Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό ιγ. Σωστό ιδ. Λάθος Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle.345. Όπως στη λυμένη.30. Είναι 8, 0και 1. 1.346. Όπως στη λυμένη.30. Είναι, 0και 0. 1 e Άμεση εφαρμογή του θεωρήματος Rolle.347. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στην f στο 1..348. α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στην f στο e. β. Προκύπτει από to (α) ερώτημα..349. β. Προκύπτει από to (α) ερώτημα..350. β. Προκύπτει από to (α) ερώτημα..351. β. Αφού το σημείο (015,0) επαληθεύει την, θα δείξουμε ότι f f 015.35. α. Δείχνουμε ότι g f από το (α) ερώτημα. lim 0 0 0 β. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g στο 0,1..353. α. Για 1και για 0 θέτουμε στην αρχική σχέση. Έπειτα, εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στη g στο 0. β. Προκύπτει από το (α) ερώτημα για g 0.354. Εφαρμόζουμε Θ. Rolle στην f στο, και δείχνουμε ότι. Σελ.414 Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι
Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» Σελ.415 Εύρεση συνάρτησης για εφαρμογή του θεωρήματος Rolle από τα δεδομένα.355. Όπως στη λυμένη.34. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [, ]..356. Όπως στη λυμένη.35. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [, ]..357. Όπως στη λυμένη.35. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h ( ) στο [, ]. f g f g f ( g( )) f( ).358. Όπως στη λυμένη.35. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην στο [, ]..359. Όπως στη λυμένη.35. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [, ]..360. Όπως στη λυμένη.34. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην ln h f g στο [, ]..361. Όπως στη λυμένη.34. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [, ]..36. Όπως στη λυμένη.34. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [, ]..363. Όπως στη λυμένη.34. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h f f στο [, ]..364. Όπως στη λυμένη.34. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [, ]. h f e f ln f ln f f Εύρεση συνάρτησης για εφαρμογή του θεωρήματος Rolle από το ζητούμενο.365. Όπως στη λυμένη.36. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g f ln στο [ e ]..366. Όπως στη λυμένη.36. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g f στο [3]. Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι Σελ.415
Σελ.416 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».367. Όπως στη λυμένη.36. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g f στο [0, ]..368. Όπως στη λυμένη.36. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g f ln στο [ e ]..369. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g f στο [, ]..370. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h f g στο [0,1]..371. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h f στο 0,..37. Όπως στη λυμένη.38. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h ln f στο [ e ]..373. Όπως στη λυμένη.39. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h f g g g f f στο [, ]..374. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην ( ) στο 0,..375. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην 1 1 h( ) f στο [ 1]..376. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h f 1 3 1 3 h( ) f στο [, ]. 3 3 1.377. Όπως στη λυμένη.39. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f στο [0,1]..378. Όπως στη λυμένη.37. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f f στο [, ]..379. Όπως στη λυμένη.39. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) e f ( ) στο [, ]..380. Όπως στη λυμένη.39. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f ( ) στο [0,1]. Σελ.416 Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι
Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» Σελ.417.381. Όπως στη λυμένη.39. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) e f ( ) στο [, ]..38. Όπως στη λυμένη.39. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) e f ( ) e στο [0,1]..383. Όπως στη λυμένη.38. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f στο [, ]..384. Όπως στη λυμένη.38. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) e f ( ) στο [, ]. Διαδοχικές εφαρμογές του θεωρήματος Rolle.385. Όπως στη λυμένη.330. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην f στο [, ] και στην f στα, και.,.386. Όπως στη λυμένη.330. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην f στο [, ], στην f στα, και, και στην f στο..387. Όπως στη λυμένη.331. α. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην g ( ) f( ) στα, β. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην f στο,.388. Όπως στη λυμένη.331.. 1 και,. α. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h g f στα 0,1 και β. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h g f στο,..389. Όπως στη λυμένη.331. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f ( ) ln στα [] και [, e] και έπειτα στην h στο [., ].390. Όπως στη λυμένη.331. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f ( ) στα [] και [,3] και έπειτα στην στο [., ] 1. g( ) f ( ) 3 Τουλάχιστον μία ρίζα εξίσωσης με θεώρημα Rolle.391. Όπως στη λυμένη.33. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην 4 3 h( ) στο[ 1]..39 Όπως στη λυμένη.33. 4 3 α. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) στα[ 0] και [0,1]. Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι Σελ.417
Σελ.418 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» β. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h στο [ (από, ] το (α) ερώτημα).393. Όπως στη λυμένη.333. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην h( ) f ( ) 4 ln( ) στο [0, ]. 4.394. Όπως στη λυμένη.334. α. Οι λύσεις είναι 0 ή ή ή ή β. Προκύπτει από το (α) ερώτημα. Τουλάχιστον μία ρίζα εξίσωσης με ΑΤΟΠΟ.395. Όπως στη λυμένη.335. Θέτουμε για και στη δοθείσα σχέση. Έπειτα, εφαρμόζουμε Θεώρημα Rolle στη g στο, f..396. Όπως στη λυμένη.335. α. Θέτουμε για και για στη δοθείσα σχέση. g ( ) β. Εφαρμόζουμε Θεώρημα Rolle στη h ( ) στο,. f( ) Το πολύ ν ρίζες εξίσωσης.397. Όπως στη λυμένη.336. Έστω ότι έχουμε δύο το πολύ ρίζες και εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στο..398. Όπως στη λυμένη.336. Έστω ότι έχουμε δύο το πολύ ρίζες και εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στο..399. Όπως στη λυμένη.336. Έστω ότι έχουμε τρεις το πολύ, 3ρίζες και εφαρμόζουμε διαδοχικά Rolle στα,. και.400. Όπως στη λυμένη.337. Έστω ότι έχουμε τρεις το πολύ, 3ρίζες και εφαρμόζουμε διαδοχικά Rolle στα,. 3 και.401. Όπως στη λυμένη.337. Έστω ότι έχουμε τέσσερις το πολύ, 3, 4 ρίζες και εφαρμόζουμε διαδοχικά Rolle στα,,. 3, και.40. Όπως στη λυμένη.337. Έστω ότι έχουμε τρεις το πολύ, 3ρίζες και εφαρμόζουμε διαδοχικά Rolle στα,. 3 και 3 3 4.403. Όπως στη λυμένη.336. Έστω ότι έχουμε δύο το πολύ ρίζες και εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στο. Σελ.418 Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι
Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» Σελ.419.404. Όπως στη λυμένη.337. Έστω ότι έχουμε δύο το πολύ ρίζες και εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην f στο..405. Όπως στη λυμένη.337. Έστω ότι έχουμε τρεις το πολύ, 3ρίζες και εφαρμόζουμε διαδοχικά Rolle στα,. και 3 Ακριβώς ν ρίζες εξίσωσης.406. Όπως στη λυμένη.338. Έστω ότι έχουμε δύο το πολύ ρίζες και εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στο για να δείξουμε ότι έχει το πολύ μία ρίζα και από το βαθμό του πολυωνύμου δείχνουμε ότι έχει τουλάχιστον μία..407. Όπως στη λυμένη.339. Έστω ότι έχουμε τρεις το πολύ, 3ρίζες και εφαρμόζουμε διαδοχικά Rolle στα, για να δείξουμε ότι έχει δύο το και πολύ ρίζες. Για το «τουλάχιστον» βρίσκουμε προφανή ρίζα..408. Όπως στη λυμένη.340. Για το «τουλάχιστον» εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στο 0,1 και για το «πολύ» εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε άτοπο..409. Όπως στη λυμένη.340.για το «τουλάχιστον» βρίσκουμε δύο προφανείς ρίζες και για το «πολύ» εφαρμόζουμε Rolle σε άτοπο..410. Όπως στη λυμένη.341. Για το «τουλάχιστον» εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην g f στο [, ] και για το «πολύ» Θ. Rolle σε άτοπο στη g..411. Όπως στη λυμένη.341. Για το «τουλάχιστον» εφαρμόζουμε Θ. Rolle στην F( ) f ( ) στο [0, ] και για το «πολύ» Θ. Rolle σε άτοπο στην F..41. Όπως στη λυμένη.339. Για το «τουλάχιστον» βρίσκουμε μία προφανή ρίζα και για το «πολύ» εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε άτοπο..413. Όπως στη λυμένη.340. Για το «τουλάχιστον» εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην 1 g f e στο [0,1] και για το «πολύ» εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε άτοπο στη g..414. Όπως στη λυμένη.340. Για το «τουλάχιστον» εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην g f στο [, ] και για το «πολύ» εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε άτοπο στη g 3.415. Όπως στη λυμένη.341. Εφαρμόζουμε Θ. Rolle στην στο [ 1] και για το «πολύ» εφαρμόζουμε Θ. Rolle σε άτοπο στην F. 4 F( ) f ( ) e.416. Όπως στη λυμένη.341. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις αν το πολυώνυμο F( ) P( ) Q( ) είναι περιττού και άρτιου βαθμού. Έπειτα, για το «πολύ» εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στην Fστο, όπου είναι ρίζες της F. Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι Σελ.419
Σελ.40 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» Συνδυαστικές ασκήσεις.417. Υπολογίζουμε ότι f 1, f 1 3, f 3 5 και h f 3 εφαρμόζουμε το Θ. Rolle στην στο. f 3 5. Έπειτα.418. Θα δείξουμε ότι υπάρχει ( 3) τέτοιο ώστε f ( ) 0. Έπειτα εφαρμόζουμε δύο φορές Θ. Bolzano στα 1 και 3 και στη συνέχεια, θεώρημα Rolle στην στο,..419. 3 α. Εφαρμόζουμε Θ. Rolle στην g( ) f ( ) στο β. Εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην h( ) f ( ) 6 στο 0,..40. α. Εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην h f f f στο, β. Εφαρμόζουμε Θ. Rolle στην f στο,..41. α. Εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην g f στο και Θ. Rolle σε άτοπο στην g. β. Εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην 1 Θ. Rolle στην h στο 1,.4. f, όπου 1 στο και έπειτα 3 h f α. Εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην f στα 0 και 0,1. β. Εφαρμόζουμε Θ. Rolle στην από το (α) ερώτημα..43. f( ) h ( ) 015 και προκύπτει από το (α) ερώτημα. στο, όπου προκύπτουν β. Εφαρμόζουμε Θ.Rolle στην h( ) e f ( ) στο, όπου προκύπτουν από το (α) ερώτημα. 1.44. Εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στην h( ) f ( ) f ( ) f ( ) στο και έπειτα Θ. Rolle σε άτοπο. 0, α. Εφαρμόζουμε Θ.Rolle στην f στα και, 3.45. Εφαρμόζουμε Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών στην στο a, και έπειτα Θ.Rolle στην στο, 0, όπου το 0 προκύπτει από το Θ.Ε.Τ. f, f Σελ.40 Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι
Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» Σελ.41.46. Εφαρμόζουμε Θ. Bolzano στην στο [, ] και έπειτα Θ. Rolle στην f σε άτοπο..47. α. Έστω ότι η f δεν είναι «1-1» και εφαρμόζουμε Rolle σε άτοπο. β. h f f f f f f 668 γ. Εφαρμόζουμε Θ. Rolle στη g f στο,1. Μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου - Κεφ. : Παράγωγοι Σελ.41