Σχολή Εαρμοσμένν Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μτσόβιο Πολυτχνίο Διηλκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητς Υλικών Κάλαιο : Διηλκτρικά Λιαροκάπης Ευθύμιος
Άδια Χρήσης Το παρόν κπαιδυτικό υλικό υπόκιται σ άδις χρήσης Ca%v Cns. Για κπαιδυτικό υλικό, όπς ικόνς, που υπόκιται σ άδια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπι να αναγράται ρητώς.
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Οι ξισώσις του axwll ορίζουν ότι dv ρ, όπου ρ ίναι η πυκνότητα ορτίν. Όμς, στην πρίπτση νός υλικού, τα ορτία που ορίζουν την ένταση του ηλκτρικού πδίου θα δίνονται από το σύνολο τν ορτίν, ξτρικών και στρικών. Μολονότι στις πιο πολλές πριπτώσις το συνολικό στρικό ορτίο ίναι μηδέν, η χρική κατανομή τους ίναι δυνατόν να δημιουργί μια διπολική ροπή διάορη του μηδνός. Αυτό προκύπτι ύκολα από τον νόμο του Cul για κατανομή ορτίν: R- R Σ 4π R, όπου R X, Y, Z και x, y, z. Από το ανάπτυγμα τν όρν R γύρ από ένα σημίο στρικό τν ορτίν R, θα προκύψι ότι K και πομένς R R R Qολ R Qολ R Σ K K, όπου 4π R 4π R 4π R 4π R ίναι η ηλκτρική διπολική ροπή. Όταν το Q ολ 0, πρώτος όρος ίναι ο πιο σημαντικός. Αν όμς Q ολ 0 τότ, α νός μν η ηλκτρική διπολική ροπή έχι τιμή ανξάρτητη της αρχής τν αξόνν, α τέρου δ αποτλί τον πλέον σημαντικό όρο για τον υπολογισμό του δυναμικού ξ αιτίας τν στρικών ορτίν νός υλικού. [Αν συμβί 0, τότ ο πλέον σημαντικός όρος θα ίναι ο πόμνος όρος στο ανάπτυγμα ττραπολική ροπή]. Επομένς, μπορούμ να λάβουμ υπόψη την ύπαρξη τν στρικών ορτίν, μέσ της διπολικής ροπής και αν υπάρχουν και ξτρικά ορτία, θα προστθί η πίδρασή τους. Η ένταση του ηλκτρικού πδίου ξ αιτίας διπόλου στην θέση R R R R θα δίνται από την σχέση. 5 4 π R Για συνχή κατανομή ορτίν η αντίστοιχη σχέση για το δυναμικό θα ίναι ΙΙ-
ρ xtdv P R dv K 4π R 4π R Όπου PdV ορίζι την πόλση του υλικού μέσ της σχέσης P. dv Το κράζι τν αριθμό τν μορίν τύπου ανά μονάδα όγκου, νώ το ίναι η μέση διπολική ροπή μορίν τύπου. Μ τα δδομένα αυτά, μπορούμ γράψουμ ρ xtdv P R dv ρ dv P xt dv R 4π 4π R 4π R 4π R ρ xtdv P P dv dv 4π R 4π R 4π R ρ xtdv P ρ xt P dv dv 4π R 4π R 4π R Γιατί ο δύτρος όρος μηδνίζται αού μτασχηματίζται σ πιανιακό ολοκλήρμα σ μια πιάνια που πρικλίι το υλικό, όπου η πόλση μηδνίζται. Επομένς, το δυναμικό ίναι σαν να δημιουργίται α νός μν από τα ξτρικά ορτία και α τέρου από ισοδύναμα ορτία λόγ της πόλσης ρ P. ρ xt ρ Τλικά η ξίσση του axwll θα λάβι την μορή dv, που μπορί να ρ ρ xt dvp γρατί και μ την μορή dv dv ή ισοδύναμα μ την dv P ρxt. Ορίζουμ την ποσότητα D P, που ονομάζται ηλκτρική μτατόπιση και η παραπάν ξίσση λαμβάνι την γνστή μορή dvd ρ. Για ισότροπα υλικά τα D και θα ίναι παράλληλα και στη γραμμική προσέγγιση, ανάλογα. Επομένς, μπορούμ να γράψουμ ότι D, όπου μ το ορίζουμ την διηλκτρική συνάρτηση. Συνήθς ονομάζται σταθρά, αλλά όπς θα δούμ ξαρτάται από την συχνότητα του ΗΜ κύματος. Οπότ προκύπτι ότι P χ, όπου μ χ έχουμ ορίσι την διηλκτρική πιδκτικότητα. Στην πρίπτση μη-ισότροπν υλικών αλλά πάλι στη γραμμική προσέγγιση θα ισχύι η πιο γνική σχέση D μ την σύμβαση του nstn. j j j j xt j ΙΙ-
Οριακές συνθήκς στην διπιάνια διηλκτρικών Οι οριακές συνθήκς που ικανοποιούν στην διαχριστική πιάνια δύο διηλκτρικών τα μγέθη, D ίναι t t, D n Dn όταν δν υπάρχουν ξτρικά ορτία, Dn D n σ xt για πιανιακά ορτία πυκνότητας σ xt, που προκύπτουν ύκολα από τις ξισώσις του axwll. Μ n και t ορίζονται η κάθτη και παράλληλη στην διαχριστική πιάνια συνιστώσς του κάστοτ διανύσματος. Για την πόλση προκύπτι στην διαχριστική πιάνια διηλκτρικού μ το κνό, μέσ ολοκλήρσης της σχέσης ρ P πάν σ έναν μικρό όγκο που πριλαμβάνι πιάνια δs του διηλκτρικού μ απιροστό πάχος μέσα και έξ από το διηλκτρικό. Προκύπτι τότ η αντίστοιχη οριακή συνθήκη Pn σ, όπου σ ορίζι την πιανιακή πυκνότητα τν ορτίν πόλσης που δημιουργίται στο διηλκτρικό. Παράδιγμα πίπδου πυκντή Για να κατανοήσουμ τον μικροσκοπικό μηχανισμό, ας θρήσουμ το παράδιγμα του πίπδου πυκντή μ ορτία πιανιακής πυκνότητας σ σταθρά. Εξ αιτίας του στατικού ηλκτρικού πδίου τα σ -σ σ -σ ορτία που βρίσκονται μέσα στο υλικό ανακατανέμονται και ανάλογα αν το υλικό ίναι μέταλλο ή διηλκτρικό συμπριέρονται διαορτικά. Στα μν μέταλλα τα ορτία συγκντρώνονται στην πιάνια του υλικού και θρακίζουν πλήρς το ηλκτρικό πδίο μέσα στον αγγό, μ αποτέλσμα το ηλκτρικό πδίο μέσα στο μέταλλο να ίναι μηδέν, όπς παρουσιάζται στο διπλανό σχήμα. Δηλαδή θα σ σ ισχύι ότι 0 πλήρης θράκιση. Στα διηλκτρικά μοντικά υλικά, τα ορτία ίναι δσμυμένα και δν δύνανται να αποσπαστούν, αλλά μπορούν να σ σ π -σ μτακινηθούν από την θέση ισορροπίας τους, δημιουργώντας ένα πιπρόσθτο ηλκτρικό πδίο μέσα στο διηλκτρικό. Το αποτέλσμα ίναι να υπάρχι κάποιο ηλκτρικό πδίο μέσα στο μοντικό υλικό, που θα ίναι διαορτικό από το ξτρικό πδίο που αρμόστηκ. Όπς αίνται στο δύτρο σχήμα, τα ορτία που πάγονται θα ίναι λιγότρα από τα αρχικά και απλά θα μιώνουν το ηλκτρικό πδίο μέσα στο διηλκτρικό. Δηλαδή θα έχουμ ότι σ σ π P. Όμς P χ. Οπότ ΙΙ-
χ >. Η απόκριση του υλικού στο ξτρικό πδίο θα ίναι μια ανακατανομή τν ορτίν και δημιουργία ηλκτρικών διπόλν, ίτ ο προσανατολισμός τν τυχόν υπαρχόντν μόνιμν διπολικών ροπών σ σχέση μ το ηλκτρικό πδίο που αρμόζται. Στην πρίπτση όμς ναλλασσόμνου πδίου ΗΜ κύματος η απόκριση του υλικού θα ίναι διαορτική και θα ξαρτάται από την συχνότητα του πδίου, ς προς τις χαρακτηριστικές συχνότητς του υλικού. Επίσης, στα μέταλλα δν θα μηδνίζται το ηλκτρικό πδίο μέσα στον αγγό, αλλά οι λύθροι ορίς θα τίθνται σ παλινδρομική κίνηση, χρίς την ανάγκη συγκέντρσης στην πιάνια και την πλήρη θράκιση του υλικού. Ατομική-μοριακή πολσιμότητα Υπό την πίδραση νός σταθρού ηλκτρικού πδίου, τα ορτία τν ατόμν ή τν μορίν που απαρτίζουν τα μοντικά διηλκτρικά υλικά θα ανακατανμηθούν και, όσον τα άτομα ή μόρια δν διαθέτουν ήδη μια ηλκτρική διπολική ροπή, θα δημιουργήσουν διπολική ροπή. Αυτή η διπολική ροπή σ πρώτη προσέγγιση πρίπτση μικρού ηλκτρικού πδίου θα ίναι ανάλογη του ηλκτρικού πδίου που νοιώθι το άτομο ή μόριο. Επομένς, για να δούμ την συμπριορά τν ατόμν ή μορίν του διηλκτρικού υλικού στο στατικό πδίο, θα πρέπι να υπολογίσουμ το τοπικό ηλκτρικό πδίο lc στην θέση του ατόμου ή μορίου. Δηλαδή θα ισχύι ότι a lc Όπου το α θα κράζι την ατομική ή την μοριακή πολσιμότητα. Ο υπολογισμός του α μπορί να γίνι κλασικά ή κβαντικά. Στην πραγματικότητα, η γραμμική σχέση ισχύι μόνο για λύθρα άτομα, αού στα στρά οι δυνάμις ανάμσα στα άτομα θα πηράσουν την κίνηση τν ηλκτρονίν. Έτσι η πολσιμότητα θα έπρπ να κραστί μέσ νός τανυστή δυτέρας τάξης έναν πίνακα που θα υποδηλώνι ότι τα και v lc δν ίναι κατ ανάγκη παράλληλα. Ας αγνοήσουμ όμς αυτή την ξάρτηση και ας παραδχθούμ ότι για κάποια υλικά η σχέση ίναι απλά αναλογία, σ σ π -σ δηλαδή υπάρχι ένας μόνον α που κράζι την ατομική πολσιμότητα. Ρ ο Είναι ανρό ότι το τοπικό ηλκτρικό πδίο v lc δν θα ίναι ίσο μ το ξτρικό zˆ. Έτσι θα πρέπι θ να βρούμ την σχέση ανάμσα στο R τοπικό πδίο και το ξτρικό. Μπορούμ να γράψουμ ότι lc d, όπου το πί πλέον z πδίο d θα δημιουργίται από την πόλση του υλικού. Ε ο ΙΙ-4
Επιδή ο υπολογισμός του v lc καθίσταται δύσκολος ξ αιτίας της ανάγκης να υπολογίσουμ την πίδραση τν ορτίν από ολόκληρο το υλικό και πομένς από την πιάνιά του ο ntz πρότιν μια μέθοδο υπολογισμού του πδίου d, μ το να χρίσουμ αυτό το πδίο σ τρία μέρη d, όπου το δημιουργίται από τα ορτία της πιάνιας του διηλκτρικού, το από τα ορτία πόλσης της πιάνιας μιας μικρής σαίρας ακτίνας R γύρ από το άτομο ή μόριο ή ιόν και ένα τλυταίο που θα υπολογιστί από τα δίπολα που βρίσκονται μέσα στη σαίρα αυτή ακτίνας R. Το πδίο υπολογίζται ύκολα γιατί ίναι το αποτέλσμα τν πιανιακών ορτίν πόλσης πυκνότητας σ και θα ίναι ίσο προς σ P zˆ ομοιόμορο πδίο. 0 T δημιουργίται από τα ορτία στην πιάνια της σαίρας. Γνρίζουμ από τον ΗΜ ότι ένα διηλκτρικό σ ξτρικό ομογνές ηλκτρικό πδίο δημιουργί ξ παγγής στην πιάνιά του κατανομή ορτίν πυκνότητας σ P csθ. Είναι προανές από την συμμτρία του προβλήματος, ότι το συνολικό πδίο θα ίναι κατά τον άξονα z. Επομένς, θα πρέπι να ολοκληρώσουμ την συνισταμένη του ηλκτρικού πδίου στον άξονα z. Αυτή θα ίναι π P cs θ π snθ dθ 4π R 4π 0 0 π csθ σ R dω Η συνισορά τν διπόλν μέσα στην σαίρα ακτίνας R θα πρέπι να υπολογιστί αναλυτικά, βάσι της συνισορά κάθ διπόλου, ήτοι ς το άθροισμα R R R. Στην γνική πρίπτση θα δίνι κάποια τιμή 5 4π R διάορη του μηδνός. Όμς στην πρίπτση κυβικού κρυστάλλου ή άμορου αποδικνύται ότι δίνι τιμή μηδέν. Ας δχτούμ ότι έχουμ χροκντρμένο κυβικό σύστημα, τότ R axˆ jayˆ azˆ όπου,j, ακέραιοι. Τότ η x συνιστώσα του ηλκτρικού πδίου θα ίναι ίση προς, x y z R R R j j x x 5 5 4π R 4π, j, j 4π, j, x j 5 / j x Αού οι όροι j, j, θα μηδνιστούν δδομένου ότι λαμβάνουμ ξ ίσου θτικές και αρνητικές τιμές για τον κάθ δίκτη. Όμς ξ αιτίας τα κυβικής συμμτρίας θα έχουμ πίσης ότι j, j, j, j, j, j, j Επομένς, 0. Το ίδιο θα ισχύι και για τις άλλς δύο συνιστώσς του πδίου. x P ΙΙ-5
Οπότ θα έχουμ ότι P P P 0 και πομένς lc, όπου v ίναι το ηλκτρικό πδίο μέσα στο διηλκτρικό, όπς υπολογίζται από την σχέση D παράδιγμα πίπδου πυκντή. Επιδή P χ χ προκύπτι το πδίο του ntz lc. Αν ίναι η διπολική ροπή του κάθ μορίου ή ατόμου, τότ P θα ίναι η πόλση για Ν άτομα ή μόρια ανά μονάδα όγκου. Επιδή η διπολική ροπή ξαρτάται από τοπικό ηλκτρικό πδίο, θα ισχύι ότι alc, όπου μ το α ορίσαμ την ατομική ή μοριακή πολσιμότητα. Έτσι P a a P alc a a P P χ a χ a a a Οπότ προκύπτι η ξίσση τν Clausus και sstt a που κράζι την σχέση της ατομικής πολσιμότητας μ την μακροσκοπικά μτρούμνη διηλκτρική σταθρά. Όταν υπάρχουν πολλών ιδών άτομα, τότ η σχέση γράται a. Επιδή στις οπτικές συχνότητς n όπου n ίναι ο δίκτης διάθλασης, n προκύπτι η σχέση τν ntz και nz 880 a. n Αν ρ ίναι η πυκνότητα του υλικού, Ν Α ο αριθμός του Avgad και Μ το A μοριακό βάρος, τότ ρ και πομένς a, που αποδικνύι ότι ρ A aρ, και για σταθρό α π.χ. διάλυμα ρ αναλογία μ την πυκνότητα διαλύματος. Αιτίς πολσιμότητας Η πολσιμότητα μπορί να προκαλίται από διάορς αιτίς. Η ηλκτρονική πολσιμότητα οίλται στην σχτική μτατόπιση τν ηλκτρονίν νός ιόντος ή ατόμου ς προς τον πυρήνα, υπό την πίδραση νός ξτρικού ηλκτρικού πδίου. Είναι προανές ότι αυτή η αιτία θα υπάρχι σ όλα τα υλικά. ΙΙ-6
Η ιοντική πολσιμότητα μανίζται στα μόρια όπου υπάρχουν ιοντικοί δσμοί. Τότ τα αντίθτα ορτισμένα ιόντα μτατοπίζονται από την θέση ισορροπίας τους υπό την πίδραση του ηλκτρικού πδίου δημιουργώντας μια διπολική ροπή. Είναι δυνατόν να υπάρχι μια μόνιμη ηλκτρική διπολική ροπή στα μόρια που αποτλούν ένα υλικό. Μ την απουσία ξτρικού ηλκτρικού πδίου, οι διπολικές ροπές θα ίναι τυχαία προσανατολισμένς. Όταν όμς αρμοστί κάποιο πδίο, θα προσανατολιστούν και θα δημιουργήσουν μια πόλση στο υλικό. Ηλκτρονική πολσιμότητα Ένας πολύ προσγγιστικός υπολογισμός θρί το άτομο ς σημιακό ορτίο και το ηλκτρόνιο ς ένα νέος ομοιόμορα κατανμημένου ορτίου. Υπό την πίδραση του ηλκτρικού πδίου θα μτατοπιστούν τα κέντρα τν ορτίν μ αποτέλσμα να δημιουργηθί κάποια δύναμη παναοράς λκτική. Αν απομακρυνθί το κέντρο του νέους κατά z από την αρχική του θέση, τότ θα δημιουργηθί _ μια δύναμη στο σημιακό ορτίο του πυρήνα από το μέρος του ορτίου που πρικλίται στη σαίρα ακτίνας z. Αυτή θα ίναι ίση προς z z F z z 4π z 4π Και θα δημιουργήσι μια ιδιοσυχνότητα ταλάντσης, νώ η 4π δύναμη απομάκρυνσης θα ίναι ίση προς z Οπότ al. lc lc lc F z z, ήτοι lc z. Για a 0, 59 Å ακτίνα του Bh και προκύπτι 40 al 0,56 0 C /V, νώ ο ακριβής κβαντομηχανικός υπολογισμός δίνι 0,704 0-40 C /V και το πίραμα 0,7 0-40 C /V. Ιοντική πολσιμότητα Ένα απλό μοντέλο για να υπολογιστί η συνισορά της ιοντικής πολσιμότητας θρί την πρίπτση μιας μονοδιάστατης διατομικής αλυσίδας ιόντν αντίθτου ορτίου ±. Ε f f f f f u υ u υ ΙΙ-7
Υπό την πίδραση του ηλκτρικού πδίου τα αντίθτα ορτία θα μτακινηθούν μ αποτέλσμα να δημιουργηθούν δυνάμις παναοράς της μορής f u v lc 0 για το ένα σώμα και f v u 0 για το άλλο. lc lc Επομένς u v f Η ιδιοσυχνότητα ταλάντσης στο κέντρο της ζώνης Bllun 0 θα ίναι Οπότ f lc u v lc, όπου Η παγόμνη διπολική ροπή θα ίναι ίση προς a, που προκύπτι πρίπου το 0% της ηλκτρονικής. n η ανηγμένη μάζα. u v lc, οπότ Διπολική πολσιμότητα Κατά τα γνστά, η δυναμική νέργια διπόλου σ ξτρικό ηλκτρικό πδίο δίνται από την σχέση U Επομένς, η νέργια θα Ρ θ Ε λαχιστοποιίται όταν τα δίπολα ίναι παράλληλα στο ξτρικό πδίο. Στην θρμοκρασία Τ0 Κ θα ίναι όλα προσανατολισμένα. Αλλά σ θρμοκρασία Τ > 0 Κ θα τίνουν να αποπροσανατολιστούν ξ αιτίας της θρμικής τους διέγρσης. Η μέση τιμή της διπολικής ροπής θα ίναι λόγ - συμμτρίας παράλληλη στο ηλκτρικό πδίο. Για να την υπολογίσουμ αρκί να βρούμ την μέση τιμή της διπολικής ροπής στην κατύθυνση του πδίου, csθ x csθ dω csθ x csθ snθdθ BT BT csθ θ Ω θ x cs d x cs snθdθ BT BT και τλικά d ln x u csθ dcsθ cth u du u ΙΙ-8
όπου u T B Η συνάρτηση u cth u ονομάζται συνάρτηση του angvn και έχι την u μορή του σχήματος και BT Για u T 0. Όταν u 0 T 0 Στην πρίπτση που u <<, u u u u u u u u u u u u 6 Επομένς για u << υψηλές θρμοκρασίς και T B a d. T B H συνολική πολσιμότητα θα ίναι ίση προς a al an ad al an ξίσση τν angvn-dy T Οι δύο πρώτοι όροι δν ξαρτώνται από την θρμοκρασία, νώ ο τρίτος ξαρτάται. Έτσι η θρμοκρασιακή μλέτη μπορί να μας ορίσι το άθροισμα a l a n καθώς και το. Οι διπολικές ροπές κράζονται σ μονάδς Dy 0-9 C, που προκύπτι από δίπολο ορτίο πρίπου νός ηλκτρονίου 0-9 C σ απόσταση Å. B Δυναμική πρίπτση - ΗΜ κύματα Ηλκτρονική πολσιμότητα Στο απλό μοντέλο της ηλκτρονικής πολσιμότητας το άτομο αποτλίται από ένα θτικά ορτισμένο ιόν και ένα αρνητικό ορτίο που συγκρατίται γύρ από το ιόν μέσ νός λατηρίου κτλώντας ταλάντση ιδιοσυχνότητας ο. Αν συμπριλάβουμ και απώλις μέσ κάποιας «τριβής» δύναμη ανάλογη της ταχύτητας η ξίσση της κίνησης υπό την πίδραση ναλλασσόμνου ηλκτρικού t πδίου στην θέση του ατόμου, θα έχι την μορή d d t Γ dt dt Θέτοντας στη μόνιμη κατάσταση t t προκύπτι η λύση ΙΙ-9
ΙΙ-0 Γ Η διπολική ροπή που πάγται θα ίναι ίση προς t t t t Γ Επομένς, η ηλκτρονική πολσιμότητα θα δίνται από την σχέση Γ a Όταν 0, η παραπάν λύση οδηγί στην στατική τιμή. Στο όριο, 0 a Εύκολα προκύπτι ότι a a a Γ Γ Γ Μ τις δύο συνιστώσς a a, να παρουσιάζουν τις κλασικές μορές σχήμα από τις Σημιώσις Σ. Παπαδόπουλου Για τα υλικά που ακολουθούν την σχέση του ntz lc θα προκύψι ότι t lc a a P Ενώ θα ισχύι πίσης ότι
P Από τον συνδυασμό τν δύο θα έχουμ ότι Οπότ προκύπτι ότι a a Και μ αντικατάσταση της τιμής του α θα έχουμ ότι Γ lc Γ Όπου θέσαμ Γ Γ Προανώς, η απορρόηση θα κράζται από το και θα ίναι ανάλογη της ποσότητας Γ. Ιοντική πολσιμότητα Θα υπολογίσουμ την ιοντική συνισορά στην πολσιμότητα μέσ νός απλού μοντέλου διατομικής γραμμικής αλυσίδας, στην πρίπτση μγάλου μήκους κύματος ς προς τις διαστάσις της μοναδιαίας κυψλίδας. Έστ θτικά και αρνητικά ορτισμένα ιόντα ορτίου ±Z που αλληλπιδρούν σ πρώτους γίτονς μ ίδις σταθρές λατηρίου. Αν u ± ίναι οι μτακινήσις τν ιόντν από την θέση ισορροπίας τους και a± οι ατομικές πολσιμότητές τους, τότ υπό την πίδραση νός τοπικού ηλκτρικού πδίου lc θα δημιουργηθούν διπολικές ροπές Zu a και lc Zu a. lc Αν υπάρχουν Ν ζύγη ιόντν ανά μονάδα όγκου, τότ θα δημιουργηθί πόλση P P [ Z u ] u a a lc Z u u a a Επομένς, ΙΙ-
P a a u u Θέτουμ w [ Z u u a a ] Όπου t Και, P P ίναι η ανηγμένη μάζα t και w w t οι χρονικές ξαρτήσις τν μγθών. Έχουμ Μ τον ορισμό P w P w Z και a a a a a a Από την μτακίνηση τν θτικών και αρνητικών ιόντν θα προκύψι μια δύναμη παναοράς της μορής u u, όπου το στην γνική τρισδιάστατη πρίπτση θα ήταν ένας τανυστής ας τάξης. Επιδή υπάρχουν και ηλκτροστατικές δυνάμις από το ηλκτρικό πδίο, οι ξισώσις κίνησης θα ίναι της μορής u & u u Zlc u & u u Z lc Που οδηγούν στην ξίσση σχτικής κίνησης u & u & u u Z Που ισοδυναμί μ την ξίσση & lc & P u & u & u u Z Από την αντικατάσταση τν P και w καταλήγουμ στην Z Z w w & w a a a a Όπου ορίσαμ τα μγέθη ΙΙ-
Z και a a Z a a Παρατηρούμ ότι Από την αντικατάσταση της χρονικής ξάρτησης τν μγθών θα προκύψι ότι w Επομένς, w 0 Μ αντικατάσταση στην άλλη ξίσση προκύπτι πί πλέον ότι P w Παρατηρούμ ότι [ ] και μ αντικατάσταση της έχουμ ότι a a a a Που γράται ισοδύναμα μ την σχέση Clausus-sstt Ν α α ο Όπου ορίζι την διηλκτρική σταθρά σ οριακά άπιρη συχνότητα. Ας ορίσουμ για λόγους που θα ξηγηθούν παρακάτ για την ξίσση της διηλκτρικής συνάρτησης Επί πλέον έχουμ ότι Και κ Μ 0 0 T ο Τ Τ ο, οπότ θα έχουμ T 0 ΙΙ-
Τ [ 0 ] Z ο a a Για να βρούμ την υσική σημασία του Τ, ας θρήσουμ πίπδα κύματα της μορής D D, και P P. Για ισότροπα υλικά θα ισχύι ότι και τα τρία διανύσματα D,, P θα ίναι παράλληλα. Από τις ξισώσις του axwll χρίς ξτρικά ορτία θα προκύψι ότι D D 0 οπότ ίτ D 0, ίτ D,, P. Για μγάλα μήκη κύματος το σύστημα συμπριέρται ς ηλκτροστατικό και πομένς θα ισχύι ότι 0 οπότ ίτ 0, ίτ D,, P //. Στις γκάρσις ταλαντώσις D,, P, οπότ θα πρέπι 0, που συνπάγται ότι T, που υποδηλώνι ότι η Τ αντιστοιχί στις γκάρσις ταλαντώσις. Για τις διαμήκις θα έχουμ ότι D,, P //, πομένς θα πρέπι D 0, που συνπάγται ότι 0 και P, νώ από την ξίσση 0 0 0 έχουμ ότι T που έχι πολύ μγαλύτρη T ισχύ από την συγκκριμένη προσέγγιση και ονομάζται σχέση τν yddan-sachs- Tll. Το ίδιο προκύπτι από την ανάλυση w w wt, οπότ για την διαμήκη συνιστώσα θα ισχύι ότι w 0, νώ για την γκάρσια w 0. Από την απουσία ξτρικών ορτίν προκύπτι ότι D P 0 P. Επίσης ισχύι για μγάλα μήκη κύματος ότι 0, δηλαδή το ηλκτρικό πδίο ίναι αστρόβιλο. Όμς P w, οπότ w, ήτοι w w T ΙΙ-4
Μ προανή μοναδική λύση την αστρόβιλο. Έτσι προκύπτι ότι & & & w αού το πδίο ίναι w & w & w & T w wt w w Που χρίζται σ δύο ξισώσις, μια για την γκάρσια συνιστώσα w & T wt που υποδηλώνι ταλάντση ιδιοσυχνότητας T, και μια άλλη για την διαμήκη w & w ταλάντση ιδιοσυχνότητας 0 T w T 0 T 0 w w που υποδηλώνι T Διηλκτρική συνάρτηση μτάλλν Ας θρήσουμ ξτρικά ορτία ρ xt σ κάποιο μέταλλο. Αν ήταν μόνα τους θα δημιουργούσαν κάποιο δυναμικό, που υπολογίζται από την ξίσση του Pssn ρxt xt Αν ορίσουμ ς το δυναμικό που δημιουργίται από τον συνδυασμό τν ξτρικών ορτίν και τν στρικών τότ ρ Όπου ρ ρ ρ xt nd Δχόμαστ ότι ισχύι μια γραμμική σχέση ανάμσα στα δύο δυναμικά δηλαδή το xt αντιστοιχί στο D, νώ το στο Ε d xt, Για ομοιόμορο αέριο ηλκτρονίν θα ισχύι ότι,, πομένς d xt Από μτασχηματισμό Fu θα προκύψι ότι ΙΙ-5
ΙΙ-6 xt xt [μίση ξτρικού πδίου κατά ] Όπου d και d π Από τις ξίσσης του Pssn προκύπτι ότι ρ ρ ρ xt nd xt xt Οπότ nd v ρ Στην προσέγγιση που το δυναμικό ίναι μια αργά μταβαλλόμνη συνάρτηση της θέσης, τότ θα έχουμ ότι για << F θα ισχύι για την νέργια η σχέση h Επομένς από την πυκνότητα καταστάσν μ μ χημικό δυναμικό θα προκύψι ότι x 4 μ π d n h Οπότ x 4 μ π μ d n h Και [ ] μ μ μ ρ nd n n n Αυτή η προσέγγιση της θράκισης οίλται στους Thas-F και ισχύι αρκτά καλά όταν << F. Στην προσέγγιση αυτή προκύπτι για την διηλκτρική συνάρτηση η σχέση μ n Ορίζοντας τον κυματαριθμό τν Thas-F μ n Προκύπτι η σχέση
Παρατηρούμ ότι για 0,. Αν το ξτρικό ορτίο ήταν σημιακό Q, τότ Q Q xt xt, οπότ 4π Q xt Που οδηγί σ ένα δυναμικό d Q Q π 4 π τύπου Yuawa που αναπαριστά μια θράκιση σ αποστάσις μγαλύτρς του /. 6 s Αποδικνύται ότι, όπου s ορίζι την ακτίνα μιας F π a σαίρας μ όγκο κίνον του κάθ ηλκτρονίου. Επιδή συνήθς s /a ~ -6 F, δηλαδή η ηλκτρονική θράκιση ίναι αποτλσματική και νργί σ αποστάσις νδοσματιδιακές. Ο υπολογισμός του ndhad για την θράκιση διορθώνι τον όρο τν Thas-F, αλλά ισάγι μια πολύ πιο σύνθτη σχέση. Για Τ 0 Κ η σχέση αυτή ίναι F x x ln h π 4x x Στην πρίπτση του 0 η παραπάν σχέση οδηγί στην αντίστοιχη τν Thas-F. Όταν F το αποκλίνι. Η αντίστοιχη διόρθση για F στις δυνάμις Cul ανάμσα στα ιόντα και η παγόμνη θράκιση ξ αιτίας τν ηλκτρονίν, οδηγί σ μια αντίστοιχη απόκλιση που πηράζι την σχέση διασποράς τν νονίν μ απιρισμό του στις τιμές του που αντιστοιχούν σ αντιδιαμτρικά σημία της πιάνιας F ανμαλία Khn. Αν λάβουμ υπόψη μας και τα ιόντα και δν τα θρήσουμ αμτακίνητα, θα έχουμ και κάποια θράκιση από τα ιόντα, που προσθέτι έναν όρο της μορής Ω 4πn Z, όπου Ω ίναι η συχνότητα πλάσματος τν ιόντν. Τλικά η διηλκτρική συνάρτηση που συμπριλαμβάνι συνισορές και από τους λύθρους ορίς και από τις ταλαντώσις του πλέγματος νόνια θα λάβι την μορή Ω ΙΙ-7
Συνολική πολσιμότητα Η μταβολή μ την συχνότητα του πραγματικού μέρους της πολσιμότητας όπς και του πραγματικό μέρους της διηλκτρικής συνάρτησης συνήθς έχι την μορή τα δύο πόμνα σχήματα από το βιβλίο Fundantals f Sld Stat Physcs του J.R. Chstan Η παρουσία τν λύθρν ορέν και του νργιακού χάσματος στους ημιαγγούς αλλάζι την ξάρτηση της απορρόησης που λαμβάνι την μορή ΙΙ-8
Χρηματοδότηση Το παρόν κπαιδυτικό υλικό έχι αναπτυχθί στα πλαίσια του κπαιδυτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχι χρηματοδοτήσι μόνο την αναδιαμόρση του κπαιδυτικού υλικού. Το έργο υλοποιίται στο πλαίσιο του Επιχιρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδυση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτίται από την Ευρπαϊκή Ένση Ευρπαϊκό Κοιννικό Ταμίο και από θνικού πόρους.