Obsah Úvodné poznámky 5. Prirodzené jednotky:, c................. 5. Manipulácie s komutátormi.................... 7.3 Operátor hybnosti......................... 8.4 Manipulácie s faktoriálmi..................... 9.5 Viacnásobné sumy a integrály................... 9 Funkcie komplexnej premennej. Nieko ko dôleºitých integrálov.................... Komplexné derivácie a integrály...................3 Fourierova transformácia a δ funkcia............... 6.4 Funkcie gama Γ(z) a beta B(x, y)................. 5.5 Bernoulliho ísla.......................... 9.6 Riemannova ζ funkcia....................... 3.7 Bernoulliho polynómy....................... 35.8 Euler-Maclaurinova sumácia.................... 37.9 Výpo et Γ(z) a ζ(z) pomocou E-M rozvoja........... 4. Zhrnutie............................... 4 3 Sféricky symetrický potenciál 43 3. Sférické súradnice.......................... 43 3. Operátory momentu hybnosti................... 44 3.3 Sférické harmonické funkcie.................... 47 3.4 Rie²enie pre m......................... 49 3.5 Rie²enie pre ostatné m....................... 5 3.6 Legendreove polynómy....................... 53 3.7 Konkrétny tvar niektorých funkcií................ 55 3.8 Zhrnutie............................... 56
OBSAH 4 Vo ná astica 57 4. Kartézske a sférické súradnice................... 57 4. Sférické Besselove funkcie..................... 58 4.3 Sférické Neumannove funkcie................... 6 4.4 Sférické Hankelove funkcie..................... 6 4.5 Rozklad rovinnej vlny....................... 6 4.6 Zhrnutie............................... 65 5 Lineárny harmonický oscilátor 67 5. Mocninový rozvoj.......................... 67 5. Posuvné operátory......................... 68 5.3 Normalizácia............................ 69 5.4 Posuvné operátory........................ 7 5.5 Generujúca funkcia a koherentné stavy.............. 7 5.6 Zhrnutie............................... 7 6 Sférický harmonický oscilátor 73 6. Mocninový rozvoj.......................... 73 6. Posuvné operátory......................... 74 6.3 Normalizácia............................ 76 6.4 Posuvné operátory........................ 77 6.5 Zhrnutie............................... 78 7 Axiálne symetrický potenciál 79 7. Cylindrické súradnice........................ 79 7. Vo ná astica Besselove funkcie................. 8 7.3 Rozklad rovinnej vlny....................... 8 7.4 Asymptotický rozvoj Besselovej funkcie............. 83 7.5 Axiálny oscilátor mocninový rozvoj............... 85 7.6 Axiálny oscilátor posuvné operátory.............. 86 7.7 Sférický vs. axiálny a lineárny oscilátor.............. 88 7.8 Zhrnutie............................... 89 8 Atóm vodíka 9 8. Mocninový rozvoj.......................... 9 8. Posuvné operátory......................... 93 8.3 Normalizácia............................ 96 8.4 Spojitá as spektra........................ 98 8.5 Zhrnutie...............................
OBSAH 3 9 Diracova rovnica vo sférickom poli 3 9. Diracova rovnica.......................... 3 9. Moment hybnosti a operátor ˆK.................. 5 9.3 Spinorbitaly............................. 7 9.4 Radiálna Diracova rovnica..................... 9 9.5 Vo ná astica............................ 9.6 Atóm vodíka............................ 4 9.7 Normalizácia............................ 6 9.8 Zhrnutie............................... Skladanie momentov hybnosti. Clebsch-Gordanove koecienty................... Sférické vektory........................... 3.3 V²eobecný vzorec pre C-G koecienty.............. 6.4 Symetria C-G koecientov..................... 9.5 Skladanie 3 momentov hybnosti: 6j symbol........... 3.6 Skladanie 4 momentov hybnosti: 9j symbol........... 38.7 Vzorce pre 9j symbol s argumentmi, /............ 4 Tenzorové operátory 45. Ŷλµ a Wigner-Eckartova veta................... 45. Skalárny a vektorový sú in.................... 47.3 Rotácie a Wignerove funkcie D j m m (α, β, γ)........... 48.4 Súvislos Dm l a Y lm. Skladanie funkcií Y lm........... 53.5 Operátory ˆx µ, ˆp µ, ˆL µ, Ŝµ a diferenciály Y lm......... 57.6 Sférický rozklad δ 3 ( x x ) a / x x............. 6.7 Zhrnutie............................... 64
4 OBSAH
Kapitola Úvodné poznámky Táto kniha je zbierkou odvodení rozli ných vzorcov a ²peciálnych funkcií, ktoré sa pouºívajú v kvantovej mechanike, najmä pri rie²ení úloh vo sférickej symetrii. Samotná kvantová mechanika a jej interpretácia tu nie je podrobne diskutovaná. Pri výbere tém a odvodzovaných vzorcov som sa in²piroval najmä poznámkami prof. Jana Kvasila z Karlovej univerzity v Prahe a knihou Varshalovich, Moskalev, Khersonskii: Quantum Theory of Angular Momentum. Medzi al²ie zdroja patria Edwards: Riemann's Zeta Function u ζ funkcie a Euler-Maclaurinovho rozvoja, Sakurai: Modern Quantum Mechanics u koherentných stavov a Wignerových D funkcií (najmä odvodenie skladania funkcií Y lm ), a nakoniec Schi: Quantum Mechanics pri rie²ení Diracovej rovnice vo sférickom poli. Niektoré vzorce a zna enie sú vybrané aj s oh adom na pouºitie v kvantovej teórii po a (napr. Srednicki: Quantum Field Theory ).. Prirodzené jednotky:, c Sústava jednotiek SI denuje ako základné jednotky hmotnos, d ºku, as, teplotu, elektrický prúd, at. Vzh adom k preur enosti veli ín vystupujú vo fyzikálnych vzorcoch niektoré kon²tanty, ktoré je moºné eliminova spolu s príslu²nými nadbyto nými veli inami. Rýchlos svetla c 9979458 m s V ²peciálnej teórii relativity spájame niektoré veli iny do ²tvorvektorov ( µ {,,, 3}): as + poloha: x µ (ct, x) ( ) E energia + hybnos : p µ c, p ( ) ω uhlová frekvencia + vlnový vektor: k µ c, k 5
6 KAPITOLA. ÚVODNÉ POZNÁMKY hustota náboja + prúdu: j µ (cρ, j) ( ) φ elektrický + vektorový potenciál: A µ c, A energia alej súvisí s hmotnos ou: E mc Planckova kon²tanta h/π,54576 34 kg m s V kvantovej mechanike sa stotoºní ²tvorhybnos s vlnovým ²tvorvektorom: p µ k µ, t.j. E ω p k Vlnový vektor je reciproký k vektoru polohy, t. j. ich funkcie sa navzájom transformujú Fourierovou transformáciou (podobne aj ω t): ψ( k) d 3 x e i k x ψ( x) ψ( x) d 3 k e i k x ψ( (π) 3/ (π) k) 3/ ψ( p) (π ) 3/ d 3 x e i p x/ ψ( x) ψ( x) (π ) 3/ d 3 p e i p x/ ψ( p) Uvedené vz ahy vyjadrujú transformáciu vlnovej funkcie medzi tzv. X-reprezentáciou a P -reprezentáciou. Heaviside-Lorentzove jednotky v elektrodynamike Maxwellove rovnice v sústave SI a vz ahy pre elektrický a vektorový potenciál: E SI ρ SI ε ESI B SI t E SI φ SI A SI t B SI BSI j SI ε c + E SI c t B SI A SI Kvôli eliminácii permitivity vákua, ε /(c µ ) /(c 4π 7 N A ) 8,854878 kg m 3 s 4 A, zavediem jednotky: (cρ, j) (cρ, j) SI ε, E ε ESI, B BSI µ c ε BSI, (φ, A) ε (φ, c A) SI Maxwellove rovnice a príslu²né potenciály majú potom tvar: E ρ B E B c t B j c + E c t E φ A c t B A
.. MANIPULÁCIE S KOMUTÁTORMI 7 Elementárny náboj e (náboj elektrónu) moºno vyuºi spolu s a c na kon- ²trukciu bezrozmernej kon²tanty kon²tanty jemnej ²truktúry vyjadrujúcej silu elektromagnetickej interakcie: α e 4π c e SI 4πε c. 7,973557 3. 37,35999 V kvantovej mechanike je výhodné pracova s jednotkami, v ktorých a c. Je potom potrebné si zvoli jednu jednotku, ktorá zostane nezmenená (obvykle sa volí energia v ev, ev,6766 9 J) a ostatné jednotky vyjadrova pomocou nej. Ak by som do racionalizácie jednotiek zahrnul aj gravita nú kon²tantu, G 6,674 kg m 3 s, neostala by ºiadna vo ná jednotka a v²etky veli iny by sa vyjadrovali ako bezrozmerné násobky Planckovej hmotnosti, d ºky a asu. Kvôli nepresnosti ur enia G a kvôli neprítomnosti gravitácie v kvantovej mechanike sa to v²ak nerobí. Prevod medzi veli inami v kvantovej mechanike (zaloºenými na energii) a jednotkami SI moºno zapísa nasledovne (aº na prevod ev J): E QM E SI, m QM ( E) m SI c, p QM ( E) p SI c, x QM ( E ) x SI / c, t QM ( E ) t SI /, ψ( x QM ) ( c) d/ ψ( x SI ), c 97,3697 MeV.fm (.) Hmotnos budem alej zna i µ namiesto m, aby som predi²iel zámene s magnetickým kvantovým íslom (projekciou momentu hybnosti do z). Vo viazaných stavoch ju môºem priamo identikova s redukovanou hmotnos ou µ m m /(m + m ).. Manipulácie s komutátormi Komutátor [, ] a antikomutátor {, } sú denované: [Â, ˆB] Â ˆB ˆBÂ {Â, ˆB} Â ˆB + ˆBÂ Sú iny sa dajú rozpísa (metódou vezmem-vrátim): [Â ˆB, Ĉ] Â ˆBĈ ĈÂ ˆB Â ˆBĈ ÂĈ ˆB + ÂĈ ˆB ĈÂ ˆB [Â ˆB, Ĉ] Â[ ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ] ˆB Â{ ˆB, Ĉ} {Â, Ĉ} ˆB {Â ˆB, Ĉ} Â[ ˆB, Ĉ] + {Â, Ĉ} ˆB Â{ ˆB, Ĉ} [Â, Ĉ] ˆB (.)
8 KAPITOLA. ÚVODNÉ POZNÁMKY.3 Operátor hybnosti V klasickej mechanike je invariancia vo i posunutiu spojená so zákonom zachovania hybnosti. V kvantovej mechanike sa to prejaví tým, ºe operátor hybnosti generuje operáciu posunutia. Posun polohy o a (v jednom rozmere): x x + a Posun systému reprezentovaného vlnovou funkciou ψ: ( ψ(x ) ψ (x ) ψ(x a) ψ(x ) a ψ (x )+ a!... exp a d ) ψ(x) dx Posledný výraz je skráteným vyjadrením Taylorovho rozvoja. Denujem operátor hybnosti ˆp nasledovne (znamienko pri i je vecou konvencie): ψ(x a) exp( iaˆp)ψ(x) t. j. ˆp i d dx ˆp SI i d dx xx (.3) To, ºe pred operátorom ˆp je i, zaru uje, ºe operátor ˆp je hermitovský (a naopak, pomocou hermitovského  moºno zostroji unitárny Û eiâ, U U ). Pre deriváciu a vlnové funkcie v X-reprezentácii platí (predpokladám, ºe funkcie χ(x) a ψ(x) vymiznú v ± ): + χ (x) d dx ψ(x)dx [ χ (x)ψ(x) + ] + ( d dx χ(x) + ) ψ(x)dx dχ (x) dx ψ(x)dx hermitovské zdruºenie:  (ÂT ) α Âβ  α β ( ) d teda: d ( dx dx, ale i d ) i d lebo i i dx dx Operátor hybnosti je hermitovský: ˆp ˆp. Jeho komutátor s operátorom polohy: ( [ˆx, ˆp]f(x) x i d ) ( dx f(x) i d ) (xf(x)) if(x) dx [ˆx, ˆp] i [ˆx SI, ˆp SI ] i (.4) Hermitovské operátory majú reálne vlastné ísla: λ ψ ψ ψ Âψ Âψ ψ λ ψ ψ (.5) Ich vlastné stavy prislúchajúce rôznym vlastným íslam sú navzájom ortogonálne: Âψ ψ ψ Âψ (λ λ ) ψ ψ (.6)
.4. MANIPULÁCIE S FAKTORIÁLMI 9.4 Manipulácie s faktoriálmi Faktoriál je zvlá² uºito ný pri zápise lenov mocninových radov, je denovaný: n! 3 (n ) n n k alej sa denuje!. Pri rie²ení al²ích úloh budú funkcie asto denované mocninovým radom, napr.: f(x) a k x k k Na základe rekurentne zadaného vz ahu medzi za sebou nasledujúcimi koecientmi a k moºno nájs absolútne vyjadrenie, zostáva v²ak neur ená kon²tanta c: k a k+ (k + )a k a k k! c a k+ (n k)a k c a k (n k)! a k+ (k + )a k a k k k! c Pre skrátenie a zjednodu²enie al²ích výpo tov sa zavádza dvojitý faktoriál: (n + )!! 3 5 (n ) (n + ) n (k + ) k a k+ (k + )a k a k (k )!! c a k+ (n k + )a k c a k (n k + )!! Tento dvojitý faktoriál vºdy moºno zapísa pomocou oby ajného: (n + )!! (n + )! n n! (n )!! (n)! n n!.5 Viacnásobné sumy a integrály (.7) Viacnásobné sumy s navzájom závislými indexmi moºno prepisova nasledovne: n k k j n j,k j k n n j kj
KAPITOLA. ÚVODNÉ POZNÁMKY n k j k j i n i,j,k i j k n n n i ji kj Podobné vz ahy platia pre integrály (kde neskôr zanedbávam objemy niº²ej dimenzie v prípade, ºe napr. x x ): b a b a xn dx n dx n a x b dx dx dx dx a a;x x x a dx b a;x <x <...<x n d n x b a b a dx b dx b x dx x dx b x n dx n Ak integrovaná funkcia je symetrická vo i permutácii premenných (napr. je to kon²tantná funkcia), potom prezna ením premenných môºem zostroji integrály (ktoré vedú na rovnaký výsledok) cez asti intervalu (a, b) n, pre ktoré platí postupne: x < x < < x n ; x < x < x 3 < < x n ; x < x 3 < x < < x n... Tieto oblasti integrácie (ich po et je n!) sa navzájom neprekrývajú a ich zjednotením dostávam celý interval (a, b) n (so zanedbaním prípadov x i x j ). H adaný integrál je potom /n!-tinou z integrálu cez celý objem (a, b) n. Nazna eným spôsobom potom moºno h ada n-tú primitívnu funkciu (opak n-tej derivácie): b a dx n xn a x dx n... dx f(x ) a b a b f(x ) b b dx d n x (n )! x a a b b dx f(x ) dx... x dx n x n f(x) (b x) n dx (.8) (n )!
Kapitola Funkcie komplexnej premennej V tejto kapitole je odvodených nieko ko pokro ilej²ích matematických poznatkov, ktoré nie sú nevyhnutné pre pochopenie al²ích kapitol vä ²inou sta ia len integrály z prvej asti. Ostatné poznatky sa uplatnia v kvantovej teórii po a a pri niektorých numerických výpo toch.. Nieko ko dôleºitých integrálov Integrál z klesajúcej exponenciály je (aj pre komplexné a, kde R(a) > ) + e ax dx ] + [ e ax a a (.) Tento výsledok moºno alej roz²íri na exponenciálu vynásobenú polynómom integrovaním per partes. (fg) f g + fg a b a f (x)g(x)dx [ f(x)g(x) ] b b a f(x)g (x)dx e ax dx [ xe ax] + a xe ax dx Pokra ovaním tohto postupu pre vy²²ie mocniny x získam: xe ax dx a a x n e ax dx n! a n+ (.) Rovnaký výsledok sa dá získa derivovaním integrálu pod a parametra derivujem avú aj pravú stranu rovnice (.) pod a a. Substitúciou y x získam: n! a n+ y n e ay dy x n+ e ax dx
KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Integrál z Gaussovej funkcie si ozna ím x n+ e ax dx n! a n+ (.3) I(a) + e ax dx a získam ho trikom cez dvojrozmerný integrál a zmenou súradníc z kartézskych na polárne: x x x r cos ϕ r ϕ y r sin ϕ y y cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ r r ϕ I(a) + e a(x +y ) dxdy π dϕ + re ar dr π a Popri Gaussovej funkcii získam al²ie integrály derivovaním pod a a (alebo integrovaním per partes): + + e ax dx π a x n e ax dx (n )!! π n+ a n+ (n)! π n+ n!a n+. Komplexné derivácie a integrály (.4a) (.4b) Derivácia je denovaná f (z) df(z) dz f(z + z) f(z) lim z z (.5) Poºadujem, aby táto denícia bola jednozna ná aj pre komplexné z x + iy (x a y sú reálne, i ; budem zna i tieº x R(z), y I(z)). Musí teda plati : f (x + iy) df(x + iy) dx df(x + iy) idy (.6) Porovnaním reálnej a imaginárnej asti tejto rovnice získam Cauchy-Riemannove vz ahy pre reálne funkcie u(x, y) a v(x, y): f(x + iy) u(x, y) + iv(x, y)
.. KOMPLEXNÉ DERIVÁCIE A INTEGRÁLY 3 Pre deriváciu f (z) teda platí: u x v y v x u y f (x + iy) u x + i v x v y i u y (.7) Za predpokladu hladkosti funkcií u a v platia Cauchy-Riemannove vz ahy aj pre funkciu f (z) (a indukciou aj pre al²ie derivácie), pretoºe derivovaním (.7) získam u x v x y u y v x u x y v y Funkcia sp ajúca Cauchy-Riemannove podmienky (.7) sa nazýva analytická (holomorfná). Vä ²ina beºných spojitých funkcií neobsahujúcich komplexné zdruºenie (polynómy, racionálne lomené funkcie, exponenciála, logaritmus, goniometrické funkcie) je analytických na vä ²ine komplexnej roviny, môºu v²ak obsahova isté patologické oblasti, napríklad bodové singularity, a to najmä jednoduché ( iºe póly, typu /z), alebo vy²²ieho stup a (/z n ), alebo podstatné singularity (nekone ného stup a, napr. e /z v z ), alebo vetviace body ( z alebo ln z v z, tieto si rozoberiem neskôr). Na základe existencie v²etkých derivácií v bode z, kde je funkcia f(z) analytická, ju môºem rozvinú do Taylorovho radu (pretoºe n-tá derivácia avej aj pravej strany v bode z sa rovnajú): f(z) f(z ) + f (z )(z z ) + f (z ) (z z ) +...! n f (n) (z ) (z z ) n n! (.8) Taylorov rozvoj konverguje v kruhovej oblasti okolo bodu z, ktorej hranica je ur ená najbliº²ou singularitou. Dá sa to ilustrova na funkcii ln( + z) (logaritmická singularita v z ) a arctg z: darctg x dx dln( + x) dx + x ln( + z) ( ) dtg ϕ dϕ + x ϕarctg x ( + ix + ix d n ln( + x) dx n ( )n (n )! ( + x) n ( ) n z n z < (.9) n n ( cos ϕ + sin ) ϕ cos ϕ + tg ϕ + x ) d n dx n ± ix ( i)n n! ( ± ix) n+
4 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ arctg z z z3 3 + z5 5... ( ) n n + zn+ z < (.) n Hoci je funkcia arctg z dobre denovaná pre v²etky reálne ísla, má logaritmické singularity v bodoch ±i (pretoºe jej derivácia má v týchto bodoch póly), a preto jej Taylorov rad konverguje len pre z <. Taylorov rad vhodný na vy íslenie logaritmu na celej kladnej reálnej osi sa dá získa rozvojom funkcie f(t) ln + t + t ln( + t) ln( t) z t t f (t) + t + t ln z n t z z + ( ) ( ) f (n) n (t) (n )! ( + t) n + ( t) n ( ) n+ z R(z) > (.) n + z + Hoci Taylorov rad konverguje len na ur itom kruhu, dá sa zostavi iný Taylorov rad okolo iného bodu (patriaceho do pôvodného kruhu), pri om derivácie sa dajú vyhodnoti pomocou pôvodného rozvoja. Kruh konvergencie tohto nového Taylorovho radu môºe potom zasahova aj do oblasti, v ktorej pôvodný rad nekonvergoval (tento postup sa volá analytické pred ºenie). Do²lo teda k resumácii divergentného radu a ukázalo sa, ºe mu moºno priradi kone ný výsledok, teda pôvodný Taylorov rad moºno v istom zmysle stále povaºova za ekvivalentný danej funkcii, aº na to, ºe formálne nekonverguje mimo kruhu konvergencie (nie o podobné sa neskôr prejaví aj pri vy ís ovaní Riemanovej ζ funkcie). Ak ale popisujem funkciu s logaritmickou singularitou alebo iným vetviacim bodom, jeho obchádzaním z oboch strán získam odli²ný výsledok pre dané z, pôjde teda o viaczna nú funkciu, u ktorej treba jasne denova spôsob vo by jej hodnoty. Viazna nos logaritmu vidno z rovnosti e x+iy e x (cos y + i sin y) e x+i(y+π) (.) Platnos prvej rovnosti sa dá ukáza jej opakovaným derivovaním pod a y a jej vyhodnotením v y. K hodnote logaritmu teda moºno pripo íta ubovo ný celo íselný násobok πi a stále pôjde o inverznú funkciu k exponenciále. Zvy- ajne sa volí obor hodnôt tak, aby y ( π, π). Exponenciála sa pri derivovaní nemení, a preto jej Taylorov rozvoj je e z + z + z! + z3 3! +... n z n ( n! lim + x ) N (.3) N N
.. KOMPLEXNÉ DERIVÁCIE A INTEGRÁLY 5 Výraz vpravo tieº v limite vyhovuje podmienke o nemennosti pri derivovaní. Z rovnosti Taylorovho a binomického rozvoja vyplýva lim N N! (N n)!n n (.4) Funkciu s n-násobnou singularitou v z je moºné rozvinú priamo v tomto bode na tzv. Laurentov rozvoj: f(z) a k (z z ) k d n+k [ a k (z z (n + k)! dz n+k ) n f(z) ] (.5) zz k n ƒasto je potrebné ur i koecient a, ktorý sa nazýva reziduum a ozna uje sa Rez zz f(z). Pri výpo te rezidua si treba da pozor na zmenu znamienka v závislosti od spôsobu dosadzovania (dochádza totiº k zmene znamienok koecientov v Laurentovom rozvoji): Rez f(z) Rez f( z) (.6) zz z z Pri výpo toch sa naj astej²ie vyskytujú funkcie s pólmi (n ). Ak sa takáto funkcia dá rozdeli na podiel funkcií g(z) a h(z), kde g(z ) je kone né a h(z ), potom sa reziduum vypo íta takto: f(z) g(z) h(z) a Rez zz f(z) g(z ) h (z ) (.7) Z funkcie h(z) sa totiº pod a predpokladu o -násobnosti singularity dá vydeli (z z ): h(z) (z z ) h(z) h (z) h(z) + (z z ) h (z) h (z ) h(z ) g(z) f(z) (z z ) h(z) ( ) g(z ) z z h(z ) + O(z z ) V prípade integrovania analytických funkcií je k dispozícii dvojrozmerná komplexná rovina, a preto má zmysel uvaºova o integrovaní po uzavretých krivkách. Ak integrujem v protismere hodinových ru i iek po krivke, ktorú si parametrizujem ako z(t) x(t)+iy(t), a ktorá je hranicou oblasti S, na ktorej je funkcia f(z) analytická (t.j. bez singularít), môºem si integrál rozloºi na reálnu a imaginárnu as, potom pouºi Stokesovu vetu S v d l S ( v) ds a nakoniec Cauchy-Riemannove vz ahy (.7) dajú nulu: [ ] [ ] f(z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy S S S ( v x u y ) dxdy + i S S ( u x v y ) dxdy
6 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Teda integrál z analytickej funkcie po uzavretej krivke, ktorá uzatvára plochu neobsahujúcu ºiadnu singularitu, je nulový (Cauchyho veta): f(z)dz (ak f(x) nemá singularity na S) (.8) S Ak táto plocha obsahuje vetviaci bod, krivka sa nedá dobre uzavrie, preto tento prípad alej neuvaºujem. Ak obsahuje n-násobnú singularitu, môºem integra nú krivku deformova na kruºnicu so stredom v singularite (deformácia krivky nemení hodnotu integrálu v aka (.8)): z z + re iϕ dz ire iϕ dϕ Integrovanú funkciu v tejto singularite potom rozviniem do Laurentovho radu: f(z)dz k π a k ir k+ e i(k+)ϕ dϕ a πi K integrálu teda prispieva len reziduum v danej singularite. Ak krivka uzatvára viacero singularít, môºem si ou uzatvorenú plochu rozdeli na asti obsahujúce po jednej singularite sú et kriviek na ich hraniciach dáva pôvodnú krivku tieto krivky potom deformujem na kruºnice a integrály vyhodnotím pod a vy²²ie uvedeného postupu. Výsledok moºno vyjadri vo forme sú tu cez singularity z i (reziduová veta): f(z)dz πi Rez f(z) (.9) zz i z i S S Ak je funkcia na celej danej oblasti analytická, môºem si pól vyrobi umelo: f(z) dz πif(z ) (.) z z S.3 Fourierova transformácia a δ funkcia Fourierova transformácia má v kvantovej mechanike ve ký význam vyjadruje vz ah medzi funkciami závislými na ase a na frekvencii, prípadne medzi vlnovými funkciami v X- a P -reprezentácii. Najprv sa v²ak pozriem na Fourierove rozvoje, ktoré rozkladajú periodickú funkciu ako sú et sínusov a kosínusov. Periodickej funkcii je týmto priradená mnoºina ísel (amplitúdy jednotlivých harmonických módov). Diskrétnou Fourierovou transformáciou, ktorá pracuje s mnoºinou ísel v asovej aj frekven nej doméne, sa tu nebudem zaobera, hoci má ve ký význam v digitálnom spracovaní dát.
.3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA 7 Reálnu funkciu s periódou π moºno rozvinú : f(x) a + a k cos kx + b k sin kx f(x + π) k k (.a) π π π a f(x)dx a k f(x) cos kx dx b k f(x) sin kx dx π π π (.b) Na ur enie koecientov a k, b k som pouºil ortogonalitu sínusu a kosínusu, ktorú si odvodím pomocou sú tových vzorcov: e i(a±b) e ia e ±ib cos(a ± b) + i sin(a ± b) (cos a + i sin a)(cos b ± i sin b) cos(a ± b) cos a cos b sin a sin b sin(a ± b) sin a cos b ± cos a sin b cos a cos b [ ] cos(a + b) + cos(a b) sin a cos b [ ] sin(a + b) + sin(a b) sin a sin b [ ] cos(a b) cos(a + b) (.) (.3) π π π π cos mx cos nx dx [ ] cos(m + n)x + cos(m n)x dx [ ] π sin(m + n)x sin(m n)x + (pre m n) m + n m n π (pre m n) sin mx cos nx dx π π [ sin(m + n)x + sin(m n)x ] dx sin mx sin nx dx [ ] cos(m n)x cos(m + n)x dx [ sin(m n)x m n π (pre m n) ] π sin(m + n)x (pre m n) m + n Pre normu funkcie f(x) platí Parsevalova rovnos, ktorá vyplýva z (.a) a ortogonality: π f(x) dx πa + π a k + π b k (.4) k k
8 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Obd ºnikový pulz Fourierov rozvoj Fourierov rozvoj si ilustrujem na príklade funkcie { pre x ( π/ + kπ, π/ + kπ) f(x) inak f(x) a a k π π π π x k V aka periodicite si môºem integra ný interval posunú z (, π) na ( π, π). a π a k+ π π π π/ f(x)dx π/ π π/ cos(k + )x dx π dx b k a k π/ [ ] π/ sin(k + )x ( )k k + π(k + ) π/ alej ukáºem, ako sa Fourierov rozvoj zmení pri roz²írení periódy na 4π. f(x) a + a k/ cos kx + b k/ sin kx k k a 4π 4π f(x)dx a k/ π 4π f(x) cos kx dx b k/ π 4π f(x) sin kx dx Funkciu zvolím podobne (len pulzy budú navzájom vzdialenej²ie): { pre x ( π/ + 4kπ, π/ + 4kπ) f(x) inak f(x) a a k π π π π x k
.3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA 9 a π/ 4π π/ dx 4 a (4k+)/ π/ cos π π/ (4k + )x dx π b k a 4k/ ( )k a (4k+3)/ ( )k π(4k + ) π(4k + 3) a (4k+)/ [ ] π/ sin(k + )x ( )k π k + π(k + ) π/ [ ] π/ sin(4k + )x/ (4k + )/ π/ Fourierov rozvoj roz²írim na komplexné funkcie (premenná x zostáva reálna): f(x) c k π cos kx eikx + e ikx π k sin kx eikx e ikx i c k e ikx c a c ±k a k ib k f(x)e ikx dx π f(x) dx π k (.5) (.6) c k (.7) Pomocou prechodu k spojitej frekven nej doméne môºem odstráni podmienku periodicity. Priama a spätná Fourierova transformácia je potom: f(k) π + f(x)e ikx dx f(x) + f(k)e ikx dk (.8) Zatia som nedokázal správnos faktorov pred integrálmi, tá sa potvrdí v al²ích príkladoch. V zásade platí, ºe pri pouºití e ±ikx má ma sú in predintegrálnych faktorov hodnotu /π (symetrickej²ia vo ba by teda bola da pred oba integrály /π). V prípade integrovania s e ±πikx sú predintegrálne faktory jednotkové. Pred uvedením príkladov popí²em najprv operáciu, nazvanú konvolúcia, ktorá má ²iroké uplatnenie v spracovaní signálov a pri interpretácii experimentálnych dát. Ide o to, ºe neporu²ený signál f(x) (napr. elektrické napätie, energetické spektrum, difrak ný záznam) sa vplyvom ved aj²ích okolností (parazitné kapacity, kone ná doba ºivota, kone ná ve kos kry²tálu) rozmaºe, pri om tento vplyv sa popí²e funkciou g(x) ide o odozvu systému na nekone ne ostrý pík (delta funkciu, teda f(x) δ(x)). Výsledný signál je (f g)(x) + f(x y)g(y)dy (.9)
KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Jeho Fourierova transformácia je (s pouºitím substitúcie x x y) (f g)(x)e ikx dx f(x y)e ik(x y) g(y)e iky dx dy π π f(x )e ikx dx g(y)e iky dy π π f(k) g(k) (.3) Fourierova transformácia teda zmenila konvolúciu na sú in. V praxi teda rozmazanie signálu znamená utlmenie vysokofrekven nej zloºky f(k). Totiº ím je ²ir²í pík funkcie g(x) (vä ²ie rozmazanie), tým rýchlej²ie k nule klesá funkcia g(k) to bude vidno na nasledujúcich príkladoch. Podobne mení Fourierova transformácia sú in na konvolúciu (treba si len da pozor na íselný faktor, ktorý závisí od faktorov zvolených v priamej a spätnej Fourierovej transformácii). Klesajúca exponenciála a Lorentzova funkcia Klesajúcu exponenciálu najprv symetricky doplním na zápornej osi, aby výsledkom transformácie bola reálna funkcia. Klesajúca exponenciála v ase zodpovedá spontánnej deexcitácii vzbudeného stavu, a preto spektrálny pík má tvar Lorentzovej krivky (niº²ie uvedená ako f(k)). f(x) e a x f(k) a/π a + k 3 a a a a a 3 a x 3a a a a a 3a k f(x) e a x f(k) + [ e e a x ikx (a ik)x dx π π(a ik) ( π a ik + ) a a + ik π(a + k ) f(x) + f(k)e ikx dk + ] ae ikx π(a + k ) dk [ ] e (a+ik)x + + π(a + ik) (.3a) (.3b) Pri spätnej transformácii budem integrova pod a obrázka po hornej polrovine pre x > a pouºijem (.9) (pre x < treba pouºi dolnú polrovinu).
.3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA I(z) I exp(izx) a + z x > ia ia I R R(z) x < + + e ikx a + k dk lim I πi Rez R zia x> πi e ax ia lim lebo I e ikx a + k dk πi Rez x< z ia π e izx R π xr sin ϕ a + z lim R I exp(ixre iϕ ) a + R e iϕ ireiϕ dϕ πe ax a e R a Rdϕ e izx a + z πeax a Popri potvrdení spätnej transformácie som získal integrál + e ibx + a + x dx cos bx a + x dx π a e a b (.3) Po aplikácii priamej a spätnej Fourierovej transformácie teda dostanem pôvodnú funkciu, a preto ich môºem pouºi na získanie vzorca pre δ-funkciu (takto denovaná δ-funkcia je vhodná len na konvolúciu so spojitými funkciami, ktoré v nekone ne idú do nuly): f(x ) π + dk + δ(x x ) π Deni ná vlastnos δ-funkcie je f(x ) f(x)e ik(x x) dx + + + f(x)δ(x x )dx e ik(x x) dk (.33) f(x)δ(x x )dx (.34) Z toho sa dá o akáva, ºe je to párna funkcia, pribliºne nulová pre x, v bode x ide jej hodnota do nekone na, ale tak, aby jej integrál bol rovný (vidno
KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ to dosadením kon²tantnej funkcie f(x) ). Funkciu f(k) z predchádzajúceho odstavca je tieº moºné pouºi ako delta funkciu v limite a + : a δ(x) lim a + π(a + x ) (.35) Splnenie (.34) vyplýva z toho, ºe konvolúcia s touto funkciou zodpovedá vynásobeniu frekven nej domény kon²tantnou funkciou: lim e a k a + Na základe (.8) a (.33) odvodím Parsevalovu rovnos (faktor π je daný vo bou faktora /π pred Fourierovou transformáciou, v prípade vo by /π dostanem jednotku): + f(x) dx π + f(k) f (k )e i(k k )x dk dk dx f(k) dk (.36) Gaussova funkcia Gaussova funkcia je ²peciálna v tom, ºe transformáciou sa získa opä Gaussova funkcia. f(x) e ax f(k) e k 4a (.37) 4πa f(x) e x e az I(z) ik a I I 3 f(k) π I 3,4 + k/a e ax ikx dx π x + I 4 ik a(x+ e a ) k I R e k 4a 4a dx π R(z) k/a e a(±r+iy) idy ie ar e ay iary dy I I + I 3 I 4 π a + lim R I Pri tom som vyuºil nulovos uzavretého integrálu (.8) a integrál Gaussovej funkcie (.4).
.3. FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA A δ FUNKCIA 3 Obd ºnikový pulz (neperiodický), sin x x f(x) f(k) a/π sin ak πk a a x π a π a 3π a 4π a k { pre x ( a, a) f(x) pre x / ( a, a) f(k) a [ e e ikx ikx dx π πik a Spätná Fourierova transformácia: f(x) + f(k)e ikx dk ] a a + eika e ika πik sin ak πk e ik(x+a) e ik(x a) dk πik (.38a) (.38b) Integrály cez exponenciály vyhodnotím jednotlivo pomocou krivkových integrálov s vyuºitím (.8). Pre kladnú kon²tantu v exponente pouºijem integra nú krivku v hornej polrovine, pre zápornú pouºijem krivku v dolnej polrovine alebo substitúciu k k: I(z) I 4 e iaz z I I I 3 ε R a > R(z) a < + e ika k dk lim (I + I 3 ) lim (I + I 4 ) I i I 4 ε R π π π ε R π exp(iaεe iϕ ) εe iϕ iεe iϕ dϕ i exp(iaεe iϕ )dϕ [ + iaεe iϕ + O(ε ) ] dϕ iπ exp(iare iϕ ) Re iϕ ire iϕ dϕ π ie ar sin ϕ+iar cos ϕ dϕ
4 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ I 4 π e ar sin ϕ dϕ < π/ + e ika e arϕ π k dk Teraz môºem dokon i spätnú transformáciu: f(x) [ e arϕ π dϕ ar/π ] π/ { iπ pre a > iπ pre a < { iπ+iπ πi pre x < a iπ+iπ πi pre x ( a, a) iπ iπ πi pre x > a Popritom som získal aj hodnotu integrálu (ako f()) + π(e ar ) ar (.39) sin ax dx π (.4) x Pomocou Parsevalovej rovnosti (.36) získam z (.38) al²í integrál, ktorý sa vyskytuje v asovej poruchovej teórii: + sin ax x a π dx πa (.4) π a Tento integrál si pre ilustráciu vypo ítam aj pomocou Cauchyho vety. sin ax x (eiax e iax ) 4x eiax e iax 4x R eiax x Funkciu, ktorú som dostal, budem integrova po krivke z predchádzajúcej strany (v hornej polrovine): I I I 4 ε R π π e iax R e iax x dx ε x dx I 3 exp(iaεe iϕ ) ε e iϕ iεe iϕ dϕ π exp(iare iϕ ) R e iϕ ire iϕ dϕ I 4 Z toho nakoniec získam o akávaný výsledok: + sin ax + sin ax x x lim ε + R + R aεe iϕ + O(ε ) εe iϕ dϕ a π ε + e R e iax x dx π ar sin ϕ dϕ πa dϕ (I + I 3 ) lim (I + I 4 ) πa ε + R +
.4. FUNKCIE GAMA Γ(Z) A BETA B(X, Y ) 5.4 Funkcie gama Γ(z) a beta B(x, y) 4 3 Γ(x) 3 3 x Funkcia gama je roz²írením faktoriálu (denovaného na celých íslach) na reálne a neskôr na komplexné ísla. Pri denícii sa ale premenná posúva o jednotku: Γ(n) (n )! Γ(n + ) n! (.4) Roz²írenie na komplexné ísla (zatia pre R(z) > ) vykonám pomocou vzorca (.). al²ie vzorce získam rôznymi substitúciami: Γ(z) t z e t dt t ax dt adx az x z e ax dx (.43a) t ln x dt dx ( ln x) z dx (.43b) x t ax dt axdx az x z e ax dx (.43c) Vzorec (.43c) umoº uje v kombinácii s (.4) vyjadri gama funkciu v polo íselných argumentoch: ( ) Γ a e ax dx π (.44a) ( Γ n + ) (n )!! (n)! π π (.44b) n n n! Pomocou (.4) a (.43c) ur ím povrch S n a objem V n jednotkovej n-rozmernej gule: ( ) n/ ( π + n e dx) ax a e ar S n r n dr S nγ(n/) a n/
6 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ S n πn/ Γ(n/) V n S n r n dr π n/ Γ(n/ + ) (.45) Deriváciou (.43a) pod a a získam funkcionálnu rovnicu pre gama funkciu: Γ(z) a z x z e ax dx a zγ(z) Γ(z + ) (.46) Jej opakovaným pouºitím sa získa analytické pred ºenie Γ(z) do R(z) < (neskôr odvodím vzorec (.56) umoº ujúci pred ºenie z z v jedinom kroku). Ukazuje sa, ºe gama funkcia má v záporných celých íslach póly, ktorých reziduum je: Γ(z) Γ(z + n + ) z(z + ) (z + n) ( )n Rez Γ(z) z n n! V uvedenej rovnici po²lem n do nekone na a dosadím (.4) a (.4): Γ(z + ) (N + z)! (z + )(z + ) (z + N) lim N N lim N N z n N!N z (z + )(z + ) (z + N) (.47) ( + z n) (.48) Takéto pouºitie vzorcov platiacich pre faktoriál aj pre necelo íselné argumenty predpokladá ur itú hladkos gama funkcie. Rigoróznej²í postup by asi zah al odvodenie (.4) pomocou Stirlingovho vzorca (.54), ktorého odvodenie nezah a predpoklad o celo íselnosti. al²ím cie om bude odvodenie Taylorovho rozvoja gama funkcie (presnej²ie jej logaritmu), ktorý sa zíde najmä pri malých hodnotách z. Vzorec (.48) preusporiadam tak, aby jednotlivé leny boli v limite kone né, a tým umoºním prepis vo forme nekone ného sú inu: [ ( N )] Γ(z + ) lim exp N e z/n z ln N N n + z e γz e z/n n n + z (.49) n n n Denoval som Euler-Mascheroniho kon²tantu γ, ktorá sa dá ahko vy ísli pomocou Euler-Maclaurinovej sumácie, ktorá bude odvodená neskôr (.88). ( N ) γ lim N n ln N Γ ().,57756649 (.5) n Vzorec (.49) zlogaritmujem a logaritmy rozviniem pomocou (.9): [ ( z ln Γ(z + ) γz + n ln + z )] [ ( γz + z ) k ] n k n n n k
.4. FUNKCIE GAMA Γ(Z) A BETA B(X, Y ) 7 Nakoniec vyuºijem deníciu Riemannovej ζ funkcie ζ(z) n n z (.64): ζ(k) ln Γ(z + ) γz + k ( z)k z < (.5) k V kvantovej teórii po a je potrebné analyticky aproximova gama funkciu v okolí jej pólov na zápornej reálnej osi. Príslu²ný vzorec získam úpravou (.47): Γ(z + ) ( ) n n ( Γ( n + z) z ) z n! k [ k n ( ( )n exp ln Γ(z + ) ln z )] (.5) n!z k Funkcie v exponente sa dajú jednoducho rozloºi do Taylorových radov pomocou (.9) a (.5), výsledok sa dosadí do Taylorovho radu pre exponenciálu (.3), z neho potom vä ²inou sta í nieko ko prvých mocnín z (u vy²²ích mocnín rýchlo stúpa náro nos ich výpo tu). Na pribliºné vy íslenie Γ(z) pre ve ké z sa nepouºíva Taylorov rad, ale Stirlingov vzorec, ktorý neskôr spresním pomocou Euler-Maclaurinovho rozvoja. Pri odvodení pouºijem aproximáciu sedlového bodu (pozri tieº (7.4)): + + e f(x) dx e f(x) e f (x )(x x ) / dx e f(x) π f (x ) (.53) Pri tom sa pouºíva predpoklad, ºe funkcia v exponente má globálne minimum v x (teda f (x ) ). Za neprítomnosti iných miním s blízkou funk nou hodnotou teda do integrálu prispieva len blízke okolie x, a preto som funkciu f(x) v tomto okolí rozloºil do Taylorovho radu, z ktorého beriem len prvé tri leny (z toho druhý je nulový). V prípade integrálu (.43a) pre Γ(z + ) platí: k f(x) ax z ln x f (x) a z x x z a f (x ) z x a z+ x z e ax dx a z+ e ax+z ln x dx a z+ e z ln z πz a z a z Γ(z + ) z z e z πz (Stirlingov vzorec) (.54) Beta funkcia je funkcia dvoch komplexných premenných a získam ju úpravou sú inu dvoch gama funkcií: u tz v t( z) e u v u x v y dudv (u,v) (t,z) z t z t t e t t x+y dt a z x ( z) y dz
8 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Prvý integrál na pravej strane zodpovedá gama funkcii, preto ho môºem vydeli, ím získam beta funkciu. Jej al²ie integrálne vyjadrenia získam príslu²nými substitúciami: B(x, y) Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) z x ( z) y dz (.55a) z +t dz dt t y x+y dt (.55b) (+t) ( + t) z sin ϕ π/ dz cos ϕ sin ϕ dϕ sin x ϕ cos y ϕ dϕ (.55c) Na základe (.55b) odvodím dôleºitý zrkadliaci vzorec pre gama funkciu. Integrál ozna ený I vyhodnotím pre R(z) (, ) pod a krivkového integrálu na obrázku. Γ( z)γ(z) t z + t dt t ex + dt e x dx e zx + e x dx I e zx + e x R(z) (, ) I(x) πi Ie πzi iπ I R R(x) I Ie πzi e zx πieiπz πi Rez xiπ + e x e iπ πieiπz Γ(z)Γ( z) π (.56) sin πz Hoci bol vzorec odvodený pre R(z) (, ), platí v celej komplexnej rovine v aka analytickému pred ºeniu (nevyskytujú sa vetviace body), ale môºem to ukáza aj explicitne: funkcia vpravo je periodická s periódou + zmenou znamienka. Funkcia v avo je tieº periodická: Γ(z)Γ( z) zγ(z)γ( z) Γ(z + )Γ( z) Tak isto avá aj pravá strana majú póly v celých íslach z n s reziduom ( ) n. Zo zrkadliaceho vzorca tieº vyplýva Γ(z) pre z C (.57) lebo sin πz nemá pod a (.5) ºiadne singularity a Γ(n) je pre kladné celé n nenulové.
.5. BERNOULLIHO ƒísla 9 alej odvodím duplika ný vzorec pre gama funkciu, ktorý bude výsledkom vyhodnocovania B(z, /) (pre R(z) > ) pod a (.55a): Γ(z)Γ( ) Γ(z + ) x z x t dx dx/ / x 4dt x x 4t 4t 4 z [t( t)] z dt z [t( t)] z z Γ(z)Γ(z) dt Γ(z) ( z Γ(z)Γ z + ) ( ) Γ(z)Γ π Γ(z) (.58).5 Bernoulliho ísla V al²ích astiach budem potrebova tzv. Bernoulliho ísla, ktoré sa objavujú pri rie²ení zdanlivo nesúvisiaceho problému h adanie vzorca pre n k kp, kde p je celé íslo, napríklad: k + + 3 +... + n n(n + ) + + 3 +... + n n3 3 + n + n 6 Vidie teda, ºe sú et p-tých mocnín sa dá vyjadri ako polynóm (p+). stup a. Úlohou je nájs koecienty tohto polynómu. Budem vychádza z geometrického radu exponenciál e kx, z ktorých získam príslu²né k p derivovaním. Po vys ítaní vznikne podiel dvoch nulových výrazov, ktoré si rozdelím tak, aby som predi²iel vzniku singularity. Nakoniec rozviniem exponenciálu v itateli do Taylorovho radu a pouºijem binomickú vetu pre p-tú deriváciu. n n k p dp dx p e kx k k x dp dx p ex enx e x dp e nx x dx p e x x dp e nx x p p! n p k+ dx p x e x x k!(p k)! p k + d k x dx k e x k x p p!b k k!(p k + )! np k+ (.59) Denoval som Bernoulliho ísla B k : B k dk x dx k e x x x e x k B k k! xk (.6)
3 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Ak do uvedeného Taylorovho rozvoja dosadím x a od ítam ho od toho pôvodného, zistím, ºe nepárne Bernoulliho ísla (okrem B ) sú nulové: x e x xe x e x k ( ) k B k x k x k! k B k [ ( ) k ] x k k! B B k+ k N (.6) Rekurentný vzorec pre Bernoulliho ísla získam najjednoduch²ie dosadením n do (.59), potom p n: n k n!b k k!(n k + )! Nieko ko prvých Bernoulliho ísel je: k n n! B n k!(n k + )! B k (.6) B B B B 4 B 6 B 8 B 5 6 3 4 3 66 B 69 B 4 7 B 6 367 B 8 43867 B 746 73 6 5 798 33 B 85453 B 4 363649 B 6 85533 B 8 3749469 38 73 6 87 Rekurentný vzorec v trochu inom tvare získam pri dôkaze vzorca (.59) matematickou indukciou typu n k kp n p n k kp : p p!b k n p k+ p k!(p k+)! p!b k (n ) p k+ np k!(p k + )! k p k p k+ p j p+ k k k p k k k k p!( ) j B k n p k j+ k!j!(p k j + )! p k + (k p + ) k k p!( ) k k B k n p k + p k!(k k)!(p k + )! + subst.: j + k k k p k p!( ) p k+ B k k!(p k + )! Porovnám koecienty pri jednotlivých mocninách n. Z nulovosti koecientu pri n (posledná suma) vyplýva: B p p k p!( ) p k+ k!(p k + )! B k (.63)
.6. RIEMANNOVA ζ FUNKCIA 3 Pre leny pri n p+ a n p platí: k : B p + B p + k : B B + B Rovnos u ostatných mocnín sa overí priamo iaro pomocou vzorca (.63): B k k! k k ( ) k k B k k!(k k)!.6 Riemannova ζ funkcia (k p + ) ζ(x) 6 4 8 6 4 4 6 x Riemannova dzeta funkcia je denovaná ako sú et prevrátených mocnín prirodzených ísel (tento rad v beºnom zmysle dobre konverguje len pre R(z) > ). Rozkladom prirodzených ísel na prvo ísla p (ten je jednozna ný), ich vybratím pred zátvorku a vys ítaním geometrických radov získam vyjadrenie vo forme nekone ného sú inu: ζ(z) n prvo ísla n z p ( + p z + ) p z +... prvo ísla p ( p) (.64) Takto denované ζ(z) sa dá jednozna ne analyticky pred ºi na zvy²ok komplexnej roviny. Kvôli tomu prejdem od sumy k integrálnemu vyjadreniu s vyu- ºitím (.43a), kde dosadím a n: n n z Γ(z) x z ( n ) e nx dx Γ(z) Z toho získam vyjadrenie, ktoré platí zatia len pre R(z) > : ζ(z) Γ(z) x z e x dx e x x z e x dx (.65)
3 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ V komplexnej rovine budem skúma integrál: x z e x dx I εe +iπ + I εe iπ I(x) nπi 4πi πi I πi 4πi I n R(x) x re iϕ dx x idϕ ϕ ( π, π) nπi Integrály I + a I uvaºujem tak, ºe oba leºia na zápornej reálnej osi od do ε (limitne idúceho do nuly). Ke ºe v²ak x je vetviaci bod pre x z (nazna ený krúºkom; okrem prípadov, ke z je reálne celé íslo), neintegrujú sa rovnaké funk né hodnoty, ale iné poschodie viaczna nej funkcie, ako je to nazna ené na obrázku (lí²iace sa o e π(z )i ). Ich vz ah je jednozna ne daný spojitým napojením pomocou I a I n. I + I + r z e iπ(z ) + e r ( dr) e iπz x z + e x dx + + + I lim ε +π r z e iπ(z ) + e r ( dr) e iπz e x dx π ε z e izϕ idϕ exp( εe iϕ ) i lim ε x z + +π π Pre R(z) > tak pod a (.65) a (.56) platí: ε z e izϕ dϕ εe iϕ + O(ε ) pre R(z) > ζ(z) I + I + I + Γ( z) x z (e iπz e iπz )Γ(z) πi e x dx (.66) kde som zaviedol ozna enie pre sú et I + I + I +, ktorý predstavuje integrál so spojitou dráhou od, obchádzajúci nulu v kladnom smere a kon iaci znova v. Uvedená integra ná krivka sa dá bez zmeny výsledku deformova, napríklad zvä ²ením ε (av²ak bez prekro enia singularity, teda len do π), ím sa stanú v²etky asti integrálu kone né pre v²etky komplexné z. Tým som získal vzorec pre ζ(z) platný pre v²etky z. Problém môºe nasta len pri jeho pouºití na kladné celé ísla (okrem ), kde je integrál nulový a
.6. RIEMANNOVA ζ FUNKCIA 33 Γ( z) má pól výraz (.66) má vtedy odstránite nú singularitu (t.j. má dobre denovanú limitu v z n). Najprv ma budú zaujíma hodnoty ζ( n), kde n je nezáporné celé íslo. V tom prípade nie je v x vetviaci bod, len singularita. Preto I + I + a pod a (.6) platí: I ε x z e x dx k ε B k k! xz+k dx Do integrálu prispeje pod a reziduovej vety (.9) len k z + : ζ( n) Γ( + n) πi B n+ πi (n + )! B n+ n + (.67) ζ() ζ( ) ζ( ) ζ( 3) ζ( 4) Uvedený postup moºno pouºi e²te pri ζ(), kde integrál je nenulový, ale gama funkcia má pól, teda aj ζ() má pól: Rez ζ(z) B Rez Γ( z) (.68) z z Je to jediná singularita ζ funkcie v komplexnej rovine. Na vyhodnotenie ζ(z) aj pre ostatné R(z) < pouºijem reziduovú vetu (.9), pri om doplním integra nú dráhu o I n pod a obrázka vy²²ie: I n I I I + πi n ( k Integrál I n je v limite n nulový: Rez xkπi x z e x + Rez x kπi I n < (πn)r(z) π pre R(z) < / x z ) e x V limite n dosadím zvy²né integrály pod a (.66) a reziduá pod a (.7), pri om fázový faktor u x je e ±iπ/. πiζ(z) Γ( z) πi ( ) πz (kπ) z (ie iπz/ ie iπz/ ) (π) z ζ( z)i sin k Tento vzorec uº obsahuje vz ah medzi ζ(z) a ζ( z). Najprv ho pouºijem na ur enie ζ(n) pod a (.67) pre celé kladné n (kde n z): ζ(n) πζ( n) (π) n Γ(n) sin ( π nπ) ( )n+(π)n B n (n)! (.69)
34 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ ζ() π ζ(4) π4 ζ(6) π6 ζ(8) π8 ζ() π 6 9 945 945 93555 Symetrické vyjadrenie zrkadliaceho vzorca pre ζ funkciu získam al²ou úpravou pomocou duplika ného (.58) a zrkadliaceho (.56) vzorca pre gama funkciu: Γ( z) ( ) ( z π z Γ Γ z ) ( ) ( z Γ Γ z ) ( ) πz sin π ζ(z)γ ( ) ( z ζ( z)γ z ) (.7) π z/ π ( z)/ Zrkadliaci vzorec (.7) vyjadruje symetriu pri zámene z z a nazna uje, ºe ζ ( + it) bude ma ²peciálne vlastnosti. Denujem preto funkciu ξ(z) z(z )ζ(z)γ( ) z ξ(z) ξ( z) (.7) π z/ Pridaním z(z ) som odstránil póly Γ() a ζ(). Nulovos ζ( n) odstra uje póly Γ( n). Funkcia ξ(z) je teda dobre denovaná na celej komplexnej rovine, nemá ºiadne singularity a nemá ani nuly na reálnej osi. Na reálnej osi je reálna a teda aj jej Taylorov rozvoj má reálne koecienty. Z toho vyplýva: ( ) ( ) ξ(z) ξ(z ) ξ( z ) ξ + it ξ + it Funkcia ξ ( + it) je teda reálna pre reálne t. Dá sa o akáva, ºe v aka oscila nému príspevku I(z) do (.66) sa bude ζ ( + it) pohybova okolo nuly a v aka reálnosti ξ ( + it) ju bude aj pretína (gama funkcia nemá ºiadne nuly pod a (.57)). O týchto nulách hovorí Riemannova hypotéza: Okrem triviálnych núl v n leºia v²etky ostatné nuly ζ funkcie na priamke R(z). Hoci numerické výsledky to zatia potvrdzujú, táto hypotéza zostáva nedokázaná uº viac neº 5 rokov. ξ( + it) eπt/4 t + 3 4 5 6 7 8 9 t
.7. BERNOULLIHO POLYNÓMY 35.7 Bernoulliho polynómy Vzorec pre ζ(n) (.69) odvodím e²te inak, bez pouºitia krivkového integrálu. Popritom odvodím Bernoulliho polynómy, ktoré neskôr vyuºijem pri odvodení Euler-Maclaurinovej sumácie. Ako sa asom ukáºe, Bernoulliho polynómy súvisia s Bernoulliho íslami. Na formulovanie výsledkov budú nakoniec sta i len Bernoulliho ísla. Na Bernoulliho polynóm B n (x) (n je kladné celé íslo) si zvolím tieto predbeºné poºiadavky: je to polynóm stup a n s jednotkovým koecientom pri x n a jeho integrál od do je nula. Takýto polynóm si môºem periodicky roz²íri na funkciu s periódou a tú potom rozvíja do Fourierovho radu. Preto v²etky al²ie vyjadrenia B n (x) vo forme Fourierovho radu sa vz ahujú len na interval x (, ). Za nem s prvým polynómom: B (x) x k a k sin(kπx) a k x sin(kπx)dx B (x) sin(kπx)dx kπ [ x cos(kπx) kπ B (x) k ] + lebo: cos(kπx) dx kπ kπ + sin(kπx) (.7) kπ al²ie polynómy získam h adaním primitívych funkcií (neur itým integrálom), pri om podmienka na nulovos zabezpe uje, ºe Fourierov rozvoj si zachová svoj charakter (kvôli neprítomnosti kon²tantného lena nevzniknú lineárne, parabolické a al²ie neperiodické leny). Z jednotkovosti koecientu pri najvy²²ej mocnine alej vyplýva: Platí teda: B n(x) nb n (x) (.73) B n (x) (n)!( ) n+ k B n+ (x) (n + )!( ) n+ cos(kπx) (kπ) (.74a) n k sin(kπx) (kπ) (.74b) n+
36 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Dosadením x do (.74a) získam: ζ(n) k k n ( )n+ (π) n B n () (n)! (.75) Kvôli konzistencii e²te dokáºem B n () B n () (okrem B (x)): B n () B n () Pod a (.73) potom platí: B n(x)dx n n B n (x) x n + k B n (x)dx n!b n k () k!(n k)! xk (.76) Dosadením x, vykrátením B n () B n () a substitúciu n p +, a potom k p k + získam: B p () p p + p! k!(p k + )! B p k+() k p p + p! k!(p k + )! B k() (.77) k To je ekvivalentné s (.63) za predpokladu B B k ( ) k B k () B k () (.78) Nakoniec uvediem e²te jednu vlastnos Bernoulliho polynómov: Výraz B n (x+ ) B n (x) by mal by polynóm stup a n vzh adom k x. Pri dosadení x získam nulu, rovnako ako pri jeho derivovaní a následnom dosadení x, okrem prípadu, ke ho zderivujem (n )-krát vtedy dostanem Z toho vyplýva n![b (x + ) B (x)] n! B n (x + ) B n (x) nx n n n+ x+ x B n (x)dx x n (.79)
.8. EULER-MACLAURINOVA SUMÁCIA 37.8 Euler-Maclaurinova sumácia Niektoré íselné rady konvergujú dos pomaly, ak ich ale aproximujem integrálom, ten sa môºe da jednoducho vypo íta to je aj prípad radu, ktorým denujem ζ funkciu. Budem sa teda snaºi ur i rozdiel medzi sumou a integrálom a tým nájs spôsob na výpo et pomaly konvergujúcich súm. Najprv sa budem zaobera kone nými sumami: N f(n) nm R N M f(m) + f(n) [ + N nm N + f(x)dx + R (.8) M ] δ(x n) f(x)dx Delta funkciu volím tak, ºe na hranici integra ného intervalu prispieva /. Jej integrálom je skoková funkcia: { pre x < θ(x) / pre x (.8) pre x > Pri integrovaní per partes si zvolím integra nú kon²tantu M /, aby zostal len len s integrálom: R [( M x + + N N M n+ nm n N nm N nm ( x M + ( x n ) ] N θ(x n) f(x) M ) N nm θ(x n) ) N f (x)dx nm f (x)dx ( t ) f (n + t)dt B (t)f (n + t)dt (.8) Spätne si vyhodnotím jeden integrál zo sumy, aby som ukázal, ºe som pomocou skokovej a delta funkcie ni nezamietol pod koberec: ( t ) [( f (n + t)dt t ) ] f(n + t) f(n + t)dt f(n + ) + f(n) n+ n f(x)dx
38 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ Budem alej pokra ova v integrovaní per partes, pri om vyuºijem (.78): B n () B n () B n B n+ () B n+ () R N nm [ ] B (t)f (n + t) B [ f (N) f (M) ] N + p k Zvy²ok s integrálom som ozna il: nm N nm B (t)f (n + t)dt 3 B 3(t)f (n + t)dt B k [ f (k ) (N) f (k ) (M) ] + R p (.83) (k)! R p N nm B p (t) (p)! f (p) (n + t)dt (.84) E²te treba vyrie²i otázku konvergencie radu (.83). Z (.69) vyplýva: ζ(k) B k (k)! (π) k (.85) Chyba tejto aproximácie je len 8% pre k, % pre k 3 a rýchlo klesá. Pre zvy²ok R p platí pod a (.74a) a za predpokladu klesajúcej f (p) (x): p+ (p)! B p (x) ( ) cos(πx) (π) p N R p f (p) (x) (π) p cos(πx)dx f (p) (M) (.86) (π) p M Z toho je vidie, ºe zvy²ok má zhruba rovnakú ve kos ako predposledný len (ide teda o asymptotický rozvoj ). Aj ke sa zdá, ºe ve kos lenov klesá kaºdým krokom (π) -násobne, tento pokles môºe by ahko zvrátený nárastom derivovanej funkcie, napr. (x k ) k(x k ) k(k + )x k Teda pre k > π x za ína by rozvoj divergentný. Totiº kým leny rozvoja klesajú, ich s ítavanie vedie k výsledku stále bliº²iemu správnej hodnote, od istého okamihu v²ak za ínajú rás a potom uº ich s ítanie nemá zmysel, lebo rad diverguje (presnej²í výsledok sa napriek tomu niekedy dá získa Padého aproximáciou re azovými zlomkami). K podobnej situácii dochádza v poruchovej teórii v
.8. EULER-MACLAURINOVA SUMÁCIA 39 kvantovej mechanike a kvantovej teórii po a: kým pre elektromagnetickú interakciu (malá väzbová kon²tanta) má zmysel s íta poruchový rozvoj (prakticky spo ítaný len do 4. poriadku), u silnej interakcie rozvoj diverguje hne od za iatku. Výsledky tejto asti zhrniem vo forme Euler-Maclaurinovho rozvoja: N f(n) nm N M f(x)dx+ f(m) + f(n) + k B k [ f (k ) (N) f (k ) (M) ] (k)! (.87) Pri om vys ítavanie k do nekone na som uviedol len symbolicky. Ako som popísal vy²²ie, má to zmysel len kým f (k) (M) < π f (k ) (M) Ak nesplnenie tejto podmienky zabra uje výpo tu daného radu do poºadovanej presnosti, vä ²inou sta í beºným spôsobom vys íta nieko ko prvých lenov radu ( ím sa zvý²i M) a Euler-Maclaurinov rozvoj pouºi aº na al²ie leny. Nakoniec si uvediem nieko ko príkladov. Sú et celo íselných mocnín prirodzených ísel sa zhoduje s (.59) a Euler-Maclaurinov rozvoj je kone ný: N n p n N x p dx + N p + p/ k B k p!n p k+ (k)! (p k + )! Zo sumy som odstránil prípadný posledný len k p +, pretoºe vtedy je výsledkom derivovania kon²tantná funkcia a f(n) f() (totiº vo v²etkých predchádzajúcich lenoch platilo p k+, v tomto poslednom to neplatí). Sú et geometrického radu klesajúcich exponenciál (v tomto prípade E-M rozvoj konverguje a je zhodný s (.6)): e a e na n e ax dx + + k B k (k)! ak Ur enie Euler-Mascheroniho kon²tanty (kde vhodne zvolím M, M < N): N M n n + ln N ln M + ( M + )... + N n n ( N ) γ lim N n ln N n M n k n +... M ln M + ( B k k M k ) N k k B k km k (.88) Pre výpo et na desatinných miest, ako je to v (.5), sta í zvoli napríklad M a k max 3.
4 KAPITOLA. FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ.9 Výpo et Γ(z) a ζ(z) pomocou E-M rozvoja Vy íslenie Γ(z) a ζ(z) pomocou Euler-Maclaurinovho rozvoja zah a nieko ko trikov, preto ich preberiem dôkladnej²ie. Najprv budem ur ova logaritmus faktoriálu pod a (.8) a (.8), ktorý neskôr zov²eobecním na komplexné ísla: ln N! N ln n n N ln x dx + ln + ln N + N k Vyhodnotenie integrálu (per partes) a sumy: ln x dx x ln x x dx x ln x x x R N k B (t) k + t dt k B (t) k + t dt k B (t) k + t dt B (t) N + k + t dt Mechanický prepis R do E-M rozvoja by viedol k divergentnému radu, preto treba postupova opatrnej²ie a rozdeli si to na dve sumy. Tá prvá nezávisí na N a je kone ná (lebo po rozdelení integrálov v / dostanem alternujúci klesajúci rad), u tej druhej uº moºno pokra ova s vyhodnotením pomocou Euler-Maclaurinovho rozvoja. Po zov²eobecnení na gama funkciu ( N z): ln Γ(z + ) ( z + ) ln z z + A k Kone né leny nezávislé na z som zhrnul pod kon²tantu A. A + k B (t) k + t dt B (t) dt (.89) z + k + t Vyhodnotím ju nepriamo v limite z, a to bu porovnaním so Stirlingovým vzorcom (.54) to dáva A ln π, alebo dosadením do duplika ného vzorca (.58), ím dostanem to isté: π Γ(z + ) z Γ ( ) z + Γ(z + ) π(z) z+ e A z z (z /) z z z+ e A z+ z e z z+ e A z+ Výsledkom je Stirlingov rad pre logaritmus gama funkcie: ( ln Γ(z + ) z + ) ln z z +... ln π + B k (.9) k(k ) z k k
.9. VÝPOƒET Γ(Z) A ζ(z) POMOCOU E-M ROZVOJA 4 Kritérium konvergencie je k < π z, ale v prípade blízkosti zápornej reálnej osi môºu by odchýlky od správnej hodnoty vy²²ie ako by to nazna ovala ve kos posledného zarátaného lenu. Presnos double sa napríklad pre z dá dosiahnu s k max 8. Pre malé z sa presnos dá zvý²i pomocou zγ(z) Γ(z + ) (.47): n ln Γ(z + ) ln Γ(z + n + ) ln(z + k) (.9) Nakoniec poznamenám, ºe Stirlingov rad sa pomocou (.67) dá zapísa do tvaru, ktorý nápadne pripomína Taylorov rad (.5), hoci jeho oblas konvergencie je úplne opa ná: ln Γ(z + ) N k ( z + ) ln z z + ln π k ζ( k) k (.9) z k Riemannovu ζ funkciu vyhodnotím iasto ným vys ítaním radu a vys ítaním zvy²ku Euler-Maclaurinovou sumáciou. Najprv si vyhodnotím integrál [ ] x z dz ( z)x z (z )N z Pri dosadzovaní do E-M rozvoja vy²krtnem leny, do ktorých sa dosadzuje horná hranica sumácie/integrálu nekone no. Zatia o tieto leny sú nulové pre R(z) >, v iných prípadoch divergujú práve v ich vy²krtnutí spo íva analytické pred ºenie. Ak totiº nejaká funkcia (t.j. vy²krtnuté leny) je nulová v istom okolí niektorého bodu (a teda má nulový Taylorov rozvoj), je v aka analytickému pred ºeniu nulová na celej komplexnej rovine. Ostatné leny rozvoja sú analytickými funkciami z, a preto aj ich sú et ostáva analytický (aspo v asymptotickom zmysle). H adané vyjadrenie je potom: ζ(z) n N n z n n z +... N z + (z )N z + N k B k (k)! k j (z + j) N z+k (.93) Kritérium konvergencie je z + k < πn. Pre ve ké z teda treba voli ve ké N. S tým je spojený výpo et e z ln n pre kaºdý len sumy (ob as to moºno obís rozkladom na delitele). To sa nepriaznivo prejavuje predov²etkým pri h adaní núl typu z +it. alej v prípade R(z) < sa síce dá dosiahnu konvergencia vo bou dostato ne vysokého N, pri jeho al²om zvy²ovaní ale dochádza k tomu, ºe E-M rozvoj dlhý as len od íta ve ké hodnoty, ktoré vznikli pri predbeºnej sume. Preto je lep²ie pre R(z) < vyuºi zrkadliaci vzorec (.7), napríklad v pôvodnom nesymetrickom tvare ζ(z) (π) z ζ( z)γ( z) sin ( πz ) (.94)