INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44
Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44
Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b 2 Koliko je a kada je b=60? 180 Odgovor: a = = 90 2 Odnos Ako je 15 x = Izračunati x. 500 789 15 789 Rešenje: x = = 23, 67 500 3a 3b Ako je = Izračunati a kada je b=6 4 8 Rešenje: b 24 a = 12b a = = 3 2 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 3 of 44
Pravilo: Ako dodamo, oduzmemo, množimo ili podelimo istim iznosom obe strane jednačine, istovetnost se ne menja. Primer Ako je a = 3b tada a + c = 3b + c i a c = 3b - c Pravilo: Član jednačine sa jedne strane, se može prebaciti na drugu stranu ali uz promenu znaka. a Primer Data je jednačina 3 = 4b 6 2 Ako je b = 4, izračunati vrednost a a = 4b 6 + 3 2 a = 2 ( 4b 6 + 3) a = 2 13 = 26 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 4 of 44
Grafik jednačine Jednačina tipa y=ax+b je poznata kao jednačina prave linije. Ako se nacrta u pravougaonom koordinatnom sistemu (X-Y), daje pravu liniju. a je nagib prave linije. Definiše se kao tangens ugla koji linija pravi sa pozitivnim smerom X-ose. b je odsečak koji linija pravi sa Y-osom. Primer Data je jednačina y = 2x - 3 Gde je: x=1 x=2 x=4 x=5 y=-1 y=1 y=5 y=7 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 5 of 44
Slika 1. Nagib prave je 2, odsečak -3 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 6 of 44
Geometrija Uglovi 1 stepen ( ) = 60 ugaonih minuta ( ) 1 minut ( ) = 60 ugaonih sekundi ( ) Zbir uglova sa jedne strane prave iznosi 180. Oni se nazivaju suplementni uglovi. Primer Ako je a = 75 naći b (sl. 2) Slika 2. Uglovi a i b su suplementni. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 7 of 44
Rešenje: Primer Ako je b = 64 18 izračunati a (sl. 2) Rešenje: Zbir svih uglova oko jedne tačke daje 360. a + b + c + d = 360 (sl. 3) V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 8 of 44
Slika 3. Zbir svih uglova oko jedne tačke je 360. Suprotni (unakrsni) uglovi su međusobno jednaki. a = c i b = d (Slika 3) Primer Ako je a = 45, naći uglove b, c i d. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 9 of 44
Rešenje: Znamo a + b = 180. Stoga je b = 135 Znamo a + d = 180. Stoga je d = 135 a + b + c + d = 360, c = 360 -a - b - d = 45 Paralelne linije presečene pravom (sl. 4) p 1 p 2 Slika 4. Odnosi između uglova ako je p 1 p 2. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 10 of 44
Saglasni uglovi Naizmenični uglovi Primer Na slici 5, ugao b = 51 17'. Naći ostale uglove. Slika 5. Ugao b jednak je uglu b. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 11 of 44
Rešenje: d = b = 51 17 c = (180 -a) = 128 43 a = c = 128 43 b = b = 51 17 c = c = 128 43 d = b' = 51 17 a' = c' = 128 43 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 12 of 44
Zbir uglova u trouglu je 180. Stoga ako znamo bilo koja dva ugla u trouglu, možemo izračunati treći. Slika 6. Zbir uglova u trouglu je 180. Primer U trouglu na slici 6, izračunati ugao c. Rešenje: V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 13 of 44
Zbir dva ugla u trouglu jednak je spoljnom uglu kod trećeg ugla. Slika 7. Zbir uglova a + c = uglu e. Na slici 7 a + c = e V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 14 of 44
Primer U trouglu na slici 8, izračunati a i b Slika 8. Rešenje: V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 15 of 44
Pravougli trougao Pravougli trougao je onaj u kome je jedan od uglova = 90. Prema tome, zbir druga dva (komplementna) ugla je takođe = 90. Primer Slika 9. Pravouglitrougao Ako je ugao c = 29 17, koliki su uglovi a i b (slika 9)? Rešenje: a = 90 i b + c = 90 b = 90-29 17 = 60 43' V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 16 of 44
Ako se povuku dve linije normalne na linije koje grade neki ugao, ugao između te dve linije biće jednak prvobitnom uglu. Na slici 10, BD i CD su pod uglom od 90 prema AB i AC. Slika 10. Normale na kracima ugla a = 90 e i d = 90 e a = d V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 17 of 44
Slični trouglovi Trouglovi u kojima su sva tri ugla identična definišu se kao slični trouglovi. Odnos stranica sličnih trouglova je konstantan (sl. 11). Nije važno koja je veličina trougla odnos njihovih stranica uvek je konstantan. Slika 11. Slični trouglovi V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 18 of 44
Trigonometrija U pravouglom trouglu (sl. 12) stranica XY naspram pravog ugla se naziva hipotenuza. Definisane su sledeće trigonometrijske funkcije: Slika 12. Pravougli trougao sin x = cos x = tan x = naspramna hipotenuza nalegla hipotenuza naspramna nalegla = = = YZ XY XZ XY YZ XZ V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 19 of 44
Za ugao y: sin y = cos y = tan x = naspramna hipotenuza nalegla hipotenuza naspramna nalegla = = = XZ XY YZ XY XZ YZ Važno tan = cosecant secant sin cos cot angent = = = naspramna nalegla 1 sin 1 = cos 1 tan V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 20 of 44
U pravouglom trouglu, zbir dva komplementna ugla je 90. Slika 13 Stoga je sin A=cos B i cos A=sin B V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 21 of 44
Sinus jednog od komplementnih uglova je isti kao i kosinus njegovog komplementnog. Kosinus jednog od komplementnih uglova je isti kao i sinus njegovog komplementnog, tj: sin 70 = cos 20 = 0,9379 cos 70 = sin 20 = 0,342 Rešenje pravouglog trougla Komponente pravouglog trougla su tri stranice i dva ugla (treći ugao je 90 ). Poznavajući vrednosti dve komponente, možemo rešiti i ostale komponente. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 22 of 44
Slika 14. Pravougli trougao Primer Na slici 14. dato je: b = 20 i A = 60 Rešenje B = 90 60 = 30 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 23 of 44
Stoga: Stoga: V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 24 of 44
Pitagorina teorema Kvadrat na hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama Tako, ako znamo dužine dve stranice u pravouglom trouglu, možemo pronaći dužinu treće stranice. NB Na ovaj način mi izračunavamo horizontalno rastojanje Horizontal Displacement - HD u pravouglom koordinatnom sistemu. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 25 of 44
Osobine trouglova Ako su A, B i C uglovi trougla, i a, b, c su 3 stranice nasuprot odgovarajućih uglova ( sl. 15). Sledeća relacija važi svaki trougao: Sinusna teorema Slika 15. Pravougli trougao V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 26 of 44
Kosinusna teorema U svakom trouglu jedna od stranica mora biti manja od zbira preostale dve. Ako dva slična (tj. sva 3 ugla identična) trougla imaju jednu odgovarajuću stranicu jednaku, tada su trouglovi jednaki. Najkraće rastojenje između dve tačke je prava linija. Najkraće rastojanje od tačke do linije je normala. Segmenti paralela presečeni drugim paralelama su jednaki. Na sl. 16, paralelne linije 1 i 2 su presečene drugim dvema paralelnim linijama 3 i 4. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 27 of 44
AB = CD i AC = BD Slika 16. Jednaki segmenti preseka paralela Površina trougla = h b 2 gde je: b = dužina osnove trougla h = visina trougla V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 28 of 44
Krug Obim kruga = 2 π R gde je: R = poluprečnik (radijus) kruga Površina kruga = π R² Prava linija koja prolazi kroz centar kruga iz suprotnih tačaka na krugu je prečnik dijametar (d). Prečnik kruga = 2R V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 29 of 44
Slika 17. Krug i tetiva Tetiva je duž koja spaja dve tačke A i B na krugu (slika 17). CD je normalna bisektrisa tetive. Ona polazi od sredine tetive do obima kruga, sledeći smer poluprečnika u toj tački. AC = CB OD = Radijus Normala kroz C ugao ACO = ugao OCB = 90 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 30 of 44
Tangenta Slika 18. Krug i tangenta Prava TE je tangenta kruga u tački E ( sl. 18); tačka (E) je dodirna tačka tangente i kruga. Tangenta kruga je normalna na tzv. dodirnom poluprečniku, tj. poluprečniku dodirne tačke. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 31 of 44
Kružni luk Slika 19. Krug i kružni luk Treba odrediti dužinu luka AB (sl. 19). Znamo da ako je a = 360, luk je obim kruga = 2 π R. Za bilo koji drugi ugao, odnos luka prema obimu biće isti kao i odnos ugla prema 360. luk AB = 2πR a 360 = πr a 180 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 32 of 44
Primer: Ako je R = 15 m i a = 60, pronaći obim kruga (C) i dužinu luka (AB). Radijan Radijan se skoro isključivo upotrebljava u trigonometriji, te se često mera ugla izražava u radijanima. Radijan se definiše kao ugao u centru kruga kada je dužina luka 1. Pun ugao jednak je 2π (radijana); pokriva celu ravan. π Prav ugao je četvrtina punog ugla; jednak je (radijana). 2 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 33 of 44
Primer: Koliko je radijana u 60? V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 34 of 44
Trigonometrijski krug Trigonometrijski krug je krug čiji je poluprečnik jednak jedinici (slika 20). U trouglu OSC, sin a = SC/OS i cos a = OC/OS U trouglu OTB, tan a = TB/OB OS = OB = R = 1 Stoga: sin a = SC, cos a = OC i tan a = TB Slika 20. Trigonometrijski krug Takođe: V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 35 of 44
Znak trigonometrijskih funkcija Znak sinusa, kosinusa i tangensa u sva 4 kvadranta je najbolje ilustrovan trigonometrijskim krugom (sl. 21). Sve tri funkcije su (+) od 0 do 90. Od 90 do 180, samo sinus je (+). Od 180 do 270, samo je tangens (+). Od 270 do 360, samo je kosinus (+). Slika 21. Znak sinusa, kosinusa i tangensa u trigonometrijskom krugu. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 36 of 44
Projekcija linija Projekcija svakog segmenta AB na drugu liniju X je rastojanje između normale od A i B do X. A B je projekcija linije AB na liniju OX (slika 22). Slika 22. Projekcija linije. Projekcija jedne linije na bilo koju drugu liniju jednaka je dužini linije puta kosinus ugla koji formiraju dve linije. A B = AB cosα V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 37 of 44
Primer: Slika 23. Projekcija linije. Dato je AB = 12, izračunati dužinu njene projekcije na liniju AC, sa kojom gradi ugao od 60. Povući liniju BB pod uglom 90 na AC. AB je projekcija. AB = AB cos 60 = 12 0,5 = 6 V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 38 of 44
Projekcija duži na koordinatne ose AC je paralelna sa OX (slika 24). OX i OY su dve ose na koje želimo da projektujemo liniju AB. A x B x = projekcija AB na X osu A y B y = projekcija AB na Y osu U trouglu ABC: Slika 24. Projekcija duži na koordinatne ose. A x B x = AB cosα A y B y = AB sinα Stoga je projekcija duži na prave koje su pod uglom od 90 jednaka duž puta kosinus ili odnosno sinus, ugla koji gradi sa jednom od pravih. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 39 of 44
Projekcija linija na ravni Linija AB je projektovana na ravan P (slika 25). Ugao (a) je formiran između njih. Projekcija AB je AB. Trougao ABB je pravougli trougao (ugao B je 90 ). Slika 25. Projekcija linije na ravan. Ako je a 90º, projekcija će biti negativna. V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 40 of 44
Radijus krivine Radijus krivine R c tokom povećanja ugla otklona za sekciju bušotine je prikazan na slici 26. Ako znamo povećanje ugla otklona (buildup rate - q), možemo izračunati vrednost R c. Poznavanje vrednosti inklinacije (I 1 i I 2 ) na početku i kraju luka, omogućava da se pronađe veličina priraštaja za horizontalno rastojanje (Horizontal Displacement - HD), dubinu (Vertical Depth - TVD) i dužinu kanala bušotine (Measured Depth - MD). Slika 26. Radijus krivine - oznake V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 41 of 44
Obim kruga C= 2πR = 360 q Povećanje ugla otklona q = 360 2πRc = i L /m Rc = 180 π q m Vertikalna dubina bušotine TVD 1 = R c sini 1 i TVD 2 = R c sini 2 ΔTVD = TVD 2 TVD 1 = R c (sini 2 sini 1 ) V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 42 of 44
Horizontalno rastojanje od usta bušotine Dužina luka: m Takođe: MD = I 2 1 I q m V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 43 of 44
KRAJ V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 44 of 44