SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga je element napravljen može da nosi dato spoljašnje opterećenje. Određivanje unutrašnjih sila je značajno jer se na osnovu njih vrši dimenzionisanje nosača. Pod dimenzionisanjem se podrazumeva određivanje potrebnih dimenzija preseka, da bi nosač sa sigurnošćumogaodanosiopterećenje. Za određivanje unutrašnjih sila u nosaču koristi se metoda preseka. Pod ovom metodom podrazumeva se zamišljeno presecanje nosača poprečnim ravnima na izabranom mestu. Presecanje može da se vrši na beskonačno mnogo mesta. Svaki nosač se sastoji iz više karakterističnih delova-polja.

SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA presek α-α je upravan na osu štapa, upravan na tengentu na mestu preseka osa štapa je geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Unutrašnje sile u preseku postaju spoljašne na osnovu aksiome pet. Ako je gredni nosač bio u ravnoteži, onda je i svaki njegov izdvojeni deo u ravnoteži.

SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

RAVNOTEŽA EVOG DEA NOSAČA Odbacujemo desni deo nosača i njegovo dejstvo - uticaj na levi deo, zamenjujemo redukcionom rezultantom i redukcionim spregom sila: R M

RAVNOTEŽA DESNOG DEA NOSAČA Odbacujemo levi deo nosača i njegovo dejstvo - uticaj na desni deo, zamenjujemo redukcionom rezultantom i redukcionim spregom sila: R D M D

R = R, R =R, M =M =M D D D

Definicije sila u presecima: Redukciona rezultanta se može razložiti u dve komponente: u pravcu ose štapa normale na presek (N); u pravcu upravnom na normalu preseka (osu štapa). Komponenta redukcione rezultante N, koja je u pravcu normale na presek α-α naziva se normalna ili aksijalna sila. Komponenta T, koja je u pravcu upravnom na normalu je transverzalna ili poprečna sila. Moment redukcionog sprega M je moment unutrašnjih sila obzirom na težište preseka i naziva se napadni moment ili moment savijanja.

DEFINICIJE SIA U PRESECIMA - KONVENCIJA O ZNAKU Normalna i transverzalna sila, N i T, su komponente redukcione rezultante unutrašnjih sila u pravcu ose štapa i upravno na pravac ose štapa Moment savijanja M je moment redukcionog sprega unutrašnjih sila kada se težište preseka uzme za redukcionu tačku. Usvoji se jedna strana nosača za donju stranu i označi se isprekidanom linijom. Normalna sila je pozitivna ako zateže element štapa, a negativna ako ga pritiska. Transverzalna sila je pozitivna ako nastoji da obrne element grede u smeru kretanja kazaljke na časovniku. Moment savijanja je pozitivan ako zateže donju stranu nosača.

PRORAČUN SIA U PRESEKU Vrednosti momenta savijanja, transverzalne i normalne sile u preseku nosača određuju se iz uslova ravnoteže otsečenog dela štapa. Ravnoteža levog dela štapa Algebarski zbir projekcija svih spoljašnjih sila i reakcija veza koje deluju na deo I na ose x i y, X = F1cosα 1+ Fcosα F3cosα 3+ RAcos α, Y = F sinα + F sin α F sinα + R sin α, 1 1 3 3 A Algebarski zbir momenata svih spoljašnjih sila koje deluju na deo I obzirom na tačku C: M = F r + F r F r + R r C 1 1 3 3 A A Jednačine ravnoteže levog dela glase: X= 0 X N= 0 Y= 0 Y T= 0 N= T= MC = 0 MC M= 0 M= M C X Y

Ravnoteža desnog dela štapa Algebarski zbir projekcija svih spoljašnjih sila i reakcija veza koje deluju na deo II na ose x D i y D : XD = F4cosα4 F5cosα5 R Bcos β, Y = F sinα F sin α + R sin β, D 4 4 5 5 B Algebarski zbir momenata svih spoljašnjih sila koje deluju na deo II obzirom na tačku C: M = F r F r + R r C 4 4 5 5 B B D Jednačine ravnoteže desnog dela glase: X= 0 X N= 0 D Y= 0 Y T= 0 D D MC = 0 MC M= 0 M= MC D D N= T = X Y D

N= X = X D Normalna (aksijalna) sila N u proizvoljnom poprečnom preseku štapa jednaka je algebarskom zbiru projekcija svih sila na osu normalnu na presek bilo s leve, bilo s desne strane preseka. T= Y = Y D Transverzalna (poprečna sila) T u proizvoljnom preseku jednaka je algebarskom zbiru projekcija svih sila s jedne ili druge strane preseka na osu upravnu na normalu preseka. M= M = M C C D Moment savijanja M u proizvoljnom preseku štapa je jednak algebarskom zbiru momenata svih sila s jedne ili druge strane preseka obzirom na težište poprečnog preseka.

DIFERENCIJANE ZAVISNOSTI IZMEĐU TRANSVERZAE SIE T, MOMENTA SAVIJANJA M I KONTINUANOG OPTEREĆENJA q Ravnoteža elementa grede opterećenog kontinualnim linijskim opterećenjem Y= 0 T + dt T M = 0 M + dm M C 1 dt + q(x)dx = 0, q(x) =, dx dx Tdx q(x)dx zanemaruje se dm = 0, T=. dx

EKSTREMNE VREDNOSTI MOMENTA SAVIJANJA Uslov ekstremuma funkcije glasi: Kako je: dy dx dm = 0, = 0, dx T= 0 dm T= dx T M Posledica uslova ekstremuma funkcije i diferencijalne zavisnosti između momenta i transverzalne sile u preseku nosača: MOMENT SAVIJANJA IMA EKSTREMNU VREDNOST U PRESEKU U KOME JE TRANSVERZANA SIA JEDNAKA NUI.

Ravnoteža elementa grede opterećenog kontinualnim linijskim opterećenjem q(x) dt = dx dm T= dx dm dt dx = dx = ( ) q x

Sile u karakterističnim presecima

PRORAČUN SIA U PRESECIMA I CRTANJE DIJAGRAMA Posmatramo nosač opterećen silama F 1, F,F 3 i F 4 Oslobodimo se veza i dejstvo veza na nosač zamenimo silama V A, H A i V B Na karakterističnom mestu nosačanapravise presek α α, tako da se nosač podeli na dva dela.

PRORAČUN SIA U PRESECIMA I CRTANJE DIJAGRAMA Uticaj levog dela na desni deo nosača dobija se tako što se sve sile odbačenog dela nosača redukuju na presek. Time se dobija: N = X T M = Uticaj desnog dela nosača na levi dobija se tako što se sve sile odbačenog dela nosača redukuju na presek. Time se dobija: ND = XD TD = YD M = M D = Y M Unutrašnje sile preseka se definišu na osnovu spoljašnjih sila odbačenog dela nosača Spajanjem levog idesnog dela unutrašnje sile se poništavaju. Spoljašnji sistem sila je uravnoteži: R,R,F,F,F,F = 0 ( A A 1 3 4) C C D

PRORAČUN SIA U PRESECIMA I CRTANJE DIJAGRAMA Sastave se analitički izrazi, kao zakoni promene M, T i N u zavisnosti od apscise preseka, U karakterističnim presecima (seče se štap upravno na osu) se sračunaju vred. M, T i N, a zatim se u odabranoj razmeri nanesu upravno na osu grede, vodeći računa o znaku (šablon za pozitivan znak). Pozitivne vrednosti M se crtaju na strani zategnutog dela grede, a negativne na strani pritisnutog dela grede; Nanešene ordinate, koje predstavljaju vrednosti M, T i N u karakterističnim presecima se linijski povežu imajući u vidu M=M(x), T=T(x) i N=N(x). Dobijeni grafici se nazivaju dijagrami momenata, transverzalnih i normalnih sila

Uslovi ravnoteže: X = 0 H + Fcosα = 0, (1) A 1 A A A A A Y = 0 V + V Fsinα = 0, () B B M = 0 V a Fsinα a = 0, (3) (1) H = F cos α, Fsinα (3) V B =, Fsinα () V A =. presek 1 1 0 x a N = H = Fcos α, Fsinα T=V 1 A =, Fsinα M1 = V A x = x, x = 0, M = 0, Fsinα x = a, M C = a, presek 0 x a N = 0, Fsinα T= V B =, Fsinα M = V B x = x, x = 0, M = 0, A Fsinα x = a, M C = a.

Odrediti sile u presecima za datu prostu gredu i nacrtati dijagrame momenata savijanja, transverzalnih sila i normalnih sila. Fsin α Fsin α HA = Fcos α, V B =, VA = Fsin α Fsin α N11 = HA= Fcos α, T 11 =V A=, M11 = VA x = x Fsinα l Fsinα l N = 0, T = VA Fsin α=, M = VA x F x = x F x M C Fsinα l Fsinα = = 4 l

Odrediti sile u presecima za datu prostu gredu i nacrtati dijagrame momenata savijanja, transverzalnih sila i normalnih sila. H = 0, V = V = A A B F M C F = l 4

Odrediti sile u presecima za datu prostu gredu i nacrtati dijagrame momenata savijanja, transverzalnih sila i normalnih sila. V A q = VB = l x ql x ql 11 A 11 A 11 M = V x qx = x q, T = V qx = qx, N = 0 ql ql za x = 0 MA = 0, T A =, NA = 0, za x = l MB = 0, T B =, NB = 0. l dm(x) q T(x) = = 0 ( l x0) = 0 x 0 = l. qll q M dx max M q l = = = 0 8 x l =

Odrediti sile u presecima za datu prostu gredu i nacrtati dijagrame momenata savijanja, transverzalnih sila i normalnih sila. Q q l Q q l HA = 0, V B = =, VA = = 3 3 3 6 q:q = l :x q = 11 11 qx l qx x q11 x x ql x q q 3 q q M11 = VA x = x l l l = x x, T11 = x, N11 = 0. 3 6 3 6 6l 6 l ql ql za x = 0 MA = 0, T A =, za x = MB = 0, TB = 6 3 q l q l x 3 0 = 0 x0 = 6 l 3 M max l 3 xo = 3 ql l 3 q l 3 ql 3 = M = = 6 3 6l 3 7

MA = MB = MC = ME = MF = 0 M = H = 1 = 4 knm, M = H + M = 14 knm, 1 A A M = V,5 = 19,5 knm, M = M = V 5 F,5 = 14 knm, 3 C 5 6 C M = M = q 1= 6kNm, 7 8 T = T = H = 1 kn, T = H + S = 7 kn, T = H = 7 kn, A 1 A A C1 C T = V = 7,8 kn, T = V = 7,8 kn, T = V F = 7,8 10 =, kn, C C 3 C 4 C T = V F =, kn, T = H = 7 kn, T = S+ q = 13kN, 5 C 6 C 7 T = q = 6kN, 8 N = N = N = N = V = 7,8kN, N = N = N = N = H = 7kN, A 1 C1 A C 3 4 5 C N = N = N = N = V =,kn, N = N = S= 19kN. 6 7 8 B B E F

Ako je nosač opterećen prostornim sistemom sila (sile ne deluju u istoj ravni), redukciona rezultanta i moment redukcionog sprega imaju komponente u pravcima x, y i z, kao što je na slici pokazano. U ovom slučaju je N normalna sila, Ty i Tz su komponente transverzalne sile, Mx je moment torzije, a My i Mz komponente momenta savijanja. U većini slučajeva, ove rezultantne unutrašnje sile deluju u težištu poprečnog preseka. Kako se veličine unutrašnjih sila u opštem slučaju razlikuju u različitim tačkama duž ose štapa metod preseka se može uvek primeniti da bi se odredile njihove vrednosti.