Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva naušta sistem, a u ostalim slučajevima ristua nekom od korisničkih diskova (sa odjednakom verovatnoćom za svaki disk). Posle ristua disku, roces se vraća na rocesorsku obradu, kao što je rikazano na slici. Vreme servisiranja od strane rocesora iznosi u roseku S 5ms, a vreme ristua disku rosečno iznosi S d ms. a) Odrediti vreme odziva ovog sistema u oštem slučaju, kao i za secijalni slučaj kada ostoji samo jedan korisnički disk (k). b) Koliko treba da ima korisničkih diskova da bi vreme odziva bilo. sec? c) Koliko iznosi minimalno moguće vreme odziva za ovaj sistem? Da li se može ostići to vreme odziva odešavanjem broja korisničkih diskova? Rešenje a) Označimo sa V i rosečan broj oseta i-tom serveru od strane jednog rocesa (server je rocesor, ostali su diskovi). Ako je V je broj oseta rocesoru, tada je broj rolazaka kroz granu sa verovatnoćom i jednak V i i V, i>.
Za i, V je broj rolazaka rocesa kroz granu za koju je verovatnoća, a to je izlazna grana, a je V, jer roces samo jednom izađe iz sistema...9... k k k V..9 9 V V... Vk V k k Vreme odziva celog sistema, tj. rosečno vreme zadržavanja rocesa u sistemu iznosi: R R V + R V +... + Rk Vk, gde je R i vreme odziva i-tog resursa. R R V + k R V Da bismo odredili vreme odziva za svaki od resursa, otrebno je da znamo njihova iskorišćenja, a da bismo odredili iskorišćenja, moramo odrediti rotoke kroz svaki resurs. S obzirom da je mreža otvorena, srednji intenzitet izlaznog toka mora biti jednak intenzitetu ulaznog toka X. Sa druge strane, ako je X intenzitet toka rocesa kroz rocessor, tada je izlazni intenzitet toka X X, jer je verovatnoća da osle osete rocesoru roces nausti sistem. Odavde je: X X X X sec..9 9 X X... Xk X sec sec k k Po zakonu iskorišćenja, iskorišćenje resursa iznosi: U X S sec 5ms.5 9.9 U U... Uk X Sd sec ms k k Vidimo da je iskorišćenje rocesora konstantno (ne zavisi od broja diskova), dok je iskorišćenje diskova oada sa njihovim brojem (što je više diskova, manje je osla o svakom od njih). Vreme odziva resursa:
S S R S ms U.5 Sd ms k R R... Rk ms U.9 k.9 k 9 k R R V + k V R ms + k ms k k.9 9 k 9 k 9 ms + ms k.9 k.9 Secijalno, za k, dobija se 9 9 R ms ms s.9 b) R.sec, k? 9 k 9 ms ms k.9 9 k 9 k.9 9 k 9 k 8 k 9 c) Minimalno vreme odziva sistema se dobija u slučaju kada roces nigde ne čeka na obradu. Dakle Rmin V Rmin + k V Rmin V S + k V S d Ovo minimalno vreme ne zavisi od k, jer je: 9 Rmin V S + k V Sd S + k Sd k S + 9 S 5ms + 9ms.sec d Ovo vreme se dobija kada ulazni tok oslova teži nuli ( X ). Minimalno vreme odziva koje se može dobiti odešavanjem broja diskova za dati ulazni tok rocesa dobija se traženjem minimuma funkcije:
( k ) 9 k 9 9.9 + 8. R R( k) ms ms k.9 k.9 8. 8ms ms 9 + 9ms + k.9 k.9 dr dk 8ms ( k.9) Izvod ove funkcije je uvek negativan za celobrojne vrednosti k, a je ova funkcija uvek oadajuća. Najmanje k se stoga dobija u beskonačnosti, što je i očekivano (što je više diskova, manja je verovatnoća da će roces negde čekati). Interaktivni sistemi Zadatak Posmatra se interaktivni računarski sistem sa jednim rocesorom koji oslužuje nekoliko terminala. Kritični broj terminala za ovaj sistem iznosi 5. a) Koliko je iskorišćenje rocesora kod ovog računarskog sistema ako ostoji terminala? b) Ako rosečno vreme odziva u slučaju terminala iznosi sekunde, koliko je rosečno vreme razmišljanja korisnika? c) Koliko je rosečno vreme odziva u slučaju terminala? Rešenje Dijagram stanja sistema sa n terminala: Stanje i redstavlja stanje u kome je aktivno i terminala, odnosni n-i terminala razmišlja i može da generiše zahtev. Kada kažemo da je terminal aktivan, misli se da je generisao zahtev, tako da je u toku osluživanje generisanog zahteva ili čekanje na osluživanje. Ako sa λ označimo intenzitet generisanja zahteva od strane jednog terminala, λ, gde je θ srednje vreme razmišljanja korisnika (terminala), a sa μ označimo srednju θ brzinu rocesora, odnosno intenzitet osluživanja korisničkih zahteva,
( μ, gde je s srednje vreme servisiranja zahteva s ), tada su balansne jednačine za ovaj sistem: n λ μ n ρ, gde je sa ρ obeležen odnos λ μ ( n ) λ μ n ( n ) ρ... λ n μ n ( n )... ρ n! ρ n n n n Zbir svih verovatnoća je, a dobijamo: n n n n n ( + ρ+ ( ) ρ +... +! ρ ) n + nρ+ n( n ) ρ +... + n! ρ ( n) Možemo uočiti da važi sledeća rekurzivna veza: + ( n ) ρ + ( n )( n ) ρ +... + ( n )! ρ ( n ) + nρ ( n) ( n ) n Kada je broj terminala dovoljno veliki da vreme razmišljanja jednog terminala nije dovoljno da se osluže reostalih n- terminala, dolazi do nagomilavanja zahteva. Taj broj terminala naziva se kritičnim brojem terminala i određuje na sledeći način: θ θ ( n* ) s> n* +, gde je θ srednje vreme razmišljanja korisnika (terminala), s a s srednje vreme osluživanja generisanog zahteva. a) + nρ + n( n ) ρ + n( n )( n ) ρ +... + n! ρ ( n) n () + ρ + ρ
* θ n + + 5 s ρ ρ s θ ρ θ s s θ () + + 8 Procesor ne radi jedino kada svi terminali razmišljaju, a je: u () 5 b) r + θ n s koliko radi za sve korisnike iskoriscenje (osluživanje+razmišljanje jednog korisnika) ( r + θ) u n s Drugim rečima, za onaj deo interakcijskog ciklusa za koji rocesor radi, otrebno je da osluži svih n zahteva. n s r θ θ n r θ θ θ θ () 5 sec s s ()
6 s s s.sec θ s.sec 8 5 c) za n: + ρ + 6ρ () + 6ρ + + 6 6 + 6 6 7 Drugi način za određivanje (): + nρ ( n) ( n ) 7 + ρ + () () 8 θ n r() θ.87sec () 7 Zadatak 8 Interaktivni jednorocesorski sistem ima terminala i iskorišćenje rocesora u. 9 Koliko bi bilo iskorišćenje ojedinačnog rocesora ako bi se ovaj sistem realizovao sa: a) rocesora b) rocesora c) rocesora? Rešenje: - jednorocesorski : + () n + nρ + n( n ) ρ +... + n! ρ n u ( n) ρ + ρ + ρ + ρ 8 9 8 9 9 + ρ + ρ + ρ + ρ
Dobili smo jednačinu četvrtog steena: 6ρ + 6ρ + ρ + ρ Treba uočiti da je jedno rešenje jednačine ρ -, koje je i jedino celobrojno rešenje. Međutim, ovo rešenje je negativno, a okušavamo da nađemo ostala. Kada se olinom 6ρ + 6ρ + ρ + ρ odeli sa ρ+, ostane : 6ρ + ρ ρ + ρ S obzirom da je funkcija ρ + ρ olinom trećeg steana, može imati nearan broj realnih rešenja, tako da može imati ili tri ili jedno realno rešenje (druga dva su konjugovano komleksna). U ova funkcija teži, a u funkcija teži. Izvod ove funkicje je ρ + što je uvek ozitivno, tako da je funkcija na celom domenu rastuća. Posledica ove analize je da ova funkcija samo jednom seče x osu. Znači da jednačina ima samo jedno realno rešenje, i dva konjugovanokomleksna. Jednačina ρ + ρ je oblika x + ax b i može se dobiti iterativnim ostukom b izvlačenjem linearnog člana: x ( x + a) b x. Pokušaćemo iterativnim ostukom x + a b x i + x + da nađemo rešenje jednačine: a i
ρ ρ + Iteracija ρ.666.5.5.5 5.9 6.5 7.7 8.59 9.68.6.66.6.65.65 5.65 Dolazi se do rešenja: ρ. 65 a) Za rocesora : λ λ λ λ CPUs idle μ μ μ μ terminala Balansne jednačine: λ μ ρ λ μ ρ 6ρ ( + ρ + 6ρ + 6ρ + ρ ) λ μ ρ 6ρ. λ μ ρ ρ u.66
b) Za rocesora : λ λ λ λ CPUs idle μ μ μ μ terminala λ μ ρ λ μ 6ρ ( + ρ + 6ρ + ρ + ρ ) λ μ ρ. 6 λ μ ρ u ( + + ). c) Za rocesora : λ λ λ λ CPUs idle μ μ μ μ terminala λ μ ρ λ μ 6ρ ( + ρ + 6ρ + ρ + ρ ) λ μ ρ. 7 λ μ ρ u ( + + + ).7
Zadatak Obrada vektora od elemenata bez risustva terminala traje vreme T, koliko i obrada vektora dužine 7 u risustvu terminala. a) Ako bi ovaj rocesor osluživao samo data terminala, koliko bi bilo njegovo iskorišćenje? b) Koliko ce trajati obrada vektora dužine u risustvu terminala? c) Koliko ce trajati obrada vektora dužine u risustvu terminala, ako se umesto jednog rocesora koriste dva rocesora koji redstavljaju ekvivalentne aralelne servere? Rešenje: Za sistem sa terminala važi: + ρ + ρ () Ako je za obradu jednog elementa vektora otrebno vreme k, onda je: T k T 7 k, odnosno T () 7 k () T - roteklo vreme () - verovatnoća da rocesor ne radi za interaktivnu obradu, a može da radi za obradu vektora. k 7 k () + ρ + ρ () 7 ρ + ρ ρ. 8 7 a) Iskorišćenje: u % b) Ukoliko sistem ima terminala, tada važi: + ρ + 6ρ + 6ρ + ρ.77 () () T Tb () k T Tb.5 T ()
c) Ako ima rocesora i terminala, dijagram stanja je rikazan na sledećoj slici : λ λ CPUs idle μ μ Balansne jednačine: λ μ λ μ Odavde je: ρ ρ ( + ρ + ρ ).9 ρ. 78 Vreme otrebno za obradu elemenata sa jednim rocesorom bez terminala : k T Vreme otrebno za obradu elemenata sa dva rocesora bez terminala : k T Posto ima rocesora (od uslovom maksimalne aralelizacije osla, koja se retostavlja), svaki treba da radi vreme T, u intervalima kada je slobodan od interaktivne obrade (a to je stanje čija je verovatnoća, ili stanje, kada je osmatrani rocesor slobodan sa verovatnoćom ½). T ( + ) Tc T Tc T.8 T +.78 +.8.78
Zadatak U interaktivnom sistemu srednje vreme razmišljanja korisnika je sekundi, a rosečno vreme osluživanja interaktivnog zahteva je sec. a) Izračunati srednja vremena odziva i interakcijskog ciklusa kada je aktivno terminala. b) Koliko najviše terminala sme da bude aktivno ako želimo da interaktivni korisnici ne roduže vreme nisko rioritetne (rocesorski orijentisane) aketne obrade za više od %? Rešenje a) * θ n + + < sistem je u zasićenju, jer je broj terminala veći od s kritičnog. Znači da se za vreme jednog interakcijskog ciklusa, dok se osluži svih n terminala, svaki terminal mora dugo da čeka na osluživanje. Veoma je mala verovatnoća da je rocesor slobodan, odnosno iskorišćenje rocesora teži jedinici. Vreme interakcijskog ciklusa je uvek jednako zbiru vremena odziva i vremena razmišljanja datog terminala. Sa druge strane, utvrdili smo da je u ovom slučaju vreme interakcijskog ciklusa jednako ukunom vremenu osluživanja reostalih n- terminala i osluživanja datog zahteva (dakle, ukuno n osluživanja). Stoga je: θ + r n s Vreme odziva: r n s θ sec sec 8sec Vreme interakcijskog ciklusa: t θ + r sec+ 8sec sec b) (n) verovatnoća da rocesor ne radi za interaktivnu obradu, odnosno da može raditi niskorioritetnu obradu. Ako je rocesor ranije radio neku aketnu obradu za vreme T i ukoliko ne želimo da se to vreme roduži za više od %, onda ista aketna obrada u sistemu sa terminalima sme trajati najviše. T
. T ( n) < T (ako je vreme obrade roduženo za tačno %) verovatnoća da radi za aketnu obradu. ( n) Kako je: n + nρ + n( n ) ρ +... + n! ρ ( n) Tražimo najveće n za koje važi da je:. ( )...! n nρ+ n n ρ + + n ρ s ρ θ - n: <. - n +.7 <. - n - n n + +.95 <. + + +. >. Kako je za n isunjen traženi uslov, a već za n nije, najveći broj terminal koji možemo da riključimo, a da uslov ostane isunjen je.
Zadatak 5 (Oktobar 8) Interaktivni sistem ima rocesor koji oslužuje dva terminala. Procesorska obrada jednog interaktivnog zahteva traje rosečno Sms. Vreme razmšljanja rvog terminala iznosi θ ms, a vreme razmišljanja drugog terminala iznosi θ 5ms. Sva vremena imaju ekonencijalnu rasodelu. Pored osluživanja terminala, rocesor radi i niskorioritetnu obradu koja odrazumeva sortiranje niza metodom kvadratne složenosti. Ovo sortiranje nad nizom od elemenata traje s kada u sistemu nema terminala. a) Odrediti srednje vreme odziva sistema i iskorišćenje rocesora ako su terminali uključeni, a nema niskorioritetne rocesorske obrade. b) Koliko će trajati obrada niza od elemenata ukoliko su terminali uključeni? Rešenje a) Dijagram stanja datog sistema se može rikazati na sledeći način: Stanje znači da je rocesor besoslen, odnosno oba terminala razmišljaju. Stanja i znače da je terminal, odnosno, izdao zahtev, a reostali terminal razmišlja. Stanje znači da su oba terminala izdala zahteve, ri čemu se zahtev rvog terminala oslužuje, a zahtev drugog terminala čeka na osluživanje. Analogno za stanje. a
Balansne jednačine za ovaj sistem: ( ) ( ) ( ) λ + λ μ+ μ λ + μ λ + μ λ + μ λ + μ μ λ μ λ + + + + μ μ μ, λ, S λ 5 θ θ Rešavanjem sistema dolazi se do sledećih verovatnoća stanja:,,, 5 5 5 5 Procesor nije iskorišćen jedino u stanju, tako da je iskorišćenje rocesora: U % 5 U Protok kroz rocesor : X osl / sec S Prosečan broj oslova u rocesorskom sistemu : J + + + 5 J Vreme odziva rocesora : R ms X Ovo vreme redstavlja očekivano vreme od trenutka izdavanja zahteva do kraja njegove obrade. b) Za sortitanje uta dužeg vektora otrebno je, o datom algoritmu, 9 uta više rocesorskog vremena. Pritom se sortiranje vrši jedino kada je rocesor slobodan što se tiče interaktivnih zahteva. ( ) T U 9 T 9 T T s 5min U