ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ/ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5 05 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 7 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 66 ΒΙΒΛΙΟ ΜΠΑΡΛΑ. Α3. α Σ, β Λ, γ Λ, δ Λ, ε Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε όλο το, άρα είναι συνεχής και στο μηδέν, δηλαδή lim f f 0. Έχουμε: ισχύει: 0 f f f έχουμε: f f Για 0 lim lim 0, όπου 0 0 και 0 0 lim 0 lim lim 0.Τα όρια είναι ίσα: lim lim, άρα από κριτήριο παρεμβολής είναι lim f. 0 lim f lim f lim f f 0. 0 0 H f είναι συνεχής στο μηδέν, οπότε: 0 0 0 Β. Για κάθε ισχύει: f f 0. Για έχουμε: f 05 f 07. f f 0 f 0 f 05 Β3. Θα εφαρμόσουμε θεώρημα Bolzano για την h(), με Dh Η συνάρτηση συναρτήσεων. h(0)h()=(f(0)+)f()=-07<0 R. h f, είναι συνεχής στο [0,] R, ως πράξεις συνεχών Από Θ.Β υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 0,, τέτοιο, ώστε 0 Άρα η εξίσωση h 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα. 0 0, h 0. Φροντιστήρια Εν-τάξη Σελίδα από 6
Β. Για τον υπολογισμό του ορίου lim f 0 0 h 0f 0f, ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 3 0 έχουμε: ln 0 0 0 0 0, άρα 0 0 00 0 0f0 0, συνεπώς 0 f0. Επομένως έ lim f 0 0. lim 3 lim 3 0, 0 έ lim και lim ln lim 3 lim lim 3 0 0 0. ln ln Άρα έχουμε: 3 lim f 0 0 0 0. ln, άρα lim 0. ln ΘΕΜΑ Γ f ln e 3. Γ. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Πρέπει Έστω, e 0 e 0, άρα το πεδίο ορισμού είναι A 0, A με e e ln e ln e, () 3 3, (). Προσθέτω τις σχέσεις () και () και προκύπτει: f f. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Επειδή η f είναι συνεχής στο Α και γνησίως αύξουσα, είναι f A f 0, lim f, lim f. 0 Έχουμε 0 0 lim f lim ln e 3, ιότι: e lim ln e lim ln 0 o lim e 0 o o Και και lim f lim ln e 3 ιότι: e lim ln e lim ln o lim e lim 3 3 Φροντιστήρια Εν-τάξη Σελίδα από 6 0 και lim 3. Άρα fa. Έχουμε fa, οπότε ο αριθμός e ανήκει στο σύνολο τιμών της f. Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y=e τουλάχιστον μία φορά,
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 αφού η εξίσωση f()=e, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 0,. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η παραπάνω εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα στο 0,. Γ. α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με e flne 3 e 3 e e e e Οπότε για, 0, έχουμε: e e 3 3 e e e e δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα., άρα f f β) Θα δείξουμε ότι η εξίσωση f 3 f 3 0 0,ln. Θεωρούμε τη συνάρτηση g f 3, lim g lim f 3 lim, e Είναι 0 0 0 διότι lim e 0 και 0 e 0,, έχει μοναδική ρίζα στο 0,ln. για >0, άρα lim 0 e Οπότε υπάρχει α>0, κοντά στο 0, τέτοιο, ώστε g(α)>0. Επομένως Η g είναι συνεχής στο,ln και lim 0. Είναι g 0 και gln flnln3 ln ln 0. ln e Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση,ln 0,ln. Θα δείξουμε την μονοτονία της g στο Έστω, 0,ln με f f 0 g 0έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0,ln. και 3 3. Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι g g άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,ln, επομένως η εξίσωση ρίζα στο 0,ln. Γ 3. Έχουμε 0 0 lim f lim ln e 3 και, άρα lim f f lim f, διότι 0 0 f κοντά στο 0. Συνεπώς, 0, f 0 κοντά στο 0 lim 0 f f f f f f f f 0 0 0 g 0έχει μοναδική f f 0, άρα lim lim lim f f f Φροντιστήρια Εν-τάξη Σελίδα 3 από 6
Οπότε, f lim f lim, f f 0 0 ιότι: θέτω 0 f, άρα 0 0 f ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 lim 0, οπότε έχω lim 0 f f f lim f. f f Γ. Η f είναι συνεχής στο [α,γ]. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, γ] και είναι α<β<γ, έχουμε f f f, οπότε: f f f f f f,() f f f,() f f f 3f3f 3f, (3) Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισοτήτων, έχουμε f f 3f 6f f f 3f 6f f f. 6 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ένας τουλάχιστον,, τέτοιος, ώστε f f 3f f 6f f f 3f 6 Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το ξ είναι μοναδικό. ΘΕΜΑ. Για κάθε R ισχύει: f 6 f 8 f f f 6 f 8 f 6 f 6 f 6 () Επειδή 6 0, για κάθε R, από την () έχουμε ότι: f 0 f 0, για κάθε R, άρα η g f 0 Αφού επιπλέον, η g είναι συνεχής, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στοr.. α) Είναι g0 f0 0 0και επειδή η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στοr, Φροντιστήρια Εν-τάξη Σελίδα από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 προκύπτει ότι g 0 f 0, οπότε από την () έχουμε ότι: f 6 f f f, R. β) lim f lim lim 8 lim lim lim 0 8 8 lim 0 0. f f γ) lim lim 0. f 0 3.α) Για,0 Έστω,,0, f με 8 Προσθέτοντας τις παραπάνω ανισώσεις, προκύπτει ότι: f f, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,0, οπότε είναι και -, άρα αντιστρέφεται. β) Το πεδίο ορισμού Α της αύξουσα και συνεχής στο f είναι το σύνολο τιμών της f στο,0,0, άρα γ) Η f είναι παραγωγίσιμη με. Η f είναι γνησίως ( ) A f,0 lim f,f 0 0, f Φροντιστήρια Εν-τάξη Σελίδα 5 από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0 03 Η f είναι παραγωγίσιμη με: f 8 8 8 lim f lim lim Οπότε 8 8 8 lim lim lim 8, διότι lim 0. 0,3,3 0,. Η f - είναι συνεχής στο. Επειδή η f- είναι γνησίως αύξουσα στο (εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα. ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω y,y 0, με y y, ά f f y f f y,o ό f y f y, έ f ί ύ.) έχουμε: f f f 3 f f f3, για κάθε,3, οπότε: 3 3 f f f 3 f f f 3 5 f f f 3. Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισοτήτων, έχουμε 3 5 f f f 3 5 f f f f f 3 f f 3 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ένας τουλάχιστον,3, τέτοιος, 3 5 f f f 3 5 ώστε f f f f f. Φροντιστήρια Εν-τάξη Σελίδα 6 από 6