Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene podtke. T unkcj može služt ko mtemtčk model th podtk možd neće prolzt n kroz jednu točku, l modelr podtke s njmnjom mogućom pogreškom. Izor unkcj koje se mogu upotrjet z proksmrnje podtk krvuljom nje nčm ogrnčen. Vrlo često se korste polnom, rconlne, eksponencjlne logrtmske unkcje. Buduć d postoj velk roj unkcj, pronlženje odgovrjuće unkcje z proksmrnje podtk krvuljom može t složen postupk. Ponekd postoje određene nznke n osnovu kojh se može zključt koj vrst unkcje odgovrl određenom skupu podtk. U drugm slučjevm, potreno je sprovt rzlčte krvulje kko se otkrl moguć olc unkcje koj doro proksmrl podtke. Polnom (engl. polnomls) su mtemtčk zrz koj se često korste z rješvnje zdtk modelrnje u prrodnm tehnčkm znnostm. Polnom su unkcje koje mju sljedeć olk: n n ( ) 0 n n K Koecjent polnom, n n, K,, 0 su reln rojev, n, koj mor t cjelorojn poztvn vrjednost, predstvlj stupnj l red polnom. Rješenj polnom su vrjednost rgument z koje je vrjednost polnom jednk nul, p se često zovu nule (l korjen) polnom. Polnom se mogu upotrjet z proksmrnje podtk n dv nčn. U prvom slučju polnom prolz kroz sve točke, dok u drugom slučju, polnom ne prolz ovezno kroz sve točke, l pk doro proksmr podtke. Kd postoj n točk (, ), može se npst polnom stupnj n- koj prolz kroz sve točke. Koecjent polnom se mogu odredt tko što se svk točk zmjen u polnomu, ztm se rješ sstem s n jedndž d se zrčunl koecjent. Kd postoj n točk, može se npst polnom stupnj mnjeg od n-, koj ne prolz možd n kroz jednu točku, l omogućv proksmrnje podtk. Njčešć metod pronlženj njolje proksmcje točk, je metod njmnjh kvdrt (engl. lest squres method). Po toj metod, koecjent polnom se određuju mnmzrnjem zroj kvdrt rzlke zmeđu vrjednost polnom određenog stupnj vrjednost podtk u svm
Aproksmrnje podtk točkm. Rezdul (engl. resdul) u svkoj točk se denr ko rzlk zmeđu vrjednost polnom vrjednost podtk. Nek je potreno odredt koecjente polnom prvog stupnj koj proksmr podtke točke. Nek su koordnte točk (, ), (, ), (, ) (, ), polnom prvog stupnj može se npst ko ( ) 0 zmeđu vrjednost unkcje koordnt (, ), R ( ). Rezdul u svkoj točk predstvlj rzlku R. Jedndž koj zrčunv zroj kvdrt rezdul R u svm točkm zgled ovko: R [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] l nkon zmjene jedndžom polnom prvog stupnj u svkoj točk: R [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 0 Rezdul R je unkcj. Njmnj vrjednost R se može zrčunt prcjlnm dervrnjem R u odnosu n, što dje dvje jedndže koje se ztm zjednče s nulom: 0 R 0 R 0 0 Rezultt je sstem od dvje jedndže s dvje nepoznnce, te rješvnje th jedndž dje vrjednost koecjent polnom prvog stupnj koj njolje proksmr podtke. Ist postupk se može upotrjet n vše točk d se dol polnom všeg stupnj. Potreno je stknut d polnom koj prolz kroz sve točke, l polnom všeg stupnj, ne predstvljju ovezno njolju proksmcju podtk. Polnom vsokog stupnj mogu ponekd znčjno odstupt od podtk. Prmjer. Nek je zdn skup od 7 točk (, ) kojeg je potreno proksmrt polnomm od prvog do šestog stupnj: 0,9,,0,0,0 8,0 9, 0,9,,,,,9,
Aproksmrnje podtk n n n n n n Slk. Aproksmrnje podtk pomoću polnom rzlčtog stupnj
Aproksmrnje podtk Polnom prvog stupnj (n): 0,88 0,998,0 Polnom drugog stupnj (n): 0,07,00 0,080,99 Polnom trećeg stupnj (n): 0,0 0,00,8,8, Polnom četvrtog stupnj (n): 0,00 0,89,07,09,7, Polnom petog stupnj (n): 0,00 0,078 0,88,77,9,9 Polnom šestog stupnj (n):,97 0,00 0,7,790 9,9,990 8,0 0,00 Aproksmrnje podtk plohom Moguće je proksmrt podtke u m dmenzj, odnosno ko postoj n podtk (,, K, m, z ) može se pronć mtemtčk unkcj (,, K, m ) koj proksmr te podtke. Nek je potreno odredt koecjente polnom drugog stupnj s dvje vrjle koj proksmr podtke točke. Nek su koordnte točk (, z ), (, z ) (,,,, z,, z ), polnom drugog stupnj s dvje vrjle može se npst ko (, ) zmeđu vrjednost unkcje koordnt. Rezdul R u svkoj točk predstvlj rzlku (,, z ), R ( ) z ( ),,. Jedndž koj zrčunv zroj kvdrt rezdul R u svm točkm zgled ovko:
Aproksmrnje podtk ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ],,,, z z z z R Rezdul R je u ovom slučju unkcj,,,,. Njmnj vrjednost R se može zrčunt prcjlnm dervrnjem R u odnosu n,,,,, što dje šest jedndž koje se ztm zjednče s nulom: 0 R, 0 R, 0 R, 0 R, 0 R 0 R Rezultt je sstem od šest jedndž s šest nepoznnc,,,,, te rješvnje th jedndž dje vrjednost koecjent polnom drugog stupnj s dvje vrjle koj njolje proksmr podtke. Ist postupk se može upotrjet n vše točk d se dol polnom všeg stupnj s dvje vrjle. I u vše dmenzj se često korste polnom rconlne unkcje z proksmrnje podtk. Tko npr. polnom drugog stupnj s dvje vrjle m sljedeć olk: ( ), z, polnom trećeg stupnj s dvje vrjle m sljedeć olk: ( ) 0 9 8 7, z, rconln unkcj drugog stupnj s dvje vrjle m sljedeć olk: ( ), z, te rconln unkcj trećeg stupnj s dvje vrjle m sljedeć olk: ( ) 0 9 8 7 0 9 8 7, z
Aproksmrnje podtk Iz ovh prmjer je vdljvo d je roj koecjent koje je potreno zrčunt velk te d se povećv s stupnjem polnom dmenzjom prolem. Izor unkcj u vše dmenzj koje se mogu upotrjet z proksmrnje podtk, ko u dvodmenzonlnom slučju, nje nčm ogrnčen. U nstvku će t prkzno nekolko proksmcj podtk plohom z slučjeve polnom drugog stupnj s dvje vrjle rconlne unkcje drugog stupnj s dvje vrjle. U sv tr, u nstvku prkzn, prmjer podc su proksmrn unkcjm n temelju prethodnog znnj. Orgnln podc doven su pomoću polnom drugog stupnj s dvje vrjle poznth koecjent s dodtkom šum (prmjer..) rconlne unkcje drugog stupnj s dvje vrjle poznth koecjent s dodtkom šum (prmjer.). Šum su slučjn rojev z normlne rzdoe s srednjom vrjednošću nul određenom stndrdnom devjcjom (uočjeno oznčvnje slučjnh rojev koj se ponšju prem normlnoj rzdo je N ( μ,σ )). U stvrnm slučjevm kd nje poznto prem kojoj mtemtčkoj unkcj se ponšju podc potreno je sprovt rzlčte unkcje kko se odredlo koj od njh njolje proksmr podtke. Prmjer. Nek je zdn skup od 00 točk (, z ) polnomom drugog stupnj s dvje vrjle:, kojeg je potreno proksmrt z -,0000 -,0000,009 -,0000 -, 0,90 -,0000 -,,0 -,0000-0,7 7,8 -,0000-0, 7,89 -,0000 0,, -,0000 0,7,888 -,0000, 0,878 -,0000, 7,87 -,0000,0000,0 -, -,0000,9 -, -,,9 -, -,,709 -, -0,7,788 -, -0,,9 -, 0, 7,99 -, 0,7,8 -,, 9,08 -,,,9 -,,0000 0,9 -, -,0000 7,8 -, -,,9779 -, -,,7
Aproksmrnje podtk -, -0,7,79 -, -0,,70 -, 0, -,878 -, 0,7,09 -,, 9,7 -,,, -,,0000,08-0,7 -,0000,97-0,7 -,,78-0,7 -, 7, -0,7-0,7, -0,7-0,,0-0,7 0, 0,70-0,7 0,7,70-0,7,,00-0,7,,8-0,7,0000 7,8-0, -,0000, -0, -,,99-0, -,,9-0, -0,7,0-0, -0, 0,909-0, 0, -0,98-0, 0,7,8870-0,,,9-0,, 9,879-0,,0000 7,907 0, -,0000,800 0, -, 8,8 0, -,,79 0, -0,7,7 0, -0, -,87 0, 0, 0,7 0, 0,7,8 0,,,98 0,, 7,0 0,,0000,988 0,7 -,0000 7,8 0,7 -,,7 0,7 -,,88 0,7-0,7 0,8 0,7-0,,089 0,7 0,,0 0,7 0,7-0,7 0,7, 7,7 0,7,, 0,7,0000,779, -,0000 8,08, -,,7, -,,09, -0,7,, -0,,0 7
Aproksmrnje podtk, 0,,070, 0,7,007,, 0,87,,,9,,0000 0,7, -,0000,979, -,,8, -,,797, -0,7,77, -0,,97, 0,,0, 0,7,8,,,080,,,87,,0000 9,97,0000 -,0000,7,0000 -, 9,9,0000 -,,7,0000-0,7 9,077,0000-0,,8,0000 0,,97,0000 0,7 0,9,0000,,89,0000, 8,088,0000,0000,8 Metodom njmnjh kvdrt zrčunt su koecjent polnom drugog stupnj s dvje vrjle: (, ) z (, ) 0,0 0,08 0,0 0,,9,09 z 0,07 Orgnln podc doven su unkcjom: (, ) N(0, ) z 8
Aproksmrnje podtk.. Slk. Orgnln podc () podc proksmrn polnom drugog stupnj s dvje vrjle () Prmjer. Nek je zdn skup od 00 točk (, z ) polnomom drugog stupnj s dvje vrjle:, kojeg je potreno proksmrt z -,0000 -,0000,88 -,0000 -,8889,00 -,0000 -,7778,9 -,0000 -,7 7,00 -,0000-0,,09 -,0000 0,,778 -,0000,7 9,7 -,0000,7778,9 -,0000,8889 8,887 -,0000,0000 0,9 -,8889 -,0000-8,807 -,8889 -,8889,87 -,8889 -,7778 0, -,8889 -,7,97 -,8889-0,, -,8889 0,,9 -,8889,7,8 -,8889,7778 0,8 -,8889,8889-0,7 -,8889,0000-9,00 -,7778 -,0000-8,90 -,7778 -,8889 -,77 -,7778 -,7778,0 -,7778 -,7 0,9 -,7778-0,,0878 -,7778 0, -0,09 -,7778,7 8,08 -,7778,7778 -,878 -,7778,8889-9,878 9
Aproksmrnje podtk -,7778,0000-7,89 -,7 -,0000 -,7 -,7 -,8889-9,77 -,7 -,7778 -,8 -,7 -,7,78 -,7-0,,9 -,7 0,,7 -,7,7 -,9090 -,7,7778 -,07 -,7,8889 -,99 -,7,0000 -,97-0, -,0000-7,90-0, -,8889-0,89-0, -,7778 -, -0, -,7 -, -0, -0,,08-0, 0, -,8-0,,7-0,080-0,,7778-8,978-0,,8889-9,8-0,,0000-7, 0, -,0000-7,8 0, -,8889 -,9 0, -,7778 -,07 0, -,7 -,788 0, -0, -,98 0, 0,,807 0,,7 -,97 0,,7778 -, 0,,8889 -,97 0,,0000-9,988,7 -,0000 -,,7 -,8889 -,7,7 -,7778-0,809,7 -,7,9,7-0,,99,7 0,,89,7,7 0,98,7,7778-0,,7,8889 -,99,7,0000-0,0,7778 -,0000 -,08,7778 -,8889-7,888,7778 -,7778,78,7778 -,7,99,7778-0, 7,9,7778 0,,8,7778,7 0,0,7778,7778-0,88,7778,8889 -,0,7778,0000 -,07,8889 -,0000-0,0 0
Aproksmrnje podtk,8889 -,8889 -,0,8889 -,7778,9,8889 -,7,9,8889-0,,97,8889 0, 8,9,8889,7,70,8889,7778 9,9,8889,8889,8,8889,0000 -,8,0000 -,0000,,0000 -,8889 7,0,0000 -,7778 8,9790,0000 -,7,808,0000-0,,7,0000 0,,79,0000,7,00,0000,7778,777,0000,8889,8,0000,0000 -,80 Metodom njmnjh kvdrt zrčunt su koecjent polnom drugog stupnj s dvje vrjle: (, ) z z (, ) 0,9 0,080 0,9 0,0,07 0,99 7, Orgnln podc doven su unkcjom: (, ) N(0,) z.. Slk. Orgnln podc () podc proksmrn polnom drugog stupnj s dvje vrjle ()
Aproksmrnje podtk Prmjer.: Nek je zdn skup od 00 točk (, z ) rconlnom unkcjom drugog stupnj s dvje vrjle:, kojeg je potreno proksmrt z,0000,0000 0,8,0000,7778 0,7,0000, 0,7,0000, 0,9,0000, 0,8,0000,8889 0,0,0000,7 0,7,0000, 0,899,0000 7, 0,,0000 8,0000 0,,7778,0000 0,90,7778,7778 0,90,7778, 0,7,7778, 0,,7778, 0,799,7778,8889 0,7,7778,7 0,09,7778, 0,9,7778 7, 0,8,7778 8,0000 0,0,,0000 0,8,,7778 0,97,, 0,89,, 0,70,, 0,8,,8889 0,,,7 0,8,, 0,0, 7, 0,800, 8,0000 0,00,,0000 0,00,,7778 0,90,, 0,97,, 0,99,, 0,88,,8889 0,7,,7 0,7,, 0,9, 7, 0,77, 8,0000 0,00,,0000 0,,,7778 0,80,, 0,889,, 0,898,, 0,900,,8889 0,8077,,7 0,78
Aproksmrnje podtk,, 0,77, 7, 0,7078, 8,0000 0,80,8889,0000 0,787,8889,7778 0,7,8889, 0,8,8889, 0,97,8889, 0,88,8889,8889 0,890,8889,7 0,88,8889, 0,78,8889 7, 0,797,8889 8,0000 0,98,7,0000 0,09,7,7778 0,88,7, 0,879,7, 0,9,7, 0,98,7,8889 0,97,7,7 0,908,7, 0,807,7 7, 0,8,7 8,0000 0,7,,0000 0,7,,7778 0,8,, 0,88,, 0,907,, 0,89,,8889 0,888,,7 0,89,, 0,90, 7, 0,898, 8,0000 0,78 7,,0000 0,9 7,,7778 0,9 7,, 0,70 7,, 0,89 7,, 0,908 7,,8889 0,90 7,,7 0,897 7,, 0,88 7, 7, 0,8 7, 8,0000 0,880 8,0000,0000 0,08 8,0000,7778 0,9 8,0000, 0,98 8,0000, 0,8 8,0000, 0,97 8,0000,8889 0,890 8,0000,7 0,900 8,0000, 0,9078 8,0000 7, 0,8
Aproksmrnje podtk 8,0000 8,0000 0,89 Metodom njmnjh kvdrt zrčunt su koecjent rconlne unkcje drugog stupnj s dvje vrjle: z z (, ) 0,707 0,097 0,0789 0,87 0,09 0, 0,9 0,000 0,007 0,09 (, ) 0,0 0,7 0,089 Orgnln podc doven su unkcjom: 0, z, 0, 0, ( ) (0, 0,0) N.. Slk. Orgnln podc () podc proksmrn rconlnom unkcjom drugog stupnj s dvje vrjle ()