Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld Sonj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e
Zirko nlog so npisli Olg rnuš, prof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, prof., mg. rjo Feld, Sonj Frnce, prof., in spec. Mtej Škrlec, prof. MTEMTIK Zirk nlog z gimnzije Ilustrirl Fotogrfij n nslovnici Uroš Hrovt M.. Escher's»Moeius Strip I«009 The M.. Escher ompny-hollnd. ll rights reserved. www.mcescher.com Fotogrfije so prispevli Olg rnuš, edenk & o,. n. o., in rhiv ZS, d. d. Tehnične rise je izdell Ksenij Konvlink Rokopis je jezikovno pregledl Jsn erčon Uredil Sory Sternd Likovno-grfično uredil Sš Hnun Olikovl Ksenij Konvlink Opremo olikovl Ksenij Konvlink Glvn urednic Tnj Železnik Izvršn direktoric ivizije zložništev d de ost Petn ZS, zložništvo in trgovin, d. d. (leto prve izdje 010) Vse prvice pridržne. rez pisneg dovoljenj Zlože je prepovedno reproducirnje, distriuirnje, djnje v njem, jvn priočitev, djnje n voljo jvnosti (internet), predelv li vsk drug upor teg vtorskeg del li njegovih delov v kkršnem koli osegu li postopku, vključno s fotokopirnjem, tisknjem li shrnitvijo v elektronski oliki. Odstrnitev teg podtk je kzniv. IP - Ktložni zpis o pulikciji Nrodn in univerzitetn knjižnic, Ljuljn 51(075.3)(076.) MTEMTIK. Zirk nlog z gimnzije / Olg rnuš... [et l.] ; [ilustrirl Uroš Hrovt ; fotogrfije so prispevli Olg rnuš, edenk & o. in rhiv ZS ; tehnične rise je izdell Ksenij Konvlink]. - 1. izd., 1. ntis. - Ljuljn : ZS, 010 ISN 978-961-0-0136-6 1. rnuš, Olg, 1951-5303448
1. VSEIN Nloge Rešitve Osnovni Osnovni geometrijski geometrijski pojmi... pojmi....................................... 5 187 Konveksne Konveksne množice množice.................................................. 9 189 Merjenje Merjenje.......................................................... 1 189 Skldnost Skldnost trikotnikov trikotnikov.............................................. 15 191 Vzporednost Vzporednost in prvokotnost in prvokotnost...................................... 17 195 Toge preslikve Toge preslikve.................................................... 1 197 Trikotnik Trikotnik........................................................... 6 00 Oodni in Oodni središčni in središčni kot..... kot....................................... 31 08 Štirikotniki Štirikotniki......................................................... 36 13 Vektorske Vektorske količine. količine................................................. 43 8 Vzporedni Vzporedni premik v premik rvnini v. rvnini....................................... 45 8 Seštevnje Seštevnje in odštevnje in odštevnje vektorjev vektorjev................................. 46 9 Množenje Množenje vektorj s vektorj številom s številom...................................... 50 31 Središčni Središčni rzteg. rzteg.................................................. 5 33 Linern Linern komincij komincij vektorjev, vektorjev, z... z........................... 54 34 Linern Linern odvisnost odvisnost vektorjev vektorjev...................................... 57 35 Prvokotni Prvokotni koordintni koordintni sistem v prostoru sistem v prostoru.......................... 59 36 Od točk h Od krjevnim točk h krjevnim vektorjem vektorjem.................................... 60 37 Podoni Podoni liki...... liki.................................................. 64 38 Podonost Podonost v prvokotnem v prvokotnem trikotniku trikotniku.............................. 70 40 Kotne funkcije Kotne ostrih funkcije kotov ostrih.. kotov...................................... 74 4 Kotne funkcije Kotne poljunih funkcije poljunih kotov.. kotov.................................. 80 44 Sklrni produkt Sklrni produkt................................................... 8 45 Sklrni produkt Sklrni v produkt prvokotnem v prvokotnem koordintnem koordintnem sistemu sistemu........... 87 47 Koreni poljunih Koreni poljunih stopenj. stopenj.......................................... 91 48 Potence z Potence rcionlnim z rcionlnim eksponentom eksponentom............................... 95 50 Lstnosti Lstnosti funkcij. funkcij.................................................. 98 50 Trnsformcije Trnsformcije n rvnini n. rvnini........................................ 105 53 Inverzn Inverzn funkcij. funkcij................................................. 114 59 Potenčn Potenčn funkcij z funkcij nrvnim z nrvnim eksponentom eksponentom...................... 117 61 Potenčn Potenčn funkcij z funkcij negtivnim z negtivnim celim eksponentom celim eksponentom.............. 119 61 Modelirnje Modelirnje s potenčno s potenčno funkcijo funkcijo.................................. 11 63 Korensk Korensk funkcij. funkcij................................................ 13 63 Kvdrtn Kvdrtn funkcij funkcij................................................ 17 66 Ničle kvdrtne Ničle kvdrtne funkcije funkcije.......................................... 13 69 Prol Prol in premic in premic............................................... 137 73 Kvdrtn Kvdrtn enč. enč................................................ 140 75 Kvdrtn Kvdrtn neenč neenč.............................................. 146 77 Modelirnje Modelirnje s kvdrtno s kvdrtno funkcijo funkcijo................................. 153 79 Množic Množic kompleksnih kompleksnih števil... števil.................................... 155 80 Rčunnje Rčunnje s kompleksnimi s kompleksnimi števili.. števili............................... 157 81 eljenje kompleksnih eljenje kompleksnih števil... števil.................................... 159 81 solutn solutn vrednost vrednost kompleksneg kompleksneg števil.. števil...................... 161 8 Eksponentn Eksponentn funkcij. funkcij............................................ 165 84 Modelirnje Modelirnje z eksponentno z eksponentno funkcijo funkcijo.............................. 167 86 Eksponentn Eksponentn enč.. enč............................................ 169 87 Logritmi Logritmi......................................................... 171 88 Prvil z Prvil rčunnje z rčunnje z logritmi z logritmi................................... 173 89 Logritemsk Logritemsk funkcij. funkcij............................................ 175 89
Nloge Rešitve Prehod k Prehod novi osnovi k. osnovi............................................ 180 9 Logritemske Logritemske enče. enče............................................ 181 9 Modelirnje Modelirnje z logritemsko z logritemsko funkcijo funkcijo.............................. 186 95 Rešitve............................................................ 187 O progrmu GEOGER.......................................... 96 LEGEN * Težk nlog 1: Slik je nrisn Posen znnj Rziskuj z rčunlnikom v dnem rzmerju
Osnovni geometrijski pojmi 5 OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI ljic je n oeh strneh omejen rvn črt. Poltrk je n eni strni neomejen rvn črt. k Premic je n oeh strneh neomejen rvn črt. p Zveznic točk in je dljic. Nosilk dljice je premic, n kteri dljic leži. Rvnin je neomejen rvn ploskev. W Polrvnin je del rvnine. Premic rzdeli rvnino n dve polrvnini. p Leg dveh premic v prostoru Premici imt eno skupno točko. Premici se sekt. Skupno točko imenujemo presečišče. Leg dveh rvnin v prostoru Rvnini imt skupno premico. P q p Premici nimt skupne točke. p p q W Premici st vzporedni li mimoežni. Vzporednici ležit v isti rvnini, mimoežnici p ne. Rvnini nimt skupne točke. q S S p W W S Rvnini se sekt. Rvnini st vzporedni. Leg premice in rvnine v prostoru Imt skupno točko. Nimt skupne točke. Vsk točk premice leži v rvnini. W p W p p W Premic sek (pred) rvnino. Skupn točk je presečišče (preodišče). Premic in rvnin st vzporedni. Premic leži v rvnini. Točke 1,, 3 so kolinerne, če ležijo n isti premici, sicer so nekolinerne. E,,,, E so kolinerne.,,, so nekolinerne.
6 Osnovni geometrijski pojmi Točke 1,, 3, 4 so koplnrne (komplnrne), če ležijo n isti rvnini, sicer so nekoplnrne (nekomplnrne). F E,,,, E, F so koplnrne.,,, so nekoplnrne. 1.. 3. 4. N rvnini nriši nekolinerne točke, in. Nto nriši še: poltrk z izhodiščem, ki potek skozi, zveznico točk in, nosilko dljice, premico skozi točko, ki ne potek skozi točki in. V rvnini so dne točke,, in, izmed kterih noene tri niso kolinerne. Koliko rzličnih dljic, koliko rzličnih trikotnikov in koliko rzličnih štirikotnikov določjo? V rvnini so dne točke,,, in E, izmed kterih noene tri niso kolinerne. Koliko rzličnih dljic, koliko rzličnih trikotnikov in koliko rzličnih štirikotnikov določjo? n je kvder. Točk M je rzpolovišče ro, točk N je središče ploskve in točk K je rzpolovišče ro. ) li so, M, kolinerne? ) li so, M, kolinerne? c) li so,,, koplnrne? č) li so,,, K koplnrne? e) li so M, N, K kolinerne? e) li so M, N, K, koplnrne? g) li so, N, kolinerne? g) li so,,,, M, N, K koplnrne? 5. n je 4-strn pirmid V z vrhom V. Zpiši vs oglišč, ki: ) niso kolinern s točkm in, ) niso koplnrn s točkmi, in. 6. n je pokončn prviln 6-strn prizm EF E F. Koliko je: ) rzličnih premic, ki jih določjo oglišč prizme in so vzporedne rou, ) rzličnih premic, ki jih določjo oglišč prizme in so prvokotne n rvnino EF, c) rzličnih premic, ki jih določjo oglišč prizme in nimjo skupne točke z rvnino EF, d) oglišč, ki so koplnrn s točkmi, in E, e) oglišč, ki niso koplnrn s točkmi, in? 7. Skicirj in opiši možne lege: ) dveh premic v rvnini, ) treh premic v rvnini, c) dveh premic v prostoru, č) dveh rvnin v prostoru, e) treh rvnin v prostoru, e) rvnine in premice v prostoru. 8. Premice postvljmo tko, d olikujejo čim več presečišč. Koliko je presečišč, če je število premic enko: ) 4 ) 5 c) 6 č) 10
Osnovni geometrijski pojmi 7 9. N premici zporedom ležijo točke 1,, 3 tko, d st rzdlji med poljunim sosednjim točkm enki. 1 3 4 5 Koliko rzlično dolgih dljic določjo tko postvljene točke, če je število točk enko: ) 3 ) 4 c) 5 č) 10 10. Koliko premic lhko nrišemo skozi točke, izmed kterih so poljune tri nekolinerne, če je število točk enko: ) ) 3 c) 4 č) * 5 d) * 6 e) * n lj rzmišlj tkole Vse premice skozi 4 točke Premic skozi in Število premic = 4 3 elimo z, ker je vsk premic štet dvkrt, npr. in. 11. Koliko rvnin lhko nrišemo skozi točke, izmed kterih poljune štiri niso koplnrne, če je število točk enko: ) 3 ) 4 c) 5 č) * 6 d) * 7 e) * n Niko rzmišlj tkole Vse rvnine skozi 4 točke Rvnin skozi, in Število rvnin = 4 3 6 Vsk rvnin je štet 6-krt, npr.,,,, in. 1. Nriši prvokotnik. Nj o točk S rzpolovišče strnice. točk,,, in S izpiši vse trojice, ki enolično določjo rvnino. Izmed 13. S slike rzeri, kj je v preseku ozirom uniji dnih množic. ) p q ) Ω p c) Ω p č) p q r d) r q W p r q
8 Osnovni geometrijski pojmi 14. S slike rzeri, kj je v preseku dnih množic. ) Ω Φ ) p Φ c) q Φ č) p q Φ d) (Φ p) (Ω r) W r q p F 15. Z premico p ter rvnini Ω in Φ velj (Ω Φ = {}) (p Φ). V kkšni legi st p in Ω? 16. Z rvnini Ω in Φ ter premici p in q velj (Ω Φ = p) (Ω q = q) (q p = {}). V kkšni legi st p in q? 17. Nriši in opiši množico točk v rvnini, ki so: ) z 3 enote oddljene od točke, ) z kvečjemu 3 enote oddljene od točke, c) z vsj enoti oddljene od dne točke, d) enko oddljene od točk M in N, e) z enoti oddljene od premice p, f) z mnj kot enoti oddljene od premice q. 18. Opiši množico točk v prostoru, ki so: 19. ) z 3 enote oddljene od rvnine Ω, ) enko oddljene od vzporednih rvnin Ω in Σ, c) enko oddljene od točk in, d) z enoti oddljene od premice p, e) z kvečjemu enoti oddljene od premice p, f) z 3 enote oddljene od točke, g) z kvečjemu 3 enote oddljene od točke. N rvnini so tke tri premice p, q in r, d vsk drug premic te rvnine odisi sek vse tri premice odisi nim skupne točke z noeno izmed teh treh premic. Kkšn je medseojn leg premic p, q in r?
Konveksne množice 9 KONVEKSNE MNOŽIE Množic točk rvnine je konveksn, če je vsk točk zveznice kterih koli dveh točk te množice tudi element te množice. Konveksni množici Nekonveksni množici Kot je množic točk rvnine med dvem poltrkom s skupnim izhodiščem, vključno s točkmi n oeh poltrkih. Skupno izhodišče imenujemo vrh kot. vrh V krk q krk p kot Odnosi med koti Sosednj kot Sokot Sovršn kot V Imt skupen krk. Presek njunih notrnjosti je przn množic. V St sosednj kot, kterih krk, ki nist skupn, ležit n isti premici. V St kot, ki imt skupen vrh, in se vsk krk eneg kot dopolnjuje v premico s krkom drugeg kot. Vrste kotov Ničelni kot Prvi kot Iztegnjeni kot Polni kot Ostri kot je mnjši od prveg kot. Topi kot je večji od prveg kot in mnjši od iztegnjeneg kot. Konveksni n-kotnik Noen tri zporedn oglišč niso kolinern. F E Strnic je zveznic dveh sosednjih oglišč. igonl je zveznic dveh nesosednjih oglišč. Število strnic: n n (n 3) Število digonl: strnic digonl
10 Konveksne množice 0. Kote, zpisne s tremi točkmi, zpiši z oznkmi s slike. ),,, M, M ),, E, E E j e d M g g d 1. Vsk oznčeni kot n sliki zpiši z uporo točk, ki določjo krk kot. ) ) c) g d g j e. Zpiši vsj dv pr sosednjih kotov, vsj dv pr sokotov, vsj dv ostr kot in vsj dv top kot. ) E ) E 3. li je nrisn množic konveksn? ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p)
Konveksne množice 11 4. Prvokotnik je konveksen lik. li st tudi unij in presek dveh prvokotnikov konveksn? Utemelji. 5. Koliko digonl im konveksni: ) 5-kotnik, ) 6-kotnik, c) 10-kotnik, č) 100-kotnik? Przn množic je konveksn. 6. Kteri konveksni večkotnik im: ) 9 digonl, ) 0 digonl, c) 35 digonl, č) 90 digonl? 7. 8. 9. 30. Koliko digonl im konveksni večkotnik, ki im 34 strnic? Kteri konveksni večkotnik im toliko digonl kot strnic? Kteri konveksni večkotnik im 1 strnic mnj kot digonl? Kteri konveksni večkotnik im 5-krt toliko digonl kot strnic? 31. 3. Neki konveksni večkotnik im 54 digonl. Koliko digonl im konveksni večkotnik, ktereg število oglišč je enko polovici števil oglišč dneg večkotnik? Šest žensk in štirje moški stojijo z okroglo mizo. Koliko je vseh rokovnj, če: ) se vsk posmeznik rokuje z vsemi, rzen s sosedom n levi in sosedom n desni, ) se vsk rokuje z vsemi, c) se rokujejo vse ženske med seoj in vsi moški med seoj? 33. N šhovskem tekmovnju je 5 skupin, v kterih so po trije tekmovlci. Koliko iger o odigrnih, če vsk tekmovlec: ) igr z vskim tekmovlcem, rzen s tistim, ki st v njegovi skupini, ) igr z vskim, torej tudi s tekmovlcem iz njegove skupine, c) igr z ntnko enim tekmovlcem iz vske skupine?
1 Merjenje MERJENJE Merjenje dolžin. 1000. 1000. 1000. 10. 10. 10 1 μm 1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 km : 1000 : 1000 : 1000 Merjenje kotov. 60. 60 1 sekund ( ) 1 minut( ) 1 stopinj( ) : 60 : 60 Kot Ničelni Prvi Iztegnjeni Polni Slik Velikost 0 90 180 360 Ostri kot je mnjši od 90, topi p večji od 90 in mnjši od 180. Komplementrn kot Suplementrn kot + = 90 + = 180 34. N sliki st dljici. Ntnčno ju nčrtj v zvezek ter nčrtj še njuno vsoto in rzliko. 35. N sliki st kot. Ntnčno ju nčrtj v zvezek ter nčrtj še njuno vsoto in rzliko. 36. Nriši poljuen trikotnik. Nčrtj: ) poltrk in n njem dljico, ki je dolg kot oseg trikotnik, ) kot, ki im enko velikost, kot je vsot velikosti kotov trikotnik. Kolikšn je vsot kotov trikotnik? 37. Nriši poljuen štirikotnik. Nčrtj: ) poltrk in n njem dljico, ki je dolg kot oseg štirikotnik, ) kot, ki im enko velikost, kot je vsot velikosti kotov štirikotnik. Kolikšn je vsot kotov štirikotnik? 38. Nriši poljun kot. Nčrtj še: ) njuno vsoto, ) rzliko med večjim in mnjšim kotom. 39. Nriši poljuen kot in njegov sokot. Nčrtj njuno vsoto in rzliko.
Merjenje 13 40. Nriši poljuen: ) prlelogrm in nčrtj vsoto kotov +, ) trpez in nčrtj vsoto kotov + d. Kolikšn je vsot v oeh primerih? 41. Nriši poljuen ostri kot in njemu komplementrni kot. Nčrtj njuno vsoto in rzliko. 4. Izrčunj. Rezultt preveri z žepnim rčunlom. ) 34 0 + 55 35 ) 3 55 + 3 44 c) 53 35 + 133 5 d) 35 34 + 3 1 30 d) 1 56 36 + 30 e) 1 45 56 + 55 30 44 g) 34 45-1 35 g) 55 34-1 56 h) 34 8-33 49 j) 56 6 46-17 16 33 j) 155 3-34 57 39 k) 180 53-4 59 57 43. Velikost kot, zpisno v stopinjh, zpiši v stopinjh, minuth in sekundh. ) 34,5 ) 5,1 c) 58,4 č) 36,15 d) 1,55 44. Velikost kot, zpisno v stopinjh, minuth in sekundh, zpiši v stopinjh n 4 decimln mest ntnčno. ) 34 0 ) 3 6 c) 5 1 5 č) 4 34 5 d) 3 55 11 45. Telo preriši v zvezek in jo izpolni. Kot Zokroži n minuto ntnčno Zokroži n stopinjo ntnčno Zokroži n stotinko stopinje ntnčno 47 35 5 13 9 3 4 56 47 4,875 33,55 34,13 46. 47. Velikost kot je 6 4. Koliko st velik njemu komplementren in suplementren kot? Velikost kot je 83 5 16. Koliko st velik njemu komplementren in suplementren kot? 48. Izrčunj vsoto velikosti kotov x in y, oznčenih n sliki. 150 x y 49. 50. 51. Rzlik velikosti komplementrnih kotov je 43 8. Kolikšn st kot? Rzlik velikosti dveh sokotov je 110 46 3. Kolikšn st kot? Trikrtnik rzlike velikosti suplementrnih kotov je enk 183 1. Kolikšn st kot? 5. Kot e in j st komplementrn. Kot e je enk trikrtniku z zmnjšne velikosti kot j. Izrčunj e in j.
14 Merjenje 53. 54. Vsot komplementrneg in suplementrneg kot nekeg kot je z 14 večj od iztegnjeneg kot. Izrčunj velikost kot. Velikosti komplementrneg in suplementrneg kot nekeg kot st v rzmerju 7 : 16. Kolikšen je neznni kot? 55. * Kolikšen kot oklept urni in minutni kzlec o 1.15 uri in kolikšneg o 5.4? 56. * Kdj ost urni in minutni kzlec prvič po 14.00 uri oklepl kot 180? 57. Notrnjost kot, velikeg 66, je rzdeljen z desetimi poltrki n enko velike kote. Koliko je velik posmezen kot? 58. Iztegnjeni kot rzdelimo s 4 poltrki n kote, kterih velikosti so v rzmerju : 3 : 4 : 5 : 6. Kolikšni so koti? 59. Okrog posestv postvljjo ogrjo iz železnih plic, postvljenih n rzdlji 5 m, med kterimi je npet mrež iz žice. Koliko železnih plic in koliko metrov mreže je potrenih z ogrjo posestv n sliki? Ogrj Posestvo 5 m 5 m 5 m 5 m 100 m 40 m 450 m 30 m 60. Posestvo i rdi ogrdili s cipresmi. iprese i sdili n rzdlji 0,5 m. Koliko cipres i potreovli z 3 m ogrje, koliko z 13 m ogrje in koliko z ogrjo posestv n sliki? Ogrj iz cipres Posestvo 0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m 34 m 6 m 61. 6. 5 m N dljici, ki je dolg 54 cm, ležijo po vrsti točke, in E. Rzpolovišči dljic in E st med seoj oddljeni 38 cm. Koliko st med seoj oddljeni rzpolovišči dljic in E? N dljici ležijo po vrsti točke, in E. Rzpolovišči dljic in E st med seoj oddljeni 7 cm, rzpolovišči dljic in E p 0 cm. Koliko je dolg dljic?
Skldnost trikotnikov 15 SKLNOST TRIKOTNIKOV Lik st skldn, če drug drugeg ntnko prekrijet. Trikotnik st skldn, če imt prom skldne strnice in prom skldne kote. Pri preverjnju skldnosti dveh trikotnikov je dovolj, če ugotovimo, li imt: prom skldne vse tri strnice, prom skldni strnici in prom sklden kot, ki g ti dve strnici oklept, prom skldno strnico in prom skldn tej strnici priležn kot, prom skldni strnici in prom sklden kot, ki leži dljši strnici nsproti. 63. Nčrtj kot. ) 30 ) 45 c) 75 č) 90 d),5 f) 150 f) 10 g) 47,5 h) 85 i) 315 64. Nčrtj trikotnik s prom skldnimi vsemi tremi strnicmi. 1 1 1 : 1 = 4 cm, 1 = 5 cm, c 1 = 6 cm : = 6 cm, = 4 cm, c = 5 cm Kkšn st trikotnik? Zpiši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 65. Nčrtj trikotnik, ki imt prom skldno strnico in kot o njej. 1 1 1 : c 1 = 6 cm, α 1 = 30, β 1 = 75 : = 6 cm, γ = 30, α = 75 Kkšn st trikotnik? Zpiši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 66. Nčrtj trikotnik s prom skldnim strnicm in kotom med njim. 1 1 1 : 1 = 6 cm, c 1 = 4 cm, β 1 = 60 : = 6 cm, c = 4 cm, α = 60 Kkšn st trikotnik? Zpiši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 67. Nčrtj trikotnik s prom skldnim dvem strnicm in ) kotom, ki leži dljši strnici nsproti: ) kotom, ki leži krjši strnici nsproti: 1 1 1 : 1 = 6 cm, 1 = 3 cm, β 1 = 90 1 1 1 : 1 = 5 cm, 1 = 4 cm, α 1 = 30 : c = 6 cm, = 3 cm, γ = 90 : c = 5 cm, = 4 cm, β = 30 Kkšn st trikotnik pod ) in kkšn pod )? Zpiši ustrezni izrek o skldnosti dveh trikotnikov. 68. Nčrtj trikotnik z dnimi podtki. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 3 cm, = 5 cm, c = 5,5 cm ) = 5 cm, = 7 cm, c = 6 cm c) c = 6 cm, α = 75, β = 45 č) = 5 cm, γ = 90, α =,5 e) = 6 cm, = 5 cm, α = 75 e) = 4 cm, = 3 cm, β = 45 g) = 6 cm, α = 75, γ = 15 g) = 5 cm, α = 15, β = 60
16 Skldnost trikotnikov 69. Nčrtj štirikotnik z dnimi podtki. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 5 cm, c = 6 cm, d = 4 cm, γ = 60, δ = 105 ) = 5 cm, = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm, e = 7 cm c) = 5 cm, = 4 cm, c = 3 cm, e = 7 cm, f = 6 cm d) = 7 cm, = 5 cm, c = 4 cm, = 30, f = 8 cm e) = = c = d = 4 cm, β = 60 f) = 6 cm, d = 5 cm, β = 10, γ = 75, δ = 60 70. Trikotnik n sliki st skldn. Koliko je velik kot n sliki? 10 cm 89 44 10 cm 89 71. Iz skldnih enkostrničnih trikotnikov sestvljmo trikotnike. 1. kork. kork 3. kork Koliko mjhnih trikotnikov uporimo v tretjem korku, koliko v četrtem in koliko v dvjsetem korku? 7. Trikotnik in st skldn. Točki in ležit n strnich ozirom tko, d st kot in skldn. okži, d je =. 73. N sliki je E = G, kot in FEG st skldn, prv tko st skldn kot in EGF. okži, d st trikotnik in EGF skldn. E G F 74. Točke,,, E in F ležijo, kot kže slik: =, F E, E F. okži, d je F = E. F E
Vzporednost in prvokotnost 17 VZPORENOST IN PRVOKOTNOST Kot z vzporednimi krki st enk li suplementrn. Če vzporednici sekmo s premico, doimo pre kotov z vzporednimi krki. 180-180 - 180-180 - 180-180 - Prvokotn projekcij točke n premico p je točk, v kteri prvokotnic skozi točko n premico p sek premico p. Prvokotn projekcij dljice n premico p je zveznic prvokotnih projekcij krjišč in n premico p. p p Simetrl dljice je premic, prvokotn n nosilko dljice, ki potek skozi rzpolovišče dljice. Simetrl kot je poltrk, ki rzpolvlj kot. Vsk točk simetrle je enko oddljen od točk in. Vsk točk simetrle je enko oddljen od oeh krkov. 75. Puščice kžejo smer sončnih žrkov. Slike preriši v zvezek in jih dopolni s senco vrne Ivne. V primerih (i) in (iv) gre z prvokotno projekcijo, sj so žrki prvokotni n podlgo. (i) (ii) (iii) (iv) 76. Puščice kžejo smer sončnih žrkov. Slike preriši v zvezek in jih dopolni s senco plice, ki jo neset vrn Ivn in vrn Žn. V primerih (i), (iii) in (iv) gre z prvokotno projekcijo, sj so žrki prvokotni n podlgo. (i) (ii) (iii) (iv)
18 Vzporednost in prvokotnost 77. Sliko preriši n krirst ppir. Nriši prvokotni projekciji točke n premici p in q. Projekcijo n premico p oznči p, n premico q p q. ) ) c) q p p q q p 78. Sliko preriši n krirst ppir. Nriši prvokotno projekcijo dljice n premico p. ) ) c) p p p d) e) f) p p p 79. n je točk M(, 4). Zpiši koordinte točke: ), ki je prvokotn projekcij točke M n ordintno os, ), ki je prvokotn projekcij točke M n scisno os, c), ki je prvokotn projekcij točke M n premico x = 1, d), ki je prvokotn projekcij točke M n premico y =, e) E, ki je prvokotn projekcij točke M n simetrlo lihih kvdrntov. 80. Točki (3, 5) in (, 6) st oglišči dljice. Kolikšn je dolžin dljice: 81. 8. ) 1 1, ki je prvokotn projekcij dljice n scisno os, ), ki je prvokotn projekcij dljice n ordintno os, c) 3 3, ki je prvokotn projekcij dljice n premico x = 1, d) 4 4, ki je prvokotn projekcij dljice n premico y = -, e) 5 5, ki je prvokotn projekcij dljice n simetrlo lihih kvdrntov? Točk je od premice p oddljen 14 cm. Točk je od premice p oddljen 10 cm, od točke p 5 cm. Izrčunj dolžino prvokotne projekcije dljice n premico p. Točk je od premice p oddljen cm. Točk leži n nsprotni strni premice p in je od nje oddljen 6 cm, od točke p 10 cm. Izrčunj dolžino prvokotne projekcije dljice n premico p. 83. 84. Nriši dljico, dolgo 5 cm, in konstruirj njeno simetrlo. Nriši trikotnik, ktereg strnice so dolge 5 cm, 5 cm in 4 cm, ter konstruirj simetrle njegovih strnic.
Vzporednost in prvokotnost 19 85. 86. Nriši kot velikosti 105 in konstruirj njegovo simetrlo. Nriši trikotnik s strnicmi, dolgimi 4 cm, 5 cm in 7 cm, ter konstruirj simetrle njegovih kotov. 87. oloči velikosti neznnih kotov. r ) ) c) s t p q 4 p q 138 p q r s t p q r r 8 p s q p q s q d) q e) q f) p 13 106 p q p 70 110 p q q r p s 47 n p q, r s, n s 88. oloči x. ) r ) x 1x + 7 q 7x q p p q 5x + 3 r p p q 89. Nriši točko n rvnini. Nriši množico točk, ki so od oddljene: ) 1 cm, ) njveč cm, c) več kot cm. 90. Nriši premico p n rvnini. Nriši množico točk, ki so od premice p oddljene: ) 1 cm, ) mnj kot 1 cm, c) vsj cm. 91. Nriši kot velik 75. Nriši točko, ki je od: 9. 93. 94. ) oeh krkov oddljen 1 cm, ) eneg krk oddljen cm, od drugeg p 3 cm. Tink je nrisl kot velik 60. N enem krku je izrl točko K. Prvokotno projekcijo točke K n drugi krk je oznčil L. Nto je točko L prvokotno projicirl n prvi krk in njeno projekcijo oznčil M. Kolikšen je kot MLK? Premici p in q se sekt pod kotom 3, premici r in p p pod kotom 7. Kolikšen je ostri kot med premicm r in q? Upoštevj vse možnosti. Nriši prvokotnik s podtki: = 6 cm in = 3 cm. Nj o prvokotn projekcij točke n digonlo, p nj o prvokotn projekcij točke n strnico. Nriši točki in.
0 Vzporednost in prvokotnost 95. n je prvokotnik s strnicm, dolgim = 5 cm in = cm. Koliko je dolg prvokotn projekcij: ) digonle n strnico, ) digonle n strnico, c) strnice n strnico, č) strnice n strnico? 96. n je kvdrt s strnico, dolgo 6 cm. Koliko je dolg prvokotn projekcij: ) digonle n strnico, ) strnice n digonlo, c) strnice n strnico? 97. n je enkostrnični trikotnik s strnico, dolgo 10 cm. Koliko je dolg prvokotn projekcij: 98. 99. 100. 101. 10. 103. 104. ) strnice n strnico, ) strnice n višino v c? n je prvokotni trikotnik s hipotenuzo, dolgo c. Kolikšn je vsot dolžin prvokotnih projekcij oeh ktet n hipotenuzo? Vzporednici p in q st med seoj oddljeni 3 cm. Nj ležit točk P n premici p in točk Q n premici q tko, d je dolžin dljice PQ enk 5 cm. Kolikšn je rzdlj med točko P in prvokotno projekcijo točke Q n premico p? Premici p in q st vzporedni. Premic s sek q pod kotom 4, premic t je prvokotn n p, premic u p je prvokotn n s. Izrčunj kot med premicm u in t. Premic p rzdeli rvnino n dve polrvnini Φ in Π. N polrvnini Φ nčrtj točko, ki je od premice p oddljen 3 cm. ) Nčrtj točki M in N, ki st od točke oddljeni cm, od premice p p,5 cm. ) N polrvnini Π nčrtj točki in, ki st od premice p oddljeni cm, od prvokotne projekcije točke n premico p p 4 cm. c) N polrvnini Π izeri točko K, ki je od premice p oddljen 1 cm ter ne leži n premici, ki potek skozi in prvokotno projekcijo točke n premico p. Nčrtj točko T n premici p, ki je enko oddljen od točk in K. Nriši premico p in točko, ki ne leži n p. Nčrtj prvokotnico n premico p, ki potek skozi točko. N krkih ostreg kot nriši enko dolgi dljici E in F. Poljuno točko n simetrli teg kot poveži z E in F. okži, d je E = F. n je kot z vrhom. Nriši simetrlo teg kot in n njej izeri točko. Prvokotnic n simetrlo skozi sek krk kot v točkh in. Pokži: trikotnik je enkokrk.
Toge preslikve 1 TOGE PRESLIKVE Zrcljenje čez premico 1.. 3. 4. p p p p Vrtenje 1.. 3. O O O Zrcljenje čez točko 1.. 3. 4. O O O O Množic je simetričn glede n premico p, če je enk svoji sliki pri zrcljenju čez premico p. Premic p je tedj simetrl množice. simetrl Množic je simetričn glede n točko O, če je enk svoji sliki pri zrcljenju čez točko O. Tog preslikv je preslikv, ki ohrnj rzdlje. Zrcljenje čez premico, vrtenje in zrcljenje čez točko so togi premiki li izometrije. 105. Slike preriši n krirst ppir v zvezek. Nriši zrclne slike likov glede n nrisno premico.
Toge preslikve 106. Slike preriši v zvezek. Nriši zrclne slike glede n premico p. p p p 107. 108. 109. 110. V prvokotnem koordintnem sistemu nriši točko (3, 4). Nriši še točke: 1, ki je zrcln slik točke glede n os x,, ki je zrcln slik točke glede n os y, 3, ki je zrcln slik točke glede n simetrlo lihih kvdrntov, 4, ki je zrcln slik točke glede n simetrlo sodih kvdrntov, in zpiši koordinte teh točk. V prvokotnem koordintnem sistemu nriši dljico s krjiščem (3, -) in (6, 1). Nriši dljice: 1 1, ki je zrcln slik dljice glede n os x,, ki je zrcln slik dljice glede n os y, 3 3, ki je zrcln slik dljice glede n simetrlo lihih kvdrntov, 4 4, ki je zrcln slik dljice glede n simetrlo sodih kvdrntov, in zpiši koordinte krjišč teh dljic. V prvokotnem koordintnem sistemu nriši trikotnik z oglišči (- 4, -1), (3, -) in (1, ). Nriši trikotnik: 1 1 1, ki je zrcln slik trikotnik glede n premico x = 4,, ki je zrcln slik trikotnik glede n premico y = -3, in zpiši koordinte oglišč teh trikotnikov. V prvokotnem koordintnem sistemu nriši kvdrt z oglišči (- 6, -3), (-, -3), (-, 1) in (-6, 1). Nriši kvdrt: 1 1 1 1, ki je zrcln slik kvdrt glede n premico x = -1,, ki je zrcln slik kvdrt glede n premico y = 4, in zpiši koordinte oglišč teh kvdrtov. 111. V koordintni sistem nriši zveznico dnih točk in zpiši enčo simetrle doljene dljice. ) (3, 6) in (3, -6) ) (-3, ) in (3, ) c) (1, 4) in (1, ) d) Č(-3, 5) in Č (-1, 5) d) (, 3) in (3, ) e) E(-3, 4) in E (-4, 3) 11. Nriši: ) trikotnik s podtki = 5 cm, = 4 cm in c = 4 cm ter g prezrcli čez strnico c, ) enkostrnični trikotnik s 3 cm dolgo strnico ter g prezrcli čez strnico, c) kvdrt s strnico, dolgo cm, in g prezrcli čez strnico, d) prvokotnik s strnicm, dolgim = 4 cm in = cm, in g prezrcli čez digonlo.
Toge preslikve 3 113. Slike preriši n krirst ppir. Nriši vse simetrle. 114. Slike preriši n krirst ppir. Nriši vse simetrle. Upoštevj tudi rve. 115. Kter slik prikzuje vse simetrle: ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. Noen izmed nvedenih. c) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. d) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. e) (i) (ii) (iii) (iv) (v) Noen izmed nvedenih. 116. Slike preriši n krirst ppir. Zvrti lik: ) z 90 ) z 90 okrog, okrog, c) z -180 okrog, d) z 90 okrog Č, e) z -90 okrog. Č
4 Toge preslikve 117. 118. V koordintnem sistemu nriši točko (3, 0). Nriši točke: 1, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 90 okrog koordintneg izhodišč,, ki jo doiš, če zvrtiš točko z -90 okrog koordintneg izhodišč, 3, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 180 okrog koordintneg izhodišč, 4, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 90 okrog točke S(3, 4), 5, ki jo doiš, če zvrtiš točko z 180 okrog točke T(, 0), in zpiši koordinte doljenih točk. V koordintnem sistemu nriši dljico s krjiščem (, 1) in (4, 1). Nriši dljice: 1 1, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z 90 okrog koordintneg izhodišč,, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z -180 okrog koordintneg izhodišč, 3 3, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z 90 okrog točke S(3, 1), 4 4, ki jo doiš, če zvrtiš dljico z 180 okrog točke M(-, 1), in zpiši koordinte krjišč doljenih dljic. 119. Nriši: ) trikotnik s podtki = 6 cm, = 4 cm in c = 5 cm ter g zvrti z 30 okrog oglišč, ) enkostrnični trikotnik s 5 cm dolgo strnico ter g zvrti z 45 okrog oglišč, c) prvokotnik s podtki = 6 cm in = 3 cm ter g zvrti okrog središč z 10, d) kvdrt s 4 cm dolgo strnico ter g zvrti z 60 okrog oglišč. 10. Koliko rotcijskih simetrij imjo nslednje figure? Rotcijskih simetrij je toliko, kolikor je kotov, velikih njveč 360, pri kterih doimo figuro, enko dni figuri, ko jo zvrtimo z tk kot. 11. Koliko rotcijskih simetrij imjo dne figure? 1. Slike preriši n krirst ppir. Nriši središče vrtenj S in določi kot vrtenj, ki preslik modri lik v rjveg. ) ) c) d) 13. Slike preriši n krirst ppir in figure prezrcli čez točko M. ) ) c) d) M M M M 14. V koordintnem sistemu nriši kvdrt z oglišči (4, 1), (5, 1), (5, ) in (4, ). Prezrcli g čez ordintno os in zrclno sliko oznči. Nto kvdrt prezrcli čez scisno os in sliko oznči. Ti dve zrcljenji lhko ndomestimo z vrtenjem. Zpiši središče vrtenj in velikost kot, z ktereg vrtimo.
Toge preslikve 5 15. 16. 17. 18. 19. V koordintnem sistemu nriši trikotnik z oglišči (3, 1), (1, 1) in (, ). Zrcli g čez scisno os, sliko zvrti z 90 okrog koordintneg izhodišč in novo sliko prezrcli čez scisno os. Ktero vrtenje i ndomestilo vse tri preslikve? Zpiši središče vrtenj in velikost kot, z ktereg vrtimo. V koordintnem sistemu nriši trikotnik z oglišči (-4, -3), (-1, -1) in (-, 5). Prezrcli g čez premico x = 1 in sliko oznči. Trikotnik prezrcli čez premico y = 1 in sliko oznči. Ti dve zrcljenji lhko ndomestimo z vrtenjem. Zpiši središče vrtenj in velikost kot, z ktereg vrtimo. Zmisli si poljuno točko M v koordintnem sistemu. Nj o M 1 zrcln slik točke M glede n simetrlo lihih kvdrntov. Nj o M zrcln slik M 1 glede n scisno os. Nj o M 3 točk, ki jo doimo, če zvrtimo M z -90 okrog koordintneg izhodišč. Nj o M 4 zrcln slik M 3 glede n koordintno izhodišče. Kkšn je točk M 4? Pokži. Zmisli si poljuno točko M v koordintnem sistemu. Nj o M 1 zrcln slik točke M glede n ordintno os. Nj o M točk, ki jo doimo, če zvrtimo M 1 z 90 okrog koordintneg izhodišč. Nj o M 3 zrcln slik točke M glede n simetrlo sodih kvdrntov. Kkšn je točk M 3? Pokži. n je kvdrt. Točko prezrcli čez točko. Tko doljeno točko oznči z E. okži, d st trikotnik E in E skldn. Kkšen je trikotnik E? 130. * Krog rzdelimo s premicmi p, q, r, s n osem enko velikih omočij, ki jih oznčimo, kot prikzuje slik. Nj o M poljun točk v omočju, oznčenim s številko 8. V kterem omočju je slik točke M, če: ) 100-krt izvedemo zrcljenje, in sicer njprej točko M prezrclimo čez premico p, njeno sliko prezrclimo čez q, novo sliko čez r, doljeno sliko čez s, novo sliko čez p, njeno sliko čez q, ) točko M zvrtimo z 9090 v pozitivni smeri okoli središč krog, c) točko M zvrtimo 63-krt z 30 v negtivni smeri okrog središč krog? s 4 5 r 3 6 7 1 8 q p 131. * ekle je n zčetku 1 m dolge grede rož in je od nje oddljeno 6 m, fnt p n koncu grede, in je od nje oddljen 3 m. ekle mor iti do grede, utrgti rožo in jo dti fntu. Kolikšn je njkrjš pot, ki jo mor prehoditi dekle? 6 m 1 m 3 m 13. * Vsko rotcijo lhko ndomestimo z dvem zrcljenjim čez premico. Pokži.
6 Trikotnik TRIKOTNIK Notrnji koti so α, β, γ: α + β + γ = 180 Zunnji koti so α 1, β 1, γ 1 : α 1 = 180 α, β 1 = 180 β, γ 1 = 180 γ, α 1 + β 1 + γ 1 = 360 Nsproti njdljši strnici leži njvečji kot, nsproti njkrjši p njmnjši kot. γ 1 γ Vsk strnic je krjš od vsote dolžin drugih dveh strnic. Vsk strnic je dljš od solutne vrednosti rzlike dolžin drugih dveh strnic. α 1 α c β β 1 Znmenite črte trikotnik Težiščnic Višin Simetrl strnice Simetrl kot v c t c c c je dljic od rzpolovišč strnice do nsprotneg oglišč. je dljic, prvokotn n nosilko strnice in potek od nosilke te strnice do nsprotneg oglišč. c c je premic, prvokotn n strnico in potek skozi rzpolovišče te strnice. α α je poltrk, ki rzpolvlj kot. Znmenite točke trikotnik Težišče T Višinsk točk V Središče očrtne krožnice S O c t c T t c t je presečišče težiščnic. Težišče deli težiščnico v rzmerju 1 :. v c S O v V v c c je presečišče nosilk višin. je presečišče simetrl strnic. Središče včrtne krožnice S V α α γ γ S V je presečišče simetrl kotov. β β 133. V trikotniku je α = 36 15 kotov. in γ = 3 33. Izrčunj neznne velikosti notrnjih in zunnjih 134. V trikotniku je 1 = 19 13 in g = 7 4. Izrčunj neznne velikosti notrnjih in zunnjih kotov. 135. 136. Kot o vrhu enkokrkeg trikotnik je velik 4 45. Izrčunj neznne velikosti notrnjih in zunnjih kotov. n je trikotnik. Notrnji kot trikotnik o oglišču je velik 5 prveg kot, zunnji kot pri oglišču p 3 prveg kot. Koliko so veliki posmezni notrnji in zunnji koti? Izrzi v stopinjh.
Trikotnik 7 137. 138. Prvokotni trikotnik s hipotenuzo c in kotom = 40 rzdelimo z v c n dv trikotnik. Izrčunj velikosti kotov nstlih dveh trikotnikov. Nriši sliko. Velikosti notrnjih kotov trikotnik so v rzmerju : 3 : 4. Kolikšn je rzlik med velikostjo njvečjeg zunnjeg in njmnjšeg notrnjeg kot teg trikotnik? 139. Pokži, d je trikotnik, ktereg velikosti kotov so v rzmerju : 7 : 9, prvokoten. 140. 141. 14. Velikosti ostrih kotov prvokotneg trikotnik st v rzmerju : 7. oloči velikosti notrnjih kotov trikotnik. Kot trikotnik je z 0 večji od kot, kot g p je z 1 mnjši od dvkrtnik kot. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik. Notrnji kot pri oglišču trikotnik je enk polovici zunnjeg kot pri. Zunnji kot pri oglišču je enk štirikrtniku notrnjeg kot pri oglišču. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik. 143. Koti,, g, d, e so oznčeni n sliki. Izrčunj + + g + d - e. g d e 144. Pokži: ) vsot velikosti notrnjih kotov trikotnik je enk 180, ) vsot velikosti zunnjih kotov trikotnik je enk 360. 145. li ostj trikotnik s podtki: ) = 6 cm, = 8 cm, c = 15 cm, ) = 36 cm, = 38 cm, c = 45 cm, c) = 100 cm, = 145 cm, c = 40 cm, č) = 4 cm, = 4,5 cm, c = 8 cm? 146. 147. 148. Strnice trikotnik so dolge celo število centimetrov. Strnic je dolg 6 cm, strnic c p je z cm krjš. oloči vse možne dolžine strnice. Zpiši vse možne celoštevilske dolžine strnice trikotnik s podtkom c = 18 cm in = 10 cm. N vrvici je enkomerno rzporejenih 7 vozlov. Koliko rzličnih trikotnikov lhko nredimo iz vrvice, če morjo iti v ogliščih trikotnik vozli in je oseg trikotnik enk dolžini vrvice?
8 Trikotnik 149. * N vrvici so enkomerno rzporejeni vozli. Iz vrvice olikujemo enkokrke trikotnike, kterih oglišč so lhko le v vozlih in je oseg trikotnik enk dolžini vrvice. Koliko enkokrkih trikotnikov lhko sestvimo, če je n vrvici: 150. ) 5 vozlov, ) 6 vozlov, c) 7 vozlov, č) 8 vozlov, d) 15 vozlov? Geotrikotnik ni mogoče podpirti z enim prstom tko, kot je rzvidno s slike, d i il v rvnovesju. Kko imenujemo točko, v kteri se prst dotik geotrikotnik, ko je le-t v rvnovesju? 151. N spletu poišči zemljevid Slovenije, g ntisni in izreži. Vzemi iglo, vnjo npelji nit in n nit priveži utež. Šlono Slovenije n več koncih preodi tik o rou, drži le iglo, d se zemljevid in nitk postvit v rvnovesno lego, in nriši, kje potek vrvic. Ko nrišeš vsj dve tki črti, doiš težišče Slovenije. Ktero mesto je težišče Slovenije? 15. 153. Nriši štiri skldne trikotnike s strnicmi, dolgimi 5 cm, 4 cm in 6 cm. Prvemu konstruirj težišče, drugemu višinsko točko, tretjemu očrtno krožnico in četrtemu včrtno krožnico. Nriši štiri skldne trikotnike s podtki = 3 cm, = 60, c = 7 cm. Prvemu konstruirj težišče, drugemu višinsko točko, tretjemu očrtno krožnico in četrtemu včrtno krožnico. 154. 155. 156. 157. n st kot = 45 in = 68 trikotnik. Kolikšen kot oklept simetrli kotov s in s g? n st kot = 43 in g = 55 trikotnik. Kolikšen ostri kot oklept v c in v? Simetrl kot g trikotnik sek strnico v točki S. Nj o = 40 in = 70. Izrčunj S. Pokži, d st simetrl notrnjeg kot in simetrl zunnjeg kot o istem oglišču trikotnik prvokotni. 158. Nčrtj trikotnik s podno višino. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 5 cm, v c = 3 cm, = 75 ) = 6 cm, v = cm, g = 90 c) c = 5 cm, v c = 3 cm, = 4 cm č) = 5 cm, = 3 cm, v = cm e) v = 4 cm, = 60, g = 75 e) = 6 cm, v c = 4 cm, = 105 g) = 5 cm, v = 4 cm, v c = 3 cm g) v = 3 cm, v c = 4 cm, = 60 159. Nčrtj trikotnik s podno težiščnico. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 6 cm, c = 3 cm, t = 4 cm ) = 5 cm, t = 4 cm, g = 30 c) c = 6 cm, t c = 4 cm, v c = 3 cm č) t c = 5 cm, v = 6 cm, = 75 e) t c = 5 cm, v c = 4 cm, = 4,5 cm e) t c = 5 cm, v = 4 cm, = 30
Trikotnik 9 160. Nčrtj trikotnik s podnim odsekom simetrle kot v trikotniku. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 5 cm, = 75, s = 4 cm ) = 4 cm, g = 90, s = 4,5 cm 161. Nčrtj trikotnik s podnim polmerom očrtne krožnice. Npiši postopek nčrtovnj. 16. ) R = 3 cm, = 5 cm, = 3 cm ) R = 4 cm, c = 6 cm, v c = cm c) R =,5 cm, = 4 cm, g = 30 č) R = 3 cm, =, c = 4 cm Nčrtj enkokrki trikotnik ( = ) z dnimi podtki, pri čemer je r polmer trikotniku včrtne krožnice. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 4 cm, v c = 5 cm ) v c = 4 cm, g = 60 c) r = 3 cm, g = 75 163. Nčrtj prvokotni trikotnik (prvi kot pri ) z dnimi podtki. Npiši postopek nčrtovnj. 164. ) = 3 cm, c = 5 cm ) = 3 cm, s = 3,5 cm Nčrtj enkostrnični trikotnik z dnim podtkom, pri čemer je r polmer trikotniku včrtne krožnice, R p polmer očrtne krožnice. Npiši postopek nčrtovnj. ) v = 3 cm ) R = 3 cm c) r = cm 165. * Nčrtj trikotnik z dno vsoto dolžin strnic. Npiši postopek nčrtovnj. ) + c = 10 cm, = 30, = 4 cm ) + c = 10 cm, g = 30, = 4 cm c) + c = 8 cm, = 60, = 45 č) + c = 7 cm, v = 3 cm, = 4 cm e) + + c = 1 cm, = 30, = 75 e) + + c = 10 cm, v c = 4 cm, = 75 166. * Nčrtj trikotnik z dno rzliko dolžin strnic. Npiši postopek nčrtovnj. ) c - = cm, = 30, v c = 4 cm ) - c = cm, g = 30, v = 4 cm c) - c = 1 cm, g = 60, = 3 cm č) - c = 1 cm, g = 45, = 75 167. 168. okži, d je nosilk težiščnice n strnico trikotnik enko oddljen od oglišč in. okži, d st višini n krk enkokrkeg trikotnik enko dolgi. 169. 170. V trikotniku je =. Simetrl kot sek strnico v točki E, simetrl kot p strnico v točki F. ljici E in F se sekt v točki. Izrzi z notrnje kote štirikotnik EF. V trikotniku je = 4. Simetrl kot sek strnico v točki E, simetrl kot E strnico v točki, simetrl kot E p strnico v točki F. Izrzi z notrnje kote trikotnikov EF in F. 171. Izrčunj velikost kot, če je = E, E = 40, zunnji kot o oglišču trikotnik p je velik 150. 17. Izrčunj velikost kot, če je = E, E = 50, zunnji kot o oglišču trikotnik p je velik 140. E E
30 Trikotnik 173. okži, d st dljici in skldni, če je = E, = E ter st kot in suplementrn. E F 174. * Nriši trikotnik. Konstruirj še težišče T, višinsko točko V, očrtno krožnico in njeno središče S, včrtno krožnico in njeno središče I. Vse pomožne točke, premice, dljice in opise skrij. Premikj oglišč in opiši trikotnik, v kterem: ) ležijo vse štiri znčilne točke trikotnik n isti premici, ) vse štiri znčilne točke trikotnik sovpdjo, c) je višinsk točk izven trikotnik, S T I V d) je središče očrtne krožnice izven trikotnik. ljico z ogliščem S in V imenujemo Eulerjev dljic. Premikj oglišč trikotnik in poskušj ugotoviti: e) kkšn je leg točke T glede n Eulerjevo dljico, f) kolikšno je rzmerje ST : T V. 175. 176. 177. Simetrl prveg kot in višin n hipotenuzo prvokotneg trikotnik oklept kot 15. Kolikšn st ostr kot trikotnik? Višin iz oglišč enkokrkeg trikotnik z vrhom rzdeli kot pri oglišču tko, d je eden izmed nstlih kotov z 30 večji od drugeg. Kolikšni so koti trikotnik? Velikosti zunnjeg kot o osnovnici in zunnjeg kot o vrhu enkokrkeg trikotnik st v rzmerju 5 :. Kolikšni so koti teg trikotnik? 178. * N podljšku osnovnice enkokrkeg trikotnik izeri poljuno točko. Pokži, d rzlik med oddljenostm točke od nosilk krkov trikotnik ni odvisn od izire točke. 179. * N rvnini st nrisni sekjoči se premici p in q ter točk, ki ne leži n teh premich. Nčrtj trikotnik z ogliščem, ktereg nosilki simetrl notrnjih kotov pri in st premici p in q. 180. * N rvnini st nrisni sekjoči se premici p in q ter točk, ki ne leži n teh premich. Nčrtj trikotnik, ktereg nosilki težiščnic iz oglišč in st premici p in q, p je rzpolovišče strnice. 181. ne nekolinerne točke, E in F so rzpolovišč strnic trikotnik. Nčrtj trikotnik. 18. ne so nekolinerne točke, E in T. Točki in E st rzpolovišči dveh strnic, T p je težišče trikotnik. Nčrtj trikotnik.
Oodni in središčni kot 31 OONI IN SREIŠČNI KOT Koti v krogu Središčni kot je dvkrt tolikšen kot oodni kot nd istim lokom. Vsi oodni koti nd istim lokom so enko veliki. Kot v polkrogu je prvi kot. Tetiv in tngent Tetiv je zveznic dveh točk n krožnici. Tngent je premic, ki se dotik krožnice. S S Simetrl tetive potek skozi središče krožnice. Tngent je prvokotn n polmer, ki povezuje središče krožnice in dotiklišče tngente. 183. Nriši tri oodne kote M, L in K nd istim lokom ter primerjj njihove velikosti. ) Koliko st velik kot L in M, če je kot K velik 30? ) Kkšni so oodni koti nd istim lokom? M S c) Točki in nstvi tko, d o kot K velik 30. Točko M prenesi n krjšeg izmed oeh lokov med in. Tko L je M oodni kot nd dljšim izmed oeh lokov s krjiščem in. Koliko je tedj velik kot M? d) Kkšn zvez velj med oodnim kotom nd mnjšim lokom, ki g določt dve točki, in oodnim kotom nd večjim lokom, ki g določt isti dve točki? K 184. Nriši središčni in oodni kot nd istim lokom ter primerjj njuni velikosti. ) Kolikšen je središčni kot, če je oodni kot nd istim lokom velik 40? ) Kolikšen je oodni kot, če je središčni kot nd istim lokom velik 40? c) Kkšn je zvez med središčnim in oodnim kotom nd istim lokom? S
3 Oodni in središčni kot 185. Nriši kot v polkrogu ter opzuj njegovo velikost. V ) Kolikšen je kot v polkrogu? ) Kje leži središče prvokotnemu trikotniku očrtne krožnice? Kolikšen je njen polmer? S c) Kolikšn je dolžin težiščnice n hipotenuzo v prvokotnem trikotniku? 186. Kot v rdinih zpiši s stopinjmi. ) π ) 3π 4 c) 7π 6 č),3 d) 1,5 e) 0, 187. Kot v stopinjh zpiši z rdini. ) 30 ) 45 c) 135 č) 1 d) 360 e) 70 Zunnji kot pri oglišču trikotnik je velik 11π 18, zunnji kot pri oglišču p 13π 188.. Kolikšni so 18 notrnji koti trikotnik? 189. oloči velikost kot. ) ) c) d) 3 S 80 S 7 S S 81 e) f) g) h) 50 S 180 46 S 0 S 100 S i) j) k) l) 0 30 S S S 10 60 S 100 190. Vsot velikosti središčneg in oodneg kot nd istim lokom je 56 30. Koliko je velik vsk izmed njiju? 191. 19. 193. Velikosti središčneg in oodneg kot nd istim lokom se rzlikujet z 45 3 3. Koliko je velik vsk izmed njiju? N krožnici ležit točki in, ki jo delit n dv lok, kterih dolžini st v rzmerju 4 : 5. Kolikšen središčni kot pripd večjemu loku in kolikšen oodni kot pripd mnjšemu loku? Krjišči tetive delit krožnico n dv lok, kterih dolžini st v rzmerju 1 : 4. Koliko je velik oodni kot nd mnjšim izmed oeh lokov?
Oodni in središčni kot 33 194. 195. 196. 197. 198. 199. Trikotniku očrtmo krožnico. Oglišč, in rzdelijo krožnico n tri loke, kterih dolžine so v rzmerju 3 : 4 :. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik. Enkokrkemu trikotniku z vrhom očrtmo krožnico. Krku pripd središčni kot 50. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik. N krožnici izeremo štiri točke,, in. Rzmerje dolžin lokov je enko : : : = 5 : 11 : 10 : 10. Izrčunj velikosti notrnjih kotov štirikotnik. V krogu s polmerom 3 cm nrišemo 3 cm dolgo tetivo. Pod kolikšnim kotom jo vidimo iz točk n dljšem loku in pod kolikšnim iz točk n krjšem loku? Točki in rzdelit krožnico n lok, kterih dolžini st v rzmerju : 7. Kolikšen je njmnjši neničelni kot, pod kterim vidimo dljico iz točk n krožnici? Točki in rzdelit krožnico n lok, kterih dolžini st v rzmerju 4 : 5. Kolikšen je njvečji kot, pod kterim vidimo dljico iz točk n krožnici? 00. Nriši 5 cm dolgo dljico. Nto nriši vse točke, iz kterih vidimo dljico pod dnim kotom. ) 60 ) 10 01. 0. Zslon v kinu je širok 5 m. Nriši, kje nj sedijo gledlci, d odo videli zslon pod kotom 30. Riši tloris, in sicer v rzmerju 1 : 100. Nriši prvokotni trikotnik s prvim kotom pri in s podno višino n hipotenuzo. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 5 cm, v c = cm ) R = 3 cm, v c = cm c) t c = 4 cm, v c = 3 cm 03. * Nriši trikotnik. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 6 cm, v = 4 cm, v = 5 cm ) = 6 cm, v c = 5,5 cm, v = 5 cm 04. * Nriši trikotnik s podno strnico in nsprotnim kotom. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 6 cm, v c = cm, g = 60 ) = 5 cm, t = 4 cm, = 30 c) = 5 cm, v = 1 cm, = 10 č) = 6 cm, t =,5 cm, = 105 05. Iz točke M nrišemo tngenti t 1 in t n krožnico s središčem S. Tngenti se dotikt krožnice v točkh in. oloči velikost kot. ) ) c) d) S t 5 M S t 1 6 M t 1 S t 60 M t 1 S t 1 t 70 M t 06. Vzemi kozrec z okroglo odprtino, postvi g n ppir in nriši krožnico. Nčrtj središče krožnice. Npiši postopek nčrtovnj.
34 Oodni in središčni kot 07. Nriši 3 poljune nekolinerne točke. Nčrtj krožnico, ki potek skoznje. 08. Nriši premico. Konstruirj krožnici s polmerom cm in 3 cm, ki se premice dotikt v isti točki in ležit n nsprotnih regovih premice. 09. Nriši krožnico s polmerom, dolgim 3 cm. N njej izeri točko M. V točki M nčrtj tngento. 10. Nriši 7 cm dolgo dljico in krožnico s središčem in polmerom 4 cm. Iz točke nčrtj tngenti n krožnico. 11. Nriši krožnico s polmerom, dolgim 3 cm. Nčrtj tngenti n krožnico, ki oklept kot 60. 1. Krjišči tetive določt središčni kot 66. Izrčunj velikost ostreg kot, ki g oklep tetiv s tngento n krožnico v točki. 13. Nčrtj kot 75 in krožnico s premerom, dolgim 6 cm, ki se dotik oeh njegovih krkov. 14. Iz točke st nrisni tngenti n krožnico (središče krožnice je v točki S). Tngenti se dotikt krožnice v točkh M in N. N ) okži, d st dljici M in N skldni. S ) Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik MNS, če je kot MN velik 80. M 15. N krožnici s središčem S in premerom je tk točk, d je kot S velik 30. Skozi točko je nrisn tngent n krožnico, ki sek nosilko dljice v točki. Kolikšni so koti trikotnik S? Pomgj si s sliko. Nčrtj iz točke še drugo tngento z dotikliščem E. Kolikšen je kot E? S 16. n je tetiv krožnice s središčem S. V točki je nrisn tngent. Nrisn je prvokotnic n polmer S skozi S, ki sek tngento v točki, nosilko tetive p v točki. Kot je velik 4. okži, d je =. Pomgj si s sliko. li je = tudi, če je velikost kot drugčn? S 17. Točke M, N in T ležijo n krožnici s središčem v točki S. Nj o MSN = 8, MT = MR. Izrčunj velikosti notrnjih in zunnjih kotov trikotnik MRT. S T M N R
Oodni in središčni kot 35 18. * n je krožnic s središčem S in polmerom, dolgim 10 cm. Iz točke, ki je od točke S oddljen 0 cm, nrišemo tngento n krožnico. otiklišče oznčimo z. Koliko je prvokotn projekcij točke n dljico S oddljen od točke? 19. * n je krožnic s središčem S in polmerom r. Nj o poljun tetiv te krožnice. Tetivo podljšmo z dolžino r in krjišče oznčimo z E, tko d leži med in E. Nosilk dljice SE sek krožnico v točki F tko, d S leži med F in E. okži, d je velikost kot SE enk tretjini velikosti kot FS. 0. n je krožnic s središčem S in polmerom r = SM. ljico SM podljšj z r = MN tko, d M leži med N in S. Iz točke N položi tngenti n krožnico. Kolikšen je kot med tngentm? 1. * n je krožnic K. Nj o njen premer, p tk točk n krožnici, d je kot med dljico in dljico enk 30. V točki položimo tngento n krožnico. T sek nosilko dljice v točki. Izrčunj velikost kot. Kkšne vrste trikotnik je?. 3. Kot, ki g oklept višin in težiščnic n hipotenuzo prvokotneg trikotnik, je enk rzliki velikosti ostrih kotov teg trikotnik. okži. Eden izmed kotov prvokotneg trikotnik je velik 15. Kolikšno je rzmerje med dolžino hipotenuze in dolžino višine n hipotenuzo teg trikotnik? 4. * Pokži: Kot med tetivo in tngento n krožnico skozi krjišče tetive je enk oodnemu kotu nd tetivo. tetiv tngent
36 Štirikotniki ŠTIRIKOTNIKI TRPEZ PRLELOGRM ROM d c s f e f e je 4-kotnik, ki im en pr vzporednih strnic, in c st osnovnici, in d st krk, s je srednjic trpez. je trpez, ki im dv pr vzporednih strnic, digonli se rzpolvljt. PRVOKOTNIK KVRT ELTOI d d je prlelogrm, ki im vse 4 kote prve, digonli se rzpolvljt in st enko dolgi. d d je prvokotnik, ki im vse 4 strnice enko dolge, je rom, ki im vse štiri kote prve, digonli st prvokotni, enko dolgi in se rzpolvljt. je prlelogrm, ki im 4 enko dolge strnice, digonli se rzpolvljt in sekt prvokotno. f e e e f e je 4-kotnik, ki im dv pr enko dolgih sosednjih strnic, nosilk digonle, ki je simetrijsk os deltoid, rzpolvlj drugo digonlo. TETIVNI ŠTIRIKOTNIK TNGENTNI ŠTIRIKOTNIK PRVILNI n-kotnik d d c g je 4-kotnik, ki mu lhko očrtmo krožnico, velj: + g = + d = 180. d c je 4- kotnik, ki mu lhko včrtmo krožnico, velj: + c = + d. F E je n-kotnik, ki im vse strnice enko dolge in vse notrnje kote enko velike, α = (n) 180 n. 5. oloči logično vrednost izjve. ) Vsk trpez je prlelogrm. ) Vsk prlelogrm je trpez. c) Vsk prlelogrm s skldnimi strnicmi je rom. d) igonl vskeg enkokrkeg trpez rzdeli t trpez n dv skldn trikotnik.
Štirikotniki 37 6. e) Vsk prlelogrm s skldnimi koti in skldnimi strnicmi je kvdrt. f) Če st nsprotni strnici štirikotnik vzporedni, je štirikotnik prlelogrm. g) Nsprotni strnici prlelogrm st vzporedni in skldni. h) Kot o isti strnici prlelogrm st suplementrn. i) igonl prlelogrm rzpolvlj kot o ogliščih, ki ju povezuje. j) igonl rom rzpolvlj kot o ogliščih, ki ju povezuje. k) igonli prlelogrm se rzpolvljt. oloči neznne velikosti kotov: ) prlelogrm, ) trpez, c) enkokrkeg trpez, d 4 13 c g d c 135 d d 50 d) deltoid, e) prvokotnik, f) rom. e d g 65 140 110 15 7. Izrčunj dolžine strnic enkokrkeg trpez z osegom 6 cm, v kterem je strnic z cm dljš od strnice c, dolžin strnice p je enk polovici dolžine strnice c. 8. Nčrtj kvdrt. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 5 cm ) = e = 6 cm c) * e = + cm č) * e + = 8 cm 9. Nčrtj prvokotnik. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 6 cm, = cm ) = 5 cm, e = 6 cm c) = 6 cm, (e, f) =60, > č) e = 6 cm, (e, f) =60, > e) = 3 cm, = 30 e) = 6 cm, = 15 g) * + = 10 cm, e = 8 cm g) * - = cm, e = 5 cm i) * + e = 10 cm, = 3 cm i) * e - = cm, = 6 cm 30. Nčrtj prlelogrm. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 6 cm, = cm, = 60 ) = 6 cm, = cm, = 75 c) = 6 cm, = cm, e = 7 cm č) = 5 cm, = 4 cm, f = 6 cm e) = 6 cm, = 4 cm, v = 3 cm e) e = 6 cm, = 10, v = 3 cm g) = 5 cm, e = 6 cm, f = 8 cm g) * = 6 cm, v = 3 cm, = 30 i) * f = 6 cm, = 60, e = 10 cm i) * e = 10 cm, f = 6 cm, = 45 k) * + = 10 cm, v = 3 cm, = 30 k) * - = 3 cm, v = 3 cm, e = 6 cm m) * + f = 8 cm, = 10, v = 3 cm m) f - = 3 cm, = 60, = 6 cm
38 Štirikotniki 31. Nčrtj rom. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 4 cm, = 60 ) = 5 cm, e = 3 cm c) = 4 cm, f = 5 cm č) e = 4 cm, f = 6 cm e) = 4 cm, v = 3 cm e) e = 6 cm, v = cm g) * e = 6 cm, = 75 g) * e + = 6 cm, = 60 i) * = 4 cm, e + f = 10 cm i) * f - = cm, = 10 3. Nčrtj trpez. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 7 cm, v = 3 cm, = 3,5 cm, d = 4,5 cm ) = 6 cm, = 4 cm, = 60, d = 3 cm c) = 7 cm, = 4 cm, e = 6 cm, c = 3 cm d) = 6 cm, = 45, g = 10, v = 3 cm e) = 8 cm, = 4 cm, c = 3 cm, d = 5 cm f) = 6 cm, = 45, = 60, c = 3 cm g) * = 7 cm, v = 3 cm, c = 4 cm, = 60 h) * = 7 cm, v = 4 cm, e = 7 cm, = 75 i) * + c = 10 cm, = 75, = 60, v = 3 cm j) * + + d = 10 cm, = 60, = 45, v = cm k) * = d, - e = 1 cm, v = 4 cm, = 60 l) * = d, = 6 cm, v = 4,5 cm, = 60 33. Nčrtj deltoid s simetrlo. Npiši postopek nčrtovnj. ) = 6 cm, = 3 cm, = 10 ) = 5 cm, = 4 cm, e = 6 cm c) e = 4 cm, f = 6 cm, = 3 cm č) = 5 cm, e = 4 cm, f = 7 cm e) = 5 cm, = 3 cm, f = 6 cm e) f = 7 cm, = 30, d = 60 g) e = 5 cm, = 30, d = 60 g) * e = 3 cm, f = 7 cm, = 10 i) * + e = 8 cm, = 3 cm, = 30 i) * - = 3 cm, f = 7 cm, = 10 34. Nčrtj trikotnik. Npiši postopek nčrtovnj. ) c = 6 cm, v c = 3 cm, t = 4 cm ) = 4 cm, t = 5 cm, = 75 c) = 4 cm, c = 4 cm, t = 3,5 cm č) = 5 cm, = 3 cm, t c = 3 cm 35. Izrčunj neznne velikosti kotov v tetivnem štirikotniku. ) ) d d g 10 130 91 11
Štirikotniki 39 36. Izrčunj neznno dolžino strnice v tngentnem štirikotniku. ) ) d = 7 cm d = 5 cm = 6 cm c c = 3 cm = 5 cm 37. Izrčunj velikost kot x. ) ) c) x E 130 100 d) e) f) x 150 = cm 65 x = S S 30 = x 50 S 46 x x 0 S = 38. Pokži, d je štirikotnik LMK tetivni. K L M N 39. * Krožnici K 1 in K se sekt v točkh in. Skozi točko položimo premico, ki sek krožnico K 1 v točkh in, krožnico K p v točkh in. Skozi točko položimo premico, ki sek krožnico K 1 v točkh E in, krožnico K p v točkh F in. okži, d st dljici E in F vzporedni. 40. 41. Nj o K ostrokotnemu trikotniku očrtn krožnic. Nosilk višine n strnico c sek krožnico v točki, višino n strnico p v točki E. okži, d je trikotnik enkokrk. Tdej ovld kuhnje. Lonec postvi n mizo, mu prisloni dve enko dolgi slmici, nož in kuhlnico tko, d se njihovi zčetki in konci stikjo, kot prikzuje slik. Koliko je dolg slmic, če je nož dolg 13 cm, kuhlnic p 31 cm?
40 Štirikotniki 4. lj, Lin, Jk in Niko se postvijo v krog, kot prikzuje slik. Jk in Lin držit npeto črno vrvico, Jk in Niko držit npeto modro vrvico, Jk in lj p rjvo vrvico. lj vidi modro vrvico pod zornim kotom 40, črno vrvico p pod zornim kotom 100. Pod kolikšnim kotom: Niko S Lin ) Lin vidi modro vrvico, ) Niko vidi črno vrvico, c) Lin vidi modro vrvico, če stopi n sredino krog? Jk lj 43. * n je krožnic s središčem S. Iz točke st n krožnico nrisni tngenti, ki se krožnice dotikt v točkh in. Točk je poljun točk n mnjšem izmed oeh lokov, ki ju določt in. Tngent skozi sek S nrisni tngenti v točkh E in F. okži, d velikost kot FSE ostj enk, če točko premikmo po krjšem loku. E F 44. Koliko je velik notrnji kot prvilneg: ) 5-kotnik, ) 10-kotnik, c) 66-kotnik? 45. Kteri prvilni n-kotnik im notrnji kot velik 17? 46. Koliko je velik zunnji kot prvilneg: ) 7-kotnik, ) 1-kotnik, c) 60-kotnik? 47. Kteri prvilni n-kotnik im zunnji kot velik 36? 48. n je prvilni 17-kotnik. ) Izrčunj število digonl. ) Izrčunj velikost notrnjeg kot. 49. Kolikšen je notrnji kot prvilneg večkotnik, ki im 104 digonle? 50. n je prvilni 9-kotnik EFGHI. Nj o M tk točk v njegovi notrnjosti, d je trikotnik M enkostrnični. Izrčunj velikost kot M. 51. 5. Nriši dve krožnici s polmerom 4 cm. Prvi včrtj prvilni 6-kotnik, drugi p očrtj prvilni 6-kotnik. Nriši dve krožnici s polmerom 4 cm. Prvi včrtj prvilni 8-kotnik, drugi p očrtj prvilni 8-kotnik. 53. * n je kvdrt s strnico. Nj o zrcln slik točke pri zrcljenju čez točko, točk zrcln slik točke pri zrcljenju čez točko, točk zrcln slik točke pri zrcljenju čez točko in točk zrcln slik točke pri zrcljenju čez točko. Kteri lik predstvlj štirikotnik? Izrčunj njegovo ploščino. 54. N krožnici s središčem S st dni točki M in R tko, d je RSM = 80. V teh dveh točkh nrišemo tngenti n krožnico, presečišče tngent je točk V. Presečišče krožnice in dljice VS je točk P. Izrčunj velikosti notrnjih kotov štirikotnik MPRV.
Štirikotniki 41 55. Nriši krožnico s polmerom r in središčem S. ljic nj o tetiv dolžine r. Simetrl tetive sek krožnico v točkh E in G. Izrčunj velikosti kotov štirikotnik EG. 56. V rvnini st dni dljic MN in točk P. Skico preriši. Nj o S rzpolovišče dljice MN. N ) Prezrcli točko P čez točko S v točko R. ) Prezrcli točko P čez nosilko dljice MN v točko U. P c) okži, d je trikotnik MPU enkokrk. M d) okži, d je lik RMPN prlelogrm. 57. 58. 59. 60. 61. 6. Točki in n krožnici s središčem S rzdelit krožnico n lok, kterih dolžini st v rzmerju : 7. Skozi točki in potekt tngenti n krožnico, presečišče tngent je točk E. ) Izrčunj kote štirikotnik ES. ) Nosilk dljice ES sek krožnico v dveh točkh. Nj o tisto presečišče, ki določ konveksni štirikotnik E. Izrčunj velikosti kotov teg štirikotnik. n je štirikotnik, z ktereg velj: = in =. okži, d je dljic prvokotn n. Krogu st včrtn prvilni petkotnik in prvilni šestkotnik. Kolikšni st vsoti velikosti notrnjih kotov oeh večkotnikov? Prvilni osemkotnik im oglišč 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik 3 6 7. Oglišč prvilneg dvnjstkotnik oznčimo s številkmi od 1 do 1. oloči kot med premico skozi oglišči 3 in 1 ter premico skozi oglišči 4 in 7. Nčrtj prlelogrm s podtki: = 6 cm, = 4 cm, e = 8 cm. Simetrl kot sek dljico v točki E, dljico p v točki F. ljico EF prezrcli preko nosilke dljice. Krjišči tko doljene dljice ter točki E in F so oglišč konveksneg štirikotnik. Kteri štirikotnik je nstl? 63. Lik n sliki je prlelogrm, krožnic im središče v presečišču digonl. okži, d je E = F. Izrčunj velikost kot GE, če st velikosti ostreg in topeg kot med digonlm prlelogrm v rzmerju 1 :. F G H E 64. olžin prvokotnik je z 6 cm dljš od širine. Zveznic rzpolovišč dveh sosednjih strnic rzdeli prvokotnik n trikotnik in petkotnik, pri čemer je oseg petkotnik z 30 cm dljši od oseg trikotnik. Izrčunj dolžini strnic prvokotnik. 65. * Srednjic trpez je dolg 3 cm. igonl trpez rzdeli srednjico n dv del tko, d je eden z 8 cm dljši od drugeg. Koliko st dolgi osnovnici trpez? 66. Osnovnic enkokrkeg trpez z osegom 83 cm je dolg 61 cm. igonl teg trpez rzpolvlj kot. Koliko je dolg osnovnic?
4 Štirikotniki 67. Simetrl ostreg kot prlelogrm, ktereg oseg je 48 cm, sek podljšek strnice v točki E tko, d je E = 5 cm. Koliko so dolge strnice prlelogrm? 68. * V enkokrk prvokoten trikotnik, ktereg hipotenuz je dolg 45 cm, včrtmo prvokotnik, ktereg dolžini strnic st v rzmerju 5 :. ve oglišči prvokotnik ležit n hipotenuzi, po eno oglišče p n vski kteti trikotnik. Izrčunj oseg prvokotnik. 69. Nd strnico kvdrt nčrtmo enkostrnični trikotnik E tko, d točk E leži v notrnjosti kvdrt. Koliko je velik kot E? 70. * Strnic prvokotnik je dolg 0 cm. Oglišče je od digonle oddljeno 1 cm. Izrčunj oseg in ploščino prvokotnik. 71. * olžini sosednjih strnic prlelogrm se rzlikujet z 7 cm. Prvokotnic iz oglišč n digonlo rzdeli digonlo n dljici, dolgi 15 cm in 6 cm. Koliko st dolgi strnici prlelogrm? 7. * V trikotniku nrišemo vse tri višine. Njihov nožišč oznčimo s točkmi P, Q in R. Trikotniku PQR rečemo pedlni trikotnik. Pokži, d je višinsk točk trikotnik središče včrtne krožnice trikotnik PQR. 73. * n je premic p ter točki in E, ki ne ležit n njej. Nčrtj trikotnik, če je premic p nosilk strnice, točki in E p st nožišči višin trikotnik iz oglišč in. 74. * N rvnini so dne nekolinerne točke S, T in U. Nčrtj kvdrt, ktereg središče je točk S, pri čemer st točki T in U vsk n eni izmed nosilk nsprotnih strnic kvdrt. 75. * N rvnini so dne tri vzporednice p, q in r. Nčrtj kvdrt, ktereg oglišč, in ležijo n premich p, q in r. 76. * N rvnini so dne tri nekolinerne točke T, U in V. Nčrtj štirikotnik, ki im tri strnice enko dolge, če so dne točke rzpolovišč teh treh strnic.
Vektorske količine 43 VEKTORSKE KOLIČINE Vektor je količin, določen s smerjo, z usmerjenostjo in dolžino. Ponzorimo g z usmerjeno dljico. zčetn točk končn točk Vektorj st enk, če se ujemt v: dolžini, smeri (st vzporedn), usmerjenosti. olžino vektorj oznčimo. Ničelni vektor je vektor z dolžino 0. Zčetn in končn točk teg vektorj sovpdt. Enotski vektor je vektor z dolžino 1. Nsprotni vektor vektorj je vektor, ki im enko dolžino in smer kot, je nsprotno usmerjen. Oznčimo g. 77. 78. 79. Nriši kvdrt s strnico, dolgo 4 cm, in zpiši vse vektorje, ki jih določjo njegov oglišč. ) Kteri izmed zpisnih vektorjev so enko dolgi kot vektor? ) Kteri izmed zpisnih neničelnih vektorjev imjo enko smer kot vektor? c) Kteri izmed zpisnih vektorjev so enki vektorju? d) Kteri izmed zpisnih vektorjev so nsprotni vektorju? Nriši prvilni šestkotnik EF s strnico, dolgo 3 cm, in zpiši vse vektorje, ki jih določjo njegov oglišč. ) Kteri izmed zpisnih vektorjev so enko dolgi kot vektor F? ) Kteri izmed zpisnih vektorjev so enki vektorju? c) Kteri izmed zpisnih neničelnih vektorjev imjo enko smer kot vektor F? d) Kteri izmed zpisnih vektorjev so nsprotni vektorju EF? Nriši prvokotnik s strnicm, dolgim = 5 cm in = 4 cm. Središče prvokotnik oznči s točko S. Zpiši vse vektorje, ki jih določjo oglišč in središče prvokotnik. ) Kteri izmed zpisnih vektorjev so enko dolgi? ) Kteri izmed zpisnih neničelnih vektorjev imjo enke smeri? c) Kteri izmed zpisnih vektorjev so enki vektorju S? d) Kteri izmed zpisnih vektorjev so nsprotni vektorju S?
44 Vektorske količine 80. 81. n je kvder z roovi = 1 cm, = 3 cm in = 10 cm. Kteri izmed neničelnih vektorjev, ki jih določjo oglišč kvdr: ) so enko dolgi kot vektor, ) imjo enko smer kot vektor, c) so nsprotni vektorju, d) so enotski vektorji? n je prviln tristrn prizm z roovi osnovne ploskve, dolgimi = = = 1 cm in višino = 5 cm. Kteri izmed neničelnih vektorjev, ki jih določjo oglišč prizme: ) so enotski vektorji, ) imjo enko smer kot vektor, c) so nsprotni vektorju? 8. * n je prvilni n-kotnik 1 n. Koliko vektorjev, ki jih določjo oglišč 1, n : ) je enko dolgih kot 1, ) je enkih vektorju 1, če je n liho število, in koliko, če je n sodo število, c) povezuje nesosednj oglišč? 83. N premici zporedom ležijo točke 1,, 3 n, (n N) tko, d je rzdlj med zporednim točkm enk 1. 84. ) Koliko vektorjev dolžine določjo te točke z n = 4? ) Koliko vektorjev dolžine določjo te točke z n = 5? c) Koliko vektorjev dolžine določjo te točke z n = 50? N premici leži 0 točk. Rzdlj med sosednjim točkm je 1 cm. Vsk pr točk n premici določ vektor. Koliko izmed teh vektorjev: ) je enotskih, ) je dolgih cm, c) je dolgih 3 cm? 85. Koliko vektorjev določ dno število točk? 86. 87. ) točki ) 3 točke c) 8 točk Točke,, in so kolinerne. Rzdlj med točkm in je enk 1 cm. Točki in ležit med točkm in, tko d velj : = 1 : 3 in : = 1 :. Kteri izmed vektorjev, ki imjo z krjišči dve izmed točk,, in, so enotski? Točke,,, in E so kolinerne. Rzdlj med točkm in E je enk 0 cm. Točke, in ležijo med točkm in E, tko d velj : E = 1 : 4 in : E = 1 : 4 ter : E = 1 : 5. Kteri izmed vektorjev, ki imjo z krjišči dve izmed točk,, in, so enki?
Vzporedni premik v rvnini 45 VZPORENI PREMIK V RVNINI Vzporedni premik (trnslcij) z vektor je preslikv, ki vsko točko v rvnini premkne z vektor. Vzporedni premik je tog preslikv, sj ohrnj rzdlje med točkmi. 88. Preriši n krirst ppir in premkni z vektor : ) točko, ) dljico, c) trikotnik, d) kvdrt, e) prvokotnik, f) krog. 89. V kj preslik vzporedni premik: 90. ) točko, ) premico, c) dljico, č) večkotnik? Nriši trpez s strnicmi, dolgimi = 6 cm, = 4 cm, = cm, = 3 cm. Vzporedno g premkni z vektor. Premknjeni trpez oznči. 91. 9. Nriši prvokotni trikotnik s ktetm, dolgim = 3 cm in = 4 cm. Trikotnik vzporedno premkni z vektor v trikotnik. Trikotnik vzporedno premkni z vektor v trikotnik. Kteri vzporedni premik preslik trikotnik v trikotnik? Poljuen trikotnik vzporedno premkni z vektor v trikotnik. Nto vzporedno premkni trikotnik z vektor v trikotnik. Kter tog preslikv preslik trikotnik v trikotnik? 93. 94. 95. Točke (- 4, -1), (5, 1) in (, 6) so oglišč trikotnik. Trikotnik vzporedno premkni tko, d se oglišče premkne v točko (8, ). Zpiši koordinte oglišč premknjeneg trikotnik. Vzporedni premik preslik točko (-, 1) v točko (3, 1). Km preslik isti vzporedni premik točko (-5, 6)? S ktero izmed preslikv v rvnini, vrtenjem, vzporednim premikom, zrcljenjem čez premico, zrcljenjem čez točko, lhko prvokotnik P preslikmo v prvokotnik R? ) ) c) R R P R P P
46 Seštevnje in odštevnje vektorjev SEŠTEVNJE IN OŠTEVNJE VEKTORJEV Vsoto vektorjev + nrišemo tko, d vektorj in vzporedno premknemo, tko d je zčetek eneg v koncu drugeg. Vsot je vektor od zčetk prveg vektorj do konc drugeg vektorj. + Rzliko vektorjev nrišemo tko, d vektorju prištejemo vektor. 1. Nrišemo vektor -. -. Seštejemo in -. Rzlik vektorjev in z isto zčetno točko je vektor, ki povezuje končni točki oeh vektorjev in je usmerjen h končni točki vektorj, od ktereg se odštev. - - - 96. Vektorj preriši n krirst ppir in nriši njuno vsoto. ) ) c) d) e) f) g) h) 97. Vektorj preriši n krirst ppir in nriši rzliko. ) ) c) d)
Seštevnje in odštevnje vektorjev 47 e) f) g) h) 98. Nriši vektorj = in = ter njuno vsoto +. Izmeri dolžine vseh treh vektorjev. Premikj točke, in ter opzuj, kko se s spreminjnjem vektorjev in spreminj vsot +. ) Opiši vektorj, kterih vsot je enk 0. ) Kolikšn je dolžin vsote prvokotnih vektorjev dolžin 3 in 4? Kko izrčunmo dolžino vsote dveh prvokotnih vektorjev? = c) Kolikšn je njvečj dolžin vsote vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položj vektorjev z njdljšo vsoto. d) Kolikšn je njmnjš dolžin vsote vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položj vektorjev z njkrjšo vsoto. 99. Nriši vektorj = in = ter njuno rzliko. Izmeri dolžine vseh treh vektorjev. Premikj točke, in ter opzuj, kko se s spreminjnjem vektorjev in spreminj rzlik. ) Kolikšn je njvečj dolžin rzlike vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položj vektorjev z njdljšo vsoto. ) Kolikšn je njmnjš dolžin rzlike vektorjev dolžin 5 in 3? Opiši položj vektorjev z njkrjšo vsoto. c) Opiši vektorj, kterih vsot je enk 0. = d) Kolikšn je dolžin rzlike prvokotnih vektorjev dolžin 3 in 4? Kko izrčunmo dolžino rzlike dveh prvokotnih vektorjev? vsot rzlik 300. Vektorje preriši n krirst ppir in nriši njihovo vsoto. ) + + c ) + + c c) + + c + d d) + + c + d c c c d d c 301. Vektorje preriši n krirst ppir in nriši: ) + c ) c c) + c d d) c + d c c d c d c
48 Seštevnje in odštevnje vektorjev 30. Zpiši enkost, ki velj z vektorje n sliki. ) ) c) d) c c c d d e e d c 303. Nriši prvokotnik s strnicm, dolgim = 6 cm in = 4 cm. Nriši vektor +. 304. Nriši trikotnik s strnicmi, dolgimi = 4 cm, = 4 cm, c = 6 cm. Nriši vektor + +. Kolikšn je vsot + +? 305. Nriši prvilni šestkotnik EF s strnico, dolgo cm. Nriši vektorj in. Kkšn st? 306. Izrčunj vsoto vseh vektorjev, ki imjo zčetno točko v središču prvilneg n-kotnik s sodim številom oglišč, končno točko p v oglišču teg n-kotnik. 307. Točke,,,, E, F so oglišč prvilneg šestkotnik. Kteri vektor je enk: ) +, ) F + F? 308. Točke,,,,, so oglišč prvilne tristrne prizme. Kteri vektor je enk: ) + +, ) + + + +? 309. Poenostvi. ) + c + ( ) + ) + + ( c )+( ) + + c + + ( ) + c 310. Izrzi vektor x. ) + x = c ) + + ( c )+( d) + x = c + N slikh so vektorji,, 311. c, d, e, z ktere velj = 1, =, c = 3, d = 5, e = in f = 1. Vektorje n sliki preriši v zvezek in nriši njihovo vsoto rezultnto. Izrčunj dolžino rezultnte. ) ) c) d) 60 f f 10 f c e) f) e 45 60 d
Seštevnje in odštevnje vektorjev 49 31. Ines, Tdej, Ktj in Mris potiskjo vto s sprednje strni s silmi 10 N, 150 N, 00 N in 0 N, Mtej, Uroš in Luk p z zdnje strni s silmi 300 N, 50 N in 00 N. li se o vto premknil nprej li nzj li o mirovl, če je sil lepenj n vto enk 100 N? 313. v konj vlečet voz, vsk s silo 500 N, tko d njuni smeri oklept kot 60. S kolikšno silo vlečet o skupj? 314. N telo delujet sili 100 N in 300 N, tko d njuni smeri oklept kot 90. Kolikšn je rezultnt oeh sil? 315. 316. len potisk zoj s silo 150 N proti severu, Mih s silo 10 N proti vzhodu, Žn s silo 140 N proti jugu in Kristjn s silo 160 N proti zhodu. Kolikšn rezultnt sil deluje n zoj? li se o zoj gil severovzhodno, severozhodno, jugovzhodno li jugozhodno? edek vleče vrv s silo 70 N, ic s 60 N, oče s 50 N, mm s 40 N, sestr s 30 N, jz z 0 N in kuž Fifi z 10 N. Kteri izmed nštetih nj vlečemo en konec vrvi in kteri drugi konec, d o vrvic mirovl? V vlečenju vedno sodelujemo vsi. Izpiši vse možnosti.
50 Množenje vektorj s številom MNOŽENJE VEKTORJ S ŠTEVILOM Množenje vektorj s številom k, k = 0 k > 1 k = 1 0 < k < 1 k k k k < -1 k = -1-1 < k < 0 k k k Enotski vektor e v smeri neničelneg vektorj je enk e 1 =. 317. Nriši vektor, dolg 3 cm. Nriši še vektorje: ) 1 ) 4 c) 3 č) 3 d) 5 e) 7 f) 3 g) 8 3 5 7 4 4 5 5 3 i) i) 5 j) 7 k) 10 l) 318. Vektorj preriši n krirst ppir. Nriši še: ) + 3 ) + 1 3 c) + 4 3 4 m) 6 7 n) 1 3 15 o) 8 d) 3 3 e) 1 f) + 3 3 319. 30. 31. Nriši trikotnik s podtki: = 4 cm, = 6 cm, c = 7 cm. Nriši še 1 +. 3 Nriši prvokotnik s podtki: = 6 cm, = cm. Nriši še +. 3 Nriši prvilni šestkotnik EF s strnico, dolgo cm. Nriši še 1 F E. 3. Poenostvi izrz. ) + 1 ) 4 + 3 + 5 + 6 3
Množenje vektorj s številom 51 33. * Izrčunj vsoto vseh vektorjev olike k, kjer je = 0 in k nrvno število, mnjše od 100. 34. Nj o = 0. Z ktere vrednosti sklrj k velj dn enkost? ) + k = 6 ) (k + )+4 = c) (k + 1) (k ) + k = č) (k + ) k 3k + + 5 = 0 35. 36. Nj o m = + 3 in n =. Izrzi vektor m 1 n z vektorjem in. Nriši prvokotnik s strnicm, dolgim = 5 cm, = 3 cm. Nriši enotski vektor e v smeri vektorj in enotski vektor f v smeri vektorj. Zpiši enotsk vektorj e in f z vektorjem in. 37. Nriši prvilni osemkotnik EFGH s polmerom očrtne krožnice, dolgim cm. Nriši enotski vektor e v smeri vektorj in enotski vektor f v smeri vektorj F. 38. N premici so dne točke,, in, kot prikzuje slik. ) Izrzi vektorj in z vektorjem. ) Izrzi vektorj in z vektorjem. c) Izrzi vektorj in z vektorjem. 0 1 3 4 5 39. 330. Nriši dljico, dolgo 6 cm. N njej nriši tko točko M, d velj M : M = 1 :, in tko točko N, d velj N : = 1 :. Vektorj M in N izrzi z vektorjem. V prvokotniku oznčimo = in =. Nj o točk M rzpolovišče strnice in točk N rzpolovišče strnice. Z vektorjem in izrzi vektorje M, N in NM. 331. V trikotniku oznčimo = in =. Točk M leži n strnici tko, d velj M : M = : 3. Točk N leži n strnici tko, d velj N : = : 3. Z vektorjem in izrzi vektorje M, N in NM. 33. 333. 334. 335. V trpezu oznčimo = in =. olžin osnovnice je enk polovici dolžine osnovnice. Nj točk M leži n strnici, d je M : M = 1 : 3. Nj točk N leži n strnici, d je N : = 1 : 3. Z vektorjem in izrzi vektorj in MN. V prvilnem 6-kotniku EF oznčimo = in =. Z vektorjem in izrzi vektorje, ter E. V kocki oznčimo =, = in c =. Nj o S rzpolovišče ro. Točk P nj leži n rou, d je P : P = 1 : 4. Točk R nj leži n rou, d velj : R =3:. Z vektorji, in c izrzi vektorje S, SP in RP. V kvdru oznčimo =, = in c =. Nj o S središče ploskve in točk T središče kvdr. Točk P nj leži n rou, d je : P =4: 1. Z vektorji, in c izrzi vektorje S, T, SP in T P. V tetredru oznčimo =, 336. * = in c =. Nj o S središče ploskve in M točk n tretjini višine tetredr. Z vektorji, in c izrzi vektor MS.
5 Središčni rzteg SREIŠČNI RZTEG Središčni rzteg (homotetij) s središčem v točki O z fktor k, k = 0, preslik poljuno točko T rvnine v točko T, tko d je OT = k OT. k > 0 k < 0 O O O O Središčni rzteg ni tog preslikv, sj ne ohrnj dolžin. Ohrnj p rzmerj dolžin strnic: O O = O O = k 337. Preriši n krirst ppir in rztegni lik iz točke O z dni fktor. ) ) - c) 1 3 O O O d) 3 e) -3 f) 1 O O O 338. 339. 340. Nriši kvdrt s strnico, dolgo cm. Njprej g rztegni v kvdrt iz oglišč z fktor. Nto kvdrt rztegni še v kvdrt iz oglišč z fktor 1. Nriši ostrokotni trikotnik s podtki c = 3 cm, =,5 cm in v c = cm. Iz oglišč g rztegni z fktor -, iz oglišč p z fktor 3. Nriši prvilni šestkotnik s strnico, dolgo 3 cm. Nj o O njegovo središče. Šestkotnik rztegni z fktor 3 iz točke O in z fktor 5 3 iz točke O.
Središčni rzteg 53 341. Preriši n krirst ppir. oloči fktor ter nriši središče rzteg, ki modri lik preslik v rjveg. ) ) c) 34. 343. V koordintnem sistemu nriši kvdrt s središčem v koordintnem izhodišču in s strnicmi dolžine 4 enote, ki so vzporedne koordintnim osem. Zpiši koordinte njegovih oglišč. Nto kvdrt rztegni z fktor 1 in središčem v koordintnem izhodišču v kvdrt. Zpiši koordinte oglišč kvdrt. V koordintnem sistemu nriši prvokotnik, ktereg strnice so vzporedne s koordintnim osem, dve izmed oglišč p st točki (, 1) in (5, 4). Prvokotnik rztegni z fktor in središčem v zrclni sliki točke čez scisno os. Rztegnjen prvokotnik oznči. 344. V prvokotnem koordintnem sistemu nriši kvdrt z ogliščem (1, 4). Nosilk digonle kvdrt je simetrl sodih kvdrntov. Kvdrt rztegni z fktor in središčem 3 O(0, -3) v kvdrt. 345. Nek središčni rzteg preslik točko (5, 6) v (7, 8) in točko (9, 6) v (15, 8). Km preslik t rzteg točko (5, 8)? 346. * Krjišči Eulerjeve dljice st središče očrtne krožnice S O in višinsk točk V trikotnik. okži, d n Eulerjevi dljici leži tudi težišče T, tko d je S O T : T V = 1 :. Nmig: okži, d središčni rzteg s središčem v težišču T z fktor - 1 preslik točko V v točko S O. V T S o
54 Linern komincij vektorjev, z LINERN KOMINIJ VEKTORJEV, Z z premice zo premice tvori en neničelni vektor, ki leži n tej premici. Vsk vektor n izrni premici lhko izrzimo kot linerno komincijo zneg vektorj. k p p = k z rvnine zo rvnine tvorit dv neničeln vektorj, ki ne ležit n isti premici. Vsk vektor v rvnini lhko izrzimo kot linerno komincijo teh dveh vektorjev. l p k p = k + l z prostor zo prostor tvorijo trije neničelni vektorji, ki ne ležijo n isti rvnini. Vsk vektor v prostoru lhko izrzimo kot linerno komincijo teh treh vektorjev. c mc p l k p = k + l + m c 347. zn vektorj in preriši n krirst ppir. Nriši zpisno linerno komincijo. ) + 3 ) 1 + c) 3 5 348. Sliko preriši n krirst ppir. Vektor c nriši in zpiši kot linerno komincijo znih vektorjev in. ) ) c) c c c
Linern komincij vektorjev, z 55 349. Nj ost vektorj in zn vektorj v rvnini. Nj ost vektorj m in n enk m = + 3 in n = + 5. Vektor 4 m 6 n zpiši v dni zi. 350. 351. 35. 353. Nj odo vektorji, in c zni vektorji v prostoru. Vektorj m in n st enk m = + 3 + c in n = 1 + + c. Vektor m n zpiši v dni zi. Točke,,,, E, F, G, H in I ležijo n premici, kot prikzuje slik. Rzdlj med vskim sosednjim točkm je enk. Nj o = E. Zpiši vektorje, EI in H kot linerno komincijo vektorj. E F G H I Točke,,, in E ležijo n premici tko, d je : : : E =3: : 1 : 3. Točki in ležit med in, točk p med in E. Nj o vektor = E zni vektor. Z vektorjem izrzi vektorje, in E. Točk M je rzpolovišče dljice prvokotnik, vektorj = in = st zn vektorj. Z in izrzi vektorje, M, M in M. 354. M je točk n strnici prlelogrm, d velj M : M = : 1. Nj ost = in = zn vektorj. Z in izrzi vektorje M, M, M in M. 355. M je točk n dljici prlelogrm, d velj M : M = 1 :, in N tk točk n dljici, d je N : = 1 :. Nj ost = in = zn vektorj. Z in izrzi vektorje M, N, MN in NM. 356. Točk P je rzpolovišče ro kvdr, točk R p točk n rou, d je : R =4: 3. Nj odo =, = in c = zni vektorji. Z znimi vektorji izrzi vektorje P, R, R in P R. 357. Točk S je središče ploskve kocke, točk T p središče kocke. Nj odo =, = in c = zni vektorji. Z znimi vektorji izrzi vektorje S, T, S in T S. 358. 359. okži: če je EF prvilni 6-kotnik, velj enkost: + E = F + F E. Točk S je središče osnovne ploskve tetredr, točk V p rzpolovišče višine tetredr. okži, d je SV = 1 6 + 1 6 1 6. 360. N strnich prlelogrm so dne točke I, J in K, tko d je I = IJ = J in K = K. Točk L je rzpolovišče dljice I, točk M p rzpolovišče dljice LJ. L I ) n st vektorj = in =. Izrzi vektor MK z vektorjem in. ) Nj ost zn vektorj LI = u in LM = v. Izrzi vektorj in z vektorjem u in v. M J K
56 Linern komincij vektorjev, z 361. Točk U je rzpolovišče ro tetredr, točk T p težišče trikotnik. Izrzi vektor T U z znimi vektorji =, =, = c. 36. Silo F, veliko 100 N, rzstvi n vektorj F 1 in F. Vektor F 1 leži n rjvi premici, vektor F p n modri premici. Nlogo reši grfično ter izrčunj velikost sil F 1 in F. ) ) c) F F 30 F 30 30 60 60 d) 45 e) f) F 30 F 60 F 363. Smojed enkomerno vlečet sni, ki se upirjo s silo 100 N. Smeri ginj smojedov oklept s smerjo ginj sni kot 30. S kolikšno silo vleče posmezni smojed, če vlečet o z enko silo? 30 30 364. Slik, težk 30 N, je oešen n zid z vrvico, ki pri želju oklep kot 10. S kolikšno silo je npet vrvic? 10
Linern odvisnost vektorjev 57 LINERN OVISNOST VEKTORJEV LINERN OVISNOST VEKTORJEV Vektorj in st linerno neodvisn, če je njun linern komincij r + s enk 0 le v primeru, ko je r = 0 in s = 0. Vektorji, in c so linerno neodvisni, če je njihov linern komincij r + s + t c enk 0 le v primeru, ko je r = 0, s = 0 in t = 0. zo rvnine tvorit dv linerno neodvisn vektorj. Vsk vektor v rvnini lhko izrzimo kot linerno komincijo teh dveh vektorjev. zo prostor tvorijo trije linerno neodvisni vektorji. Vsk vektor v prostoru lhko izrzimo kot linerno komincijo teh treh vektorjev. 365. Vektorj in st linerno neodvisn. oloči vrednosti relnih prmetrov m in n. ) + m + n 5 = 0 ) (6 m) + (n + m 4) = 0 c) m + = 3 + 4 + n č) n + 4 + 3m + = 7n + 5 Vektorji 366., in c so linerno neodvisni. oloči vrednosti relnih prmetrov k, m in n. ) + k m + n 5 + m c + n c = 0 ) (6 m + k) + (k + n 4) + (m + 4) c = 0 c) k + k + m m + n c = 6n + + n c d) k + c m + 3 c + n + 9 c = 0 367. okži, d se težiščnice trikotnik sekjo v rzmerju 1 :. 368. N roovih tetredr izeri zne vektorje. Točk O je središče trikotniku očrtne krožnice. Izrzi vektor O kot linerno komincijo znih vektorjev. 369. 370. okži, d se telesne digonle kocke rzpolvljjo. N strnici prvokotnik je točk M, d je M : M = 3 : 1. V kolikšnem rzmerju deli digonl dljico M? 371. Točk M je rzpolovišče strnice trikotnik, N p točk n strnici, d velj N : N =1:. ) V kolikšnem rzmerju sek dljic M dljico N? ) V kolikšnem rzmerju sek dljic N dljico M? 37. 373. N strnici prlelogrm je točk M, d je M : M = 1 : 3, n strnici p točk N, d je N : = 1 : 3. V kolikšnem rzmerju deli dljic M dljico N? Točk M je rzpolovišče osnovnice trpez, N p tk točk n osnovnici, d je : N = 4 : 3. V kolikšnem rzmerju deli digonl dljico MN in v kolikšnem rzmerju deli dljic MN digonlo, če je dolžin osnovnice enk polovici dolžine osnovnice?
58 Linern odvisnost vektorjev 374. n je trikotnik. N nosilki strnice leži točk M, d je M : M = 5 : 1, točk p leži med točkm in M. N strnici leži tk točk N, d je N : N = 3 :. V kolikšnem rzmerju deli dljic MN dljico? 375. N strnici prvokotnik je točk P, d velj : P = 4 : 1, n nosilki strnice p točk R, d velj : R = 4 : 5. Točk leži med in R. Točk S je presečišče dljic P in R. ) Izrčunj rzmerje P S : P. ) Vektor S zpiši kot linerno komincijo vektorjevs = in =. 376. n je prvilni 6-kotnik EF. V kolikšnem rzmerju sek krjš digonl dljšo? 377. 378. n je trpez s podtki = 8 cm, = cm, = 14 cm. Točk P je n strnici, d velj : P = 3 : 1. Točk R je rzpolovišče strnice. igonl in dljic PR se sekt v točki S. Izrčunj dolžino dljice S. n je prvilni 6-kotnik EF. igonl je dolg 57 cm. Točk M je rzpolovišče strnice, točk N p tk točk n strnici E, d velj EN : N = 1 :. ljic MN sek digonlo v točki O. Izrčunj dolžino dljice O. 379. * n je prvokotnik s strnicm, dolgim in. Nj o E tk točk n strnici, d velj E : E = 1 : 4. ljici E in oklept s strnicm in dv trikotnik. Izrzi njuni ploščini z dolžinm in.
Prvokotni koordintni sistem v prostoru 59 PRVOKOTNI KOORINTNI SISTEM V PROSTORU z pliktn os c T(,, c) ordintn os y scisn os x 380. Zpiši koordinte točke. ) z ) z c) 5 5 5 z 4 4 4 3 1 3 1 3 1-1 - -3 1 0 1 3 4 5 y - -1 0 1 1 3 4 5 y -3 - -1 1 0 1 3 4 5 y 3 3 3 4 4 4 5 5 5 x x x 381. Poimenuj množico točk, z ktero velj dn enkost. ) z = 3 ) x = 4 c) y = - d) z > e) y > 1 f) x < 0 g) z = in y > 0 h) y = in z > 1 i) z = 0 in x > 0 in y > 0 j) 1 < z < 3 k) 0 < x < 3 l) -1 < y < 3 m) 0 < x < in < y < 3 n) x > 0 in < y < 4 o) z > 0 in 1 < x < 4 in 1 < y < p) 1 < x < in < y < 3 in 3 < z < 4 q) -1 < x < in 0 < y < in 1 < z < 5 r) z = 1 in - < x < 1 in 1 < y < s) y = 3 in 1 < x < 3 in < z < 3 t) x = in y = 3 t) z = 1 in y = 3
60 Od točk h krjevnim vektorjem O TOČK H KRJEVNIM VEKTORJEM Ortogonlno zo sestvljjo vektorji, ki so prom prvokotni. Ortonormirno zo sestvljjo vektorji, ki so prom prvokotni in imjo dolžino enko 1. Ortonormirn z v rvnini: i = (1, 0) in j = (0, 1) Ortonormirn z v prostoru: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) in k = (0, 0, 1) y 3-3 - -1 1 j 0 i 1-1 3 x 3 1 z i 3 1 k 0 1 3 j y - -3 x Krjevni vektor točke je vektor r li y, ki potek od koordintneg izhodišč do točke. z r = (, ) c (, ) (,, c) r r = (,, c) r x y Vektor od točke do točke je enk = r r =. x Vektor, zpisn v ortonormirni zi 38. i, j, k, zpiši s komponentmi (x, y, z). ) i + 3 j + 4 k ) 3 i + 4 j k c) 5 i k č) j + 6 i 7 k 383. ni vektor zpiši v ortonormirni zi i, j, k. ) = (1,, 3) ) = (4, 3, ) c) c = (0, 3, 5) č) d = 1, 0, 0 384. Izrčunj. ) (, 3) + (5, 1) (, 3) - (5, 1) (, 3) 3(, 3) - (1, 5) ) (4, -1, 3) + (6, -1, 0) (4, -1, 3) - (6, -1, 0) 4(4, -1, 3) -(4, -1, 3) - 3(6, 1, 0) c) (-, -3, 5) + (-3, 4, -) (-, -3, 5) - (-3, 4, -) 4(-, -3, 5) 3(-, -3, 5) - (-3, 4, -) 385. n st vektorj = (3,, 0) in = i j + 3 k. Izrčunj njuno vsoto in rzliko ter ju zpiši v oliki (x, y, z). 386. Izrčunj neznni števili m in n. ) (, 6) + (m, n) = (-3, ) ) (1, -3) + (m, n) = 3(, 4) c) (, -5) - (-3, ) - (m, n) = (-, 3) č) (-6, 1) - (m, n) = (3, -4) e) 3(-, -) - (m +, n + 3) = (5, 6) e) (m + 3, n - ) + 5(-1, 0) = 3(m, -4)
Od točk h krjevnim vektorjem 61 387. Izrčunj neznn števil, in c. ) (4,, 4) + (,, c) = (3, -, -1) ) (-4, 0, 1) - (,, c) = (4, -3, ) c) (3, -3, 3) + (,, c) = (0, -3, 5). č) 1 (4, 5, 3) + 1 (,, c) = (3,, 0) 3 e) (3, 5, ) + ( +, 3, 4 + c) = 5 0, 1, 1 f) -(3,, 1) - 3( + 1, -, 4 - c) = (3,, 0) - (-3,, 0) 388. Izrčunj neznne vrednosti. ) (4, 6) = m(-, -3) ) (80, -0, 40) = m(1, -3, ) c) (, 3) + m(1, 4) = n(1, ) č) (-1, 3, 0) + m(3, 0, -) = n(-, 3, ) + k(1, -, -3) 389. ne so točke (, 4), (-3, 6), (5, 0) in (4, 3). Zpiši vektorje,, in. 390. ne so točke (0, 3, -3), (5, -4, 1), (3,, 4) in (-3,, 4). Zpiši vektorje, in., 391. V prostoru st dni točki P(5,, 18) in Q(3, 7, 9). oloči koordinte rzpolovišč dljice PQ. 39. 393. 394. 395. 396. V prostoru st dni točki (3, 4, -) in S(3, 4, 1). Izrčunj koordinte točke, če je S rzpolovišče dljice. ni st točki (3, 5) in (8, -5). Nj o M točk n dljici, tko d velj M : M = 1 : 4. Zpiši koordinti točke M. ni st točki M(0, -4, -3) in N(-, 0, ). Točk S leži n dljici MN, tko d velj MS : NS = 1 :. Zpiši koordinte točke S. N dljici leži točk S, tko d velj S : S = 4 : 1. Izrčunj koordinte točke, če je (, -5, 3) in S(, -3, 0). ne so točke (-3, -4, 1), (0, 0, 4), (, 0, 4) in (5, -6,-6). Točk M leži n dljici tko, d je M : M = 1 : 4, točk N p n dljici tko, d je N : = 1 : 4. oloči koordinte rzpolovišč dljice MN. 397. Točke (, 5, -), (3, 0, 0) in (, 4, -) so oglišč trikotnik. N strnici leži točk M, tko d je M : M = : 3. Nj o točk P presečišče težiščnice n strnico c in dljice M. Zpiši koordinte točke P. 398. Lik je prlelogrm. oloči koordinte četrteg oglišč. 399. ) (, -3, 5), (4, -1, -1), (9, 0, -1) ) (-1, -, 3), (4,, ), (, 3, 0) Točke (3,, 1), (-3, 1, 0), (0, 1, 1) in so oglišč trpez, ktereg dolžini osnovnic st v rzmerju : = 4 : 1. oloči koordinte oglišč. 400. Točke (5, -3, ), (3, 0, -1), (3, 1, 1) in (4,, 1) so oglišč prlelepiped. oloči koordinte preostlih oglišč. (Prlelepiped je telo, ktereg osnovni ploskvi st vzporedn prlelogrm, povezn z vzporednimi roovi.) z y x
6 Od točk h krjevnim vektorjem 401. oloči koordinte težišč trikotnik. 40. ) (, -3, 1), (4, 1, -3), (4, 9, 1) ) (3, 1, 1), (0, 0, -), (-4, -3, -1) c) (1, 0), (-3, 5), (5, -1) č) (0, - 1), (1, 1), (3, 6) Točke (-3,, 0), in (5, 1, 1) so oglišč trikotnik, ktereg težišče je T(, 3, 4). oloči koordinte oglišč. 403. li st vektorj kolinern? ) = (6, ) in = (9, 3) ) c = (10, 5) in d = (1, 5) c) e = (1,, 3) in f = (4, 5, 6) č) g = (, 4, 8) in h = (3, 6, 1) 404. li so vektorji koplnrni? ) = (, 1, 1), = (3, 1, ), c = (1, 3, 0) ) d = (4, 0, 1), e = (1,, 3), f = (6, 9, 8) 405. Vektor m zpiši kot linerno komincijo vektorjev in. ) m = (9, 4), = (3, 1), = (1, ) ) m = (7, 7), Vektor m zpiši kot linerno komincijo vektorjev 406., in c. ) m = (5, 3, 8), = (, 0, 0), = (0, 3, 1), c = (1,, 3) ) m = (4, 1, 5), = (1, 0, 1), = (0,, 3), c = (, 1, 0) = (3, 1), = (, 4) 407. li vektorj = (3, ) in = (, 4) tvorit zo rvnine? 408. li vektorji = (3, 1, ), = (, 0, 4), c = (4,, 0) tvorijo zo prostor? 409. oloči prmetr m in n tko, d ost vektorj in vzporedn. ) = (3, 6, ), = (6, m, n) ) = (5, m, 3), = (10, 4, n) 410. oloči prmeter m tko, d odo vektorji = (3,, 1), koplnrni. = (1, 1, 1) in c = (m, 4, 1) 411. 41. li so točke (, 4, 5), (3, 0, ) in (4, 4, 1) kolinerne? Preveri. ) Vektorj = (6, ) in = (9, 3) st linerno odvisn. ) Vektorj = (, ) in = (5, ) st linerno neodvisn. c) Vektorj = (, 4) in = (7, 14) ležit n isti premici. d) Vektorj = (5, ) in = (7, 14) ne ležit n isti premici. e) Vektorj = (5, 6) in = (7, 14) st kolinern. f) Vektorj = (4, ) in = (8, 3) nist kolinern. g) Vektorj = (3, ) in = (4, 1) tvorit zo rvnine. h) Vektorj = (4, 8) in = (6, 1) ne tvorit ze rvnine.
Od točk h krjevnim vektorjem 63 413. Preveri. ) Vektorji = (4, 1, 1), ) Vektorji = (1, 1, 3), = (10, 1, 3) in c = (, 3, 1) so linerno odvisni. = (0, 0, 1) in c = (3,, 1) so linerno neodvisni. c) Vektorji = (, 1, 1), d) Vektorji = (0, 0, 1), = (0, 3, 0) in c = (4, 0, ) ležijo v isti rvnini. = (0, 3, 4) in c = (4, 1, 0) ne ležijo v isti rvnini. e) Vektorji = (, 1, 1), = (3,, 1) in c = (, 6, 0) so koplnrni. f) Vektorji = (3, 0, 0), = (1,, 3) in c = (6,, 1) niso koplnrni. g) Vektorji = (3, 1, 1), = (, 0, 1) in c = (0, 3, 1) tvorijo zo prostor. h) Vektorji = (1, 1, 1), = (,, 0) in c = (0, 0, 3) ne tvorijo ze prostor. 414. ne so točke (, 1, 4), (k, m, 5), (-1,, n) in (1, 3, 1). 415. ) oloči prmetre k, m in n tko, d o štirikotnik prlelogrm. ) oloči prmeter n tko, d krjevni vektorji točk, in ne odo tvorili ze prostor. c) oloči prmetr k in m tko, d ost krjevn vektorj točk in kolinern. ne so točke (0,, 1), (k + 1, 3, m - 1), (, 4, -1) in (, -4, -1). oloči prmetr k in m tko, d: ) ost krjevn vektorj točk in kolinern, ) ost vektorj in vzporedn, c) o točk rzpolovišče dljice.
64 Podoni liki POONI LIKI Večkotnik st podon, če imt enko velike enkoležne kote in če so dolžine strnic vskeg pr enkoležnih strnic sorzmerne. d E d c d d c e g E e g e e : = : = c : c = d : d = e : e Tlesov izrek Če šop premic sekmo s snopom premic, je rzmerje dolžin odsekov n eni premici šop enko rzmerju dolžin enkoležnih odsekov n kteri koli premici šop. V šop snop V : V = V : V Podon trikotnik imt enko velike enkoležne kote, dolžine strnic vskeg pr enkoležnih strnic p so sorzmerne. g g c c : = : = c : c o : o = : = : = c : c S : S = : = : = c : c Središčni rzteg s središčem O in fktorjem k je podonostn preslikv; torej preslik vsk lik v podoen lik. O = k, = k = k, = k S = k S 416. Kterim slikm je podon originln slik? ) Originl 1. slik. slik 3. slik 4. slik
Podoni liki 65 ) Originl 1. slik. slik 3. slik 4. slik Nriši podon trikotnik in 417.. Nmig: Rzmerje : izrčunš tko, d definirš število, npr. rzmerje k kot:»rzmerje k = «. ) Primerjj rzmerj :, : in c : c. Kkšn so rzmerj dolžin enkoležnih strnic dveh podonih trikotnikov? ) Nriši težiščnici t c in t c c c. Rzmerje t c : t c primerjj z rzmerjem :. Kkšno je rzmerje dolžin težiščnic dveh podonih trikotnikov v primerjvi z rzmerjem strnic? c) Nriši višini v c in v c. Rzmerje v c : v c primerjj z rzmerjem :. Kkšno je rzmerje dolžin višin dveh podonih trikotnikov v primerjvi z rzmerjem strnic? d) Primerjj rzmerje osegov trikotnikov in z rzmerjem :. Kkšno je rzmerje osegov dveh podonih trikotnikov v primerjvi z rzmerjem strnic? e) Primerjj rzmerje ploščin trikotnikov in z rzmerjem :. Kkšno je rzmerje ploščin dveh podonih trikotnikov v primerjvi z rzmerjem strnic? 418. Trikotnik je podoen trikotniku. Izrčunj neznni dolžini strnic trikotnik. ) = 5 cm, = 7 cm, c = 6 cm, = 15 cm ) = 8 cm, = 14 cm, c = 10 cm, = 0 cm c) = 5 cm, = 50 cm, c = 6 cm, c = 40 cm 419. oloči neznne dolžine strnic treh podonih trikotnikov. 4 x y 5 3 6 4 40. 41. 4. Trikotnik s strnicmi, dolgimi = 5 cm, = 8 cm, c = 6 cm, je podoen trikotniku PRS, ktereg njdljš strnic je dolg 1 cm. Izrčunj neznni dolžini strnic trikotnik PRS. Štirikotnik s strnicmi, dolgimi = 50 cm, = 50 cm, c = 6 dm, d = 65 cm, je podoen štirikotniku MNKL, ktereg njkrjš strnic je dolg 30 cm. Izrčunj neznne dolžine strnic štirikotnik MNKL. olžine strnic trikotnik so v rzmerju 3 : 5 : 7. Izrčunj dolžine strnic podoneg trikotnik, v kterem je rzlik dolžin med njdljšo in njkrjšo strnico 1 cm. 43. Izrčunj dolžini dljic, oznčenih z x in y. Podtke rzeri s slike.
66 Podoni liki ) ) y E E 4 3 x 4 3 x 9 15 1 E E y c) d) 4 4 10 x 16 E 10 1 y 16 8 E y x 10 44. 45. 46. 47. n je trikotnik s strnicmi, dolgimi = 0 cm, = 5 cm in c = 30 cm. Nj o M tk točk n strnici, d velj M : M = : 3. Skozi točko M nrišemo vzporednico k strnici. T sek strnico v točki N. Izrčunj dolžino dljice N. n je trikotnik s strnicmi, dolgimi = 1 cm, = 15 cm in c = 10 cm. N strnici je tk točk, d velj =. Izrčunj dolžino dljice. n je trikotnik s strnicmi, dolgimi = 0 cm, = 1 cm in c = 15 cm. N strnici je tk točk, d je dolžin dljice enk 5 cm. Vzporednic skozi točko k strnici sek strnico v točki E. Izrčunj dolžino dljice E. n je trikotnik s strnicm, dolgim c = 6 cm in = 8 cm. N strnici leži točk F tko, d je kot F = γ. Izrčunj dolžino dljice F. 48. N sliki je E =, = 18 cm, = 6 cm, E = 9 cm, E = 5 cm, E = x, = y. E Koliko je x + y? 1:5 49. 430. n je trpez z osnovnicm, dolgim = 50 cm in c = 0 cm, ter krkom, dolgim = 45 cm in d = 40 cm. Presečišče nosilk krkov oznčimo s P. ) Izrčunj dolžino dljice P. ) Izrčunj oseg trikotnik P. n je trpez z osnovnicm, dolgim = 16 cm in c = 6 cm, ter digonlo e = = 10 cm. igonl f rzdeli digonlo e n dv odsek. Izrčunj njuni dolžini. 431. 43. 433. n je trpez z osnovnicm, dolgim = 0 cm in c = 15 cm, ter višino 10 cm. N kolikšni rzdlji od osnovnice se sekt digonli? n je trpez z osnovnicm, dolgim = 0 cm in = 1 cm. Kot in st enko velik. Izrčunj dolžino digonle. V trpezu st kot in skldn. Izrčunj dolžino digonle, če je = 63 cm, c = 8 cm.
Podoni liki 67 434. 435. 436. 437. 438. 439. 440. 441. n je prlelogrm s strnicm, dolgim = 40 cm in = 10 cm. N strnici leži tk točk E, d velj E : = : 5. Nosilk dljice E sek nosilko strnice v točki F. Izrčunj rzdljo med točkm in F. Ploščin trikotnik je enk 0 cm. Kolikšn je ploščin podoneg trikotnik, ktereg strnice so dvkrt toliko dolge kot strnice trikotnik? Ploščin petkotnik E je enk 90 cm. Kolikšn je ploščin podoneg petkotnik E, ktereg vsk strnic je dolg tretjino dolžine enkoležne strnice petkotnik E? Trikotnik s strnicmi, dolgimi 5 cm, 6 cm in 8 cm, je podoen trikotniku z osegom 50 cm. Kolikšne so strnice trikotnik? Vsot ploščin dveh podonih trikotnikov je 650 mm, oseg teh trikotnikov st v rzmerju : 3. Izrčunj ploščini oeh trikotnikov. Ploščini podonih trikotnikov st 5 dm in 34 dm. En od strnic mnjšeg trikotnik je dolg 15 cm. Koliko je dolg enkoležn strnic v večjem trikotniku? Njdljš strnic trikotnik je dolg m. Oseg podoneg trikotnik je 7 cm, dolžine njegovih strnic p so v rzmerju : 3 : 4. Izrčunj dolžine strnic oeh trikotnikov in zpiši rzmerje ploščin. Prvokotni trikotnik, ktereg kteti st dolgi 4 cm in 10 cm, je podoen trikotniku MNK s hipotenuzo, dolgo 130 cm. Izrčunj oseg trikotnik MNK. 44. ni st istosrediščni krožnici. Polmer mnjše krožnice je enk četrtini polmer večje krožnice. Nj o premer večje krožnice. Iz točke nrišemo tngento n mnjšo krožnico. T tngent sek večjo krožnico v točki. olžin dljice je enk 100 cm. Kolikšen je polmer večje krožnice? 443. Iv je s pomočjo senc določil višino sosedoveg dreves. V zemljo je zil plico tko, d je nd zemljo ostlo 1,0 m plice. Nto je izmeril dolžino njene sence in doil 4 cm. Izmeril je še dolžino sence z drevesom in doil 4,80 m. Privzel je, d so sončni žrki, ki pdjo n plico in drevo, vzporedni. Kolikšno višino dreves je izrčunl? 444. Tetivi in se sekt v točki X. Zpiši zvezo med dolžinmi dljic X, X, X in X. X
68 Podoni liki 445. Žn in Tdej st se sprehjl o reki Muri. Z sldoled st stvil, kolikšn je njen širin. Tdej je ocenil širino n 50 m, Žn p n 70 m. Nto st še rčunsko ocenil širino reke. N nsprotnem regu st izrl drevo tik o vodi. N njunem regu st tik o vodi postvil dve plici n rzdlji 5 m. N rzdlji 15 m od reke st vzporedno z reko položil vrvico. Postvil st se n vrvico tko, d st videl plico in drevo n isti črti. Izmeril st medseojno rzdljo in doil 6 m. Z znnjem o podonosti trikotnikov st izrčunl širino reke. Kdo je plčl sldoled? 5 m vrvic 6 m 15 m 446. Mm peče pecivo v oliki trikotnik s strnicmi, dolgimi 30 cm, 40 cm in 45 cm. Testo v oliki trikotnik n deelo nmže z mrmeldo. Nto vsko strnico rzdeli n 5 enkih delov in jih poveže s trkovi test, kot prikzuje slik. Koliko centimetrov dolg trk o potreovl? 40 cm 30 cm 447. Pjek je n ogrodje iz trvnih ilk spletel mrežo. Sosednji ilki oklept kot 45. Mrežo je sestvil iz petih prvilnih osemkotnikov. Pjek je prvo nit zčel vleči n rzdlji x od presečišč trv, drugo n rzdlji x, tretjo n rzdlji 3x Z zunnjo plst je med dvem trvm poril 10 cm niti. Koliko niti je poril z celotno mrežo? 45 cm 10 cm 448. V prvokotni trikotnik s strnicmi, dolgimi 1 cm, 8 cm in 35 cm, včrtmo kvdrt tko, d se eden izmed kotov kvdrt ujem s prvim kotom trikotnik. Eno oglišče kvdrt leži n hipotenuzi. Izrčunj dolžino strnice kvdrt. 449. V enkokrki trikotnik z osnovnico, dolgo 4 cm, in krkom, dolgim 0 cm, včrtmo kvdrt tko, d en strnic kvdrt leži n osnovnici, oglišči tej strnici nsprotne strnice p n krkih trikotnik. Izrčunj dolžino strnice kvdrt. 450. V trikotnik s strnicmi, dolgimi = 40 cm, = 35 cm in c = 70 cm, včrtmo prlelogrm EF tko, d točk leži n strnici, točk E n strnici in točk F n strnici. Koliko st dolgi strnici prlelogrm, če je dolžin krjše enk tretjini dolžine dljše? F E
Podoni liki 69 451. * N podstrešje smo shrnili tri šktle v oliki kocke, tko d se dotikjo med seoj in tudi strehe. Ro njvečje kocke je dolg 3 dm, njmnjše p dm. Kolikšen je ro srednje kocke? dm? 3 dm 45. * Kozrec im oliko prisekneg stožc. Vnj dmo 3 kroglice, ki se dotikjo med seoj, p tudi sten kozrc. Polmer njvečje kroglice je dolg 3 cm, njmnjše p 1 cm. Kolikšen je polmer srednje kroglice? 453. * N list ppirj 4 nrišemo dljšo simetrlo. Nto prepognemo vogl do simetrle, kot prikzujet sliki. Pod kolikšnim kotom smo prepognili ppir? Odgovor utemelji. 454. * Nčrtj trikotnik. ) α = 45, β = 75, t c = 5 cm ) α = 75, γ = 30, s α = 3 cm (s α je odsek simetrle kot α, ki leži v ) c) β = 60, γ = 45, r = cm (r je polmer včrtne krožnice) d) α = 15, β = 105, R = 5 cm (R je polmer očrtne krožnice) 455. * Nj o poljuen štirikotnik. Pokži, d so rzpolovišč njegovih strnic oglišč prlelogrm. 456. * Ploščin trikotnik je enk S. Nj o M točk n strnici, N n strnici in K n strnici, d velj M : M = N : N = K : K = 1 :. Kolikšn je ploščin trikotnik MNK? 457. * n je prvokotnik s strnicm, dolgim = 56 cm in = 4 cm. Nj o M tk točk n strnici, d velj M : M = 1 : 4. ljici M in rzdelit prvokotnik n štiri like. Izrčunj njihove ploščine. 458. * S svetilko posvetimo proti zidu, ki je oddljen 6 cm. Svetilk oddj svetloo od tl do kot 45. N rzdlji 16 cm od zidu je polkrožn ovir s polmerom, dolgim 6 cm. Tko je del zidu osvetljen, del p v senci zrdi polkrožne ovire. Koliko centimetrov je dolg osvetljeni del (glej sliko)? osvetljeni del senc 16 cm 6 cm 459. * Polkrožnic s središčem n hipotenuzi prvokotneg trikotnik se dotik oeh ktet. Središče rzdeli hipotenuzo n dljici, dolgi 15 cm in 0 cm. Izrčunj dolžino krožneg lok med dotiklišči s ktetm. 460. * N rvnini st dni vzporedni premici p in q, oddljeni njveč 4 cm, ter premic r, ki sek premici p in q. Nčrtj enkostrnični trikotnik, ktereg strnic je dolg 4 cm in ktereg po eno oglišče leži n premich p, q in r.
70 Podonost v prvokotnem trikotniku POONOST V PRVOKOTNEM TRIKOTNIKU 1 je prvokotn projekcij ktete n hipotenuzo, 1 p prvokotn projekcij ktete n hipotenuzo. v 1 1 c Pitgorov izrek c = + 1 + 1 = c = 1 + v = 1 + v Evklidov izrek = 1 c = 1 c Višinski izrek v = 1 1 Polmer prvokotnemu trikotniku očrtne krožnice je enk polovici dolžine hipotenuze. olžin težiščnice n hipotenuzo prvokotneg trikotnik je enk polovici dolžine hipotenuze. 461. 46. 463. 464. 465. V trikotniku s prvim kotom pri oglišču izrčunj neznne dolžine strnic in višine n strnico c ter prvokotni projekciji ktet in n hipotenuzo. Rezultti nj odo točni. ) = 3 cm = 4 cm f) v = 6 cm 1 = cm ) = 5 cm c = 10 cm g) 1 = 3 cm c = 10 cm c) = 5 cm 1 = 3 cm h) c = 0 cm : = 3 : 4 d) 1 = 7 cm 1 = 4 cm i) c = 15 cm 1 : 1 = : 3 e) v = 6 cm = 10 cm j) * c = 10 cm v = 6 cm Nčrtj dljico, ktere dolžin je koren nekeg števil, n 3 nčine: z uporo Pitgoroveg izrek, z uporo višinskeg izrek in z uporo Evklidoveg izrek. ) 6 ) 8 c) 5 d) 10 e) 7 V prvokotnem trikotniku je hipotenuz dolg 1 cm, prvokotn projekcij krjše ktete n hipotenuzo p 3 cm. Ntnčno izrčunj: ) oseg trikotnik, ) ploščino trikotnik, c) polmer trikotniku očrtne krožnice. V prvokotnem trikotniku je hipotenuz dolg 10 cm, dolžini krjše ktete in njene prvokotne projekcije p st v rzmerju 3 :. Ntnčno izrčunj: ) oseg trikotnik, ) ploščino trikotnik, c) polmer trikotniku očrtne krožnice. Prvokotni projekciji ktet n hipotenuzo prvokotneg trikotnik st dolgi 3 cm in 4 cm. Ntnčno izrčunj: ) oseg trikotnik, ) ploščino trikotnik, c) dolžino težiščnice n strnico c. 466. Projekciji ktet prvokotneg trikotnik n hipotenuzo st dolgi 3 cm in 9 cm. ) Izrčunj dolžine vseh strnic ter dolžino višine n hipotenuzo. Rezultti nj odo ntnčni. ) Izrčunj velikosti notrnjih kotov trikotnik.
Podonost v prvokotnem trikotniku 71 467. Izrčunj dolžino dljice, ki je n sliki oznčen s črko x. Podtke rzeri s slike. ) = 8 cm ) x x c = 3 cm = 4 cm c = 5 cm 468. * n je prvokotni trikotnik s prvim kotom pri oglišču. Nj o prvokotn projekcij točke n hipotenuzo, točk M nj o prvokotn projekcij n strnico in točk N prvokotn projekcij n strnico. Točk M je prvokotn projekcij M n hipotenuzo in N je prvokotn projekcij N n hipotenuzo. okži: N = M. 469. Premic z enčo x 3 + y 6 n hipotenuzo. = 1 oklep s koordintnim osem prvokotni trikotnik. Izrčunj njegovo višino 470. Izrčunj oddljenost premice x + 3y = 1 od koordintneg izhodišč. 471. 47. 473. 474. 475. 476. Hipotenuz prvokotneg trikotnik je od ene ktete dljš z 4 cm, od druge ktete p z 8 cm. Kolikšen je polmer temu trikotniku očrtne krožnice? olžini ktet prvokotneg trikotnik s ploščino 480 cm st v rzmerju 8 : 15. Koliko je od hipotenuze oddljeno njej nsproti ležeče oglišče? V prvokotnem trikotniku s prvim kotom pri oglišču je rzmerje med dolžino ktete in dolžino njene prvokotne projekcije n hipotenuzo enko 4 : 1. Višin n hipotenuzo je dolg 8 15 cm. Izrčunj dolžini ktet in dolžino hipotenuze. Kolikšen je polmer trikotniku očrtne krožnice? Izrčunj oseg in ploščino prvokotnik, ktereg digonl je dolg 13 cm, en izmed strnic p 7 cm. Rezultt nj o točen. N 3 mest ntnčno izrčunj oseg in ploščino enkokrkeg trikotnik, ktereg osnovnic je dolg 10 cm, višin n osnovnico p 0 cm. olžin hipotenuze MR prvokotneg trikotnik MNR je enk 0 cm, MN = 1 cm. V rzpolovišču S hipotenuze nrišemo prvokotnico n hipotenuzo, ki sek kteto v točki T. Zpiši podon trikotnik ter izrčunj dolžini dljic NR in TR. Rezultt nj o točen. 477. 478. Izrčunj oseg in ploščino rom, ktereg digonli st dolgi 3 cm in 4 cm. olžini digonl rom st v rzmerju 1 : 5. Izrčunj dolžini oeh digonl, če je oseg rom 104 cm. 479. n je trpez s podtki = 0 cm, = 16 cm, c = 5 cm, presečišče digonl trpez. Ntnčno izrčunj dolžino dljice S. = 90. Točk S je 480. 481. 48. Izrčunj višino enkokrkeg trpez s podtki: = 10 cm, = d = 4 cm in c = 3 cm. Rezultt zokroži n tri mest. n je deltoid s simetrlo in podtki = 6 cm, = 4 cm, = 4 cm. Ntnčno izrčunj dolžino digonle. Kvdrtu s strnico, dolgo, včrtmo in očrtmo krožnico. Izrzi ploščino kolorj med oem krožnicm s spremenljivko.
7 Podonost v prvokotnem trikotniku 483. igonl prvokotnik je dolg 0 cm, en izmed strnic p je z 4 cm dljš od druge. Ntnčno izrčunj: ) oseg prvokotnik, ) oseg prvokotniku očrtne krožnice, c) ploščino njvečjeg možneg prvokotniku včrtneg krog. 484. Izrčunj dolžino strnice c trikotnik s podtki = 3, = 7 in β = 30. 485. Nj o poljuen prvokotni trikotnik s prvim kotom pri oglišču. Iz ppirj izrežemo 4 tke trikotnike. Zložimo jih v kvdrt, kot prikzuje slik. c c c c 486. ) Kteri lik predstvlj luknj med trikotniki? Utemelji. ) Ploščino celotneg kvdrt enči z vsoto ploščin štirih trikotnikov in lik med njimi. Kj doiš? Mih in mdej sedit n kolesih in se pogovrjt tko, d se njuni sprednji kolesi dotikt. Mihovo kolo im polmer 0 cm, mdejino p 30 cm. N kolikšni rzdlji st njuni krmili? 487. V krogu s polmerom 10 cm nrišemo tetivo dolžine 16 cm. Koliko je tetiv oddljen od središč krožnice? 488. V polkrog s polmerom R nrišemo dv polkrog in en krog, kot prikzuje slik. Kolikšen je polmer krog? 489. ni st istosrediščni krožnici. Tngent mnjše krožnice določ tetivo večje krožnice, ktere dolžin je osemkrt tolikšn, kot je polmer mnjše krožnice. V kolikšnem rzmerju st polmer oeh krožnic? 490. V krogu st nrisn med seoj prvokotn premer in. N krožnici leži točk E, presečišče dljic in E je M. Zpiši podon trikotnik ter ntnčno izrčunj dolžini dljic E in M, če je polmer krožnice 10 cm in E = 1 cm. M E
Podonost v prvokotnem trikotniku 73 491. * Iz meter dolge žice i rdi nredili model hišice, sestvljene iz kvdrt in enkostrničneg trikotnik. N milimeter ntnčno izrčunj višino hišice. li je žico pri tem potreno rezti? 49. * Polmer prvokotnemu trikotniku očrtne krožnice je dolg,5 cm, včrtne p 1 cm. Izrčunj dolžine strnic trikotnik. 493. Simetrl prveg kot je hkrti simetrl kot, ki g oklept višin in težiščnic n hipotenuzo teg prvokotneg trikotnik. Pokži 494. * Šktl dimenzij 30 cm 16 cm 5 cm je postvljen tko, d se z njvečjo ploskvijo dotik podlge. Mrvlj je pri enem izmed spodnjih voglov šktle. Kolikšno njkrjšo pot mor prehoditi mrvlj, če želi priti po zunnjih stenh šktle do nsprotneg zgornjeg vogl? 495. * Okrog vlj z osegom 16 cm in višino 1 cm enkrt ovijemo vrvico. Zčetek vrvice je n zgornjem rou vlj. Ntnko pod njim je n spodnjem rou vlj konec vrvice. Kolikšn je dolžin vrvice? Kolikšn i morl iti dolžin vrvice, če i jo ovili dvkrt? 496. * ružin Srk o z novoletnimi lučkmi okrsil dv ster pred hišo. Ster imt oliko vlj, visok st 3 m in deel 30 cm. Koliko metrov lučk potreujejo z o ster skupj, če želijo n vskem steru imeti ntnko 10 enkih zvojev?