Analogni električki filtri Digitalna obradba ignala Sadržaj Definicija filtra Frekvencijka karakteritika Primjer analognog filtra Tiovi filtara Selektivni filtri Filtarki korektori Analogni električki filtri. Definicija filtra 3 Definicija filtra Filtar je narava ili item koji na određeni unarijed roiani način vrši konverziju veličina na vojim ulazima u veličine na vojim izlazima. Cilj: umanjiti neželjena vojtva ulaznih veličina zadržati ili itaknuti željena vojtva. Električki filtar je item čije u ulazne i izlazne veličine električki ignali. jegova funkcija je da na roiani način romjeni karakteritike ektra ulaznog ignala. Termin "električki" vezan je za karakter ignala kojeg e tim filtrom obrađuje (ne ovii o načinu izvedbe. 4 Analogni električki filtri. 5 Električki filtar je item, a ga je u tom milu moguće definirati kao ku ecifikacija kojima u određeni odnoi između njegovih ulaza i izlaza. x(t F y(t Sitem jednim ulazom x(t i jednim izlazom y(t 6 Za linearni i vremenki neromjenjiv item odno između ulaza i izlaza itema definiran je konvolucijkim integralom y( t h( t τ x( τ dτ... gdje u : h(t imulni odziv itema, x(t ulaz, oticaj ili obuda y(t izlaz ili odziv itema S matematičkog gledišta utav je moguće hvatiti kao oerator koji djeluje na funkciju ulaza, što e može oiati izrazom : y( t F{ x( t }... gdje je F oerator. Lalaceovom tranformacijom konvolucijkog integrala dobiva e odno ulaznog i izlaznog ignala u frekvencijkoj domeni : Y( H( X(... gdje je H( rijenona funkcija filtra Prijenona funkcija H( definirana je kao omjer Lalace-ovih tranformacija izlaznog i ulaznog ignala Y( H( X( Oći oblik električkog filtra koji e razmatra je električka mreža atavljena od konačnog broja elemenata koji u: koncentrirani, linearni, vremenki neromjenjivi. 7 8 9
Za takve utave ulazno-izlazne odnoe moguće je definirati diferencijalnom jednadžbom -tog reda oblika: d y d y b b b dy + b y +... + + dt dt dt d x d x a a a dx + a x +... + + dt dt dt... gdje u b i (i,i a j (j, realni koeficijenti. Laalce-ovom tranformacijom lijedi: b Y( + b Y( +... + by( + b Y( a X( + a X( +... + a X( + a X( Searacijom X( i Y( moguće je rijenonu funkciju H( izraziti kao: i a i Y( a + a +... + a + a i H( X( b + b +... + b + b j b j Funkcija H( je realna racionalna funkcija komlekne frekvencije, koju je moguće rikazati u obliku omjera dvaju olinoma realnim koef. : P( H( Q( j H( je moguće rikazati i u lijedećem obliku: ( ( ( ( ( H k ( ( ( ( oi o o... o o i ( k... gdje u : ( j j oi (i,, korijeni olinoma u brojniku P( ili nule rijenone funkcije, j (j,, korijeni olinoma u nazivniku Q( ili olovi rijenone funkcije, k... realna kontanta jednaka k a /b. U oba lučaja korijeni mogu biti realni ili komlekni. Svaki komlekni korijen ima odgovarajući konjugirano komlekni ar, a e uarivanjem, H( može rikazati u obliku: H( k r ( + σ oi + oi ( σ oi i i r+ t ( + σ j + j ( σ j j r ili... i H( k t j j t+ oi + + oi q oi i r+ j + + j q j j t+ ( σ oi ( σ j 3 je komlekna varijabla, tj. σ +j, a je onda i funkcija H( komlekna veličina za neki roizvoljni broj. U uvjetima tacionarnog tanja inune obude, varijabla otaje jednaka j, a i rijenona funkcija H( otaje H(j. H(j e naziva komleknom frekvencijkom karakteritikom filtra. ( H( j H( j e j Φ Onovna adržana je uravo u obliku frekvencijke karakteritike H(j. 4 Analogni električki filtri 3. Frekvencijka karakteritika 5 Frekvencijka karakteritika Frekvencijka karakteritika Frekvencijka karakteritika Promjene koje električki filtar treba unijeti u ektar ulaznog ignala najčešće e vode na rigušenje ili eliminaciju određenih neoželjnih frekvencijkih komonenti tog ignala. Za zadani ulazni ignal x(t riadnim frekvencijkim ektrom X(j, ( X( j X( j e j Φ x... ektar izlaznog ignala određen je izrazom : j y( Y( j Y( j e Φ H( j X( j... kao umnožak ektra ignala i rijenone funkcije. 6 Za module i faze Y( j H( j X( j vrijede lijedeći izrazi: Φ Y( Φ( + Φ X( odul rijenone funkcije električkog filtra četo e izražava reko voje logaritamke mjere : ln H( j ln H( j jφ( α ( jφ(... gdje e funkcija α ( naziva e logaritamkom mjerom ojačanja filtra i izražava u eerima []. Ako e modul logaritmira o dekadkoj bazi dobiva e logaritamka mjera ojačanja izražena u [db] α( log ( 8. 686 α ( H j 7 Pored fazno frekvencijke karakteritike Φ(, četo e koriti i funkcija grunog vremena kašnjenja T g ( definirana kao: d Φ( T ( g d 8
Primjer analognog filtra Primjer analognog filtra Analogni električki filtri 4. Primjer analognog filtra 9 Prijenona funkcija H( U ( / U ( mreže rema lici glai: L H ( k... gdje u : + o + + q C k C + C L ( C + C o C U R U C LC q R C + C L Uz vrijednoti elemenata R k, C C nf i L.5 mh, rijenona funkcija H( glai: H ( Polovi funkcije u : 6 + +. 5 + j 4 5, ± 4... a njene nule : 6 6 6, ± j o Primjer analognog filtra Primjer - amlitudno / frekv. karakteritika Primjer analognog filtra Uvrštenjem j u rijenonu funkciju H( dobiva e komlekna frekvencijka karakteritika filtra H(j: o H ( j k + j + q.4..8 H(j Fazno frekvencijka karakteritika filtra glai: Φ( π S( arctg o q ( Amlitudno frekvencijka karakteritika je modul gornjeg izraza: H ( j k o + q (.6.4. 5 6 7 3 ule na imaginarnoj oi uzrokuju kok u faznoj karakteritici na frekvenciji o, što je oljedica romjene redznaka funkcije H(j na toj frekvenciji. 4 4-4 -8 - -6 Primjer - fazno / frekvencijka karakteritika Φ( [ o ] 5 6 7 5 Primjer analognog filtra Karakteritika grunog kašnjenja T g (, dobije e deriviranjem izraza za fazu o frekvenciji : T ( πδ( + g o ( + / q ( + ( / q Diracov δ-imul u točki o, oljedica je koka u fazi, odnono otojanja nula rijenone funkcije na imaginarnoj oi. 6 4 3 Primjer - gruno vrijeme kašnjenja T ( [ µ ] g 5 6 7 7
Analogni električki filtri 5. Tiovi filtara 8 Tiovi filtara Filtre je moguće obzirom na oblik frekvencijke karakteritike odijeliti u dvije kuine : elektivni filtri korektori Kod elektivnih filtara oblik H(j je takav da je moguće jano razlikovati frekvencijka odručja u kojima je ulazni ignal rigušen od onih u kojima je on roušten. 9 Selektivni filtri Područje rouštanja filtra... oja frekvencija u kojem amlitudno frekvencijka karakteritika ima vrijednot ribližno jednaku, komonente obudnog ignala čije u frekvencije unutar tog ojaa ojavljuju na izlazu filtra a ribližno itom amlitudom kao i na ulazu. Područje gušenja filtra... oja frekvencija u kojem je amlitudno frekvencijka karakteritika ribližno jednaka nuli, frekvencijke komonente ulaznog ignala koje e nalaze unutar tog ojaa niu rouštene na izlaz. 3 Selektivni filtri iko rouni (P filtar Vioko rouni (VP filtar Amlitudno frekvencijka karakteritika H(j je funkcija bez dikontinuiteta, a je rijelaz između odručja rouštanja i odručja gušenja kontinuiran. Prijelazno odručje filtra... odručje frekvencija na rijelazu između odručja rouštanja i odručja gušenja. Obzirom na oložaj vakog od omenutih odručja na frekvencijkoj oi, moguće je razlikovati 4 onovna tia elektivnih filtara. odručje rouštanja za < <, odručje gušenja za < <, vrijedi : <. Η(j odručje rouštanja za < <, odručje gušenja za < <, vrijedi : <. Η(j 3 3 33 Pojano rouni (PP filtar odručje rouštanja za < < 3, odručja gušenja za < < i 4 < <, vrijedi : < < 3 < 4. Η(j Pojana brana (PB odručje rouštanja za < < i 4 < <, odručja gušenja za < < 3, vrijedi : < < 3 < 4. Η(j Filtarki korektori Za razliku od elektivnih filtara, nemaju jano definirana odručja rouštanja odnono odručja gušenja. Služe za korekciju frekvencijke karakteritike nekog drugog utava. Obzirom na činjenicu dali korigiraju amlitudno/frek. ili fazno/frek. karakteritiku utava dijele e na: amlitudne korektore i fazne korektore 3 4 34 3 4 35 36
Fazni korektori ajčešće e korite verouni filtri, amlitudno/frek. karakteritika im je ravna u cijelom frekvencijkom odručju, ve u frekvencijke komonente ignala reneene bez rigušenja, ali u fazno omaknute rema definiranim filtarkim ecifikacijama. Η(j Literatura Prof. dr. c. even ijat, Zavodka krita: Električki filtri, FER, ZESOI 994. Potuci arokimacije rijenonih funkcija električkih filtara Digitalna obradba ignala 37 38 39 Sadržaj Projektiranje analognih filtera Projektiranje analognih filtera Butterwothova arokimacija Chebyhevljeva arokimacija (Ti I Chebyhevljeva arokimacija (Ti II Elitička ili Cauerova arokimacija 4 Potuci arokimacije rijenonih. Projektiranje analognih filtera 4 Projektiranje analognog filtra kreće od definicije zahtjeva koji taj filter mora zadovoljiti: granice u odručju rouštanja, granice u odručju gušenja. Problem arokimacije vodi e na nalaženje frekv. karakteritike koja zadovoljava traženi zahtjev. Takav utav mora biti : otvarljiv što nižeg reda tabilan 4 Projektiranje analognih filtera Projektiranje analognih filtera Prototi P analogni filter Primjer ecifikacije amlitudne karakteritike ojano rounog filtra α max α min α ( [db] 3 4 43 Kod većine otuaka arokimacije olazi e od idealne karakteritike niko-rounog (P filtra. Frekvencijkim tranformacijama ta e niko rouna karakteritika tranformira u bilo koju željenu karakteritiku: vioko rounu (VP, ojano rounu (PP, ojanu branu (PB. Frekvencijka o rototi P filtra je normirana na graničnu frekvenciju, c. 44 Amlitudna karakteritika idealnog normiranog P filtra dana je izrazom: za H( j < za > H( j Područje rouštanja Područje gušenja 45
Amlitudno frekvencijka karakteritika Karakteritična funkcija K( Za filter zadan rijenonom funkcijom H( [ ] [ ] H( j Re H( j + Im H( j odnono... H( j H( j H( j U otuku arokimacije ogodno je korititi karakteritičnu funkciju K( : H( j + K( j 46 K(... racionalana funkcija komlekne varijable n( K( d( K( j ribližno jednak u odručju rouštanja što veći u odručju gušenja Krajnji cilj je nalaženje rijenone funkcije filtra P( H( Polinomi koml. Q( varijable Otvarljivot H( Stabilnot H( 47 Potuci arokimacije rijenonih. Butterworthova arokimacija 48 Butterworthova arokimacija Butterworthova arokimacija Butterworthova arokimacija Karakteritična funkcija je zadana kao: K ( j C... tuanj rijenone funkcije... lijedi amlitudno/frekv. karakteritika filtra : H ( j + C Uz graničnu frekvenciju C definiranu kao : C H( jc C H ( j + ( / C 49 Butterworth filter do 6, c H( j - - -3-4 -5-6.5.5.5 3 6 5 Područje rouštanja do 6, c H( j -.5 - -.5 - -.5-3..4.6.8 6 5 Svojtva Butterworthove arokimacija Prijenona funkcija Butterworthovog filtra Položaj olova Butterworthovog filtra eovino o redu filtra vrijedi:... H( j C... H( j C /... H( j Amlitudno/frekv. karakteritika filtra je monotono adajuća oratom frekvencije od rema. Prvih - derivacija kvadrata amlitudno/frekv. karakteritike u točki u jednake za -ti red. Takva karakteritika e naziva makimalno glatkom. U odručju gušenja amlitudno/frekv. karakteritika u logaritamkom mjerilu ada linearno ( db o dek. 5 a onovu kvadrata amlitudno frekvencijke karakteritike treba odrediti H( filtra : H( j H( j H( j + c Sutitucijom /j lijedi: H( H( + ( k k Korjeni nazivnika dobivaju e rješavanjem: ( c c 53 Polovi funkcije H ( H (- u ravnini... jednoliko raoređeni o kružnici olumjera c Polovi u lijevoj oluravnini riadaju rijenonoj funkciji filtra H(. j π/ν c -ravnina σ 54
Prijenona funkcija Butterworthovog filtra Prijenona funkcija Butterworthovog filtra Uarivanjem konjugirano komleknih arova olova dobiva e rijenona funkcija oćeg oblika : / H... aran k + ( k / q k + k H( ( / H... ne. ( + / k + ( k / q k + k Primjer za 5 i C : Pol Re Pol Im q k Faktori nazivn. - -- + -.89 ±.58779.683 +.683+ -.39 ±.956.683 +.683+ Potuci arokimacije rijenonih 3. Chebyhevljeva arokimacija (Ti I Za normirani filter C vrijedi k za vaki k, a q k, k in π za k,..., / aran,...,( / za ne. 55 56 57 Chebyhevljeva arokimacija Chebyhevljevi olinomi Chebyhevljevi olinomi Karakteritična funkcija zadana je kao: K ( j ε T (... gdje je T ( olinom Chebyheva -tog tunja u varijabli definiran kao : T ( co( Φ co( Φ Kod Butterworthove arokimacije nule karakteritične funkcije K( j u ve u. Boljim raoredom nula kod funkcije T ( otiže e oklaanje idealnom karakteritikom u više točaka Izraz za T ( moguće je iati i kao: u odručju rouštanja. 58 59 T ( co( arcco( avedeni izraz vrijedi za -<< dok e za > moraju korititi hierbolne funkcije : co( arcco( T ( za ch( Arcch( za > Za Chebyhevljeve olinome vrijedi lijedeća rekurzivna formula : T ( T ( T ( Korištenjem rekurzivne formule i oznavanjem rva dva olinoma T (i T ( lako e nalaze reotali: T ( T ( T ( 3 T3 ( 4 3 4 T4 ( 8 8 + 5 3 T ( 6 + 5 5 6 Chebyhevljevi olinomi Chebyhevljevi olinomi Svojtva Chebyhevljevih olinoma Polinomi Chebyheva T ( za do 5 T 3 (.5.5.5 -.5 4 5 3 Kvadrat olinoma, T ( za do 5 T (.5.5.5 5 3 4 T ( za -, T ( kada, T ( kada za arni, T ( kada za nearni, T ( je arna funkcija od za arni, odnono nearna za nearni, u intervalu - olinom T ( ima jednaku valovitot ektremima jednakim + odnono -. -..4.6.8. 6..4.6.8 6 63
Filter a Chebyhevljevom arokimacijom Chebyhev ti I arokimacija Chebyhev ti I arokimacija Amlitudno frekvencijka karakteritika normiranog filtra Chebyhevljevom arokimacijom dana je izrazom : H ( j + ε T ( Kontanta ε određuje izno valovitoti R u odručju rouštanja filtra: odnono R log( + ε, [db] ε R 64 do 4, c, valovitot u od. ro. R db H( j - - -3-4 -5-6.5.5.5 3 4 65 Područje rouštanja do 4, c, R db H( j -. 4 -.4 -.6 -.8 -..4.6.8 66 Svojtva Chebyhevljeve arokimacija Položaj olova Chebyhevljevog filtra Prijenona funkcija Chebyhevljevog filtra Svojtva filtra a Chebyhevljevom arokimacijom: nearan... H( j aran + ε... H( j + ε... H( j Amlitudno/frekv. karakteritika filtra je monotono adajuća oratom frekvencije od rema. H ( j ε T ( ε, za >> 67 Polovi funkcije H ( H (- u ravnini... nalaze e na elii a ch Arch ε b h Arch ε Polovi u lijevoj oluravnini riadaju rijenonoj funkciji filtra H (. - σ - b j a 4 ε.59 68 Parametri olova k i q k dobivaju e uarivanjem konjugirano komleknih arova kao: k k h ( φ + co π k co π + h ( φ q k k in π k.. / za aran..( / za ne. gdje je φ dan izrazom: φ + + ε Arch ln ε ε 69 Prijenona funkcija Chebyhevljevog filtra Chebyhev ti I arokimacija Primjer za 4 i c, R db (ε.59: Pol Re Pol Im q k k Faktori nazivnika -.33687 ±.4733.78455.5858 +.67374+.794 -.3954 ±.98338 3.5594.9933 +.797+.9865 4, c, valovitot u od. ro. R db, db i 3dB H( j - - Potuci arokimacije rijenonih 4. Chebyhevljeva arokimacija (Ti II -3-4 RdB 7-5 R3dB -6.5.5.5 3 7 7
Chebyhev ti II arokimacija do 4, c, valovitot u od. guš. R 4dB H( j 4 - - -3-4 -5 Potuci arokimacije rijenonih 5. Elitička (Cauer arokimacija Elitička (Cauer arokimacija 4, 6 i 8, c, R db, R 4dB H( j 4 - - 8-3 -4-5 -6.5.5.5 3 73 74-6.5.5.5 3 75 Elitička (Cauer arokimacija 4, 6 i 8, c, R db, R 4dB, odr. rouštanja H( j -. Literatura Prof. dr. even ijat, Prof. dr. Vladimir Čoić, Zavodka krita: Potuci arokimacije rijenonih, FER, ZESOI 993 8 -.4 -.6 -.8 4 -..4.6.8 76 77