Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi za račuarom u roseku 3 miuta (sa eksoeialom rasodelom. Koliko rosečo treba rovesti čekaući u čekaoii za oe koi ri dolasku u čekaoiu ađu u o slobodo mesto? Ako e čekaoia ua, korisik odlazi. Rešee: Imamo sistem sa ekvivaletim aralelim serverima: 5 X(- 5 X h 4 kor / h
4 3 3 6 3 3 3 3 3 8 4 3 4 4 3 3 3 54 5 4 5 5 4 + + + + + 3 4 5 3 4 5 + + + + + 6 8 54 8.8 3 4 5 + + + + + 8 + 6 + 44 + 96 + 64 6 8 54 ( 5 5.758 54 X 3.7h 5 5 4 ( ( X J +.654 - roseča bro oslova u redu J.775 h 4 mi8.5 s - Little-ova formula za red čekaa X Drugi ači: 5 3 3 4 4 5 5.4 i J + + + +
J.577h X + s +.577h.5h.77h Zadatak Šta e bole imati: Jeda roesor brzie ili Dvoroesoski sistem (dva roesora brzie? Rešee: Pretostavke: - Eksoeiala rasodela za sva vremea - roesora redstavlau ekvivalete aralele servere Drugi sistem (dvoroesorski:
3 3 3... (... + + + + ( + + +... + + + + +... + + + + ( J + + + ( J J X Prvi sistem:
Klasiča M/M/ sistem. J lim ( lim + X J X ( ( Sada uoređuemo ova dva sistema: ( + ( + Dakle, rvi sistem (edoroesorski e boli, er ima mae vreme odziva. Zadatak 3 (Novembar 8 Na slii su rikazaa dva roesorska sistema M/M/ tia sa beskoačim redom za čekae. Novi osao dolazi u sistem u roseku a svakih 6ms. Ako svaki od roesora u rvom sistemu ima srede vreme osluživaa S ms, odrediti u kom osegu treba da budu vremea osluživaa roesora iz druge grue, S, da bi rvi sistem bio boli, a u kom osegu ta vremea treba da budu da bi drugi sistem boli (u smislu vremea odziva.
Rešee: Ako oslovi stižu u roseku a svakih 6 ms, tada e itezitet riseća zahteva 6.5 osl / se. Prvi sistem e M/M/ server za koi važi: a osl / se. Ako količik obeležimo sa, tada e.65. S Sredi bro oslova: J 5 3 J J Srede vreme odzuva: 6.666 X Drugi sistem e M/M/ sistem.... ms
( + + +... + ( + + +... + + + + +... +, za + + + ( J + + + ( J J 4 X 4 Potrebo e aći oseg za tako da odos / bude mai, odoso veći od. 4 4 4( 4 ( 4 + ( + 55.93 (drugo rešee e egativo Za >55.93, t. za S < 8.8ms, drugi sistem e boli. 55.93 osl / se Za <55.93, odoso, S > 8.8ms rvi sistem e boli. 55.93 osl / se Potrebo e rimetiti dae za <. Povećavaem odos e i dale ostae mai od, a oba sistema ormalo fukioišu, ri čemu drugi ima mae vreme odziva. Smaivaem rvi sistem ostae boli čak i kada u ekom treutku ostae, t. kada drugi sistem ostae zasiće.
Zadatak 4 (Oktobar 8 Posmatra se M/M/3/ server (eksoeiala rasodela vremea osluživaa i vremea servisiraa, trokaali server, red za čekae u koi može da stae samo eda roes. Srede vreme ristizaa zahteva e ms, a srede vreme obrade zahteva e ms. Odrediti roseča bro oslova u sistemu, srede vreme odziva i rotok kroz sistem. Rešee: Diagram sistema e dat a aredo slii. Stae i ozačava da u sistemu treuto ima i roesa: 5 osl / se, osl / se, s a Balase edačie za ova sistem: 4 3 3 3 3 3 8 3 4 3 4 3 3 9 4 8 + + + 3 + 4 + + + + 3 9 9 8 8,, 3, 4 65 65 65 65 Sredi bro oslova u sistemu:
4 8 36 36 3 J + + 3 3 + 4 4 + + +.877 65 65 65 65 65 57 X + + + 3 4 osl / se 87.69 osl / se 65 Protok: ( ( Vreme odziva: J s.43ms X 57 Iskorišćeost sistema: U 9 6 38.5846 3 3 65 65 65 65 Zadatak 5: Diagram relaska iz staa u stae M/M/C/ sistema dat e slikom: Na osovu ovog diagrama, treba izvesti vreme odziva + s, kao i sredi bro oslova u sistemu J za koačo i beskoačo. a sluča kada e beskoačo Posmatraćemo rvo beskoača model, t. model sistema sa beskoačim baferom za oslove. Sa ćemo obeležiti verovatoću da se sistem ađe u stau u kome se treuto alazi oslova, koi se bilo izvršavau, bilo čekau a izvršee. Po ošto formuli rođea i smrti, rimeeo a kokreta sluča, imamo da e: + + i k i i i i k i k i k i i _
Gde e :, za svako, a, za i, za svako, kao što e to rikazao a slii u ostavi zadatka Ako količik obeležimo sa, dobiamo da e i i i i i i, za!, za! Odvde sledi:, za,,...,!, za, +, +,...! Sredi bro oslova u sistemu redstavla matematičko očekivae broa oslova: J Ovu sumu možemo razbiti a dva dela: J J + J, gde su J i J srede vredosti broa oslova koi se S S treuto oslužuu i broa oslova koi čekau a osluživae, resektivo. Pošto u sistemu čekau edio oi oslovi koih ima više od broa severa C u staima C+, C+,... to e J ( ( + +!, gde e z k k k k k k z! k! k Sumu k k z k možemo izračuati a više ačia.
Jeda ači bi bio da itegralimo sumu čla o čla, izvršimo sumirae, a elu ovodobieu sumu difereiramo (ošto se radi o oteialom redu, to e isravo raditi. Drugi ristu e sledeći: Obeležimo sumu sa A. ada e k 3 4 A k z z+ z + 3 z + 4 z +... k formiramo drugu sumu tako što rvi omožimo sa z: k 3 4 + + + z A z k z z z 3 z... k Sada oduzmemo drugu sumu od rve i dobićemo: 3 4 3 4 ( ( 3 4... ( 3 z +... A z z+ z + z + z + z + z + z z z z 3 4 + + + +... z A ( z z z Dale e: J k z!! (! + k k ( Koristeći Little-ovu formulu, možemo izračuati srede vreme čekaa oslova u sistemu kao: J, gde e ' efektiva brzia riseća zahteva u sistemu. ' U ašem slučau e ', er e sistem eograičeog kaaiteta i svaki zahtev se rihvata, a ieda e odbia. o možemo edostavo i dokazati: ', a ovo se videlo i sa slike, er u svakom mogućem stau itezitet riseća zahteva e. Odavde e ' (! (! (! + ( ( ( J (! +, ( (! (
Sada ćemo aći srede vreme odziva sistema, t. srede ukuo vreme rovedeo u sistemu. Za to am e otrebo da ozaemo srede vreme osluživaa osla u sistemu, a oo uvek izosi. Imaući to u vidu, dobiamo da e: (! _ + + + s ( Sada oet možemo iskoristiti Little-ovu formulu da bismo ašli ukua sredi bro oslova u sistemu. J ' + + (! ( (! ( Primetimo da e ' J ' ' + J + Sa druge strae, ošto e ' J J + JS, trebalo bi da važi da e JS. Zaimlivo bi bilo uveriti se da osleda edakost zaista važi. Zato ćemo okušati da osebo izračuamo J, kao očekivai bro oslova koi se oslužuu u sistemu: S J + s! +! + ( (! +! +!! ' +!! Dakle, uverili smo se i bez Little-ove formule da e J S ', što okazue da e aša račuia tača. Ostalo e da izračuamo oš. Primeom formule rođea i smrti, imamo da e
i + + + i i!! + + + +!!!! + + + +!!! (! Koačo, dobili smo sledeće: ( (! _ + + s ( J (! + ( gde e, a + +! (! ( b sluča kada e koača bro Primeićemo sliču strategiu račuaa tražeih karakteristika sistema, imaući u vidu da e sistem ograičeog kaaiteta i da u bafer za oslove koi čekau može da stae maksimalo zahteva, e račuaući zahteva koi se mogu izvršavati. Pristigli zahtevi u u sistem bivau odbiei ( +., za,,...,, +,...,+- za +, za, za, +,..., + za
Ako količik obeležimo sa, dobiamo da e, kao u rethodom slučau, da e: i i i i i i, za!, za! Odatle e:, za, +, +,..., +! Sredi bro oslova u sistemu redstavla matematičko očekivae broa oslova: + J Ovu sumu možemo razbiti a dva dela: J J + J, gde su J i J srede vredosti broa oslova koi se S S, za,,...,! treuto oslužuu i broa oslova koi čekau a osluživae, resektivo. Pošto u sistemu čekau edio oi oslovi koih ima više od broa severa u staima +, +,..., +, to e: + + J ( ( + +!, gde e z k k k k k k z! k! k Sumu k k z k oovo možemo izračuati a više ačia. Jeda ači bi sledeći:
k 3 4 B k z z+ z + 3 z + 4 z +... + z k formiramo drugu sumu tako što rvi omožimo sa z: z B z k z z + z + 3 z +... + ( z + z k k 3 4 + Sada oduzmemo drugu sumu od rve i dobićemo: B ( z ( z+ z + 3 z 3 4 3 4 + + 4 z +... + z ( z + z + 3 z +... + ( z + z z z+ z + z + z +... + z z z z z 3 4 + + ( + z + z z z z Odavde e B ( + z + z ( z + ( Sada e: z J k z + z + z k! k! ( z + ( + +! ( + ( + + (!( + ( ( + Ovde smo odrazumevali da e <. Nadale ćemo se voditi istom retostavkom, a seiali sluča kada e ćemo osebo razmatrati. Koristeći Little-ovu formulu, možemo izračuati srede vreme čekaa oslova u sistemu kao: J, gde e ' efektiva brzia riseća zahteva u sistemu. ' U ovom slučau ', er e sistem ograičeog kaaiteta i e rihvata se svaki zahtev. Jedostavo ćemo izračuati ' o defiiii:
+ + +, ' Imaući u vidu da e + +, + + dobiamo da e ' ( +, a ovo se videlo i sa slike, er u svakom mogućem stau itezitet riseća zahteva e, osim u osledem, gde e. Koačo, ozaući verovatoću osledeg staa, dobiamo: + ' ( + (! Odavde e: + J ( + + ' '! ( + ( + + + (!( (! + + + ( + (! ( + + + + + ( ( + + + (! ( + + ( ( + + + (! ( Sada ćemo aći srede vreme odziva sistema, t. srede ukuo vreme rovedeo u sistemu. Za to am e otrebo da ozaemo srede vreme osluživaa osla u sistemu, a oo uvek izosi. Imaući to u vidu, dobiamo da e: + s + + + + _ + + ( ( + (! ( ( + + ( + + + + (! ( +
Sada oet možemo iskoristiti Little-ovu formulu da bismo ašli ukua sredi bro oslova u sistemu. ' J ' ' + J + + + + (! ( + + + (!( + + + + ( ( + ( + + + + (! (! ( + + + ( (! (! ( Imaući u vidu da e ' J J + JS, trebalo bi da važi da e JS. Zaimlivo bi bilo uveriti se da osleda edakost i u ovom slučau zaista važi. Zato ćemo okušati da osebo izračuamo J, kao očekivai bro oslova koi se oslužuu u sistemu: + + J + s! +! + + ( (! +! + +!! + + +!! + + ( + ( + ( + ' Dakle, uverili smo se i bez Little-ove formule da e S J S ', što okazue da e aša račuia tača. Ostalo e da izračuamo oš. Primeom formule rođea i smrti, imamo da e:
+ + i + + + i i!! + + + + +!!!! + + + +!!! (! + + Koačo, dobili smo sledeće: + + ( ( + + + + (! ( + ( ( + + J ( + + + (! (! ( gde e, a + + +! (! b seiali sluča kada e Do sada smo odrazumevali da e <. Sada ćemo razmotriti sluča kada e.u ovom slučau e:
+ + i + + + i i!! + + + + + + + ( +!!!!!! ( + J k z!! k k + ' ( + ( (!! J ( + ( + ' '!! (!! ( + (!! ( + (! ( + + s + + (! _ ( + + (! ' J ' ' + J + ( ( +! +! ( + + (!!