OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 priručnik za vežbe u laboratoriji

Sonja Kstić OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 piučnik za vežbe u laboatoiji VŠER Beogad 01.

Elektostatika Sadžaj: 1. KULONOV ZAKON...1 Teoijska Osnova...1 Zadatak Vežbe...3. ELEKTROSTATIČKO POLJE...7 Teoijska Osnova...7 Zadatak Vežbe...9 3. ELEKTROSTATIČKI POTENCIJAL... 13 Teoijska Osnova... 13 Zadatak Vežbe... 15 4. GAUSOV ZAKON... 19 Teoijska Osnova... 19 Zadatak Vežbe... 1 5. KONDENZATORI... 3 Teoijska Osnova... 3 Zadatak Vežbe... 6 6. ENERGIJA ELEKTROSTATIČKOG POLJA... 300 Teoijska Osnova... 30 Zadatak Vežbe... 31 1

vežba boj 1 1. KULONOV ZAKON U ovoj vežbi: Tačkasta naelektisanja Definicija kulonovog zakona Matematički oblik kulonovog zakona Konstanta sazmenosti Dielektična konstanta Elektostatičke sile Teoijska Osnova Kulonov zakon je zakon koji govoi o elektostatičkim silama između tačkastih naelektisanja. Tačkasto naelektisanje je naelektisanje koje ima odeđenu količinu elektičnog opteećenja i nema dimenzije. U paksi se za tačkasta naelektisanja smataju pozitivno i negativno naelektisane čestice i sva naelektisana tela čije su dimenzije zanemaljive u odnosu na astojanje između njih. F 1 1 Q = 4 πε 0 Q 1 1 01 U izazu za Kulonov zakon konstanta sazmenosti je 1 9 Nm k = = 9 10, 4 πε 0 C a ε 0 je dielektična konstanta vakuuma i vazduha i iznosi 1 9 1 10 C 1 C ε 0 = = = = 8,85 10. 4πk 9 Nm 36π Nm Nm 4π 9 10 C Sila je vektoska veličina što znači da je odeđena intenzitetom, pavcem i smeom. Intenzitet sile je odeđen bojnim vednostima, a osnovna jedinica je Njutn [N]. Pavac Kulonove sile definisan je jediničnim vektoom. Sme Kulonove sile definisan je jediničnim vektoom 01 01 i algebaskim intenzitetom sile. Jedinični vekto je vekto, koji po Kulonovom zakonu ima: 01 - intenzitet 1, - pavac linije koja spaja naelektisanja Q 1 i Q, 1

- sme od naelektisanja Q 1 ka naelektisanju Q. Jedinica za količinu naelektisanja je Kulon [C]. Pime 1 Ako je Q 1 > 0 i Q > 0 onda je sila F 1 odbojna. Znači, Q 1 deluje na Q i gua ga od sebe (napadna tačka sile je u tački u kojoj se nalazi Q ). Pime Ako je Q 1 > 0 i Q < 0 onda je sila F 1 pivlačna. Znači, Q 1 deluje na Q i pivlači ga ka sebi. Jedinični vekto 01 =, što znači da mu je intenzitet jednak 1, pavac je isti kao pavac 01 jediničnog vektoa 01, a sme je od Q ka Q 1 (supotan od smea 01 ). Zato je i sila F 1 kojom Q deluje na Q 1 supotnog smea od sile F 1 : 1 Q1 Q F1 = 01. 4 πε Pime 3 0 1 Ako je Q 1 > 0 i Q > 0 onda je sila F 1 odbojna. Znači, Q deluje na Q 1 i gua ga od sebe (napadna tačka sile je u Q 1 ). Pime 4 Ako je Q 1 > 0 i Q < 0 onda je sila F 1 pivlačna. Znači, Q deluje na Q 1 i pivlači ga ka sebi.

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostale navedene zadatke. 1.1 Dva tačkasta tela naelektisanja Q 1 i Q nalaze se u vazduhu na astojanju 1 = 0. m. Odediti vekto Kulonove sile kojim telo naelektisanja Q 1 deluje na telo naelektisanja Q, ako je: a) Q 1 = 4 10-11 C i Q = 6 10-11 C; b) Q 1 = -4 10-11 C i Q = -6 10-11 C; c) Q 1 = 4 10-11 C i Q = -6 10-11 C. Rešenje: Između dva tačkasta naelektisanja Q 1 i Q, koja se nalaze na astojanju 1, deluje Kulonova sila. Naelektisanje Q 1 deluje na naelektisanje Q silom: Q1 Q F1 = k 01 1 Slika 1.1 koja zavisi od naelektisanja Q 1 i Q i astojanja između njih. Pavac sile odeđen je jediničnim vektoom 01. Sme sile odeđen je jediničnim vektoom 01 i algebaskim intenzitetom sile (znacima naelektisanja). a) Zamenom bojnih vednosti u izazu za Kulonovu silu dobijamo: 11 11 Q1 Q 9 Nm 4 10 C 6 10 C F1 = k 01 = 9 10 01 = C 0, m 1 ( ) 9 11 11 9 4 6 10 9 4 6 9 11 11 11 = N 01 = 10 N 01 = 54 10 N 01 0,04 4 11 Iz ezultata vidimo da je algebaski intenzitet sile jednak F 1 = 54 10 N i pošto je pozitivan to znači da se pavac i sme Kulonove sile poklapaju sa pavcem i smeom jediničnog vektoa 01. Jedinični vekto 01 je usmeen od naelektisanja Q 1 (telo koje deluje) ka naelektisanju Q (telo na koje se deluje), tako da je Kulonova sila odbojna. To je očekivani ezultat pošto su Q 1 i Q naelektisanja istog znaka. Na slici 1.1 pikazan je pavi sme Kulonove sile F 1. Silu kojom telo naelektisanja Q deluje na telo naelektisanja Q 1 ačunamo pimenom Kulonovog zakona: 11 11 Q1 Q 9 Nm 6 10 C 4 10 C 11 F1 = k 01 = 9 10 01 = 54 10 N 01. C 1 ( 0, m) Naavno algebaski intenzitet i ove sile je pozitivan, a jednak je algebaskom intenzitetu sile F 1 S obziom da je algebaski intenzitet pozitivan sme sile F 1 se poklapa sa smeom jediničnog vektoa 01, koji je usmeen od naelektisanja Q ka naelektisanju Q 1. Dakle, sile F 1 i F 1 su istog intenziteta a supotnog smea (Slika 1.1). b) Kao i u zadatku pod a), zamenom bojnih vednosti u izazu za Kulonovu silu dobijamo: 3

F 1 Q1 Q = k 1 01 11 11 9 Nm ( 4 10 C) ( 6 10 C) = 9 10 C ( 0, m) 01 = 9 4 6 10 = 0,04 9 11 11 N 01 = 54 10 I u ovom slučaju je algebaski intenzitet sile pozitivan a sila je odbojna, i pikazana je na slici 1.1. c) Zamenom bojnih vednosti u izazu za Kulonov zakon dobijamo: 11 11 Q1 Q 9 Nm 4 10 C ( 6 10 C) F1 = k 01 = 9 10 01 = C 0, m 1 11 ( ) 9 11 11 9 4 6 10 11 = N 01 = 54 10 N 01 0,04 11 U ovom slučaju je algebaski intenzitet sile jednak F 1 = 54 10 N i pošto je negativan to znači da je sme Kulonove sile supotan od smea jediničnog vektoa 01. Kao što smo već pomenuli, jedinični vekto je usmeen od naelektisanja Q 1 ka naelektisanju Q i Kulonova sila je pivlačna. I ovo je očekivani ezultat, pošto su Q 1 i Q naelektisanja supotnog znaka. N 01 Slika 1.. Na slici 1. nactan je pavi sme sila F 1 i F 1. Sila F 1 je istog intenziteta i pavca, a supotnog smea od sile F 1. 4

1. Dve kuglice polupečnika a = mm naelektisane su istim količinama naelektisanja Q. Intenzitet sile koja deluje između njih je 9 10-7 N. Kuglice su na astojaju = dm. Odediti količinu naelekisanja Q kojom su naelektisane kuglice. Rešenje: 5

1.3 Ti tačkasta naelektisanja, Q 1 = 1 pc, Q = pc i Q 3 = 3 pc, nalaze se u vazduhu na istom pavcu, pi čemu se naelektisanje Q nalazi između naelektisanja Q 1 i Q 3. Rastojanje između naelektisanja Q 1 i Q je 1 = cm, a astojanje između naelektisanja Q i Q 3 je 13 = 3 cm. a) Odediti elektostatičku silu (njen pavac, sme i intenzitet) koja deluje na naelektisanje Q. b) Odediti elektostatičku silu (njen pavac, sme i intenzitet) koja deluje na naelektisanje Q 3. Rešenje: 6

vežba boj. ELEKTROSTATIČKO POLJE U ovoj vežbi: Elektostatičko polje Elektično polje Pobno opteećenje Razlaganje vektoa Pincip supepozicije Teoijska Osnova E = F Q p Pobno opteećenje Q p je tačkasto naelektisanje koje koistimo u ekspeimentima, a tako je osmišljeno da ne utiče na ezultate ekspeimenta. Znači: uvek je pozitivno i baem dva eda veličine (baem 100 puta) manjeg naelektisanja od ostalih naelektisanja u okolini. Šta je x komponenta vektoa polja, a šta je y komponenta vektoa polja? To su pojekcije vektoa polja na x i y ose koodinatnog sistema u avni. E x = E x i = E cosα i E = E j = E sinα j y y gde su : i - jedinični vekto x-ose (on definiše pavac i sme x-ose), j - jedinični vekto y-ose (on definiše pavac i sme y-ose), Slika.1 7

E - intenzitet vektoa E, E x - intenzitet pojekcije vektoa E na x-osu, E - intenzitet pojekcije vektoa E na y-osu. y Polje u okolini tačkastog naelektisanja je adijalno i opada sa kvadatom astojanja u svim pavcima. 1 Q Qp 0 F 4πε 0 1 Q E = = = 0 Q Q 4πε p p 0 E 1 ~ Slika. E - E Slika.3 linije elektostatičkog polja uvek su usmeene od pozitivnog naelektisanja Slika.4 linije elektostatičkog polja uvek su usmeene ka negativnom naelektisanju Linije elektostatičkog polja su linije na koje je vekto elektostatičkog polja tangentan u svakoj tački. Elektostatičko polje u tački A jednako je vektoskom zbiu elektostatičkih polja koja stvaaju pojedina naelektisanja u tački A (pincip supepozicije). Na pime, u tački A koja se nalazi u okolini ti tačkasta naelektisanja, elektostatičko polje je: E = E E E. Jedinica za jačinu elektostatičkog polja je C N ili m V. A 1 3 8

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostale navedene zadatke..1 a) Odediti vekto jačine elektostatičkog polja na astojanju = 0, m od tačkastog naelektisanja Q 1 = 4 10-11 C. b) Ako se u tačku na astojanju = 0, m od tačkastog naelektisanja Q 1 postavi tačkasto naelektisanje Q = 6 10-11 C odediti silu (njen intenzitet, pavac i sme) koja deluje na naelektisanje Q? c) Odediti silu koja bi delovala na tačkasto naelektisanje Q 3 = -6 10-11 C postavljeno u istu tačku. d) Uaditi isti zadatak pod a), b) i c) ako je Q 1 = -4 10-11 C. Rešenje: Vekto jačine elektostatičkog polja koje oko sebe stvaa tačkasto naelektisanje Q, na astojanju, u vazduhu, jednak je: Q E = k 0, gde je 0 jedinični vekto koji je uvek usmeen od naelektisanja Q, bez obzia na znak naelektisanja. a) Zamenom bojnih vednosti u izaz za vekto jačine elektostatičkog polja dobijamo: 11 9 11 Q1 9 Nm 4 10 C 9 10 4 10 N 9 11 N N E = k 0 = 9 10 0 = 1 0 = 9 10 0 = 9 0. C ( 0, m) ( 10 ) C C C Algebaski intenzitet jačine elektostatičkog polja N je E = 9 i pozitivan je, pa se sme ovog vektoa C poklapa sa smeom jediničnog vektoa 0 - usmeen je od tačkastog naelektisanja kao što je pikazano na slici.5. Uopšte, elektostatičko polje, koje stvaa Slika.5 pozitivno tačkasto naelektisanje, je adijalno, a vekto jačine elektostatičkog polja je uvek usmeen od naelektisanja. b) Silu koja deluje na tačkasto naelektisanje postavljeno u blizinu dugog tačkastog naelektisanja možemo izačunati pimenom Kulonovog zakona, kao u zadatku 1.1, ili peko vektoa jačine elektostatičkog polja, koji smo pethodno odedili. S obziom da smo u ovom zadatku pod a) odedili vekto jačine elektostatičkog polja u posmatanoj tački, silu na tačkasto naelektisanje Q odeđujemo kao poizvod vektoa jačine elektostatičkog polja i algebaske vednosti naelektisanja: N 11 11 F = E Q = 9 0 6 10 C = 54 10 N 0. C Sila F je istog pavca i smea kao vekto E, je je naelektisanje Q pozitivno. Iz izaza vidimo da se sme sile poklapa sa smeom jediničnog vektoa 0, odnosno da je sila odbojna i da je jednaka 9

sili F 1 iz zadatka I.1.1. Dakle, s obziom da su vednosti naelektisanja Q 1 i Q iste kao u zadatku 1.1, kao što je očekivano dobili smo isti ezultat. Vekto F je pikazan na slici.5. Slika.6 Slika.7 c) Kada se u istu tačku postavi negativno naelektisanje Q 3, sila koja deluje na to naelektisanje je: N 11 11 F3 = E Q3 = 9 0 ( 6 10 C) = 54 10 N 0 C S obziom da je naelektisanje Q 3 iste bojne vednosti kao i naelektisanje Q a supotnog znaka, sila F 3 ima isti intenzitet kao sila F ali je supotnog smea. Dakle, pošto je naelektisanje Q 3 negativno, sila F3 je istog pavca a supotnog smea od vektoa jačine elektostatičkog polja E u posmatanoj tački, kao što je pikazano na slici.7. d) Zamenom bojnih vednosti u izazu za vekto jačine elektostatičkog polja dobijamo: 11 9 11 Q1 9 Nm ( 4 10 C) 9 10 4 10 N N E = k 0 = 9 10 0 = 1 0 = 9 0. C ( 0, m) ( 10 ) C C Algebaski intenzitet jačine elektostatičkog Q 1 <0 Q 3 <0 polja je: N E = 9, 0 E F C i pošto je negativan, sme ovog vektoa je supotan od smea jediničnog vektoa 0 (uvek usmeenog Slika.8 od naelektisanja) vekto E je usmeen ka Q tačkastom naelektisanju kao što je pikazano na 1 <0 Q >0 slici.8. Uopšte, elektostatičko polje, koje stvaa negativno tačkasto naelektisanje, je adijalno, a 0 F E vekto jačine elektostatičkog polja je uvek usmeen ka naelektisanju. Slika.9 Sila koja deluje na naelektisanje Q postavljeno u posmatanu tačku je: Q 1 <0 Q 3 <0 N 11 11 F = E Q = 9 0 6 10 C = 54 10 N 0 C 0 E F Sila koja deluje na naelektisanje Q 3 postavljeno u posmatanu tačku je: N 11 11 Slika.10 F3 = E Q3 = 9 0 ( 6 10 C) = 54 10 N 0 C 10

. Koliki je intenzitet sile koja deluje na tačkasto naelektisanje Q = 10 pc koje se nalazi u tački u kojoj je jačina elektostatičkog polja E = 3 C N? Rešenje: 11

.3 Dva tačkasta naelektisanja Q 1 = 1 pc i Q 3 = 3 pc nalaze se na astojanju 13 = 5 cm u vazduhu. a) Odediti vekto jačine elektostatičkog polja u tački A koja se nalazi na pavoj između ova dva naelektisanja, a udaljena je od naelektisanja Q 1 za 1 = cm. b) Odediti silu (njen pavac, sme i intenzitet) koja deluje na naelektisanje Q = pc koje je postavljeno u tačku A. Rešenje: 1

vežba boj 3 3. ELEKTROSTATIČKI POTENCIJAL U ovoj vežbi: Elektostatički potencijal Tačka nultog potencijala Napon Ekvipotencijalna povšina Teoijska Osnova W V = Q e p Elektostatički potencijal neke tačke se izačunava u opštem slučaju kao linijski integal vektoa elektostatičkog polja duž bilo koje putanje, ačunato od tačke čiji potencijal tažimo pa do efeentne tačke. R VA = E dl Refeentna tačka je tačka u odnosu na koju se elektostatički potencijal odeđuje. Ona se može poizvoljno izabati, ali se najčešće za efeentnu tačku uzima tačka u beskonačnosti. Često se ta tačka zove i tačka nultog potencijala zato što je elektostatički potencijal efeentne tačke 0V. Razlika elektostatičkih potencijala dveju tačaka je napon. Jedinica za napon je Volt [V]. U AB = V A VB Zašto je uopšte uvedena azlika potencijala kao potpuno nova fizička veličina? Zato što elektostatički potencijal zavisi od izboa efeentne tačke, a napon ne. R R R B R B B V A V B = E dl E dl = E dl E dl = E dl E dl = E dl = U A B A R A R A Zašto je U AB = -U BA? U AB 13 A B B A = E dl = E dl = E dl = U A A B BA AB

Na pime, ako je napon U 1 = 10V, onda je napon U 1 = 10V. Ako je napon U MN = 50V, onda je napon U 50V. NM = Ekvipotencijalna povšina je povšina čije su sve tačke na istom potencijalu. Pime 1 1 Q V A = 4πε 0 V 1 Q Q V B = V A = V B = V C 4πε 0 1 Q V C = A 4πε 0 B Pošto su sve tačke ove sfee na istom astojanju od naelektisanja Q, onda je i njihov elektostatički potencijal isti. Zato ova sfea pedstavlja ekvipotencijalnu povšinu. C 14

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostale navedene zadatke. 3.1 Odediti potencijal tačke koja se nalazi na astojanju 1 = 0, m od tačkastog naelektisanja Q 1 = 4 10-11 C u odnosu na efeentnu tačku u beskonačnosti. Rešenje: Potencijal je skalana veličina. Elektostatički potencijal koji stvaa tačkasto naelektisanje Q 1 = 4 10-11 C na astojanju 1 = 0, m od njega dobija se po fomuli: 11 Q1 9 Nm 4 10 C V 1 = k = 9 10 = 1,8 V. C 0, m 1 Dakle, pozitivno naelektisanje stvaa pozitivan potencijal u postou oko sebe. 15

3. Ti tačkasta naelektisanja Q A = 10 pc, Q B = -10 pc i Q C = 10 pc nalaze se u vakuumu u temenima jednakostaničnog tougla stanice a = 3 m. Odediti potencijal u centu (težištu) tougla. Rešenje: 16

3.3 Dva mala naelektisana tela naelektisanja Q 1 = 4 pc i Q = pc, nalaze se u vazduhu na astojanju = 30 cm, kao na slici. a) Odediti vekto jačine elektostatičkog polja u tački A koja se nalazi na pavoj između ova dva naelektisanja, a udaljena je od naelektisanja Q 1 za 1 = 0 cm. b) Odediti vekto jačine elektostatičkog polja u tački B koja se nalazi na pavoj koju odeđuju ova dva naelektisanja, sa stane naelektisanja Q, a udaljena je od njega za = 10cm. c) Odediti potencijale tačaka A i B. d) Odediti napon U AB. Koliki je napon U BA? e) Odediti silu (njen pavac, sme i intenzitet) koja bi delovala na naelektisanje Q pa = 1 pc kada bi se postavilo u tačku A. f) Odediti silu (njen pavac, sme i intenzitet) koja bi delovala na naelektisanje Q pb = -1 pc kada bi se postavilo u tačku B. Rešenje: 17

3.4 Ti tačkasta naelektisanja Q 1 = nc, Q = -5 nc i Q 3 = 10 nc nalaze se u vakuumu u temenima kvadata stanice a = 10 cm. a) Odediti potencijal četvtog temena kvadata. b) Odediti azliku potencijala između četvtog temena kvadata i centa kvadata. c) Nactati i izačunati komponente elektostatičkog polja u tački D koje potiču od pojedinih naelektisanja. Rešenje: 18

ežba boj 4 4. GAUSOV ZAKON U ovoj vežbi: Gausov zakon Uopšten Gausov zakon Slobodna naelektisanja Vezana naelektisanja Polaizacija dielektika Vekto elektične indukcije Teoijska Osnova E ds = S Q ε 0 Gausovim zakonom se izačunava vekto elektostatičkog polja E. Gausov zakon važi u vakuumu, a pibližno važi i u vazduhu. D ds = Q S Elektoni u povodniku su slobodna naelektisanja. Postoje i vezana naelektisanja. To su ona naelektisanja koja se izdvajaju uz samu ivicu dielektika unetog u polje. Vezana naelektisanja su posledica polaizacije dielektika. Polaizacija dielektika je pojava pi kojoj dolazi do azdvajanja centaa pozitivnih i negativnih naelektisanja u atomu dielektika. Od neutalnih atoma stvaaju se elektični dipoli i oijentišu se u smeu polja u koje smo uneli dielektik, kao što je pikazano na slici. Spolja gledano, pozitivni i 19

negativni kajevi susednih dipola u dielektiku se poništavaju. Ostaju neponištena samo vezana naelektisanja u sloju dielektika neposedno uz povšinu. Negativna su u onom sloju koji je najbliži pozitivnom izvou polja, a pozitivna naelektisanja su na supotnom kaju dielektika (koji je najbliži negativnom izvou elektostatičkog polja). Q -Q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Q v Q v Slika 4.1 Polaizacija dielektika Vekto elektične indukcije je vektoska veličina koja objedinjuje vekto polja i polaizaciju dielektika unetog u polje. U lineanim homogenim dielekticima vekto elektične indukcije D lineano zavisi od vektoa jačine polja E, a lineanost je izažena peko apsolutne dielektične konstante ε D = ε E. ε = ε 0 ε, gde je: C F ε apsolutna dielektična konstanta, jedinica je ili. Nm m ε 0 dielektična konstanta vakuuma i vazduha, iz fomule se vidi da je jedinica za C F apsolutnu dielektičnu konstantu ε ista kao za ε 0, dakle ili. Nm m ε elativna dielektična konstanta. To je neimenovan boj, što znači da nema jedinicu. 0

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea pobaj da sve uadiš sam ispočetka. 4.1. Odediti vekto jačine elektičnog polja u okolini beskonačne tanke avnomeno naelektisane ploče u vazduhu. Rešenje: Petpostavimo da je ploča pozitivno naelektisana. Ploča je beskonačna, a naelektisanje je avnomeno aspoeđeno po ploči i linije vektoa jačine elektičnog polja nomalne na ploču, a vekto E je usmeen od ploče (pozitivno je naelektisana). Intenzitet vektoa E je isti u svim tačkama, tj. polje je homogeno. Dakle, odedili smo pavac i sme vektoa E. Da bismo odedili intenzitet ovog vektoa pimenićemo Gausov zakon. Odedićemo najpe povšinu S koz koju odeđujemo fluks vektoa E, E ds. To može biti bilo koja zatvoena povšina, ali ćemo izabati S takvu povšinu koz koju je najlakše odediti taj fluks. Jedna takva povšina je valjak koji pobija ploču, a čiji omotač je nomalan na ploču i osnove paalelne sa pločom (Slika 4.). Vekto ds ima intenzitet koji je jednak povšini ds, pavac je nomalan na povšinu ds, a usvojeno je da je uvek usmeen od zatvoene povšine S. Vekto nomale n je vekto čiji je intenzitet jednak 1, pa je ds = n ds. B B O B 1 S Slika 4. Integal E ds ešavamo tako što valjak podelimo na ti povšine, dve osnove i omotač: = S B1 S E ds cos E ds = 1 S E ds S E ds E ds = B1 B O ( E, nb ) E ds cos( E, n ) ( ) 1 B E ds cos E, n O S B S 1 1. S obziom da je vekto E paalelan sa omotačem valjka ugao između vektoa E i ds jednak je π, pa je kosinus jednak nuli. Vekto E je nomalan na osnove valjka pa je ugao između vektoa E i ds jednak nuli, a kosinus je jednak jedinici. Dakle, fluks je: S O 1

E ds E ds E ds E ds E ds ds = = = E S, SB 1 SB SB 1 SB 1 SB 1 SB 1 gde je intenzitet vektoa E izvučen isped integala je je konstantan. Integal ds pedstavlja S B zbi elementanih povšina ds po povšini osnove valjka S B, pa je integal upavo jednak povšini S B. Sa desne stane jednakosti Gausovog zakona nalazi se količina naelektisanja obuhvaćena povšinom S podeljena dielektičnom konstantom vakuuma ε 0 : ΔQ E S =, ε 0 odakle se dobija izaz za intenzitet elektičnog polja oko beskonačne naelektisane avni: ΔQ σ E = ε =. S 0 ε 0 U ovom izazu σ pedstavlja povšinsku gustinu naelektisanja i jednaka je količniku naelektisanja i povšine koja obuhvata to naelektisanje. Jedinica za povšinsku gustinu C naelektisanja je. m

vežba boj 5 5. KONDENZATORI U ovoj vežbi: Kondenzato Kapacitivnost Pločasti kondenzatoi Redna, paalelna i mešovita veza kondenzatoa Teoijska Osnova Kondenzato je sistem od dve povodne elektode između kojih je ubačen dielektik. Kondenzatoi se azlikuju po obliku, po vsti dielektika između elektoda, po vsti metala od kog su napavljene elektode. Najvažnija kaakteistika kondenzatoa je kapacitivnost. Kapacitivnost zavisi od oblika, dimenzija kondenzatoa i vste dielektika u njemu. Kada se elektode kondenzatoa piključe na azliku elektostatičkog potencijala doći će do pocesa njihovog naelektisavanja. Ona elektoda koja je piključena na viši elektostatički potencijal naelektisaće se pozitivno, a ona duga koja je piključena na niži potencijal, naelektisaće se negativno. Taj pelazni poces naelektisavanja kondenzatoa tajaće sve dok se elektode ne naelektišu tolikom količinom naelektisanja da je zadovoljena elacija: Q C =. U Ova elacija važi uvek i za sve tipove kondenzatoa. V > V 1 1 Q > 0 Q < 0 Slika 5.1 Naelektisanja na elektodama kondenzatoa su uvek jednakog intenziteta, a supotnog znaka Q1 = Q nezavisno od oblika kondenzatoa. Kada se kondenzato naelektiše i odvoji od izvoa napajanja na njegovim elektodama ostaje konstantan napon. Mi poučavamo samo pločast kondenzato. U njemu je elektostatičko polje homogeno što znači da je vednost polja ista u svakoj tački. Linije takvog polja su paalelne. 3

Vazdušni pločast kondenzato S Q -Q 1 ε 0 Q -Q 1 E 0 Pločast kondenzato sa dielektikom S Q -Q Q -Q 1 1 E d d Elektostatičko polje u kondenzatou je: Elektostatičko polje u kondenzatou je: Q Q E = = Q E0 = ε S ε 0 ε S ε 0S Napon na kajevima kondenzatoa je: Napon na kajevima kondenzatoa je: Q Q U = E d = d = d Q U = E d = d ε S ε 0 ε 0 S ε 0 S Kapacitivnost kondenzatoa je: Kapacitivnost kondenzatoa je: Q ε S ε S C = = = 0 ε Q ε0s C = = U d d U d ε 0 dielektična konstanta vakuuma ε apsolutna dielektična konstanta S povšina elektode ε elativna dielektična konstanta d astojanje između elektoda S povšina elektode d astojanje između elektoda ε Kapacitivnost kondenzatoa može se povećati ako se poveća povšina elektoda, smanji astojanje između elektoda ili upotebi dielektik sa što većom dielektičnom konstantom. Postoje kondenzatoi sa čvstim dielektikom (papi, liskun, polimei, keamike, staklo), tečnim dielektikom (piodna i sintetička ulja) i gasovitim dielektikom (vazduh). Jedinica za kapacitivnost je Faad (F). Ponekad se kondenzatoi povezuju u gupu. Tansfiguisati gupu kondenzatoa znači naći ekvivalentnu kapacitivnost kondenzatoa koja bi zamenila celu gupu. - Redna veza kondenzatoa Kaakteistika edne veze je da su elementi vezani u istoj gani, što znači da kondenzatoi imaju istu količinu naelektisanja na elektodama, pod uslovom da nisu bili opteećeni pe nego što su vezani u kolo. C C A 1 B 1 1 1 C1C = CAB = C AB C1 C C1 C Slika 5. 4

- Paalelna veza kondenzatoa Kaakteistika paalelne veze je da su elementi vezani između dve iste tačke, što znači da je napon na njima isti. C 1 A C B C = C C AB 1 Slika 5.3 paalelna veza kondenzatoa - Mešovita veza kondenzatoa C A C 1 C 3 B C AB ( C C ) = C C 1 3 C C 1 3 Slika 5.4 Mešovita veza 3 kondenzatoa 5

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostalle navedene zadatke. 5.1 Izačunati ekvivalentnu kapacitivnost C e gupe kondenzatoa pikazane na slici, ako je C 1 = 0 nf, C = 30 nf, C 3 = 45 nf, C 4 = 15 nf. A C 1 C C 3 C 4 B Rešenje: Ekvivalentnu kapacitivnost odeđivaćemo postupno, zamenjujući gupe kondenzatoa ekvivalentnim kapacitivnostima: C 1 kondenzatoi C 3 i C 4 su vezani paalelno pa je ekvivalentna kapacitivnost: A B C = C C = 45 nf 15 nf 60 nf; C C 34 34 3 4 = kondenzatoi C i C 34 su vezani edno pa je: 1 1 1 CC34 30 nf 60 nf = C34 = = = 0 nf ; C C C C C 30 nf 60 nf 34 34 kondenzatoi C 1 i C 34 su vezani paalelno pa je ekvivalentna kapacitivnost: C = C = C C = 0 nf 0 nf 40 nf. e 134 1 34 = 34 A A C 1 C 34 C e B B 6

5. Izačunati ekvivalentnu kapacitivnost C e gupe kondenzatoa pikazane na slici, ako je C = 30 pf. C C C A C C C B Rešenje: 7

5.3 Dva kondenzatoa, C 1 = 100 nf i C = 5 nf, vezana su edno i piključena na napon U AB = 10 V. a) Odediti količine naelektisanja na pojedinim kondenzatoima, kao i količinu naelektisanja na ekvivalentnom kondenzatou piključenom na isti napon. b) Odediti napone na pojedinim kondenzatoima. c) Odediti enegije pojedinih kondenzatoa, kao i enegiju ekvivalentnog kondenzatoa piključenog na isti napon. Rešenje: 8

5.4 Veza kondenzatoa pikazana na slici piključena je na napon U AB = 80 V. Kapacitivnosti kondenzatoa su: C 1 = 15 pf, C = 30 pf, C 3 = 30 pf, C 4 = 60 pf, C 5 = 10 pf. a) Izačunati ekvivalentnu kapacitivnost veze C e. b) Izačunati napon U 5 na kondenzatou C 5. c) Izačunati enegiju W e kondenzatoa C. A C 1 C C 5 D C 3 C 4 U AB B Rešenje: 9

vežba boj 6 6. ENERGIJA ELEKTROSTATIČKOG POLJA U ovoj vežbi: Enegija kondenzatoa Enegija elektostatičkog polja Teoijska Osnova Enegija kondenzatoa je enegija koju poseduje kondenzato. Jednaka je adu uloženom za naelektisavanje elektoda kondenzatoa. Enegija kondenzatoa može se izačunati pema obascima: 1 1 1 Q We = Q U = C U =. U Enegija elektostatičkog polja može da se izazi i peko zapeminske gustine enegije w e : gde je: We = we dv, V 1 1 w e = 1 DE = ε E = D. ε Jedinica za enegiju u elektostatičkom polju je Džul [J]. 30

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostalle navedene zadatke. 6.1. Odediti kapacitivnost pločastog vazdušnog kondenzatoa povšine elektoda S = 0 cm, koje se nalaze na astojanju d = 1 cm. Rešenje: a) b) c) E p - - E p- - - E 0 =E p E p- 0 0 E 0 Slika 6.1 - - - Kondenzato čine dve povodne elektode između kojih se nalazi dielektik. Elektode su naelektisane istom količinom naelektisanja supotnog znaka. Pločast kondenzato pikazan je na slici 6.1. Elektode pločastog kondenzatoa su dve metalne ploče istih dimenzija. Bez obzia na debljinu elektoda uz pimenu Gausovog zakona i činjenicu da je elektično polje u povodnicima u elektostatici jednako nuli, može se pokazati da je sve slobodno naelektisanje Q, kojim su naelektisane elektode, avnomeno aspoeđeno po samoj povšini unutašnjih stana elektoda kao što je pikazano na slici 6.1a (sam dokaz pevazilazi okvie ove knjige). Pi tome su zanemaeni ivični efekti na kajevima kondenzatoa. Zbog toga to povšinsko naelektisanje elektoda posmatamo kao beskonačno tanku naelektisanu ploču, za jednu elektodu pozitivno, a za dugu negativno. Elektično polje u okolini takve ploče je homogeno, a linije polja su nomalne na povšinu ploče, kao što je pikazano na slici 6.1b. Intenzitet elektičnog polja je: σ E = Q p = Ep =. ε 0 Sε 0 Pošto je sve naelektisanje aspoeđeno u tankom sloju uz unutašnje stane elektoda pločasti kondenzato se pedstavlja kao na slici 6.1b, kao da su elektode beskonačno tanke. Ukupno elektično polje unuta i izvan pločastog kondenzatoa dobijamo vektoskim sabianjem elektičnog polja od pozitivne elektode, E p, i elektičnog polja od negativne elektode, E p. Pošto su polja istog pavca možemo im algebaski sabati intenzitete, ako su istog smea (kao unuta 31

kondenzatoa), odnosno oduzeti ako su supotnog smea (kao izvan kondenzatoa). Dolazimo do zaključka da se polja izvan kondenzatoa potiu, odnosno da, uz zanemaivanje ivičnih efekata, nema elektičnog polja izvan kondenzatoa, a da je elektično polje unuta kondenzatoa homogeno i ima intenzitet: Q E0 =. ε S Gafik zavisnosti intenziteta elektičnog polja je pikazan na slici 6.1c. Napon između ploča kondenzatoa ačuna se kao azlika potencijala elektoda, odnosno: d = d 1 d d - = 0 = 0 cos( 0, ) = 0 = Q d U V V E dx E dl E dx E dx E0 dx = E0 d =, S ε 0 0 0 0 0 gde je d x vekto beskonačno malog intenziteta, a pavac i sme se poklapaju sa pavcem i smeom x ose. Kapacitivnost se definše kao odnos naelektisanja na elektodama i napona između elektoda: Q Q S = = = ε. U Q d d S ε C 0 Zamenom bojnih vednsti iz zadatka dobijamo kapacitivnost ovog kondenzatoa: 4 S 1 F 0 10 m 1 C = ε 0 = 8,85 10 = 1,77 10 F = 1,77 pf. - d m 1 10 m 0 0 3

6. Enegija pločastog vazdušnog kondenzatoa je W e = 5 pj. Kondenzato je piključen na napon U = 5 V. Rastojanje između ploča kondenzatoa je d = cm. Odediti: a) jačinu elektičnog polja u kondenzatou; b) količinu naelektisanja na elektodama; c) kapacitivnost kondenztoa. Rešenje: 33

6.3 Enegija pločastog kondenzatoa je W e = 5 pj. Kondenzato je piključen na napon U = 10 V. Povšina ploča kondenzatoa je S = 10 cm. Odediti jačinu elektičnog polja u kondenzatou. Rešenje: 34

Jednosmene stuje Sadžaj: 7. ELECTRONIC WORKBENCH TUTORIJAL...37 7.1. Poketanje pogama...37 7.. Glavni pozo EWB-a...38 7.3. Ctanje elektičnih šema u EWB-u...4 7.4. Simulacija...43 8. OMOV ZAKON...44 Teoijska Osnova...44 Zadatak Vežbe...50 Povea Omovog zakona...53 9. KIRHOFOVI ZAKONI...55 Teoijska Osnova...55 Zadatak Vežbe...57 10. METOD KONTURNIH STRUJA...61 Teoijska Osnova...61 Zadatak Vežbe...6 11. TRANSFIGURACIJE KOLA...66 Teoijska Osnova...66 Zadatak Vežbe...69 1. TRANSFIGURACIJE GENERATORA U KOLU...7 Teoijska Osnova...7 Zadatak Vežbe...74 13. TEVENENOVA TEOREMA...75 Teoijska Osnova...75 Zadatak Vežbe...77 14. TEOREMA SUPERPOZICIJE...88 Teoijska Osnova...88 Zadatak Vežbe...89 35

36

vežba boj 7 7. ELECTRONIC WORKBENCH TUTORIJAL Electonic Wokbench (EWB) je pogamski paket koji se koisti za simulaciju ada elektonskih kola. Namenjen je za testianje ada elektonskih ueđaja sa ciljem ponalaženja gešaka u adu samog ueđaja, kao i njihovo otklanjanje pe izade pototipa i puštanja u poizvodnju. EWB omogućava studentima elektotehnike da se upoznaju sa osnovnim pincipima povezivanja elemenata i menih instumenata, kao i koišćenje instumenata pi meenju fizičkih veličina u elektičnim kolima. 7.1. Poketanje pogama Pogam možemo pokenuti na dva načina: koišćenjem pečice (engl. shotcut) koja se nalazi na adnoj povšini (engl. desktop) ili peko stat menija koji se nalazi u donjem levom uglu ekana Stat Pogams Electonic Wokbench, a zatim poketanjem ikone pogama Electonic Wokbench. Nakon poketanja pogama na ekanu ačunaa pojaviće se pozo pikazan na slici. linija glavnog menija adna povšina linija alatki standadna linija Pekidači za poketanje i zaustavljanje simulacije statusna linija Slika 7.1 Izgled pozoa EWB-a 37

7.. Glavni pozo EWB-a Gglavni pozo EWB-a, može se podeliti u nekoliko celina: 1. linija glavnog menija sadži padajuće liste sa komandama EWB-a. Komande padajuće liste File se koiste za ad sa datotekama. Komanda New keia i otvaa novu datoteku, komanda Open otvaa već postojeću datoteku, komande Save i Save As služe za snimanje datoteke na disk, a komanda Exit služi za izlazak iz pogama. Pe izlaska iz pogama potebno je sačuvati sve tenutno otvoene datoteke. Slika 7..Komande padajuće liste File iz linije glavnog menija. standadna linija sadži osnovne komande za ad sa datotekama, koje se takođe nalaze u padajućoj listi File, ove komande su date u vidu ikonica koje simbolično ukazuju na funkciju koju obavljaju, a ukoliko se pokazivačem miša zadžimo na nekoj od njih - pojavljuje se tekst koji objašnjava funkciju te ikone (Slika 7.3). Slika 7.3. Standadna linija ikonica Ikone imaju sledeće funkcije: a) New otvaa se nov posto za ctanje šema b) Open otvaa se već postojeća datoteka c) Save komanda za upisivanje na disk d) Cut, copy, paste ove komande imaju istu funkciju kao i u pogamima za obadu teksta. Copy i cut služe za kopianje označenog sadžaja u memoiju. Nakon izvšavanja komande copy označen sadžaj se nakon kopianja u memoiju, još uvek nalazi na adnoj povšini, a nakon izvšavanja komande cut ovaj sadžaj se biše sa adne povšine. Komanda paste služi za kopianje sadžaja iz memoije na adnu povšinu i koisti se nakon izvšavanja jedne od komandi cut ili copy. Označavanje sadžaja obavlja se pitiskanjem levog tastea miša i pevlačenjem pokazivača miša peko željene povšine. 38

e) Rotate ovom komandom se otia označen element oko svoje ose za 90 stepeni u smeu supotnom od ketanja kazaljke na satu. f) Flip hoizontal ovom komandom se označen element okeće oko svoje hoizontalne ose (tj. peslikava kao u ogledalu po hoizontali) g) Flip vetical ovom komandom se označen element okeće oko svoje vetikalne ose (tj. peslikava kao u ogledalu po vetikali). h) Component popeties komanda otvaa nov pozo u kojem se izvšavaju podešavanja označenog elementa. 3. linija alatki sadži sve elemente koje podžava EWB (Slika 7.4). Elementi su azvstani po gupama, a na vežbama iz Osnova elektotehnike koistićemo samo elemente iz sledećih gupa: izvoi napajanja, osnovni elemenati, indikatoi i gupe menih instumenata. Slika 7.4 Llinija alatki Izvoi napajanja (Slika 7.5): a) uzemljenje b) izvo jednosmenog napona bateija. Opseg vednosti napona je u jedinicama od μv do kv. c) stujni geneato izvo jednosmene stuje. Opseg vednosti jačine elektične stuje je u jedinicama od μa do ka. d) izvo postopeiodičnog naizmeničnog napona. Opseg vednosti napona je u jedinicama od μv do kv, početna faza se unosi u stepenima, a fekvencija u jedinicama u opsegu od Hz do MHz. Slika 7.5 Linija alatki podmeni izvoi napajanja Osnovne komponente (Slika 7.6): a) čvo mesto na kome se seku ili više povodnika b) otponik c) kondenzato d) kalem 39

Slika 7.6. Linija alatki podmeni osnovni elementi Indikatoi koji će biti koišćeni su indikatoski meni instumenti ampemeta i voltmeta (Slika 7.7). EWB dozvoljava neoganičenu količinu indikatoskih menih instumenata u šemama, a oni su pogodni za koišćenje zbog jednostavnijeg očitavanja. Slika 7.7. Linija alatki podmeni indikatoi Voltmeta je meni instument koji se koisti za odeđivanje vednosti jednosmenog i naizmeničnog napona. Pilikom povezivanja voltmeta u kolo teba poštovati sledeća pavila: a) voltmeta se u kolo uvek vezuje paalelno! Unutašnja otponost voltmeta je vlo velika (eda veličina od nekoliko MΩ) tako da su pomene koje se unose piključivanjem voltmeta u kolo zanemaljive. b) uvek teba nastojati da se voltmeta polaiše ispavno! Voltmeta ima dve elektode, jedna se piključuje na tačku višeg potencijala (ona se u šemama pikazuje kao pozitivan kaj voltmeta), a duga se povezuje na tačku nižeg potencijala (ona se u šemama pikazuje kao negativan kaj voltmeta). Polaizacija instumenata posebno je važna u adu sa ealnim analognim instumentima, koji mogu petpeti tajna i ozbiljna oštećenja ukoliko su piključeni nepavilno, za azliku od digitalnih instumenata kod kojih neispavno polaizovan instument neće izazvati oštećenja. EWB simulia ad digitalnih menih instumenata tako da ukoliko student nije ispavno polaisao instument dobiće vednost napona sa pomenjenim znakom. Izgled instumenata u EWB-u pikazan je na slici 7.8. Slika 7.8. Voltmeta(levo) i ampemeta (desno). Zatamnjeni kajevi instumenata su negativni 40

Ampemeta je meni instument koji se koisti za odeđivanje vednosti jednosmene i naizmenične stuje (Slika 7.8). Pilikom povezivanja instumenta u kolo teba poštovati sledeća pavila: a) ampemeta se u kolo uvek vezuje edno! Unutašnja otponost ampemeta je vlo mala (eda veličina od nekoliko mω) tako da su pomene koje se unose piključivanjem ampemeta u kolo zanemaljive. b) uvek teba nastojati da se ampemeta polaiše ispavno! Kao i voltmeta, ampemeta ima dve elektode, ispavno polaisan ampemeta povezan je u kolo tako da stuja u toj gani ulazi na pozitivanom kaju instumenta, a izlazi na negativnom kaju instumenta. Iz menija Meni instumenti biće koišćeni: unime (koji će biti koišćen za meenje otponosti) i dvokanalni osciloskop (meni instument koji služi za pikazivanje oblika naizmeničnog signala kao i za meenje kaakteističnih osobina naizmeničnih signala amplitude, peiode, faznog pomeaja itd.). Na adnoj povšini može postojati samo po jedan od ovih instumenata. Slika 7.9. Podmeni Instumenti 41

7.3. Ctanje elektičnih šema u EWB-u Ctanje elektičnih šema u EWB-u obavlja se u 3 koaka: 1) postavljanje elemenata na adnu povšinu ) otianje elemenata 3) pomena vednosti elemenata 4) povezivanje elemenata 7.3.1. Postavljanje elemenata na adnu povšinu Svi elementi nalaze se u liniji alatki, njihovo postavnjanje vši se pevlačenjem 1 na adnu povšinu, a element se biše tasteom delete kada je element označen. 7.3.. Rotianje elemenata Pe povezivanja elemenata potebno ih je postaviti u položaj koji je indentičan kao na šemi u paktikumu, ovaj ezultat se može dobiti na više načina: upotebom komandi otate, flip hoizontal ili flip vetical iz standadne gupe ikonica, ove komande se nalaze i u meniju koji se dobija pitiskanjem desnog tastea miša kada se pokazivač nalazi iznad željenog elementa. Pečica sa tastatue kojom se dolazi do komande otate je CTRLR. 7.3.3. Pomena vednosti elemenata Nakon postavljanja i otianja elementa teba pomeniti njegove paamete (tj. vednosti) boj paametaa vaia od elementa do elementa, a meni iz koga se menjaju ova podešavanja zove se component popeties, a pojavljuje se kada se dva puta pitisne levi taste miša dok je pokazivač miša iznad elementa (tj. dva puta kliknemo mišem na željeni element), izgled component popeties menija za otponik vidi se na slici 7.10. Slika 7.10 Pomena vednosti otponika component popeties Za svaku od pasivnih komponenti (R,L i C) može se uneti naziv (Slika 7.10 levo) u polju label, i vednost (Slika 7.10 desno) polje esistance za otponik. Indikatoski meni instumenti ampemeta i voltmeta imaju podesavanja za ežim ada (jednosmean DC ili naizmeničan AC). 7.3.4. Povezivanje elemenata Pokazivač miša se postavlja na kaj jednog elementa, kada se pojavi cna tačka. Džeći levi taste miša pevlačimo povodnik do kaja sledećeg elementa (Slika 7.11, a), kada se pojavi cna tačka na kaju dugog elementa otpuštamo taste miša (Slika 7.11, b). Povezivanje kaja elementa sa 1 Postupak kada se levim tasteom miša klikne na objekat, a zatim se isti pevuče na željeno mesto dok se sve veme levi taste dži pitisnut. Kada se objekat pevuče na željenu poziciju levi taste miša se otpušta i objekat je postavljen. 4

već postojećim povodnikom obavlja se na isti način, ali isključivo u smeu od elementa ka povodniku (Slika 7.11, c). Teba izbegavati postavljanje elemenata peko već postojećeg povodnika. Povezivanje elemenata teba obaviti pažljivo, je su najčešće geške u adu sa EWB-om upavo geške u povezivanju elemenata, je ako ne postoji veza između elemenata ezultat će biti pogešan ili će simulacija pijaviti gešku. 7.4. Simulacija Slika 7.11 Povezivanje elemenata Ako je šema ispavno povezana, možemo pustiti simulaciju ada kola. Simulacija ada kola obavlja se uključivanjem peklopnika u gonjem desnom uglu. Ispod njega nalazi se taste pause, koji zaustavlja (pauzia) ad kola (Slika 7.1). 43

vežba boj 8 8. OMOV ZAKON U ovoj vežbi: Vemenski nepomenljive elektične stuje Jačina i gustina elektične stuje Elektična otponost Specifična elektična otponost Elektična povodnost Specifična elektična povodnost Džulov zakon Naponski i stujni geneatoi Posto kolo Poačun napona između dve tačke Teoijska Osnova Vemenski nepomenljive elektične stuje ili stalne elektične stuje su stuje nepomenljive tokom vemena. Ne menja im se ni intenzitet ni sme. Na slici je pikazan gafik jačine elektične stuje I u zavisnosti od vemena t. Sa gafika možemo pimetiti da je jačina elektične stuje konstantna u vemenu, tj. da se ne menja u zavisnosti od vemena. Na ovaj način se gafički pedstavljaju jednosmene elektične stuje. Uvek se nalazi sa iste stane ose. Slika 8.1 Gafik stalne elektične stuje Na ovoj slici pikazan je gafik jednosmene elektične stuje i to: od tenutka t 0 do tenutka t 1 vednost jačine el. stuje je pozitivna (I>0), a u vemenskom intevalu od t 1 do t el. stuja menja sme što se simbolično označava pomenom znaka (I<0). Na ovoj slici nisu pikazane pozitivna i negativna elektična stuja, već je to gafički pikaz elektične stuje koja je pomenila sme. Slika 8. Gafik elektične stuje koja je pomenila sme Oznaka za stalnu elektičnu stuju je I. Oznaka za pomenljivu elektičnu stuju je i. 44

I = q t I J = S Elektična otponost je količnik napona na kajevima pijemnika i elektične stuje koja polazi koz njega. Jedinica za elektičnu otponost je Om [Ω]. Kako otponici pužaju otpo poticanju stuje? Atomi metala se azlikuju po boju slobodnih elektona u omotaču i boju potona i neutona u jezgu. Kada se metalna žica piključi na azliku potencijala elektoni se keću ka kaju žice piključenom na pozitivni potencijal. Pilikom tog ketanja oni se sudaaju sa jezgima atoma, pi čemu se elektična enegija petvaa u toplotnu. Taj poces je azličit kod azličitih metala i definiše se konstantom koja se zove specifična elektična otponost, koja se obeležava sa ρ. Jedinica za specifičnu elektičnu otponost je Ω m. Kada se od metala napavi otponik dužine žice l i povšine popečnog peseka žice S, otponost tog otponika je: l R = ρ. S Elektična povodnost je veličina ecipočna elektičnoj otponosti. Jedinica za elektičnu povodnost je Simens [S]. G = 1 R Povodnost otponika, napavljenog od metalne žice, dužine l i povšine popečnog peseka S je: 1 1 S G = = R ρ l Specifična elektična povodnost je veličina ecipočna specifičnoj elektičnoj otponosti. 1 σ = ρ 1 Jedinica za specifičnu elektičnu povodnost je Ω m. Otponik je ektična komponenta odeđene otponosti R. - Omov zakon Kod otponika stalne otponosti R postoji lineana veza između napona na kajevima otponika i elektične stuje koja polazi koz njega. Ta veza je deifisana Omovim zakonom. 45

U I = R Usaglašeni efeentni sme za napon i elektičnu stuju koz otponik je od tačke koja je na pozitivnom potencijalu ka tački koja je na negativnom potencijalu. I R U U = RI I = GU Slika 8.3 Neusaglašeni efeentni sme za napon i elektičnu stuju koz otponik je od tačke koja je na negativnom potencijalu ka tački koja je na pozitivnom potencijalu. - Džulov zakon R U Slika 8.4 I U = RI I = GU Elektična enegija koja se petvoi u toplotnu pilikom poticanja elektične stuje koz otponik može se definisati Džulovim zakonom. Snaga Džulovih gubitaka jednaka je poizvodu napona na otponiku i elektične stuje koja potiče koz njega, pema usaglašenom efeentnom smeu. U P R = UI = RI = R ovi izazi se češće koiste je ne zavise od efeentnih smeova Jedinica za snagu Džulovih gubitaka je vat [W]. - Geneatoi Gneatoi su ueđaji za geneisanje napona i elektične stuje. U zavisnosti od unutašnje otponosti geneato se u kolu ponaša kao naponski ili kao stujni. Ako je unutašnja otponost geneatoa zanemaljiva u odnosu na otponost kola onda ga tetiamo kao naponski. Ako je unutašnja otponost geneatoa velika u odnosu na otponost kola onda ga tetiamo kao stujni. 46

NAPONSKI GENERATOR Osnovna kaakteistika naponskog geneatoa je elektomotona sila. Idealan naponski geneato STRUJNI GENERATOR Osnovna kaakteistika stujnog geneatoa je da geneiše stalnu elektičnu stuju u gani u kojoj se nalazi. Idealan stujni geneato Unutašnja otponost ovog geneatoa je 0. Napon između njegovih kajeva je uvek jednak elektomotonoj sili E bez obzia gde je piključen. Stuja koja potiče koz geneato zavisi od kola u koje je piključen. Realan naponski geneato Unutašnja otponost ovog geneatoa je beskonačna. Elektična stuja koju geneiše je uvek jednaka I g bez obzia gde je piključen. Napon na geneatou zavisi od kola u koje je piključen. Realan stujni geneato I g E R g Realan naponski geneato uvek ima unutašnju otponost (koja je mala ali ipak nije 0). Refeentni sme usaglašen efeentni sme elektomotone sile geneatoa i elektične stuje koja potiče koz njega: I E neusaglašen efeentni sme elektomotone sile geneatoa i elektične stuje koja potiče koz njega: I E R g Realan stujni geneato ima unutašnju otponost koja je jako velika ali nije beskonačna. Refeentni sme usaglašen efeentni sme elektične stuje stujnog geneatoa i napona na njemu: I g U neusaglašen efeentni sme elektične stuje stujnog geneatoa i napona na njemu: I g U Snaga naponskog geneatoa Za usaglašen efeentni sme: = E I P E Za neusaglašen efeentni sme: = E I P E Snaga stujnog geneatoa Za usaglašen efeentni sme I U P E = g Za neusaglašen efeentni sme: I U P E = g 47

Zašto smo unutašnju otponost geneatoa kod naponskog nactali vezanu na ed, a kod stujnog u paaleli? A A E E R g R g B B Kod ealnog naponskog geneatoa unutašnja je otponost mala, ali konačna i otponik je uctan. Kod idealnog otponost je 0, pa nema ni otponika (katak spoj). Sa duge stane, pošto napon na ealnom naponskom geneatou ipak zavisi od kola u koje je vezan, otponik R g moa biti vezan edno, a ne u paaleli, je da je vezan paalelno napon na kajevima ealnog geneatoa bio bi konstantan i jednak E u svakom kolu. Slika 8.5 Kod ealnog stujnog geneatoa unutašnja otponost je velika, ali konačna. Kod idealnog je beskonačna, a beskonačan otpo znači pekid u gani kola. Da je otponik vezan na ed sa geneatoom u toj gani onda ne bi bilo stuje. S duge stane, pošto stuja ealnog stujnog geneatoa ipak zavisi od kola u koje je vezan, otponik R g moa biti vezan paalelno, a ne edno, je da je vezan edno stuja ealnog stujnog geneatoa bila bi konstantna i jednaka I g u svakom kolu. - Posto kolo I I I g R g I g R g Slika 8.6 Slika 8.7 Posto kolo Kolo pikazano na slici je posto kolo. To je kolo koje se sastoji samo od jedne stujne kontue. U njoj postoji edna veza naponskih geneatoa i otponika. Elektična stuja u ovom kolu se može izačunati i Omovim zakonom za posto kolo: Elektična stuja u postom kolu jednaka je količniku algebaske sume svih elektomotonih sila naponskih geneatoa pema usaglašenom efeentnom smeu, i sume svih otponika u kolu. Ukoliko stuja potiče koz geneato u usaglašenom efeentnom smeu, geneato ima pedznak '''' i obnuto. Otponosti otponika se uvek uzimaju sa pedznakom ''''. 48

± E i I = R Za posto kolo pikazano na gonjoj slici Omov zakon glasi: E1 E E5 I =. R R R R 1 - Poačun napona između dve tačke Napon između neke dve tačke u elektičnom kolu može se poačunati pema pavilu o sumianju naponskih članova između te dve tačke: U AB A i i 3 = ( E;-RI) B Napon između tačaka A i B jednak je algebaskom zbiu svih naponskih članova elektomotonih sila naponskih geneatoa i napona na otponicima, ačunatih od B ka A. Pi tome se elektomotone sile naponskih geneatoa uzimaju sa pedznakom '''' za usaglašen efeentni sme, a naponi na otponicima sa pedznakom ''-'' za usaglašen efeentni sme. Ako je sme neusaglašen, pedznaci su supotni. i 4 49

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostale navedene zadatke. 8.1Na otponiku R = 100 Ω, koji je vezan u elektično kolo, napon je U = 10 V. a) Kolika stuja potiče koz otponik? Nactati otponik, označiti pozitivan kaj napona i nactati njemu usaglašen sme stuje. b) Kolika se snaga azvija na ovom otponiku (tj. koliki su Džulovi gubici na otponiku)? c) Kolika je povodnost ovog otponika? a) Rešenje: Na slici 8.8 pikazani su usaglašeni smeovi napona i stuje na otponiku. Pema Omovom zakonu intenzitet stuje koja potiče koz otponik je: Slika 8.8 U 10 V I = = = 0,1 A = 100 ma. R 100 Ω b) Pema Džulovom zakonu toplotni gubici na otponiku su: U ( 10 V) P = = = 1 W. R 100 Ω c) Povodnost je jednaka ecipočnoj vednosti otponosti: 1 1 G = = = 0,01S = 10 ms. R 100 Ω 50

8. Geneato elektomotone sile E i stujni geneato jačine stuje I s vezani su u kolo kao na slici. Kako se ponašaju geneatoi u kolu i zašto? Rešenje: 51

8.3 Geneato elektomotone sile E, unutašnje otponosti R g i otponik pomenljive otponosti obazuju posto elektično kolo. U pvom slučaju otponost pomenljivog otponika je R 1 = 4 Ω, a jačina stuje u kolu je I 1 = 1,5 A. Kada pomenimo otponost pomenljivog otponika na vednost od R = 7 Ω, jačina stuje u kolu je I = 1 A. Ukoliko katko spojimo geneato, kolika je jačina stuje u tom kolu? 5

Povea Omovog zakona Za kolo pikazano na slici 8.9 ačunskim putem odediti: a) vednost jačine stuje u kolu, b) snage svih geneatoa, c) snage džulovih gubitaka na otponicima i d) napon između tačaka A i B. E 1 = E = E 4 = 1 V; E 3 =4V ; R 1 = 6 Ω ; R = 5,6 Ω ; R g1 = R g = R g3 = R g4 = 0.1 Ω I, P, U AB =? Poačun Slika 8.9 a) Jačina stuje u kolu, na osnovu Omovog zakona za posto kolo i usvojenim efeentnim smeom stuje, je: b) Snage geneatoa u kolu, u odnosu na usvojeni efeentni sme stuje su: c) Snaga Džulovih gubitaka svih otponika u kolu je: d) Napon između tačaka A i B: 53

Analiza kola pimenom ačunaa Simuliati kolo u EWB-u kao na slici 8.10. Podesiti sledeće vednosti paametaa: E 1 = E = E 4 = 1 V; E 3 =4V ; R 1 = 6 Ω ; R = 5,6 Ω ; R g1 = R g = R g3 = R g4 = 0.1 Ω. Slika 8.10 Izmeiti jačinu stuje ampemetom, a voltmetom izmeiti napon između tačaka A i B. Upoediti izmeene vednosti i vednosti dobijene ačunskim putem, a ezultate pikazati u tabeli. I[A] izmeena vednost I[A] izačunata vednost U AB [V] izmeena vednost U AB [V] izačunata vednost 54

vežba boj 9. KIRHOFOVI ZAKONI U ovoj vežbi: Pvi Kihofov zakon Dugi Kihofov zakon Neposedna pimena Kihofovih zakona Teoijska Osnova I = k k 0 I 5 I 1 I 4 I I = k 0 k 1 I I3 I4 I5 = I 0 I 3 Slika 9.1 55

( E; RI ) = 0 ( ; RI ) = 0 Slika 9. E, E R I E R I R I R I E 0 1 1 1 3 3 4 3 5 = - Metod neposedne pimene Kihofovih zakona Po Kihofovim zakonima boj jednačina koje pišemo je: po I Kihofovom zakonu: n č 1 po II Kihofovom zakonu: n g ( n č 1) Ovaj metod ima ukupan boj jednačina isti kao što je i boj nepoznatih stuja gana kola. Ako kolo ima n Ig stujnih geneatoa onda je boj jednačina koje pišemo po II Kihofovom zakonu: ng ( nč 1) ni g, a boj jednačina po I Kihofovom zakonu ostaje nepomenjen. Nezgodna osobina metode je da ako kolo ima više od 3 gane, boj jednačina za ešavanje je vlo veliki i ešavanje je složeno. 56

Zadatak Vežbe Na osnovu uađenog pimea eši peostale navedene zadatke. 9.1 Za kolo pikazano na slici odediti intenzitete stuja u svim ganama neposednom pimenom Kihofovih zakona, ako je E 1 = 6 V, E = 0 V i R 1 = 700 Ω, R = 300 Ω, R 3 = 400 Ω. E 1 R 3 E R 1 Rešenje: Rešavanje zadatka počinjemo usvajanjem efeentnih smeova stuja u svim ganama, kao što je pikazano na slici 9.3. Kolo ima n č = čvoa i n g = 3 gane. Za svaki čvo možemo napisati jednačinu po I Kihofovom zakonu, ali se jednačina za n č -ti čvo može dobiti sabianjem jednačina napisanih za ostalih n č - 1 čvoova, što znači da n č -ta jednačina nije nezavisna od pethodnih n č - 1 jednačina. Konketno, kada kolo ima dva čvoa kao u Slika 9.3 ovom zadatku, jednačine napisane po I Kihofovom zakonu su iste za oba čvoa (azlikuju se samo u znaku). Dakle, po I Kihofovom zakonu za ovo kolo možemo pisati: n č - 1= 1 nezavisnu jednačinu. Za čvo A ova jednačina glasi: I 1 I I 3 = 0. Po II Kihofovom zakonu možemo napisati: n g (n č 1) = 3 ( 1) = jednačine, odnosno, ovo kolo sadži dve nezavisne kontue po kojima pišemo jednačine po II Kihofovom zakonu. Kontue su nezavisne ako svaka kontua ima ba jednu ganu koja ne pipada ni jednoj dugoj kontui. Na slici 9.4 obeležene su dve poizvoljno izabane nezavisne kontue, S 1 i S, i označeni su njihovi poizvoljno usvojeni smeovi. Na slici 9.5 pikazane su još dve mogućnosti izboa nezavisnih kontua za ovo kolo. E 1 E E 1 E R R 3 R 3 R 1 R R 1 S R S 1 S S 1 Slika 9.4 Slika 9.5 Jednačine po II Kihofovom zakonu za izabane kontue sa slike 9.4 glase: S 1 : R 1 I 1 E 1 R3I 3 = 0 S : R I E R I 0 3 3 = 57