TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor curete, cât şi bsolveţilor cre doresc să se pregătescă temeiic î vedere emeului de bcluret şi cocursului de dmitere î uiversităţi de prestigiu î cre dmitere se fce pe bz uor probe l discipliele de mtemtică. Coţiutul culegerii este dptt oului curriculum de mtemtică cre pri setul de competeţe, vlori şi titudii pe cre le promoveză sigură premisele petru o itegrre profesiolă optimă pri trsee idividule de îvăţre şi formre. Avâd î vedere diversitte dtortă eisteţei uui mre umăr de mule ltertive, m căutt să uificăm diferitele miere de prezetre pri legere uor probleme pe cre le cosiderăm idispesbile petru bordre cu succes cursurilor de mtemtică di ciclul îtâi de l tote fcultăţile Uiversităţii Politehic di Timişor. L lcătuire problemelor s- vut î vedere o reprezetre corespuzătore tât părţii de clcul, cât şi spectelor de judectă, respectiv, de rţiomet mtemtic. Grdul de dificultte l problemelor efiid cel l uei olimpide de mtemtică, ceste vor pute fi bordte de orice elev su bsolvet cu o pregătire medie părţii teoretice şi cre posedă deprideri de clcul corespuzătore. Problemele sut prezette după modelul test, cu şse răspusuri fiecre, ditre cre uul sigur este corect. Coştieţi de fptul că dor urmărire rezolvării uor probleme u duce l formre depriderilor de clcul şi uui rţiomet mtemtic riguros, utorii u les vrit problemelor propuse fără rezolvări. De semee, petru u forţ î rezolvre obţiere uui rezultt diite cuoscut, u se fce precizre cre ditre cele şse răspusuri este devărt, cest rezultâd î urm uei rezolvări corecte. Totuşi, petru uele problemele cu u grd mi mre de dificultte, utorii u cosidert ecesr să de idicţii şi rezolvări itegrle. Ţiâd cot de fptul că prezet crte v fi folosită şi l îtocmire subiectelor petru cocursul de dmitere l Uiversitte Politehic di Timişor, ivităm bsolveţii de liceu să rezolve testele di cest volum, dăugâdu-şi stfel cuoştiţe oi l cele dej eistete şi implicâdu-se pri cest î demersul de evlure propriilor competeţe. Deprtmetul de Mtemtică l UPT
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ Elemete de lgebră PROGRAMA ANALITICĂ Progresii ritmetice şi geometrice. Fucţii: fucţi prte îtregă, fucţi rdicl, fucţi de grdul l doile. Ecuţii irţiole. Sisteme de ecuţii eliire. Fucţi epoeţilǎ şi fucţi logritmicǎ. Ecuţii epoeţile şi ecuţii logritmice. Permutări, rjmete, combiări. Biomul lui Newto. Numere complee sub formă lgebrică şi sub formă trigoometrică. Mtrice.Determiţi. Sisteme de ecuţii liire. Legi de compoziţie. Grupuri. Iele şi corpuri. Iele de poliome cu coeficieţi îtr-u corp comuttiv. Elemete de geometrie şi trigoometrie Fucţii trigoometrice. Relţii ître fucţii trigoometrice. Ecuţii trigoometrice. Aplicţii trigoometrice î geometri plă: teorem cosiusului, teorem siusurilor; rezolvre triughiurilor. Drept î pl. Ecuţii le dreptei. Codiţii de prlelism şi codiţii de perpediculritte două drepte. Clcule de distţe şi rii. Ecuţii le cercului î pl. Elemete de liză mtemtică Limite de şiruri. Limite de fucţii. Cotiuitte. Derivbilitte. Aplicţii le derivtelor î studiul vriţiei fucţiilor. Primitive. Itegrl defiită. Aplicţii le itegrlei defiite: ri uei suprfeţe ple, volumul uui corp de rotţie, clculul uor limite de şiruri.
Acestă culegere este recomdtă petru dmitere l următorele fcultăţi le Uiversităţii Politehic di Timişor: Fcultte de Arhitectură Fcultte de Automtică şi Clcultore Fcultte de Electroică şi Telecomuicţii
CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL )...9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol GT )...65 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )...7 PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI... BIBLIOGRAFIE.. 58
6
ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - Cre este cel de-l -le terme l şirului,,5,7,...? ) b) c) 5 d) e) 9 f) 7 AL - Să se găsescă primul terme şi rţi r i uei progresii ritmetice 6 + 7 ( ) dcă :. 8 7 ), r b), r c), r d) 5, r e), r f), r AL - Să se determie sum primilor de termei i uei progresii ritmetice ( ), dcă, 5. ) b) 795 c) 55 d) 65 e) 5 f) 5 AL - Petru o progresie ritmetică sum primilor termei i ei este S 5 + 6. Să se determie primul terme şi rţi r. ), r 9 b), r c), r d), r e), r f) 9, r 9 AL - 5 Să se determie rţi şi primul terme le uei progresii ritmetice petru cre 5 8, ir S S, ude S este sum primilor termei i progresiei. ) 6, r b), r c), r 5 d), r 5 e) 8, r f), r
Elemete de lgebră AL - 6 Să se determie R stfel îcât următorele umere: + 5, +, + să fie î progresie ritmetică, ude [ α ] reprezită prte îtregă lui α R. ) d), ; b), ; c), ;, ; e), ; f) φ AL - 7 Să se determie R stfel îcât următorele umere să fie î progresie ritmetică: +,, 5, ude N. ) {,, } ; b) 5 c) d) { 5,6,7,8} e) f) φ AL - 8 Să se determie R stfel îcât următorul triplet să fie formt di umere î progresie geometrică +,, + 5 ), d) { } e) b), c) φ f), AL 9 Fie ( ) S b b, R, petru orice. Să se determie şi b stfel îcât şirul ( ) să fie progresie ritmetică cu primul terme egl cu. u şir vâd sum primilor termei + +, ude ), b R, b, c), b d), b e), b f), b b) ( )
Culegere de probleme AL Fie pq, N, p q. Să se determie rţi uei progresii ritmetice î cre primul terme este, ir rportul ître sum primilor p termei şi sum primilor q p termei este. q ) b) c) 6 d) 5 e) f) AL Fie,,..., \ { } R termeii uei progresii ritmetice cu rţi r. Î fucţie de, şi r să se clculeze sum: S + +... +. ) ( + ) b) + + r c) [ + ( ) r] d) ( r) e) ( + r) f) + + ( )r AL Să se determie umărul termeilor uei progresii ritmetice descrescătore dcă simult sut îdepliite codiţiile : (i) Rţi stisfce ecuţi 9 7 (ii) Primul terme stisfce ecuţi : lg ( y + ) lg( 5 + 7) lg + lg y (iii) Sum progresiei este cu 9 mi mică decât epoetul p l biomului p b b + î cărui dezvoltre termeul l ptrule coţie pe b l putere îtâi. ) 5 b) c) 6 d) e) f) 8
Elemete de lgebră AL - Să se determie primul terme şi rţi q petru progresi ( ) geometrică dcă : 5 5. 6 ), q b), q c) 6, q 6 d) su e), q f) su q q q q AL - Sum trei umere î progresie ritmetică este eglă cu. Dcă se dugă cestor, respectiv umerele,,, progresi devie geometrică. Să se fle ceste umere. ) 5,,7 şi 5,, b),,7 şi 7,,-9 c) 6,8, d),,5 şi 7,5, e) 5,9, şi 8,, f),,6 şi,,9 AL 5 Trei umere sut î progresie geometrică. Dcă se măreşte l doile cu, progresi devie ritmetică, ir dcă se măreşte poi şi l treile cu 576, progresi devie di ou geometrică. Cre sut cele trei umere? ),, su,-7,9 ; b),, su -7,,9 ; c),, su,9,-7 ; d),,6 su 6,, ; e) 8,, su -,-, ; f),, su 9,5,5 AL 6 Pot fi umerele 7,8,9 elemete le uei progresii geometrice? ) D î progresie geometrică î ordie 7,8,9 cu o rţie q< b) D î progresie geometrică î ordie 9,8,7 cu o rţie q< c) D î progresie geometrică î ordie 7,9,8 cu o rţie q< d) D î progresie geometrică î ordie 8,9,7 cu o rţie q< e) Nu, cu umerele dte u se pote form o progresie geometrică f) D î progresie geometrică î ordie 7,9,8 cu o rţie q>
Culegere de probleme AL 7 Să se clculeze k k. k ) 9899; b) 98; c) 98; d) 985; e) 987; f) 989 AL 8 Să se clculeze sum S + + +... +.... cifre ) [ 9] b) [ 9] 8 8 d) [ 9] e) [ 9] 9 9 c) + [ 9] 8 f) + [ 9] 9 AL 9 Fie N, şi,,, primii termei i uei progresii geometrice cu k >, k,. Dcă S k, S şi p, tuci : k k k S p S ) b) S p S c) p S S S d) p S e) f) S + S p SS p S S
Elemete de lgebră 5 AL Fie ( ) şi ( b ) două progresii stfel îcât prim să fie ritmetică şi ce de dou geometrică, ir b şi b. Să se determie ceste progresii dcă b + 6. ) 9, + 9 b) 9 6 b su b b su b c) 9 d) - 9 b su b (-) - b su b (-) e) + 9 9 f) + 9 9 b (-) su b (-) b (-) su b AL Fie,...,, p N *. Să se clculeze sum u şir de umere rele î progresie geometrică şi S p + p + p + p +... + p + + p. ) p q S b) p p ( q ) q p S p p ( q ) c) S p ( ) p ( q q p ) q p p ( ) ( q q ) d) p p ( q ) S e) p ( ) S p p ( q + ) f) S p ( ) p q ( q p ) q p + AL Să se clculeze epresi + + E + + +... + +... +, R \ { }. ) b) + c) + +
6 Culegere de probleme d) + e) + + f) AL Să se decidă dcă este progresie geometrică u şir petru cre sum primilor săi termei este S + ; î cz firmtiv precizţi rţi q cestei. ) q b) q c) q d) q e) Şirul u este progresie geometrică f) q 6 AL Să se determie umerele rele,y,z dcă,y,z sut î progresie ritmetică cu rţi eulă,,z,y sut î progresie geometrică şi +y+z 8. ) -, 6, b), 6, - c) 6,, d) -,, 8 e), -6, 6 f) 6, -8, AL 5 Să se determie umerele rele cu propriette 5 +, şi să se precizeze itervlul î cre se flă soluţi. ), 5 b), 5 5 c), 5 5 d), 5 5 e) 5, f) [, ) AL - 6 Să se determie umărul turl 6 N k k, ude [ ] oteză prte îtregă umărului rţiol scris î iterior.
Elemete de lgebră 7 ) 7 b) 8 c) 57 d) 9 e) 97 f) 78 AL - 7 Dcă [α] reprezită prte îtregă lui α R, să se rezolve ecuţi : + precizâdu-se î cre di următorele itervle se flă soluţi ) (,7) (9,5) b) (-5,-) (, ] [5,7) c) (-,) [, ) (6,) d), (,) [5,7) e) (-,] [,) (5,8) f) [,] [,7] (9,+ ) AL - 8 Să se rezolve ecuţi [ ] [ ] + 5 ) [, ) b) (, ) c) (,) d) (,] e) f) [,) 5 + 6 5 7 AL - 9 Mulţime soluţiilor ecuţiei: 8, ude [] reprezită prte 5 îtregă lui, este ), b) 5 7, c), 5 5, 7 d), e), 5, f), 5 AL - Notâd cu S mulţime soluţiilor ecuţiei [ ] să se precizeze cre di următorele mulţimi este S
8 Culegere de probleme ), Z * b) k, k + c) { ; k Z k d) {-,} e) [-,] f) (-,) AL Se cosideră fucţi f: R R, f ( ) + şi se oteză f f ο f,, f f - ο f. Să se determie epresi lui f Z \ {,} } ) f () f() + ; b) f () f(); c) f () f()+ - + d) f () f(); e) f () f()++; f) f () f()+ AL - Fie ecuţi. Stbiliţi cre ditre firmţiile de mi jos este devărtă ) ecuţi re două soluţii b) ecuţi re trei soluţii c) ecuţi re o sigură soluţie d) ecuţi re o ifiitte de soluţii e) ecuţi u re ici o soluţie f) ecuţi re umi soluţii egtive m + AL - Se dă ecuţi, m Z \ { }, ude [ ] este prte 5 îtregă umărului rel. Să se determie m Z petru cre ecuţi re soluţii şi poi să se determie ceste soluţii: ) m ± b) m ± c) m ± 9 9 ; 7; 7; 9 9 9 7; ; ; d) m ± e) m ± f) m ± 9 9 9 ; 7; 7;
Elemete de lgebră 9 9 9 9 ; 8; ; AL - Să se clculeze f ((, ]) petru fucţi de grdul l doile defiită pri f ( ) +. ) [,] b) [,) c) (,] d) [,] e) (,) f) (,) AL - 5 Dcă fucţiile f,g :R R u proprietăţile: i) f(g()) -+, ( ) R ; ii) g(f()) să se determie cel puţi o soluţie relă ecuţiei f() g() ) b) c) d) e) f) AL 6 Să se rezolve iecuţi + +. ( ) ) (, ) b) (, ), (,) c), [,] (, ) d) (, ) (, ) e) R \ {, } f) (, ), (, ) AL - 7 Să se determie mulţime vlorilor lui m R, stfel îcât ), 5) { + m } { R ( m + ) + } R. ( b) { 7, } c) R d) { 9, 5} e) { 7, 8} f) { } AL - 8 Să se rezolve iecuţi <.
Culegere de probleme ) R b) (,) (, ) c) (, + ) d) (, + ) (, ) e) (,) (, + ) f) R \ {,} AL - 9 Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât R : m m+ + m+ >. ) ( ) { ( ) ( ) } 5 m,, + 5 d) m +, e) m 5 b) m [, + ) c) m (, ], f) m (, ] AL - Să se fle miimul epresiei E + b + b petru, b R. 9 7 ) b) c) d) e) f) 8 AL - Se cosideră fucţi f : R R, f ( ) + m + m, m R. Să se eprime î fucţie de m >, epresi E f ( m) + f ( m), ude, sut rădăciile ecuţiei f ( ). ) m b) m + c) m ( m ) d) ( m ) e) m ( m ) f) m + AL - Să se determie m R, stfel c rădăciile şi le ecuţiei m + m să stisfcă relţi 5 +. ( ) ) m, m b) m, m c) m, ± 7 d) m, ± 5 e) m, ± 5 f) m, m
Elemete de lgebră Dcă ecuţi AL - Fie ecuţi m + m m, ude m R. Cre este mulţime vlorilor pe cre le pot lu rădăciile rele, câd m vriză? ) [, ] b) [, + ] c) [, + ] d) [, ] e) [, + ] f) [, ] AL - Fie ecuţi -(m+)+m +m+, m R. re rădăciile rele (m), (m), precizţi vlore mimă epresiei E m) + ( ). ( m ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). AL - 5 Fiid dtă ecuţi +b+c, ( ), să se eprime î fucţie de, b şi c sum S + ude, sut rădăciile ecuţiei dte. b bc ) S b) S, c bc b bc c) S b bc c bc b bc d) S + e) S + f) S + AL - 6 Se cosideră ecuţiile 7 + şi + m. Să se fle m petru c ecuţiile să ibă o rădăciă comuă. ) m {,}, b) m {,} c) m {,} d) m {,} e) m {,} f) m {,} AL - 7 Să se determie prmetrii reli m şi stfel c ecuţiile 5m 5 + m + şi ( + ) 5 + ( ) ( )
Culegere de probleme să ibă celeşi rădăcii. ) m -, 7; b) m - 7, c) m 9, 7 d) m, 7 e) m 7, f) m 9, -7 AL - 8 Fie ecuţi + ( m + ) + m + m, m R, le cărei rădăcii sut şi. Să se determie o relţie idepedetă de m ître rădăciile ecuţiei. ) + b) + c) d) + + e) + f) + + AL - 9 Se cosideră ecuţiile + b + c, ' + b' + c', ' cu rădăciile, şi respectiv ', '. Dcă ître coeficieţii celor două ecuţii eistă relţi c ' + ' c bb', tuci cre di următorele relţii este verifictă de rădăciile celor două ecuţii? ) ' ( )( ' ') + ' + + b) + + ' ' c) + ' + ' + + ' d) ' + ' ' e) ' ' f) + + + ' ' AL - 5 Să se rezolve ecuţi irţiolă +. ), b), c), d), e), f),
Elemete de lgebră AL - 5 Determiţi tote vlorile lui 7 + <. Z petru cre re loc ieglitte ) {,,,5,6,7,8} b) {,,,,5,7,8} c) {,,,5,6,7,8} d) {,5,6,7,8} e) {,,5,6,7} f) {,,5,6,7,8} AL - 5 Fie fucţi f : R R, fucţi i ce mi mre vlore. f ( ). Să se determie petru cre + ) b) + c) d) + e) f) + AL - 5 Să se determie tote vlorile lui m R petru cre fucţi, (,) f : R R, f ( ) m m +, [, ) este mootoă. ) m (,o) b) m c) m R d) m [, ) e) [,) m f) m φ AL - 5 Să se determie vlorile lui m R stfel îcât fucţi + m, (,] f : R R, f ( ) m +, (, ) să fie surjectivă. ) m b) m (,) c) m, d) m, e) m φ f) m AL - 55 Să se determie mulţime mimlă E stfel îcât fucţi f : E R R,
Culegere de probleme ( ) m{ 5, } f să fie bijecţie. ) E R+ b) E [,] c) E R d) E [,] e) E (,] f) E [, ) AL - 56 Fie fucţi de grdul l doile ( ) m ( m ) + m ( m ) f m,. Să se determie m stfel îcât vârful prbolei socite cestei fucţii să se găsescă pe prim bisectore. ) m b) m c) m d) m e) m f) m 6 6 AL - 57 Determiţi vlorile prmetrului rel m stfel îcât drept de ecuţie y + să tie prbol de ecuţie y m + ( m 5) + m + î puctele (,) şi (,). ) m, m b) m, m c) m d) m e) m f) m AL - 58 Fie fmili de fucţii de grdul l doile ( ) ( m ) + m m R f m, Să se rte că vârfurile prbolelor socite cestor fucţii se găsesc pe o prbolă cărei ecuţii se cere. ) y b) y + + c) y + d) y + e) y + f) y + AL - 59 Determiţi epresi litică fucţiei de grdul l doile f : R R,
Elemete de lgebră 5 ( ) + c f + vârfului., ştiid că grficul ei tie Oy î puctul şi re bscis ) f ( ) + + b) f ( ) + c) f ( ) + + d) f ( ) + + e) f ( ) + + f) f ( ) + + AL - 6 Să se determie m R stfel îcât prbolele socite fucţiilor f şi g ( ) m m 6 să ibă celşi vârf. ( ) ) m - b) m c) m - d) m e) m f) m -5 AL - 6 Fiid dtă fmili de prbole ( ) ( ) f m m m + + m +, * m R să se determie vlorile lui m petru cre obţiem prbole le căror pucte de itersecţie cu O sut simetrice fţă de origie. ) R { } m b) m c) m m e) {,, } d) m f) m AL - 6 Să se determie p, q R dcă fucţi : R R re mimul î puctul -. f, f ( ) + p + q ) p, q b) p, q c) p, q d) p q e) p q f) p, q AL - 6 Presupuem că petru ecuţi + b + c vem > şi rădăciile,. Să se clculeze î fucţie de şi. ( )
6 Culegere de probleme ) b) c) d) e) f) b + AL - 6 Dcă, sut rădăciile ecuţiei rădăciile + şi + este echivletă cu: ) y y+ ; b) y +, tuci ecuţi cre re y+ c) y y+ d) y y+ e) y y+ f) y y+ AL - 65 Fie o fucţie f : R R, stfel îcât f ( ) 5 şi, y R, f ( + y) f ( ) Ky + y, ude K este o costtă. Să se determie vlore lui K şi fucţi f. ) K ; f ( ) + b) K, f ( ) + c) K ; f ( ) + d) K ; f ( ) + 6 K f) K ; f ( + 5) e) ; f ( ) + AL - 66 Fie R şi fucţi ( ) f : R R, f +. Dcă rădăciile, le ecuţiei f ( ) stisfc relţi ( ) mulţime soluţiilor iecuţiei f ( + ) < f ( ) este: +, ) (-, ); b) (-, ); c) (-, ); d) (, ); e) (, ); f) (-, ).
Elemete de lgebră 7 AL - 67 Cre sut vlorile k rele petru cre iecuţi k k + 6 < u re soluţii? ( ) ) k ( 5, ) b) k [, 5) c) k [, 5] d) k [, 8] e) k [, ] (, 7) f) k [, ) (, 5) AL - 68 Petru ce vlori le prmetrului rel m ieglităţile m + < < 6 sut stisfăcute petru orice R? + m 6 m 6, + ) m R b) (, ) c) ( ) d) m (, ) e) m ( 6, 6) f) m [, 6] AL - 69 Să se rezolve iecuţi ) [,) b),+ 5 + 6. + 5 5 c) {,} d) R e) f) (, ) AL - 7 Să se determie mulţime vlorilor prmetrului rel m stfel îcât fucţi 6m + 9 f : R R, f ( ) să u i ici o vlore mi mică decât su mi + mre decât. ), b) ( ) d) [, ] e) ( ], c), f) (, ) AL - 7 Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât,
8 Culegere de probleme ( ) + m + + m + > petru orice R. + + m ) m {, + } b) m, [ +, + ) c) m (, ) (, + ) d) m (, ) ( +, + ), f) m +, AL - 7 Să se fle ce mi mică vlore fucţiei f : R R, e) m ( + ) ( ) f m + + m + m, câd prmetrul rel m prcurge tote vlorile posibile. ) b) c) d) e) 8 f) AL - 7 Să se determie distţ celui mi propit vârf l prbolelor f ( ) + m + m, m R de O. ) b) c) d) e) f) AL - 7 Să se determie m R * stfel îcât m ( m) ( m ) petru orice >. + + > ) m (, ) b) m (, + ) c) m (, ] d) m (, ] e) m [, + ) f) m (, ) \ { } AL - 75 Petru ce vlori le lui m, mulţime { R m m m } [ ] A ( ) ( ) + +, re u sigur elemet?
Elemete de lgebră 9 ) m R b) m ( + ) d) m [ ], c) m,, e) m +, f) m, AL - 76 Fie ecuţi ( m) + ( m) + m, ude şi m sut prmetri reli. Petru ce vlori le lui, ecuţi dmite rădăcii rele oricre r fi vlore prmetrului m? 5 ), b) R c) (, ) d) (,) e) [, + ) f) (, + ) AL - 77 Se cosideră ecuţi m + m 7. Cărui di itervlele idicte mi jos trebuie să prţiă prmetrul rel m, stfel c ecuţi dtă să ibă o sigură,? rădăciă cuprisă î itervlul [ ] ) (, ] b) ( ),+ c), d), e) 9, 7 5 f), 9 5 AL - 78 Să se determie vlorile prmetrului m R \ { } stfel îcât ecuţi m ( m ) să ibă mbele rădăcii î itervlul (, ]. 5 + ) m, (, ) b) m ( ] { } e) m 5 d) m (, ) [, + ) AL - 79 Să se determie Im f ( ) f ( ) + + + { }, \ c) m +,, 5 5 +, f) m, (, ) f R petru fucţi f : R R, 9 9 + ), 9 + b),
Culegere de probleme 9 9 9 + c), d),, 9 9 + 9 9 + e),, f), AL - 8 Rezolvţi î R iecuţi + >. ) (, ] b) (, ) c) (, ) d) (, ) (, ) e) [, ] f) (, ] AL - 8 Să se rezolve î R ecuţi +. ) (, ) b) R c) [, + ) d) e) (, ] f) R \ {, } AL - 8 Precizţi cre este mulţime soluţiilor sistemului y y 6. y y 8 { } ) ( 8, ) ; ( 8, ) ; ( 7, 5) ; ( 7, 5) b) ( 8) ( 8) 5 5 c) (, 8) ;(, 8) ;, ;, d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 7 7 7 5 7, ;, ;, ;, 5, ;, ; 7 7 5, ;, 5 8 8 7 5 5, ;, ;, ; 7, 7 5 7, ;, ;, ;, 5 f) ( ) ( ) AL - 8 Să se rezolve sistemul + y y ) {(,), (, )} b) {(,), (,) } c) {(,), (,) }
Elemete de lgebră d) {(, ), (, ) } e) {(,) } f) {(,)} AL - 8 Să se determie soluţiile rele le sistemului y + y + + + y + y 5 ) {(,),(, )}, b) {(,) } c) {(,)} d) {(,), (,) } e) {(,), (, )} f) {(,), (, )} AL - 85 Î cre di următorele mulţimi se flă soluţiile sistemului + y + y 9 + y + y ) [, ], y { 7,8} [ 5, ], y (, ) b) (, ], y [ 7,9] { 7,8,9 ], y [,] c) (, ),y (, 7) { 5, 7},y (, ) d) (, ), y (,] {,5,7}, y {,, } e) [ 7, ], y [,5) (,6), y (,6) f) (,5 ), y ( 7,9) ( 7,9), y (,5 ) AL - 86 Fie {( k, y k) k,,..., } mulţime soluţiilor rele le sistemului
Culegere de probleme + y + + y 8 y + y 6. Să se clculeze. k k ) ; b) ; c) ; d) + ; e) ; f) + AL - 87 Să se determie soluţiile sistemului y 5 ) (,5 );, 5, ; 5 (, 5) ( ) ( ),5 ;, 5 b), ;, 5 5 c) ; y 5 este sigur soluţie d) y 5 este sigur soluţie e) este sigur soluţie f) 5 y 5 AL - 88 Fie ( ) + y z S :, m R. Fie + y + z m
Elemete de lgebră ~ ~ ~ A { m R ( S ) dmite o soluţie relă uică, ottă cu m, ym, zm }, ~ ~ ~ S m şi S m + ym + zm. Atuci m A m A ) S ; S b) S ; S 5 c) S ; S d) S ; S e) S 5; S f) S 5; S 5 AL - 89 Î cre di următorele mulţimi se flă soluţiile rele le sistemului 6 y 98? + y + y 9 ) ( ) y { }, ;,, b) (, ) ; y (, ) c) (, ) (, + ) ; y [, ] e) y ( ) d) (, 7) ; y ( 7, + ), ;, f) y, ;, AL 9 Să se determie tote tripletele de umere rele (, y, z) cre verifică sistemul eliir y, y z, z 6y ) (,,) ; (,,) ; (,,8); b) (,,); (,,8); (,,8) c) (,,) ; (,,8) ; (,,8) ; d) (,,) ; (,,8) ; (,,8) e) (,,) ; (,,8) ; (,,8) ; f) (,,) ; (,,); (,,); (,,)
Culegere de probleme AL 9 Să se determie codiţiile pe cre trebuie să le verifice prmetri reli,b stfel îcât sistemul ( ) ( ) + + y b y y y să ibă tote soluţiile rele ),b R b),b R + c),b R + + + + + + + 6 6 z y z y z y b b, b b, b d),b R e),b R f),b R + b AL 9 Fiid dt sistemul să se precizeze umărul soluţiilor rele şi itervlele î cre se flă ceste soluţii ) b) 6 (,y,z) [,5] [,5] [,5] (,y,z) [,] [,] [,] c) d) 6 (,y,z) [,7] [,7] [,7] (,y,z) [,9] [,9] [,9] e) f) (,y,z) [,] [,] [,] (,y,z) [,] [,] [,] AL 9 Să se determie î cre di itervlele de mi jos se flă soluţiile sistemului 6 z y z z y z yz y y + + + + + ),,,,, z y b),,,,, z y c),,,,, z y d) ( ) ( ) ( ),,,,, z y
Elemete de lgebră 5 f),, y,, z (, ) e) (,), y,, z (,) AL - 9 Să se determie vlorile prmetrului rel stfel îcât sistemul + y z să ibă o soluţie uică relă. y + z + ) ( ), b) 5 + 5, c) {, } d) (, ) e) {, } f) (, ) AL - 95 Să se determie m R stfel îcât + y y + m > petru orice, y R. m b) (,) ) 7 m c) < m d) m (,5) e) m ( 8,+ ) f) m [,5) AL - 96 Fie f : R R, f ( ) ( m ) + ( m + ) + m. Să se fle î cre di următorele itervle se găseşte m stfel îcât vlore miimă fucţiei f să fie 9. ) m (,) b) (,) m c), m d) m (,7) e) m [ 7,9] f) m ( 8,+ ) AL - 97 Să se determie prmetrul R + stfel îcât rădăciile cestei să verifice ieglităţile ) m (, 6) b) m [ 6] m di ecuţi + ( m + ) 5 m, <, >., c) m R d) m (, + ) e) m (,) f) m { } (, 5)
6 Culegere de probleme AL - 98 Să se determie prmetrul m Z \ { }, stfel c rădăciile şi le ecuţiei ( m ) 5 + m + să stisfcă codiţiile: (,), (,5 ). ) m b) m c) m d) m 5 e) m f) m AL - 99 Să se fle mulţime vlorilor fucţiei f defiită pri formul ), ) ( b) (,+ ) c) [, ] AL - Fie f : R, f ( ) + f ( ). + d)[, + ) e) (, ) f) { } + m + R. Să se determie m, R + stfel îcât f ( R ) [, 5]. 5 7 ) m { ± } ;, b) m { ± } ; { } c) m { ± } ; { ± } d) m [ ], ; e) m [ 5] [ ], ;, f) m { ± } ; AL - Fie fucţi f : R R, f ( ) { ( ) [, ] } A R f R. + +. Să se determie mulţime + ) A ; b) A {,} ; c) [,] d) A {, } e) A [, ] ; f) A [, ] A ;
Elemete de lgebră 7 AL - Fie ecuţi m( ) +. Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât cestă ecuţie să ibă trei rădăcii rele diferite. ) m R b) m (, ) c) m d) m (, ] e) m R \ {, } f) m R \ { } AL - Fie f I f ( ) ( ) m( + ) + m : R R,, m R \ { }. Să se determie m stfel îcât I să fie u itervl mărgiit de lugime miimă. ) m b) m c) m d) m e) m f) m AL - Numerele, b, c R stisfc eglitte + b + c. Să se determie vlore miimă pe cre o pote lu epresi b + c. ) b) c) AL - 5 Să se rezolve iecuţi + + 5 + <. d) e) f) 7 ), b) 5, c) 5 5, d) 5 9, e) 7 5 5, 9 f) 7 9, AL - 6 Să se determie R petru cre +. ) (, ) b) c) d) ± e) f) AL - 7 Fie iecuţi >. Cre di itervlele de mi jos reprezită mulţime soluţiilor iecuţiei?
8 Culegere de probleme 7 b), ) (,) c) (,] d) (,+ ) e)[,5) f) 7, AL - 8 Să se determie mulţime A R 5 + 6. ) (, ] b)[,+ ) c)[,+ ) d) (,] { } e)[ ) { } AL - 9 Să se rezolve î R ecuţi +., f)[,+ ) ) ± b) ± c) ± d) ± e) ± f) ± AL - Să se determie domeiul mim de defiiţie D, l fucţiei + + f : D f + +, N. R R, ude ( ) ) D { } petru k b) D ( ] D [, + ) petru k +, petru k D R petru k + c) D [, + ) petru k d) D { } D {, } petru k + D { } e) D [, + ) petru k f) D [ + ) D [, + ) petru k + D { } petru k, petru k +, petru k petru k + AL - Se cosideră ecuţi: + + +. Î cre di mulţimile idicte mi jos, ecuţi re o sigură rădăciă relă? ) ( ), b) 5, c) ( 8,+ ) d) (, ) [, + ) e) ( ), f),
Elemete de lgebră 9 AL - Precizţi cre este mulţime soluţiilor iecuţiei 5 + 5. ) A d) A 9 9, b) A, c) A, 9 9, e) A [ ], f) A 9, AL - Să se fle petru ce vlori le prmetrului m R, ecuţi + 8 m + + 8m + re soluţii rele. m b) m (,) c) m [, ]\ { } ) R d) m, e) m,+ f) m, AL - Precizţi mulţime A cărei îi prţi vlorile rele le lui petru cre re loc eglitte 8 ( ) 5. )A (, ) b)a (, ) c)a [, ) d)a ( ), e)a( 7), f)a [, + ) AL - 5 Să se clculeze vlore epresiei + b b b + b b b b E petru + şi b. b b b b + b ) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 6 Să se precizeze vlore umărului rel E 6 + 6 8 + 6 5 + 6 6 + 8 6 + 5
Culegere de probleme ) E 6 b) E c) E d) E e) 5 E f) E AL - 7 Să se determie vlore epresiei E + + ) b) c) d) e) 5 f) AL - 8 Să se determie vlore epresiei E ( 9 9 ) ( 7 9 7 ), Z + ) 6 7 b) c) d) AL - 9 Să se simplifice frcţi: e) f) F + y + z ( y) + ( y z) + ( z) yz ) F y + z b) F + y + z c) F + y + z d) F + y + z + e) + y + z + F f) F + y + z + AL - Cre este mulţime vlorilor rele le lui petru cre vem + ( ) ( ) ( )? ) {, } b) {, } c) [, ] d) [, ] e) [, ] f) [, ]
Elemete de lgebră AL - Petru ± y să se determie vlore epresiei ( )( y + y ) ( y y ) E + 5 5 + y y y ) b) + y c) y d) e) + y f) y AL - Să se rezolve ecuţi, cu R, >, dt, î mulţime umerelor rele. ) {, } b) [, ] \ { } c) [, + ) \ { } d) { } (, ] e) (, + ) f) { } [, + ) AL - Fie ecuţi ( m ) + m m îcât + + 9., R. Să se determie m stfel ) m {, } b) m { 5, 8} c) m {, 6} d) m {, 8} e) m {, 9} f) m {, 9} 5 + +. AL - Să se rezolve ecuţi ( ) ( ) 5 + ) ± 5 5 d) ± 5 + b) ± + 5 + e) ± 5 + c) ± 5 f) ± 5 + h + m +. AL - 5 Fie f ( ) m +, g ( ) + m + şi ( ) Să se determie prmetrul m R stfel c tote rădăciile ecuţiei: ( ) + ( ) ( ) f g f
Culegere de probleme să fie rele. ) m R ; b) m (, ] [, ) ; c) m (, ] [, ) d) m (, ] [, ) e) m (, ] [, ) ; f) m AL - 6 Să se determie tote soluţiile rele le ecuţiei + + + 8 6. ) {, 5, } b) [ 5, ] c) { 5,} d) [, 5] e) ( 5, + ) f) ( 5, ) AL - 7 Să se determie umărul rădăciilor rele le ecuţiei +. ) o rădăciă relă b) două rădăcii rele c) trei rădăcii rele d) ici o rădăciă relă e) ptru rădăcii rele f) şse rădăcii rele AL - 8 Să se determie tote soluţiile rele le ecuţiei +. ) { }, b) { },, c) d) R \ { } e) (, ] { } f) {,, } AL - 9 Să se clculeze vlore epresiei E + +, petru [, ]. ) E + b) E + c) E d) E e) E 6 f) E ( ) AL - Să se determie vlorile lui m R petru cre ecuţi
Elemete de lgebră m + + m + + re soluţii î R şi să se determie ceste soluţii. m + ) m ; [ 5,7] b) m [ + ) d) ; [, ) e) { } AL - Fiid dte fucţiile, g : [, ] [, ], [,] f ( ) şi g ( ), (,] să se determie fucţi h g f. +, ;, c) 7 m ; 8, + m, ;, f) m ; {, 6} f defiite pri,, ) h f b) h g c) d) h g e) fg AL - Fie f, g : R R, dcă + 5, dcă < f g este : [,] (,] h f) h ( ) f ( ) şi g ( ) Atuci ( )( ), (, ] + 7, ) ( )( ) (,] f g b) ( f g)( ) +, (,5] + 9 ( 5, ), (, ] c) ( f g)( ), (,] d) ( f g)( ) 9, (,8), (, ] e) ( f g)( ) f) ( f g)( ) 9, (, ) h f,, +, + 7, +,,, + 7, +,, 9, dcă dcă > (,] (,5] ( 5, ) (,5] ( 5, ) (,5] ( 5, ) [,] (,]
Culegere de probleme ( ), AL - Fie f : R R ; f ( ) [, + ) Să se determie ivers cestei fucţii. + (,) ) f ( ) + R b) f ( ) +, + ( ) [ ) c) f ( ) ; R d) ( ) f (,) e) f ( ) f) fucţi u este iversbilă [ ), + AL - Să se precizeze cre di răspusurile de mi jos este corect petru fucţi f : R R,, 6 f ( ) +, > 6 ( + ) (,] +, (, ) ) f u este iversbilă; b) f este iversbilă şi f ( y) y +, y, y 8 y > 8 c) f este iversbilă şi f ( y) y y d) f este iversbilă şi ( ) f y y + e) f este iversbilă şi f ( y) f) f este iversbilă şi f ( y) y +, y > 8 y, y 8 AL - 5 Determiţi vlorile lui R petru cre fucţi f : R R,
Elemete de lgebră 5 ( ) ( ) + + + f este iversbilă şi determiţi ivers ei. ) ( ) > + ; f b) ( ) > + < ; ; ; ; f c) ( ) > + < + < ; ; ; ; f d) ( ) < + > + < ; ; ; ; f e) ( ) > + < + > ; ; ; ; f f) ( ) > + < ; ; ; ; f AL - 6 Să se legă u itervl miml [ ),,b stfel îcât petru [ ) ( ) [ ),, : f b f, ( ) f să eiste f. Să se precizeze dcă f este strict crescătore su descrescătore. ) [ ), ; f strict descrescătore; b) ;, f strict crescătore c) ;, f strict descrescătore d) [ ) ;, f strict crescătore e) ;, f strict descrescătore f) ;, f strict crescătore AL - 7 Să se determie R m stfel îcât fucţi ( ) > + +,, m m f să fie strict descrescătore pe R.
6 Culegere de probleme ) m φ b) R m c) m (,) d) m [,] e) m (, ) f) m [, ) AL - 8 Petru ce vlori le lui m R, grficul fucţiei f : R R, f me m + e, tie O? ( ) ( ) ) ( ), b), c) (, ) (, + ) d) ( 5, + ) e) (, ) f) R AL - 9 Să se rezolve ecuţi: +. ) b) c) lg lg + d) e) lg lg ( ) f) lg ( )
6 Culegere de probleme AL - Să se rezolve ecuţi: ( + ) + ( ). l( ± ), c), l( ) ), b) l( ) d), l( ± 5) l + 5 l e), l + ( ) AL - Determiţi vlore lui petru cre e + e 5 l l( ) f), l ) b) c) d) e) f) l AL - Î cre di următorele mulţimi se flă soluţi ecuţiei ) (,e ) + e b) (, ) c) (,7] e) (,) f) ( 9,) d) (, ] AL - Să se rezolve ecuţi 6 9 ) este b) c) uic soluţie log log d) e) f) log + log log
Elemete de lgebră 7 AL - Determiţi fucţi y y ecuţiei e e. ) f ( ) l f : R R, stfel îcât y f ( ) să fie soluţie b) f ( ) l( + ) + c) f ( ) l( + ) d) f ( ) l + + + e) f ( ) l f) f ( ) l + AL - 5 Determiţi mulţime A cărei îi prţie soluţi ecuţiei 8 6 ) A (,8) b), 6 A c) A (, 9) d) [,) A e), A f) A (,) AL - 6 Să se determie vlorile lui m R petru cre ecuţi ( )( m ) ( + m) ( m ) m cu codiţiile > m + şi > re trei rădăcii rele şi disticte. ) m φ b) m R c) m R \, d) m, \ e) m, f) m,
8 Culegere de probleme AL - 7 Să se rezolve iecuţi: + >. ) ( ),+ b)[ ), c) (, ) d) (,+ ) e) (,+ ) f) (, ) AL - 8 Să se determie m R stfel îcât ieglitte m + > 9 să fie devărtă petru orice <. ) φ m b) m (, ) c) m [ ], d) m [, + ) e) m < f) m AL - 9 Cre este soluţi sistemului de iecuţii: + 9 + [ ] ) log,log ( + 7) b) log ( + ),log + 7? c) (,+ ) d) (, ) e) ( ) 7 log,log f)[,log 5] AL - 5 Să se rezolve iecuţi: > +. 5 5 + ),log b),log c) (,) d) (,log ( 5 ) ) e) (,log ( 5 + ) ) f) (, )
Elemete de lgebră 9 AL - 5 Să se rezolve iecuţi: ( ) <. ), b) (, ) (, + ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) ( 6, + ) f) (, ) ( 5, + ) AL - 5 Să se rezolve ecuţi: log log ( 5) ( 8). ), b), c) d) e), f) 9 AL - 5 Cre este soluţi ecuţiei: + log + log? ) φ b) c) d) [ 9, + ) e) (,9) f), 9 AL - 5 Să se precizeze domeiul mim de defiiţie l fucţiei: ) ( ) ( ) f,, + log. b) (, ) [, + ) c)[,+ ) d) (,+ ) e) (,] (, ) f) (, ] [, )
5 Culegere de probleme AL - 55 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei: ( ) f ( + ) l., ),, ( ) b),, (,) d d),,, c) (,), (, ) e) R \, f) R \ {, } AL -56 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei ( ) f log log. + ) (,+ ) b) (,+ ) c), (, ) d),, e) (, ) (, + ) f) (, ) AL - 57 Fie Precizţi cre este vlore miimă epresiei,+.,, trei umere di itervlul (,) su di itervlul ( ) E log + log + log. ) b) c) d) 6 e) f) 6
Elemete de lgebră 5 AL - 58 Ştiid că log, să se fle log 6 5 î fucţie de. ) + + b) + + c) + d) e) + f) + AL - 59 Dcă log şi b log 5, să se clculeze log 6 î fucţie de şi b. ) ( b ) b) ( + b ) c) ( + b ) d) b + e) ( b ) f) ( + b + ) AL - 6 Mulţime soluţiilor ecuţiei 5 log + log este: ) φ ; b), ; c) { }, ; d), ; e){,5 } f), 5 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: log ( ) log ( ) + + +. ) b) c) d) e) f) 8 log 6 6 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: 5 + 6, >,. log ) log, log b) 6, 6 c) 6 log log log d) log, log e) 6 log f) log, log 6 6
5 Culegere de probleme log9 6 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: log + log ( ) log. ) b) c) 6 d) 6 e) f) AL - 6 Să se determie m R stfel îcât ecuţi sigură soluţie relă. m + lg să ibă o lg ( + ) ) m φ b) m < c) m d) m lg e) m lg f) m lg 6 AL - 65 Să se determie vlore prmetrului îtreg m stfel îcât ecuţi log m log m + 7 log m 6 să ibă o rădăciă dublă. ) m b) m c) m d) m e) m 9 f) m 9 AL - 66 Rezolvâd ecuţi: ( ) [ ] log ( log ) log log log log 9 să se stbilescă î cre di următorele itervle se flă soluţi cestei. b)[,] ) (, ] c) [,) d)[,5) e)[,8], 5 f) ( 8,+ ) AL - 67 Să se determie vlorile lui m > petru cre fucţi f ( ) logm log m + log m este defiită pe R. ) m b) m, 5 c) m,+ d) m, e) m f) m φ
Elemete de lgebră 5 AL - 68 Fiid dtă epresi: )[,+ ) ( log + log ) log + ( log + log + ) E log, să se determie tote vlorile lui b)[,] { } R petru cre E. c), d), \ { } e)[,]\ f) (,) (,+ ) AL - 69 Să se rezolve ecuţi lg + lg. ) b) c) d) e) f) AL - 7 Fie :, + [, + ) f, ( ) log ( + ), > f Să se rezolve iecuţi f ( ) 5, ude f este ivers fucţiei f. ) [,] b) [,log ] c) [,log ] d) [,] e) [,log ] f) [ 5,8]
5 Culegere de probleme ( ] ( ) +,, AL - 7 Fiid dte fucţiile f : R R, f ( ) +,, e, (, ) şi g : R R, g( ) rcsi, [, ], să se determie l, (, ) soluţi di itervlul (,] ecuţiei ( f )( ) g. ) b) c) d) e) şi f) Nu eistă. AL - 7 Se cosideră iecuţi: log log + log, >, şi se oteză cu M mulţime tuturor soluţiilor sle. Cre ditre următorele firmţii este devărtă? ) M, b) M, + c) M, + d), M e) ( 5, + ) f) M (, ) M AL - 7 Să se rezolve iecuţi: log <. ) ( ), b), c),,
Elemete de lgebră 55 d) +,, e) (, + ) f) (, ) P log y + log y 8, y >,,. Să se determie AL - 7 Fie ( ) ( ) tote vlorile lui y stfel îcât P( ) >, oricre r fi R. ) y (, 8 ) b) y ( 8 8, ) c) y [, ] d) y ( ), e) y (, ) f) y [, ] AL - 75 Să se determie m R stfel îcât sistemul să dmită soluţii rele. lg lg y + y m + log y log + log log y lg lg y ) m [,] b) m (99,) c) m [8,) d) m (,) e) m (, ) f) m φ AL - 76 Se cosideră fucţi f : R (, + ), Clculţi ivers s, f. e, f ( ), <. ) c) l( + ), (,) f ( ), [, + ) b) l, (,) f ( ), [, + ) d) f f l( ), (,) ( ), [, + ) l( + ), (,) ( ), [, + )
56 Culegere de probleme e) l( + ), (,) f ( ) f), [, + ) AL - 77 Să se rezolve iecuţi: log log > log. f l, (,) ( ) +, [, + ) ) ( ),, + b) (, ) c), (, ) d) (, + ) e), (, ) f) (, ) AL - 78 Se cosideră epresi ( ) lui R stfel îcât E( ) < 5. E log + log. Determiţi vlorile ) (, ) b) (, ) (, 6) c) [,] [ 6,] d) ( 6, + ) e) (, ) (, + ) f) (, ) (, + ) AL - 79 Ştiid că (, ) să se determie mulţime: { R log } log. ), [, + ) b), (, ) d),,, c) ( ] e), [, + ) f), [, ) AL - 8 Îtr-o progresie ritmetică termeul l ouăle şi l usprezecele sut dţi, respectiv, de ce mi mre şi ce mi mică rădăciă ecuţiei : lg + lg + + 5 [ lg( + 5) + ].
Elemete de lgebră 57 Se cere sum primilor termei i progresiei. ) 5 b) 8 c) d) e) f) ( log ) + ( log y) 9 AL - 8 Să se rezolve sistemul:. ( log ) ( log y) + y 58 ), y b), y c), y 9 ; 9, y d), y e), y ; f), y 9 ;, y, y 9, y AL - 8 Să se rezolve î R sistemul: lg y lg z lg y z lg ylg z lg lg z lg lg y y z. yz ), y z b) y, z c) y z d) y z e) Sistemul u re soluţii î R f), y 5, z AL - 8 Să se determie mulţime tuturor umerelor turle petru cre ieglitte: > este devărtă. ) { N; 5} {,} b) c){,} N ; } e) { d) {,} { N; } \ { } f) N AL 8 Să se determie mulţime tuturor umerelor turle petru cre următore ieglitte este devărtă. 5 7 5 9 ( )( + ) <, >, N,
58 Culegere de probleme ) {, } N b) N c) N \ {,,5} d) { : k} N e) φ f) { N : k + } AL - 85 Să se determie umărul de elemete le mulţimii E N + A 5 < ( + )! ( )! ) b) c) d) e) f) 5 AL 86 Îtr-o discotecă, ditr-u grup de 7 fete şi 8 băieţi, l u umit ds, trebuie să se formeze perechi di câte o ftă şi u băit. Î câte moduri se pot form cele ptru perechi? ) 5; b) ; c) 7; d) 588; e)5; f). AL - 87 L o reuiue de persoe, fiecre dt mâ cu fiecre ditre ceillţi prticipţi. Câte strâgeri de mâă u fost? ) b) 66 c)! d) e) f) AL - 88 Î câte moduri se pote fce u buchet cu două grofe lbe şi cici grofe roşii vâd l dispoziţie grofe lbe şi 9 grofe roşii? ) 8 b) 8. c) 9. d). e).9 f). AL - 89 Cre este domeiul mim de defiiţie D l fucţiei: + f : D R, f ( ) C7 + C + 5+?
Elemete de lgebră 59 ) D {, 9, } b) D {,, } c) D ( ] d) D [ 7, + ) N e) D {,,,5} f) D [ 6], Z, N AL - 9 Să se precizeze î cre di mulţimile de mi jos se flă tote umerele turle cre verifică relţi: C A. )A N \ {,,,,7,9} b)a N \ {,,,5,6,9,} c) A ( 9, ) d) A { k +, k N } e) A 6 N \ {,,5,7,9,} f) A5 { k k N} AL - 9 Să se rezolve ecuţi C, + + N. ) b) c) d) e) 5 f) 6 AL 9 Soluţi ecuţiei ( + 6)( + 5)( ) + C + 8 5 + se flă î itervlul : ) (,9); b) (-8,-); c) (-6,-); d) (,) e) (,7); f) (9,). AL 9 Să se precizeze î ce itervl se flă soluţi ecuţiei 7 5 ( + )( ) C + ) (8,) b) (,) c) (-,) d) (7,9] e) (,7) f) (-,). AL - 9 Să se rezolve ecuţi
6 Culegere de probleme C + + P A. ) b) c) 5 d) e) 7 f) AL - 95 Să se clculeze sum: ( ) ( ) ( ) S C + C + C + C + C + C +... + C + C +... + C. ( ) + ) S c) S ( ) ( + ) + + b) S ( ) d) S ( ) + ( + ) + e) ( ) ( + ) S + f) S + ( + ) AL - 96 Să se clculeze sum: k k k k E C + C +... + C + C, ude, k N, k. k+ k k ) E C + k+ b) E C + k+ c) E C + k d) E C + k+ e) E C + k+ f) E C + AL - 97 Să se clculeze epresi: E C k C k C k k C,, k, k +. ) E b) E c) E d) E e) E f) E
Elemete de lgebră 6 AL - 98 Determiţi mulţime A vlorilor lui R petru cre: C > C. ) A (, ) (, ] b) A { 5, 6, 7} c) A [, 7] d) A { 8, 9, } e) A [, ] {, } f) A {,,, } AL - X. 99 Să se rezolve iecuţi: C + C6, precizâdu-se cre di următorele itervle coţie soluţi. ), b), c), 5 d), 6 e)[ 7, ] f)[,+ ) AL - X. Să se precizeze soluţi sistemului : y y A A y 5 y+ C C. ), y b), y 5 c) 7, 8 d), y e), y f) 8, 5 AL Să se determie umerele turle şi y, stfel îcât umerele y y y y y+ C, C, C să fie î progresie ritmetică, ir umerele A, y+ A, A+ să fie î progresie geometrică. ), y ; b), y ; c) y ; d), y ; e) N *, y ; f), y AL Fie,...,,, umere rele î progresie ritmetică de rţie r., + + Să se clculeze sum: ( ) k k C. k k+ ) r b c) d) e) f)
6 Culegere de probleme AL - Să se determie l ptrule terme di dezvoltre biomului +, î ipotez că, N. ) b) c) 6 6 d) e) f) AL - Să se precizeze termeul cre u coţie pe di dezvoltre biomului + *,, R +. 5 ) C 5 7 b) C 7 5 c) C d) C 5 e) C 8 8 f) C AL 5 Î dezvoltre biomului +, N,, R +, coeficieţii primilor termei formeză o progresie ritmetică. Să se determie termeii rţioli i dezvoltării. ) T ; T 7 ; T 9 ; b) T ; T 5 ; T 9 ; c) T ; T, T 8 ; d) T ; T ; T 7 ; e) T ; T 6 ; T 8 ; f) T ; T ; T 5. AL 6 Determiţi di epresi log +, ( >, ) ştiid că sum coeficieţilor biomili i dezvoltării este 8, ir l şsele terme l dezvoltării este egl cu. ), b), c) -, - d), - e), f), -
Elemete de lgebră 6 AL - 7 Câţi termei cre u coţi rdicli sut î dezvoltre biomului 6 +? ) U terme b) Doi termei c) Trei termei d) Nici uul e) Şse termei f) Ptru termei AL - 8 Cre este epresi termeului di dezvoltre biomului cre coţie pe? +, ) 87 b) 86 7 7 c)7 5 d) 86 e) 7 f) AL - X. 9 Cre este termeul di dezvoltre biomului î cre epoeţii lui şi y sut egli? + y y, ) T b) T c) T 6 d) T 8 e) T 5 f) T AL - X. Î dezvoltre biomului +, sum coeficieţilor biomili i ultimilor trei termei este eglă cu. Să se fle vlorile lui petru cre sum ditre termeul l treile şi termeul l cicile este eglă cu 5. ), b) c), d), e) f),
6 Culegere de probleme AL - X. Î dezvoltre biomului +, sum coeficieţilor biomili este cu 5 mi mică decât sum coeficieţilor biomili di dezvoltre biomului + b. Să se fle termeul l doile l primei dezvoltări. ( ) ) b) c) d) e) f) AL - Să se determie termeul ce u coţie pe di dezvoltre biomului 7 +, 8 6 ) T C. b) T C 76 9 7 7 7 5 c) T C 688 d) T C 7 6 7 7 e) T C 6 f) T C 68 7 7 AL - Să se găsescă rgul celui mi mre terme di dezvoltre ( +, ). ) 9 b) c) d) e) f) AL - Determiţi vlore celui mi mre coeficiet biomil l dezvoltării biomului ( ) b +, dcă sum tuturor coeficieţilor biomili este eglă cu 56. ) b) 8 c) 6 d) 7 e) 8 f) 7 AL 5 Să se determie coeficietul lui di dezvoltre lui ( + + ). ) b) c) d) e) 88 f)69
Elemete de lgebră 65 AL 6 Să se fle coeficietul lui di dezvoltre ( +5 ) (+) 5. 5 ) C 5 b) 5 C 5 c) 5 5C 5 d) 5 C 5 e) 5 5C 5 f) 5 C 5 AL - 7 Ştiid că sum coeficieţilor biomili i dezvoltării + 6 ( + ) + ( + ) este 56, să se clculeze coeficietul lui di cestă dezvoltre. ) 95 b) 9 c) d) 9 e) 8 f) AL - 8 Clculţi z + + z E z z petru umerele complee z şi z ( z fiid compleul cojugt umărului z). ) ( z + z ) b) ( + zz ) c) ( + z )( z ) d) z e) ( + )( z ) z z f) ( + z z ) AL - 9 Să se găsescă vlorile rele le lui m petru cre umărul ( m) i + 5 este rel ( i ) i mi +. ) m b) m c) 5 m d) m e) m f) m AL - Să se clculeze vlore epresiei 996 996 + i i E +. i + i ) i b) c) i d) e) i f) i
66 Culegere de probleme AL - Precizţi prte imgiră umărului comple ( i) i 6 + +. + i + i i i 9 9 ) i b) i c) i d) i e) i f) i AL - Să se determie α R stfel îcât umărul comple i α + ( α + )i să fie rel. ) b) + c) + d) + e) f) + z + z AL Fie z,z C şi + iy, y, R Atuci vem: z z z + z zz ), y z z z z b) z z + z z, z z y i z z z + z z z + zz z z z z zz c), y i d), y i z + z z + z z z z z z z zz z z z z zz e), y f), y z z z z z z z z AL - Să se clculeze z dcă z + + i. ) b) c) d) 6 e) f) 6
Elemete de lgebră 67 AL 5 O ecuţie de grdul l doile cu coeficieţi reli cre re c rădăciă + i umărul comple i 8 este: ) z + z+ ; b) z z+ ; c) z + z+ ; d) z z+ ; e) z + ; f) z + AL - 6 Să se determie umerele complee z stfel îcât z + 8 z. ) z ±, i ± b) z ± i c) z ±, i ± ± i 5 i i d) z ±, i ± e) z ±, i f) z ± 5 + 7,, AL 7 Să se precizeze cu cre di vlorile dte mi jos este egl z ( + ) i ( ) i 9 7. ) z + i b) z c) z i d) z i e) z i f) z + i z AL - 8 Cărei di mulţimile de mi jos prţie α + z z C \ { }? z z, petru N b) Z c) Q d) R e) C \ R f) R \ { } AL - 9 Să se determie tote umerele complee z C cre verifică ecuţi
68 Culegere de probleme z z + i. ) z + i b) z +, i z i c) z, z + i 5 d) z i e) z, z + i f) z + i AL - Să se fle umerele complee z + iy,, y \ { } ) z { ± i ± } i stfel îcât ( iy ) + să fie pur imgir. R, de modul,, b) ( ) ( ) z ±, ± i c) z ( ± i 5), ( ± i 5) d) z ( ± i), ( ± i) e) z ( ± i ), ( ± i ) f) z ( 5 ± i), ( 5 ± i) AL - Fie R + şi z C, stfel îcât z +. Să se determie ce mi z mre şi ce mi mică vlore posibilă lui z. ) + +, b), c) + + +, d) + +, + e) + +, f),
Elemete de lgebră 69 AL - Fie z u umăr comple stfel îcât b z se clculeze. b + z z b, ude, > b >. Să ) b) b c) b + b b d) + b e) b + f) + b b AL - Fie C. Să se clculeze vlore epresiei i E + ( ) + + i + ( + i) ( i) ) - b) + c) d) e) f). π π AL - Fie ε cos + i si. Să se clculeze : 997 ( ε)( ε ) ( ε ) E + +... +. ) E b) E c) E 66 d) E 997 e) E 665 f) E AL - 5 Petru C \ R cre stisfce ecuţi +, să se clculeze vlore epresiei E +.
7 Culegere de probleme ) E b) E c) E- d) Ei e) Ei f) Ei AL - 6 Fie α şi β rădăciile ecuţiei + +. Să se clculeze α + β. ) b) c) d) i e) i f) AL - 7 Fie z u umăr comple de modul şi rgumet θ. Să se clculeze epresi z + z, ( N ). ) cosθ b) cos θ c) si θ d) cos θ e) cosθ f) si θ AL - 8 Precizţi cre di vlorile de mi jos sut rădăciile ecuţiei z i z 5. ) z ± i b) z ± + i c) z ± i d) z ± i e) z ± i f) z ± i AL - 9 Soluţi ecuţiei + ( 5 i) z + 5( i) z este: ) i, i ; b) i, i ; c) i, i ; d) i, i ; e) 5 i, i ; f) i, i
Elemete de lgebră 7 AL - Se cosideră ecuţi ( ) ( ) i z 7 + i z + 6 + mi, î cre z C este ecuoscut, ir m este u prmetru rel. Să se determie vlorile lui m petru cre ecuţi dmite o rădăciă relă. ) m, b) m c) m {, 5} 5 d) m, e) m, 5 f) m, AL - Formţi ecuţi de grd miim, cu coeficieţi reli, cre dmite c rădăcii şi rădăciile ecuţiei : z z + 5 + i. ) z 6 z + z + 7 b) z 6 z + 8z z + 7 c) z + z z 6 z + 7 d) z z + 8z + 7 e) z + z 8z 7 f) z 6 z + z + 7 z + i z + + i AL - Se dă ecuţi ( 5 ) ( ). Fie α o rădăciă ecuţiei petru cre α. Să se determie R stfel îcât să ibă loc eglitte + i α. i ) b) c) d) e) f) AL - Rădăciile pătrte le umărului comple +i sut : ) +i, -i ; b) +i, --i ; c) +i, -+ ; d) -i, -+i ; e) +i, -i ; f) +i, +i AL - Petru z C să se determie soluţiile sistemului
7 Culegere de probleme z i z + + i. z i ) z, z i b) z i, z + i c) z i, z d) z, z + i e) z i, z f) z i, z + i AL - 5 Să se clculeze rădăci pătrtă di umărul comple ( ) z + i, i. ) + i, i b) + i, + i c) + i, i d) + i, + i e) i, i f) i, i AL - 6 Să se clculeze rădăciile de ordiul le lui + i z. i ) z i z i, z b) z, z z i,, c) z ( + i) z ( + i) z i,,,, e) z ( + i) z ( + i) z i d) z z z, i f) z z z, AL - 7 Să se determie tote rădăciile complee le ecuţiei z + 8.
Elemete de lgebră 7 ) ( ± ) i, ( ± ) i b) ( ± ) i, ( ± ) i c) ( ± ) i, ( ± ) i d) ( ± ) i ( ± ) i, e) ± i, ± i f) ± i, i AL - 8 Fie mulţimile : A { z C z }, B z C rg z < * π C { z C z + }; D { z C z i }; { z Im } E C z, F z C π 5 < rg z < * π Să se precizeze cre ditre următorele firmţii sut corecte. ) A este discul de cetru şi rză ; b) B este mulţime puctelor di semiplul y>, c) C este cercul de cetru A(-,) şi rză ; d) D este cercul de cetru A(,) şi rză e) E este o dreptă prlelă cu Oy; f) F este It AOB ude A, şi B,
7 Culegere de probleme AL 9 Să se determie modulul şi rgumetul petru umărul comple: z cos +si + i(si - cos ). ) π z, rg z b) z π, rg z c) π z cos, rg z d) z π cos, rg z π π e) z, rg z f) z, rg z AL 5 Să se scrie sub formă trigoometrică umărul comple : z + cos α - i si α, ude α (,π). α α α α α ) z cos cos + isi b) z cosαcos + isi α α α c) z cos ( cosα + isiα ) d) z cos + i si α α e) z cosα( cosα + isiα ) f) z cosαcos isi AL 5 Determiţi prte relă umărului comple i z. ( siα + i cosα ) 7π 7π 5π ) Re z si α b) Re z cos + α c) Re z cos 6 7π π π d) Re z si + α e) Re z cos + α f) Re z si + α 6 AL 5 Să se determie modulul şi rgumetul redus petru umărul comple: 6 i z. + i ) π z,rg z b) π z,rg z c) π z,rg z
Elemete de lgebră 75 d) π z,rg z e) π z 8,rg z f) z π 8,rg z AL 5 Să se scrie sub form z + iy umărul comple : ) ( + i ) b) ( i ) 7 8 d) i e) ( + i) 8 c) i z. ( + i) 7 i 8 i i f) ( ) AL 5 Să se determie umărul comple: ( ) ( ) Z + i +, N. ) Z π cos b) Z + π si c) Z + π cos d) Z π + π π si e) Z cos + isi + π π f) Z cos isi AL 55 Ştiid că + cos z α.să se clculeze epresi: E z + z z, N*. ) E cos α b) E isi α c) E si α d) E cos α e) E icos α f) E si α AL 56 Se oteză cu z şi z rădăciile complee le ecuţiei: z +. Să se determie vlorile posibile pe cre le pote lu epresi: z i vlori îtregi pozitive. ( ) z E +, câd { { ) E ( ) N } {, ± } b) E( ) N } {,, } { c) E( ) N } { ±, ± } d) E( ) { e) E( ) N } { ± } f) E( ) { N } Z { N } N
76 Culegere de probleme AL 57 Să se determie tote soluţiile ecuţiei turl >. z z, oricre r fi umărul ) z + i b) z ± i c) z i d) z, z i kπ kπ e) z, zk cos + i si, k, f) z + i, z i AL 58 Să se determie rădăciile z k, k, 5 le ecuţiei: z 6 i. kπ kπ k + k + ) z k cos + isi, k,5 b) z k cos π + isi π, k, 5 kπ kπ kπ kπ c) z k cos π + isi π, k, 5 d) z k cos + isi, k, 5 7 7 5 5 kπ kπ k + k + e) z k cos + isi, k, 5 f) z k cos π + isi π, k, 5 AL 59 Fie ω o rădăciă compleă ecuţiei: z, N *, >. Să se precizeze vlore epresiei: S + ω + ω +... + ω. ) d) S b) S c) ω ω S e) S ω f) ω S ω S ω ω AL 6 Să se determie rădăciile ecuţiei: N *,,t R. + i i cost + isi t î cre t + kπ t + kπ ) k tg, k, b) k tg, k,
Elemete de lgebră 77 t + kπ c) k tg, k, t + kπ e) k cos, k, t + kπ d) k si, k, t + kπ f) k si, k, AL 6 Precizţi umărul mim de rădăcii comue le ecuţilor: z 8 şi z. ) ici u b) u c) două d) ptru e) trei f) opt + iz + i AL 6 Fie z k, k, soluţiile ecuţiei:, R *. iz i Cre este vlore produsului z z z? z ) b) c) d) e) f) AL 6 Să se clculeze epresi: ( cost + isi t) + ( cost + isi t) + ( cost isi ) E + + t. ) cos t t t + isi b) 8cos t t t c) 8cos cos + isi d) t 8si t t t e) cos cos + si f) t t cos isi AL 6 Să se fle fiul celui de l treile vârf l uui triughi echilterl, ştiid că fiele două vârfuri sut: z, z +i. + ) + i b) + + i c) +i
78 Culegere de probleme d) i e) + + i şi + + i f) + i AL 65 Fie M, M, M, M pucte le căror fie sut, respectiv, z i, z + i, z 6 + i, z 6 i. Cre di firmţiile următore este devărtă ) M, M, M, M sut coliire b) M, M, M, M sut cociclice c) ptrulterul M M M M u este iscriptibil d) ptrulterul M M M M este u pătrt e) M M M M f) ptrulterul M M M M este romb. AL 66 Să se determie vlorile epresiilor: π π ( ) π S + cos + cos +... + cos π π ( ) π S si + si +... + si, N ) S S b) S, S c) S S - d) S S e) S -, S f) S, S - ( siα cosα ) AL 67 Se du umerele complee: z siα cosα + i + şi z siα + cosα + i( siα cosα ), ude α este prmetrul rel dt. Să se găsescă umerele petru cre ( z ) este u umăr rel şi pozitiv. z ) p, p N b) p, p N c) p+, p N d) p, p N e) p +, p N f) p +, p N AL 68 Numerele complee z şi z stisfc relţi: z + z z z. Cre di firmţiile următore este devărtă? ) z, z - i b) z z +i c) z, z > d) z > şi z > e) cel puţi uul di cele două umere f) z >, z
Elemete de lgebră 79 re modulul mi mic su egl cu. AL 69 Fie z z w + şi Im( w ) -prte imgiră umărului w. z z Cre ditre firmţiile următore este devărtă? z C \{ }, ) Im( w )> b) Im( w )< c) dcă z i tuci w d) w petru orice z C \ { } e) dcă z i tuci w i f) w R şi eistă,b R stfel îcât z z + b AL 7 Determiţi mulţime tuturor puctelor di pl le căror fie z verifică relţi: z + R. z ) relă mi puţi origie b) cercul cu cetrul î origie şi rz c) cercul cu cetrul î origie şi rz d) imgiră e) relă fără origie reuită cu cercul cu cetrul î origie de rză f) imgiră reuită cu cercul cu cetrul î origie de rză AL 7 Cosiderăm două umere complee z, z C * \ R stfel îcât: z z z. Ce putem firm despre imgiile lor? z ) sut coliire cu origie b) sut cociclice cu origie c) coicid d) împreuă cu origie formeză vârfurile uui triughi edegeert e) imgie lui z coicide cu imgie lui z f) împreuă cu origie formeză u triughi isoscel. AL 7 Vârfurile A, B, C le uui triughi u fiele, + z, + z + z, ude π π z rcos + isi cu r (,). Precizţi poziţi origiii O (,) fţă de lturile triughiului. ) O [ AB] b) O [ AC] c) O [ BC]
8 Culegere de probleme d) O prţie iteriorului triughiului e) O prţie eteriorului triughiului f) O este cetrul cercului îscris î triughiul ABC AL 7 Să se clculeze : + itg t E itg t, t R - ( ) π k +, k Z, N*. ) tg t + i tg t i b) + itg t itg t c) + ictg t ictg t ctg t + i d) ctg t i AL - 7 Să se clculeze e) ctg t + i f) + i tg t E C C + C C 6 k +... + ( ) C k +... ) d) π E cos b) π E si e) E π cos 6 c) E E π si 6 f) E π cos π si AL 75 Dcă tgα, α, π, să se clculeze sum C C + C 5 C 7 +... ) siα si α cos α b) si α siα cosα c) si α siα cos α d) si α cosα si α e) si α cos α siα f) si α si α cos α
Elemete de lgebră 8 AL - 76 Se du mtricele ( ),,5, A ; ( ) 5 6, B Să se clculeze mtrice C A + B. ) C ; b),5 C c) C d) ( ), C e) ( ) 6, C f) C
Elemete de lgebră 8 AL - XI. 77 Se du mtricele pătrtice de ordiul l doile 6 5 E şi 7 F. Să se clculeze mtrice A E F ) 9 A b) 9 A c) 9 A d) 9 A e) 9 A f) 9 A AL - 78 Fie ( ) Z A M. Dcă ( ) f să se clculeze ( ) A f. ) ( ) 6 A f b) ( ) 9 6 A f c) ( ) 9 9 6 6 A f d) ( ) 9 A f e) ( ) 9 6 A f f) ( ) I A f
8 Culegere de probleme AL - 79 Să se clculeze produsul de mtrice A B, ude A, B ) 7 b) 6 7 c) 7 d) 7 e) ( ) 7 f) 7 AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă: 7 5 X ) b) c) d) 5 e) f) AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă: 5 X ) 5 5 b) 5 c) 5 d) 5 5 e) 5 5 f) 5 5
Elemete de lgebră 8 AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă 6 8 9 6 X ) X b) X c) X d) X e) X f) X AL - 8 Aflţi R stfel c mtrice digolă costtă X să fie soluţi comuă ecuţiilor mtricele ( ) X şi ( ) X ) b) c) d) e) f)
8 Culegere de probleme AL - 8 Să se determie tote mtricile X, cu propriette că ude A. AX XA, ) α ; α,β R b) β α c) α ; α R α d) α ; α R e) α α β β ; α,β R f) α α β ; α,β R β α AL - 85 Să se determie mtrice X cre verifică relţi: X. 6 ) X ( ) b) X d) X ( ) e) X c) X f) X AL - 86 Cre este vlore prmetrului R petru cre eistă,y,z,t R, u toţi uli, stfel îcât + y + z t +? ) b) c) d) e) f) AL - 87 Să se determie costtele rele p şi q petru cre mtrice A stisfce relţi A pa +qa. ) p, q b) p, q c) p, q d) p, q e) p, q f) p, q
Elemete de lgebră 85 AL - 88 Să se rezolve ecuţi mtricelă X. ) X 6 5 b) X 6 c) X 6 d) X 6 5 e) X 5 f) X 6 AL - 89 Să se determie mtrice X cre verifică ecuţi X. 6 9 ) X 5 b) X c) X 5 5 d) X 5 e) X 5 f) X
86 Culegere de probleme AL 9 Să se rezolve ecuţi mtricilă 5 5 X ) 6 6 9 8 X ; b) 6 6 9 8 X c) 6 6 9 8 X ; d) 8 7 X e) 6 6 9 8 X ; f) 8 7 X AL 9 Să se determie tote mtricile formte cu elemete di codul bir B{ }, cre să trsforme pri îmulţire mtrice coloă î mtrice coloă