TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada je presek opterećen na čisto savijanje, i to: - uzimajući u ozir samo površinu zategnute armature u preseku, - uzimajući u ozir i uticaj armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka;. kada je, pored momenta savijanja, presek opterećen i: - graničnom računskom silom pritiska N u, odnosno - graničnom računskom silom zatezanja Z u. MB 40 RA 400/500 N u 800 kn A a 39.7 cm (8RØ5) A a 9.8 cm (RØ5) Z u 400 kn Uslovi ravnoteže se u opštem slučaju (dvostruko armirani pravougaoni presek, napregnut na složeno savijanje), mogu napisati u sledećem oliku: 80 4.5 4 3 8.5 4.5 5.5 4.5 8 7.55 8 40 4.5 RØ5 RØ UØ8/5 RØ 3RØ5 5RØ5 ΣN 0: D u + D au - Z au N u ΣM a 0: D u z - D u z + D au (h - a ) M au M u + N u y a Dijagrami dilatacija i napona, položaj spoljašnjih i unutrašnjih sila i karakteristične geometrijske veličine potrene za proračun su prikazane na slici. 3.5 σc f B M u y A a a - a a D au η D u N u y d h G A a h - h - a z a a a 0 Z au
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA Koristeći oznake sa slike, izrazi za sile pritiska u etonu D u i armaturi D au i silu zatezanja u armaturi Z au mogu se napisati u oliku: D u f B s h f B D au A a σ a ; σ a E a a σ v Z au A a σ a ; σ a E a a σ v Položaj neutralne linije i dilataciju pritisnute armature moguće je izraziti preko dilatacija etona i zategnute armature. Sa skice, s ozirom na važenje Bernoulli-jeve hipoteze ravnih preseka, sledi: a h s h + a + a a h a a a s s Krak unutrašnjih sila z može se izraziti u oliku: z h η h ( η s) ζ h Pri tome se, za važeći radni dijagram etona (paraola+praovugaonik), mogu koristiti analitički izrazi za sračunavanje koeficijenta punoće naponskog dijagrama i koeficijenta položaja sile pritiska u etonu η u odnosu na gornju ivicu preseka: ( 6 ) ; 3 ; 3 8 4 η za ( 6 ) ( 3 4) + ( 3 ) η za 3.5 ili se njihove vrednosti mogu očitati iz odgovarajućih talica za dimenzionisanje pravougaonih preseka opterećenih u olasti velikog ekscentriciteta. Na ovaj način je prolem sveden na rešavanje sistema dve jednačine sa dve nepoznate (M u i jedna od dilatacija e, e a ili položaj neutralne linije s), pri čemu ar jedna od dilatacija mora dostići graničnu vrednost ( 3.5, odnosno a 0 ). Zog glomaznosti rešenja u zatvorenom oliku, postupak određivanja momenta loma je iterativan. Najpre se iz uslova ravnoteže normalnih sila, variranjem dilatacija i a odredi položaj neutralne linije. Zatim se sa svim poznatim veličinama iz uslova ravnoteže momenata savijanja sračunava i nepoznata vrednost momenta loma M u. Presek opterećen na čisto savijanje MB 40 f B.55 kn/cm RA 400/500 σ v 40 kn/cm U prvom koraku može se pretpostaviti da će do iscrpljenja nosivosti preseka doći istovremenim dostizanjem graničnih dilatacija etona i zategnute armature. Koeficijent položaja neutralne linije i dilatacija pritisnute armature sračunavaju se iz izraza:
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 3 / a 3.5/0 s 0.59 0 + 3.5 0.59 0.06 400 a 3.5.673 > v.905 3 0.59 0 0 Dakle, dilatacije i pritisnute i zategnute armature su veće od granice tečenja, pa je: σ a σ a σ v 400 MPa 40 kn/cm Vrednost koeficijenta punoće naponskog dijagrama etona očitava se iz talica ili sračunava iz izraza: 3.5 0.80 3.5 Pritom nije neophodno sračunavati i koeficijent položaja sile pritiska u etonu η sve dok se ne proveri da li je uslov ravnoteže normalnih sila zadovoljen. Uvrštavanjem sračunatih vrednosti u izraze za unutrašnje sile sledi: D u 0.80 0.59 40 73.44.55 D au 9.8 40 Z au 39.7 40 57. kn 39.8 kn 570.8 kn Konačno, proverava se uslov ravnoteže normalnih sila: ΣN 0: D u + D au Z au N u 0 ΣN 0: 57. + 39.8 570.8 394. > 0 S ozirom da uslov ravnoteže nije zadovoljen, potreno je korigovati proračun. Kako ukupna unutrašnja sila pritiska premašuje silu zatezanja, potreno je smanjiti dilataciju krajnje pritisnute ivice etona. Dakle, < 3.5 ; a 0. Kako je a 0 > v, sila zatezanja je konstantna i iznosi Z au 570.8 kn. S ozirom da je u prvom koraku došlo do relativno velikog odstupanja u uslovu ravnoteže normalnih sila, u drugom koraku se pretpostavlja znatno manja vrednost i čitav napred izloženi postupak u potpunosti ponavlja. / a.0/0 s 0.67 0 +.0 0.67 0.06 400 a.0.65 < v.905 3 0.67 0 0 σ a.65 0-3 0 0 3 65.5 MPa 6.56 kn/cm.0 0.667.0 D u 0.667 0.67 40 73.44.55 83.3 kn
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 4 D au 9.8 6.56 Z au 39.7 40 Konačno, uslov ravnoteže normalnih sila daje: 60.8 kn 570.8 kn ΣN 0: 83.3 + 60.8 570.8-477.7 < 0 U ovom slučaju kao rezultat se pojavljuje sila zatezanja (prema oznakama na slici i ranije usvojenoj konvenciji o znacima), što znači da trea povećati dilataciju etona u odnosu na pretpostavljenu vrednost iz drugog koraka, odnosno:.0 < < 3.5 ; a 0 Sukcesivnim sužavanjem intervala se dilatacija etona, odnosno položaj neutralne linije može odrediti sa željenom tačnošću. Posle nekoliko iteracija doija se konačno: / a.664/0 s 0.0 0 +.664 0.0 0.06 400 a.664.888 < v.905 3 0.0 0 0 σ a.888 0-3 0 0 3 396.5 MPa 39.65 kn/cm.664 0.750.664 D u 0.750 0.0 40 73.44.55 8.4 kn D au 9.8 39.65 Z au 39.7 40 ΣN 0: 8.4 + 389.4 570.8 0 389.4 kn 570.8 kn Zadovoljenjem uslova ravnoteže normalnih sila određen je položaj neutralne linije u preseku i veličina unutrašnjih sila. Da i se mogao ispisati uslov ravnoteže momenata savijanja, potreno je iz izraza odrediti i položaj sile D u, odnosno veličinu kraka unutrašnjih sila z : (.664 4) + (.664 ).664 η 0.396.664 z ( 0.396 0.0) 73.44 67.3 cm Tražena vrednost momenta loma doija se iz sume momenata oko težišta zategnute armature u preseku: M au M u 8.4 67.3 + 389.4 (73.44 4.5) 06380 kncm 063.8 knm Presek opterećen na složeno savijanje Kako je postupak u ovom slučaju isti kao i u slučaju čistog savijanja, rezultati proračuna položaja neutralne linije će iti prikazani taelarno. U slučaju delovanja normalne sile pritiska, potreno je zadovoljiti uslov ravnoteže:
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 5 ΣN 0: D u + D au Z au 800 0 a s D u a σ a D au Z au ΣN [ ] [ ] [ ] [ ] [kn] [ ] [kn/cm ] [kn] [kn] [kn] 3.5 0.0 0.59 0.80 57..673 40.0 39.8 570.8-405.8 3.5 7.0 0.333 0.80 0.3.857 40.0 39.8 570.8 43.4 3.5 7.3 0.34 0.80 965..838 40.0 39.8 570.8 -.8 3.5 7.3 0.36 0.80 978.0.843 40.0 39.8 570.8 0.0 Tražena vrednost momenta loma pri istovremenom dejstvu sile N u 800 kn određuje se iz uslova ravnoteže momenata savijanja u odnosu na težište zategnute armature: D d z +Dau a Nu a ( h- )- - Mu u Zamenom numeričkih vrednosti sledi: 3.5 ( 3.5 4) + ( 3.5 ) 3.5 η 0.46 3.5 z ( 0.46 0.36) 73.44 63.48 cm Mu 80 978.0 63.48 + 39.8 56 ( 73.44-4.5) - 800-6. 5880 kncm 58.8 knm Postupak proračuna je potpuno isti i u slučaju delovanja sile zatezanja Z u 400 kn, kada je potreno zadovoljiti uslov ravnoteže: ΣN 0: D u + D au Z au + 400 0 a s D u a σ a D au Z au ΣN [ ] [ ] [ ] [ ] [kn] [ ] [kn/cm ] [kn] [kn] [kn].5 0.0 0.00 0.733 098.7.734 36.4 357.6 570.8 85.5.0 0.0 0.67 0.667 83.3.65 6.56 60.8 570.8-77.7.5 0.0 0.77 0.690 94.5.406 9.5 89.8 570.8 33.6.04 0.0 0.74 0.683 889.8.363 8.6 8.0 570.8 0.0.04 z ( 0.378 0.74) 73.44 68.6 cm Mu ( 3.04 4) + ( 3.04 ).04 η 0.378.04 80 889.8 68.6 + 8.0 ( 73.44-4.5) + 400-6. 56 93804 kncm 938.04 knm
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 6 Jednostruko armiran pravougaoni presek opterećen na složeno savijanje U slučaju da se zanemari nosivost armature smeštene uz pritisnutu ivicu preseka, proračun se sprovodi po istom postupku, izostavljajući sve članove koji se odnose na ovu armaturu. U tom slučaju, moment loma je moguće odrediti i u samo jednom koraku, pomoću taela za dimenzionisanje pravougaonih preseka. Poznati izrazi za određivanje statičke visine i površine armature za pravougaoni presek napregnut na složeno savijanje u olasti velikog ekscentriciteta mogu se napisati u oliku: µ Aa v + s σ N h f B h f k u Mau B Mu B h f k d - Nu - a Kako su poznate geometrijske veličine preseka, količina i položaj armature i mehaničke karakteristike materijala, može se sračunati mehanički koeficijent armiranja zategnutom armaturom µ iz izraza. Iz talica se pročita odgovarajuća vrednost koeficijenta k i iz izraza odredi nepoznati moment loma M u pri odgovarajućoj sili N u. Zamenom numeričkih vrednosti doija se za slučaj čistog savijanja: 39.7 40 µ 0.0969 0.969% k.3 40 73.44.55 73.44 Mu 40.0.55 0300 kncm 030. knm.3 U narednoj taeli su prikazane uporedne vrednosti dilatacija etona i armature i odgovarajuće vrednosti momenata loma doijene uvodeći u proračun samo zategnutu, odnosno ukupnu armaturu u preseku. A a 0 A a > 0 N u a M u a M u [kn] [ ] [ ] [knm] [ ] [ ] [knm] 0 3.5 0.0 030..664 0.0 063.8 800 3.5 5.45 9. 3.5 7.30 58.8-400.65 0.0 94.9.04 0.0 938.0