COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ. PROF. COORDONATOR GH. COTFAS APRILIE

Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X... X. Prescurtt putem scrie f X k,,..., sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul se umeşte moic su uitr terme liber.,,..., poliomul este cu coeficieţi complecşi şi scriem f X, ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi complecşi. poliomul este cu coeficieţi reli şi scriem f X,,,..., ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi reli. poliomul este cu coeficieţi rţioli şi scriem f X,,..., k k., ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi rţioli. poliomul este cu coeficieţi îtregi şi scriem f X,,..., ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi îtregi. X X X X., ) Grdul uui poliom Dcă f X X... X şi tuci spuem că poliomul f re grdul. Notţie grd f su gr f Dcă f tuci poliomul se umeşte costt şi grd f. Dcă f tuci poliomul se umeşte ul şi grd f. ) Eglitte poliomelor m m Fie f X X... X şi g bmx bm X... bx b. Poliomele f şi g sut egle şi scriem f g dcă m şi i bi, i, dică u grde egle ir coeficieţii corespuzători egli. ) Vlore uui poliom Fie f X X... X şi. Numărul f... se umeşte vlore poliomului î α şi se obţie di clculul îlocuirii edetermitei X cu α. Dcă f tuci umărul α se umeşte rădăciă poliomului f Sum coeficieţilor se obţie clculâd vlore poliomului î dică f...

Termeul liber se obţie clculâd vlore poliomului î dică f 5) Operţii cu poliome m i j Fie f, g [ X], f X i şi g bj X, m. i Sum poliomelor f şi g este poliomul defiit pri: j k f g c X, ude k bk, k m ck şi grd( f g) mgrd f, grd g. k, mk Sum se efectueză pri dure termeilor(moomelor) semee Produsul poliomelor f şi g este poliomul defiit pri: m f g cmx... cx c, ude c k ib j, k, m. şi grd( f g) grd f grd g. produsul se efectueză pri desfcere prtezelor şi poi pri reducere termeilor(moomelor) semee Împărţire poliomelor f şi g se efectueză plicâd lgoritmul petru flre câtului şi restului. Nu este idict să plicăm lgoritmul l împărţire cu biomul X Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică f ( ) deci reţiem că r f Câtul şi restul împărţirii uui poliom f pri biomul X se pot fl cu schem lui Horer Teorem împărţirii cu rest. Oricre r fi poliomele f, g [ X ], grd f grd g, g, eistă şi sut uice poliomele qr, [ X] cre u proprietăţile: f gq r; şi grd g. Avem evidet că grd q grd f grd g Dcă efectiv u putem plic lgoritmul l împărţire cu X X tuci determire restului se v fce stfel: Aplicăm T.I.R şi obţiem f X X qm Clculăm f şi f î două moduri şi obţiem u sistem î m şi grd r Rezolvăm sistemul şi obţiem f f b f b bf m,, b b b 6) Divizibilitte poliomelor Fie f, g [ X]. Poliomul f este divizibil cu poliomul g dcă eistă u poliom q [ X] stfel îcât f g q. Notăm f g su g f. f g dcă şi umi dcă f împărţit l g dă restul i jk k k

f g dcă f împărţit l g u dă restul Dcă f g tuci grd f grd g Dcă f g dcă şi umi dcă rădăciile lui g sut şi rădăcii petru f. f g dcă o rădăciă lui g u este rădăciă şi petru f. 7) Rădăciile poliomelor Numărul α este rădăciă petru poliomului f dcă şi umi dcă f. Teorem lui Bézout. Fie f [ X ] u poliom eul şi. Poliomul f este divizibil cu biomul X dcă şi umi dcă f dică este rădăciă. Dcă α este rădăciă petru poliomul f tuci f ( X ) Dcă α şi β sut rădăcii petru poliomul f tuci f ( X ) şi f ( X ) Dcă f ( X ) şi f ( X ) tuci f ( X ) ( X ) Spuem că este rădăciă multiplă de ordi p petru poliomul f [ X ], dcă f ( X ) p şi f ( X ) p. Dcă p tuci α se mi umeşte rădăciă dublă petru poliom, ir dcă p tuci α se mi umeşte rădăciă triplă petru poliom. f l este rădăciă dublă petru poliomul f [ X ], dcă f ll f dică α este rădăciă petru f, petru f l şi u e petru f l l f l f este rădăciă triplă petru poliomul f [ X ], dcă ll f lll f dică α este rădăciă petru f, petru f l, petru f l l şi u e petru f l l l. Poliomul cre re o ifiitte de rădăcii este poliomul ul 8) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi reli Fie f [ X ] şi umerele bi, b respectiv bi,, b Dcă f re rădăci compleă bi, b tuci şi bi rădăciă şi mâdouă u celşi ordi de multiplicitte. este Dcă f re rădăci compleă bi, b tuci f ( X ) ( X ). Numărul rădăciilor di \ dică pur complee le poliomului f este pr. Dcă grdul lui f este impr tuci poliomul re cel puţi o rădăciă relă Dcă grdul lui f este impr tuci poliomul re u umăr impr de rădăcii rele.

Dcă grdul lui f este pr tuci poliomul re u umăr pr de rădăcii rele su deloc Dcă f f b tuci poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul b,, b,, b 9) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi rţioli Fie f [ X ] şi umerele b d, d, d respectiv b d,, b, d Dcă f re rădăci irţiolă b d, d, d tuci şi b d este rădăciă şi mâdouă u celşi ordi de multiplicitte. Dcă f re rădăci irţiolă b d, d, d tuci f ( X ) ( X ). ) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi îtregi p Fie f [ X ] şi umărul ude pq,, pq, q p Dcă f re rădăci frcţi ireductibilă tuci p şi q dică q p divide termeul liber şi q divide coeficietul domit. Rădăciile îtregi sut divizori i termeului liber U poliom u dmite rădăcii îtregi dcă vlorile poliomului î divizori îtregi i termeului liber sut eule. Dcă f este moic(uitr) tuci rădăciile rţiole sut umi îtregi U poliom moic u dmite rădăcii rţiole dcă u re ici îtregi. f f y y ) Descompuere î fctori Fie f X, f X X... X cu rădăciile disticte,,...,. Formul de descompuere este : f X X... X Dcă rădăciile u sut disticte tuci: p p p... k f X X X k ude p, p,..., p k sut ordiele de multiplicitte rădăciilor,,..., k Orice poliom de grd cu coeficieţi reli pote fi descompus îtr-u produs de poliome de grdul I su grdul II cu coeficieţi reli. Petru descompueri căutăm rădăcii îtregi pritre divizorii termeului liber plicâd schem lui Horer. Dcă cuoştem rădăciile,,..., putem fl poliomul desfăcâd prtezele X X... X. Î formul de descompuere f X X... X putem d vlori prticulre petru edermit X şi vom obţie diverse relţii.

) Poliome reductibile-ireductibile Poliomul f cu grd f, se umeşte reductibil peste mulţime de umere M dcă eistă poliomele g,h di M X de grde strict mi mici decât grdul lui f, stfel îcât f g h. Î cz cotrr poliomul f este ireductibil peste mulţime M. Orice poliom de grd este ireductil Orice poliom de grd este reductil peste f M X este ireductibil peste o mulţime de umere M Dcă u poliom tuci u re rădăcii î M dr ivers u dică dcă f M X rădăcii î M u îsemă că este ireductibil peste M( f M X u re este reductibil peste M, dr u re rădăcii î mulţime de umere M) Poliomele ireductibile peste sut de form f b su f bc, ude bc,, U poliom f pote fi ireductibil peste o mulţime dr reductibil peste ltă mulţime. ) Relţii ître rădăcii şi coeficieţi-relţiile lui Viète. Fie f X, f X X... X cu rădăciile,,...,. Relţiile lui Viète sut : V... V... C termei V... C termei...; V... ( ). V Sum iverselor rădăciilor... V Sum pătrtelor rădăciilor... V V Dcă... tuci poliomul u re tote rădăciile rele Dcă plicăm defiiţi rădăcii petru fiecre î prte tuci pri dure relţiilor putem obţie iformţii despre lte sume de puteri de rădăcii Dcă cuoştem V, V,..., V tuci ecuţi cre re soluţiile,,..., este k k : V V... ( ) Vk... ( ) V. ) Teoremă. Orice ecuţiei poliomilă de grd re ect rădăcii complee u epărt disticte.

5) Teorem fudmetlă lgebrei (teorem D Alembert Guss). Orice ecuţie poliomilă de grd mi mre su egl cu re cel puţi o rădăciă compleă. 6) Teorem Abel-Ruffii. Orice ecuţie poliomilă de grd mi mre decât u este rezolvbilă pri rdicli. 7) Rezolvre ecuţiilor poliomile de form X X... X Petru ecuţiile de grdul I şi II vem formule de rezolvre cuoscute. Petru rezolvre ecuţiilor bipătrte de form b c se fce substituţi t Petru ecuţiile reciproce dică ecuţiile cu coeficieţii termeilor egl depărtţi de etremi, egli plicăm lgoritmul : Dcă grdul este impr tuci - este rădăciă şi plicâd schem lui Horer obţiem o ltă ecuţie reciprocă, dr de grd pr Dcă grdul este pr tuci se fce substituţi t, şi pri clcul se observă că + t k Ecuţiile biome de grd impr de form,, k u k rădăci relă k * Ecuţiile biome de grd pr de form,, k u rădăciile k rele 8) Studiul rădăciilor uei ecuţii se pote fce şi cu teoremele Drbou, Rolle. Cu jutorul cestor teoreme se pot determi umărul rădăciilor rele le ecuţiei precum şi itervlele î cre ceste rădăcii sut situte, dcă sociem fucţi poliomilă f :. Coseciţă Teoremei lui Drbou. Dcă o fucţi este cotiuă pe u itervl I şi f f b,, bi, I tuci ecuţi f re cel puţi o soluţie î itervlul (,. Şirul lui Rolle. Ître două rădăcii le derivtei eistă cel mult o rădăciă fucţiei. Algoritmul este: l Se rezolvă ecuţi f şi obţiem rădăciile,,..., k Fcem u tbel de form.... k l f... f lim f f f... f k lim f lizăm vriţi semului fucţiei f. Ître două vriţii de sem cosecutive le fucţiei f() eistă o rădăciă poliomului f.

6 Se cosideră 7 şi poliomul f X X ˆ5 7[ X]. ) Să se verifice că petru orice b ˆ 7, b, re loc relţi b 6 ˆ. 6 Să se rte că ˆ5 ( )( ˆ ), ˆ 7. Să se demostreze că petru orice 7, poliomul f este reductibil î [ X ]. 7 Soluţie propusă şi redcttă de Ctic Băj, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Metod. Teoremă Lgrge: Dcă G, u grup fiit şi ordg tuci e, G dică orice elemet di grup ridict l ordiul grupului e dă elemetul eutru grup fiit cu 6 elemete cu elemetul eutru e 7, Lgrge b 6 ˆ, b 7 Metod. Clcul efectiv petru fiecre b, b, ˆ 7 ˆ ˆ 6 6 6 5ˆ Desfcem prtezele ˆ ˆ ˆ5 6 ) 6 ) Metod. Petru ˆ f 5ˆ ˆ ˆ Petru ˆ știm că, 7 este grup și îtr-u grup orice elemet este simetrizbil ˆ 7 l l simetrizbil (iversbil ) 7 stfel îcât ˆ ) l 6 l f b ˆ5 l ˆ l 5ˆ f l ˆ6 l dr 7 f stfel îcât l ˆ l f ˆ7 l l l ˆ rădăciă f Metod. Clcul efectiv petru fiecre 7 f deci f reductibil î 7

Se cosideră b, şi poliomul f X X X b. ) Să se determie şi b ştiid că i este rădăciă poliomului f. Să se determie şi b ştiid că este rădăciă poliomului f. Să se determie şi b ştiid că poliomul f re o rădăciă triplă. Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Cioc, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe i i ) i rădăciă f i i i ib i i iib i i i i b iibbi b b6 rădăciă f b b bb 7 7 7 b b Fie rădăciă triplă f f f l ll l ll Avem: f și f 6 ll f 6 l l f f 9 f f bb 7 9 7 Metod. rădăciă triplă f X X X X b 7 7

Se cosideră,,, rădăciile ecuţiei şi determitul. ) Petru, să se determie,,. Să se rte că, petru orice, ecuţi re o sigură rădăciă relă. Să se rte că vlore determitului u depide de. Soluţie propusă şi redcttă de Adre Cîrste, cls XII- A, ) Metod. Petru vem ecuţi C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ( )( ) ( ) ( )( ) i. i i, i S ii., Metod. f X X X f rădăciă f. Di schem lui Horer vem i S, i i q, i Scriem relţiile lui Viete:,,, V, V, V Presupuem că poliomul f X X X re mi mult de o rădăciă relă,, re tote rădăciile rele. Știm că V V fls (u verifică relţi V ).Î cocluzie, ecuţi re cel mult o rădăciă relă. Metod. relți * V Dcă,, sut rădăciile ecuţiei dte deci vem: V ( ) ( ) * u depide de. Metod. circulr V v f X

Se cosideră şi ecuţi, cu rădăciile complee,,. ) Să se clculeze ( )( )( ). Să se determie şi ştiid că. Să se determie petru cre,, sut umere îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Mădăli Dermișek, cls XII- A, ) Metod. Scriem relţiile lui Viete,,, V V V C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe E ( )( )( ) ( ) V V V V V V E Metod. Scriem descompuere poliomului f X X f X X X f f ( )( )( ) f ( )( )( ) Metod. Dcă f f 8 6 6 Aplicăm schem lui Horer: 6 q i Metod. 8 8i, i Ecuţi de grdul cre re rădăciile, este, i Clculăm sum pătrtelor rădăciilor,, dcă V V,, u di rădăcii este f

Se cosideră bc,, şi poliomul f X X bx c, cu rădăciile,,, stfel îcât,,. ) Să se demostreze că. Să se rte că, dcă c, poliomul re cel puţi o rădăciă relă î itervlul ( ; ). Să se rte că, dcă, c, tuci b. Soluţie propusă şi redcttă de Tibor Goz, cls XII- A, ) Scriem relţiile lui Viete :,,, V V b V c Avem b c Fie fucți :,, lim f c f f bc lim f, f cotiuă C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe stfel îcât f deci, poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul (, ), c f X X bx V Dr,, Deorece poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul (, ) rădăciă f bb

Se cosideră fucţi f : 5 5, f ( ). ) Să se clculeze f (ˆ ) şi f (ˆ ). Să se rte că fucţi f u este surjectivă. Să se descompuă poliomul X ˆ X [ X] î fctori ireductibili peste. 5 ˆ 5 Soluţie propusă şi redcttă de Remus Herciu, cls XII- A, ) ˆ f ˆ C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ˆ f ˆ ˆ ˆ 5ˆ ˆ f ˆ ˆ f ˆ f ˆ 6 8ˆ ˆ ˆ f 89 ˆ f ˆ 56 6 7, deci f u i tote vlorile di codomeiu. 5 stfel îcât f ˆ f u este surjectivă f ˆ ˆ ˆ ˆ q ˆ q ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q ˆ q ˆ q ˆ q ˆ q ˆ q ireductibil f ˆ ˆ

Se cosideră umărul i și poliomul f X, f X X 6 ) Să se rte că f. Să se determie rădăciile poliomului f.. ) Să se rte că poliomul f este ireductibil î X Soluţie propusă şi redcttă de Vld Ppce, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f f i i i 6 i 8 8 i6 8 ii 8 8 i i 6 i t 8i ) t t6 t, i i i) i i ii) i i Poliomul f cu grd f, se umeşte reductibil peste mulţime de umere M dcă eistă poliomele gh, di M X de grde strict mi mici decât grdul lui f, stfel îcât f g h. Î cz cotrr poliomul f este ireductibil peste mulţime M. f X X X X f X ix ix ix i f X i X i f X i X i deci f este ireductibil î X.

Se cosideră poliomul f [ X ], ) Să se clculeze. X 5X 5, f cu rădăciile,,,. Să se rte că poliomul f re tote rădăciile rele. Să se rte că, dcă g este u poliom cu coeficieţi reli cre re propriette că petru orice rel g( ) f ( ), tuci eistă [; ] stfel îcât g f. Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Pătrîjel, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Scriem relțiile lui Viete :,, 5,, 5 V V... 5 V V 5 Rezolv ecuți bipătrtă X X 5 5 5 t t 5t 5 t, 5 5 și observăm că t, Deci 5 5 5 5,,, Di g ( ) f( ), g ( ) f( ) g ( ) g ( ) g ( ) dică rădăciă petru poliomul g și log,, rădăcii petru poliomul g, deci tote rădăciile lui f sut și rădăcii petru poliomul g g f X stfel îcât g f g( ) f ( ) f g f f [ ;]

Se cosideră bc,, şi poliomul f X X bx c. ) Să se determie, b, c stfel îcât poliomul f să ibă rădăciile şi. Să se rte că, dcă f re rădăci tuci f re o rădăciă rţiolă. Să se rte că, dcă bc,,, ir umerele f () şi f () sut impre, tuci poliomul f u re rădăcii îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Iri Petcu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Dcă f re rădăciile şi f X X f X X X f X X, b și c f X rădăciă rădăciă Scriem relţiile lui Viete,, b, c V și obțiem f re o rădăciă rţiolă Presupuem că poliomul f dmite o rădăciă îtregă k k stfel îcât f k X k f f X k h, h X Obțiem: f khkhimpr k impr k impr f khkhimpr k impr k pr deci cotrdicție poliomul f u re ici o rădăciă îtregă.

Se cosideră poliomele f, g [ X], f X X X X, cu rădăciile,,, şi g X. ) Să se determie restul împărţirii poliomului f l poliomul g. Să se clculeze ( ) ( ) ( ) ( ). Să se clculeze g ) g( ) g( ) g( ). ) ( Soluţie propusă şi redcttă de Di Pop, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe X X X X X X X X X / X X X X / X X X / X r X,,, rădăcii f ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Dr f 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) * g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) f Dr 5 f f f g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 5 Justicre * f X X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f

Se cosideră b, şi poliomul f X X X b, cu rădăciile,,. ) Să se determie,, î czul, b.. Să se demostreze că ( ) ( ) ( ) 8( 5). Să se determie, b stfel îcât poliomul f să ibă o rădăciă dublă eglă cu. Soluţie propusă şi redcttă de Vivi Pop, cls XII- A, ) b f, 8 8 8 su 8 C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe 8i i i deci rădăciile sut 6 6, Scriem relțiile lui Viete :,,, V V V b b V V V V V 6 6 68 5 i, i, Metod. rădăciă dublă f f l b 8 b b6 5 Metod. Fie V V 5 Cz i. Cz ii., b6 b 6, b6 b 6 V V

Fie poliomul f X X X X [ X] şi,,, * f( ),. ) Să se clculeze. Să se rte că rădăciile sle. Să se determie petru cre tote rădăciile poliomului f sut umere rele. Soluţie propusă şi redcttă de Coreli Secele, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Avem următorii coeficieți: V V... V V,,,, și f f u este rădăciă, deci pot folosi form de l puctul cre re l umitor f Fie t t t. Ecuţi î t re rădăciile rele dcă, deci poliomul f cu edermit t, re tote rădăciile rele dcă. Verificăm dcă ecuţi t re rădăciile rele: t t t t, poliomului f sut umere rele. deci, dcă, tuci tote rădăciile

Se cosideră şirul de umere rel ( ), cu şi, poliomul f [ X ], cu f ( ) şi cu propriette că ( ) ( f ( )), ) Să se clculeze f (5). Să se rte că, f ( ). Să se rte că f X. şi f. Soluţie propusă şi redcttă de Robert Veress, cls XII- A, ) Clculăm vlorile petru,, f f f f f 5 f 5 C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Demostrăm pri iducție propoziți: P: f, Verificre: P() : f f (A) Presupuem P() devărtă şi demostrăm că PP Demostrţie: P: f relţie cre trebuie demostrtă. f f Î cocluzie P() este devărtă. Cosiderăm poliomul h f X Observăm că h f h f poliomul h re o ifiitte de rădăcii... h f Deci poliomul h este poliomul ul dică h f X f X

Se cosideră Z şi poliomul f X ˆ X [ X]. ) Să se clculeze f ( ˆ) f (ˆ) f (ˆ ). Petru ˆ, să se determie rădăciile di le poliomului f. Să se determie petru cre poliomul f este ireductibil î [ X ]. Soluţie propusă şi redcttă de Cosmi Vezeteu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f ˆ f ˆ f ˆ ˆ ˆ 8 ˆ 8 ˆ 9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f f f ˆ 8 ˆ ˆ rădăciă ˆ f ˆ ˆ, deci reductibil ˆ ˆ ˆ f f f f ˆ ˆ ˆ 7 ˆ grd f ˆ ˆ ˆ f ireductibil ˆ ˆ rădăciă ˆ f, deci reductibil f este ireductibil dcă ˆ.

Se cosideră poliomul f [ X ], cu f X 5X. ) Să se determie rădăciile poliomului f. Să se determie poliomul h [ X], petru cre h ( ) şi cre re c rădăcii iversele rădăciilor poliomului f. Ştiid că g este u poliom cu coeficieţi îtregi, stfel îcât g ( ) g( ) g() g(), să se rte că ecuţi g u re soluţii îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Vld, cls XII- A, ) Ecuți este bipătrtă deci C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe t t t t, t 5 Cz i) Cz ii) h... h,,, 5 h h 5 Dr h h Fie p g p p p p, p, q X p g q Presupuem că poliomul g re soluţii îtregi k stfel îcât gk gk kkkkqk fls ecuţi g u re soluţii îtregi.

Se cosideră şi poliomul f X X X X [ X]. ) Să se clculeze, ude,,, sut rădăciile poliomului f. Să se determie restul împărţirii poliomului f l ( X ). Să se demostreze că f u re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Mrius Boridel, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Avem următorii coeficieți:... V V... V... V,,,, și V V 6 6 / 8 / 6 6 6 / 8 7r 8 7 V V f u re tote rădăciile rele. 9 9

Se cosideră poliomul f [ X ], f ( X i) ( X i), cre re form lgebrică 99 f X 99 X... X. ) Să se clculeze 99. Să se determie restul împărţirii poliomului f l X. Să se demostreze că poliomul f re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Adri Bufte, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Aplicăm biomul lui Newto petru fiecre prteză 99 98 97 98 98 99 99 ( X i) X C X ic X i C X i C X i C Xi i 99 98 97 98 98 99 99 ( X i) X C X ic X i C X i C X i C Xi i duâd obţiem 98 98 98 f X C X i CX i i de ude, 99 deci 99 Aplicăm teorem împărţirii cu rest f q r, grd r f q m f m 5 5 5 5 5 5 5 f i i i i i i f m i 5 5 5 5 5 5 5 f i i i i i i Rezolv sistemul: m m m 5 5 5 r 5 i Presupuem că poliomul u re tote rădăciile rele compleă zbi cu b, și b. Avem f z ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) zi zi zi zi bii bii m 5 m f dmite o rădăciă z Re z Im z ib ib b b b b b bb bb cotrdicție deorece b deci, poliomul f re tote rădăciile rele. 5

Se cosideră poliomul f X X 9, cu rădăciile,,,, umărul i şi mulţimile A g ( ) g [ X] şi B h( ) h [ X], grd( h). ) Să se clculeze f (). Să se clculeze. Să se rte că A B. Soluţie propusă şi redcttă de Vld Costtiescu, cls XII- A, ) Ecuţi este bipătrtă deci fcem substituţi i i t t9 t, i i,,, i deci i rădăciă f( ). Aplicăm formul modulului z y şi obţiem deci C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Arătăm că orice elemet di mulţime A este şi î mulţime B, dr şi reciproc. Fie elemetul y A yg( ) g[ X] y g( ), g [ X], i rădăciă petru f. Di teorem împărţirii cu rest eistă poliomele qr, stfel îcât y f qr, grdr grd f deci grd r r X X X dică y f qx X X y f q y y h yb Fie elemetul y B yh( ) h[ X], grd( h) y h( ), h [ X] Deorece petru orice poliom h de grd( h) cu coeficieţi rţioli eistă u poliom g A stfel îcât h g tuci y g( ) y A t

Se cosideră poliomul f [ X ], f X px qx r, cu p, q, r (; ) şi cu rădăciile,,. ) Să se demostreze că f u re rădăcii î itervlul [ ; ). Să se clculeze î fucţie de p, qr,. Să se demostreze că, dcă bc,, sut trei umere rele stfel îcât b c, b bc c şi bc tuci, b, c( ;). Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Dele, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Presupuem că rădăciile,, sut î itervlul [ ; ). Dcă k rădăciă tuci f k dică k p k q k r deci f u re rădăcii î itervlul [ ; ). fls, Scriem relţiile lui Viete ude, p, q, r V p V q V r rădăciă f p qr rădăciă f p q r rădăciă f p q r duăm V V p q p q r V V p deci p p q pq r p pq r Dcă cuoştem V, V,..., V tuci poliomul cre re rădăciile,,..., este : k k f X VX V X... ( ) VkX... ( ) V Fie poliomul g cre dmite rădăciile bc,, g X X b X c g X bcx bcbcx bc V V V p bc, g X px qx r ude q b c bc r bc Coform puctului ) poliomul g u re rădăcii î itervlul [; ) deci v ve rădăcii î itervlul, dică, b, c( ;).

Se cosideră poliomul f X bx c, cu bc,,. ) Să se rte că umărul f ( ) f () este umăr pr. Să se rte că, petru orice y,, umărul f ( ) f ( y) este divizibil cu y. Să se determie coeficieţii poliomului f ştiid că f () şi f b. ) Soluţie propusă şi redcttă de Cristi Ghepeș, cls XII- A, f 8 b c f f 8 b pr,, b, c f bc C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f f y y b y y y b y y ( ) ( ) y y y b y f f y y f f y y f b f b b b b,, Cz i. f bc b b f c c Cz ii. f bc c c b f 6bc 6c 6c 5 5

Se cosideră poliomul f X [ X] şi umărul \, stfel îcât f ( ). ) Să se demostreze că. y z Să se rezolve î mulţime umerelor complee sistemul y z. y z Să se rte că, dcă f divide f( X ) Xf( X ) X f( X ), ude f, f, f sut poliome cu coeficieţi complecşi, tuci fiecre ditre poliomele f, f, f este divizibil cu X. Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Igt, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Metod. Dcă f ( ) vem dică rădăciă de ordi uități deci dcă \ Metod. Dcă f ( ) vem Determitul socit sistemului este CC CC Evidet deorece \, deci sistemul este comptibil determit (CRAMER) S,,., dr sistemul este omoge dică soluți uică este Dcă f divide f( X ) Xf( X ) X f( X ) tuci rădăciile lui f sut și rădăciile lui g f( X ) Xf( X ) X f( X ) Știm că poliomul f X dmite rădăciile k,,,,,,,, deci g f() f() f() f() f() f() g f( ) f( ) f( ) f() f() f() 6 6 6 g f( ) f( ) f( ) f() f() f() y z Dcă otăm f(), f() y, f() z obțiem sistemul y z. y z f Coform puctului vem y f z f Adică poliomele f, f, f dmit rădăci și di teorem lui Bezout rezultă că f, f f sut divizibile cu X.,

Se cosideră poliomul f [ X ], f X X X b. ) Să se determie b, stfel îcât poliomul f să se dividă cu poliomul X. Să se determie b, stfel îcât ecuţi f ( ) să ibă soluţi i. Să se determie b, stfel îcât poliomul să ibă rădăciile,, î progresie ritmetică şi, î plus,. Soluţie propusă şi redcttă de Adree Much, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f X f X X f X f f X f b b8 b b6 b i rădăciă f i i i ib iibbi b Avem următorii coeficieți:,,, b V V V V 9,, î 9 V rădăciă f b b

Se cosideră ecuţi 8 8b,, b şi cu soluţiile,,,. ) Să se rte că 8. Să se determie stfel îcât. Să se determie b,, stfel îcât,,, să fie î progresie ritmetică. Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Nzre, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Scriem relţiile lui Viete ude, 8,, 8, b V... 8 V... V... 8 V b Clculăm epresi E E V V E V V E 8 Dcă s tuci di relți V obțiem s 8s și dcă îlocuim l puctul ) vem 6 8 5 Di relți V scrisă covebil obțiem V 8 Rezolvăm ecuți Avem și,,, î progresie ritmetică tuci eistă umerele și r stfel îcât Dcă r r r r Dr r r r r r r Di V b vem 8 b r r r r 9r r 55

Se cosideră poliomul f X X X [ X] cu rădăciile,,,. ) Să se determie stfel îcât poliomul f să se dividă cu X. Să se rte că poliomul g X X X re rădăciile,,.. Să se rte că, petru orice poliomul f u re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Păroiu Rreș, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f X f 6 g / / / f rădăciă petru g. Alog,, rădăcii petru g. Arăt că g u re tote rădăciile y,..., y rele. Scriem relţiile lui Viete petru poliomul g V y y... V y y... y y y y y y V V 8 rădăciile y,..., y u sut tote rele,..., u sut tote rele,..., u sut tote rele.

Se cosideră poliomele f, g [ X], f X X, g X X, cu * şi,, rădăciile poliomului f. ) Să se clculeze. Să se rte că rădăciile poliomului g sut iversele rădăciilor poliomului f. Să se rte că poliomele f şi g u u rădăcii rele comue. ) Soluţie propusă şi redcttă de Vld Rom, cls XII- A, V V V V C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe g f rădăciă petru g. Alog, rădăciă petru g. Deorece, f X * [ ], poliomul u re tote rădăciile rele poliomul f re o sigură rădăciă relă și două complee. Fie rădăciă relă petru poliomul poliomul g. b f este rădăciă relă petru Presupuem că f şi g u rădăcii rele comue fls deorece f Justificre: şi f sut diferite de,,,

Se cosideră şirul ( ), F F, F, F F F, PQ, [ X], P X X, Q X F X F,. ) Să se rte că poliomul X X este divizibil cu P. Să se determie rădăciile rele le poliomului Q. Să se rte că, petru, poliomul ) Avem : X X X X Q este divizibil cu P. şi poliomele Soluţie propusă şi redcttă de Bic Rusu, cls XII- A, X X X X X X X X / / / r X X P C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Avem : Q X F X F F F F F F F ) Q X X Q X X X Rezolv ecuți : Q 5 S, 5 5, Demostrăm pri iducție: P : Q P,, Verificre: : P Q X F X F X X P P Presupuem P devărtă și demostrăm P P Avem P: Q P Metod. Clculăm Q Q X F X F Q X F F X F Q X F X F X F F X Adăugăm și scădem

Q X FX F XFX FXF Q X X FX F F X X P Q P Deci P devărtă. Metod. Q P poliomul H stfel îcât Q PH X F X F PH X PH F X F Clculăm Q Q X F X F Q X X F F X F Q PH F X F X F X F X F FX F X F Q P H X F X F X P Q P H X F X X P H X F Q P P

Se cosideră corpul,, ) Să se rte că ecuţi 8 u re soluţii î ) Să se determie umărul poliomelor de grd doi di X Să se rte că poliomul X X este ireductibil î. X Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Todor, cls XII- A, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5 ˆ6 ˆ7 ˆ8 ˆ9 ˆ ˆ ˆ ˆ9 ˆ5 ˆ ˆ ˆ5 ˆ9 ˆ ˆ ˆ8 dică u vem soluţii î f bc,, b, c, ˆ C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe b c moduri moduri moduri vem poliome ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5 ˆ6 ˆ7 ˆ8 ˆ9 ˆ ˆ ˆ ˆ7 ˆ ˆ9 ˆ ˆ7 ˆ ˆ f ˆ u re rădăcii f ireductibil î

6 Se cosideră poliomele f, g [ X], f X, g X. ) Să se rte că u cel mi mre divizor comu l poliomelor f şi g este X. Să se determie umărul soluţiilor complee disticte le ecuţiei f ( ) g( ) Să se descompuă poliomul f î fctori ireductibili î [ X ]. Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Tudose, cls XII- A, ) f X X X X X g X X X X X X X X f g C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f g X, i i i i S,, i, i,,,, deci vem 8 soluţii disticte. f X X X

Se cosideră poliomele f X X X5 [ X] şi f ˆ X X ˆ [ ]. X ) Să se rte că rădăciile di le poliomului f u sut tote rele. Să se rte că poliomul fˆ u re rădăcii î. Să se demostreze că poliomul f u pote fi scris c produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Ctic Băj, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Avem următorii coeficieți: V V... Deci V V f 9 9,,, 5și u re tote rădăciile rele. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f X X ˆ u re rădăcii î Presupuem că poliomul f pote fi scris c produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi f X k X X b, k,, b deci k stfel îcât k rădăciă rădăciile k,, 5, 9, 5, 5 f impr fls umere impre deorece f impr impr impr impr5impr deci, poliomul f u pote fi scris c produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi.

5 Se cosideră poliomul f X X X X [ X]. ) Să se determie o rădăciă îtregă poliomului f. Să se clculeze 5, ude,,..., 5 sut rădăciile poliomului f. Să se rte că f re o sigură rădăciă relă. Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Cioc, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f o rădăciă îtregă poliomului f Avem următorii coeficieți: V... V...,,,, și Deci V V 6 5 Dcă rădăciăx f. Aplicăm schem lui Horer q X X X X X X X X X deci poliomul f re o sigură rădăciă relă.

Fie poliomul f X X X, cu şi cu rădăciile complee,,. ) Să se clculeze f. Să se determie petru cre poliomul re trei rădăcii rele. Să se determie stfel îcât. Soluţie propusă şi redcttă de Adre Cîrste, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Avem : f dică rădăciă relă. Aplicăm schem lui Horer: q X X Poliomul f X X X q X X poliomul re trei rădăcii rele dcă re două rădăcii rele dică discrimitul trebuie să fie pozitiv 6 6,,, 6, Di relţiile lui Viete vem:,,, V V Dr de l puctul ) vem și di relți dtă Di ieglitte modulului obțiem:, 6,

Se cosideră ecuţi pq, p, q şi cu soluţiile,,. ) Ştiid că p, q să se determie,,. Să se determie pq, ştiid că i. Să se rte că 7 7 7 7. Soluţie propusă şi redcttă de Mădăli Dermișek, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Dcă p, q cz. cz. i i S, i i i i rădăciă i piq i i p piq ii p piq p q p i p p pq q Di relţiile lui Viete vem:,,, V p q V q V p V V p

Dcă,, soluții obțiem p q p q p q p q q Deci membrul stâg l eglității de demostrt devie 7 7 q p 8p q Dcă,, soluții obțiem 7 5 p q p q k p q p q 7 5 p q p q 7 5 p q qs ps 7 7 7 5 5 5 7 7 7 Trebuie să clculăm S, S Dcă,, soluții obțiem p q p q k p q p q p q p q S S p q p Dcă,, soluții obțiem 5 p q p q k p q p q 5 p q p q 5 p 5 5 5 5 5 5 p q 5pq q p 7 7 7 Obțiem că pq5pq 7pqdeci membrul drept l eglității 7 7 7 7 pq 8 pq deci m rătt că de demostrt devie 7 7 7 7 8 p q.

Se cosideră m şi poliomul f X m X m ix m m i X. ) Arătţi că poliomul f re rădăci Arătţi că, dcă b, sut umere complee şi poliomul g X X b X re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci şi b sut umere rele şi b. Determiţi m petru cre poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte. Soluţie propusă şi redcttă de Tibor Gocz, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe 8 mm i 88 f m m i m m i f m m i f m m f rădăciă Fie u vi şi uvi, u, v cele două rădăcii disticte, comple cojugte le poliomului g. Di relţiile lui Viète obţiem: S şi P b dică uviuvi u deci uviuvib b u v Dcă poliomul g re rădăcii complee tuci discrimitul, de ude obţiem b dică p q. Aplicăm schem lui Horer m m i m m i m mmi deci f X X mx mmi h Fie poliomul h X mx m m i. b Dcă poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci obligtoriu poliomul h dmite două rădăcii disticte, comple cojugte m deci coform puctului coeficieţi b, mmi m.

* Petru se defieşte poliomul P X [ X]. ) Să se determie rădăciile complee le poliomului P. Să se descompuă poliomul P î fctori ireductibili î [ X ]. Să se descompuă poliomul P 6 î fctori ireductibili î [ X ]. Soluţie propusă şi redcttă de Remus Herciu, cls XII- A, ) P X X X X X X C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe cz. P cz. cz. i i P X X X X P X X i X i i, i 6 6 P X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Se cosideră poliomul p X X m cu m şi cu rădăciile,,. ) Ştiid că m 6, să se determie,,. Să se clculeze. Să se determie m petru cre poliomul p re tote rădăciile îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Vld Ppce, cls XII- A, ) Dcă m6 p 6 Observăm că p dică X Aplicăm schem lui Horer: 6 q i Scriem relţiile lui Viete p 8 8i, i,,, m V V V V rădăciă p m m rădăciă p m m rădăciă p m m Deorece,, dcă,, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe duăm m u di rădăcii este p m

Se cosideră b, şi poliomul p X X X b, cu rădăciile,,. ) Ştiid că b, să se fle rădăciile poliomului p. Să se fle şi b, ştiid că poliomul p re rădăci dublă. Î czul b, să se determie vlorile lui petru cre poliomul p re o rădăciă rţiolă. Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Pătrîjel, cls XII- A, ) Dcă C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe b p X X X X X X X X cz i. cz. ii i i Dcă poliomul p re rădăci dublă pe tuci Obțiem l p X X l p p b b l p și p. Dcă b p X X X Deorece poliomul p este moic(uitr) tuci rădăciile rţiole pot fi umi umere îtregi cre se găsesc pritre divizorii termeului liber, deci sigurele rdăcii posibile sut. p p

Se cosideră poliomul p X X X, cu şi cu rădăciile.,,, ) Să se verifice că. Să se rte că poliomul p u este divizibil cu X petru icio vlore lui. Să se rte că, dcă, tuci tote rădăciile poliomului p u modulul. Soluţie propusă şi redcttă de Iri Petcu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) V V V V V Presupuem că px p X X p p cotrdicţie P X. Evidet p u e soluţie : t t t t t t t, t, 6 deorece t t i t t i t t t, Re t și Im t z Re z Im z t t,

Se cosideră b, şi poliomul f X X 6X X b, cre re rădăciile,,, ) ) Să se determie şi b ştiid că f re rădăci i. Să se clculeze ( ) ( ) ( ) ( ). Să se determie vlorile rele le umerele şi b ştiid că tote rădăciile poliomului f sut rele. Soluţie propusă şi redcttă de Di Pop, cls XII- A, i rădăciă f i i i 6i ib i6ibb5i b 5 E C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe E E E V V V V E... 6... 6 V,,, E f X X X X X X X X f X X X X b 6

Se cosideră poliomul f ˆX ˆ [ X]. ) Să se determie grdul poliomului f. Să se rte că poliomul f este elemet iversbil l ielului ( [ X ],, ). Să se determie tote poliomele g [ X] de grdul cu propriette că ) g. ( [ X ],, ). Soluţie propusă şi redcttă de Vivi Pop, cls XII- A, f X X X grd f f f f f f C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe deci poliomul f este elemet iversbil l ielului g [ X] de grdul g X b,, b g X bx b g X g b b g X b b,

Se cosideră corpul,, şi poliomele f, g, f X X, g X X. ) Să se determie rădăciile di le poliomului f. Să se rte că poliomul g este ireductibil î X. Să se determie tote poliomele h X de grdul trei, stfel îcât h g,. ) Soluţie propusă şi redcttă de Secele Coreli, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe deci rădăciile lui f sut,, deci g u re rădăcii grd g g este ireductibil h g, h g p, rădăciile lui f sut rădăcii petru poliomul p p p f p X X p X X qhg X X qh X X qg q,, Cz. q h g X X Cz. q h X X X X X X Cz. q h X X X X X u covie grd h

Fie poliomul f X X 5X [ X] şi,, rădăciile sle. ) Să se clculeze ( )( )( ). Să se rte că poliomul f u re ici o rădăciă îtregă. Să se clculeze. Soluţie propusă şi redcttă de Robert Veress, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Metod. E V V V V V E V Metod. 5 5 f f E f Evetulele rădăcii îtregi sut pritre divizorii termeului liber dică f f 8 poliomul f u re rădăcii îtregi V V V 5 8

Fie,, bc şi poliomul f X X X bx c. ) Să se determie bc,, ştiid că b c, ir restul împărţirii lui f l X este. Ştiid că,,, sut rădăciile lui f, să se clculeze. Să se determie bc,, şi rădăciile lui f î czul î cre f re tote rădăciile rele. ) Dcă Soluţie propusă şi redcttă de Cosmi Vezeteu, cls XII- A, bc f X X X X C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Restul împărţirii poliomului f l X este f deci f. Obțiem, deci bc su bc Scriem relţiile lui Viete,,, b, c V...... V... V V c b Știm că V V deci Fie epresi E Deorece poliomul f re tote rădăciile rele tuci evidet E. Clculăm efectiv epresi și folosim relțiile lui Viete. E... E 69 69 E Dr Deci E V V V E b8c

Se cosideră poliomul f X 6X 8X X 5 [ X]. ) Să se rte că poliomul f se divide cu X X 5. Să se rte că poliomul f u re icio rădăciă relă. Să se rte că rădăciile poliomului f u celşi modul ) Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Vld, cls XII- A, 6 8 5 5 X X X X X X X X 5X X X 5 / X X 8 X X X / 5 X X 5 5 X X / / / r X X 5 / f C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe 5 5 f X X X X f 5 5 i 6 6i, i i i, i,,, 5 5

5 Fie b, şi poliomul f X X X X X b [ X]. ) Să se rte că restul împărţirii poliomului f l X u depide de. Să se determie şi b stfel îcât restul împărţirii poliomului f l X X să fie X. Să se determie şi b stfel îcât poliomul f să fie divizibil cu ( X ). Soluţie propusă şi redcttă de Mrius Boridel, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Restul împărţirii poliomului f l X este f deci obțiem r f b b 5 dică restul u depide de Aplicăm teorem împărţirii cu rest f X X q X f X X q X f f b b f f b Dcă f este divizibil cu ( X ) tuci este rădăciă dublă. l Dcă poliomul f re rădăci dublă pe tuci f și f. Obțiem l 9 9 9 f X 6X X 5X 5 5 l f 5 f b b

Fie f [ X ] u poliom stfel îcât f ( X X ) f ( X ) f ( X ) şi f ( ). ) Să se determie f. Să se determie restul împărţirii poliomului f l X 5 Să se demostreze că f X Soluţie propusă şi redcttă de Adri Bufte, cls XII- A, ) Clculăm vlore petru f f f f f t C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe t tt t deci f Aplicăm teorem : Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică f ( ) dică r f deci r f 5 f f f f f 5 f f f 55 Adică r 5 Cosiderăm șirul, Demostrăm pri iducție propoziți: P : f, Verificre: Petru vem P() : f f deci devărt. Presupuem P() devărtă şi demostrăm că P(+) este devărtă dică P P Demostrţie: P: f relţie cre trebuie demostrtă. f f( ) f f Î cocluzie P() este devărtă. Acum cosiderăm poliomul h f X Observăm că h f h f... poliomul h re o ifiitte de rădăcii h f Deci poliomul h este poliomul ul dică h f X f X

Fie bc,, şi poliomul f X X bx c [ X] cu rădăciile,, ) Să se determie bc,, petru cre şi. i Să se rte că resturile împărţirii poliomului f l ( X ) şi l ( X ) u pot fi egle, petru ici o vlore prmetrilor bc,, Să se rte că, dcă tote rădăciile poliomului f sut rele şi bcsut,, strict pozitive, tuci,, sut strict pozitive. Soluţie propusă şi redcttă de Vld Costtiescu, cls XII- A, ) Avem C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f [ X] i rădăciă f ii i rădăciă i 6 şi pri idetificre coeficieţílor obţiem, b6, c Efectuăm împărţirile poliomului f l ( X ) şi l X X bx c X X ( X ) X X bx c X X X X X X X X X X X X bc X X X X bc X X X bc X b c Dcă presupuem că resturile sut egle vom ve: 9 bb cc6 6 deci resturile u pot fi egle. Presupuem că tote rădăciile,, sut egtive. Dcă k rădăciă tuci f k dică k k b k c fls, deorece bc,, deci, dcă tote rădăciile poliomului f sut rele şi, b, c sut strict pozitive, tuci,, sut strict pozitive.

Fie b, şi poliomul f X 6X X X b [ X]. ) Să se clculeze sum pătrtelor celor rădăcii complee le poliomului f. Să se determie, b stfel îcât poliomul f să fie divizibil cu ( X )( X ). Să se determie, b stfel îcât poliomul f să ibă două rădăcii duble. Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Dele, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Scriem relţiile lui Viete, 6,,, b V... 6 V... V... V b Știm că V V deci Dcă f este divizibil cu ( X ) X tuci 6 6 f X f 8 b b8 f X f 86 7 b b6 b6 Fie și cele două rădăcii duble. Di relțiile lui Viete obțiem V 6 V Deci și Di relțiile lui Viete obțiem V... V bb

Se cosideră corpul,, 7. ) Să se rezolve î 7 ecuţi. Să se rte că poliomul p X 7 X Să se demostreze că fucţi :, ) utomorfism l grupului, 7 u re rădăcii î 7. f f este u 7 7 Soluţie propusă şi redcttă de Cristi Ghepeș, cls XII- A, 56 S 5 65 56 X 6 5 5 6 C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe p X X u re rădăcii î 7. Fucţi f : 7 7, f este u utomorfism l grupului, 7 dcă f morfism și f bijecție f y y y f f y f morfism simetrizbil f f y y y f :, ) 7 ijectivă f 7 7 f f i tote vlorile di codomeiu f surjecție deci f bijecție dică f este u utomorfism l grupului, 7

Se cosideră mulţime de umere complee G cos q isi q q. ) Să se rte că i G Să se rte că G este prte stbilă lui î rport cu îmulţire umerelor complee. f X 6 X re tote rădăciile î G. Să se rte că poliomul Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Igt, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) i cos isi cos isi i G ude q z cos q isi q Fie z, z G, q, q z cos q isi q zz cos q isi qcos q isi qcosqq isi qq G, ude q qq G este prte stbilă lui î rport cu îmulţire umerelor complee. 6 6 k k k k k cos isi cos isi, k,5 6 6 cos isi G, q cos isi G, q cos isi G, q cos isi G, q 5 cos isi G, q 5 5 5 6 5 cos isi G, q f X 6 X poliomul re tote rădăciile î G.

Fie N,,,,..., şi poliomul f X X... X. ) Să se rte că f ( ) f ( ) este umăr pr. Să se rte că, dcă f () şi f () sut umere impre, tuci poliomul f u re icio rădăciă îtregă. Să se rte că poliomul g X X,, u pote fi descompus î produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi. ) Soluţie propusă şi redcttă de Adree Much, cls XII- A,...... f f C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f f... Dr epresi p, pk p, k, p, pr, p k... f f pr f() f( ) umăr pr. pr Presupuem că poliomul f dmite o rădăciă îtregă k k stfel îcât f k X k f f X k h, h X Obțiem: f kh k h impr k impr k impr f khk h impr k impr k pr deci cotrdicție poliomul f u re ici o rădăciă îtregă. Presupuem că poliomul g pr pr pote fi descompus î produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi g X mx X p m,, p. Obțiem gm gmm mmm mmm mmm fls produs de r. cosecutive cu deci poliomul g u pote fi descompus î produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi.

Fie m, și poliomul f X X mx, cre re rădăciile,,. ) Determiți vlorile m, petru cre i. Determiți vlorile m, petru cre restul împărţirii poliomului f l poliomul X este egl cu. Arătți că dcă tote rădăciile poliomului f sut rele și m, tuci rădăciile,, sut strict pozitive. Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Nzre, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Dcă i rădăciă tuci f i deci vem i i m i 8i 6i i i mmi 8ii69immi m7i m m m m7 5 Fcem efectiv împărțire l X X X X mx X X X X X X X X m X X X m deci m și Presupuem că rădăciile,, sut egtive. Dcă k rădăciă tuci f k dică k k m k fls, deci dcă tote rădăciile poliomului f sut rele și m, tuci rădăciile,, sut strict pozitive.

Fie p şi poliomul f X X p [ X]. ) Să se determie p stfel îcât poliomul f să fie divizibil cu X. Să se determie p stfel îcât poliomul f să ibă o rădăciă relă dublă. Să se rte că, petru orice p, poliomul f u re tote rădăciile rele. ) Soluţie propusă şi redcttă de Păroiu Rreș, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Poliomul f este divizibil cu X dcă f. Obțiem p p5 Dcă poliomul f dmite o rădăci relă dublă tuci l Clculăm derivt și obțiem f X deci vem p p p p Scriem relţiile lui Viete,,,, p V... V... V... V p f f l Știm că V V deci Presupuem că poliomul f re tote rădăciile rele. Deorece V cotrdicție, deci petru orice p, poliomul f u re tote rădăciile rele.

* Petru fiecre f X X X X ) Să se rte că poliomul f u este divizibil cu poliomul g X. Să se determie sum coeficieților câtului împărțirii poliomul f l X Să se rte că restul împărțirii poliomul f l X X u depide de. cosiderăm poliomul Soluţie propusă şi redcttă de Vld Rom, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Evidet f X X X. Trebuie să rătăm că f f 7 f X Evidet 9 f X X X. Aplicăm schem lui Horer petru flre câtului l împărțire cu X 5 6 8 7 6 5 c Știm sum coeficeților este vlore poliomului î deci sum coeficieților câtului este c 5 Dcă poliomului f împărțit l poliomul X X f X q r, grd r f X X qm Dr dcă clculăm î două moduri f și f vem f m 6 6 m 6 f 6 6 r X 6 f m m m f 5

Se cosideră poliomul f X X X bxc [ X], cu rădăciile,,,. ) Să se clculeze sum. Să se determie rădăciile poliomului f ştiid că, b şi c. Ştiid că rădăciile poliomului f sut î progresie ritmetică, să se demostreze că b. Soluţie propusă şi redcttă de Bic Rusu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Coeficieții sut,,, b, c V, b şi c f X X X X Dcă descompuem î fctori obțiem f X X X X f X X XX,,, f XXX f XXXX V V V b V c V Deorece,,, Vom scrie relţiile V şi V î fucţie de sumele şi. V V b b Deci obţiem relţi cerută dică b.

Se cosideră poliomul f [ X ], f ( X i) ( X i), cre re form lgebrică 9 f X 9 X... X ude,,..., ) Să se determie restul împărţirii poliomului f l X i. Arătţi că toţi coeficieţi poliomului f sut umere rele. Să se demostreze că poliomul f re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Todor, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică r f r f i ii ii i i Aplicăm biomul lui Newto petru fiecre ( X i) X C X ic X i C X i C X i C Xi i ( ) 9 8 7 8 8 9 9 9 8 7 8 8 9 9 X i X CX icx i CX i C X i C Xi i f X C X i C X i i de ude i i 8 8 8 8 8 8 duâd obţiem: f X C X C X deorece i i 6 i şi deci, toţi coeficieţi poliomului f sut umere rele. Presupuem că poliomul f u re tote rele o rădăciă compleă zbi cu b, și b stfel îcât f z. Avem f z ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) z i z i zi zi bii bii z Re z Im z i b i b b b b b b bb bb cotrdicție deorece b deci, poliomul f re tote rădăciile rele.

Se cosideră şi poliomul f X X ix i X. ) Arătţi că poliomul f re rădăci Arătţi că, dcă pq, sut umere complee şi poliomul g X px q X re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci p şi q sut umere rele şi p q. Determiţi petru cre poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte. Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Tudose, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f i i f i i f ii ii f rădăciă Fie u vi şi uvi, u, v, v cele două rădăcii disticte, comple cojugte le poliomului g. Di relţiile lui Viète obţiem: p şi q dică puviuvi pu deci q u viu vi q u v Dcă poliomul g re rădăcii complee tuci discrimitul, de ude obţiem p q dică p q. Aplicăm schem lui Horer i i i deci f X X X i. Fie poliomul h p q h X X i. Metod. Dcă poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci obligtoriu poliomul h dmite două rădăcii disticte, comple cojugte deci coform puctului coeficieţi pq, sut reli Metod. Discrimitul socit poliomul h este. i i i i i, i şi i Deorece trebuie să vem două rădăcii disticte, comple cojugte de ude.