ( ω) parna funkcja od ω, ϕ (ω) ϕ ( ω) neparna funkcja od ω = Deo hodografa frekventne karakterstke za ω [, 0) smetrqan je delu hodografa frekventne karakterstke za ω [0, + ) u odnosu na realnu osu, xto je prkazano na slc 2.7. jimf(j ) F(-j ) ReF(j ) F(j ) Slka 2.7: Grafk frekventne karakterstke koj pokazuje smetrqnost u odnosu na realnu osu F frekventne kompleksne ravn

Lteratura [1] 27