I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima različite prirode, pr. u skupu C kompleksih brojeva, u višedimezioalim Euklidovim prostorima R i C, u skupovima fukcija, ali i u mogo opštijim skupovima (sasvim apstrakte prirode) samo uz pretpostavku da je a takvom skupu defiirao rastojaje sa odgovarajućim osobiama. Takve strukture azivamo metrički prostori i obradićemo ih u prvom paragrafu ovog poglavlja. Posebo, kao jeda od ajjedostavijih, ali istovremeo i ajvažijih primjera obrađujemo slučaj koačodimezioalih ( - dimezioalih) realih Euklidovih prostora R, jer je pozavaje osobia tih prostora osova za ispitivaje (proučavaje) fukcija više realih promjeljivih (kao što je i detaljo pozavaje osobia skupa R suštisko za proučavaje osobia realih fukcija jede reale promjeljive), koje proučavamo u ostalim paragrafima ovog poglavlja... Metrički, ormirai i uitari prostori... Pojam metričkog prostora U osovi pojma graiče vrijedosti (limesa) u skupu R realih brojeva je čijeica da je između svaka dva reala broja x, y defiirao rastojaje d (x, y) : = x y. Dalji pojmovi, kao što su okolia, limes, kovergecija, eprekidost i dr., mogu se jedostavo uvesti pomoću pojma rastojaja, što omogućavaju, jaso, i određee osobie koje ima fukcija rastojaja d. Kovergecija iza (x ) ka x u skupu R zači da su tačke x i x a proizvoljo malom rastojaju počevši od ekog dovoljo velikog ideksa. Ovo svojstvo je fudametalo u primjeama i može se proširiti i a proizvolje skupove ukoliko a jima defiiramo rastojaje između svake dvije tačke (toga skupa). Uvidjelo se da se rastojaje (između dvije tačke) može defiirati a različite ačie, ukoliko oo samo zadovoljava tri uslova (tzv. aksiome metrike) opisaa u aredoj defiiciji pojma rastojaja (udaljeosti) koji je po prvi put apstrakto formulisao Freše *) 906. godie, dok je sam aziv "metrički prostor" ("metrischer Raum") uveo, kasije (94), Hausdorf. **) Defiicija... Neka je X skup elemeata proizvolje prirode i d : X R fukcija (preslikavaje) koja svakom uređeom paru (x, y) elemeata x, y skupa X dodjeljuje reala broj d(x, y). Ako ta fukcija zadovoljava sljedeće uslove (tzv. aksiome metrike): ( M ) d( x, y) 0, ( pozitiva defiitost) ; ( M ) d( x, y) = 0 x = y (M 3) d (x, y) = d ( y, x) (osobia simetrije); (M 4) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) (ejedakost trougla); za sve x, y, z X, oda kažemo da je d metrika ili udaljeost (rastojaje) a skupu X. Uređe par (X, d ) od skupa X i metrike d a skupu X azivamo metrički prostor. Ako se uslov (M ) zamijei sa slabijim uslovom (M )' x = y d (x, y) = 0, (tj. d (x, y) = 0 ako je x = y), oda se preslikavaje d aziva pseudometrika, a uređei par (X, d ) pseudometrički prostor. *) M. Frcéhet (878 973) fracuski matematičar. **) Felix Hausdorff (868 94) jemački matematičar.
Fukciju d : X x X R azivamo polumetrika ili semimetrika (a par (X, d ) polumetrički ili semimetrički prostor) ako vrijede uslovi (M ) (M 3); esimetriča metrika ako vrijede uslovi (M ), (M ) i (M 4). Fukciju d : X x X R (gdje je R : = R {, + } proširei prostor realih brojeva) za koju vrijede uslovi (M ) (M 4) zovemo metrika prošireih realih vrijedosti. Ako se umjesto uslova (M 4) zahtijeva jači uslov (M 5) d (x, y) max{d (x, z), d (z, y)} za sve x, y, z X, oda se za fukciju d kaže da je ultrametrika, a za par (X, d ) da je ultrametrički prostor. Primijetimo da se uslov (M ) u defiiciji... pojma metrike može izostaviti. Naime, za x = y iz ejedakosti (M 4), a osovu uslova (M 3), dobijemo da je d (x, z) d (x, x), odakle je (a osovu uslova (M )) d (x, z) 0 za sve x, z X. Osim toga, uslovi (M ) i (M ) mogu se ekvivaleto zamijeiti uslovima (M )' i (M )' d (x, y) > 0 ako je x y. Moge probleme matematičke aalize moguće je obraditi u okvirima metričkih prostora. Ipak, postoje problemi, kako u samoj matematičkoj aalizi (pr. tako jedostava pojam kao što je običa kovergecija fukcija *) ) tako i u drugim oblastima matematike i jihovim primjeama (pr. eki fizikali problemi histerezisa i teorije magetizma, te problemi fizioloških pragova), koji isu obuhvaćei teorijom metričkih prostora. To je primoralo matematičare da uvedu i tako opšte prostore kao što su topološki prostori ali i takve kao što su vjerovatosi metrički prostori, statistički metrički prostori (pa čak) i vjerovatosi topološki prostori (koji predstavljaju određee vjerovatoso statističke geeralizacije Frcéhetovog pojma metričkog prostora uvedeog defiicijom...). Primjeri metričkih prostora mogu da budu vrlo razorodi. Osovi, ispirativi primjer metričkog prostora je skup realih brojeva R (što ćemo kasije i dokazati) /ili skup kompleksih brojeva C / sa metrikom d defiiraom formulom d(x, y) = x y. Najjedostavije uopšteje prostora R predstavlja, kao što je pozato iz lieare algebre, dimezioali euklidski prostor R čiji su elemeti uređee torke x : = (x,..., x ) realih brojeva x,..., x. Kasije ćemo dokazati da je (R, d ) metrički prostor s metrikom koja je izvedea iz orme d (x, y) = ( x i y i ), (x : = (x,..., x ), y : = ( y,..., y ) R ), x = po formuli d (x, y) = x y. Ta se metrika zove običa ili euklidska, a prostor (R, d ) dimezioali reali euklidski prostor R. Ako je =, dobijemo prostor R realih brojeva, ili reali pravac s (običom) metrikom d(x, y) = x y, (x, y R). U zadacima uz ovaj paragraf proučee su i eke druge važije metrike. U skupu R, kao i u bilo kom skupu, metrika se može uvesti a više ačia. Jedo od korisih uopšteja metrike d jeste metrika d p (za p ) koja se uvodi pomoću relacije p d p : = x i y i za sve x : = (x,..., x ), y : = ( y,..., y ) R. (Od uslova (M ) (M 4) za metriku etrivijala je samo provjera uslova (M 4), ali taj uslov slijedi iz ejedakosti Mikovskog **) p p p p xi yi xi + yi, koja se dokazuje u poglavljima o realim brojevima i o /beskoačim/ redovima). Poekad se metrički prostor (R, d p ) ozačava sa R p. *) Naime, pokazuje se da je običa kovergecija izova fukcija poseba slučaj opšteg pojma kovergecije u topološkim prostorima, te da vrijedi čijeica : Ako je X eprebrojiv skup, oda e postoji metrika d a skupu R X svih fukcija f : R X sa svojstvom da je kovergecija izova u prostoru (R X, d ) običa kovergecija izova fukcija (vidjeti, pr., [Sibe Mardešić, Matematička aaliza u dimezioalom realom prostoru, Prvi dio, Školska kjiga, Zagreb, I izd. 974, II izd. 979, teoremi. i., str. 9. i 0]). **) Herma Mikovski (864 909) jemački matematičar i fizičar. x i p p p
Najiteresatiji posebi slučajevi prostora d (x, y) = x i y i R p 3 koje ćemo posmatrati su za p = kada je, zatim već avedei slučaj p =, odoso R = R i ajzad slučaj p = kada po defiiciji stavljamo d (x, y) = max{ x y, x y,..., x y } (uvedeu ozaku d opravdava čijeica /koja se lako dokazuje/ da je lim p d p (x, y) = d (x, y)). Lako se provjeravaju uslovi metrike za fukciju d a prostoru m svih ograičeih izova x : = ( x i ) realih brojeva, defiirau izrazom d(x, y) = sup { xi y i } (x : = (x i ), y : = ( y i ) m ). i < U skupu C[a, b] svih eprekidih realih fukcija f : [a, b] R, defiiraih a segmetu [a, b]( R), uvodi se metrika formulom d ( f, g) = max f (x) g (x) ( f, g C[a, b]) (*) a x b (prethodi izraz ima smisla prema Weierstassovoj teoremi, a uslovi metrike se lako provjere). Napomeimo da se u skupu C[a, b] (a i u skupu H djelimičo eprekidih fukcija, tj. fukcija koje su eprekide a [a, b], ili im je skup svih tačaka prekida koača i svi su prve vrste) metrika može uvesti i pomoću formule d p ( f, g) = b a f p p ( x) g( x) dx za p. Nejedakost trougla slijedi iz itegrale ejedakosti Mikowskog, koja se dobije iz običe ejedakosti Mikowskog, apisae za Riemaove itegrale sume. Specijali slučajevi koji su od posebog iteresa su opet kada je p = (tzv. "itegrala metrika"), p = (tzv. "metrika sredjeg kvadratog odstupaja" koja je korisa, pr., u teoriji Fourierovih redova) i p =, pri čemu se lako provjeri da je d = d, gdje je fukcija d defiiraa formulom (*). Na proizvoljom skupu X ( ) možemo defiirati metriku d izrazom, x y, d (x, y) = 0, x = y. Za ovu metriku d se kaže da je diskreta, a za (X, d ) da je diskreti prostor. Neka je (X, d ) metrički prostor, Y podskup od X i d Y = d X x Y (tj. eka je d Y restrikcija metrike d a podskup Y skupa X ). Tada je očito i (Y, d Y ) metrički prostor. Kažemo da je (Y, d Y ) potprostor prostora (X, d ). Ako za metrički prostor (X, d ) uzmemo Euklidov prostor R, oda svaki podskup određuje metrički prostor (Y, d Y ) i tako se dobije moštvo primjera metričkog prostora. Y R Zbog jedostavosti ozaka metrika d Y se ajčešće ozačava takođe sa d, pa se govori o potprostoru (Y, d ) (metričkog) prostora (X, d ). Takođe se često, umjesto (X, d ), piše X i govori metrički prostor X kada je iz koteksta jaso o kojoj se metrici d radi. Kao jeda od eposredih posljedica defiicije... je i tzv. ejedakost mogougla d (x 0, x ) d (x 0, x ) + d (x, x ) + + d (x, x ), (..) gdje su x 0, x,..., x proizvolji elemeti skupa X, a d metrika a X. Nejedakost (..) predstavlja poopšteje ejedakosti trougla (M 4) i lako se dokazuje matematičkom idukcijom po. Tvrdja... Za proizvolje četiri tačke x, y, x ', y ' X u svakom metričkom prostoru (X, d ) vrijedi ejedakost d (x, y) d (x ', y ' ) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (..) Dokaz: Iz ejedakosti mogougla (..) slijedi da je d (x, y) d (x, x ' ) + d (x ', y ' ) + d ( y, y ' ), odakle je zbog simetrije fukcije d (tj. zbog uslova (M 3))
4 d(x, y) d (x ', y ' ) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (..3) Zamijeimo li u ejedakosti (..3) x, y, respektivo, sa x ', y ' i, obruto, x ', y ' sa x, y, dobijemo: d (x ', y ' ) d(x, y) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (..4) Iz ejedakosti (..4), uzimajući u obzir i ejedakost (..3), dobijemo (d (x, x ' ) + d ( y, y ' )) d(x, y) d (x ', y ' ) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ), što je ekvivaleto sa (..), pa je dokaz tvrdje... završe. Primjer... Dokažimo da je skup R (svih) realih brojeva zajedo sa fukcijom d : R x R R, defiiraom izrazom d (x, y) = x y, metrički prostor, a što smo do sada samo avodili bez dokaza, odoso dobili kao specijala slučaj prostora R (kada je = ). Zaista, uslovi (M ) (M 3) za metričku fukciju d direkto slijede iz defiicije pojma apsolute vrijedosti realog broja (tj. iz jede od ove tri međusobo ekvivalete defiicije: x, x 0, x = x = x (aritmetički korije, ako je x > 0, tj. ako je x 0 ); x, x < 0; 3 x = max { x, x}). Dokažimo da defiiraa fukcija d a skupu R zadovoljava i uslov (M 4). Za proizvolje elemete x, y, z R važi: x y = x z + z y = ( x z ) + ( z y ) x z + z y. Odavdje je d(x, y) d(x, z) + d(z, y), čime je pokazao da je uslov (M 4) zadovolje. U metričkom prostoru (X, d ) defiira se udaljeost tačke x 0 X od podskupa A ( X ) formulom d(x 0, A) : = if { d (x 0, a) a A }. (*) Skup { d (x 0, a) a A } ograiče je odozdo, jer je d(x 0, a) 0 za svaki a A. Zato za svaki A ifimum u (*) postoji, pa je d(x 0, a) potpuo određe reala broj i vrijedi d(x 0, A) 0. No, uočimo da iz x 0 A slijedi da je d(x 0, A) = 0, a da obruto e vrijedi (pr., za X = R i X = R + = {x R : x > 0} je d(0, R + ) = 0, ali ipak 0 R + ). Udaljeost između dva podskupa A, B X u metričkom prostoru (X, d ) defiira se formulom d ( A, B) : = if {d(a, b) a A, b B}. Očigledo vrijedi da je d(a, B) 0, te da iz A B slijedi d (A, B) = 0. Obruto, iz d (A, B) = 0 e mora slijediti A B, jer, pr., za A = R + -, B = R = { x R : x < 0} slijedi d(a, B) = 0, ali ipak A B =. U preostalom dijelu ovog odjeljka uvodimo eke od osovih pojmova i termia pozajmljeih (preuzetih) iz teorije dvodimezioalog i trodimezialog Euklidovog prostora, pa se i eki crteži koji služe za ilustraciju mogu izraditi tako da asociraju a takve prostore, ali pri tome treba voditi račua da se osobie koje se dokazuju mogu odositi i a mogo apstraktiju situaciju, te da geometrijska ituicija može poekad biti sasvim eadekvata (pr., adherecija otvoree kugle K (a, r) : {x X d(x, a) < r} e mora da se poklopi sa zatvoreom kuglom K ( a, r) : = {x X d(x, a) r}, pri čemu se pod adherecijom skupa A podrazumijeva skup A dat sa A = A A', gdje je A' skup svih tačaka agomilavaja *) skupa A). U vezi sa ovim korisa je Poekareova **) "defiicija": "Matematika je umjetost davaja istog imea različitim stvarima." (Vidjeti, pr., u [Dr Duša Adađević Dr Zora Kadelburg : Matematička aaliza I, Nauka, Beograd, IV izd. 995] i [Mila Merkle : Matematička aaliza, Teorija, Akademska misao, Beograd, 00]). Defiicija... Kažemo da je skup A iz metričkog prostora (X, d ) ograiče (omeđe) ako je skup {d(x, y) x, y A} ograiče u prostoru R. U slučaju X = R taj se pojam podudara s (u teoriji realih brojeva) uvedeim pojmom ograičeog skupa u R. Za preslikavaje f : T X skupa T u metrički prostor (X, d ) se kaže da je ograičeo (omeđeo) ako je f (T ) ( X ) ograiče skup. Specijalo, ograičeo preslikavaje f : T X za T = N je ograiče iz. Ako je (X, d ) metrički prostor i ako je skup A ( X ) ograiče, oda očito postoji reala broj diam (A) : = sup {d(x, y) : x, y A}, koji se zove dijametar skupa A. Ako je A eograiče skup, oda se uzima da je diam ( A ) = +. Uvijek je diam(a) 0, a pomoću ejedakosti trougla (M 4) lako se pokazuje da vrijedi formula diam (A B) diam (A) + diam (A, B) + diam (B), iz koje oda lako zaključujemo da je uija od koačo mogo ograičeih skupova ograiče skup. *) koje defiiramo u preostalom dijelu ovog odjeljka. Skup A' se zove derivirai ili izvodi skup skupa A. **) H. Poicare (857 9) fracuski matematičar.
U svakom metričkom prostoru (X, d ) mogu se defiirati sljedeći pojmovi. 5 Defiicija..3. Neka je ε ( > 0) proizvolja pozitiva broj iz R i eka je x 0 X, gdje je (X, d ) metrički prostor. Tada se skup tačaka K(x 0, ε ) : = {x X : d(x 0, x) < ε } aziva otvorea kugla sa cetrom (središtem) u tački x 0 i poluprečikom (radijusa) ε. Za ε ε je K(x 0, ε ) K(x 0, ε ). U skupu realih brojeva R otvorea kugla sa cetrom u tački x 0 i radijusom ε je skup svih tačaka x R koje zadovoljavaju ejedakost: x x 0 < ε (gdje je d(x 0, x) = x x 0 ), tj. to je otvorei iterval ( x 0 ε, x 0 + ε ), (ε > 0). Defiicija..4. Neka je ε proizvolja pozitiva broj, a x 0 X, gdje je (X, d ) metrički prostor. Tada se skup tačaka K (x 0, ε ) : = {x X : d(x 0, x) ε } aziva zatvorea kugla sa cetrom u tački x 0 i poluprečikom ε. Prema tome, u skupu R zatvorea kugla sa cetrom u tački x 0 i poluprečikom ε je skup svih tačaka x R koje zadovoljavaju ejedakost: x x 0 ε, tj. zatvorea kugla K (x 0, ε ) u R je segmet [ x 0 ε, x 0 + ε ]. Na sl... prikazae su kugle (otvoree) u R sa cetrom u tački x 0 : = (0, 0) i radijusom ε = u različitim metrikama d, d i d. U Euklidskom prostoru R 3, K(x 0, ε) je kugla (u smislu elemetare geometrije) bez sfere koja tu kuglu ograičeva (omeđuje). U diskretom prostoru je K(x 0, ε) = { x 0 } ako je ε i K(x 0, ε) = X ako je ε >, tj. može biti ε < ε, a da ipak bude K(x 0, ε ) = K(x 0, ε ). y y y (0, ) (0, ) (0, ) (, 0) (, 0) x (, 0) (, 0) x (, 0) (, 0) x (0, ) (0, ) (0, ) Slika... (Tačke a rubu iscrtaog područja e pripadaju skupu K(x 0, ε), ali pripadaju skupu K (x 0, ε).) Defiicija..5. Okoliom U(x 0 ) (ili O(x 0 )) tačke x 0 X u metričkom prostoru (X, d ) aziva se svaki skup U( X ) (ili O X ) koji u sebi sadrži eku otvoreu kuglu sa cetrom u tački x 0. Iz defiicije..5. slijedi da je svaka otvorea kugla sa cetrom u tački x 0 koja pripada metričkom prostoru X je okolia tačke x 0. Ova okolia se aziva i kuglia okolia (ili sfera okolia) tačke x 0. I adalje kada spomeemo okoliu eke tačke mislimo a jeu kugliu okoliu. Navedimo i eka svojstva okolia (koja se lako pokazuju): I. (Prvo svojstvo za okolie). Ako su U '(x 0 ) ili U ''(x 0 ) dvije okolie tačke x 0, tada postoji okolia U(x 0 ) koja je sadržaa u datim okoliama. II. (Drugo svojstvo za okolie). Za proizvolje dvije tačke x, y X ( x y ) postoje okolie U(x) i U( y) koje emaju zajedičkih tačaka. Defiicija..6. Tačka x 0 X ( X ) je uutrašja tačka skupa X ako postoji otvorea kugla K(x 0, ε ) takva da je K(x 0, ε ) X ; x 0 X aziva se spoljašjom tačkom u odosu a skup X ( X ) ako postoji otvorea kugla K(x 0, ε ) takva da je K(x 0, ε ) X =. Tačka x 0 X aziva se izoliraom (izolovaom)tačkom skupa X ako postoji otvorea kugla K(x 0, ε ) takva da je K(x 0, ε ) X = {x 0 }.
Defiicija..7. Za skup uutrašje. 6 X ( X ) kaže se da je otvore skup ako su sve jegove tačke Defiicija..8. Tačka x 0 X aziva se tačkom gomilaja (tačkom agomilavaja) skupa X ( X ) ako svaka okolia U(x 0 ) tačke x 0 sadrži bar jedu tačku y X, y x 0. Tačka gomilaja može, a e mora pripadati skupu X. Važi sljedeća tvrdja, koju avodimo bez dokaza. Tvrdja... U svakom metričkom prostoru otvorea kugla je otvore skup. Prema tome (otvorei) iterval u skupu realih brojeva R je otvore skup (u odosu a običu /euklidsku/ metriku d (defiirau formulom d(x, y) = x y ). Posljedica ove tvrde je treće svojstvo za okolie: Ako tačka y pripada sferoj okolii U(x), y x, oda postoji kuglia okolia tačke y koja je sadržaa u okolii U(x). Tvrdja..3. Proizvolja okolia U(x 0 ) tačke gomilaja x 0 skupa X ( X ) sadrži beskoača skup tačaka skupa X. Dokaz: Pretpostavimo suproto, tj. da okolia U(x 0 ) sadrži koača broj tačaka x, x,..., x X međusobo različitih i različitih od tačke x 0. Prema avedeim osobiama za okolie slijedi da postoje okolie U * (x 0 ), U (x ), U (x ),..., U (x ) koje se sadrže u okolii U(x 0 ) i koje emaju zajedičkih tačaka. Slijedi da okolia U * (x 0 ) e sadrži i jedu tačku skupa X različitu od x 0, pa tačka x 0 ije po defiiciji tačka gomilaja. Ovim je tvrdja i dokazaa. Po defiiciji se uzima da su praza skup i čitav metrički prostor X otvorei skupovi. Defiicija..9. Neka je X metrički prostor. Za skup X X kažemo da je zatvore ako o sadrži sve svoje tačke gomilaja. Dokazuje se vda aži sljedeća teorema koju avodimo bez dokaza. Teorema... U svakom metričkom prostoru zatvorea kugla je zatvore skup. Prema tome, svaki segmet [a, b] R je zatvore skup. Važi i sljedeća teorema koju takođe avodimo bez dokaza. Teorema... Neka je X metrički prostor i eka je X X. Da bi skup X bio otvore potrebo je i dovoljo da jegov komplemet X ~ bude zatvore.... Nizovi u metričkom prostoru Defiicija..0. Niz u skupu X je svako preslikavaje x : N X skupa prirodih brojeva u skup X. Vrijedost x() X za N aziva se ti čla iza i ajčešće se ozačava sa x, tj. x() = x, pa se govori o x ). izu ( ) ili (x = Ako je X metrički prostor (ili, opštije, topološki prostor), postavlja se pitaje kovergecije iza (x ) iz X prema tački x 0 X. Ituitivo govoreći, radi se o slučaju kada se člaovi iza s dovoljo visokim ideksima alaze proizvoljo blizu tačke x 0. To se svojstvo iza defiira a sljedeći ači. Defiicija... Za iz (x ) elemeata metričkog prostora X kažemo da je kovergeta u metričkom prostoru (X, d ) ako postoji tačka x 0 X i ako za svaki ε > 0 postoji prirodi broj N = N(ε) tako da je za svaki > N zadovoljea ejedakost: d(x, x 0 ) < ε.
U ovom slučaju kažemo da iz (x ) kovergira ili teži ka tački x 0 X ili kažemo da je tačka x 0 graiča vrijedost iza (x ), što kratko pišemo: lim (x ) = x 0 ili lim x = x 0 ili lim x = x 0 ili (x ) x 0 za + ili x x 0. Ako iz (x ) ije kovergeta, oda kažemo da je o divergeta. Kada kovergetom izu (x ) pridružujemo graiču vrijedost x 0, govorimo da vršimo graiči prelaz. Ekvivaleta defiicija datoj defiiciji pojma kovergetog iza je sljedeća defiicija: Defiicija... Niz (x ) elemeata metričkog prostora X aziva se kovergetim u metričkom prostoru X ako postoji tačka x 0 X takva da je lim d (x, x 0 ) = 0. Defiicija..3. Neka je X metrički prostor. Za iz (x ), x X za svaki N kažemo da je Cauchyjev ili fudametala iz ako za svaki ε > 0 postoji prirodi broj N = N(ε) takav da je za, m > N zadovoljea ejedakost: d(x, x m ) < ε. Defiicija..4. Za metrički prostor X kažemo da je potpu (ili kompleta) ako svaki jegov fudametali iz kovergira ka ekom elemetu tog prostora. Primjer... Skup realih brojeva R je potpu metrički prostor (v. teoremu iz teorije izova realih brojeva, koja predstavlja potreba i dovolja uslov za kovergeciju iza čiji su elemeti reali brojevi). Teorema..3. Svaki fudametali iz u metričkom prostoru je ograiče. Dokaz: Neka je iz (x ) fudametali iz. Tada postoji priroda broj N takav da je d (x, x m ) < (uzeli smo da je ε = ) za, m > N. Specijalo je d (x, x N+ ) < za > N. Ozačimo sa r i : = d (x i, x N+ ) za i =,,..., N i sa r : = max{, r i }, pri čemu je i N. Očigledo je d (x, x N+ ) r za svaki N, čime je teorema i dokazaa. Tvrdja..4. Svaki kovergeta iz u metričkom prostoru je fudametala iz. Dokaz: Zaista, eka je iz (x ) kovergeta iz u metričkom prostoru (X, d ) i eka kovergira ε ka elemetu x 0 X. Uzmimo proizvolja ε > 0. Tada za > 0 postoji prirodi broj N = N(ε) takav da je d(x, x 0 ) < ε za > N. Sada iz ejedakosti d(x, x m ) d(x, x 0 ) + d(x m, x 0 ) slijedi da je d(x, x m ) < ε, za, m > N, pa je po defiiciji posmatrai iz fudametala. Općeito u metričkom prostoru fudametali izovi isu kovergeti. Npr., ako je X = (0, ] R, oda je iz (x ), x = X, fudametala iz budući da je (x ) kovergeta u [0, ]. No, u prostoru (0, ] iz e kovergira. Međutim, ipak se lako pokazuje čijeica da ako je (x ) fudametala iz u metričkom prostoru (X, d ) a ako eki podiz ( x ) iza prema x 0 X, oda i iz (x ) kovergira prema x 0. k 7 (x ) kovergira Primijetimo da općeito kovergecija ekog podiza e povlači kovergeciju iza (pr. podiz,,... iza 0,, 0,,... kovergira, a ipak iz 0,, 0,,... e kovergira). Tvrdja..5. Neka je X potpu metrički prostor. Da bi iz (x ), x X za N, bio kovergeta potrebo je i dovoljo da o bude fudametala iz.
8 Dokaz: Zaista, ako je iz kovergeta, oda je prema tvrdji..4. o i fudametala, a oda je o i kovergeta u potpuom metričkom prostoru, čime je tvrdja..5. i dokazaa...3. Normirai prostori U realim vektorskim prostorima R i R 3 defiira se itezitet ( modul ) vektora kao dužia duži kojom je taj vektor predstavlje, odoso kao rastojaje vrha vektora od ishodišta. Međutim, pojam iteziteta vektora u R ili u R 3 proširuje se i a vektore u proizvoljom vektorskom prostoru, tako da imamo sljedeću defiiciju. Defiicija..5. Neka je X vektorski prostor ad poljem skalara R ili C. Norma a X je svako preslikavaje : X R, koje zadovoljava sljedeće uslove (aksiome orme) : (N ) x 0, x = 0 x = 0 X (0 X - eutrali /ula/ elemet u skupu X ); (N ) λ x = λ x (homogeost orme) ; (N 3) x + y x + y (ejedakost trougla), za sve x, y X i za svaki skalar λ R (odoso λ C). Uređei par (X, ) vektorskog (realog, odoso kompleksog) prostora X i orme a X zove se ormirai (reali, odoso kompleksi) (vektorski) prostor. Vrijedost x za x X zove se orma vektora x. Polje realih brojeva R predstavlja vektorski prostor ad samim sobom, pa polje R možemo smatrati realim ormiraim vektorskim prostorom pri čemu se orma proizvoljog jegovog elemeta podudara sa jegovom apsolutom vrijedosti tog elemeta, tj. x = x za x R. Primijetimo da se za razliku od metrike, koja se može defiirati a proizvoljom eprazom skupu, orma defiira samo a vektorskim prostorima. Zato su ormirai prostori bogatiji svojstvima od metričkih prostora. Lako se vidi da je fukcija d : X x X R defiiraa formulom d (x, y) = x y, (..5) gdje je (X, ) ormirai prostor, metrika a X. Dakle, u svakom ormiraom prostoru X sa ormom može se defiirati udaljeost d (x, y) tačaka x, y X formulom (..5), tako da je X metrički prostor sa metrikom d. Iz (..5) imamo da je x = d (x, 0). Međutim, obruto e važi u opštem slučaju, tj. ako je a vektorskom prostoru X defiiraa metrika d, oda fukcija x a x defiiraa izrazom x = d (x, 0), (x X ), e mora biti orma a X, jer uslovi iz defiicije..5. e moraju biti ispujei. Npr., fukcija d : X x X R defiiraa izrazom d(x, y) = ako je x y i d(x, x) = 0 je metrika a R, ali d(x, 0) ije orma a R. Pojam okolie u ormiraom prostoru (X, ) uvodi se pomoću metrike defiirae formulom (..5), a a isti ači se defiira kovergecija, Cauchyjev iz i ostali pojmovi koje smo defiirali u proizvoljom metričkom prostoru. Npr., otvorea kugla sa središtem u tački x 0 X radijusa r R + defiira se kao skup {x X : x x 0 < r }. Ekvivaletost ormi defiira se a isti ači kao i ekvivaletost metrika. Defiicija..6. Za ormirai prostor X kažemo da je potpu (ili kompleta) ako svaki Cauchyjev iz (x ) u X kovergira ka ekom elemetu x 0 X. Potpu ormirai prostor zove se Baachov prostor ili (kratko) B prostor. Potpu uitari prostor zove se Hilbertov prostor.
..4. Uitari prostori. Euklidovi dimezioali prostori 9 Defiirajmo skup R, N : R = R4x 4R x 4 4x 3R kao direkti proizvod od faktora skupa puta realih brojeva, tj. R = {(ξ, ξ,..., ξ ) : ξ i R, i =,,..., } pri čemu svaki elemet ili tačka x R predstavlja uređeu torku ili slog : x = (ξ, ξ,..., ξ ). Brojevi ξ, ξ,..., ξ su koordiate tačke x. U skupu R defiira se uutrašja (biara) operacija + (koju zovemo zbrajaje ili sabiraje) kao preslikavaje R x R R, koja je defiiraa izrazom: x + y = (ξ, ξ,..., ξ ) + (η, η,..., η ) = (ξ + η, ξ +η,..., ξ +η ), gdje je x = (ξ, ξ,..., ξ ) i y = (η, η,..., η ); x i y su proizvolji elemeti iz R. Lako se vidi da uređei par (R, +) predstavlja komutativu grupu sa eutralim elemetom 0 = R = 0 = (0, 0,..., 0) i iverzim elemetom x = ( ξ, ξ,..., ξ ) za elemet x = (ξ, ξ,..., ξ ). U skupu R se defiira i spoljašja kompozicija puta " " koju zovemo možeje realim brojevima elemeata iz R i to kao preslikavaje R x R R defiirao formulom: λ (ξ, ξ,..., ξ ) = λ (ξ, ξ,..., ξ ) = (λ ξ, λ ξ,..., λ ξ ), gdje su λ R i x = (ξ, ξ,..., ξ ) R proizvolji elemeti. Lako se provjeri da je algebarska struktura (R, +, ) vektorski prostor ad poljem realih brojeva R. Elemete iz R, tj. uređee torke x : = (ξ,..., ξ ), zovemo vektori iz prostora R. U prostoru R uvodi se i operacija skalari proizvod kao preslikavaje: R x R R koje uređeom paru vektora x = (ξ, ξ,..., ξ ) i y = (η, η,..., η ) pridružuje reala broj kojeg ozačavamo sa (x ; y) (ili sa (x y) ) a defiira je formulom: i i (x ; y) = ξ η R. (..6) Lako se vidi da važe sljedeće osobie skalarog proizvoda defiiraog izrazom (..6): (U ) (x ; x) 0 ; (U ) (x ; x) = 0 x = 0 ( - eutrali elemet u prostoru R ) ; (U 3) (x ; y) = ( y ; x) (osobia simetrije) ; (U 4) (x + x ; y) = (x ; y) + (x ; y) (osobia aditivosti); (U 5) (λ x ; y) = λ (x ; y) (osobia homogeosti), gdje su x, y, x, x R i λ R proizvolji elemeti. R 0 R Napomeimo da se skalari proizvod može defiirati i a proizvoljom vektorskom prostoru. U tom smislu imamo sljedeću defiiciju: Defiicija..7. Uitarim ili prethilbertovim realim prostorom aziva se reali vektorski prostor X s preslikavajem X x X R koje svakom uređeom paru (x, y) elemeata x,y X pridružuje broj (x ; y) R tako da vrijede gore avedea svojstva (U ) (U 5). Ovako defiirao preslikavaje često se aziva skalarim možejem ili skalarim proizvodom / produktom (ili uutrašjim proizvodom). Defiicija..8. Uitari prostor R u kome je defiira skalari proizvod izrazom (..6) aziva se reali dimezioali Euklidov (euklidski) prostor i često se obilježava sa E ili E. Za dva elemeta x, y uitarog prostora X kažemo da su ortogoali ili okomiti (ormali) ako je (x ; y) = 0. Primijetimo da je uvijek (x ; 0) = 0 = (0 ; y), ( x, y X ).
0 Napomeimo da se u slučaju kompleksog vektorskog prostora X skalari proizvod defiira kao preslikavaje skupa X x X u polje kompleksih brojeva C za koje vrijede gore avedei uslovi (U ), (U ), (U 4) i (U 5), a uslov (U 3) se zamjejuje uslovom (U 3)' (x ; y) = ( y ; x), gdje z ozačava kompleksa broj kojugira broju z. Osovi primjer kompleksog uitarog prostora je prostor C = {(ξ,..., ξ ) : ξ i C; i =,..., }, a stadarda formula za skalari proizvod u C glasi i i (x ; y) = ξ η, (x = (ξ,..., ξ ), y = (η,..., η ) C ). Za svaki vektor x uitarog vektorskog prostora X je (x ; x) 0, pa je potpuo određe eegativa broj x : = ( x ; x). (..7) Lako se vidi da je fukcija : X R defiiraa formulom (..7) orma a X. Prema tome, orma u Euklidovom prostoru R zadaa je izrazom i x = ( ) ξ, (..8) gdje je x = (ξ, ξ,..., ξ ), a koja se aziva i kugliom (sferom) ormom i često ozačava sa. Dokažimo da je formulom (..7) defiiraa orma a X. Zaista, uslovi (N ) i (N ) u defiiciji pojma ormiraog prostora očigledo su zadovoljei, pa samo treba dokazati da je zadovolje i uslov (N 3). U tom cilju avedimo bez dokaza sljedeću teoremu. Teorema..4. (Schwarzova ejedakost) *). U svakom uitarom vektorskom prostoru X vrijedi ejedakost : (x ; y) x y, (..9) gdje su x i y proizvolji elemeti iz X, pri čemu zak jedakosti vrijedi ako i samo ako su vektori x, y liearo zavisi. Iz Schwarzove ejedakosti slijedi pozata Cauchyjeva ejedakost: i i ( ξ ) ( η ) i i ξ η (..0) koja važi za proizvolje reale brojeve ξ, ξ,..., ξ, η, η,..., η. Naime, dovoljo je primijeiti formulu (..9) a vektore x = (ξ, ξ,..., ξ ), y = (η, η,..., η ) iz Euklidovog prostora R. Dokažimo sada da fukcija : X R defiiraa izrazom (..7) zadovoljava i uslov (N 3) u defiiciji ormiraog prostora. Kako je x + x = (x + x ; x + x ) = (x ; x ) + (x ; x ) + (x ; x ) = x + (x ; x ) + x x + (x ; x ) + x, to primjeom Schwarzove ejedakosti dobijemo x + x x + x x + x = ( x + x ), što pokazuje da je x + x x + x, tj. vriejdi (N 3). Primijetimo da za x 0, x 0 u (N 3) vrijedi zak jedakosti akko postoji λ > 0 takav da je x = λ x. Primjeom ejedakosti trougla (N 3) a R brojeve ξ, ξ,..., ξ, η, η,..., η : dobije se sljedeća ejedakost za proizvolje reale i i i i ( + η ) ( ξ ) + ( η ) ξ. *) Ova ejedakost, pa i jei specijali slučajevi: Cauchyjeva ejedakost i ejedakost Buyakovskog, zove još i ejedakost Cauchy Schwarz Buyakovskog (kratko: CSB ili CBS ejedakost).
Iz prethodog slijedi da je svaki reali uitari prostor ujedo i ormirai, pri čemu se uvijek podrazumijeva da je orma u uitarom prostoru zadaa formulom (..7). No, obruto e vrijedi, jer postoje ormirai prostori u kojima se orma e može dobiti a opisai ači i iz jedog skalarog proizvoda (x ; y). Teorema..5. U realom uitarom prostoru X za ormu x = ( x ; x) vrijede jedakosti x + y + x y = ( x + y ) (..) (x ; y) = 4 ( x + y x y ), (x, y X ). (..) Dokaz: Iz relacija x + y = (x + y ; x + y) = x + (x ; y) + y, x y = (x y ; x y) = x (x ; y) + y sabirajem dobijemo realciju (..) koja se zove jedakost paralelogramaa, a oduzimajem dobijemo (..). Napomeimo da je relacija paralelograma (..) potreba i dovolja uslov da bi ormirai prostor bio uitara. Osim primjera (R, ), avedimo još eke važe primjee ormiraih prostora. Primjer..3. Uređei par (R, ) vektorskog prostora R i fukcije x = max { ξ i : i {,..., }} je ormirai vektorski prostor, jer je uslov (N ) očito ispuje, a vrijede i uslovi (N ) i (N 3) budući da je λ x = max { λξ i : i {,..., }} = λ max { ξ i : i {,..., }} = λ x, ξ i + η i ξ i + η i max { ξ i : i {,..., }} + max { η i : i {,..., }} = x + y, odakle je max { ξ i + η i : i {,..., }} x + y, pa je x + y x + y. Primijetimo da u ormiraom prostoru (R, ),, e vrijedi jedakost paralelograma (..). Naime, ako je, pr., x = (, 0,..., 0), y = (0,, 0,..., 0), oda je x =, y =, x + y =, x y =, pa očito ije ispuje uslov (..). Zato u R e postoji skalari proizvod (x ; y) takav da se ( x ; x) podudara s polazom ormom x. Primjer..4. Uređe par (R, ) vektorskog prostora R i fukcije : R R zadae i formulom x = ξ, x = (ξ,..., ξ ) R, je očito ormirai prostor koji ema svojstvo paralelograma (..). Za = je R = R i za svaki x R je x = x = x = x. Ako u vektorskom prostoru R i taj prostor sabdjeve (euklidskom) ormom x = ( ) e specificiramo ormu, oda ćemo uvijek podrazumijevati da je ξ izevedeom iz skalarog proizvoda euklidskog prostora R. Naime, i u R su ekvivalete ormi. Primjer..5. U prostoru kompleksih brojeva C (koji se može smatrati realim vektorskim prostorom za koji je dim C =, jer kompleksi brojevi, i čie jedu bazu prostora C, gdje je i imagiara jediica) uvodi se orma kao apsoluta vrijedost, tj. za z = ξ +i η je z = z = = η ξ +. Primijetimo da je i svaki potprostor Y ormiraog prostora X takođe ormirai prostor u odosu a ormu koja se dobije restrikcijom orme sa prostora X a Y.