MATEMATIKA I. Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc

MATEMATIKA I Doc. RNDr. Michal Šabo, CSc

2

Obsah Predhovor 5 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod................................... 2.2 Reálne n-rozmerné vektory...................... 2.3 Matice.................................. 7 2.4 Operácie s maticami.......................... 9 2.5 Hodnosť matice............................. 23 2.6 Sústavy lineárnych rovníc....................... 25 2.6. Gaussova eliminačná metóda................. 28 2.7 Determinanty.............................. 3 2.7. Inverzné matice a maticové rovnice.............. 34 2.7.2 Cramerovo pravidlo...................... 36 2.8 Polynómy a algebraické rovnice.................... 38 2.9 Výsledky cvičení............................ 45 3 REÁLNE FUNKCIE JEDNEJ PREMENNEJ 47 3. Reálna funkcia a jej vlastnosti..................... 47 3.. Zobrazenie a reálna funkcia.................. 47 3..2 Vlastnosti reálnych funkcií................... 50 3.2 Zložená a inverzná funkcia....................... 54 3.2. Exponenciálna a logaritmická funkcia............ 57 3.2.2 Cyklometrické funkcie..................... 58 3.3 Nekonečná postupnosť......................... 62 3.4 Limita postupnosti........................... 66 3.5 Limita a spojitosť funkcie....................... 74 3.6 Výsledky cvičení............................ 8 4 DIFERENCIÁLNY POČET REÁLNYCH FUNKCIÍ 83 4. Derivácia reálnej funkcie........................ 83 4.. Definícia a geometrický význam................ 83 4..2 Fyzikálny význam derivácie.................. 87 4..3 Základné vzťahy........................ 88 4..4 Derivácia zloženej funkcie................... 90 3

4 OBSAH 4.2 Derivácie vyšších rádov........................ 93 4.3 L Hospitalovo pravidlo......................... 94 4.4 Diferenciál................................ 95 4.5 Derivácia a vlastnosti funkcií..................... 98 4.5. Monotónnosť funkcie...................... 99 4.5.2 Konvexnosť a konkávnosť funkcie............... 00 4.5.3 Inflexné body.......................... 0 4.5.4 Lokálne extrémy........................ 03 4.6 Asymptoty grafu funkcie........................ 07 4.7 Aproximácia funkcie Taylorovým polynómom............ 4.8 Krivky dané parametricky....................... 5 4.9 Výsledky cvičení............................ 20 5 NEURČITÝ INTEGRÁL 2 5. Definícia neurčitého integrálu..................... 2 5.2 Základné vlastnosti........................... 24 5.3 Substitučná metóda.......................... 25 5.4 Metóda per partes........................... 27 5.5 Integrály racionálnych funkcií..................... 29 5.5. Rozklad na parciálne zlomky................. 29 5.5.2 Integrovanie parciálnych zlomkov............... 33 5.5.3 Niektoré ďalšie integrály.................... 36 5.6 Výsledky cvičení............................ 40 6 URČITÝ INTEGRÁL 4 6. Definícia určitého integrálu...................... 43 6.2 Vlastnosti určitého integrálu a metódy výpočtu........... 45 6.2. Newtonov-Leibnizov vzorec.................. 47 6.2.2 Veta o strednej hodnote.................... 48 6.2.3 Substitučná metóda...................... 5 6.3 Nevlastné integrály........................... 53 6.3. Nevlastný integrál na neohraničenom intervale....... 53 6.3.2 Nevlastný integrál neohraničenej funkcie........... 57 6.4 Niektoré aplikácie určitého integrálu................. 59 6.4. Obsah rovinnej plochy..................... 59 6.4.2 Dĺžka rovinnej krivky..................... 64 6.4.3 Objem rotačných telies.................... 66 6.5 Výsledky cvičení............................ 7 A Komplexné čísla 73 Zoznam použitej a odporúčanej literatúry 89

Kapitola Predhovor Predmet matematika prináša študentom technického zamerania vedomosti potrebné k ďalšiemu štúdiu. Ďalším významným cieľom tohto predmetu je rozvoj logického myslenia študentov. Najmä na tento cieľ sa často zabúda pri zostavovaní učebných plánov. Dôsledkom je neprimerané zhusťovanie učiva v malom časovom priestore. V snahe zabrániť tejto situácii sa časť učiva presúva do iných predmetov, najmä do vyšších ročníkov s rizikom, že pre niekoré študijné programy je látka preberaná príliš neskoro. Cieľom tejto učebnice je predložiť študentom a ďalším záujemcom požadovanú látku v zrozumiteľnej forme s minimálnym matematickým aparátom v rozsahu primeranom študijným plánom. To vyžaduje používať mnohé zjednodušenia, odkazy na literatúru a niektoré problémy jednoducho zamlčať. V tomto prípade bolo rozumné držať sa hesla: Niekedy je menej viac. Ospravedlňujeme sa za to profesionálnym matematikom. V žiadnom prípade však nemôžeme pripustiť používanie nepravdivých tvrdení. Chýbajúce dôkazy môže záujemca nájsť v odporučenej literatúre uvedenej v zozname použitej literatúry. Nevzdávame sa ani myšlienky podpory rozvoja logického myslenia. Pri tvorbe tejto učebnice sme brali do úvahy, že učebnica je určená študentom, pre ktorých je matematika prostriedkom, nie cieľom, k riešeniu technických problémov. Sme si vedomí, že mnohí študenti prichádzajú na technickú univerzitu nedostatočne pripravení, prichádzajú zo škôl s rozdielnym rozsahom a kvalitou vyučovania matematiky. Učebnica je rozdelená do 6 kapitol a obsahuje úvod do lineárnej algebry, riešenie algebraických rovníc, základy teórie reálnych funkcií, infinitezimálny, diferenciálny a integálny počet. Posledná kapitola je venovaná určitému integrálu a jeho niektorým aplikáciam. V texte je mnoho riešených príkladov so snahou o aplikáciu v technických vedách. Charakter niektorých riešených príkladov nevyžaduje oddelenie zadania príkladu od riešenia. Neriešené cvičenia sú len v menšom rozsahu s výsledkami na konci kapitol. Odporúčame paralelne pripravovanú zbierku úloh, ktorá obsahuje mnoho riešených i neriešených príkladov. Predpokladáme, že čitateľ zväčša ovláda základy stredoškolskej matematiky v zmysle požiadaviek na štúdium na univerzite technického zamerania. Súčasťou tejto učebnice je aj do- 5

6 KAPITOLA. PREDHOVOR datok Komplexné čísla. V texte sú používané symboly výrokového počtu a teórie množín. Pripomeňme niektoré z nich: Kvantifikátory: (pre všetky), (existuje) Logické operácie s výrokmi: (súčasne), (alebo), = (vyplýva, potom), (je ekvivalentné, práve vtedy, ak) Príslušnosť do množiny: (je prvkom množiny, patrí do množiny), / (nepatrí do množiny) Množinové operácie: (zjednotenie), (prienik) (podmnožina), (nadmnožina), (karteziánsky súčin) Množiny označujeme veľkými písmenami, pričom je prázdna množina. Pre číselné množiny používame obvyklé označenie: N (množina prirodzených čísel), Z (množina celých čísel), Q (množina racionálnych čísel), R (množina reálnych čísel), C (množina komplexných čísel). V klasickej (booleovskej) matematike za výrok považujeme tvrdenie (vetu), o pravdivosti ktorého vieme rozhodnúť. Napríklad veta p: Číslo 7 je párne je výrok, i keď nepravdivý. Veta q: Číslo 2356 je párne je pravdivý výrok. Veta Čísla 5 a 9 sa podobajú bez ďalšieho vysvetlenia nie je výrok, lebo nevieme rozhodnúť o jeho pravdivosti. Výroku priraďujeme logickú hodnotu, ak je pravdivý a logickú hodnot 0, ak je nepravdivý. Zapisujeme { ak p je pravdivý výrok p = 0 ak p je nepravdivý výrok Zápor (negáciu) výroku p značíme p a definujeme: p = { 0 ak p je pravdivý výrok ak p je nepravdivý výrok Pomocou logických operácií výroky spájame do zložených výrokov. Definujeme ich nasledujúcou tabuľkou: p q p q p q p = q p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 Tvrdenie x + < 4 nie je výrok, lebo nevieme rozhodnúť o jeho pravdivosti. Avšak, ak za x dosadíme konkrétne reálne číslo dostameme pravdivý alebo nepravdivý výrok. Takéto tvrdenie nazývame výroková forma a značíme p(x). Množina P takých objektov (čísel), pre ktoré je výroková forma pravdivá sa nazýva jej obor pravdivosti. V našom príklade P = {x R : x < 3} čiže P je množina takých reálnych čísel x, pre ktoré platí, že x < 3. Výrokovými formami sú napríklad všetky rovnice a nerovnice a ich množiny riešení sú ich obory pravdivosti. Množiny často definujeme ako obory pravdivosti výrokových foriem. Napríklad N = {x Z : x > 0} čiže množina N (prirodzených čísel) je množina takých celých čísel x, pre ktoré platí, že x > 0. Množina A je podmnožinou množiny B; A B, ak pre každé x platí x A = x B Ak A R, potom doplnok (komplement) A c množiny A v množine reálnych čísel definujeme: A c = {x R : x / A} Pomocou výrokových foriem definujeme aj množinové operácie: Zjednotenie (disjunkcia)(pozri Obr..): A B = {x : x A alebo x B} = {x : (x A) (x B)} Prienik (konjunkcia) (Pozri Obr..2): Obr..: Diagram zjednotenia množín

8 KAPITOLA. PREDHOVOR Obr..2: Diagram prieniku množín A B = {x : (x A) a súčasne (x B)} = {x : x A x B} Množiny sú disjunktné ak ich prienik je prázdna množina, t. j.: A B = Pomocou výrokových foriem možno definovať aj intervaly: Uzavretý interval: a, b = {x R : a x b} Otvorený interval: Polouzavreté intervaly (a, b) = {x R : a < x < b} a, b) = {x R : a x < b}, (a, b = {x R : a < x b} a tiež neohraničené intervaly (, b = {x R : x b}, (, b) = {x R : x < b} (a, ) = {x R : a < x}, a, ) = {x R : a x}. Booleovská logika a na ňu naväzujúca booleovská teória množín sú základom klasickej matematiky. K najznámejším zákonom (tautológiám) klasickej (booleovskej) logiky patria: p p = 0 (zákon sporu) p p = (zákon vylúčenia tretieho) Hovoria, že z dvojice výrokov p a p je vždy práve jeden pravdivý a práve jeden nepravdivý. Tým je vylúčená akákoľvek neurčitosť v rozhodovaní o platnosti

9 výroku. Tým sa klasické matematické modely odlišujú od reálnych fyzikálnych systémov. K najväčším pokrokom v aplikovanej matematike v minulom storočí patrí zmena pohľadu na pojem neurčitosti. V tomto novom prístupe tvrdenie x je prvkom množiny A nemusí byť nutne pravdivé alebo nepravdivé aj keď poznáme objekt x, ale môže byť pravdivé len v istom stupni. Obvykle sa stupeň príslušnosti k množine vyjadruje číslom z intervalu 0,. Hraničné hodnoty 0 a reprezentujú úplnú istotu, že prvok nepatrí resp. patrí do množiny A. Množiny definované pomocou takýchto viachodnotových tvrdení nazývame fuzzy (rozmazané, neostré) množiny. Klasickú podmnožinu množiny reálnych čísel môžeme reprezentovať jej charakteristickou funkciou: { ak x A χ A (x) = 0 inde Teda, pre každé reálne číslo x platí, že χ A (x) {0, }. Na Obr..3 je znázornená charakteristická funkcia reprezentujúca interval, 3. x 2 3 4 Obr..3: Charakteristická funkcia reprezentujúca interval, 3 Fuzzy podmnožinu B množiny reálnych čísel definujeme pomocou funkcie príslušnosti µ B takej, že pre každé reálne číslo x je µ B (x) 0,. Uvedieme príklad z humánneho lekárstva. Množina zvýšených telesných teplôt dospelých ludí môže byť podľa názoru jedného lekára interval, napríklad 37, 38 (v stupňoch Celzia). Podľa názoru iného experta (lekára) to môže byť iná množina (interval). Spracovaním názorov a skúseností mnohých expertov je možné definovať fuzzy podmnožinu (skrátene fuzzy množinu) M zvýšených telesných teplôt

0 KAPITOLA. PREDHOVOR x 36,8 37,2 37,6 38 Obr..4: Funkcia príslušnosti µ M fuzzy množiny M zvýšených telesných teplôt dospelých ľudí dospelých ľudí pomocou funkcie príslušnosti µ M, napríklad ako na Obr..4. Skutočnosť, že µ M (37, ) = 0,75 možno interpretovať: Teplota 37, o C patrí do M na 75 % alebo 75% expertov si myslí, že teplota 37, o C je zvýšená. Viachodnotová logika a fuzzy množiny umožňujú spracovávať aj nejasné (vágne) informácie (napríklad: rýchlosť je dosť veľká ) a úspešne sa používajú v niektorých rozhodovacích systémoch (napríklad fuzzy regulátoroch). V tejto učebnici sa nebudeme zaoberať fuzzy množinami. Záujemcom odporúčame literatúru uvedenú v zozname použitej literatúry [7]. Našou snahou je používať terminológiu zhodnú so súčasnými stredoškolskými učebnicami. Obsah a členenie zodpovedajú súčasným požiadavkám na predmet Matematika I. V závere je register používaných pojmov. Ďakujeme lektorom doc. RNDr. J. Tóthovi, PhD., doc. RNDr. I. Fabricimu, CSc., Ing. P. Sarkocimu, PhD.; kolegom RNDr. Ing. J. Bánkimu, CSc., prof. RNDr.A Kolesárovej, CSc., doc. RNDr. V. Balážovi, CSc., RNDr. Ľ. Horanskej, PhD. a ďalším, ktorí svojími pripomienkami pomohli zvýšiť kvalitu tejto učebnice.

Kapitola 2 VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2. Úvod Na strednej škole ste riešili sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi alebo troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi. V tejto kapitole sa naučíme riešiť sústavy viacerých lineárnych rovníc s viacerými neznámymi. Pritom zavedieme pojmy, ktorých význam presahuje rámec tejto kapitoly. Najmä vektory, matice a determinanty sú základnými elementami diskrétnej matematiky a bez nich si ťažko predstaviť lineárne programovanie. Táto tematika vyžaduje len málo vedomostí zo strednej školy. V závere kapitoly sa budeme venovať riešeniu algebraických rovníc. Pripomíname, že algebraickú rovnicu druhého stupňa poznáte zo strednej školy pod názvom kvadratická rovnica. Táto časť predpokladá isté vedomosti o komplexných číslach, ktoré čitateľ môže nájsť v dodatku Komplexné čísla. 2.2 Reálne n-rozmerné vektory V matematike, chémii, fyzike, ako aj v ďalších vedách, sa skúmajú rôzne veličiny. Niektoré z nich sú plne určené jediným číselným údajom. K takýmto veličinám patrí hmotnosť, hustota, teplota a ďalšie. Nazývame ich skalárnymi veličinami alebo skalármi. Mnohé veličiny však nie sú plne určené jediným číselným údajom. Napríklad sila, rýchlosť, zrýchlenie a pod. V tejto kapitole sa budeme zaoberať veličinami, ktoré sú jednoznačne určené skupinou reálnych čísel v dohodnutom počte a poradí. Takéto skupiny budeme nazývať vektormi a veličiny nimi určené nazývame vektorovými veličinami. Čísla v skupine nazývame súradnice vektora, ich počet určuje rozmer vektora. Vektory dané dvojicou alebo trojicou čísel možno v Euklidovskom priestore geometricky interpretovať ako množinu všetkých rovnobežných, rovnako veľkých a rovnako orientovaných úsečiek. Teda, načrtnúť možno len umiestnenia vektora. Každé umiestnenie je dané dvojicou bodov, začiatočným a koncovým bodom. Ak začiatočný bod umiestnenia vektora je v začiatku sústavy,

2 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY potom súradnice koncového bodu tohto umiestnenia sa rovnajú súradniciam vektora (Obr. 2.) y 2 x Obr. 2.: Tri rôzne umiestnenia vektora (2, ) a jeho súradnice Je zrejmé, že takto geometricky môžeme znázorňovať len umiestnenia vektorov, ktoré sú zadané dvojicou, alebo trojicou čísel. Mnohé vektorové veličiny opisujeme väčšími skupinami čísel. Napríklad stav pohybujúceho sa bodu v trojrozmernom priestore v danom čase možno opísať šiestimi číslami, prvé tri určujú jeho polohu a ďalšie tri vektor jeho rýchlosti. Ako uvidíme, z matematického hľadiska rozmer vektora nie je žiadny problém. Musíme si však odpustiť ich geometrickú interpretáciu pre vektory s vačším rozmerom. Hlavným cieľom tejto kapitoly je riešenie sústavy lineárnych rovníc a riešenie algebraickej rovnice s jednou neznámou. Ako uvidíme, každá lineárna alebo algebraická rovnica je jednoznačne zadaná vektorom svojich koeficientov. Napríklad lineárnu rovnicu s 3 neznámymi 2x + 3y 2z = 6 možno reprezentovať usporiadanou štvoricou (2, 3, 2, 6) Definícia 2.. Usporiadanú n-ticu reálnych čísel x = (x,..., x n ) nazývame n- rozmerným vektorom (ďalej len vektorom). Čísla x,..., x n nazývame súradnice vektora. Množinu všetkých takýchto vektorov značíme R n. Z uvedenej definície plynie, že vektory x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) sa rovnajú práve vtedy, ak majú rovnaký rozmer a pre ich súradnice platí: x = y, x 2 = y 2,..., x n = y n. Príklad 2.. Vektory x = (2, 4, 2, 5), y = (2, a, b, 5) sa rovnajú práve vtedy, ak a = 4 a súčasne b = 2. Definícia 2.2. Súčtom vektorov x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) nazývame vektor z = x + y = (x + y, x 2 + y 2,..., x n + y n )

2.2. REÁLNE N-ROZMERNÉ VEKTORY 3 Príklad 2.2. Súčtom vektorov x = (,, 2, 4), y = (0, 5, 2, 2) je vektor z = (, 4, 0, 6) Definícia 2.3. Násobkom vektora x = (x, x 2,..., x n ) reálnym číslom k nazývame vektor z = k. x = (kx, kx 2,..., kx n ) Príklad 2.3. Nech a = (, 3, 3, 2), b = (5, 6, 0, ). Vypočítame vektor c = 2. a + b = 2.(, 3, 3, 2) + (5, 6, 0, ) = (2, 6, 6, 4) + (5, 6, 0, ) = (7, 0, 6, 3). Poznámka 2.. Nulovým n-rozmerným vektorom nazývame vektor Vektor o = (0, 0, 0,..., 0) x = ( ). x = ( x, x 2,..., x n ) nazývame vektorom opačným k vektoru x = (x, x 2,..., x n ). Definovali sme súčet vektorov rovnakého rozmeru a násobenie vektora číslom. Je zrejmé, že sčítanie vektorov je komutatívne, t. j. pre všetky vektory x, z R n platí x + z = z + x a asociatívne, t. j., pre všetky x, y, z R n ( x + y) + z = x + ( y + z) = x + y + z Pomocou operácií sčítania vektorov a násobenia vektora číslom možno tiež definovať rozdiel vektorov rovnakého rozmeru: Je tiež zrejmé, že z = x y = x + ( ). y = (x y, x 2 y 2,..., x n y n ) x x = o, x + o = x Pozorný čitateľ si iste všimol, že sme nedefinovali súčin vektorov. Množina R n všetkých n-rozmerných vektorov s operáciami sčítania vektorov a násobenia vektora číslom je príkladom lineárneho vektorového priestoru, v ktorom operácia násobenia vektorov nie je nutná [][4]. Napriek tomu, poznáme niektoré spôsoby násobenia vektorov (napríklad skalárne, vektorové a iné). Budeme ich používať neskôr. Definícia 2.4. Nech x, x 2,..., x k sú n-rozmerné vektory, nech a, a 2,..., a k sú reálne čísla. Vektor z = a x + a 2 x 2 + + a k x k sa nazýva lineárna kombinácia vektorov x, x 2,..., x k a čísla a, a 2,..., a k sa nazývajú koeficienty lineárnej kombinácie.

4 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Poznámka 2.2. Lineárna kombinácia sa nazýva triviálna, ak a = a 2 = = a k = 0.V opačnom prípade sa nazýva netriviálna. Nulový vektor je triviálnou lineárnou kombináciou ľubovoľných vektorov, ale môže byť aj ich netriviálnou kombináciou vektorov. Napríklad, ak z = 3 x 2 y, potom o = z 3 x + 2 y. Z hľadiska cieľov tejto kapitoly budeme niekedy považovať vektory, ktoré sú lineárnou kombináciou iných vektory za zbytočné. Lineárnou kombináciou (napríklad súčtom) dvoch lineárnych rovníc dostaneme znova lineárnu rovnicu, ktorá však neprináša z hľadiska riašenia sústavy týchto lineárnych rovníc žiadnu novú informáciu. Definícia 2.5. Vektory x, x 2,..., x k sa nazývajú lineárne závislé vektory, ak aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V opačnom prípade sa nazývajú lineárne nezávislé. Niekedy hovoríme, že sústava vektorov x, x 2,..., x k je lineárne závislá alebo nezávislá. Teda vektory sú lineárne nezávislé, ak žiaden z nich nie je lineárna kombinácia ostatných. Ak vektory reprezentujú lineárne rovnice a sú lineárne nezávislé, sústava takýchto rovníc neobsahuje zbytočné rovnice. Zbytočné rovnice možno vytvoriť napríklad sčítaním alebo odčítaním dvoch rovníc. Príklad 2.4. Vektory a = (, 2, 0, 6, 0), b = (3, 0,, 0, 0), c = (5, 4,, 2, 0) sú lineárne závislé, lebo c = 2 a + b. Príklad 2.5. Vektory a = (, 2, 3, 6, 0), b = (3, 0,, 0, 6), c = (0, 0, 0, 0, 0), d = (5, 4,, 2, 2) sú lineárne závislé lebo c = 0. a + 0. b + 0. d. Poznámka 2.3. Ak je medzi vektormi nulový vektor, tak sú tieto vektory lineárne závislé. Dva nenulové vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak jeden je násobkom druhého. Odporúčame čitateľovi dokázať tvrdenie z nasledujúceho cvičenia. Cvičenie 2.. Dokážte nasledujúce tvrdenie: Ak do lineárne závislej sústavy pridáme ďalšie vektory, dostaneme zasa lineárne závislú sústavu. Zistiť, či dané vektory sú lineárne závislé alebo nezávislé znamená vyšetrovať, či jednotlivé vektory nie sú lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V nasledujúcej vete sa dozvieme, že to možno zistiť aj iným spôsobom. Veta 2.. Vektory x, x 2,..., x k sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak existuje taká ich netriviálna kombinácia, ktorá sa rovná nulovému vektoru, t. j., ak a x + a 2 x 2 + + a k x k = o a aspoň jedno z čísel a, a 2,..., a k je rôzne od nuly. Dôsledok 2.. Vektory x, x 2,..., x k sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, ak nulový vektor je len triviálna kombinácia týchto vektorov.

2.2. REÁLNE N-ROZMERNÉ VEKTORY 5 Dôkaz Vety 2.. Veta hovorí o ekvivalencii (rovnocennosti) dvoch výrokov: (p) : Vektory x, x 2,..., x k sú lineárne závislé (q) : Existuje taká ich netriviálna kombinácia, ktorá sa rovná nulovému vektoru. Treba dokázať, že (p) (q) a (q) (p). (p) (q): Nech x, x 2,..., x k sú lineárne závislé. To znamená, že aspoň jeden z nich, napríklad x i je lineárnou kombináciou ostatných, t. j. Po úprave dostávame x i = a x + + a i x i + a i+ x i+ + + a k x k a x + + a i x i x i + a i+ x i+ + + a k x k = o Pretože a i =, dostali sme netriviálnu kombináciu daných vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru. (q) (p): Nech a x + + a j x j + + a k x k = o, pričom a j 0. Potom možno z predošlej vektorovej rovnice vypočítať vektor x j : x j = a a j x a 2 a j x 2 a j a j x j a j+ Vektor x j je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. a j x j+ a k a j x k Príklad 2.6. Pomocou Vety 2. dokážeme, že nasledujúce 4-rozmerné vektory e = (, 0, 0, 0) e 2 = (0,, 0, 0) e 3 = (0, 0,, 0) e 4 = (, 0, 0, 0) sú lineárne nezávislé. Použijeme dôsledok Vety 2.. Hľadáme čísla a, a 2, a 3, a 4 tak, aby a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 4 = o alebo a (, 0, 0, 0) + a 2 (0,, 0, 0) + a 3 (0, 0,, 0) + a 4 (0, 0, 0, ) = (0, 0, 0, 0) Porovnaním prvých súradníc dostaneme a = 0. Rovnako porovnaním ďalších súradníc dostaneme, že a 2 = 0, a 3 = 0, a 4 = 0. Teda nulový vektor dostaneme len triviálnou kombináciou vektorov e, e 2, e 3, e 4. Podľa Vety 2. sú vektory e, e 2, e 3, e 4 lineárne nezávislé. Z predošlého príkladu je zrejmé, že v priestore R 4 možno nájsť 4 nezávislé vektory, napríklad e, e 2, e 3, e 4. Je tiež zrejmé, že každý 4-rozmerný vektor a je ich lineárna kombinácia: a = (a, a 2, a 3, a 4 ) = a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 4 Dá sa dokázať, že to platí pre ľubovolnú štvoricu nezávislých 4-rozmerných vektorov.

6 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Príklad 2.7. Dokážeme, že vektory v = (2, 0, 0, 0) v 2 = (,, 0, 0) v 3 = (0, 0, 4, 0) v 4 = (, 0, 0, 2) sú lineárne nezávislé a ukážeme, že vektor a = (4, 6, 2, 4) je ich lineárnou kombináciou. Použijme predošlú vetu. Hľadáme čísla a, a 2, a 3, a 4 tak, aby alebo a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 = o a (2, 0, 0, 0) + a 2 (,, 0, 0) + a 3 (0, 0, 4, 0) + a 4 (0, 0, 0, 2) = (0, 0, 0, 0) Porovnaním posledných súradníc dostaneme a 4 = 0. Rovnako porovnaním ďalších súradníc dostaneme, že a 3 = 0, a 2 = 0, a = 0. Teda nulový vektor dostaneme len triviálnou kombináciou vektorov v, v 2, v 3, v 4. Podľa Vety 2. sú vektory v, v 2, v 3, v 4 lineárne nezávislé. Teraz hľadáme koeficienty lineárnej kombinácie Opäť, porovnaním súradníc dostaneme Teda c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 = a c =, c 2 = 6, c 3 = /2, c 4 = 2 a = v + 6 v 2 + 2 v 3 2 v 4 Analogicky sa dá dokázať, že priestor R n obsahuje n lineárne nezávislých vektorov a každý ďalší vektor je ich lineárna kombinácia. To znamená, že každá sústava n+ (alebo viac) vektorov je lineárne závislá. Sústava n lineárne nezávislých vektorov v priestore R n tvorí bázu vektorového priestoru R n. Teda, vektory e, e 2, e 3, e 4, z Príkladu 2.6 ako aj vektory v, v 2, v 3, v 4 z Príkladu 2.7 tvoria bázu R 4. Cvičenie 2.2. Dokážte, že vektory u = (,, 2), v = (0, 3, ), w = (,, 4) tvoria bázu R 3 a vyjadrite vektor a = (3, 0, 7) ako lineárnu kombináciu bázových vektorov. V závere tohto odseku si pripomeňme pojem skalárneho súčinu vektorov, ktorý často používame nielen v matematike. Skalárnym súčinom vektorov nazývame číslo (skalár) x = (x, x 2,..., x n ), y = (y, y 2,..., y n ) x. y = x.y + x 2.y 2 + + x n.y n

2.3. MATICE 7 Príklad 2.8. Nech x = (, 2, 0, 3), y = (5, 0, 3, ). Potom x. y =.5 + ( 2).0 + 0.( 3) + 3.( ) = 2 Skalárny súčin vektorov má aj geometrický význam v dvojrozmerných a trojrozmerných priestoroch. My len pripomenieme, že skalárny súčin nenulových vektorov sa rovná nule práve vtedy, ak sú na seba kolmé. Cvičenie 2.3. Nájdite skalárny súčin vektorov a = (3, ), b = (2, 6). Výsledok geometricky zdôvodnite. 2.3 Matice V technickej praxi na vyjadrenie niektorých veličín nestačí pojem vektora. Niekedy je nutné používať schému niekoľkých vektorov. To nás vedie k zavedeniu pojmu matice. Vo fyzike a chémii matice reprezentujú zložitejšie veličiny, napríklad tenzory. Matice sú tiež základnými objektami mnohých software, napríklad MATLABu. Definícia 2.6. Tabuľka zložená z reálnych čísel, ktorá obsahuje m riadkov a n stĺpcov sa nazýva matica typu m n a zapisujeme a a 2... a n A = a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn Čísla a ij, i =, 2,..., m; j =, 2,..., n sa nazývajú prvky matice. Matice budeme označovať veľkými tlačenými písmenami a ich prvky rovnakými malými písmenami s príslušnými indexami. Prirodzené číslo i nazývame riadkový index a prirodzené číslo j stĺpcový index. Medzi riadkový a stĺpcový index píšeme čiarku len ak to vyžaduje zrozumiteľnosť. Napríklad a 2,3 je prvok matice ležiaci v 2. riadku a 3. stĺpci. Aj medzi susedné prvky v riadku matice dávame čiarku ak to vyžaduje situácia v texte. Maticu tiež skrátene tiež zapisujeme Príklad 2.9. Matica A = A = (a ij ) ( 5 6 5 0 3 4 je typu 2 3, obsahuje 2 riadky a 3 stĺpce, jej prvky sú určené takto: a = 5, a 2 = 6, a 3 = 5, a 2 = 0, a 22 = 3, a 23 = 4. Definícia 2.7. Nech matice A = (a ij ) a B = (b ij ) sú rovnakého typu m n. Hovoríme, že tieto matice sa rovnajú, A = B, ak a ij = b ij pre každé i =, 2,..., m; j =, 2,..., n. )

8 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Definícia 2.8. Nech matica A je typu m n. Potom matica A T = a a 2... a m a 2 a 22... a m2............ a n a 2n... a mn typu n m sa nazýva matica transponovaná k matici A. Transponovaná matica vznikne z danej matice tak, že riadky matice píšeme ako stĺpce v rovnakom poradí. Príklad 2.0. ( 5 6 5 0 3 4 ) T = 5 0 6 3 5 4 Prvky a, a 22, a 33,... matice A sa nazývajú diagonálne prvky. Všetky diagonálne prvky tvoria hlavnú diagonálu matice. Matica, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule sa nazýva nulová. Ak m = n matica sa nazýva štvorcová. Štvorcové matice, ktoré majú v hlavnej diagonále jednotky a inde nuly sa nazývajú jednotkové matice. Označujeme ich E 2, E 3,... Napríklad: E 3 = 0 0 0 0 0 0, E 4 = Príklad 2.. Hlavnú diagonálu matice U = 5 3 5 3 4 0 0 0 2 2 9 tvoria prvky u = 5, u 22 = 3, u 33 = 0. Matica je nulová matica typu 3 4. O = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Štvorcová matica sa nazýva symetrická, ak platí A T = A. Matica sa nazýva trojuholníková, ak pod hlavnou diagonálou má len nulové prvky a na diagonále má len nenulové prvky. Trojuholníková matica sa nazýva diagonálna, ak má aj nad hlavnou diagonálou len nuly.

2.4. OPERÁCIE S MATICAMI 9 Príklad 2.2. Matica je symetrická. Matice P, Q P = sú trojuholníkové. Matica C = 5 3 0 7 0 3 2 4 0 0 2 S = 5 6 2 6 3 4 2 4 3, Q = 2 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 je diagonálna (a teda i trojuholníková). Matica 2 4 5 R = 0 0 4 0 0 2 nie je trojuholníková. 2.4 Operácie s maticami 2 3 5 0 3 4 0 0 2 0 0 0 Podobne ako vektory rovnakého rozmeru, tvoria aj matice rovnakého typu lineárny vektorový priestor, v ktorom sú definované operácie sčítania prvkov (matíc) a násobenia matice reálnym číslom. Definujeme ich nasledujúcim spôsobom. Definícia 2.9. Nech matice A = (a ij ) a B = (b ij ) sú rovnakého typu m n. Matica B je k-násobkom matice A, B = ka, ak b ij = k.a ij pre každé i =, 2,..., m; j =, 2,..., n. Definícia 2.0. Nech matice A = (a ij ), B = (b ij ) a C = (c ij ) sú rovnakého typu m n. Hovoríme, že matica C je súčtom matíc A a B, C = A + B, ak c ij = a ij + b ij pre každé i =, 2,..., m; j =, 2,..., n. Rozdiel matíc A, B možno definovať A B = A + ( )B

20 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Príklad 2.3. Nech A = 2 3 0 0 4 0 0 2 Nájdeme maticu C = 2A 3B: 2 3 0 C = 2. 0 4 3. 0 0 2, B = 3 3 5 2 3 5 2 3 3 5 2 3 5 2 = 5 3 5 6 5 3 2 Teraz zavedieme ďalšiu operáciu medzi niektorými maticami násobenie matíc. k-ty stĺpec k-ty stĺpec i-ty riadok = c ik Obr. 2.2: Násobenie matíc. Prvok c ik je skalárnym súčinom i-teho riadku matice A a k-teho stĺpca matice B. Definícia 2.. Nech matica A = (a ij ) je typu m p, matica B = (b jk ) je typu p n a matica C = (c ik ) je typu m n. Hovoríme, že matica C je súčinom matíc A a B, C = A.B, ak c ik = p a ij.b jk = a i.b k + a i2.b 2k + + a ip.b pk j= pre každé i =, 2,..., m; k =, 2,..., n. Teda matica C je súčinom matíc A, B, ak každý jej prvok c ik je skalárnym súčinom i-teho riadku matice A a k-teho stĺpca matice B (Obr. 2.2). Je zrejmé, že násobiť môžeme len matice spĺňajúce podmienku: počet stĺpcov. matice sa rovná počtu riadkov 2. matice. Poradie matíc pri násobení nemožno meniť. Násobenie matíc nie je komutatívne.

2.4. OPERÁCIE S MATICAMI 2 Príklad 2.4. Nech A = 2 2 3 0, B = ( 0 3 2 3 2 4 ) Potom C = A.B = 4 0 3 2 6 3 2 4 Skontrolujme, napr. c = ( 2).( ) +.( 3) =, c 3 = ( 2).3 +.2 = 4. Cvičenie 2.4. Násobte matice 2 0 C = 2 3 2, D = 8 0 0 3 2 0 3 2 4 0 2 0 0 0 V Príklade 2.4 typy matíc nedovoľujú vymeniť poradie násobenia matíc. Avšak, aj keď typy matíc to umožňujú, nemusíme dostať rovnaký výsledok. Príklad 2.5. Nech A = ( 2 4 0 ) ( 3, B = 5 ) Počítajme A.B = Vidíme, že A.B B.A. ( 2 4 ) ( 0 3, B.A = 6 5 Zvláštne postavenie pri násobení matíc majú nulové a jednotkové matice. Výsledkom násobenia nulovou maticou je vždy nulová matica. Jednotkové matice sa pri násobení správajú neutrálne. To znamená, že výsledkom násobenia matice A a jednotkovej matice je matica A. Teda, ak matica A je typu m n, potom Príklad 2.6. Nech Potom E 2.A = A.E 3 = ( 0 0 ( 5 2 0 2 E m.a = A = A.E n A = ( 5 2 0 2 ) ( 5 2. 0 2 ). 0 0 0 0 0 0 ) = ) = ) ( 5 2 0 2 ( 5 2 0 2 ) = A ) = A

22 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Prirodzená je otázka, či matice možno deliť. Ešte v tejto kapitole sa dozviete, že za istých okolností je možné počítať A.B, kde B je matica, ktorú budeme nazývať inverznou k matici B. Definícia 2.2. Nech A je štvorcová matica typu n n. Potom maticu B nazývame matica inverzná k matici A, ak A.B = E n. Značíme B = A. Teda A.A = E n Príklad 2.7. Nájdime maticu inverznú k matici A = ( 5 3 3 2 ) Hľadáme maticu ( b b B = 2 b 2 b 22 ) tak, aby A.B = ( 5 3 3 2 ) ( b b. 2 b 2 b 22 ) = ( 0 0 ) Riešením 2 sústav lineárnych rovníc s 2 neznámymi ľahko zistíme, že Overíme správnosť výsledku A.A = B = A = ( 5 3 3 2 ( 2 3 3 5 ) ( 2 3. 3 5 ) ) = ( 0 0 Poznámka 2.4. Inverzné matice hľadáme len k štvorcovým maticiam. Dá sa dokázať: Ak k štvorcovej matici A existuje inverzná matica A, potom ) A.A = A.A = E n, ( A ) = A Neskôr zistíme, že nie ku každej štvorcovej matici existuje inverzná a ukážeme jednoduchšiu metódu na výpočet inverzných matíc k maticiam typu 2 2 a 3 3. Cvičenie 2.5. Nájdite maticu inverznú k matici U = ( 2 4 3 )

2.5. HODNOSŤ MATICE 23 2.5 Hodnosť matice Už sme spomenuli, že lineárne rovnice možno reprezentovať vektorom koeficientov. Sústavu lineárnych rovníc s viac neznámymi teda reprezentuje matica, ktorej riadky sú vektory koeficientov jednotlivých rovníc. Medzi týmito rovnicami môžu byť rovnice, ktoré sú lineárnymi kombináciami iných, a preto sú zbytočné. Zavedieme pojem hodnosť matice, ktorý určuje počet významných riadkov matice, a teda i počet nezávislých rovníc, ak matica reprezentuje sústavu lineárnych rovníc. Definícia 2.3. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice A nazývame hodnosť matice A. Značíme ju h(a). Hodnosť nulovej matice je nula. Dá sa dokázať, že h(a) = h(a T ) Z toho plynie, že hodnosť matice je tiež maximálny počet lineárne nezávislých stĺpcov a navyše, pre každú maticu typu m n platí h(a) min{m, n} Teda, hodnosť matice nemôže prevýšiť ani počet riadkov ani počet stĺpcov. Ak matice A a B majú rovnaké hodnosti, potom sa nazývajú ekvivalentné matice. Značíme A B Príklad 2.8. Pre matice A = ( 3 5 2 2 2 0 4 ), B = 2 3 0 3 3 3 4 platí: h(a) = 2, lebo riadky sú lineárne nezávislé, h(b) = 2, lebo 3. riadok je súčet (lineárna kombinácia). a 2. riadku. Teda A B. Vo všeobecnosti, zistiť hodnosť matice nie je jednoduché. Ak však matica je trojuholníková, je to jednoduché. Príklad 2.9. Matica C = 2 3 0 0 2 0 0 0 3 2 je trojuholníková, v hlavnej diagonále nemá nuly a pod ňou má len nuly. Ľahko sa dá ukázať, že riadky sú nezávislé. Porovnaním súradníc zistíme, že vektorová rovnica k (2, 3, 0, ) + k 2 (0, 2,, 0) + k 3 (0, 0, 3, 2) = (0, 0, 0, 0) platí len, ak k = k 2 = k 3 = 0. To znamená, že riadky matice sú lineárne nezávislé, a preto h(a) = 3.

24 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Podobne ako tvrdenie v predošlom príklade možno dokázať vetu. Veta 2.2. Hodnosť trojuholníkovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov. Nasledujúca veta nám umožňuje ku každej nenulovej matici nájsť ekvivalentnú trojuholníkovú maticu a tak určiť jej hodnosť. Uvedieme ju bez dôkazu. Veta 2.3. Nech matica B vznikne z matice A pomocou jednej z nasledujúcich riadkových (stĺpcových) úprav:. vzájomná výmena dvoch riadkov (stĺpcov), 2. vynásobenie riadku (stĺpca) nenulovým číslom, 3. vynechanie riadku (stĺpca), ktorý je lineárnou kombináciou ostatných, 4. pripočítanie násobku riadku (stĺpca) k inému riadku (stĺpcu). Potom matice A B sú ekvivalentné (majú rovnakú hodnosť). Z vety plynie jednoduchá stratégia na hľadanie hodnosti nenulovej matice. Maticu upravíme pomocou ekvivalentných (nemeniacich hodnosť) úprav uvedených v predošlej vete na trojuholníkovú maticu. Počet nenulových riadkov takto získanej trojuholníkovej matice určuje hodnosť pôvodnej matice. Príklad 2.20. Nájdeme hodnosť matice W = 2 2 0 2 0 0 0 4 4 0 4 2 2 2 2 2 V prvom kroku vyrobíme nuly pod hlavnou diagonálou v. stĺpci. Stačí od 3. riadku odpočítať dvojnásobok. riadku a potom od 4. riadku odpočítať. riadok. Teda, vykonáme úpravy: 3.r = (3.r) + ( 2)(.r) = (3.r) 2(.r), 4.r = (4.r) + ( )(.r) = (4.r) (.r) 2 2 0 2 0 0 0 4 4 0 4 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 0 2 4 4 2 0 0 0 Vidíme, že 4. riadok sa rovná 2. riadku. To znamená, jeden z nich možno vynechať (je lineárnou kombináciou ostatných riadkov). Pozor, nemožno vynechať oba riadky, lebo po vynechaní jedného už druhý nemusí byť lineárnou kombináciou ostatných. Vynecháme 4. riadok a potom vyrobíme nuly pod hlavnou diagonálou v 2. stĺpci: 3.r = (3.r) 2(2.r)

2.6. SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 25 2 2 0 2 0 0 0 0 2 4 4 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 0 2 4 4 2 2 2 0 2 0 0 0 0 0 4 2 2 Všimnime si, že na úpravu 3. riadku sme nemohli použiť. riadok (stratili by sme nulu v. stĺpci). Posledná matica je už trojuholníková. Je ekvivalentná s pôvodnou maticou a má 3 nenulové riadky. Teda h(w ) = 3. Pomocou hodnosti matíc môžeme jednoducho zisťovať, či sústava vektorov je lineárne závislá alebo nezávislá. Stačí z vektorov zostaviť maticu a zistiť jej hodnosť. Ak hodnosť takejto matice sa rovná počtu vektorov, sústava je lineárne nezávislá. Príklad 2.2. Zistime, či vektory u = (, 2, 3, 0, ), v = (0, 2,,, ), w = (0, 2, 0, 2, ) sú lineárne závislé alebo nezávislé. Zostavíme maticu 2 3 0 0 2 0 2 0 2 2 3 0 0 2 0 0 3 2 Hodnosť matice je h = 3. Vektory sú lineárne nezávislé. Cvičenie 2.6. Nájdite hodnosť matice D = 2 2 0 2 2 3 0 2 2 2 2 2 2.6 Sústavy lineárnych rovníc Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi, skrátene (SLR), má tvar a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2.................. a m x + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m kde a ij, b i R, i =, 2,..., m, j =, 2,... n. Stĺpcový vektor (matica typu n ) x = x x 2... x n

26 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY je vektor neznámych, vektor (matica typu m ) b b = b 2... b m je vektor pravých strán a matica A = a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a m a m2... a mn je matica sústavy. Sústavu (SLR) môžeme prepísať do maticového tvaru A. x = b Riešením sústavy je taká n-tica (stĺpcový vektor) že α = (α, α 2,..., α n ) T A. α = b Pre jednoduchosť zápisu, budeme riešenie systému (SLR) uvádzať aj ako riadkový vektor α = (α, α 2,..., α n ). Z geometrického hľadiska možno každú lineárnu rovnicu považovať za rovnicu lineárneho útvaru, napríklad priamku v dvojrozmernom priestore, rovinu v trojrozmernom priestore, atď. Pretože ide o lineárne útvary, výsledkom riešenia sústavy lineárnych rovníc je jedna z týchto troch možností: sústava má jediné riešenie, sústava má nekonečne veľa riešení, sústava nemá riešenie. Príklad 2.22.. Sústava x + y =, x y = 2 má práve jedno riešenie α = (3/2, /2) (priamky sú rôznobežné). 2. Sústava x + y =, 2x + 2y = 2 má nekonečne veľa riešení, ktoré môžeme vyjadriť napr. vektorom α = (t, t) kde t je ľubovolné reálne číslo (priamky sú totožné).

2.6. SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 27 3. Sústava x + y =, x + y = 2 nemá riešenie (priamky sú rovnobežné). Sústava (SLR) je jednoznačne určená maticou sústavy A a vektorom b pravých strán. Môžeme ich spojiť do jednej matice typu m (n + ). a a 2... a n b A = (A, b) = a 2 a 22... a 2n b 2............... a m a m2... a mn b m ktorú nazývame rozšírenou maticou sústavy (SLR). Často oddeľujeme posledný stĺpec rozšírenej matice sústavy zvislou čiarou a a 2... a n b A = a 2 a 22... a 2n b 2............... a m a m2... a mn b m Všimnime si hodnosti matíc a rozšírených matíc v predošlom príklade. V. sústave ( ) ( ) A =, A =, h(a) = h(a ) = 2 2 V 2. sústave V 3. sústave A = A = ( 2 2 ( ) (, A = 2 2 2 ) (, A = 2 ), h(a) = h(a ) = ), h(a) =, h(a ) = 2 Pripomíname, že 3. sústava nemala riešenie. Je teda možné uveriť, že platí nasledujúca veta. Dôkaz ponecháme čitateľovi. Veta 2.4. (Frobéniusova veta). (SLR) má riešenie vtedy a len vtedy, ak h(a) = h(a ) Veta nie je konštruktívna, nedáva návod na riešenie, ale jej použitím možno ukázať: Ak h(a) h(a ), potom sústava nemá riešenie. Ak h(a) = h(a ) = n (n je počet neznámych), potom sústava má práve jedno riešenie. Ak h(a) = h(a ) < n, potom sústava má nekonečne veľa riešení. Neznáme, v počte n h(a), možno ľubovolne voliť.

28 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2.6. Gaussova eliminačná metóda Poznáme niekoľko metód riešenia (SLR). Uvedieme najrozšírenejšiu z nich - Gaussovu eliminačnú metódu (GEM). Touto metódou možno riešiť (SLR) bez ohľadu na počet lineárnych rovníc a počet neznámych. Princíp riešenia metódou (GEM):. Rozšírenú maticu sústavy prevedieme ekvivalentnými riadkovými úpravami na ekvivalentnú trojuholníkovú maticu 2. Trojuholníkovú maticu prepíšeme opäť na sústavu (SLR) použitím pôvodných neznámych. 3. Začínajúc poslednou rovnicou, riešime sústavu spätnými substitúciami. Poznámka 2.5. Pri úprave na trojuholníkovú maticu je niekedy nutné vymeniť stĺpce. V tomto prípade si poznačíme zmenu poradia neznámych. Nie je možné vymeniť stĺpec pravých strán. Príklad 2.23. Použitím (GEM) riešme sústavu lineárnych rovníc: 2x 3x 2 + x 3 = 0 x + 2x 2 x 3 = 3 2x + x 2 + x 3 = 2 Upravujeme rozšírenú maticu sústavy na trojuholníkovú maticu: 2 3 0 2 3 2 2 2 3 0 0 7 3 6 0 4 0 2 2 3 0 0 7 3 6 0 0 2 60 Použité úpravy: 2.r = 2.(2.r) (.r), 3.r = (3.r) (.r) a potom 3.r = 7.(3.r) 4.(2.r). Z 3. rovnice 2x 3 = 60 vypočítame x 3 = 5. Z 2. rovnice 7x 2 3x 3 = 6 vypočítame x 2 = 3. Nakoniec, z. rovnice 2x 3x 2 + x 3 = 0 vypočítame x = 2. Sústava má jediné riešenie α = (2, 3, 5)

2.6. SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC 29 Príklad 2.24. Použitím (GEM) riešme sústavu lineárnych rovníc: x 3x 2 + x 3 = 0 x + 2x 2 x 3 = 3 2x x 2 = 2 Upravujeme rozšírenú maticu sústavy na trojuholníkovú maticu: 3 0 2 3 2 0 2 3 0 0 5 2 3 0 5 2 2 Výsledná matica nie je trojuholníková, ale je zrejmé, že 2 = h(a) h(a ) = 3 3 0 0 5 2 3 0 0 0 9 Podľa Fobéniusovej vety sústava nemá riešenie. Je to zrejmé aj z poslednej rovnice, ktorá hovorí: 0 = 9. Príklad 2.25. Použitím (GEM) riešme sústavu lineárnych rovníc: x 3x 2 + 2x 3 = 0 x + 2x 2 x 3 = 3 2x x 2 + x 3 = 3 Upravujeme rozšírenú maticu sústavy na trojuholníkovú maticu: 3 2 0 2 3 2 3 3 2 0 0 5 3 3 0 5 3 3 h(a) = h(a ) = 2 ( 3 2 0 0 5 3 3 Podľa Frobéniusovej vety sústava má riešenie. Pretože sústava má len 2 významné rovnice, možno jednu neznámu ľubovoľne voliť. Volíme poslednú: x 3 = t, t R. Z druhej rovnice plynie x 2 = 3 + 3t 5 Z prvej rovnice dostaneme x = 3x 2 2x 3 = 9 t 5 Systém má nekonečne veľa riešení tvaru [( 9 t 5, 3 + 3t, t 5 ) ], t R )

30 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Všeobecne, ak h(a) = h(a ) < n potom počet významných rovníc v sústave je rovný h(a), a preto možno neznáme, v počte n h(a), ľubovoľne voliť. Obvykle volíme posledné neznáme v poradí. Poznámka 2.6. Ak má sústava nekonečne veľa riešení, možno výsledok napísať rôznymi spôsobmi. Napríklad, výsledok z predošlého príkladu možno napísať v tvare [( 9 x3, 3 + 3x ) ] 3, x 3, x 3 R 5 5 alebo položiť x 3 = 5s + 4 a potom dostaneme [( s, 3s + 3, 5s + 4), s R] Cvičenie 2.7. Riešte nasledujúce sústavy rovníc. 2. 3. 2x 3x 2 + x 3 = 0 3x + 2x 2 x 3 = 4 x + 3x 2 + x 3 = 5 a 3b + c d = 0 2a + b c + 2d = 4 4a 5b + c d = 5 2x 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 3x + 2x 2 x 3 + x 4 = 4 x + 5x 2 2x 3 = 4 Príklad 2.26. Ak existuje, nájdime maticu inverznú k matici 0 H = 2 5 2 3 6 2 Hľadáme maticu G tak, aby H.G = E 3, t. j. 0 g g 2 g 3 2 5 2. g 2 g 22 g 23 3 6 2 g 3 g 32 g 33 = 0 0 0 0 0 0 Riešime 3 sústavy s 3 neznámymi. Prvá z nich: (. stĺpec jednotkovej matice dostaneme skalárnym násobením riadkov matice H s. stĺpcom matice G): g g 3 = 2g + 5g 2 + 2g 3 = 0 3g + 6g 2 + 2g 3 = 0

2.7. DETERMINANTY 3 Jej riešením dostaneme g = 2, g 2 = 2, g 3 = 3 Analogicky, riešením ďalších 2 sústav dostaneme g 2 = 6, g 22 = 5, g 32 = 6 Teda hľadaná matica g 3 = 5, g 23 = 4, g 33 = 5 G = H = 2 6 5 2 5 4 3 6 5 Cvičenie 2.8. Ak existuje, nájdite maticu inverznú k matici 2 0 0 K = 4 2 9 5 Existujú štvorcové matice, ku ktorým sa inverzná matica nedá nájsť. Stačí zobrať štvorcovú maticu typu n n, ktorej hodnosť je menšia ako n (obsahuje riadok, ktorý je lineárnou kombináciou ostatných). Napríklad, k matici ( ) U = sa nedá nájsť inverzná matica. Skúste! Cvičenie 2.9. Nájdite maticu inverznú k matici 2 3 L = 0 2 2 4 2.7 Determinanty Pre štvorcovú maticu vieme nájsť číslo, ktoré nazveme determinantom matice. Determinant matice sa používa nielen v matematike, ale aj v mnohých ďalších vedách, najmä v informatike, vo fyzike a všetkých technických vedách. My sa budeme venovať najmä determinantom matíc typu 2 2 a 3 3. Definícia 2.4. Nech Potom číslo nazývame determinantom matice A. ( ) a a A = 2 a 2 a 22 A = a.a 22 a 2.a 2

32 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Príklad 2.27. Vypočítame determinant matice ( ) 2 3 A = 4 A = ( 2).( 4) 3.( ) = Poznámka 2.7. Z úsporných dôvodov, niekedy priamo počítame determinant neoznačenej matice, napríklad: 5 6 2 3 = 5 2 = 27 Definícia 2.5. (Sarrusovo pravidlo) Nech a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 Potom číslo A = a.a 22.a 33 +a 2.a 23.a 3 +a 3.a 2.a 32 (a 3.a 22.a 3 +a.a 23.a 32 +a 2.a 2.a 33 ) nazývame determinantom matice A. Sarrusovo pravidlo si možno jednoducho zapamätať takto: Za maticu A napíšeme znova. a 2. stĺpec, vytvoríme súčiny trojíc prvkov umiestnených v smere hlavnej diagonály a sčítame ich. a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a.a 22.a 33 + a 2.a 23.a 3 + a 3.a 2.a 32 Potom vytvoríme súčiny trojíc prvkov v smere opačnej diagonály a odčítame ich od predošlého súčtu. a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 (a 3.a 22.a 3 + a.a 23.a 32 + a 2.a 2.a 33 ) Poznamenajme, že rovnaký výsledok možno dosiahnuť pripísaním prvých dvoch riadkov pod maticu a použitím podobného postupu.

2.7. DETERMINANTY 33 Príklad 2.28. Vypočítajme determinant matice B = 2 0 3 2 0 Vytvoríme pomocnú schému opísaním prvých dvoch stĺpcov: 2 0 2 3 2 3 0 0 Počítame B = 2 + 0 + 0 (0 4 3) = 9 Cvičenie 2.0. Vypočítajte determinant matice A = 3 2 3 2 5 0 Poznámka 2.8. Determinanty štvorcových matíc typu n n, kde n > 3 počítame pomocou rozvoja podľa ľubovoľného riadku alebo stĺpca. Ak v štvorcovej matici A vynecháme i ty riadok a j ty stĺpec, dostaneme maticu M ij typu (n ) (n ). Jej determinant M ij nazývame minor. Číslo d ij = ( ) i+j M ij nazývame algebraický doplnok prvku a ij. Výraz ( ) i+j nadobúda len hodnoty ± a teda určuje len znamienko algebraického doplnku. Determinantom matice A nazývame číslo A = a k d k + a k2 d k2 + + a kn d kn. (2.) Vzťah 2. nazývame rozvoj determinantu pomocou k teho riadku. Dá sa dokázať, že rovnaký výsledok dostaneme aj rozvojom podľa iného riadku alebo stĺpca. Vypočítame determinant matice A = 3 2 0 3 0 0 2 5 0 2 0 rozvojom podľa 2. riadku (obsahuje 2 nuly): A = a 2 d 2 + a 22 d 22 + a 23 d 23 + a 24 d 24 = 3.( ) 2+ M 2 + 0.( ) 2+2 M 22 + 0.( ) 2+3 M 23 + 2.( ) 2+4 M 24 =

34 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 3 2 0 0 2 0 + 2 3 2 5 0 2 = ( 3).0 + 2.( 4) = 8 Videli sme, že je rozumné použiť rozvoj determinantu podľa riadku alebo stĺpca obsahujúceho najviac núl. Nuly možno vyrábať úpravou (4) z Vety 2.3: K riadku (stĺpcu) pripočítať násobok iného riadku (stĺpca). Cvičenie 2.. Dokážte, že determinant štvorcovej trojuholníkovej matice sa rovná súčinu jej diagonálnych prvkov. 2.7. Inverzné matice a maticové rovnice Dá sa dokázať, že štvorcová matica má nenulový determinant práve vtedy, ak jej hodnosť sa rovná počtu riadkov. Štvorcové matice s nenulovým determinantom sa nazývajú regulárne. V opačnom prípade sa nazývajú singulárne. Dá sa tiež dokázať, že k štvorcovej matici existuje inverzná práve vtedy, ak je regulárna. Pomocou determinantov možno jednoducho nájsť maticu inverznú k regulárnej matici. Ukážeme to pre matice typov 2 2 a 3 3. Nech ( ) a a A = 2 a 2 a 22 je regulárna matica, t. j. A 0. Potom A = ( a22 a 2 A a 2 a Ľahko sa presvedčíme, že A.A = A.A = E 2. ) Príklad 2.29. ( ) 2 3 = 4 2 3 4 ( 4 3 2 ) = 5 ( 4 3 2 ) = ( 4/5 3/5 /5 2/5 ) Nech A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 V Poznámke 2.8 sme zaviedli pojem algebraického doplnku. Zopakujeme: Vynechajme v matici A riadok a stĺpec, kde leži prvok a ij. Zostane matica M ij typu 2 2. Jej determinat je číslo M ij, ktoré sa nazýva minor matice. Číslo d ij = ( ) i+j M ij nazývame algebraický doplnok prvku a ij.

2.7. DETERMINANTY 35 Príklad 2.30. Nájdime všetky algebraické doplnky prvkov matice 2 0 A = 3 0 0 Počítajme: d = ( ) + 0 d 3 = ( ) +3 3 0 d 22 = ( ) 2+2 2 0 0 d 3 = ( ) 3+ 0 0 =, d 2 = ( ) +2 3 0 0 = 3 = 3, d 2 = ( ) 2+ 0 =, = 2, d 23 = ( ) 2+3 2 0 = 2 = 0, d 32 = ( ) 3+2 2 0 3 0 = 0, d 33 = ( ) 3+3 2 3 = 5 Maticu inverznú k regulárnej matici A typu 3 3 vypočítame: A = A d d 2 d 3 d 2 d 22 d 23 d 3 d 32 d 3 Tvrdenie nebudeme dokazovať, ale jeho platnosť overíme aspoň na príkladoch. Príklad 2.3. Nájdeme maticu inverznú k matici A z predošlého príkladu. Najskôr vypočítame determinant matice A: A = 2 + 0 + 0 (0 + 0 3) = 5 T Potom A = 5 3 3 2 2 0 0 5 T = 5 0 3 2 0 3 2 5 Cvičenie 2.2. Ak existuje, nájdite maticu inverznú k matici 0 Z = 2 0 0 3 0 a urobte skúšku správnosti.

36 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY Príklad 2.32. Pomocou inverznej matice riešte sústavu lineárnych rovníc: Sústavu zapíšeme v tvare 2u v = 3u + v = 4 v + w = 0 A. x = b Vynásobíme zľava maticou A a dostaneme x = A. b Matice A a A poznáme z predošlých príkladov. Preto x = A. b = 2 0 3 0 0. 4 0 = 5 0 3 2 0 3 2 5. 4 0 = Cvičenie 2.3. Pomocou inverznej matice riešte sústavu lineárnych rovníc 2a b = 3a + b = 4 b + c = 0 Cvičenie 2.4. Nájdite maticu Y, ktorá spĺňa maticovú rovnicu E 2 + Y.A = Y + A.A ak Návod: A = ( 2 3 0 ) Y = (A.A E 2 ).(A E 2 ) 2.7.2 Cramerovo pravidlo Sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi možno riešiť aj pomocou determinantov. Metóda sa nazýva Cramerovo pravidlo podľa švajčiarskeho matematika Gabriela Cramera (704-752). Uvedieme verziu Cramerovej vety pre sústavu troch rovníc s tromi neznámymi a x +a 2 x 2 +a 3 x 3 = b a 2 x +a 22 x 2 +a 23 x 3 = b 2 (2.2) a 3 x +a 32 x 2 +a 33 x 3 = b 3 Jednoduchšiu verziu vety pre 2 rovnice s 2 neznámymi necháme na čitateľa. Vetu nebudeme dokazovať.

2.7. DETERMINANTY 37 Veta 2.5. (Cramerova veta) Nech determinant A matice sústavy (2.2) je rôzny od nuly. Potom sústava má jediné riešenie kde A = b a 2 a 3 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 α =, A 2 = a (b, b 2, b 3 ) T je stĺpec pravých strán. ( A A, A 2 A, A ) 3, A a b a 3 a 2 b 2 a 23 a 3 b 3 a 33 Príklad 2.33. Cramerovým pravidlom riešte sústavu: a + 2b + 3c = 3 a 6c = 3 2a + 4b = 0 Riešenie: Počítame 2 3 D = A = 0 6 2 4 0 = 36, D = A =, A 3 = 3 2 3 3 0 6 0 4 0 a a 2 b a 2 a 22 b 2 a 3 a 32 b 3 = 36 D 2 = A 2 = 3 3 3 6 2 0 0 = 8, D 3 = A 3 = 2 3 0 3 2 4 0 = 2 teda sústava má jediné riešenie α = ( D D, D 2 D, D ) ( 3 =, D 2, ) 3 Cvičenie 2.5. Cramerovým pravidlom riešte sústavu x + 3x 2 = 7 x x 2 = Cvičenie 2.6. Cramerovým pravidlom riešte sústavu 2x 3x 2 + x 3 = 0 x + 2x 2 x 3 = 3 2x + x 2 + x 3 = 2

38 KAPITOLA 2. VYBRANÉ STATE Z ALGEBRY 2.8 Polynómy a algebraické rovnice Na strednej škole ste sa určite stretli s riešením kvadratickej rovnice, ktorá má tvar ax 2 + bx + c = 0 kde a, b, c sú reálne čísla, a 0. Jej riešenia (korene) sme hľadali v tvare x,2 = b ± D 2a kde D = b 2 4ac je diskriminant kvadratickej rovnice. Ak D > 0, rovnica má dve rôzne reálne korene, ak D = 0 rovnica má jeden (dvojnásobný) reálny koreň. Ak D < 0 rovnica má 2 komplexné korene: x,2 = b ± i D 2a Ak poznáme korene, vieme kvadratickú rovnicu prepísať v tvare a(x x )(x x 2 ) = 0 Príklad 2.34. Kvadratická rovnica x 2 5x + 4 = 0 má korene x,2 = 5 ± 9 2 Teda x = 4, x 2 =. Kvadratickú rovnicu možno napísať v tvare (x 4)(x ) = 0 Poznámka 2.9. Rovnica y = ax 2 + bx + c je v analytickej geometrii v rovine rovnicou paraboly. To znamená, že súradnice každého bodu [x, y] tejto paraboly spĺňajú uvedenú rovnicu. Body [x, 0] ležiace na parabole sa nazývajú nulové body. Ich x-ové súradnice sú práve reálne korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0. Teda reálne korene kvadratickej rovnice sú súčasne nulovými bodmi trojčlena (polynómu) ax 2 + bx + c. V predošlom Príklade 2.34 korene x = 4, x 2 = sú súčasne nulovými bodmi paraboly y = x 2 5x + 4. Body [, 0], [4, 0] ležia na parabole (načrtnite!) Príklad 2.35. Kvadratická rovnica x 2 + 2x + 2 = 0 má korene x,2 = 2 ± i 4 2 = 2 ± 2i 2 kde i je imaginárna jednotka. Teda x = + i, x 2 = i. Kvadratickú rovnicu možno napísať v tvare (x + i)(x + + i) = 0

2.8. POLYNÓMY A ALGEBRAICKÉ ROVNICE 39 V tomto odseku sa budeme venovať rovniciam, v ktorých vystupuje neznáma vo vyšších mocninách a koeficienty rovnice môžu byť aj komplexné čísla. Definícia 2.6. Nech n je nezáporné celé číslo, a 0, a,..., a n sú reálne alebo komplexné čísla, a 0 0. Výraz nazývame polynóm n-tého stupňa. P n (x) = a 0 x n + a x n + + a n Príklad 2.36. P 3 (x) = 5x 3 + 2x 2 x + 7 je polynóm 3. stupňa, P 0 (x) = 5 je polynóm nultého stupňa. Dá sa dokázať, že polynómy P n (x) = a 0 x n + a x n + + a n, Q m (x) = b 0 x m + b x m + + b m sa rovnajú pre každé x C, (C je množina všetkých komplexných čísel) práve vtedy, ak m = n, a 0 = b 0, a = b,..., a n = b n Zapisujeme P n (x) Q n (x) Definícia 2.7. Nech n je prirodzené číslo. Rovnicu s neznámou x tvaru a 0 x n + a x n + + a n = 0 kde a 0, a,..., a n sú reálne alebo komplexné čísla, a 0 0, nazývame algebraickou rovnicou n-tého stupňa. Definícia 2.8. Komplexné číslo α je riešením (koreňom) algebraickej rovnice P n (x) = 0, ak P n (α) = 0. Poznámka 2.0. Hovoríme tiež, že α je koreňom polynómu P n (x). Príklad 2.37. Číslo α = je riešením (koreňom) algebraickej rovnice 2x 4 3x 3 + 2x = 0 Ak je α koreňom algebraickej rovnice P n (x) = 0, potom výraz x α (polynóm. stupňa) nazývame jej koreňovým činiteľom. Teda, v predošlom príklade je x koreňovým činiteľom. V nasledujúcej vete sa dozvieme, že koreňový činiteľ má zaujímavé vlastnosti. Veta 2.6. Čislo α je koreňom algebraickej rovnice P n (x) = 0 práve vtedy, ak polynóm P n (x) je deliteľný polynómom x α bez zvyšku.