Kapiola III. FUNKCIE DEFINÍCIA FUNKCIE Úvahy v omo odseku zanime preskúmaním dvoch známych vzorcov. Príklad. a) s = g b) P = πr Vzorec a) je dobre známy vzah pre voný pád udávajúci závislos prejdenej dráhy s od asu pri vonom páde. Každému asu je jednoznane priradená vekos prejdenej dráhy s. Napríklad pre asový údaj = s (ak berieme graviané zrýchlenie g = 0 m s ) je s = 0 m. Vzorec b) je zas dobre známy vzorec pre výpoe plošného obsahu kruhu, ak je daný jeho polomer r. Plošný obsah zrejme závisí od polomeru a pri danom r je P jednoznane urený. Závislosi akéhoo ypu ako sú uvedené v a), b) je v maemaike, v echnickej praxi, v biologických i ekonomických procesoch veké množsvo a hoci sú formou odlišné, majú spolonú maemaickú podsau. Vedú k pojmu funkcie alebo zobrazenia, korý sa aso zavádza ako: Definícia. Nech A, B sú dve množiny. Ak ku každému prvku x A priradíme práve jeden prvok y B hovoríme, že na množine A je definovaná funkcia nadobúdajúca hodnoy v množine B. Píšeme y = f (x) a hovoríme o funkcii f (niekedy iež o zobrazení f ). Zobrazenie definované na A s hodnoami v B oznaujeme iež ako: f : A B. Množinu A v definícii nazývame defininým oborom funkcie f. Množinu pozosávajúcu zo všekých ých prvkov y B, koré sú priradené prvkom x A nazývame oborom hodnô funkcie f. Prvky z defininého oboru nazývame aso vzormi, prvky z oboru hodnô obrazmi. Niekedy sa premenným x A hovorí nezávislé premenné a k nim priradeným premenným y B závislé premenné. Vidíme, že v definícii sa predpokladá, že na o, aby bola daná funkcia f, reba, aby boli dané množiny A, B a predpis priradenia. Aj ke je uvedená definícia funkcie jasná a jej osvojenie nerobí pravdepodobne nijaké ažkosi, je dobré si uvedomi, že rvalo dlhý as, kým sa od konkrénych príkladov funkcií daných isými výrazmi prišlo k ak formulovanému pojmu funkcie ako je o urobené v definícii. Približne akú definíciu podal Cauchy (789 857). Definícia funkcie, ako sme ju u uviedli, je pre úvahy maemaickej analýzy a jej aplikácie úplne vyhovujúca. Pri presnom budovaní základov maemaiky reba poveda, že aj pri niekorých úvahách v samonej analýze je výhodné vyhnú sa neuriému výrazu priradenia, korý sa v definícii vyskyuje. Ke sa pozrieme na funkciu f ako hoovú vec, eda ke si uvedomíme, že každému x z defininého oboru bola nejaká vec y = f(x) priradená, môžeme funkciu chápa ako množinu ako získaných usporiadaných dvojíc [x, y], kde x je z defininého oboru. To vedie k akejo definícii funkcie. Definícia '. Nech je daná podmnožina f kareziánskeho súinu X Y, korá má úo vlasnos: Ak ku každému x X exisuje najviac jedno y Y ak, že [x, y] f, poom množinu f nazývame funkciou. Množinu A všekých ých x, ku korým aký prvok y, že [x, y] f skuone exisuje, nazývame defininým oborom ej funkcie. Ak [x, y] f, píšeme y = f(x). POZNÁMKA. Použiím kvanifikáorov je možné funkciu f : X Y charakerizova spomedzi osaných podmnožín kareziánskeho súinu X Y ako: 5
x X y Y y Y {[(y = f(x)) (y = f(x))] y = y } POZNÁMKA. Z definície ' vyplýva, že funkcia f : X Y je špeciálnym prípadom relácie medzi množinami X a Y. (Porovnaje s pojmom relácie zavedeným v kapiole, lánok 4). Príklad. Nech X = {,,, 3}, Y = {, 4, 3, 39, 47}. Nech f = {[, 4], [, 3], [3, ]}. Vidno, že f X Y. Ozname A = {,, 3}. Poom vidíme, že ku každému x A exisuje najviac jedno y Y, že [x, y] f. (K prvku je o 4, k prvku je o 3, k prvku 3 je o a k prvku aký prvok neexisuje.) f je eda funkcia. Defininý obor funkcie je u množina A = {,, 3}. Keby sme chceli funkciu v omo príklade inerpreova pomocou priradenia f, ak ako sme o zaviedli v definícii, bolo by o ako: Pre x = je f(x) = 4, pre x = je f(x) = 3 a pre x = 3 je f(x) =. POZNÁMKA 3. V súhlase s definíciou ' vychádza pre rovnos dvoch funkcií prirodzená podmienka (nevyhnuná a posaujúca): Dve funkcie f, g sa rovnajú vedy a len vedy, ak sa rovnajú ich defininé obory a ak pre každé x z defininého oboru je f (x) = g(x). Ak iae osáva pri definícii môže úo nevyhnunú a posaujúcu podmienku chápa ako definíciu dvoch funkcií. V definícii funkcie môže by defininý obor i obor hodnô akoukovek množinou. Vemi dôležiým ypom funkcie, korým sa budeme v ýcho skripách zaobera najasejšie, je reálna funkcia reálnej premennej. Definícia. Nech f je aká funkcia, korej oborom hodnô je nejaká množina reálnych ísel. Poom f sa nazýva reálnou funkciou. Ak je aj defininý obor aj obor hodnô funkcie f podmnožina reálnych ísel, hovoríme o reálnej funkcii reálnej premennej. POZNÁMKA 4. Výhodne je znázorova reálne funkcie reálnej premennej pomocou grafov v súradnicovej súsave v rovine. Používame u obvyklý sysém dvoch na seba kolmých orienovaných priamok x, y preínajúcich sa v poiaku O a znázornenie usporiadanej dvojice [x, y] reálnych ísel ak, ako je o naznaené na obr. 3. Priom používame dohodnué zobrazenie reálnych ísel na íselnej osi. Namieso názvu usporiadaná dvojica reálnych ísel používame aso názov bod (v rovine). Obr. 3 Pri znázorovaní funkcie posupujeme ak, že znázorníme body [x, f (x)], pre všeky x z defininého oboru. Tak napr. graf funkcie z príkladu je znázornený roma bodmi (obr. 4). 6
Obr. 4 POZNÁMKA 5. Skuonos, že pri definícii funkcie, prvku x z defininého oboru je priradený jediný prvok y, sa na grafe prejaví ak, že priamka rovnobežná s osou y neprene graf v dvoch rôznych bodoch. Teda o, o je na obr. 5 nemôže by grafom funkcie. Naproi omu obr. 6 spa našu predsavu o grafe. Obr. 5 Obr. 6 7
Príklad 4. Na vzah y = x (obr. 7) sa môžeme díva ako na funkciu s defininým oborom (, ), priom každému x priradíme hodnou x. Preože z analyickej geomerie vieme, že ide o priamku, saí nám zobrazi dva body. Napr. pre x = 0 dosaneme y = 0, eda bod [0, 0] a pre x =, y =, eda bod [, ] a nimi preložíme priamku. Dosaneme graf funkcie. Obr. 7 iaeovi je ise zrejmé, že graf funkcie sa nedá vždy ak jednoducho nakresli. Pri komplikovaných závislosiach budeme porebova veké množsvo bodov, koré sú na grafe a len ak si budeme môc (aj o nie vždy) uvori akýsi obraz o ej funkcii. Na o však exisujú v maemaickej analýze meódy, aby en obraz bol o najvernejší. O nich bude eše v ýcho skripách re. Treba sa zasavi eše pri pojme graf, korý sme u presne nedefinovali. Chápeme ho ako: Definícia 3. Grafom funkcie f definovanej na množine A rozumieme množinu všekých usporiadaných dvojíc [x, f(x)], kde x A. POZNÁMKA 6. Všimnime si, že prísup v definícii ' spoíva v om, že funkciu soožuje s jej grafom. POZNÁMKA 7. Kreslenie grafov je vemi dobrou názornou pomôckou. aso slúži ako moivácia i pre dôkazy. Nemôže však nahradi dôkaz. Treba si uvedomi, že graf mnohých funkcií nemôžeme nakresli. Takou nepríjemnou funkciou na kreslenie grafu je napr. funkcia, ak x je racionálne f ( x) = 0, ak x je iracionálne (Táo funkcia sa nazýva Dirichleova.) POZNÁMKA 8. Uvedieme eše jednu pripomienku k defininému oboru funkcií. aso sa sane, že funkcie zadávame nejakým vzahom a neudáme ich defininý obor. V akom prípade rozumieme pod defininým oborom množinu všekých ých prvkov, pre koré má daný vzah zmysel. Napríklad, ak uvažujeme reálnu funkciu reálnej premennej danú vzahom f ( x) = chápeme o ak, že jej x defininý obor sú všeky x, pre koré x a súasne 0, eda x >. x POZNÁMKA 9. aso oznaujeme funkciu ako f(x). Presne povedané, mali by sme ju oznaova len ako f, preože f(x) je hodnoa v bode x. Táo malá nedôslednos sa však aso oleruje, preože pri prvom oznaení sa zvýrazuje znak, akým oznaujeme nezávislé premenné. Chápe sa o ak, že x prebieha cez defininý obor. aso používanými ypmi funkcií sú funkcie, koré sú definované na množine N všekých prirodzených ísel. 8
Definícia 4. Funkciu f, korej defininým oborom je množina N všekých prirodzených ísel, nazývame posupnosou. Príklad 5. Priradíme každému prirodzenému íslu n íslo n. Dosaneme funkciu f definovanú na N ak, že f ( n) =. n V prípade posupnosi obyajne nepoužívame oznaenie f(n) pre hodnou v prirodzenom ísle n. Namieso f(n) obvykle píšeme a n. Prvok a n nazývame n-ým lenom posupnosi. Príslušnú posupnos oznaujeme poom znakom {a n } n=. Príklad 6. Na oznaenie posupnosi z príkladu 5. používame zápis. Iným príkladom posupnosi je posupnos definovaná ako: a n = l, ak n je párne, a n =, ak n je nepárne. Sruný zápis pre nn= akúo posupnos je {( ) n } n=. Jej oborom hodnô je množina {, }. Obor hodnô posupnosi {a n } n= aso nazývame množinou jej hodnô. aso sa používa konšrukcia indukciou. Spoíva v omo. Udáme prvý len a posupnosi. Poom ukážeme, že na základe skonšruovaných a, a,, a n lenov pre ubovoné n môžeme skonšruova len a n+. Tým považujeme posupnos za skonšruovanú. Cvienie. Nech f : R R je definovaná ako: f(x) = x + x. Nakreslie jej graf.. Každej neprázdnej podmnožine množiny N prirae jej prvý prvok; o je defininým oborom a o oborom hodnô ako získanej funkcie? 3. Je funkcia z cvienia reálna funkcia reálnej premennej? 4. Aké sú defininé obory nasledujúcich funkcií: y = 3 3x x, y =, x y = x, 5x + 6 x y = + x x 5. Pre funkciu f ( x) = nájdie f(x ), f. x + 3 x 6. Nakreslie graf funkcie y = [x]. o je oborom hodnô ejo funkcie? 7. Ku každému reálnemu íslu x prirame íslo min{(x n), (n + x)}, kde n je o celé íslo, pre koré n x < n +. Také íslo nazývame zlomkovou asou ísla x. Nakreslie graf príslušnej funkcie. OBRAZY A VZORY MNOŽÍN. TYPY ZOBRAZENÍ Predpokladajme, že je dané zobrazenie (funkcia) definované na množine A. Nech. hodnoy oho zobrazenia sú z množiny B. Ak zvolíme nejakú množinu E A, aso nás zaujíma množina všekých ých prvkov y, koré sú varu y = f(x), kde x E. Príklad. Nech f je funkcia definovaná na (, ) ako: f(x) = x. Zvome za E inerval,. Vidíme, že množina ých f(x), pre koré x, je inerval 0,. (Takú isú množinu by sme dosali aj vedy, keby sme za E zobrali napr., alebo 0,, prípadne celý rad iných množín.) Definícia. Nech f je funkcia definovaná na množine A nadobúdajúca hodnoy v množine B. Poom znakom f [E] oznaujeme množinu všekých ých prvkov f(x), pre koré x E a nazývame ju obrazom množiny E pri zobrazení f. 9
POZNÁMKA. Množinu f [E] môžeme srunejšie definova ako: f [E] = {y : (y = f(x)) (x E)} Analogicky, ak máme zobrazenie f : A B a množinu F B, môžeme sa zaujíma o množinu všekých ých x A, pre koré f(x) F. Príklad. Ak f je funkcia z príkladu a F = 0,, poom množina všekých ých x, pre koré f(x) 0, je inerval,. Definícia. Nech A, B sú množiny a f : A B zobrazenie. Nech F B. Poom znakom f [F] budeme oznaova množinu všekých x A, pre koré f(x) F a budeme ju nazýva vzorom množiny F pri zobrazení f. POZNÁMKA. Množinu f [F] môžeme jednoducho definova ako: f [F] = {x : (x A) (y F) (y = f(x))} Niekoko jednoduchých pravidiel pre narábanie s obrazmi a vzormi množín aso zjednoduší mnohé úvahy. Takéo pravidlá uvedieme v nasledujúcej vee. Vea. Nech je daná funkcia f : A B. Plaia nasledujúce vrdenia pre množiny A, A A a množiny B, B B: a) A A f [A ] f [A ], b) B B f [B ] f [B ], c) f [A A ] = f [A ] f [A ], d) f [B B ] = f [B ] f [B ], e) f [A A ] f [A ] f [A ], D ô k a z. Dokážeme a). (Osané vzahy si dokáže ako cvienie.) Nech y f [A ]. Máme eda y = f(x), kde x A. Poom však x A, preože A A. Teda y = f(x), kde x A, o znamená, že y f [A ]. Teda pre každé y f [A ] je y f [A ]. Vzah f [A ] f [A ] je dokázaný. V špeciálnom prípade, ak máme funkciu f : A B, môže sa sa, že f [A] = B. Príklad 3. Funkciu f(x) = x definovanú na (, ) môžeme chápa ako zobrazenie definované na A = (, ) s hodnoami v B = (, ). V omo prípade nie je f [A] = B, preože je f [A] = 0, ). Zrejme však je f [A] = C, kde C = 0, ). Definícia 3. Nech f : A B, je zobrazenie definované na množine A s hodnoami v množine B. Hovoríme, že f je zobrazením do množiny B. V špeciálnom prípade, ak f [A] = B hovoríme, že f je zobrazením na množinu B alebo, že f je surjekívnym zobrazením. Pri zobrazení f : A B vždy k danému x A je priradené jediné y = f(x). Môže sa však sa, že pre dve rôzne x x je f(x ) = f(x ) (pozri príklad ). aso sa zaujímame o aké zobrazenia, pri korých aký prípad nemôže nasa. Definícia 4. Zobrazenie f : A B nazývame prosým alebo injekívnym, ak pre každé x, x A, x x plaí f(x ) f(x ). x, x A ( x x ) f ( x ) f ( x ) Príklad 4. Nech f : (, ) (, ) je definované ako: f(x) = x + 3. Je o injekívne zobrazenie, preože pre x x je x x a eda x + 3 x + 3. Definícia 5. Zobrazenie f : A B, koré je injekívne a surjekívne, nazývame bijekívnym. Príklad 5. Zobrazenie z príkladu 4 je príkladom bijakívneho zobrazenia f : A B, kde A = (, ), B = (, ). (Overe si o!) 30
Uvedieme eraz niekoko dôležiých množín reálnych funkcií reálnej premennej, korých prvky sú injekívnymi, prípadne bijekívnymi zobrazeniami. Definícia 6. Nech A (, ). Reálnu funkciu f : A R budeme nazýva rasúcou (klesajúcou) na množine A, ak pre každé x, x A aké, že x < x plaí f(x ) < f(x ) (f(x ) > f(x )); ak plaí len f(x ) f(x ) (f(x ) f(x )), hovoríme o neklesajúcej (nerasúcej) funkcii na množine A. Rasúce, klesajúce, nerasúce a neklesajúce funkcie nazývame monoónnymi. Funkcie rasúce a klesajúce nazývame rýdzomonoónnymi. Príklad 6. Všimnie si, že funkcia z príkladu 4 je rasúca, Funkcia f(x) = x z príkladu rasúca nie je. Saí zobra x = l, x = 0 a vidíme, že f(x ) > f(x ), Pozor! Tá funkcia nie je ani klesajúca, preože ak zoberieme x = 0, x =, máme f(x ) = 0 < = f(x ). Teraz dokážeme súbený výsledok, Vea. Každá rýdzomonoónna funkcia f : A B je prosá. Urobme dôkaz pre rasúcu funkciu. D ô k a z. Nech x, x A, x x. Poom bu x < x alebo x < x. V prvom prípade je f(x ) < f(x ), v druhom f(x ) > f(x ). Teda f(x ) f(x ). POZNÁMKA 3. Sojí za povšimnuie, že prosá funkcia nemusí by rýdzomonoónna. (Všimnie si reálnu funkciu f ( x) = definovanú na R {0} (Obr. 8). x Obr. 8 POZNÁMKA 4. Pojem monoónnej funkcie sa prirodzeným spôsobom prenáša i na posupnosi. Tak napríklad posupnos {a n } n=, je rasúca, ak pre každé n N je a n < a n+. Prirodzeným spôsobom sa na posupnosi prenáša aj pojem prosej posupnosi. 3
Cvienia. Ukáže na príklade, že rovnos f [f [E]] = E vo všeobecnosi neplaí.. Pre funkciu f(x) = x nájdie f [, 4]. 3. Ukáže, že nemusí plai f[a A ] = f[a ] f[a ]. 4. Dokáže, že vždy plaí f [B B ] = f [B ] f [B ]. 5. Nech f(x) = x. Nájdie f [, 3]. 6. Ukáže, že pre prosé zobrazenie plaí f [f [E]] = E. 7. Udaje príklad funkcie definovanej na N ak, aby plailo f [N] = {0,,, }. 8. V cviení 7. zosroje f ak, aby a) bola prosá b) nebola prosá c) bola prosá, ale nie monoónna. 3 INVERZNÉ ZOBRAZENIE A ZLOŽENÉ ZOBRAZENIE Uvažujme o zobrazení f : A B. Nech je o surjekcia, eda nech f [A] = B. Ak zoberieme y B a uvoríme jednobodovú množinu {y}, ak vzor f [{y}] ejo množiny nemusí by jednobodová množina. Saí zobra známy príklad f : (, ) 0, ), kde f (x) = x (obr. 9). Obr. 9 V omo prípade, ak zoberieme y =, dosaneme f [{y}] = {, } Takáo siuácia nemôže nasa, ak f : A B je bijekívne zobrazenie. V omo prípade je oiž pre každé y B množina f [{y}] jednoprvková. Skuone, keby á množina obsahovala prvky x, x, x x muselo by plai poda definície f (x ) = f (x ) = y, a o nie je možné, preože f je prosé zobrazenie. To však znamená, že v prípade bijekívneho zobrazenia f : A B môžeme ku každému y B priradi aké x A, že f (x) = y. Teraz sformulujeme naše úvahy. Definícia. Nech f : A B je bijekcia. Poom funkciu f : B A definovanú ak, že f (y) je (jediný!) prvok x množiny f [{y}], nazývame inverznou funkciou k funkcii f. Všimnie si, že f (y) je jediný aký prvok x A, pre korý f (x) = y. 3
POZNÁMKA. Preože obvykle oznaujeme nezávislé premenné znakom x a závislé premenné znakom y, aj v prípade inverznej funkcie, budeme písa y = f (x) namieso x = f (y). Príklad. Nech f : R R je definovaná ako y = x + 3. Je o bijekcia a inverzná funkcia f (y) : R R má var x = y 3. Poda dohody urobenej v predchádzajúcej poznámke píšeme y = x 3. Z definície inverznej funkcie ahko vyplýva nasledujúce vrdenie. Vea. Nech je f : A B bijekcia. Nech f je k nej inverzná funkcia. Poom plaí: a) f je prosá funkcia f [B] = A, b) f (x) = f(x) pre každé x A, c) f [f(x)] = x pre každé x A, d) f[f (y)] = y pre každé y B. Pre reálne funkcie reálnej premennej sa v súvislosi s inverznou funkciou aso používa oo vrdenie. Vea. Ak f : M R je rasúca (klesajúca) funkcia s oborom hodnô M' = f[m], Poom k nej inverzná funkcia f je rasúca (klesajúca). D ô k a z. Dokážeme veu pre rasúcu funkciu. Nech y < y sú ubovoné ísla z M'. Nech x = f (y ) x = f (y ). Preože f je prosá, je x x. Nakoko f (x ) = y, f (x ) = y a f je rasúca, môže by len x < x. Teda f (y ) < f (y ). Teraz prejdeme k pojmu zloženého zobrazenia. Príklad. Nech g : (, ) 0, ) je zobrazenie definované ako: g(x) = x +. Nech f : 0, ) 0, ) je definované ak, že f(u) = u. Pomocou ýcho zobrazení možno urobi nové zobrazenie h : (, ) 0, ) ako: Najprv íslu x priradíme íslo u = g(x) = x +. Poom íslu u priradíme f(u) = u. Teda íslu x sme vlasne priradili h(x) = x +. Teda h(x) = f [g(x)]. Takýo spôsob vorenia novej funkcie pomocou dvoch daných funkcií je bežný. Pravdaže, aby sme ho mohli realizova, obor hodnô funkcie g musí isým spôsobom súvisie s defininým oborom funkcie f. Schemaicky je o narnué na obr. 0. Obr. 0 33
Upresníme o v nasledujúcej definícii. Definícia. Nech f : A B, g : C D sú dve zobrazenia. Nech D A. Poom zobrazenie h : C D definované ak, že pre každé x C je h(x) = f [g(x)] nazývame zloženým zobrazením uvoreným pomocou zobrazenia f a g. Zobrazenie g voláme vnúornou a f vonkajšou zložkou zloženého zobrazenia h. Vea 3. Nech f : A B, g : C A sú bijekcie. Poom zložené zobrazenie h : C B, kde h(x) = f [g(x)] pre x C je bijekcia. Dôkaz h[c] = f [g[c]] = f [A] = B, eda h : C B je surjekívne zobrazenie. Saí už len dokáza, že je prosé. Ak x, x C, x x máme g(x ) g(x ), preože g je prosé a eda h(x ) = f [g(x )] f [g(x )] = = h(x ) preože f je prosé. Z posledného vzahu je vidie, že h(x ) h(x ). Cvienie. Je zložená funkcia z dvoch rasúcich funkcií rasúca?. Je možné uvori zloženú funkciu ak, aby bola rasúca, ale niekoré z jej zložiek neboli rasúce? 3. Nájdie vnúorné a vonkajšie zložky, z korých možno dosa nasledujúce zložené funkcie a) y = x 3, b) y = x x + 3. Urie defininé obory a obory hodnô ých zložiek. 4. Nech h(x) = f [g(x)], kde f, g sú prosé funkcie. Nech f, ḡ sú k nim inverzné funkcie. Dá sa vyjadri inverzná funkcia h k funkcii h pomocou f a ḡ? Exisuje vôbec h? 5. Ak M (, ) je aká množina, že pre každé x M je aj x M, možno zavies pojem párnej a nepárnej funkcie ako: Funkciu f definovanú na M nazývame párnou (nepárnou), ak pre každé x M plaí f(x) = f( x) (f(x) = f( x)). a) Koré z nasledujúcich funkcií sú párne a koré nepárne: α) f(x) = x, β) f(x) = x n (n N), γ) f(x) = (n N). n x b) o môžeme poveda o grafe párnej (nepárnej) funkcie? c) Dokáže, že každú funkciu f(x) definovanú na inervale ( a, a) môžeme vyjadri ako súe párnej a nepárnej funkcie. 4 IARY DANÉ PARAMETRICKY 34 Zaneme známou fyzikálnou úvahou, korú uvedieme v nasledujúcom príklade. Príklad. Treba opísa pohyb hmoného bodu v rovine v asovom rozmedzí α a β. Úvahu možno vykona ako: Pre každý asový okamih, kde α β sú súradnice [x, y] bodu, v korom sa daný hmoný bod nachádza, závislé od a pre dané sú jednoznane urené usporiadanou dvojicou [ϕ(), ψ()]. Inými slovami pohyb daného hmoného bodu je urený dvojicou funkcií. Sú o funkcie x = ϕ(), y = ψ() definované na inervale α, β. Nezaškodí si uvedomi pri predchádzajúcom príklade úo vec. Pohyb hmoného bodu môže prebieha napríklad ak, ako je o znázornené na obrázku. Preo o zdôrazujeme? Robíme o preo, aby sme si ujasnili, že dvojica funkcií ϕ, ψ môže dáva iaru, korú vo všeobecnosi nemôžeme považova za graf nejakej funkcie f(x) definovanej na nejakom inervale [a, b] alebo na nejakej množine M (, ). Skuone o nie je možné, preože jednému x z ej množiny by museli by priradené niekedy dve hodnoy f(x). Siuácia by mohla by i znane komplikovanejšia, ako je na obr..
35 Obr. Definícia. Nech α, β je inerval a nech ϕ(), ψ() sú dve funkcie definované na α, β. Poom množinu všekých bodov [ϕ(), ψ()], kde α, β nazývame iarou alebo krivkou danou paramericky. Píšeme x = ϕ(), y = ψ() a hovoríme o paramerickom vyjadrení ej iary (krivky). Príklad. Nech α, β = 0,. Definujeme funkcie ϕ, ψ ako: < + = = 0 x pre pre ) ( ϕ < = = 3 0 y pre pre ) ( ψ Jednoduchým výpoom zisíme, že množina bodov [x, y], kde x = ϕ(), y = ψ() pre 0, dáva iaru znázornenú na obrázku. Obr.
Vidíme, že áo iara nie je grafom funkcie y = f(x), hoci funkcie ϕ, ψ boli pomerne jednoduché. Ak ϕ, ψ sú komplikované funkcie, môže iara nimi daná by vemi komplikovaná a nemusí sa na iaru vôbec podoba. Preo sa obyajne pri paramerickom vyjadrení dávajú na funkcie ϕ, ψ alšie predpoklady. S akými predpokladmi sa neskôr sreneme. Veké množsvo v maemaika i v praxi používaných kriviek býva zadané paramericky. Na dosaoné množsvo príkladov akéhoo druhu je porebné pozna dosaoné množsvo funkcií. Tým my zaia neoplývame. Na ilusráciu uvedieme v nasledujúcich dvoch príkladoch dve krivky dané paramericky. Použijeme u goniomerické funkcie, aj ke sme o nich eše nehovorili. V ichosi budeme v ýcho dvoch príkladoch používa sredoškolské vedomosi. Príklad 3. Uvažujme kružnicu s polomerom r > 0,. j. množinu všekých ých bodov [x, y] v rovine, pre koré plaí x + y = r. ahko zisíme (obr. 3), že x = r cos, y = r sin, kde 0, π. Obr. 3 Príklad 4. Nech a > 0, b > 0 sú reálne ísla. Uvažujeme množinu všekých ých bodov [x, y] v rovine, pre koré x = a cos, y = b sin, kde 0, π. Vidíme, že x a y + = cos + sin = b Uvedená množina bodov predsavuje eda dobre známu elipsu. Znovu pripomenieme, že ani krivku v príklade 3, ani krivku v príklade 4 nemôžeme vyjadri v vare y = f(x), kde f je funkcia definovaná na M (, ). Za isých predpokladov je však možné paramericky danú krivku vyjadri v vare y = f(x). Ukazuje o nasledujúca vea. Vea. Nech x = ϕ(), y = ψ() a, b je paramerický daná iara. Nech ϕ je prosá funkcia na a, b. poom exisuje funkcia f definovaná na M (, ), že množina bodov [x, y] = [ϕ(), ψ()] je grafom funkcie f. D ô k a z. Keže ϕ je prosá funkcia, exisuje inverzná funkcia = ϕ (x). Zložená funkcia f(x) = ϕ (x)] je hadanou funkciou f. POZNÁMKA. Funkciu y = f(x) urenú funkciami x = ϕ(), y = ψ(), ak aká exisuje, nazývame srune funkciou danou paramericky. POZNÁMKA. Je dobré si uvedomi, že funkciu y = f(x) definovanú na a, b môžeme považova za vyjadrenú paramericky. Saí položi x =, y = f(). 36
Cvienie. o je množina M, o korej sa hovorí vo vee?. Nájdie funkcie f(x), koré sú urené paramericky ako: a) x = ( ) y =, kde (, ) b) x = a cos, y = b sin, kde 0, π 3. Ukáže, že krivka daná paramericky v príklade sa dá vyjadri v vare x = g(y), kde y je vhodná funkcia definovaná na nejakom inervale. 4. Vyslove a dokáže veu analogickú vee s ým rozdielom, že sa v nej bude hovori o vyjadrení v vare x = g(y), kde g je vhodná funkcia. 5. Vymyslie aký príklad paramerického vyjadrenia krivky, aby ju nejaká priamka rovnobežná s osou y preínala vo viac ako dvoch bodoch. 5 POSTUPNOSTI A SPOÍTATENÉ MNOŽINY Popri mnohých aplikáciách pojmu posupnosi v maemaickej analýze je významný i jeho súvis so spoíaenými množinami. Niekoré výsledky o spoíaených množinách uvedieme v omo odseku. Popri posupnosiach, o sú ako vieme funkcie definované na N, budeme u hovori i o konených posupnosiach. Definícia. Nech n je prirodzené íslo. Konenou posupnosou (n-prvkovou posupnosou) nazývame funkciu f definovanú na množine {,, 3,, n}. Tak ako pri posupnosiach (nekonených) budeme namieso f(), f(),, f(n) písa a, a,, a n. Srune budeme oznaova n-prvkovú posupnos{a i } n i=. Príklad. Nech je daná množina A = {a, b, c}. Môžeme uvori konenú rojprvkovú posupnos ak, aby jej obor hodnô sa zhodoval a množinou A. Saí položi napr. a = a, a = b, a 3 = c. Úvaha z príkladu l nás vedie k možnosi zavies pojem konenej množiny a o ako: Definícia '. Množinu A budeme nazýva konenou, ak je bu prázdna, alebo je oborom hodnô nejakej konenej posupnosi. Množinu budeme nazýva nekonenou, ak nie je konená. V súvislosi s definíciou ' nás môže napadnú, i sa každá nekonená množina nedá zoradi do (nekonenej) posupnosi. Uvidíme, že o ak nie je. Jednako však majú veký význam aké nekonené množiny, koré sa ak zoradi dajú. Definícia. Budeme hovori, že množina A je nekonená spoíaená množina, ak je oborom hodnô nejakej prosej posupnosi. (Inými slovami A je nekonená spoíaená množina, ak exisuje bijekcia f : N A). Množinu nazývame kráko spoíaenou, ak je konená alebo ak je nekonene spoíaená. Príklad. a) Množina N je spoíaená, b) Množina {, 4, 6, } je spoíaená. Spoíaenos množiny N je zrejmá. Za bijekciu možno robi zobrazenie f(n) = n. Aj v prípade b) sa príslušná bijekcia ahko nájde. Saí zobra f(n) = n, eda uvori posupnos {n} n=. POZNÁMKA. Je zrejmé, že aj konené (n-prvkové) množiny možno nepísa v vare nekonenej posupnosi. Pravdaže á posupnos nebude prosá. Príklad 3. Ak A = {a, b} môžeme uvori posupnos {a n } n= ak, že položíme a n = a pre n nepárne a a n = b pre n párne. Množina hodnô posupnosi sa bude zhodova s množinou A. 37
POZNÁMKA. Úvahu z príkladu 3 možno aplikova na ubovonú konenú množinu. (Urobe o!) Vea. Množina A Ø je spoíaená vedy a len vedy, ak je oborom hodnô nejakej posupnosi {a n } n=. D ô k a z. Nech A je spoíaená. Poom je konená alebo nekonená. Ak je nekonená, je poda definície množinou hodnô dokonca prosej posupnosi, a eda nie o dokazova. Ak je konená, ak (pozri poznámku ) môžeme ju iež napísa ako množinu hodnô nejakej posupnosi. Obráene, nech A je množinou hodnô posupnosi {a n } n=. Ak A je konená, je spoíaená, a eda nie o dokazova. Ak A nie je konená, reba zosroji akú prosú posupnos {b n } n=, že jej množina hodnô sa zhoduje s množinou hodnô posupnosi {a n } n=, eda s množinou A. To sa urobí jednoduchou konšrukciou pomocou indukcie, korú u uvedieme. Položme b = a. alší krok indukcie bude akýo. Predpokladáme, že už sú skonšruované b, b,, b n, kde b i b j pre i j, i, j =,,, n a priom každé b j je niekorý z lenov posupnosi {a n } n=. Prvok b n+ zvolíme ako: Bude o aký prvok a k z posupnosi {a n } n= že ak a k b i pre i =,,, n a priom k bude najmenší aký index, pre korý nerovnosi a k b i, i =,,, n sú splnené. Tým je konšrukcia vykonaná. Nie je ažké ukáza, že exisujú množiny, koré nie sú spoíaené. Ukážeme, že akou množinou je aj množina R všekých reálnych ísel. Dokážeme, že dokonca inerval 0, je nespoíaená množina. Tým skôr (pozri cvienie ) je nespoíaená množina R. Na dôkaz budeme porebova dôležiú vlasnos množiny reálnych ísel zv. princíp do seba zapadajúcich inervalov. Vea. Nech {a n, b n } n= je aká posupnos uzavreých inervalov, že a n, b n a n+, b n+ pre n =,, Poom exisuje aké reálne íslo x, že x a n, b n pre n =,, D ô k a z. Nech A = {a n : n =,, } resp. B = {b n : n =,, } sú množiny, korých prvky sú avé, resp. pravé koncové body inervalov a n, b n. Preože a n, b n a, b pre n =,, sú množiny A, B ohraniené. Exisuje eda sup A = a a inf B = b. Zrejme plaí a b (dokáže o podrobne). Ak x je ubovoný aký prvok, že a x b, ak máme pre n =,, a n a x b b n, eda x a n, b n pre n =,,, o bolo reba dokáza. Vea 3. Inerval 0, je nespoíaená množina. D ô k a z. Nepriamo. Nech 0, je spoíaenou množinou. Poom exisuje posupnos {c n } n= ak, že 0, je množinou hodnô ej posupnosi. Rozdelíme inerval 0, na inervaly 0, 3, 3, 3, 3,. Zoberieme prvok c. Teno prvok neparí aspo do jedného z uvedených inervalov. Ten inerval oznaíme a, b. Rozdelíme eraz inerval a, b na ri inervaly a, a b a +, a b a +, 3 3 b a a b +, a a +, b. Zoberieme prvok c. Ten neparí aspo do jedného z posledných 3 3 roch inervalov. Ten inerval oznaíme a, b. Zrejme je a, b a, b. Tako skonšruujeme indukciou celú posupnos do seba zapadajúcich inervalov. Prvé dva sme už skonšruovali. Predpokladajme, že už sú skonšruované a, b a, b a n, b n ak, že c i a i, b i pre i =,,, n. Rozdeme eraz inerval a n, b n známym spôsobom na ri uzavreé inervaly a en z nich, do korého nepadne íslo c n+ oznaíme a n+, b n+. Tako je eda konšrukciou indukciou zaruené, že exisuje posupnos {a n, b n } n= do seba zapadajúcich inervalov, priom c n a n, b n n =,, Poda vey exisuje eda x 0, ak, že x a n, b n pre n =,, Keže x 0, a poda predpokladu je 0, oborom hodnô posupnosi {c n } n= plaí x = c n0 pre nejaké n 0. Na druhej srane však c n0 a n0, b n0 a o je spor s ým, že x a n, b n pre každé n. DÔSLEDOK. Množina R ja nespoíaená. V súvislosi s nespoíaenosou množiny R vzniká oázka, ako je o s nespoíaenosou množiny Q všekých racionálnych ísel. Dá sa ukáza (pozri cvienie 5), že áo množina je spoíaená. 38
Zakoníme eno odsek poznámkou o syséme množín. V omo odseku sme oiž so sysémom množín pracovali. Boli o sysémy inervalov. Išlo o špeciálny sysém inervalov {a n, b n : n =,, 3, }. Je však celkom dobre mysliené, že exisujú aj nespoíaené sysémy množín. Príklad 4. Ku každému x R priradíme ovorený inerval (x, x + ). Oznaíme aký inerval A x. Sysém všekých akých inervalov A x je vlasne sysém množín {A x : x R}. Teno sysém je nespo- íaený. Dokážeme o ahko. Uvedomme si, že funkcia f, korá každému x R prirauje inerval A x = (x, x + ) je bijekcia definovaná na R a oborom hodnô {A x : x R}. (Overe si o podrobne.) Z oho už ahko vyplýva, že {A x : x R}nemôže by spoíaený sysém (preo?). Vo všeobecnosi môžeme ma eda konené, spoíaené i nespoíaené sysémy množín. Konené sysémy môžeme napísa v vare A, A,, A n. Na nekonene spoíaený sysém množín sa môžeme díva ak, že jeho prvky sú lenmi nejakej posupnosi A, A,, A n,. Všeobecný prípad dosaneme ak, že indexy berieme z nejakej (ubovonej) danej množiny T. Prichádzame ak k pojmu indexovaný sysém množín. Definícia 3. Nech T je ubovoná (zv. indexová) množina. Nech f je funkcia, korá každému T priradí A. Poom hovoríme, že sysém {A : T} je indexovaný sysém množín. Namieso {A : T} píšeme niekedy {A } ( T). Prirodzeným spôsobom môžeme zavies zjednoenie, resp. prienik indexovaného sysému množín. Definícia 4. Nech {A } ( T) je indexovaný sysém množín. Množinu A nazývame zjednoením oho sysému a píšeme A =, ak je o množina všekých akých prvkov x, koré paria aspo do jednej množiny A, kde T. T A POZNÁMKA. Množina T A je eda definovaná ako: x T A ( T x A ) POZNÁMKA 3. Ak T = {,, }, píšeme A = A i namieso A = A. Ak T = {,,, n}, i= T píšeme A = n A i i= Definícia 5. Nech {A } ( T) je indexovaný sysém množín. Množinu A nazývame prienikom oho sysému a oznaujeme A =, ak je o množina všekých ých x, koré paria do každej množiny oho sysému. T A POZNÁMKA 4. Prienik indexovaného sysému množín je eda zavedený ako: x T A x A ) ( T POZNÁMKA 5. Pri T = {,, }, píšeme A = A n a ak T = {,,, n}, píšeme n A = A i. n= i= POZNÁMKA 6. Zjednoenie a prienik možno zavies pre ubovoný, nielen pre indexovaný sysém množín. 39
Cvienie. Ukáže, že ak A je spoíaená (nespoíaená) množina a f : A B je bijekcia, ak aj f [A] je spoíaená (nespoíaená) množina.. Ak A je spoíaená množina a B A, dokáže, že aj B je spoíaená množina. 3. Nech A, B sú spoíaené množiny. Ukáže, že A B je spoíaená množina. Návod: A je množinou hodnô posupnosi {a n } n=, B zase množinou hodnô posupnosi {b n } n= uvorme nasledujúcu abuku usporiadaných dvojíc. [a, b ], [a, b ], [a, b 3 ], [a, b ], [a, b ], [a, b 3 ], [a 3, b ], [a 3, b ], [a 3, b 3 ], [a n, b ], [a n, b ], [a n, b 3 ], Prvky danej abuky možno zaradi do posupnosi ak, ako o ukazujú šípky. Posup je aký, že najprv zoberieme dvojice, u korých súe indexov je, poom ie, u korých je súe indexov 3, a. 4. Množina Z všekých celých ísel je spoíaená. 5. Množina Q všekých racionálnych ísel je spoíaená. Návod: p Prirae racionálnemu íslu r = dvojicu [p, q]. q 6. ubovoný aký sysém inervalov {I } ( T) na íselnej osi, pre korý plaí I I = Ø, ak je spoíaený. 40